Soal Latihan dan Penyelesaian – Kalkulus Fungsi Vektor

Soal Nomor 1
Gambarlah grafik dari fungsi vektor
F(t) = (4 \sin t)i + (4 \cos t)j, t \in \mathbb{R}

Penyelesaian:
Misalkan x = 4 \sin t dan y = 4 \cos t. Jika masing-masing persamaan ini dikuadratkan, lalu dijumlahkan, diperoleh
x^2 + y^2 = 16 \sin^2 t + 16 \cos^2 t
x^2 + y^2 = 16
Persamaan ini merupakan persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 4. Gambar grafiknya adalah sebagai berikut.

Soal Nomor 2
Gambarlah grafik dari fungsi vektor
F(t) = (t+2)i + (t^2 - 2t)j, t \in \mathbb{R}

Penyelesaian:
Misalkan x = t + 2 dan y = t^2 - 2t.
Persamaan x = t + 2 ekuivalen dengan t = x - 2. Substitusikan nilai t ini ke persamaan y = t^2 - 2t, diperoleh
y = (x - 2)^2 - 2(x-2)
y = x^2 - 6x + 8
Persamaan ini merupakan persamaan kuadrat. Grafiknya sebagai berikut.

Soal Nomor 3
Diketahui persamaan parameter suatu fungsi vektor x =6t + 2 dan y = 2t, -\infty < t < \infty. Nyatakanlah fungsi tersebut dalam persamaan kartesius dan gambarkan kurvanya.

Penyelesaian:
Diketahui y = 2t, yang ekuivalen dengan 3y + 2 = 6t + 2. Karena x = 6t + 2, maka diperoleh 3y + 2 = x. Ini merupakan persamaan garis lurus yang gambar grafiknya sebagai berikut.

Perhatikan bahwa batas -\infty < t < \infty memiliki makna yang sama dengan t \in \mathbb{R}

Soal Nomor 4
Diketahui persamaan parameter suatu fungsi vektor x =4t^2 dan y = 4t, -1 \leq t \leq 2. Nyatakanlah fungsi tersebut dalam persamaan kartesius dan gambarkan kurvanya.

Penyelesaian:
Dari persamaan y = 4t, diperoleh t = \dfrac{y}{4}. Substitusikan t ini ke persamaan x = 4t^2, diperoleh
x = 4\left(\dfrac{y}{4}\right)^2
x = \dfrac{y^2}{4}
4x = y^2
Persamaan ini merupakan persamaan parabola dengan grafik sebagai berikut.

Batas koordinat sesuai interval yang diberikan adalah saat t = -1 sampai t = 2. Saat t = -1, diperoleh (4, -1) dan saat t = 2, diperoleh (16, 8).

Soal Nomor 5
Diketahui persamaan parameter suatu fungsi vektor x =4 \sin t - 2 dan y = 3 \cos t + 1, 0 \leq t \leq 2\pi. Nyatakanlah fungsi tersebut dalam persamaan kartesius dan gambarkan kurvanya.

Penyelesaian:
Ubah persamaan parameter yang diberikan menjadi
x + 2 = 4 \sin t (…1)
y - 1 = 3 \cos t (…2)
Ubah lagi (…1) menjadi \dfrac{3}{4}(x + 2) = 3 \sin t (…3). Jika kita menguadratkan lalu menjumlahkan persamaan 2 dan 3, diperoleh
(y-1)^2 + \dfrac{9}{16}(x+2)^2 = 9(\sin^2 t + \cos^2 t)
16y^2 - 32y + 16 + 9x^2 + 36x + 36 = 144
9x^2 + 16y^2 + 36x - 32y - 92 = 0
Persamaan terakhir ini merupakan persamaan elips dengan grafik sebagai berikut.

Soal Nomor 6
Diketahui persamaan parameter suatu fungsi vektor x =t^2 dan y = t^3, -1 \leq t \leq 2. Nyatakanlah fungsi tersebut dalam persamaan kartesius dan gambarkan kurvanya.

Penyelesaian:
Ubaglah persamaan parameter tersebut menjadi
x^3 = t^6 dan y^2 = t^6
Dari kedua persamaan ini, diperoleh
x^3 = y^2
Gambar dari grafik persamaan ini adalah sebagai berikut.
Batas yang diberikan adalah di t = -1 dan t = 2, dengan koordinat (1, -1) dan (4,8)

Soal Nomor 7
Tunjukkan bahwa fungsi vektor f, dengan rumus:
f(t) = \left(t, \dfrac{t^2-1}{t-1}\right) mempunyai limit di (1, 2) untuk t mendekati 1.

Penyelesaian:
Pada fungsi tersebut, f terdefinisi di sembarang t \in \mathbb{R} kecuali di titik 1, sehingga D_f = \mathbb{R} - \{1\}. Akan ditunjukkan bahwa \displaystyle \lim_{t \to 1} f(t) = (1,2), di mana f(t) = \left(t, \dfrac{t^2-1}{t-1}\right). Untuk itu:
Ambil sembarang \varepsilon > 0. Berdasarkan definisi limit, harus ditemukan bilangan \delta > 0 sehingga untuk t \in D_f, t \neq 1, |t - 1| < \delta, berakibat ||f(t) - (1, 2)|| < \varepsilon
Analisis:
||f(t) - (1, 2)|| < \varepsilon
= \left|\left|\left(t, \dfrac{t^2-1}{t-1}\right) - (1, 2)\right|\right|
= (t - 1)^2 + (t + 1 - 2)^2||
= (t - 1)^2 + (t - 1)^2 = 2(t - 1)^2 < \varepsilon^2
(t - 1)^2 < \dfrac{1}{2} \varepsilon^2
|t - 1| < \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \varepsilon
Jadi, ambil \delta = \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \varepsilon. Dengan demikian, diperoleh jika t \neq 1, |t - 1| < \delta berakibat ||f(t) - (1,2)|| < \varepsilon
Terbukti bahwa \displaystyle \lim_{t \to 1} f(t) = (1,2), di mana f(t) = \left(t, \dfrac{t^2-1}{t-1}\right)
Catatan: \dfrac{t^2-1}{t-1} = \dfrac{(t-1)(t+1)}{t-1} = t + 1, t \neq 1

Soal Nomor 8
Buktikan bahwa
\displaystyle \lim_{t \to 2} ((t - 2)^2i + 4tj) = (0, 8)

Penyelesaian:
Akan ditunjukkan bahwa \displaystyle \lim_{t \to 2} f(t) = (0,8) di mana f(t) = ((t - 2)^2, 4t).
Ambil sembarang \varepsilon > 0. Berdasarkan definisi limit, maka harus ditemukan bilangan \delta > 0 sehingga untuk t \in D_f = \mathbb{R}, t \neq 2, dan |t - 2| < \delta, berakibat ||f(t) - (0, 8)|| < \varepsilon
Analisis:
||f(t) - (0, 8)|| = ||((t - 2)^2, 4t) - (0, 8)||
= \sqrt{(t - 2)^4 + (4t - 8)^2}
= \sqrt{(t-2)^2(t-2)^2 + 16(t-2)^2}
Untuk ini, harus dibatasi |t - 2|^2 dalam suatu konstanta real.
Misal 0 < |t - 2| < \delta \leq 1, akibatnya |t - 2|^2 \leq 1, sehingga dapat ditulis
\sqrt{(t-2)^2(t-2)^2 + 16(t-2)^2} \leq (t-2)^2 + 16(t-2)^2
= 17(t - 2)^2 < \varepsilon^2
(t - 2)^2 < \dfrac{1}{17}\varepsilon^2
|t - 2| < \dfrac{1}{17}\sqrt{17}\varepsilon
Jadi, ambil \delta = \min\left\{1, \dfrac{1}{17}\sqrt{17}\varepsilon\right\}. Limit terbukti.

Soal Nomor 9
Jika diketahui fungsi vektor hibrid/parsial:
f(t) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1+t^2)}{t}i + \dfrac{e^{2t} - 1}{t}j, & t \neq 0 \\ 2j, & t = 0 \end{cases}

Tentukan semua nilai t sehingga fungsi F kontinu.

Soal Nomor 10
Hitung limit fungsi vektor:
\displaystyle \lim_{t \to 2} (8ti - t^2j + k)

Penyelesaian:
Dengan metode yang sama seperti limit fungsi pada umumnya, kita langsung mensubstitusikan t = 2 ke fungsi vektornya. Jadi,
\displaystyle \lim_{t \to 2} (8ti - t^2j + k) = (8.2i - (2)^2j + k)
= 16i - 4j + k = (16, -4, 1)
Jadi, fungsi vektor tersebut akan mendekati (16, -4, 1) saat t mendekati 2.

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Satu Balasan untuk “Soal Latihan dan Penyelesaian – Kalkulus Fungsi Vektor”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *