Soal Latihan dan Pembahasan – Deret (Series) ~ Analisis Real 2


Catatan penting untuk penulisan notasi sigma tanpa batas bawah dan atas:
\sum n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n

Soal Nomor 1
Dengan menggunakan pecahan parsial (partial fractions), tunjukkan bahwa
a) \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = 1
b) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{4}
c) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a} > 0~\text{jika}~ a > 0

Penyelesaian

(Jawaban a) Tinjau rumus barisannya.
\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{a}{n+1} + \dfrac{b}{n+2} = \dfrac{(a + b)n + (2a + b)}{(n+1)(n+2)}
Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh a + b = 0 dan 2a + b = 1. Gunakan metode penyelesaian SPLDV sehingga didapat a = 1 dan b = -1. Jadi, bentuk notasi sigma di atas dapat ditulis menjadi
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}\right)
= \left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \cdots = 1
Terbukti bahwa \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = 1
(Jawaban b) Tinjau rumus barisannya,
\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n+1} + \dfrac{c}{n+2} \\ = \dfrac{a(n+1)(n+2)+b(n)(n+2)+c(n)(n+1)}{(n)(n+1)(n+2)} \\ = \dfrac{(a+b+c)n^2 + (3a+2b+c)n + 2a}{(n)(n+1)(n+2)}
Dengan meninjau posisi pembilangnya, diperoleh a+b+c=0, 3a+2b+c=0, dan 2a=1. Selesaikan a,b,c sehingga diperoleh a = \dfrac{1}{2}, b = -1, c = \dfrac{1}{2}. Jadi,
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{n} - \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{\dfrac{1}{2}}{n+2}\right)\\ = \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{2}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}\right) \\ = \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \left[\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right) + \left(-\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}\right)\right] \\ = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} (terbukti)
(Jawaban c) Tinjau rumus barisannya.
\dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{x}{a+n} + \dfrac{y}{a+n+1} \\ =  \dfrac{(x+y)a + (x+y)n + x}{(a+n)(a+n+1)}
Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh x + y = 0 dan x = 1. Akibatnya y = -1. Berarti, \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a+n} - \dfrac{1}{a+n+1}
Bentuk notasi sigmanya adalah
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{1}{a+n} - \dfrac{1}{a+n+1}\right) \\ = \left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a+1}\right) +  \left(\dfrac{1}{a+1} - \dfrac{1}{a+2}\right)+  \left(\dfrac{1}{a+2} - \dfrac{1}{a+3}\right) + \cdots = \dfrac{1}{a}
dengan syarat a > 0. Jadi, terbukti bahwa
\boxed{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a} > 0~\text{jika}~ a > 0}

[collapse]


Soal Nomor 2
Berikan satu contoh deret konvergen \sum x_n dan deret divergen \sum y_n sedemikian sehingga \sum (x_n + y_n) konvergen.

Penyelesaian

Ambil \sum x_n = \sum \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots merupakan deret harmonik yang divergen (pembuktiannya bisa dilihat pada referensi lain). Ambil \sum y_n = \sum \dfrac{1}{n^2} = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \cdots, yang jelas merupakan deret konvergen sebab rumus barisan u_n = \dfrac{1}{n^2} konvergen ke-0 untuk n menuju tak hingga. Sekarang,
\sum (x_n + y_n)  = \sum \left(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right) = \sum \dfrac{n+1}{n^2}
Deret ini konvergen, sebab rumus barisan u_n = \dfrac{n+1}{n^2} konvergen ke-0 untuk n menuju tak hingga.

[collapse]

Soal Nomor 3
Berikan dua contoh deret divergen \sum x_n dan deret divergen \sum y_n sedemikian sehingga \sum (x_n + y_n) konvergen.

Penyelesaian

Ambil \sum x_n = \sum (-1)^n dan \sum y_n = \sum (-1)^{n+1}. Kedua deret ini merupakan deret divergen (berosilasi pada angka 1 dan -1). Tetapi,
\sum (x_n + y_n) = \sum((-1)^n + (-1)^{n+1}) \\ = (-1 + 1) + (1 - 1) + (-1 + 1) + \cdots konvergen ke-0.
Contoh lain adalah: ambil \sum x_n = \sum n, sedangkan \sum y_n = \sum (-n). Jelas kedua deret ini divergen (divergen tak sejati). Tetapi,
\sum (x_n + y_n) = \sum (n + (-n)) = \sum 0 = 0 jelas konvergen ke-0.
Anda bisa mencari contoh lain dengan memanipulasi bentuk seperti ini (memainkan tanda plus dan minus).

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitung nilai dari \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{9}\right)^n

Penyelesaian

\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{9}\right)^n= \left(\dfrac{2}{9}\right)^2 +\left(\dfrac{2}{9}\right)^3 +\left(\dfrac{2}{9}\right)^4 +\left(\dfrac{2}{9}\right)^5 + \cdots
Ekspresi pada ruas kanan dari persamaan di atas adalah deret geometri dengan suku pertama a = \dfrac{4}{81} dan rasio r = \dfrac{2}{9}, sehingga dengan menggunakan formula S_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}, diperoleh
S = \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{9}\right)^n = \dfrac{\dfrac{4}{81}}{1 - \dfrac{2}{9}} = \dfrac{4}{63}
Jadi, nilai dari \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{9}\right)^n adalah \boxed{\dfrac{4}{63}}

[collapse]


Soal Nomor 5
Hitung nilai dari \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2n}

Penyelesaian

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2n} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^4 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^6 + \cdots
Ekspresi pada ruas kanan dari persamaan di atas merupakan deret geometri dengan suku pertama a = \dfrac{1}{9} dan rasio r = \dfrac{1}{9}. Dengan menggunakan formula S_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}, diperoleh
S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2n} = \dfrac{\dfrac{1}{9}}{1-\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{8}
Jadi, nilai dari \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2n} adalah \boxed{\dfrac{1}{8}}

[collapse]

Soal Nomor 6
Carilah rumus dari deret \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{2n}

Penyelesaian

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{2n} = r^2 + r^4 + r^6 + \cdots merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasionya sama, yaitu r^2. Dengan formula S_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}, diperoleh rumus deret ini adalah
S_{\infty} = \dfrac{r^2}{1-r^2}

[collapse]

Soal Nomor 7
Misalkan didefinisikan S = 1 + r + \dfrac{1}{2}r^2 + \dfrac{1}{3}r^3 + \dfrac{1}{4}r^4 + \cdots
a) Ubah S menjadi bentuk notasi sigma.
b) Kapan S konvergen?

Penyelesaian

(Jawaban a) S = 1 + \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}r^n
(Jawaban b) Dengan menggunakan uji banding (ratio test), yang redaksinya:
“misalkan \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = L. Deret akan konvergen apabila L < 1 atau divergen apabila L > 1“. Sekarang, misalkan u_n = \dfrac{1}{n}r^n, sedangkan u_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}r^{n+1}, sehingga
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}  = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n+1}r^{n+1}}{\dfrac{1}{n}r^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{nr}{n+1} = r. Jadi, agar konvergen, maka L = r < 1.

[collapse]

Soal Nomor 8
Hitunglah
\dfrac{7}{6} + \dfrac{7}{12} + \dfrac{7}{20} + \cdots + \dfrac{1}{690}

Penyelesaian

Pertama-tama, kita harus mencari pola deret ini lebih dulu. Hal yang patut dicurigai adalah pembilangnya, yang untuk 3 suku pertamanya selalu bernilai 7, tetapi mungkin ada keraguan ketika kita melihat pembilang suku terakhirnya 1. Bagaimana kalau kita ubah pembilangnya juga menjadi 7 seperti berikut.
\dfrac{7}{6} + \dfrac{7}{12} + \dfrac{7}{20} + \cdots + \dfrac{7}{4830}
Selanjutnya, tinjau posisi penyebutnya.
Kita akan menemukan pola berikut.
6 = 2 \times 3
12 = 3 \times 4
20 = 4 \times 5
\vdots~~\vdots~~\vdots
4830 = 69 \times 70
Jadi, deret tersebut dapat ditulis
7\left(\dfrac{1}{2.3} + \dfrac{1}{3.4} + \dfrac{1}{4.5} + \cdots + \dfrac{1}{69.70}\right)
Sekarang, kita akan menerapkan prinsip deret teleskopik.
7\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \cdots + \dfrac{1}{69} - \dfrac{1}{70}\right)
= 7\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{70}\right)
= \dfrac{7}{2} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{17}{5}
Jadi, hasil dari deret itu adalah \boxed{\dfrac{17}{5}}

[collapse]


Soal Nomor 9
Hitunglah
\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{48} + \cdots + \dfrac{1}{10200}

Penyelesaian

Kita harus mencari pola penyebutnya. Cobalah Anda mencarinya terlebih dahulu dengan Try and Error (memang untuk menemukan polanya, kita harus menguras banyak waktu dan pikiran ^_^)
——–
Perhatikan bahwa,
8 = 2 \times 4
24 = 4 \times 6
48 = 6 \times 8
\vdots~~\vdots~~\vdots
10200 = 100 \times 102
Jadi, deretnya dapat ditulis
\dfrac{1}{2.4} + \dfrac{1}{4.6} + \dfrac{1}{6.8} + \cdots + \dfrac{1}{100.102}
= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right) + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}\right) + \cdots + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{100} - \dfrac{1}{102}\right)
= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{102}\right) = \dfrac{25}{102}
Jadi, hasil dari deret tersebut adalah \boxed{\dfrac{25}{102}}

[collapse]

Soal Nomor 10
Buktikan bahwa deret harmonik \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} divergen.

Penyelesaian

Kita akan membuktikannya dengan kontradiksi. Andaikan \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} konvergen ke bilangan S, sehingga.
S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{2n-1} + \dfrac{1}{2n} + \cdots
= \left(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{2n-1} + \dfrac{1}{2n}\right) + \cdots
> \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{2n}\right) + \cdots
= \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{n} + \cdots = S
Berarti, diperoleh S > S. Tentu saja, ketaksamaan itu kontradiksi (tidak mungkin suatu bilangan lebih besar darinya sendiri). Jadi, pengandaian salah sehingga harus diingkari. Terbukti bahwa deret harmonik divergen.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

4 Balasan untuk “Soal Latihan dan Pembahasan – Deret (Series) ~ Analisis Real 2”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *