Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Persamaan Diferensial Versi 2

     Berikut ini merupakan soal & pembahasan UTS Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Tahun Ajaran 2017/2018 yang diujikan oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si kepada mahasiswa program studi pendidikan matematika FKIP Untan semester 5 pada tanggal 1 November 2017.
Baca juga:
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Linear Orde Satu
Soal Latihan dan Penyelesaian PD dengan Variabel Terpisah
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Eksak

Soal Nomor 1
Tuliskan definisi tentang

a) Persamaan diferensial
b) Solusi persamaan diferensial
c) Persamaan diferensial eksak
d) Persamaan diferensial homogen
e) Persamaan diferensial linear

Penyelesaian

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabel beserta derivatif atau turunannya.
Solusi persamaan diferensial adalah fungsi atau keluarga fungsi yang memenuhi persamaan diferensial yang diberikan.
Persamaan diferensial $M(x,y)~\text{d}x + N(x,y)~\text{d}y = 0$ disebut PD eksak jika dan hanya jika berlaku
$\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}$
Persamaan diferensial $M(x,y)~\text{d}x + N(x,y)~\text{d}y = 0$ disebut PD homogen jika dapat diubah bentuknya menjadi $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = g\left(\dfrac{y}{x}\right)$ atau $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} = g\left(\dfrac{x}{y}\right)$
Persamaan diferensial linear adalah PD yang hanya memuat derivatif suatu variabel berpangkat $1$.

[collapse]

Soal Nomor 2
Selesaikan $\dfrac{y^{\frac{3}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}}~\text{d}x + (3y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} -1)~\text{d}y = 0$

Penyelesaian

Diberikan
$\dfrac{y^{\frac{3}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}}~\text{d}x + (3y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} -1)~\text{d}y = 0$
Periksa keeksakan PD ini terlebih dahulu.
Misalkan $M = \dfrac{y^{\frac{3}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dan $N = 3y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} -1$. Dengan demikian, diperoleh bahwa

$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{3y^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}}$ dan juga $\dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{3y^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}}$
Karena $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$, maka PD ini dikatakan eksak. Sekarang, misalkan penyelesaiannya adalah $F(x,y) = C$, dan diketahui bahwa
$\dfrac{\partial F}{\partial x} = \dfrac{y^{\frac{3}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ $\bigstar$
dan
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = 3y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} -1$ $\bigstar \bigstar$
Integrasikan $\bigstar$ secara parsial terhadap $x$,
$F = \displaystyle \int ^{x} (y^{\frac{3}{2}} + 1)(x^{-\frac{1}{2}})~\text{d}x$
$F = 2(y^{\frac{3}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}}) + \psi(y)$
Kemudian, turunkan $F$ ini secara parsial terhadap $y$,
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = 3y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + \psi'(y)$
Bandingkan dengan $\bigstar \bigstar$, sehingga  dapat ditunjukkan bahwa
$\psi'(y) = -1 \Rightarrow \psi(y) = -y$.
Jadi, penyelesaiannya adalah $\boxed{2(y^{\frac{3}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}})- y = C}$ 

[collapse]

Soal Nomor 3
Selesaikan $(2y \sin x \cos x + y^2 \sin x)~\text{d}x$ $+ (\sin^2 x -2y \cos x)~\text{d}y = 0$ untuk $y(0) = 3$.

Penyelesaian

Periksa keeksakan PD ini terlebih dahulu.
Misalkan $M = 2y \sin x \cos x + y^2 \sin x$ dan $N = \sin^2 x -2y \cos x$.
Berarti,
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 2 \sin x \cos x + 2y \sin x$ dan
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2 \sin x \cos x + 2y \sin x$
Karena $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$, maka PD ini eksak.
Misalkan $F = C$ merupakan solusi penyelesaian PD ini. Diberikan
$\begin{aligned} \dfrac{\partial F}{\partial x} & = 2y \sin x \cos x + y^2 \sin x \\ & = y \sin 2x + y^2 \sin x \end{aligned}$ $\bigstar$
dan

$\dfrac{\partial F}{\partial y} = \sin^2 x -2y \cos x$ $\bigstar \bigstar$
Integrasikan $\bigstar$ secara parsial terhadap $x$, sehingga ditulis
$F = \int^{x} (y \sin 2x + y^2 \sin x)~\text{d}x$
$F = -\dfrac{1}{2}y \cos 2x -y^2 \cos x + \psi(y) $
Turunkan F secara parsial terhadap $y$, ditulis
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = -\dfrac{1}{2} \cos 2x -2y \cos x + \psi'(y)$
Bandingkan dengan $\bigstar \bigstar$,
$\sin^2 x – 2y \cos x = -\dfrac{1}{2} \cos 2x – 2y \cos x + \psi'(y)$
$2 \sin^2 x = -(\cos^2 x -\sin^2 x) + 2 \psi'(y)$
$\sin^2 x + \cos^2 x = 2 \psi'(y)$
$\psi'(y) = \dfrac{1}{2}$
$\psi(y) = \dfrac{1}{2}y$
Jadi, penyelesaian umum PD tersebut adalah
$-\dfrac{1}{2}y \cos 2x -y^2 \cos x + \dfrac{1}{2}y = C$
Untuk $y(0) = 3$, diperoleh
$-\dfrac{1}{2}(3) \cos 0 -3^2 \cos 0 + \dfrac{1}{2}(3) = -9$
Berarti, penyelesaian khusus PD ini adalah
$\boxed{-\dfrac{1}{2}y \cos 2x -y^2 \cos x + \dfrac{1}{2}y = -9}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Selesaikan $(xy + 2x + y + 2)~\text{d}x + (x^2 + x)~\text{d}x = 0$.

Penyelesaian

Periksa keeksakan PD ini dulu.
Misalkan $M = xy + 2x + y + 2$ dan $N = x^2 + x$. Berarti,
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = x + 1$
dan
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2x + 1$
Karena $\dfrac{\partial M}{\partial y} \neq \dfrac{\partial N}{\partial x}$, maka PD ini tidak eksak, tapi kita dapat mengeksakannya dengan mengalikan PD suatu faktor integrasi.
Sekarang, misalkan
$\begin{aligned} P(x) & = \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right) \\ & = \dfrac{1}{x^2 + x}((x+1)-(2x+1)) \\ & = \dfrac{1}{x^2 + x}(-x) = -(x + 1)^{-1} \end{aligned}$
dan akibatnya,

$\begin{aligned} \int P(x)~\text{d}x & = -\int (x + 1)^{-1} ~\text{d}x \\ & = -\ln(x+1) \end{aligned}$
Faktor integrasinya adalah
$\begin{aligned}e^{\int P(x)~\text{d}x} & = e^{-\ln(x+1)} \\ &  = e^{\ln(x+1)^{-1}} \\ & = (x+1)^{-1} \end{aligned}$
Kalikan faktor integrasi ini ke PD awal, ditulis
$$\begin{aligned} (x+1)^{-1}(xy+2x+y+2)~\text{d}x + (x+1)^{-1}(x^2+x)~\text{d}y &= 0 \\ (x+1)^{-1}(x+1)(y+2)~\text{d}x + (x+1)^{-1}x(x+1)~\text{d}y & = 0 \\(y+2)~\text{d}x + x~\text{d}y & = 0 \end{aligned}$$Cek keeksakan PD ini.
Misalkan $M = y+2$ dan $N = x$, berarti
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1$ dan $\dfrac{\partial N}{\partial x} = 1$
Karena $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$, maka PD ini eksak.
Sekarang, misalkan $F = C_1$ merupakan solusi umum dari PD ini dengan
$\dfrac{\partial F}{\partial x} = y + 2$ $\bigstar$
dan
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = x$ $\bigstar \bigstar$
Integrasikan $\bigstar$ secara parsial terhadap $x$, sehingga diperoleh
$F = (y+2)x + \psi(y)$
Turunkan F secara parsial terhadap $y$, sehingga diperoleh
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = x + \psi'(y)$
Bandingkan dengan $\bigstar \bigstar$, diperoleh $\psi'(y) = 0$ sehingga $\psi(y) = C_2$
Jadi, penyelesaian umumnya adalah
$(y+2)x + C_2 = C_1$ atau disederhanakan menjadi
$\boxed{(y+2)x = C}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Selesaikan $x~\text{d}y + (xy + y -1)~\text{d}x = 0$.

Penyelesaian

Periksa keeksakan PD ini dulu.
Misalkan $M = x$ dan $N = xy + y -1$. Berarti,
$\dfrac{\partial M}{\partial x}= 1$ dan $\dfrac{\partial N}{\partial y}= x + 1$
Karena $\dfrac{\partial M}{\partial x} \neq \dfrac{\partial N}{\partial y}$, maka PD ini tidak eksak, tapi kita dapat mengeksakannya dengan mengalikan PD suatu faktor integrasi.
Sekarang, misalkan
$P(x) = \dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial y} -\dfrac{\partial M}{\partial x}\right)$
$P(x) = \dfrac{1}{x}((x+1)-1) = 1$ dan akibatnya,
$\int P(x)~\text{d}x = \int 1 ~\text{d}x = x$
Faktor integrasinya adalah
$e^{\int P(x)~\text{d}x} = e^{x}$
Kalikan faktor integrasi ini ke PD awal, ditulis
$xe^x~\text{d}y + e^x(xy + y -1)~\text{d}x = 0$
Cek keeksakan PD ini.
Misalkan $M = xe^x$ dan $N = e^x(xy+y-1)$, berarti
$\dfrac{\partial M}{\partial x} = xe^x + e^x = e^x(x+1)$
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = xe^x + e^x = e^x(x+1)$
Karena $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$, maka PD ini eksak.
Sekarang, misalkan $F = C$ merupakan solusi umum dari PD ini dengan
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = xe^x$ $\bigstar$
dan
$\dfrac{\partial F}{\partial x} = e^x(xy+y-1)$ $\bigstar \bigstar$
Integrasikan $\bigstar$ secara parsial terhadap $y$, sehingga diperoleh
$F = xye^x + \psi(x)$
Turunkan $F$ secara parsial terhadap $x$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\partial F}{\partial x} & = y(xe^x + e^x)+ \psi'(y) \\ & = e^x(xy + y) + \psi'(x) \end{aligned}$
Bandingkan dengan $\bigstar \bigstar$, diperoleh $\psi'(x) = -e^x$ sehingga $\psi(x) = -e^x$
Jadi, penyelesaian umumnya adalah $\boxed{xye^x -e^x = C}$ 

[collapse]

Soal Nomor 6
Selesaikan $(\cos^2 x -y \sin x)~\text{d}x -(1 + \sin x)~\text{d}y = 0$.

Penyelesaian

Misalkan $M = \cos^2 x -y \cos x$ dan $N = -1 -\sin x$, sehingga
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = -\cos x$
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = -\cos x$
Karena $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$, maka PD ini eksak.
Sekarang, misalkan $F = C$ merupakan solusi umum PD ini, dengan
$\dfrac{\partial F}{\partial x} = \cos^2 x -y \cos x$ $\bigstar$
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = -1 -\sin x$ $\bigstar \bigstar$
Integrasikan $\bigstar$ secara parsial terhadap $x$, diperoleh
$F = \int^{x} (\cos^2 x -y \cos x)~\text{d}x$
$F = \dfrac{1}{4} \cos 2x + \dfrac{1}{2}x -y \sin x + \psi(y)$
Selanjutnya, turunkan F secara parsial terhadap $y$, diperoleh
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = -\sin x + \psi'(y)$
Bandingkan dengan $\bigstar \bigstar$, sehingga didapat $\psi'(y) = -1$, yang berarti $\psi(y) = -y$. Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah
$\boxed{ \dfrac{1}{4} \cos 2x + \dfrac{1}{2}x -y \sin x -y = C}$

[collapse]

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *