Soal Latihan – Integrasi (Pengintegralan) dengan Integral Parsial

Soal Nomor 1
Hitunglah \int e^x \sin x~dx

Penyelesaian:
\int e^x \sin x~dx
Bentuk integral di atas tidak akan dapat diselesaikan dengan metode substitusi. Cobalah dengan metode integrasi parsial.
Misalkan, u = e^x \Rightarrow du = e^x~dx
dan dv = \sin x~dx \Rightarrow v = -\cos x
Dengan rumus integrasi parsial, \int u~dv = uv - \int v~du, maka diperoleh
\int e^x \sin x~dx = -e^x \cos x + \int \cos x~e^x~dx \bigstar
Bentuk terakhir ternyata malah semakin rumit. Tapi, cobalah integrasi parsialkan lagi bentuk integral \int \cos x~e^x~dx dan lihat keajaibannya.
Misalkan, u = e^x \Rightarrow du = e^x~dx
dan dv = \cos x~dx \Rightarrow v = \sin x
Jadi, diperoleh
\int \cos x~e^x~dx = e^x \sin x - \int e^x~\sin x~ dx
Substitusikan ke \bigstar, diperoleh,
\int e^x \sin x~dx = -e^x \cos x + (e^x \sin x - \int e^x \sin x~ dx)
2\int e^x \sin x~dx = e^x(\sin x - \cos x)
\int e^x \sin x~dx = \dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}

Jadi, nilai dari \int e^x \sin x~dx adalah ~\dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

4 Balasan untuk “Soal Latihan – Integrasi (Pengintegralan) dengan Integral Parsial”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *