Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Himpunan (Soal Non-cerita)

Berikut ini adalah soal standar materi himpunan tingkat SMP/Sederajat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Tingkat SMP/Sederajat)

Soal Nomor 1
Jika diketahui himpunan $D = \{\text{faktor persekutuan dari 15 dan 45}\}$, maka $n(D) = \cdots \cdot$

Pembahasan

Faktor persekutuan dari $15$ dan $45$ adalah bilangan asli yang dapat membagi habis $15$ dan $45$, yaitu $1,3,5$, dan $15$. Jadi, himpunan $D$ dapat ditulis dalam bentuk tabulasi (mendaftarkan setiap anggotanya), yaitu
$D = \{1,3,5,15\}$
Jadi, banyaknya anggota himpunan $D$ adalah $\boxed{n(D) = 4}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Banyaknya semua himpunan bagian dari $K$ jika diketahui $K = \{p, q, r, s, t, u\}$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Gunakan rumus $2^n$ untuk menyatakan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan, di mana $n$ menyatakan banyaknya anggota himpunan. Diketahui $n(K) = 6$, sehingga banyak himpunan bagiannya adalah
$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui himpunan $B = \{x~|~3 < x < 8, x~\text{bilangan}~\text{asli}\}$ dan $C = \{x~|~5 \leq x \leq 10,x~\text{bilangan}\text{asli}\}$. Anggota dari $C -B$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Ingat bahwa bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk mencacah, yaitu $1,2,3,\cdots$.
Jika ditabulasi (didaftar anggota himpunannya), himpunan $B$ dan $C$ dapat ditulis menjadi
$B = \{4,5,6,7\}$
dan
$C = \{5,6,7,8,9,10\}$
sehingga $C – B$ (selisih dua himpunan, yang diartikan sebagai himpunan yang anggotanya ada di $C$ tetapi tidak ada di $B$) dapat dinyatakan dalam bentuk tabulasi sebagai berikut.
$\boxed{C -B = \{8,9,10\}} $

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $S = \{1,2,3,\cdots, 10\} $ adalah himpunan semesta. Jika himpunan $A = \{1,2,3,4\}$ dan $B = \{2,3,5,7\}$, maka $(A \cap B)^c = \cdots \cdot$

Pembahasan

$A \cap B$ (baca: A iris B) adalah himpunan yang berisikan anggota $A$ maupun $B$. Perhatikan bahwa pada $2$ dan $3$ adalah anggota himpunan $A$ dan $B$, berarti $A \cap B = \{2,3\}$
Ini berarti,
$(A \cap B)^c = \{1,4,5,6,7,8,9,10\}$
Catatan:
$(A \cap B)^c$ dibaca: komplemen dari $A$ iris $B$ ATAU $A$ irisan $B$ komplemen. Komplemen suatu himpunan adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan semesta tetapi bukan anggota himpunan itu.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui himpunan semesta $S$ merupakan himpunan bilangan cacah kurang dari $20$. Jika $A$ merupakan himpunan bilangan prima antara $5$ dan $19$, serta $B$ merupakan himpunan bilangan asli kurang dari $15$, maka komplemen dari $A \cup B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{0, 1, 2, 3, \cdots, 14\}$
B. $\{1, 2, 3, \cdots, 14, 17\}$
C. $\{0, 15, 16, 18, 19, 20\}$
D. $\{7, 11, 13, 17\}$

Pembahasan

Ketiga himpunan itu dapat dinyatakan dalam bentuk tabulasi (didaftarkan anggotanya).
$\begin{aligned} S & = \{0, 1, 2, 3, \cdots, 20\} \\ A & = \{7, 11, 13, 17\}\\ B & = \{1, 2, 3, \cdots 14\} \end{aligned}$
Ini berarti,
$A \cup B = \{1, 2, 3, \cdots 14, 17\}$
sehingga
$(A \cup B)^c = \{0, 15, 16, 18, 19, 20\}$
Jadi, komplemen dari $A \cup B$ adalah $\boxed{\{0, 15, 16, 18, 19, 20\}}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Cerita) Tingkat Lanjut

Soal Nomor 6
Diketahui:
$\begin{aligned} S & = \{x~|~x \leq 12, x~\text{bilangan}~\text{asli}\} \\ P & = \{x~|~1 \leq x < 12, x~\text{bilangan}~\text{prima}\} \\ Q & = \{x~|~1 \leq x \leq 12, x~\text{bilangan}~\text{ganjil}\} \end{aligned}$
Gambarkan diagram Venn.

Pembahasan

Tabulasikan setiap anggota ketiga himpunan tersebut.
$\begin{aligned} S & = \{1, 2, 3, 4, \cdots, 12\} \\ P & = \{2, 3, 5, 7, 11\} \\ Q & = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\} \end{aligned}$
Diketahui bahwa:
$P \cap Q = \{3, 5, 7, 11\}$
Ini berarti, $P$ dan $Q$ harus beririsan pada diagram Venn.

[collapse]

Soal Nomor 7
Berilah contoh 2 himpunan yang bila diiriskan hasilnya adalah himpunan kosong.

Pembahasan

(Contoh 1)
Misalkan

$A = \{\text{bilangan}~\text{genap}\}$
dan
$B = \{\text{bilangan}~\text{ganjil} \} $
sehingga $A \cap B = \emptyset$.
Dalam hal ini, tidak ada bilangan yang genap sekaligus ganjil.
(Contoh 2)

Misalkan 
$A = \{\text{huruf vokal pada abjad Latin}\}$
dan
$B = \{\text{huruf konsonan pada abjad Latin}\}$
sehingga $A \cap B = \emptyset$.
Dalam hal ini, tidak ada huruf yang tergolong vokal sekaligus konsonan.
(Contoh 3)

Misalkan 
$A = \{\text{bilangan}~\text{bulat negatif}\}$
dan
$B = \{\text{bilangan}~\text{bulat positif}\}$
sehingga $A \cap B = \emptyset$.
Dalam hal ini, tidak ada bilangan bulat yang negatif sekaligus positif.
(Coba kalian memberi contoh lain selain ini. Silakan tulis di kolom komentar)

[collapse]

Soal Nomor 8
Berilah contoh $2$ himpunan tak hingga yang bila diiriskan hasilnya himpunan berhingga.

Pembahasan

(Contoh 1)
Misalkan

$A = \{x~|~x < 2, x \in \mathbb{R}\}$
dan
$B = \{x~|~x \in \mathbb{N}\}$
sehingga
$A \cap B = \{1\}$
yang merupakan himpunan berhingga.
(Contoh 2)

Dua himpunan berhingga yang bila diiriskan hasilnya himpunan berhingga adalah himpunan bilangan prima dan himpunan bilangan genap, yang bila diiriskan menghasilkan himpunan berhingga $\{2\}$.
(Contoh 3)

Misalkan
$A = \{x~|~x = 0~\text{atau}~x \in \mathbb{Z}^{-}\}$
dan
$B = \{\text{bilangan}~\text{cacah}\}$
sehingga
$A \cap B = \{0\}$
yang merupakan himpunan berhingga.
(Coba kalian memberi contoh lain selain ini. Silakan tulis di kolom komentar)
Catatan:
$\mathbb{N}$ merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bilangan asli $\{1,2,3,\cdots\}$, sedangkan $\mathbb{R}$ merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bilangan real (gabungan dari bilangan rasional dan irasional).

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui himpunan $A = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}$. Tentukan banyaknya himpunan bagian $A$ yang elemennya 3.

’Pembahasan’

).push({});


Karena $n(A) = 8$, maka tinjau baris ke-9 Segitiga Pascal.
Juga karena kita akan mencari himpunan bagian $A$ yang elemen/anggotanya $3$, maka carilah bilangan keempat dari barisan bilangan di baris ke-9 itu. Bilangan itu adalah $56$.
(Alternatif 2: Aturan Kombinasi)
Aturan Kombinasi lebih praktis untuk digunakan dalam menghitung banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan.
Ada $8$ elemen $A$ dan akan dicari himpunan bagian dengan $3$ elemen, maka banyak himpunan bagiannya adalah
$C_3^8 = \dfrac{8!} {5!3!} = \dfrac{8\times 7 \times 6 \times 5!} {5! \times 6} = 56$
Jadi, banyak himpunan bagian dari $A$ yang memiliki $3$ elemen adalah $56$.

Berikut ini adalah soal-soal lanjutan (advanced) mengenai himpunan.
Soal Nomor 1

Nyatakanlah himpunan berikut dengan menggunakan syarat keanggotaan atau notasi pembentuk himpunan.
a) $A = \{1, 4, 7, 10, 13\}$
b) $B = \{4, 5, 6, 7, 8, 10\}$

Pembahasan

Jawaban a)
Perhatikan bahwa anggota himpunan $A$ dapat dianggap sebagai suatu barisan bilangan yang suku awalnya $1$ dan bedanya $3$. Oleh karena itu, dengan menggunakan rumus dasar suku ke-$n$ barisan aritmetika, diperoleh $\text{U}_n = 1 + (n -1) \times 3 = 3n -2$. Jadi, jika ditulis dalam notasi pembentuk himpunan,
$A = \{x |~x = 3n -2, 1 \leq n \leq 5, n \in \mathbb{N}\}$

Jawaban b)
Perhatikan bahwa anggota himpunan B merupakan bilangan-bilangan dari $4$ sampai $10$, kecuali $9$. Secara matematis dan dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis
$B = \{x |~4 \leq x \leq 10, x \neq 9, x \in \mathbb{Z} \}$
atau
$B = \{x |~3 < x < 11, x \neq 9, x \in \mathbb{N} \}$
Catatan: Penulisan notasi pembentuk himpunan bervariasi, sehingga Anda dapat menuliskannya secara berbeda, tetapi memiliki hasil tabulasi yang sama.

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan $A = \{a, b, c\}$. Nyatakan apakah pernyataan berikut ini benar atau salah. Berikan argumentasinya.
a) $b \in A$
b) $b \subseteq A$
c) $\{b\} \in A$
d) $\{b\} \subseteq A$

Pembahasan

Pernyataan (a) benar karena memang $b$ merupakan anggota himpunan $A$, tetapi pernyataan (b) salah karena $b$ merupakan anggota suatu himpunan, bukan himpunan. Dalam hal ini, ingat baik-baik bahwa simbol $\subseteq$ merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bagian. $b \subseteq A$ dibaca “$b$ himpunan bagian dari $A$”, padahal kita tahu bahwa $b$ bukan himpunan. Pernyataan (c) salah. Analog dengan pernyataan (b) bahwa $\{b\}$ adalah suatu himpunan, bukan anggota himpunan, sedangkan pernyataan (d) benar karena memang himpunan yang beranggotakan $b$ itu merupakan himpunan bagian dari $A$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Dari himpunan berikut, manakah yang termasuk himpunan kosong (empty set)?
$P = \{p~|~p^2 + 1 = 0, p \in \mathbb{N}\}$
$Q = \{q~|~\text{q huruf sebelum a pada abjad Latin}\}$
$R = \{r~|~13 < r < 16, r \in \text{bilangan}~\text{prima}\}$
$S = \{s~|~s < 1, s \in \text{bilangan}~\text{cacah}\}$

Pembahasan

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
Himpunan $P$ merupakan himpunan kosong karena tidak ada satupun bilangan asli yang memenuhi persamaan $p^2 + 1 = 0$. Himpunan $Q$ juga himpunan kosong, karena menurut abjad Latin, huruf a merupakan huruf pertama dan tidak ada huruf sebelum itu. Himpunan $R$ juga himpunan kosong, karena $14$ dan $15$ bukan prima. Himpunan $S$ bukan himpunan kosong karena memiliki $1$ anggota, yaitu $0$ ($0$ adalah bilangan cacah yang kurang dari $1$).

[collapse]

Soal Nomor 4
Tuliskan kembali pernyataan berikut dengan menggunakan notasi himpunan.
a) $a$ bukan elemen $A$
b) $t$ elemen $S$
c) $A$ mengandung $B$
d) $P$ tidak terkandung dalam $Q$

Pembahasan

a) $a \notin A$
b) $t \in S$
c) $B \subseteq A$
d) $P \nsubseteq Q$
Catatan: Hati-hati dalam memahami kata terkandung dan mengandung dalam kasus ini. Kata “mengandung” berarti “meliputi, menguasai, memiliki”. Terkandung/dikandung merupakan kebalikannya (bentuk pasif).

[collapse]

Soal Nomor 5
Isilah dengan $\in, \notin, \subseteq$ sehingga diperoleh pernyataan yang benar.
a) $\{0\} \cdots \cdots \{0, 1\}$
b) $ \emptyset \cdots \cdots \{\emptyset\}$
c) $\{3, 4\} \cdots \cdots \{3, 4, 5\}$
d) $3 \cdots \cdots \{3, 4\}$

Pembahasan

a) $\{0\} \subseteq \{0, 1\}$
b) $ \emptyset \in \{\emptyset\}$
c) $\{3, 4\} \subseteq \{3, 4, 5\}$
d) $3 \in \{3, 4\}$
Catatan: Bedakan anggota himpunan dengan himpunan. Jika ditulis dalam kurung kurawal, maka itu berarti ekspresi tersebut adalah suatu himpunan.

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $A = \{4\}$ dan $B = \{b~|~b^2 -16 = 0, b > 0\}$, apakah dapat dikatakan bahwa $A = B$?

Pembahasan


Menurut definisi kesamaan dua himpunan, $A$ dan $B$ disebut sama ($A = B$) jika dan hanya jika setiap anggota dari $A$ menjadi anggota dari $B$, begitu juga sebaliknya. Dengan kata lain, anggota kedua himpunan itu sama. Dalam kasus ini, $A = \{4\}$, sedangkan jika kita meninjau syarat keanggotaan $B$, yaitu $b^2 -16 = 0 \Leftrightarrow (b -4)(b+4) = 0$, berarti nilai $b = 4$ atau $b = -4$ yang memenuhi, maka diambil $b = 4$ karena memenuhi syarat yang lain, yakni $b > 0$. Ini berarti, $B = \{4\}$. Karena memiliki anggota yang sama, maka dapat dikatakan bahwa $A = B$.

[collapse]

Soal Nomor 7
Misalkan $P = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ Pernyataan manakah yang tidak benar dan tuliskan alasannya.
a) $\{1, 2\} \subseteq P$
b) $\{3, 5\} \in P$
c) $\{\{3, 4\}\} \subseteq P$

Pembahasan

Pernyataan (a) benar karena salah satu himpunan bagian dari $P$ adalah $\{1, 2\}$. Pernyataan (b) salah karena $\{3, 5\}$ bukan anggota dari $P$. Perhatikan bahwa ada anggota $P$ yang juga suatu himpunan, yaitu $\{3, 4\}$. Jika pernyataan itu diganti menjadi $\{3, 4\} \in P$, maka pernyataan itu benar. Pernyataan (c) benar. $\{\{3, 4\}\}$ merupakan himpunan yang berisikan himpunan lain yang merupakan anggota himpunan induknya. Jelas kita tidak boleh menggunakan simbol $\in$. $\{\{3, 4\}\}$ merupakan himpunan bagian dari $P$, sehingga pernyataan ini benar.

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $S = \{1, 2, 3, …, 10\}, A = \{2, 4, 6, 8\}$, dan $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, maka tentukan
a) $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
b) $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

Pembahasan

Hukum de Morgan memberlakukan pernyataan (a) dan (b). Perhatikan pernyataan (a) bahwa $A \cup B = \{1, 2, 3, \cdots, 9\}$ sehingga $(A \cup B)^c = \{10\}$. Sama halnya kita menggunakan ekspresi pada ruas kanan, hasilnya akan sama. Sedangkan untuk pernyataan (b), $A \cap B = \emptyset$, sehingga $(A \cap B)^c = \{1, 2, 3, \cdots, 10\} = S$.

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui $A = \{x| -3 \leq x < 1\}$ dan $B = \{x| -1 \leq x \leq 2\}$. Tentukanlah $A-B$.

Pembahasan

Anda dapat menggunakan garis bilangan untuk menyelesaikan ini.
$A -B = \{x| -3 \leq x < -1 \}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $A = \{a, b\}, B = \{c, d, e, f\}$, dan $C = \{c, d, g\}$, maka tunjukkan bahwa
a) $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
b) $A \times (B -C) = (A \times B) -(A \times C)$

Pembahasan

Jawaban a)
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kiri,
$A \times (B \cap C) = \{a, b\} \times \{c, d\}$
$ = \{ac, ad, bc, bd\}$
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kanan,
$$\begin{aligned} & (A \times B) \cap (A \times C) \\ & = \{ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf\} \cap \{ac, ad, ag, bc, bd, bg\} \\ & = \{ac, ad, bc, bd\} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
Jawaban b)

Jika ditinjau ekspresi pada ruas kiri,
$$A \times (B -C) = \{a, b\} \times \{e, f\} = \{ae, af, be, bf\}$$Jika ditinjau ekspresi pada ruas kanan,
$$\begin{aligned}& (A \times B) – (A \times C) \\ &  = \{ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf\} -\{ac, ad, ag, bc, bd, bg\} \\ & = \{ae, af, be, bf\} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $A \times (B -C) = (A \times B) -(A \times C)$

[collapse]

Soal Nomor 11
Misalkan
$A_k = \{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\}, k =1,2,3,\cdots$
Tentukan $\displaystyle \bigcup_{k = 1}^{\infty} A_k$.

Pembahasan

Ingatlah bahwa
$\displaystyle \boxed{\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k = A_1 \cup A_2 \cup \cdots}$
Untuk $k = 1$, diperoleh
$A_1 = \{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\}$
Untuk $k = 2$, diperoleh
$A_2 = \{x: \dfrac{1}{3} \leq x \leq 1\}$
Untuk $k = 3$, diperoleh
$A_3 = \{x: \dfrac{1}{4} \leq x \leq 1\}$
Selanjutnya, untuk $k \to \infty$,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{k \to \infty} A_k & = \lim_{k \to \infty} \left\{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\right\} \\ & = \{x: 0 \leq x \leq 1\} \end{aligned}$
Jadi,
$\displaystyle \boxed{\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k = \{x: 0 \leq x \leq 1\}}$

[collapse]

Soal Nomor 12 
Misalkan  
$A_k = \{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\}, k =1,2,3,\cdots$
Tentukan $\displaystyle \bigcap_{k = 1}^{\infty} A_k$.

Pembahasan

Ingatlah bahwa
$\displaystyle \boxed{\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k = A_1 \cap A_2 \cap \cdots}$
Untuk $k = 1$, diperoleh
$A_1 = \{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\}$
Untuk $k = 2$, diperoleh
$A_2 = \{x: \dfrac{1}{3} \leq x \leq 1\}$
Untuk $k = 3$, diperoleh
$A_3 = \{x: \dfrac{1}{4} \leq x \leq 1\}$
Selanjutnya, untuk $k \to \infty$,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{k \to \infty} A_k & = \lim_{k \to \infty} \left\{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\right\} \\ & = \{x: 0 \leq x \leq 1\} \end{aligned}$
Jadi,
$\displaystyle \boxed{\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k = \left\{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\right\}}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Misalkan
$A_1 = (0,1), A_2 = \left(0,\dfrac{1}{2}\right), A_3 = \left(0,\dfrac{1}{3}\right)$, $\cdots, A_{10} = \left(0,\dfrac{1}{10}\right)$
dengan $(a, b) = \{x: a < x < b\}$ yang menggambarkan interval terbuka antara $a$ dan $b$.
Tentukan $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{10} A_k$ dan $\displaystyle \bigcap_{k=1}^{10} A_k$

Pembahasan

Gabungan dari himpunan-himpunan tersebut dinyatakan sebagai
$\begin{aligned} \displaystyle \bigcup_{k=1}^{10} A_k & = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{10} \\ & = (0,1) \cup \left(0,\dfrac{1}{2}\right) \cup \cdots \cup \left(0,\dfrac{1}{10}\right) \\ & = \left(0,1\right) \end{aligned}$
Sedangkan irisan dari himpunan-himpunan tersebut dinyatakan sebagai
$\begin{aligned} \displaystyle \bigcap_{k=1}^{10} A_k & = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{10} \\ & = (0,1) \cap \left(0,\dfrac{1}{2}\right) \cap \cdots \cap \left(0,\dfrac{1}{10}\right) \\ & = \left(0, \dfrac{1}{10}\right) \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan
a) $\displaystyle \bigcup_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n}, 1\right)$
b) $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0, \dfrac{1}{n} \right)$
c) $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,1 + \dfrac{1}{n}\right)$

Pembahasan

Jawaban a)
Untuk $n = 2$, diperoleh $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$
Untuk $n = 3$, diperoleh
$\left(\dfrac{1}{3}, 1\right)$
dan seterusnya sampai untuk $n \to \infty$, diperoleh $(0, 1)$
Oleh karena itu, gabungan dari himpunan-himpunan interval tersebut adalah
$\boxed{\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n} , 1\right) = (0,1)}$
Jawaban b)
Untuk $n = 1$, diperoleh $\left(0, 1\right)$
Untuk $n = 2$, diperoleh
$\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$
dan seterusnya sampai untuk $n \to \infty$, diperoleh $(0,0) = \emptyset$, karena tidak ada bilangan yang letaknya di antara satu bilangan yang sama.
Oleh karena itu, irisan dari himpunan-himpunan interval tersebut adalah
$\boxed{\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,\dfrac{1}{n}\right) = \emptyset}$
Jawaban c)
Untuk $n = 1$, diperoleh $(0,2)$
Untuk $n = 2$, diperoleh
$\left(0, \dfrac{3}{2}\right)$
dan seterusnya sampai untuk $n \to \infty$, diperoleh $(0, 1)$
Oleh karena itu, irisan dari himpunan-himpunan interval tersebut adalah
$\boxed{\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,1+\dfrac{1}{n}\right) = (0,1)}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Buktikan kebenaran Hukum de Morgan berikut.
a) $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
b) $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

Pembahasan

Jawaban a)
Berdasarkan prinsip kesamaan, $A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ berlaku jika dan hanya jika $(A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c$ dan $A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$.
(i) Akan dibuktikan bahwa $A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$. Ambil sembarang $x \in (A \cup B)^c$, berarti $x \in S$ dan $x \notin (A \cup B)$, di mana $S$ adalah semesta himpunan. Perhatikan bahwa $x \notin (A \cup B)$ berarti $x \notin A$ dan $x \notin B$. Jika dituliskan lebih rinci, dapat dinyatakan ($x \in S$ dan $x \notin A$) dan ($x \in S$ dan $x \notin B$). Akibatnya,
$x \in A^c, x \in B^c \equiv x \in A^c \cap B^c$
Karenanya didapat
$x \in A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$
ii) Akan dibuktikan bahwa $(A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c$. Ambil sembarang $x \in A^c \cap B^c$, berarti $x \in S, x \notin A$ dan $x \in S, x \notin B$. Dapat pula dinyatakan
$x \in S~\text{dan}~(x \notin A ~\text{dan}~x \notin B) \equiv$ $x \in S~\text{dan}~x \notin A \cup B$
Akibatnya, $x \in (A \cup B)^c$. Jadi, $(A \cup B)^c \subseteq (A \cup B)^c$.
Berdasarkan (i) dan (ii), terbukti bahwa $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
(Jawaban b)
Analog dengan jawaban a

[collapse]

Soal Nomor 16
Diberikan himpunan semesta $U = \{x: 0 \leq x \leq 2\}$. Jika $A = \left\{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1 \right\}$ dan $B = \left\{x: \dfrac{1}{4} \leq x \leq \dfrac{3}{2}\right\}$, tentukan anggota himpunan
a) $(A \cup B)^c$
b) $A \cup B^c$
c) $(A \cap B)^c$
d) $A^c \cap B$

Pembahasan

(Jawaban a)
Perhatikan sketsa berikut.


Daerah yang tak diarsir menyatakan anggota $A \cup B$, sehingga daerah lainnya, yaitu daerah yang diarsir warna biru menyatakan anggota
$(A \cup B)^c = \left\{x: x < \dfrac{1}{4}~\text{atau}~x > \dfrac{3}{2}\right\}$
(Jawaban b)
 
Daerah yang diarsir biru dan hijau berturut-turut menyatakan anggota $A$ dan $B^c$, sehingga gabungan keduanya menyatakan anggota
$$A \cup B^c = \left\{x < \dfrac{1}{4}~\text{atau}~\dfrac{1}{2} \leq x \leq 1~\text{atau}~x > \dfrac{3}{2} \right\}$$(Jawaban c)
 
Daerah yang diarsir warna jingga menyatakan anggota $A = A \cap B$, sehingga daerah lainnya menyatakan anggota
$(A \cap B)^c = \left\{x: x < \dfrac{1}{2}~\text{atau}~x > 1 \right\}$
(Jawaban d)

Daerah yang diarsir warna hijau dan kuning merupakan daerah yang menyatakan anggota $A^c$, sedangkan daerah warna biru menyatakan anggota $A$. Irisan $A^c$ dengan $B$ adalah daerah warna kuning,

$$A^c \cap B = \left\{x: \dfrac{1}{4} \leq x < \dfrac{1}{2}~\text{atau}~1 < x \leq \dfrac{3}{2}\right\}$$ 

[collapse]

Soal Nomor 17 (Soal OSN SMP Tingkat Provinsi Tahun 2018)
Diberikan himpunan $A = \{1,2,\cdots, 25\}$. Banyak himpunan bagian berunsur dua yang hasil kali unsur-unsurnya kuadrat sempurna adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Hasil kali dua bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan kuadrat sempurna (contoh: $4 \times 9 = 36 = 9^2$). Bilangan kuadrat sempurna yang merupakan unsur/anggota dari $A$ adalah $1,4,9,16,25$ (ada $5$).
Karena himpunan yang anggotanya dibolak-balik urutannya dianggap sama dan himpunan yang diinginkan memiliki dua unsur, maka banyaknya himpunan bagian yang dimaksud adalah (gunakan aturan kombinasi)
$C_2^5 = \dfrac{5!} {(5-2)!2!} = 10$
Selain itu, perkalian suatu bilangan dengan bilangan kubiknya juga merupakan bilangan kuadrat sempurna. Dalam hal ini, yaitu $\{2,8\} (2 \times 8 = 16 = 4^2)$
Jadi, ada $11$ himpunan bagian dari $A$ yang berunsur dua dan bila dikalikan kedua unsurnya itu menghasilkan bilangan kuadrat sempurna.

[collapse]

Soal Nomor 18
Tuliskan himpunanbilangan ganjil positif yang habis dibagi 3 dan kurang dari 30” dalam notasi pembentuk himpunan.

Pembahasan

Misalkan nama himpunan itu adalah $A$. Jika ditabulasi,
$A = \{3,9,15,21,27\}$
Dengan memanfaatkan rumus barisan aritmetika, kita dapat menentukan rumus suku ke-n sebagai berikut
$\begin{aligned} u_n &= a + (n – 1)b \\ u_n & = 3 + (n -1) \times 6 = 6n -3 \end{aligned}$
Jadi, dalam notasi pembentuk himpunan,
$A = \{x: x = 6n -3, x \leq 5, x \in \mathbb{N}\}$
Catatan: Perlu diberi syarat $x \leq 5$ karena syaratnya adalah bilangan yang kurang dari 30. $x$ juga harus berupa bilangan asli.

[collapse]

Soal Nomor 19
Manakah dari himpunan berikut yang termasuk himpunan berhingga (finite set)? Jelaskan.

  1. $A$ adalah himpunan semua bilangan asli lebih kecil dari $1$.
  2. $B = \{-10, -9, -8, \cdots, n\}$. 
  3. $C$ adalah himpunan semua rambut yang tumbuh di kepala.
  4. $D = \{y~|~y~\text{bilangan}~\text{asli ganjil}\}$.
  5. $E$ adalah himpunan semua bilangan asli kelipatan $3$.
  6. $F = \{\text{semua penduduk di Indo}\text{nesia}\}$.

Pembahasan

Jawaban a)
Bilangan asli paling kecil adalah $1$. Dengan demikian, tidak ada bilangan asli yang lebih kecil dari $1$ sehingga $A$ tidak memiliki elemen (himpunan kosong). Dapat dikatakan bahwa $A$ merupakan himpunan berhingga.
Jawaban b)
$B$ dapat dinyatakan sebagai himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari $-11$ sampai $n$. Dalam konteks ini, $n$ merujuk pada satu bilangan tertentu. Untuk itu, $B$ memiliki anggota yang terhitung jumlahnya sehingga tergolong himpunan berhingga.
Jawaban c)
Di kepala, rambut jumlahnya sangat banyak, namun terbatas dan memungkinkan untuk dihitung. Jadi, $C$ merupakan himpunan berhingga.
Jawaban d)
Anggota himpunan $D$ meliputi bilangan $1, 3, 5, 7, \cdots$ (tak dibatasi) sehingga $D$ memiliki anggota sebanyak tak berhingga. Jadi, $D$ bukan himpunan berhingga.
Jawaban e)
Anggota himpunan $E$ meliputi bilangan $3, 6, 9, 12, \cdots$ (tak dibatasi) sehingga $D$ memiliki anggota sebanyak tak berhingga. Jadi, $E$ bukan himpunan berhingga.
Jawaban f)
Jumlah seluruh penduduk di Indonesia dapat dihitung dan jumlahnya terbatas meskipun sangat banyak. Untuk itu, $F$ merupakan himpunan berhingga.

[collapse]

Soal Nomor 20
Banyaknya himpunan $X$ yang memenuhi $\{1,2\} \subseteq X \subseteq \{1,2,3,4,5\}$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Himpunan $X$ minimal terdiri dari 2 unsur dan maksimal terdiri dari 5 unsur dengan dua unsur di antaranya adalah elemen 1 dan 2, sisanya dapat dipilih elemen 3, 4, dan 5.
(Kemungkinan 1)
Jika $X$ terdiri dari 2 unsur, berarti kita tidak memilih elemen 3, 4, maupun 5 (memilih 0 pilihan)
$C_0^3 = \dfrac{3!} {0!3!} = 1$
(Kemungkinan 2)
Jika $X$ terdiri dari 3 unsur, berarti kita memilih salah satu dari elemen 3, 4, atau 5.
$C_1^3 = \dfrac{3!} {2!1!} = 3$
(Kemungkinan 3)
Jika $X$ terdiri dari 4 unsur, berarti kita memilih dari 2 dari elemen 3, 4, atau 5.
$C_2^3 = \dfrac{3!} {1!2!} = 3$
(Kemungkinan 4)
Jika $X$ terdiri dari 5 unsur, berarti semua elemen 3, 4, dan 5 dipilih.
$C_3^3 = \dfrac{3!} {0!3!} = 1$
Banyaknya himpunan $X$ yang memenuhi itu adalah $\boxed{1 + 3 + 3 + 1 = 8}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan himpunan kuasa dari  $G = \{\emptyset, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}$.

Pembahasan

Himpunan kuasa adalah himpunan yang memuat seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan, dalam kasus ini $G$. Diketahui $n(G) = 3$, sehingga himpunan kuasa dari $G$ atau $\text{pow}(G)$ memiliki $2^3 = 8$ elemen.
Himpunan kuasa dari $G$ adalah
$$\begin{aligned} \text{pow}(G)  = & \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{1\}\}, \{\{\emptyset, 1\}\}, \{\emptyset, \{1\}\}, \\ &  \{\emptyset, \{\emptyset, 1\} \}, \{\{1\}, \{\emptyset, 1\}\}, \{\emptyset, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}\} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 22 (Soal ON MIPA-PT Universitas Tanjungpura Tahun 2018)
Berapa banyaknya anggota dari $|A \cup B \cup C \cup D|$ jika setiap himpunan berukuran $50$, setiap irisan dari dua himpunan berukuran $30$, setiap irisan dari tiga himpunan berukuran $10$, dan irisan dari keempat himpunan berukuran $2$?

Pembahasan

Berdasarkan Prinsip Inklusi-Eksklusi (PIE),
$\begin{aligned} & |A \cup B \cup C  \cup D| \\ & = (4 \times 50) -(6 \times 30) + (4 \times 10) -2 \\ & = 58 \end{aligned}$
Catatan: Angka $4, 6, 4$ masing-masing mewakili banyaknya kombinasi susunan himpunan berdasarkan jumlahnya. Sebagai contoh, banyaknya kombinasi memilih $2$ himpunan dari $4$ himpunan adalah $C_2^4 = \dfrac{4!} {2!2!} = 6$.
Jadi, banyak anggota dari $|A \cup B \cup C \cup D|$ adalah $\boxed{58}$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Cerita)