Soal Latihan dan Penyelesaian – Himpunan (Set)


Soal-soal berikut diambil/dikutip dari bahan ajar Pengantar Teori Grup yang ditulis oleh Dr. Yulis Jamiah, M.Pd (dosen pendidikan matematika FKIP Untan), dengan sedikit modifikasi.

Soal Nomor 1
Nyatakanlah himpunan berikut dengan menggunakan syarat keanggotaan atau notasi pembentuk himpunan.
a) A = \{1, 4, 7, 10, 13\}
b) B = \{4, 5, 6, 7, 8, 10\}
Penyelesaian:

Jawaban a)
Perhatikan bahwa anggota himpunan A dapat dianggap sebagai suatu barisan bilangan yang suku awalnya 1 dan bedanya 3. Oleh karena itu, dengan menggunakan rumus dasar suku ke-n barisan aritmetika, diperoleh u_n = 1 + (n - 1) \times 3 = 3n - 2. Jadi, jika ditulis dalam notasi pembentuk himpunan, A = \{x | x = 3n - 2, 1 \leq n \leq 5, n \in \mathbb{N}\}
Jawaban b)
Perhatikan bahwa anggota himpunan B merupakan bilangan-bilangan dari 4 sampai 10, kecuali 9. Secara matematis dan dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis
B = \{x | 4 \geq x \geq 10, x \neq 9, x \in \mathbb{Z} \}
atau
B = \{x | 3 \leq x \leq 11, x \neq 9, x \in \mathbb{N} \}
Catatan: Penulisan notasi pembentuk himpunan bervariasi, sehingga Anda dapat menuliskannya secara berbeda, tetapi memiliki hasil tabulasi yang sama.

Soal Nomor 2
Misalkan A = \{a, b, c\}. Nyatakan apakah pernyataan berikut ini benar atau salah. Berikan argumentasinya.
a) b \in A
b) b \subseteq A
c) \{b\} \in A
d) \{b\} \subseteq A

Penyelesaian:
Pernyataan (a) benar karena memang b merupakan anggota himpunan A, tetapi pernyataan (b) salah karena b merupakan anggota suatu himpunan, bukan himpunan. Dalam hal ini, ingat baik-baik bahwa simbol \subseteq merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bagian. b \subseteq A dibaca “b himpunan bagian dari A“, padahal kita tahu bahwa b bukan himpunan. Pernyataan (c) salah. Analog dengan pernyataan (b) bahwa \{b\} adalah suatu himpunan, bukan anggota himpunan, sedangkan pernyataan (d) benar karena memang himpunan yang beranggotakan b itu merupakan himpunan bagian dari B.

Soal Nomor 3
Dari himpunan berikut, manakah yang termasuk himpunan kosong (empty set)?
P = \{p| p^2 + 1 = 0, p \in \mathbb{N}\}
Q = \{q | \text{q huruf sebelum a pada abjad Latin}\}
R = \{r| 13 < r < 16, r \in \text{bilangan prima}\}
S = \{s| s < 1, s \in \text{bilangan cacah}\}

Penyelesaian:
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
Himpunan P merupakan himpunan kosong karena tidak ada satupun bilangan asli yang memenuhi persamaan p^2 + 1 = 0. Himpunan Q juga himpunan kosong, karena menurut abjad Latin, huruf a merupakan huruf pertama dan tidak ada huruf sebelum itu. Himpunan R juga himpunan kosong, karena 14 dan 15 bukan prima. Himpunan S bukan himpunan kosong karena memiliki 1 anggota, yaitu 0 (0 adalah bilangan cacah yang kurang dari 1).

Soal Nomor 4
Tuliskan kembali pernyataan berikut dengan menggunakan notasi himpunan.
a) a bukan elemen A
b) t elemen S
c) A mengandung B
d) P tidak terkandung dalam Q

Penyelesaian:
a) a \notin A
b) t \in S
c) B \subseteq A
d) P \nsubseteq Q
Catatan: Hati-hati dalam memahami kata terkandung dan mengandung dalam kasus ini. Kata “mengandung” berarti “meliputi, menguasai, memiliki”. Terkandung/dikandung merupakan kebalikannya (bentuk pasif).

Soal Nomor 5
Isilah dengan \in, \notin, \subseteq sehingga diperoleh pernyataan yang benar.
a) \{0\} \cdots \cdots \{0, 1\}
b) \emptyset \cdots \cdots \{\emptyset\}
c) \{3, 4\} \cdots \cdots \{3, 4, 5\}
d) 3 \cdots \cdots \{3, 4\}

Penyelesaian:
a) \{0\} \subseteq \{0, 1\}
b) \emptyset \in \{\emptyset\}
c) \{3, 4\} \subseteq \{3, 4, 5\}
d) 3 \in \{3, 4\}
Catatan: Bedakan anggota himpunan dengan himpunan. Jika ditulis dalam kurung kurawal, maka itu berarti ekspresi tersebut adalah suatu himpunan.

Soal Nomor 6
Jika A = \{4\} dan B = \{b| b^2 - 16 = 0, b > 0\}, apakah dapat dikatakan bahwa A = B?

Penyelesaian:
Menurut definisi kesamaan dua himpunan, A dan B disebut sama (A = B) jika dan hanya jika setiap anggota dari A menjadi anggota dari B, begitu juga sebaliknya. Dengan kata lain, anggota kedua himpunan itu sama. Dalam kasus ini, A = \{4\}, sedangkan jika kita meninjau syarat keanggotaan B, yaitu b^2 - 16 = 0 \Leftrightarrow (b - 4)(b+4) = 0, berarti nilai b = 4 atau b = -4 yang memenuhi, maka diambil b = 4 karena memenuhi syarat yang lain, yakni b > 0. Ini berarti, B = \{4\}. Karena memiliki anggota yang sama, maka dapat dikatakan bahwa A = B.

Soal Nomor 7
Misalkan P = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\} Pernyataan manakah yang tidak benar dan tuliskan alasannya.
a) \{1, 2\} \subseteq P
b) \{3, 5\} \in P
c) \{\{3, 4\}\} \subseteq P

Penyelesaian:
Pernyataan (a) benar karena salah satu himpunan bagian dari P adalah \{1, 2\}. Pernyataan (b) salah karena \{3, 5\} bukan anggota dari P. Perhatikan bahwa ada anggota P yang juga suatu himpunan, yaitu \{3, 4\}. Jika pernyataan itu diganti menjadi \{3, 4\} \in P, maka pernyataan itu benar. Pernyataan (c) benar. \{\{3, 4\}\} merupakan himpunan yang berisikan himpunan lain yang merupakan anggota himpunan induknya. Jelas kita tidak boleh menggunakan simbol \in. \{\{3, 4\}\} merupakan himpunan bagian dari P, sehingga pernyataan ini benar.

Soal Nomor 8
Jika S = \{1, 2, 3, ..., 10\}, A = \{2, 4, 6, 8\}, dan B = \{1, 3, 5, 7, 9\}, maka tentukan
a) (A \cup B)^c = A^c \cap B^c
b) (A \cap B)^c = A^c \cup B^c

Penyelesaian:
Hukum de Morgan memberlakukan pernyataan (a) dan (b). Perhatikan pernyataan (a) bahwa A \cup B = \{1, 2, 3, ..., 9\} sehingga (A \cup B)^c = \{10\}. Sama halnya kita menggunakan ekspresi pada ruas kanan, hasilnya akan sama. Sedangkan untuk pernyataan (b), A \cap B = \emptyset, sehingga (A \cap B)^c = \{1, 2, 3, ..., 10\} = S.

Soal Nomor 9
Diketahui A = \{x| -3 \leq x < 1\} dan B = \{x| -1 \leq x \leq 2\}. Tentukanlah A - B.

Penyelesaian:
Anda dapat menggunakan garis bilangan untuk menyelesaikan ini.
A - B = \{x| -3 \leq x \leq -1 \}

Soal Nomor 10
Jika A = \{a, b\}, B = \{c, d, e, f\}, dan C = \{c, d, g\}, maka tunjukkan bahwa
a) A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
b) A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)

Penyelesaian:
Jawaban a
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kiri,
A \times (B \cap C) = \{a, b\} \times \{c, d\}
= \{ac, ad, bc, bd\}
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kanan,
(A \times B) \cap (A \times C)
= \{ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf\} \cap \{ac, ad, ag, bc, bd, bg\}
= \{ac, ad, bc, bd\}
Jadi, terbukti bahwa A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)

Jawaban b
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kiri,
A \times (B - C) = \{a, b\} \times \{e, f\} = \{ae, af, be, bf\}
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kanan,
(A \times B) - (A \times C)
= \{ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf\} - \{ac, ad, ag, bc, bd, bg\}
= \{ae, af, be, bf\}
Jadi, terbukti bahwa A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *