Soal dan Pembahasan – Kalkulus Fungsi Vektor

Berikut ini merupakan soal & pembahasan mengenai kalkulus fungsi vektor yang dipelajari saat perkuliahan kalkulus lanjut.

Soal Nomor 1
Gambarlah grafik dari fungsi vektor
$F(t) = (4 \sin t)i + (4 \cos t)j, t \in \mathbb{R}$

Penyelesaian

Misalkan $x = 4 \sin t$ dan $y = 4 \cos t$. Jika masing-masing persamaan ini dikuadratkan, lalu dijumlahkan, diperoleh
$x^2 + y^2 = 16 \sin^2 t + 16 \cos^2 t$
$x^2 + y^2 = 16$
Persamaan ini merupakan persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 4. Gambar grafiknya adalah sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 2
Gambarlah grafik dari fungsi vektor
$F(t) = (t+2)i + (t^2 – 2t)j, t \in \mathbb{R}$

Penyelesaian

Misalkan $x = t + 2$ dan $y = t^2 – 2t$.
Persamaan $x = t + 2$ ekuivalen dengan $t = x – 2$. Substitusikan nilai $t$ ini ke persamaan $y = t^2 – 2t$, diperoleh
$y = (x – 2)^2 – 2(x-2)$
$y = x^2 – 6x + 8$
Persamaan ini merupakan persamaan kuadrat. Grafiknya sebagai berikut.



[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui persamaan parameter suatu fungsi vektor $x =6t + 2$ dan $y = 2t$, $-\infty < t < \infty$. Nyatakanlah fungsi tersebut dalam persamaan Kartesius dan gambarkan kurvanya.

Penyelesaian

Diketahui $y = 2t$, yang ekuivalen dengan $3y + 2 = 6t + 2$. Karena $x = 6t + 2$, maka diperoleh $3y + 2 = x$. Ini merupakan persamaan garis lurus yang gambar grafiknya sebagai berikut.

Perhatikan bahwa batas $-\infty < t < \infty$ memiliki makna yang sama dengan $t \in \mathbb{R}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui persamaan parameter suatu fungsi vektor $x =4t^2$ dan $y = 4t$, $-1 \leq t \leq 2$. Nyatakanlah fungsi tersebut dalam persamaan kartesius dan gambarkan kurvanya.

Penyelesaian

Dari persamaan $y = 4t$, diperoleh $t = \dfrac{y}{4}$. Substitusikan $t$ ini ke persamaan $x = 4t^2$, diperoleh
$x = 4\left(\dfrac{y}{4}\right)^2$
$x = \dfrac{y^2}{4}$
$4x = y^2$
Persamaan ini merupakan persamaan parabola dengan grafik sebagai berikut.

Batas koordinat sesuai interval yang diberikan adalah saat $t = -1$ sampai $t = 2$. Saat $t = -1$, diperoleh $(4, -1)$ dan saat $t = 2$, diperoleh $(16, 8)$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui persamaan parameter suatu fungsi vektor $x =4 \sin t – 2$ dan $y = 3 \cos t + 1$, $0 \leq t \leq 2\pi$. Nyatakanlah fungsi tersebut dalam persamaan Kartesius dan gambarkan kurvanya.

Penyelesaian

Ubah persamaan parameter yang diberikan menjadi
$x + 2 = 4 \sin t~~~~~(\cdots 1)$
$y – 1 = 3 \cos t~~~~~(\cdots 2)$
Ubahlah persamaan $(1)$ menjadi $\dfrac{3}{4}(x + 2) = 3 \sin t~~(\cdots 3)$. Jika kita menguadratkan lalu menjumlahkan persamaan $(2)$ dan $(3)$, diperoleh
$(y-1)^2 + \dfrac{9}{16}(x+2)^2 = 9(\sin^2 t + \cos^2 t)$
$16y^2 – 32y + 16 + 9x^2 + 36x + 36 = 144$
$9x^2 + 16y^2 + 36x – 32y – 92 = 0$
Persamaan terakhir ini merupakan persamaan elips dengan grafik sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui persamaan parameter suatu fungsi vektor $x =t^2$ dan $y = t^3$, $-1 \leq t \leq 2$. Nyatakanlah fungsi tersebut dalam persamaan Kartesius dan gambarkan kurvanya.

Penyelesaian

Ubahlah persamaan parameter tersebut menjadi
$x^3 = t^6$ dan $y^2 = t^6$
Dari kedua persamaan ini, diperoleh
$x^3 = y^2$
Gambar dari grafik persamaan ini adalah sebagai berikut.
Batas yang diberikan adalah di $t = -1$ dan $t = 2$, dengan koordinat $(1, -1)$ dan $(4,8)$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tunjukkan bahwa fungsi vektor $f$, dengan rumus:
$f(t) = \left(t, \dfrac{t^2-1}{t-1}\right)$ mempunyai limit di $(1, 2)$ untuk $t$ mendekati $1$.

Penyelesaian

Pada fungsi tersebut, $f$ terdefinisi di sembarang $t \in \mathbb{R}$ kecuali di titik 1, sehingga $D_f = \mathbb{R} – \{1\}$. Akan ditunjukkan bahwa $\displaystyle \lim_{t \to 1} f(t) = (1,2)$, di mana $f(t) = \left(t, \dfrac{t^2-1}{t-1}\right)$. Untuk itu:
Ambil sembarang $\varepsilon > 0$. Berdasarkan definisi limit, harus ditemukan bilangan $\delta > 0$ sehingga untuk $t \in D_f, t \neq 1, |t – 1| < \delta$, berakibat $||f(t) – (1, 2)|| < \varepsilon$
Analisis:
$||f(t) – (1, 2)|| < \varepsilon$
$ = \left|\left|\left(t, \dfrac{t^2-1}{t-1}\right) – (1, 2)\right|\right|$
$ = (t – 1)^2 + (t + 1 – 2)^2||$
$ = (t – 1)^2 + (t – 1)^2 = 2(t – 1)^2 < \varepsilon^2$
$ (t – 1)^2 < \dfrac{1}{2} \varepsilon^2$
$ |t – 1| < \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \varepsilon$
Jadi, ambil $\delta = \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \varepsilon$. Dengan demikian, diperoleh jika $t \neq 1, |t – 1| < \delta$ berakibat $||f(t) – (1,2)|| < \varepsilon$
Terbukti bahwa $\displaystyle \lim_{t \to 1} f(t) = (1,2)$, di mana $f(t) = \left(t, \dfrac{t^2-1}{t-1}\right)$
Catatan: $\dfrac{t^2-1}{t-1} = \dfrac{\cancel{(t-1)}(t+1)}{\cancel{t-1}} = t + 1, t \neq 1$

[collapse]

Soal Nomor 8
Buktikan bahwa 
$\displaystyle \lim_{t \to 2} ((t – 2)^2i + 4tj) = (0, 8)$

Penyelesaian

Akan ditunjukkan bahwa $\displaystyle \lim_{t \to 2} f(t) = (0,8)$ di mana $f(t) = ((t – 2)^2, 4t)$.
Ambil sembarang $\varepsilon > 0$. Berdasarkan definisi limit, maka harus ditemukan bilangan $\delta > 0$ sehingga untuk $t \in D_f = \mathbb{R}, t \neq 2$, dan $|t – 2| < \delta$, berakibat $||f(t) – (0, 8)|| < \varepsilon$
Analisis:
$||f(t) – (0, 8)|| = ||((t – 2)^2, 4t) – (0, 8)||$
$ = \sqrt{(t – 2)^4 + (4t – 8)^2}$
$ = \sqrt{(t-2)^2(t-2)^2 + 16(t-2)^2}$
Untuk ini, harus dibatasi $|t – 2|^2$ dalam suatu konstanta real.
Misal $0 < |t – 2| < \delta \leq 1$, akibatnya $|t – 2|^2 \leq 1$, sehingga dapat ditulis
$ \sqrt{(t-2)^2(t-2)^2 + 16(t-2)^2} \leq (t-2)^2 + 16(t-2)^2$
$ = 17(t – 2)^2 < \varepsilon^2$
$ (t – 2)^2 < \dfrac{1}{17}\varepsilon^2$
$ |t – 2| < \dfrac{1}{17}\sqrt{17}\varepsilon$
Jadi, ambil $\delta = \min\left\{1, \dfrac{1}{17}\sqrt{17}\varepsilon\right\}$. Limit terbukti.

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika diketahui fungsi vektor hibrid/parsial:
$f(t) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1+t^2)}{t}i + \dfrac{e^{2t} – 1}{t}j, & t \neq 0 \\ 2j, & t = 0 \end{cases}$

Tentukan semua nilai $t$ sehingga fungsi $f$ kontinu.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 10
Hitung limit fungsi vektor:
$\displaystyle \lim_{t \to 2} (8ti – t^2j + k)$

Penyelesaian

Dengan metode yang sama seperti limit fungsi pada umumnya, kita langsung mensubstitusikan $t = 2$ ke fungsi vektornya. Jadi,
$\displaystyle \lim_{t \to 2} (8ti – t^2j + k) = (8.2i – (2)^2j + k)$
$ = 16i – 4j + k = (16, -4, 1)$
Jadi, fungsi vektor tersebut akan mendekati $(16, -4, 1)$ saat $t$ mendekati $2$.

[collapse]

 

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *