Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Analisis Real 2 – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Jawaban a)
Diberikan barisan:  $2, -5, 10, -17, 26, \cdots$. Barisan ini dikenal sebagai barisan alternating (barisan yang silang tanda). Tinjau barisan dengan suku mutlaknya: $2, 5, 10, 17, 26, \cdots$ (dengan pola $+3, +5, +7, +9, \cdots$) yang merupakan barisan aritmetika tingkat II. Bentuk umumnya adalah $a_n = an^2 + bn + c$.
Jika $n$ dan $a_n$ disubstitusikan sesuai dengan suku barisan tersebut, diperoleh
$\begin{cases} 2 = a + b + c \\ 5 = 4a + 2b + c \\ 10 = 9a + 3b + c \end{cases}$
Selesaikan sistem ini dengan menerapkan metode penyelesaian SPLTV, sehingga diperoleh $a = 1, b = 0$, dan $c = 1$.
Jadi, barisan tersebut memiliki pola $a_n = n^2 + 1$.
Sekarang, karena yang dimaksud dalam soal adalah suatu barisan yang silang tanda, dan dengan meninjau bahwa suku ke-$1$ adalah $2$ (positif), maka barisan $2, -5, 10, -17, 26, \cdots$ memiliki pola $\text{U}_n = (-1)^{n+1}(n^2 + 1), n \in \mathbb{N}$.
Jawaban b)
Tinjau barisan $\dfrac{1}{2}, 1, \dfrac{7}{8}, \dfrac{5}{8}, \dfrac{13}{32}, \cdots$. Tampak sekilas bahwa barisan ini tidak memiliki pola, tetapi perhatikan bahwa kita dapat memanipulasi bentuk setiap sukunya menjadi sebagai berikut.
$\dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{4}, \dfrac{7}{8}, \dfrac{10}{16}, \dfrac{13}{32}, \cdots$
Polanya terpisah pada pembilang dan penyebut. Oleh karena itu, tinjaulah satu per satu.
Pada pembilang: barisan $1, 4, 7, 10, 13, \cdots$ merupakan barisan aritmetika tingkat I, dengan $a_n = 1 + (n -1) \times 3 = 3n -2$.
Pada penyebut: barisan $2, 4, 8, 16, 32, \cdots$ merupakan barisan geometri dengan $b_n = 2(2)^{n-1} = 2^n$. 
Jadi, pola barisan yang dimaksud pada soal adalah $\text{U}_n = \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{3n-2}{2^n}$.
Jawaban c) 
Barisan tersebut terbentuk karena ada bilangan berpola yang dikalikan dengan setiap sukunya, yaitu $\dfrac{8}{3}, \dfrac{9}{6}, \dfrac{4}{9}$, di mana pembilangnya memiliki pola barisan geometri dengan rasio $\dfrac{1}{2}$ (suku ganjil), penyebutnya berkelipatan $3$, dan pembilang untuk suku genap selalu $9$.
$$\begin{aligned} \dfrac{3}{2} \times \dfrac{8}{3} & = 4 \\ 4 \times \dfrac{9}{6} & = 6 \\ 6 \times \dfrac{4}{9} & = \dfrac{8}{3} \\ \dfrac{8}{3} \times \dfrac{9}{12} & = 2 \\ 2 \times \dfrac{2}{15} & = \dfrac{4}{15} \\ \dfrac{4}{15} \times \dfrac{9}{18} & = \dfrac{2}{15} \end{aligned}$$

Diketahui $\left|\dfrac{n^2+3}{3n^2 + 2} -\dfrac{1}{3} \right| < \varepsilon = \dfrac{2}{275}$.
Dengan menyamakan penyebut (pada ekspresi dalam harga mutlak), diperoleh
$$\begin{aligned} \left|\dfrac{(3n^2 + 9) -(3n^2 + 2)}{9n^2 + 6}\right| & < \dfrac{2}{275} \\ \dfrac{7}{9n^2 + 6} & < \dfrac{2}{275} \\ \dfrac{14}{18n^2 + 12} & < \dfrac{14}{1925} \\ 18n^2 + 12 & > 1925 \\ 18n^2 & > 1913 \\ n^2 & > 102,277\cdots \\ n & \geq 11 \end{aligned}$$Ini berarti, untuk $n \geq k$, nilai $k$ terkecil yang diambil adalah $\boxed{11}$

Menurut definisi limit/kekonvergenan,
$$\boxed{x_n \rightarrow x \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists k \in \mathbb{N} \ni n \geq k~\text{berlaku}~|x_n -x| < \varepsilon}$$Ambil sembarang $\varepsilon > 0$, sehingga berlaku juga bahwa $\dfrac{1}{\varepsilon} > 0$. Menurut Sifat Archimedean (SA), ada $k \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\dfrac{1}{\varepsilon} < k$, yang ekuivalen dengan $\dfrac{1}{k} < \varepsilon$. Lebih lanjut, karena $n \geq k$, berlaku juga $\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{k}$.
Sekarang, kita harus memeriksa apakah $|x_n -x| < \varepsilon$.
(Pengerjaan dari ruas kiri)
$\left|\dfrac{2n+1}{3n+2} -\dfrac{2}{3}\right| = \left|\dfrac{(6n+3)-(6n + 4)}{9n+6} \right|$
$ = \dfrac{1}{9n+6} \leq \dfrac{1}{9n} \leq \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{k} < \varepsilon$.
Jadi, terbukti bahwa $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{2n+1}{3n+2}\right) = \dfrac{2}{3}$. $\blacksquare$

Pada gambar 1, luas persegi tersebut adalah $L_1 = x^2$ satuan panjang.
Panjang sisi persegi pada gambar 2 dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$$\begin{aligned} s & = \sqrt{\left(\dfrac12x\right)^2 + \left(\dfrac12x\right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac12x^2} \\ & = x\sqrt{\dfrac12} \end{aligned}$$Luas persegi pada gambar 2 adalah $L_2 = \left(x\sqrt{\dfrac12}\right)^2 = \dfrac12x^2$ yang merupakan setengah dari luas persegi pada gambar 1.
Analog dengan ini, kita peroleh bahwa luas tiap persegi membentuk barisan geometri dengan $a = x^2$ dan $r = \dfrac{1}{2}$, sehingga 
$\begin{aligned} & U_{n}  = ar^{n-1} \\ & U_{1000} = x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1000-1} = x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{999} \end{aligned}$
Jadi, luas yang diarsir pada pola ke-$1000$ adalah $x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{999}$ satuan luas.