Soal Latihan – Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah

Setelah mempelajari Soal Latihan – Persamaan Diferensial (Dasar), sekarang saatnya kita mempelajari metode untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial (yang selanjutnya disingkat sebagai PD). Metode yang dimaksud adalah metode penyelesaian dengan variabel terpisah. Teknik ini merupakan teknik yang paling mudah (menurut saya sendiri) untuk menyelesaikan persamaan diferensial, sehingga sangat cocok untuk dipelajari setelah teman-teman sudah menguasai dasar-dasar dari persamaan diferensial. Berikut ini adalah pranala untuk jenis PD lainnya.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Linear Orde Satu
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Eksak

Soal Nomor 1 (♥♥)
Tentukan solusi PD xy' + y = 3

Penyelesaian

xy' + y = 3
Ubah bentuk penulisan derivatif dan kurangi kedua ruas dengan y, diperoleh
x\dfrac{dy}{dx} = 3 - y
Kalikan kedua ruas dengan \dfrac{dx}{x(3-y)}.
\dfrac{1}{3-y}~dy = \dfrac{1}{x}~dx
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
\displaystyle \int \dfrac{1}{3-y}~dy = \int \dfrac{1}{x}~dx
-\ln (3 - y) = \ln x + \ln C = \ln Cx
\ln (3-y)^{-1} = \ln Cx
(3 - y)^{-1} = Cx
Jadi, solusi PD tersebut adalah \boxed{ (3 - y)^{-1} = Cx}

[collapse]

Soal Nomor 2 (♥♥)
Solusi umum persamaan diferensial untuk y' + (y-1)\cos x = 0 adalah ….

Penyelesaian

y' + (y-1)\cos x = 0
\dfrac{dy}{dx} = -(y-1)\cos x
Kalikan kedua ruas dengan \dfrac{dx}{y-1}, sehingga diperoleh
\dfrac{1}{y-1}~dy = -\cos x~dx
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
\displaystyle \int \dfrac{1}{y-1}~dy = - \int \cos x~dx
\ln(y-1) = -\sin x + C
\ln (y-1) = \ln e^{C - \sin x}
y - 1 = e^{C - \sin x}
y = e^{C - \sin x} + 1
Jadi, solusi umum dari PD tersebut adalah \boxed{y = e^{C - \sin x} + 1}

[collapse]

Soal Nomor 3 (♥♥♥)
Selesaikan PD x(y^2 - 1)~dx - y(x^2 - 1)~dy = 0.

Penyelesaian

x(y^2 - 1)~dx - y(x^2 - 1)~dy = 0
Langsung bagi kedua ruas dengan (y^2-1)(x^2-1), sehingga dengan memanfaatkan aljabar, diperoleh
\dfrac{x}{x^2-1}~dx - \dfrac{y}{y^2-1}~dy = 0
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
\displaystyle \int \dfrac{x}{x^2-1}~dx - \int \dfrac{y}{y^2-1}~dy = \ln C
Selesaikan bentuk integral dengan metode substitusi, sehingga didapat
2 \ln (x^2 - 1) - 2 \ln (y^2 - 1) = \ln C_1 \bigstar
Bagi kedua ruas dengan 2, kemudian gunakan sifat logaritma
\boxed{\log a - \log b = \log \dfrac{a}{b}}
sehingga diperoleh
\ln \left(\dfrac{x^2-1}{y^2-1}\right) = \ln C_2  \bigstar\bigstar
\dfrac{x^2-1}{y^2-1} = C_2
x^2 - 1 = C_2(y^2 - 1)
Jadi, penyelesaiannya adalah \boxed{x^2 - 1 = C(y^2 - 1)}
Catatan: \bigstar mengapa hasil integralnya menjadi \ln C, bukankah seharusnya C? Ini adalah pertanyaan yang sering ditanyakan. Teknik seperti ini disebut manipulasi konstanta, karena C merupakan bilangan real (bebas), jadi berapapun yang kita ambil sebagai bentuk C, hasilnya masih umum. Untuk mempermudah perhitungan/penyederhanaan hasil, kita jadikan saja menjadi \ln C\bigstar\bigstar Konstanta di sini tidak benar-benar diperhatikan (bahkan bisa dimanipulasi sesuka hati). Karena dibagi 2, maka bentuk konstantanya berubah, tapi kita hanya perlu mengubah indeksnya saja tanpa membentuk konstanta dengan aturan aritmetik maupun aljabar.

[collapse]

Soal Nomor 4 (♥♥)
Selesaikan PD \sqrt{1 - y^2}~dx + \sqrt{1 - x^2}~dy = 0

Penyelesaian

\sqrt{1 - y^2}~dx + \sqrt{1 - x^2}~dy = 0
Kalikan kedua ruas dengan \dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}.\sqrt{1-x^2}}, diperoleh
\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}~dx + \dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}~dy = 0
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang berpadanan,
\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}~dx + \int \dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}~dy = C
\arcsin x + \arcsin y = C
Jadi, penyelesaiannya adalah \boxed{\arcsin x + \arcsin y = C}

[collapse]

Soal Nomor 5 (♥♥)
Selesaikanlah PD x\sqrt{y^2-1}~dx + y\sqrt{x^2 - 1}~dy = 0

Penyelesaian

x\sqrt{y^2-1}~dx + y\sqrt{x^2 - 1}~dy = 0
Bagi kedua ruas dengan \sqrt{y^2-1} \times \sqrt{x^2 - 1}, diperoleh
\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}~dx + \dfrac{y}{\sqrt{y^2-1}}~dy = 0
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang berpadanan,
\displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}~dx + \int \dfrac{y}{\sqrt{y^2-1}}~dy = C \bigstar
Dengan mengintegralkan bentuk di atas, kita memperoleh penyelesaian akhir, yaitu \boxed{ \sqrt{x^2-1} + \sqrt{y^2-1} = C}
Catatan: \bigstar Integral ini dapat ditentukan hasilnya dengan menggunakan metode substitusi tak linear. Baca: Integrasi (Pengintegralan) dengan Metode Substitusi

[collapse]

Soal Nomor 6 (♥♥♥)
Selesaikan PD x \sin y~dx + (x^2 + 1)~ \cos y~dy = 0

Penyelesaian

x \sin y~dx + (x^2 + 1)~ \cos y~dy = 0
Kalikan kedua ruas dengan \dfrac{1}{(x^2+1)\sin y}, diperoleh
\dfrac{x}{x^2+1}~dx + \dfrac{\cos y}{\sin y}~dy= 0
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
\displaystyle \int \dfrac{x}{x^2+1}~dx + \dfrac{\cos y}{\sin y}~dy= 0 \bigstar
\dfrac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + \ln (\sin y) = C
Jadi, solusi umum dari PD x \sin y~dx + (x^2 + 1)~ \cos y~dy = 0 adalah \boxed{\dfrac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + \ln (\sin y) = C}
(Catatan: \bigstar Anda dianjurkan untuk menguasai teknik-teknik pengintegralan dasar dan fungsi transenden)

[collapse]

Soal Nomor 7 (♥♥♥)
Selesaikan PD \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x + 3x^2}{y^2} untuk y = 6 ketika x = 0.

Penyelesaian

Persamaan di atas dapat diubah menjadi
y^2~dy = (x+3x^2)~dx
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
y^2~dy = (x+3x^2)~dx
\dfrac{1}{3}y^3 = \dfrac{1}{2}x^2 + x^3 + C_0
Kalikan 3 di kedua ruas:
y^3 = \dfrac{3}{2}x^2 + 3x^3 + C
y = \sqrt[3]{ \dfrac{3}{2}x^2 + 3x^3 + C}
Untuk menentukan nilai C, substitusikan y = 6 dan x = 0, sehingga memberikan
6 = \sqrt[3]{0 + 0 + C} \Leftrightarrow C = 6^3 = 216
Jadi, penyelesaiannya adalah
y = \sqrt[3]{ \dfrac{3}{2}x^2 + 3x^3 + 216}

[collapse]

Soal Nomor 8
Selesaikan PD x\dfrac{dy}{dx} = y^2 + 1

Penyelesaian

x\dfrac{dy}{dx} = y^2 + 1
x~dy - (y^2 + 1)dx = 0
\dfrac{dy}{y^2 + 1}- \dfrac{dx}{x} = 0
Integrasikan kedua ruas,
\displaystyle \int \dfrac{dy}{y^2 + 1} - \int \dfrac{dx}{x} = C
Selanjutnya, mungkin Anda bertanya bagaimana cara mengintegralkan \dfrac{dy}{y^2 + 1}
Jika Anda mengingat kembali materi kalkulus integral mengenai substitusi trigonometri, Anda pasti dapat mengintegralkannya. Berikut ini disajikan proses/teknik integrasinya jika Anda memang membutuhkannya.
Misalkan y = \tan \alpha, berarti dy = \sec^2 \alpha~d\alpha dan \alpha = \arctan y
y^2 + 1 = \tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha, maka
\displaystyle \int \dfrac{dy}{y^2 + 1} = \int \dfrac{\sec^2 \alpha d\alpha}{\sec^2 \alpha} = \int ~d\alpha = \alpha = \arctan y
Berarti,
\displaystyle \int \dfrac{dy}{y^2 + 1} - \int \dfrac{dx}{x} = C
\arctan y - \ln |x| = C
\ln e^{\arctan y} - \ln x = \ln e^C
\dfrac{e^{\arctan y}}{x} = e^C
Jadi, solusi umumnya adalah \boxed{\dfrac{e^{\arctan y}}{x} = e^C}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

2 Balasan untuk “Soal Latihan – Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *