Soal dan Pembahasan – Deret dalam Analisis Real

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai deret yang dipelajari pada perkuliahan Analisis Real. Semoga bermanfaat.
Catatan penting untuk penulisan notasi sigma tanpa batas bawah dan atas:
$$\sum n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n$$

Quote by Arthur Wellesley

Orang bijak belajar ketika mereka bisa. Orang bodoh belajar ketika mereka terpaksa. 

Soal Nomor 1
Dengan menggunakan teknik dekomposisi pecahan parsial (partial fraction decomposition), tunjukkan bahwa:

  1. $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = 1$
  2. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{4}$  
  3. $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a} > 0~\text{jika}~ a > 0$

Pembahasan

Jawaban a)
Tinjau rumus barisannya.

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} & = \dfrac{a}{n+1} + \dfrac{b}{n+2} \\ & = \dfrac{(a + b)n + (2a + b)}{(n+1)(n+2)} \end{aligned}$$Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh $a + b = 0$ dan $2a + b = 1$. Gunakan metode penyelesaian SPLDV sehingga didapat $a = 1$ dan $b =-1$. Jadi, bentuk notasi sigma di atas dapat ditulis menjadi
$$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n+1}- \dfrac{1}{n+2}\right) = \left(\dfrac{1}{1}- \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}\right) + \cdots = 1$$Terbukti bahwa $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = 1$.
Jawaban b)
Tinjau rumus barisannya
,

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} & = \dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n+1} + \dfrac{c}{n+2} \\ & = \dfrac{a(n+1)(n+2)+b(n)(n+2)+c(n)(n+1)}{(n)(n+1)(n+2)} \\ & = \dfrac{(a+b+c)n^2 + (3a+2b+c)n + 2a}{(n)(n+1)(n+2)} \end{aligned}$$Dengan meninjau posisi pembilangnya, diperoleh $a+b+c=0, 3a+2b+c=0$, dan $2a=1$. Selesaikan $a,b,c$ sehingga diperoleh $a = \dfrac{1}{2}, b =-1, c = \dfrac{1}{2}$. Jadi,
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} & = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{\frac{1}{2}}{n}- \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{\frac{1}{2}}{n+2}\right) \\ & = \dfrac{1}{2} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n}- \dfrac{2}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}\right) \\ & = \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \left[\left(\dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n+1}\right) + \left(-\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}\right)\right] \\ & = \dfrac{1}{2}\left(1- \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$(Terbukti)
Jawaban c) Tinjau rumus barisannya.
$\dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{x}{a+n} + \dfrac{y}{a+n+1} \\ =  \dfrac{(x+y)a + (x+y)n + x}{(a+n)(a+n+1)}$
Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh $x + y = 0$ dan $x = 1$. Akibatnya $y =-1$. Berarti, $\dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a+n}- \dfrac{1}{a+n+1}$
Bentuk notasi sigmanya adalah
$$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{1}{a+n}- \dfrac{1}{a+n+1}\right) = \left(\dfrac{1}{a}- \dfrac{1}{a+1}\right) +  \left(\dfrac{1}{a+1}- \dfrac{1}{a+2}\right)+  \left(\dfrac{1}{a+2} -\dfrac{1}{a+3}\right) + \cdots = \dfrac{1}{a}$$dengan syarat $a > 0$. Jadi, terbukti bahwa
$$\boxed{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a} > 0~\text{jika}~ a > 0}$$

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan- Dekomposisi Pecahan Parsial

Soal Nomor 2
Berikan satu contoh deret konvergen $\sum x_n$ dan deret divergen $\sum y_n$ sedemikian sehingga $\sum (x_n + y_n)$ konvergen.

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\sum x_n = \displaystyle \sum \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots$ merupakan deret harmonik yang divergen (pembuktiannya bisa dilihat pada referensi lain).
Ambil $\sum y_n = \sum \dfrac{1}{n^2} = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \cdots$, yang jelas merupakan deret konvergen sebab rumus barisan $\text{U}_n = \dfrac{1}{n^2}$ konvergen ke $0$ untuk $n$ menuju tak hingga. Sekarang,

$\begin{aligned} \displaystyle \sum (x_n + y_n)  & = \sum \left(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right) \\ & = \sum \dfrac{n+1}{n^2} \end{aligned}$$Deret ini konvergen, sebab rumus barisan $u_n = \dfrac{n+1}{n^2}$ konvergen ke $0$ untuk $n$ menuju tak hingga.

[collapse]

Soal Nomor 3
Berikan dua contoh deret divergen $\sum x_n$ dan deret divergen $\sum y_n$ sedemikian sehingga $\sum (x_n + y_n)$ konvergen.

Pembahasan

Ambil $\sum x_n = \sum (-1)^n$ dan $\sum y_n = \sum (-1)^{n+1}$. Kedua deret ini merupakan deret divergen (berosilasi pada bilangan $1$ dan $-1$), tetapi
$\sum (x_n + y_n) = \sum((-1)^n + (-1)^{n+1}) \\ = (-1 + 1) + (1- 1) + (-1 + 1) + \cdots$ konvergen ke $0$.
Contoh lain adalah: ambil $\sum x_n = \sum n$, sedangkan $\sum y_n = \sum (-n)$. Jelas kedua deret ini divergen (tepatnya, divergen tak sejati), tetapi,
$\sum (x_n + y_n) = \sum (n + (-n)) = \sum 0 = 0$ jelas konvergen ke $0$.
Anda bisa mencari contoh lain dengan memanipulasi bentuk seperti ini (memainkan tanda positif dan negatif).

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitung nilai dari $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{9}\right)^n$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa $$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{9}\right)^n= \left(\dfrac{2}{9}\right)^2 +\left(\dfrac{2}{9}\right)^3 +\left(\dfrac{2}{9}\right)^4 +\left(\dfrac{2}{9}\right)^5 + \cdots$$Ekspresi pada ruas kanan dari persamaan di atas adalah deret geometri dengan suku pertama $a = \dfrac{4}{81}$ dan rasio $r = \dfrac{2}{9}$, sehingga dengan menggunakan formula $\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}$, diperoleh
$\text{S} = \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{9}\right)^n = \dfrac{\dfrac{4}{81}}{1- \dfrac{2}{9}} = \dfrac{4}{63}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{9}\right)^n$ adalah $\boxed{\dfrac{4}{63}}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitung nilai dari $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2n}$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2n} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^4 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^6 + \cdots$$Ekspresi pada ruas kanan dari persamaan di atas merupakan deret geometri dengan suku pertama $a = \dfrac{1}{9}$ dan rasio $r = \dfrac{1}{9}$. Dengan menggunakan formula $S_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}$, diperoleh
$\text{S}_{\infty} = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2n} = \dfrac{\dfrac{1}{9}}{1-\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{8}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2n}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{8}}$

[collapse]


Soal Nomor 6
Carilah rumus dari deret $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{2n}$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{2n} = r^2 + r^4 + r^6 + \cdots$ merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasionya sama, yaitu $r^2$. Dengan formula $\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}$, diperoleh rumus deret ini adalah $\text{S}_{\infty} = \dfrac{r^2}{1-r^2}$.

[collapse]

Soal Nomor 7
Misalkan didefinisikan $$\text{S} = 1 + r + \dfrac{1}{2}r^2 + \dfrac{1}{3}r^3 + \dfrac{1}{4}r^4 + \cdots$$a. Ubah $\text{S}$ menjadi bentuk notasi sigma.
b. Kapan $\text{S}$ konvergen?

Pembahasan

Jawaban a) $\text{S} = 1 + \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}r^n$.
Jawaban b) Gunakan teorema uji banding (ratio test), yang redaksinya:
Misalkan $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = L$. Deret akan konvergen apabila $L < 1$ atau divergen apabila $L > 1$.
Sekarang, misalkan $u_n = \dfrac{1}{n}r^n$, sedangkan $u_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}r^{n+1}$, sehingga

$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n+1}r^{n+1}}{\dfrac{1}{n}r^n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{nr}{n+1} \\ & = r \end{aligned}$$Jadi, agar konvergen, maka $L = r < 1$.

[collapse]

Soal Nomor 8
Hitunglah $\dfrac{7}{6} + \dfrac{7}{12} + \dfrac{7}{20} + \cdots + \dfrac{1}{690}$.

Pembahasan

Pertama-tama, kita harus mencari pola deret ini lebih dulu. Hal yang patut dicurigai adalah pembilangnya, yang untuk $3$ suku pertamanya selalu bernilai $7$, tetapi mungkin ada keraguan ketika kita melihat pembilang suku terakhirnya $1$. Untuk itu, ubahlah pembilang pada pecahan terakhir menjadi $7$ mengikuti aturan pecahan senilai.
$\dfrac{7}{6} + \dfrac{7}{12} + \dfrac{7}{20} + \cdots + \dfrac{7}{4830}$
Selanjutnya, tinjau posisi penyebutnya.
Kita akan menemukan pola berikut.
$6 = 2 \times 3$
$12 = 3 \times 4$
$20 = 4 \times 5$
$\vdots~~\vdots~~\vdots$
$4830 = 69 \times 70$
Jadi, deret tersebut dapat ditulis
$7\left(\dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 5} + \cdots + \dfrac{1}{69 \cdot 70}\right)$
Sekarang, kita akan menerapkan prinsip deret teleskopik.
$$\begin{aligned} & 7\left(\left(\dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}\right) +\left( \dfrac{1}{4}- \dfrac15\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{69}- \dfrac{1}{70}\right)\right) \\ & = 7\left(\dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{70}\right) = \dfrac{7}{2}- \dfrac{1}{10} = \dfrac{17}{5} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari deret itu adalah $\boxed{\dfrac{17}{5}}$

[collapse]

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Deret Teleskopik

Soal Nomor 9
Hitunglah $\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{48} + \cdots + \dfrac{1}{10200}$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa,
$8 = 2 \times 4$
$24 = 4 \times 6$
$48 = 6 \times 8$
$\vdots~~\vdots~~\vdots$
$10200 = 100 \times 102$
Jadi, deretnya dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{2 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 6} + \dfrac{1}{6 \cdot 8} + \cdots + \dfrac{1}{100 \cdot 102} \\ & = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{4}\right) + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}- \dfrac{1}{6}\right) + \cdots + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{100}- \dfrac{1}{102}\right) \\ & = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{102}\right) = \dfrac{25}{102} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari deret tersebut adalah $\boxed{\dfrac{25}{102}}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Buktikan bahwa deret harmonik $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ divergen.

Pembahasan

Kita akan membuktikannya dengan kontradiksi. Andaikan $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ konvergen ke bilangan $\text{S}$, sehingga
$$\begin{aligned} \text{S} & = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{2n-1} + \dfrac{1}{2n} + \cdots \\ & = \left(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{2n-1} + \dfrac{1}{2n}\right) + \cdots \\ &> \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{2n}\right) + \cdots \\ & = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{n} + \cdots = \text{S} \end{aligned}$$Berarti, diperoleh $\text{S} > \text{S}$. Tentu saja, ketaksamaan itu kontradiksi (tidak mungkin suatu bilangan lebih besar darinya sendiri). Jadi, pengandaian salah sehingga harus diingkari. Terbukti bahwa deret harmonik divergen.

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *