Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Himpunan (Soal Non-cerita)

Berikut ini adalah soal standar materi himpunan tingkat SMP/Sederajat.

Quote by Jack Ma

Jika ada sembilan kelinci di tanah dan kamu ingin menangkap satu, fokus pada satu saja. Sama halnya dalam bisnis, fokuslah satu per satu.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Tingkat SMP/Sederajat)

Soal Nomor 1
Jika diketahui himpunan $D = \{\text{faktor persekutuan dari 15 dan 45}\}$, maka $n(D) = \cdots \cdot$

Pembahasan

Faktor persekutuan dari $15$ dan $45$ adalah bilangan asli yang dapat membagi habis $15$ dan $45$, yaitu $1,3,5$, dan $15$. Jadi, himpunan $D$ dapat ditulis dalam bentuk tabulasi (mendaftarkan setiap anggotanya), yaitu
$D = \{1,3,5,15\}$
Jadi, banyaknya anggota himpunan $D$ adalah $\boxed{n(D) = 4}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Banyaknya semua himpunan bagian dari $K$ jika diketahui $K = \{p, q, r, s, t, u\}$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Gunakan rumus $2^n$ untuk menyatakan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan, di mana $n$ menyatakan banyaknya anggota himpunan. Diketahui $n(K) = 6$, sehingga banyak himpunan bagiannya adalah
$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui himpunan $B = \{x~|~3 < x < 8, x~\text{bilangan}~\text{asli}\}$ dan $C = \{x~|~5 \leq x \leq 10,x~\text{bilangan}\text{asli}\}$. Anggota dari $C -B$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Ingat bahwa bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk mencacah, yaitu $1,2,3,\cdots$.
Jika ditabulasi (didaftar anggota himpunannya), himpunan $B$ dan $C$ dapat ditulis menjadi
$B = \{4,5,6,7\}$
dan
$C = \{5,6,7,8,9,10\}$
sehingga $C – B$ (selisih dua himpunan, yang diartikan sebagai himpunan yang anggotanya ada di $C$ tetapi tidak ada di $B$) dapat dinyatakan dalam bentuk tabulasi sebagai berikut.
$\boxed{C -B = \{8,9,10\}} $

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $S = \{1,2,3,\cdots, 10\} $ adalah himpunan semesta. Jika himpunan $A = \{1,2,3,4\}$ dan $B = \{2,3,5,7\}$, maka $(A \cap B)^c = \cdots \cdot$

Pembahasan

$A \cap B$ (baca: A iris B) adalah himpunan yang berisikan anggota $A$ maupun $B$. Perhatikan bahwa pada $2$ dan $3$ adalah anggota himpunan $A$ dan $B$, berarti $A \cap B = \{2,3\}$
Ini berarti,
$(A \cap B)^c = \{1,4,5,6,7,8,9,10\}$
Catatan:
$(A \cap B)^c$ dibaca: komplemen dari $A$ iris $B$ ATAU $A$ irisan $B$ komplemen. Komplemen suatu himpunan adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan semesta tetapi bukan anggota himpunan itu.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui dua himpunan $A$ dan $B$. Jika $A \cap B = A$, $n(A) = 5$, dan $n(B-A) = 6$, maka $n(B) = \cdots \cdot$
A. $3$                   C. $7$                 E. $11$
B. $5$                   D. $9$

Pembahasan

Karena $A \cap B = A$, maka $A$ adalah himpunan bagian dari $B$, ditulis $A \subset B$, seperti tampak pada diagram Venn di bawah.
Diagram Venn
Oleh karena itu,
$\begin{aligned} n(B) & = n(B-A) + n(A) \\ & = 6 + 5 = 11 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{n(B) = 11}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Cerita) Tingkat Lanjut

Soal Nomor 6
Diketahui:
$\begin{aligned} S & = \{x~|~x \leq 12, x~\text{bilangan}~\text{asli}\} \\ P & = \{x~|~1 \leq x < 12, x~\text{bilangan}~\text{prima}\} \\ Q & = \{x~|~1 \leq x \leq 12, x~\text{bilangan}~\text{ganjil}\} \end{aligned}$
Gambarkan diagram Venn.

Pembahasan

Tabulasikan setiap anggota ketiga himpunan tersebut.
$\begin{aligned} S & = \{1, 2, 3, 4, \cdots, 12\} \\ P & = \{2, 3, 5, 7, 11\} \\ Q & = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\} \end{aligned}$
Diketahui bahwa:
$P \cap Q = \{3, 5, 7, 11\}$
Ini berarti, $P$ dan $Q$ harus beririsan pada diagram Venn.



[collapse]

Soal Nomor 7
Berilah contoh 2 himpunan yang bila diiriskan hasilnya adalah himpunan kosong.

Pembahasan

(Contoh 1)
Misalkan

$A = \{\text{bilangan}~\text{genap}\}$
dan
$B = \{\text{bilangan}~\text{ganjil} \} $
sehingga $A \cap B = \emptyset$.
Dalam hal ini, tidak ada bilangan yang genap sekaligus ganjil.
(Contoh 2)

Misalkan 
$A = \{\text{huruf vokal pada abjad Latin}\}$
dan
$B = \{\text{huruf konsonan pada abjad Latin}\}$
sehingga $A \cap B = \emptyset$.
Dalam hal ini, tidak ada huruf yang tergolong vokal sekaligus konsonan.
(Contoh 3)

Misalkan 
$A = \{\text{bilangan}~\text{bulat negatif}\}$
dan
$B = \{\text{bilangan}~\text{bulat positif}\}$
sehingga $A \cap B = \emptyset$.
Dalam hal ini, tidak ada bilangan bulat yang negatif sekaligus positif.
(Coba kalian memberi contoh lain selain ini. Silakan tulis di kolom komentar)

[collapse]

Soal Nomor 8
Berilah contoh $2$ himpunan tak hingga yang bila diiriskan hasilnya himpunan berhingga.

Pembahasan

(Contoh 1)
Misalkan

$A = \{x~|~x < 2, x \in \mathbb{R}\}$
dan
$B = \{x~|~x \in \mathbb{N}\}$
sehingga
$A \cap B = \{1\}$
yang merupakan himpunan berhingga.
(Contoh 2)

Dua himpunan berhingga yang bila diiriskan hasilnya himpunan berhingga adalah himpunan bilangan prima dan himpunan bilangan genap, yang bila diiriskan menghasilkan himpunan berhingga $\{2\}$.
(Contoh 3)

Misalkan
$A = \{x~|~x = 0~\text{atau}~x \in \mathbb{Z}^{-}\}$
dan
$B = \{\text{bilangan}~\text{cacah}\}$
sehingga
$A \cap B = \{0\}$
yang merupakan himpunan berhingga.
(Coba kalian memberi contoh lain selain ini. Silakan tulis di kolom komentar)
Catatan:
$\mathbb{N}$ merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bilangan asli $\{1,2,3,\cdots\}$, sedangkan $\mathbb{R}$ merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bilangan real (gabungan dari bilangan rasional dan irasional).

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui himpunan $A = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}$. Tentukan banyaknya himpunan bagian $A$ yang elemennya 3.

Pembahasan

(Alternatif 1: Segitiga Pascal)
Perhatikan formasi bilangan Segitiga Pascal berikut.

Karena $n(A) = 8$, maka tinjau baris ke-9 Segitiga Pascal.
Juga karena kita akan mencari himpunan bagian $A$ yang elemen/anggotanya $3$, maka carilah bilangan keempat dari barisan bilangan di baris ke-9 itu. Bilangan itu adalah $56$.
(Alternatif 2: Aturan Kombinasi)
Aturan Kombinasi lebih praktis untuk digunakan dalam menghitung banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan.
Ada $8$ elemen $A$ dan akan dicari himpunan bagian dengan $3$ elemen, maka banyak himpunan bagiannya adalah
$C_3^8 = \dfrac{8!} {5!3!} = \dfrac{8\times 7 \times 6 \times 5!} {5! \times 6} = 56$
Jadi, banyak himpunan bagian dari $A$ yang memiliki $3$ elemen adalah $56$.

[collapse]

Berikut ini adalah soal-soal lanjutan (advanced) mengenai himpunan.

Soal Nomor 1
Misalkan $|X|$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $X$. Jika $|A \cap B| = 10$ dan $|A| = 7$, maka banyaknya kemungkinan untuk nilai $|B|$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                  C. $7$                 E. $9$
B. $6$                  D. $8$

Pembahasan

Dari $|A \cup B| = |A| + |B|-|A \cap B|$, diperoleh $10 = 7 + |B|-|A \cap B|$, atau $\color{blue}{|A \cap B| = |B|-3}$. Perhatikan bahwa nilai paling kecil untuk $|A \cap B|$ adalah $0$ (saat keduanya tidak beririsan) dan nilai paling besar untuk $|A \cap B|$ adalah $7$ (saat $A$ menjadi himpunan bagian dari $B$).
Dengan demikian, kemungkinan untuk nilai $|B|$ adalah $3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$, atau $10$.
Totalnya ada $\boxed{8}$ kemungkinan.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nyatakanlah himpunan berikut dengan menggunakan syarat keanggotaan atau notasi pembentuk himpunan.
a) $A = \{1, 4, 7, 10, 13\}$
b) $B = \{4, 5, 6, 7, 8, 10\}$

Pembahasan

Jawaban a)
Perhatikan bahwa anggota himpunan $A$ dapat dianggap sebagai suatu barisan bilangan yang suku awalnya $1$ dan bedanya $3$. Oleh karena itu, dengan menggunakan rumus dasar suku ke-$n$ barisan aritmetika, diperoleh $\text{U}_n = 1 + (n -1) \times 3 = 3n -2$. Jadi, jika ditulis dalam notasi pembentuk himpunan,
$A = \{x |~x = 3n -2, 1 \leq n \leq 5, n \in \mathbb{N}\}$

Jawaban b)
Perhatikan bahwa anggota himpunan B merupakan bilangan-bilangan dari $4$ sampai $10$, kecuali $9$. Secara matematis dan dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis
$B = \{x |~4 \leq x \leq 10, x \neq 9, x \in \mathbb{Z} \}$
atau
$B = \{x |~3 < x < 11, x \neq 9, x \in \mathbb{N} \}$
Catatan: Penulisan notasi pembentuk himpunan bervariasi, sehingga Anda dapat menuliskannya secara berbeda, tetapi memiliki hasil tabulasi yang sama.

[collapse]

Soal Nomor 3
Misalkan $A = \{a, b, c\}$. Nyatakan apakah pernyataan berikut ini benar atau salah. Berikan argumentasinya.
a) $b \in A$
b) $b \subseteq A$
c) $\{b\} \in A$
d) $\{b\} \subseteq A$

Pembahasan

Pernyataan (a) benar karena memang $b$ merupakan anggota himpunan $A$, tetapi pernyataan (b) salah karena $b$ merupakan anggota suatu himpunan, bukan himpunan. Dalam hal ini, ingat baik-baik bahwa simbol $\subseteq$ merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bagian. $b \subseteq A$ dibaca “$b$ himpunan bagian dari $A$”, padahal kita tahu bahwa $b$ bukan himpunan. Pernyataan (c) salah. Analog dengan pernyataan (b) bahwa $\{b\}$ adalah suatu himpunan, bukan anggota himpunan, sedangkan pernyataan (d) benar karena memang himpunan yang beranggotakan $b$ itu merupakan himpunan bagian dari $A$.

[collapse]

Soal Nomor 4
Dari himpunan berikut, manakah yang termasuk himpunan kosong (empty set)?
$P = \{p~|~p^2 + 1 = 0, p \in \mathbb{N}\}$
$Q = \{q~|~\text{q huruf sebelum a pada abjad Latin}\}$
$R = \{r~|~13 < r < 16, r \in \text{bilangan}~\text{prima}\}$
$S = \{s~|~s < 1, s \in \text{bilangan}~\text{cacah}\}$

Pembahasan

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
Himpunan $P$ merupakan himpunan kosong karena tidak ada satupun bilangan asli yang memenuhi persamaan $p^2 + 1 = 0$. Himpunan $Q$ juga himpunan kosong, karena menurut abjad Latin, huruf a merupakan huruf pertama dan tidak ada huruf sebelum itu. Himpunan $R$ juga himpunan kosong, karena $14$ dan $15$ bukan prima. Himpunan $S$ bukan himpunan kosong karena memiliki $1$ anggota, yaitu $0$ ($0$ adalah bilangan cacah yang kurang dari $1$).

[collapse]

Soal Nomor 5
Tuliskan kembali pernyataan berikut dengan menggunakan notasi himpunan.
a) $a$ bukan elemen $A$
b) $t$ elemen $S$
c) $A$ mengandung $B$
d) $P$ tidak terkandung dalam $Q$

Pembahasan

a) $a \notin A$
b) $t \in S$
c) $B \subseteq A$
d) $P \nsubseteq Q$
Catatan: Hati-hati dalam memahami kata terkandung dan mengandung dalam kasus ini. Kata “mengandung” berarti “meliputi, menguasai, memiliki”. Terkandung/dikandung merupakan kebalikannya (bentuk pasif).

[collapse]

Soal Nomor 6
Isilah dengan $\in, \notin, \subseteq$ sehingga diperoleh pernyataan yang benar.
a) $\{0\} \cdots \cdots \{0, 1\}$
b) $ \emptyset \cdots \cdots \{\emptyset\}$
c) $\{3, 4\} \cdots \cdots \{3, 4, 5\}$
d) $3 \cdots \cdots \{3, 4\}$

Pembahasan

a) $\{0\} \subseteq \{0, 1\}$
b) $ \emptyset \in \{\emptyset\}$
c) $\{3, 4\} \subseteq \{3, 4, 5\}$
d) $3 \in \{3, 4\}$
Catatan: Bedakan anggota himpunan dengan himpunan. Jika ditulis dalam kurung kurawal, maka itu berarti ekspresi tersebut adalah suatu himpunan.

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $A = \{4\}$ dan $B = \{b~|~b^2 -16 = 0, b > 0\}$, apakah dapat dikatakan bahwa $A = B$?

Pembahasan


Menurut definisi kesamaan dua himpunan, $A$ dan $B$ disebut sama ($A = B$) jika dan hanya jika setiap anggota dari $A$ menjadi anggota dari $B$, begitu juga sebaliknya. Dengan kata lain, anggota kedua himpunan itu sama. Dalam kasus ini, $A = \{4\}$, sedangkan jika kita meninjau syarat keanggotaan $B$, yaitu $b^2 -16 = 0 \Leftrightarrow (b -4)(b+4) = 0$, berarti nilai $b = 4$ atau $b = -4$ yang memenuhi, maka diambil $b = 4$ karena memenuhi syarat yang lain, yakni $b > 0$. Ini berarti, $B = \{4\}$. Karena memiliki anggota yang sama, maka dapat dikatakan bahwa $A = B$.

[collapse]

Soal Nomor 8
Misalkan $P = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ Pernyataan manakah yang tidak benar dan tuliskan alasannya.
a) $\{1, 2\} \subseteq P$
b) $\{3, 5\} \in P$
c) $\{\{3, 4\}\} \subseteq P$

Pembahasan

Pernyataan (a) benar karena salah satu himpunan bagian dari $P$ adalah $\{1, 2\}$. Pernyataan (b) salah karena $\{3, 5\}$ bukan anggota dari $P$. Perhatikan bahwa ada anggota $P$ yang juga suatu himpunan, yaitu $\{3, 4\}$. Jika pernyataan itu diganti menjadi $\{3, 4\} \in P$, maka pernyataan itu benar. Pernyataan (c) benar. $\{\{3, 4\}\}$ merupakan himpunan yang berisikan himpunan lain yang merupakan anggota himpunan induknya. Jelas kita tidak boleh menggunakan simbol $\in$. $\{\{3, 4\}\}$ merupakan himpunan bagian dari $P$, sehingga pernyataan ini benar.

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $S = \{1, 2, 3, \cdots, 10\}$, $A = \{2, 4, 6, 8\}$, dan $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, maka tentukan:
a) $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
b) $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

Pembahasan

Hukum de Morgan memberlakukan pernyataan (a) dan (b). Perhatikan pernyataan (a) bahwa $A \cup B = \{1, 2, 3, \cdots, 9\}$ sehingga $(A \cup B)^c = \{10\}$. Sama halnya kita menggunakan ekspresi pada ruas kanan, hasilnya akan sama. Sedangkan untuk pernyataan (b), $A \cap B = \emptyset$, sehingga $(A \cap B)^c = \{1, 2, 3, \cdots, 10\} = S$.

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui $A = \{x~| -3 \leq x < 1\}$ dan $B = \{x~| -1 \leq x \leq 2\}$. Tentukanlah $A-B$.

Pembahasan

Anda dapat menggunakan garis bilangan untuk menyelesaikan ini.
$A -B = \{x~| -3 \leq x < -1 \}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika $A = \{a, b\}, B = \{c, d, e, f\}$, dan $C = \{c, d, g\}$, maka tunjukkan bahwa:
a) $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
b) $A \times (B -C) = (A \times B) -(A \times C)$

Pembahasan

Jawaban a)
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kiri,
$A \times (B \cap C) = \{a, b\} \times \{c, d\}$
$ = \{ac, ad, bc, bd\}$
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kanan,
$$\begin{aligned} & (A \times B) \cap (A \times C) \\ & = \{ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf\} \cap \{ac, ad, ag, bc, bd, bg\} \\ & = \{ac, ad, bc, bd\} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
Jawaban b)

Jika ditinjau ekspresi pada ruas kiri,
$$A \times (B -C) = \{a, b\} \times \{e, f\} = \{ae, af, be, bf\}$$Jika ditinjau ekspresi pada ruas kanan,
$$\begin{aligned}& (A \times B) – (A \times C) \\ &  = \{ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf\} -\{ac, ad, ag, bc, bd, bg\} \\ & = \{ae, af, be, bf\} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $A \times (B -C) = (A \times B) -(A \times C)$

[collapse]

Soal Nomor 12
Misalkan $A_k = \{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\}$, $k =1,2,3,\cdots$
Tentukan $\displaystyle \bigcup_{k = 1}^{\infty} A_k$.

Pembahasan

Ingatlah bahwa
$\displaystyle \boxed{\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k = A_1 \cup A_2 \cup \cdots}$
Untuk $k = 1$, diperoleh
$A_1 = \{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\}$
Untuk $k = 2$, diperoleh
$A_2 = \{x: \dfrac{1}{3} \leq x \leq 1\}$
Untuk $k = 3$, diperoleh
$A_3 = \{x: \dfrac{1}{4} \leq x \leq 1\}$
Selanjutnya, untuk $k \to \infty$,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{k \to \infty} A_k & = \lim_{k \to \infty} \left\{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\right\} \\ & = \{x: 0 \leq x \leq 1\} \end{aligned}$
Jadi,
$\displaystyle \boxed{\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k = \{x: 0 \leq x \leq 1\}}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Misalkan $A_k = \{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\}$, $k =1,2,3,\cdots$
Tentukan $\displaystyle \bigcap_{k = 1}^{\infty} A_k$.

Pembahasan

Ingatlah bahwa
$\displaystyle \boxed{\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k = A_1 \cap A_2 \cap \cdots}$
Untuk $k = 1$, diperoleh
$A_1 = \{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\}$
Untuk $k = 2$, diperoleh
$A_2 = \{x: \dfrac{1}{3} \leq x \leq 1\}$
Untuk $k = 3$, diperoleh
$A_3 = \{x: \dfrac{1}{4} \leq x \leq 1\}$
Selanjutnya, untuk $k \to \infty$,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{k \to \infty} A_k & = \lim_{k \to \infty} \left\{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\right\} \\ & = \{x: 0 \leq x \leq 1\} \end{aligned}$
Jadi,
$\displaystyle \boxed{\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k = \left\{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\right\}}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Misalkan $A_1 = (0,1)$, $A_2 = \left(0,\dfrac{1}{2}\right)$, $A_3 = \left(0,\dfrac{1}{3}\right)$, $\cdots, A_{10} = \left(0,\dfrac{1}{10}\right)$
dengan $(a, b) = \{x: a < x < b\}$ yang menggambarkan interval terbuka antara $a$ dan $b$. Tentukan $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{10} A_k$ dan $\displaystyle \bigcap_{k=1}^{10} A_k$.

Pembahasan

Gabungan dari himpunan-himpunan tersebut dinyatakan sebagai
$\begin{aligned} \displaystyle \bigcup_{k=1}^{10} A_k & = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{10} \\ & = (0,1) \cup \left(0,\dfrac{1}{2}\right) \cup \cdots \cup \left(0,\dfrac{1}{10}\right) \\ & = \left(0,1\right) \end{aligned}$
Sedangkan irisan dari himpunan-himpunan tersebut dinyatakan sebagai
$\begin{aligned} \displaystyle \bigcap_{k=1}^{10} A_k & = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{10} \\ & = (0,1) \cap \left(0,\dfrac{1}{2}\right) \cap \cdots \cap \left(0,\dfrac{1}{10}\right) \\ & = \left(0, \dfrac{1}{10}\right) \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Tentukan:
a) $\displaystyle \bigcup_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n}, 1\right)$
b) $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0, \dfrac{1}{n} \right)$
c) $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,1 + \dfrac{1}{n}\right)$

Pembahasan

Jawaban a)
Untuk $n = 2$, diperoleh $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$
Untuk $n = 3$, diperoleh
$\left(\dfrac{1}{3}, 1\right)$
dan seterusnya sampai untuk $n \to \infty$, diperoleh $(0, 1)$
Oleh karena itu, gabungan dari himpunan-himpunan interval tersebut adalah
$\boxed{\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n} , 1\right) = (0,1)}$
Jawaban b)
Untuk $n = 1$, diperoleh $\left(0, 1\right)$
Untuk $n = 2$, diperoleh
$\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$
dan seterusnya sampai untuk $n \to \infty$, diperoleh $(0,0) = \emptyset$, karena tidak ada bilangan yang letaknya di antara satu bilangan yang sama.
Oleh karena itu, irisan dari himpunan-himpunan interval tersebut adalah
$\boxed{\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,\dfrac{1}{n}\right) = \emptyset}$
Jawaban c)
Untuk $n = 1$, diperoleh $(0,2)$
Untuk $n = 2$, diperoleh
$\left(0, \dfrac{3}{2}\right)$
dan seterusnya sampai untuk $n \to \infty$, diperoleh $(0, 1)$
Oleh karena itu, irisan dari himpunan-himpunan interval tersebut adalah
$\boxed{\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,1+\dfrac{1}{n}\right) = (0,1)}$

[collapse]

Soal Nomor 16
Buktikan kebenaran Hukum de Morgan berikut.
a) $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
b) $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

Pembahasan

Jawaban a)
Berdasarkan prinsip kesamaan, $A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ berlaku jika dan hanya jika $(A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c$ dan $A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$.
(i) Akan dibuktikan bahwa $A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$. Ambil sembarang $x \in (A \cup B)^c$, berarti $x \in S$ dan $x \notin (A \cup B)$, di mana $S$ adalah semesta himpunan. Perhatikan bahwa $x \notin (A \cup B)$ berarti $x \notin A$ dan $x \notin B$. Jika dituliskan lebih rinci, dapat dinyatakan ($x \in S$ dan $x \notin A$) dan ($x \in S$ dan $x \notin B$). Akibatnya,
$x \in A^c, x \in B^c \equiv x \in A^c \cap B^c$
Karenanya didapat
$x \in A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$
ii) Akan dibuktikan bahwa $(A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c$. Ambil sembarang $x \in A^c \cap B^c$, berarti $x \in S, x \notin A$ dan $x \in S, x \notin B$. Dapat pula dinyatakan
$x \in S~\text{dan}~(x \notin A ~\text{dan}~x \notin B) \equiv$ $x \in S~\text{dan}~x \notin A \cup B$
Akibatnya, $x \in (A \cup B)^c$. Jadi, $(A \cup B)^c \subseteq (A \cup B)^c$.
Berdasarkan (i) dan (ii), terbukti bahwa $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
(Jawaban b)
Analog dengan jawaban a

[collapse]

Soal Nomor 17
Diberikan himpunan semesta $U = \{x: 0 \leq x \leq 2\}$. Jika $A = \left\{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1 \right\}$ dan $B = \left\{x: \dfrac{1}{4} \leq x \leq \dfrac{3}{2}\right\}$, tentukan anggota himpunan
a) $(A \cup B)^c$
b) $A \cup B^c$
c) $(A \cap B)^c$
d) $A^c \cap B$

Pembahasan

(Jawaban a)
Perhatikan sketsa berikut.


Daerah yang tak diarsir menyatakan anggota $A \cup B$, sehingga daerah lainnya, yaitu daerah yang diarsir warna biru menyatakan anggota
$(A \cup B)^c = \left\{x: x < \dfrac{1}{4}~\text{atau}~x > \dfrac{3}{2}\right\}$
(Jawaban b)
 
Daerah yang diarsir biru dan hijau berturut-turut menyatakan anggota $A$ dan $B^c$, sehingga gabungan keduanya menyatakan anggota
$$A \cup B^c = \left\{x < \dfrac{1}{4}~\text{atau}~\dfrac{1}{2} \leq x \leq 1~\text{atau}~x > \dfrac{3}{2} \right\}$$(Jawaban c)
 
Daerah yang diarsir warna jingga menyatakan anggota $A = A \cap B$, sehingga daerah lainnya menyatakan anggota
$(A \cap B)^c = \left\{x: x < \dfrac{1}{2}~\text{atau}~x > 1 \right\}$
(Jawaban d)

Daerah yang diarsir warna hijau dan kuning merupakan daerah yang menyatakan anggota $A^c$, sedangkan daerah warna biru menyatakan anggota $A$. Irisan $A^c$ dengan $B$ adalah daerah warna kuning,

$$A^c \cap B = \left\{x: \dfrac{1}{4} \leq x < \dfrac{1}{2}~\text{atau}~1 < x \leq \dfrac{3}{2}\right\}$$ 

[collapse]

Soal Nomor 18 (Soal OSN SMP Tingkat Provinsi Tahun 2018)
Diberikan himpunan $A = \{1,2,\cdots, 25\}$. Banyak himpunan bagian berunsur dua yang hasil kali unsur-unsurnya kuadrat sempurna adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Hasil kali dua bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan kuadrat sempurna (contoh: $4 \times 9 = 36 = 9^2$). Bilangan kuadrat sempurna yang merupakan unsur/anggota dari $A$ adalah $1,4,9,16,25$ (ada $5$).
Karena himpunan yang anggotanya dibolak-balik urutannya dianggap sama dan himpunan yang diinginkan memiliki dua unsur, maka banyaknya himpunan bagian yang dimaksud adalah (gunakan aturan kombinasi)
$C_2^5 = \dfrac{5!} {(5-2)!2!} = 10$
Selain itu, perkalian suatu bilangan dengan bilangan kubiknya juga merupakan bilangan kuadrat sempurna. Dalam hal ini, yaitu $\{2,8\} (2 \times 8 = 16 = 4^2)$
Jadi, ada $11$ himpunan bagian dari $A$ yang berunsur dua dan bila dikalikan kedua unsurnya itu menghasilkan bilangan kuadrat sempurna.

[collapse]

Soal Nomor 19
Tuliskan himpunan “bilangan ganjil positif yang habis dibagi 3 dan kurang dari 30” dalam notasi pembentuk himpunan.

Pembahasan

Misalkan nama himpunan itu adalah $A$. Jika ditabulasi,
$A = \{3,9,15,21,27\}$
Dengan memanfaatkan rumus barisan aritmetika, kita dapat menentukan rumus suku ke-n sebagai berikut
$\begin{aligned} u_n &= a + (n – 1)b \\ u_n & = 3 + (n -1) \times 6 = 6n -3 \end{aligned}$
Jadi, dalam notasi pembentuk himpunan,
$A = \{x: x = 6n -3, x \leq 5, x \in \mathbb{N}\}$
Catatan: Perlu diberi syarat $x \leq 5$ karena syaratnya adalah bilangan yang kurang dari 30. $x$ juga harus berupa bilangan asli.

[collapse]

Soal Nomor 20
Manakah dari himpunan berikut yang termasuk himpunan berhingga (finite set)? Jelaskan.

  1. $A$ adalah himpunan semua bilangan asli lebih kecil dari $1$.
  2. $B = \{-10, -9, -8, \cdots, n\}$. 
  3. $C$ adalah himpunan semua rambut yang tumbuh di kepala.
  4. $D = \{y~|~y~\text{bilangan}~\text{asli ganjil}\}$.
  5. $E$ adalah himpunan semua bilangan asli kelipatan $3$.
  6. $F = \{\text{semua penduduk di Indo}\text{nesia}\}$.

Pembahasan

Jawaban a)
Bilangan asli paling kecil adalah $1$. Dengan demikian, tidak ada bilangan asli yang lebih kecil dari $1$ sehingga $A$ tidak memiliki elemen (himpunan kosong). Dapat dikatakan bahwa $A$ merupakan himpunan berhingga.
Jawaban b)
$B$ dapat dinyatakan sebagai himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari $-11$ sampai $n$. Dalam konteks ini, $n$ merujuk pada satu bilangan tertentu. Untuk itu, $B$ memiliki anggota yang terhitung jumlahnya sehingga tergolong himpunan berhingga.
Jawaban c)
Di kepala, rambut jumlahnya sangat banyak, namun terbatas dan memungkinkan untuk dihitung. Jadi, $C$ merupakan himpunan berhingga.
Jawaban d)
Anggota himpunan $D$ meliputi bilangan $1, 3, 5, 7, \cdots$ (tak dibatasi) sehingga $D$ memiliki anggota sebanyak tak berhingga. Jadi, $D$ bukan himpunan berhingga.
Jawaban e)
Anggota himpunan $E$ meliputi bilangan $3, 6, 9, 12, \cdots$ (tak dibatasi) sehingga $D$ memiliki anggota sebanyak tak berhingga. Jadi, $E$ bukan himpunan berhingga.
Jawaban f)
Jumlah seluruh penduduk di Indonesia dapat dihitung dan jumlahnya terbatas meskipun sangat banyak. Untuk itu, $F$ merupakan himpunan berhingga.

[collapse]

Soal Nomor 21
Banyaknya himpunan $X$ yang memenuhi $\{1,2\} \subseteq X \subseteq \{1,2,3,4,5\}$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Himpunan $X$ minimal terdiri dari 2 unsur dan maksimal terdiri dari 5 unsur dengan dua unsur di antaranya adalah elemen 1 dan 2, sisanya dapat dipilih elemen 3, 4, dan 5.
(Kemungkinan 1)
Jika $X$ terdiri dari 2 unsur, berarti kita tidak memilih elemen 3, 4, maupun 5 (memilih 0 pilihan)
$C_0^3 = \dfrac{3!} {0!3!} = 1$
(Kemungkinan 2)
Jika $X$ terdiri dari 3 unsur, berarti kita memilih salah satu dari elemen 3, 4, atau 5.
$C_1^3 = \dfrac{3!} {2!1!} = 3$
(Kemungkinan 3)
Jika $X$ terdiri dari 4 unsur, berarti kita memilih dari 2 dari elemen 3, 4, atau 5.
$C_2^3 = \dfrac{3!} {1!2!} = 3$
(Kemungkinan 4)
Jika $X$ terdiri dari 5 unsur, berarti semua elemen 3, 4, dan 5 dipilih.
$C_3^3 = \dfrac{3!} {0!3!} = 1$
Banyaknya himpunan $X$ yang memenuhi itu adalah $\boxed{1 + 3 + 3 + 1 = 8}$

[collapse]

Soal Nomor 22
Tentukan himpunan kuasa dari  $G = \{\emptyset, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}$.

Pembahasan

Himpunan kuasa adalah himpunan yang memuat seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan, dalam kasus ini $G$. Diketahui $n(G) = 3$, sehingga himpunan kuasa dari $G$ atau $\text{pow}(G)$ memiliki $2^3 = 8$ elemen.
Himpunan kuasa dari $G$ adalah
$$\begin{aligned} \text{pow}(G)  = & \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{1\}\}, \{\{\emptyset, 1\}\}, \{\emptyset, \{1\}\}, \\ &  \{\emptyset, \{\emptyset, 1\} \}, \{\{1\}, \{\emptyset, 1\}\}, \{\emptyset, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}\} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 23 (Soal ON MIPA-PT Universitas Tanjungpura Tahun 2018)
Berapa banyaknya anggota dari $|A \cup B \cup C \cup D|$ jika setiap himpunan berukuran $50$, setiap irisan dari dua himpunan berukuran $30$, setiap irisan dari tiga himpunan berukuran $10$, dan irisan dari keempat himpunan berukuran $2$?

Pembahasan

Berdasarkan Prinsip Inklusi-Eksklusi (PIE),
$\begin{aligned} & |A \cup B \cup C  \cup D| \\ & = (4 \times 50) -(6 \times 30) + (4 \times 10) -2 \\ & = 58 \end{aligned}$
Catatan: Angka $4, 6, 4$ masing-masing mewakili banyaknya kombinasi susunan himpunan berdasarkan jumlahnya. Sebagai contoh, banyaknya kombinasi memilih $2$ himpunan dari $4$ himpunan adalah $C_2^4 = \dfrac{4!} {2!2!} = 6$.
Jadi, banyak anggota dari $|A \cup B \cup C \cup D|$ adalah $\boxed{58}$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Cerita)

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *