Soal dan Penyelesaian UTS Persamaan Diferensial


Berikut ini adalah 6 soal UTS Persamaan Diferensial (TA 2017/2018) yang diujikan tanggal 1 November 2017 oleh Drs. Dian Ahmad B.S., M.Si. Jangan lupa klik link berikut untuk mempelajari soal dan penyelesaian PERSAMAAN DIFERENSIAL lainnya.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Linear Orde Satu
Soal Latihan dan Penyelesaian PD dengan Variabel Terpisah
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Eksak

1. Tuliskan definisi tentang
a) Persamaan diferensial
b) Solusi persamaan diferensial
c) Persamaan diferensial eksak
d) Persamaan diferensial homogen
e) Persamaan diferensial linear

2. Selesaikan \dfrac{y^{\frac{3}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}}~dx + (3y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} -1)~dy = 0

3. Selesaikan (2y \sin x \cos x + y^2 \sin x)~dx + (\sin^2 x - 2y \cos x)~dy = 0 untuk y(0) = 3

4. Selesaikan (xy + 2x + y + 2)~dx + (x^2 + x)~dx = 0

5. Selesaikan x~dy + (xy + y - 1)~dx = 0

6. Selesaikan (\cos^2 x - y \sin x)~dx - (1 + \sin x)~dy = 0

Jawaban:

Jawaban Nomor 1
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabel beserta derivatif atau turunannya.
Solusi persamaan diferensial adalah fungsi atau keluarga fungsi yang memenuhi persamaan diferensial yang diberikan.
Persamaan diferensial M(x,y)~dx + N(x,y)~dy = 0 disebut PD eksak jika dan hanya jika berlaku
\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}
Persamaan diferensial M(x,y)~dx + N(x,y)~dy = 0 disebut PD homogen jika dapat diubah bentuknya menjadi \dfrac{dy}{dx} = g\left(\dfrac{y}{x}\right) atau \dfrac{dx}{dy} = g\left(\dfrac{x}{y}\right)
Persamaan diferensial linear adalah PD yang hanya memuat derivatif suatu variabel berpangkat 1.

Jawaban Nomor 2
Diberikan
\dfrac{y^{\frac{3}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}}~dx + (3y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} -1)~dy = 0
Periksa keeksakan PD ini. Misalkan M = \dfrac{y^{\frac{3}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}} dan N = 3y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} -1. Dengan demikian, diperoleh bahwa
\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{3y^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}} dan juga bahwa \dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{3y^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}}

Karena \dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}, maka PD ini dikatakan eksak. Sekarang, misalkan penyelesaiannya adalah F(x,y) = F = C, dan diketahui bahwa 
\dfrac{\partial F}{\partial x} = \dfrac{y^{\frac{3}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}} \bigstar
dan 
\dfrac{\partial F}{\partial y} = 3y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} -1 \bigstar \bigstar
Integrasikan \bigstar secara parsial terhadap x,
F = \displaystyle \int ^{x} (y^{\frac{3}{2}} + 1)(x^{-\frac{1}{2}})~dx
F = 2(y^{\frac{3}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}}) + \psi(y)
Kemudian, turunkan F ini secara parsial terhadap y,
\dfrac{\partial F}{\partial y} = 3y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + \psi'(y)
Bandingkan dengan \bigstar \bigstar, sehingga  dapat ditunjukkan bahwa
\psi'(y) = -1 \Rightarrow \psi(y) = -y.
Berarti, penyelesaiannya adalah 
\boxed{2(y^{\frac{3}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}}) - y = C}

Jawaban Nomor 3
Periksa keeksakan PD ini.
Misalkan M = 2y \sin x \cos x + y^2 \sin x dan N = \sin^2 x - 2y \cos x.
Berarti,
\dfrac{\partial M}{\partial y} = 2 \sin x \cos x + 2y \sin x dan
\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2 \sin x \cos x + 2y \sin x
Karena \dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}, maka PD ini eksak.
Misalkan F = C merupakan solusi penyelesaian PD ini. Diberikan
\dfrac{\partial F}{\partial x} = 2y \sin x \cos x + y^2 \sin x = y \sin 2x + y^2 \sin x \bigstar
dan

\dfrac{\partial F}{\partial y} = \sin^2 x - 2y \cos x \bigstar \bigstar
Integrasikan \bigstar secara parsial terhadap x, sehingga ditulis
F = \int^{x} (y \sin 2x + y^2 \sin x)~dx
F = -\dfrac{1}{2}y \cos 2x - y^2 cos x + \psi(y)
Turunkan F secara parsial terhadap y, ditulis
\dfrac{\partial F}{\partial y} = -\dfrac{1}{2} \cos 2x - 2y \cos x + \psi'(y)
Bandingkan dengan \bigstar \bigstar,
\sin^2 x - 2y \cos x = -\dfrac{1}{2} \cos 2x - 2y \cos x + \psi'(y)
2 \sin^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) + 2 \psi'(y)
sin^2 x + cos^2 x = 2 \psi'(y)
\psi'(y) = \dfrac{1}{2}
\psi(y) = \dfrac{1}{2}y
Jadi, penyelesaian umum PD tersebut adalah
-\dfrac{1}{2}y \cos 2x - y^2 cos x + \dfrac{1}{2}y = C
Untuk y(0) = 3, diperoleh
-\dfrac{1}{2}(3) \cos 0 - 3^2 cos 0 + \dfrac{1}{2}(3) = -9
Berarti, penyelesaian khusus PD ini adalah
\boxed{-\dfrac{1}{2}y \cos 2x - y^2 cos x + \dfrac{1}{2}y = -9}

Jawaban Nomor 4
Periksa keeksakan PD ini dulu.
Misalkan M = xy + 2x + y + 2 dan N = x^2 + x. Berarti,
\dfrac{\partial M}{\partial y} = x + 1
dan
\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2x + 1
Karena \dfrac{\partial M}{\partial y} \neq \dfrac{\partial N}{\partial x}, maka PD ini tidak eksak, tapi kita dapat mengeksakannya dengan mengalikan PD suatu faktor integrasi.
Sekarang, misalkan
P(x) = \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}\right)
= \dfrac{1}{x^2 + x}((x+1)-(2x+1)) = \dfrac{1}{x^2 + x}(-x) = -(x + 1)^{-1} dan akibatnya,
\int P(x)~dx = -\int (x + 1)^{-1} ~dx = -\ln(x+1)
Faktor integrasinya adalah
e^{\int P(x)~dx} = e^{-\ln(x+1)} = e^{\ln(x+1)^{-1}} = (x+1)^{-1}
Kalikan faktor integrasi ini ke PD awal, ditulis
(x+1)^{-1}(xy+2x+y+2)~dx + (x+1)^{-1}(x^2+x)~dy = 0
(x+1)^{-1}(x+1)(y+2)~dx + (x+1)^{-1}x(x+1)~dy = 0
(y+2)~dx + x~dy = 0
Cek keeksakan PD ini.
Misalkan M = y+2 dan N = x, berarti
\dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 dan \dfrac{\partial N}{\partial x} = 1
Karena \dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}, maka PD ini eksak.
Sekarang, misalkan F = C_1 merupakan solusi umum dari PD ini dengan
\dfrac{\partial F}{\partial x} = y + 2 \bigstar
dan
\dfrac{\partial F}{\partial y} = x \bigstar \bigstar
Integrasikan \bigstar secara parsial terhadap x, sehingga diperoleh
F = (y+2)x + \psi(y)
Turunkan F secara parsial terhadap y, sehingga diperoleh
\dfrac{\partial F}{\partial y} = x + \psi'(y)
Bandingkan dengan \bigstar \bigstar, diperoleh \psi'(y) = 0 sehingga \psi(y) = C_2
Jadi, penyelesaian umumnya adalah
(y+2)x + C_2 = C_1 atau disederhanakan menjadi
\boxed{(y+2)x = C}

Jawaban Nomor 5
Periksa keeksakan PD ini dulu.
Misalkan M = x dan N = xy + y - 1. Berarti,
\dfrac{\partial M}{\partial x}= 1 dan \dfrac{\partial N}{\partial y}= x + 1

Karena \dfrac{\partial M}{\partial x} \neq \dfrac{\partial N}{\partial y}, maka PD ini tidak eksak, tapi kita dapat mengeksakannya dengan mengalikan PD suatu faktor integrasi.
Sekarang, misalkan
P(x) = \dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial y} - \dfrac{\partial M}{\partial x}\right)
P(x) = \dfrac{1}{x}((x+1)-1) = 1 dan akibatnya,
\int P(x)~dx = \int 1 ~dx = x
Faktor integrasinya adalah
e^{\int P(x)~dx} = e^{x}
Kalikan faktor integrasi ini ke PD awal, ditulis
xe^x~dy + e^x(xy + y - 1)~dx = 0
Cek keeksakan PD ini.
Misalkan M = xe^x dan N = e^x(xy+y-1), berarti
\dfrac{\partial M}{\partial x} = xe^x + e^x = e^x(x+1)
\dfrac{\partial N}{\partial x} = xe^x + e^x = e^x(x+1)
Karena \dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}, maka PD ini eksak.
Sekarang, misalkan F = C merupakan solusi umum dari PD ini dengan
\dfrac{\partial F}{\partial y} = xe^x \bigstar
dan
\dfrac{\partial F}{\partial x} = e^x(xy+y-1) \bigstar \bigstar
Integrasikan \bigstar secara parsial terhadap y, sehingga diperoleh
F = xye^x + \psi(x)
Turunkan F secara parsial terhadap x, sehingga diperoleh
\dfrac{\partial F}{\partial x} = y(xe^x + e^x)+ \psi'(y) = e^x(xy + y) + \psi'(x)
Bandingkan dengan \bigstar \bigstar, diperoleh \psi'(x) = -e^x sehingga \psi(x) = -e^x
Jadi, penyelesaian umumnya adalah
\boxed{xye^x - e^x = C}

Jawaban Nomor 6
Misalkan M = \cos^2 x - y \cos x dan N = -1 - \sin x, sehingga
\dfrac{\partial M}{\partial y} = -\cos x
\dfrac{\partial N}{\partial x} = -\cos x
Karena \dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}, maka PD ini eksak.
Sekarang, misalkan F = C merupakan solusi umum PD ini, dengan
\dfrac{\partial F}{\partial x} = \cos^2 x - y \cos x \bigstar
\dfrac{\partial F}{\partial y} = -1 - \sin x \bigstar \bigstar
Integrasikan \bigstar secara parsial terhadap x, diperoleh
F = \int^{x} (\cos^2 x - y \cos x)~dx
F = \dfrac{1}{4} \cos 2x + \dfrac{1}{2}x - y \sin x + \psi(y)
Selanjutnya, turunkan F secara parsial terhadap y, diperoleh
\dfrac{\partial F}{\partial y} = -\sin x + \psi'(y)
Bandingkan dengan \bigstar \bigstar, sehingga didapat \psi'(y) = -1, yang berarti \psi(y) = -y. Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah
\boxed{ \dfrac{1}{4} \cos 2x + \dfrac{1}{2}x - y \sin x - y = C}

——–SELESAI——–
Jika ada bagian/penjelasan yang tidak dimengerti, silakan bertanya di kolom komentar dan bila ada kesalahan jawaban, konfirmasikan jawaban yang menurut Anda benar di kolom komentar. Saya sangat mengapresiasi apa yang Anda kritik/sarankan untuk hal tersebut.

Ayo Beri Rating Postingan Ini

9 Balasan untuk “Soal dan Penyelesaian UTS Persamaan Diferensial”

  1. saran mas,
    lebih baik mode “moderasi” nya dimatikan saja.
    karena saya yakin, untuk blog blog seperti ini jarang bgt ada yang nyepam. Di wordpress juga sudah ada fitur utk sharing koment2 yang tidaks sesuai

    Rate

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *