Soal dan Penyelesaian UTS Analisis Real 2


Berikut ini adalah 5 soal Ulangan Tengah Semester (UTS) mata kuliah Analisis Real 2 Tahun Ajaran 2017/2018 yang diujikan tanggal 31 Oktober 2017, oleh Dr. Dede Suratman.

1. Tuliskan pola barisan berikut.
a) 2, -5, 10, -17, 26, ...

b) \dfrac{1}{2}, 1, \dfrac{7}{8}, \dfrac{5}{8}, \dfrac{13}{32}, ...

c) \dfrac{3}{2}, 4, 6, \dfrac{8}{3}, 2, ...

2) Diberikan \varepsilon = \dfrac{2}{275}. Carilah k \in \mathbb{N} terkecil, sedemikian sehingga untuk n \geq k berlaku
\left|\dfrac{n^2+3}{3n^2 + 2} - \dfrac{1}{3} \right| < \varepsilon

3) Gunakan definisi kekonvergenan untuk membuktikan bahwa
\lim \left(\dfrac{2n+1}{3n+2}\right) = \dfrac{2}{3}

4) Selidiki apakah barisan X = \left(\dfrac{n^2 - 8n}{n^2+3}\right) terbatas! Apabila terbatas, tentukan batas-batasnya.

5) Perhatikan pola gambar berikut.

Apabila panjang sisi persegi pada pola pertama x satuan, tentukan luas daerah yang diarsir pada pola ke-1000 (modifikasi)

Jawaban:

Jawaban Nomor 1a
Diberikan barisan:  2, -5, 10, -17, 26, .... Barisan ini dikenal sebagai barisan alternating (barisan yang silang tanda). Tinjau barisan dengan suku mutlaknya: 2, 5, 10, 17, 26, .... (dengan pola +3, +5, +7, +9, ….) yang merupakan barisan aritmetika tingkat II. Bentuk umumnya adalah a_n = an^2 + bn + c. Jika n dan a_n disubstitusikan sesuai dengan suku barisan tersebut, diperoleh

\begin{cases} 2 = a + b + c \\ 5 = 4a + 2b + c \\ 10 = 9a + 3b + c \end{cases}
Selesaikan sistem ini dengan menerapkan metode penyelesaian SPLTV, sehingga diperoleh a = 1, b = 0, \text{dan}~c = 1. Jadi, barisan tersebut memiliki pola a_n = n^2 + 1. Sekarang, karena yang dimaksud dalam soal adalah suatu barisan yang silang tanda, dan dengan meninjau bahwa suku ke-1 adalah 2 (positif), maka barisan 2, -5, 10, -17, 26, ... memiliki pola u_n = (-1)^{n+1}(n^2 + 1), n \in \mathbb{N}

Jawaban Nomor 1b
Tinjau barisan \dfrac{1}{2}, 1, \dfrac{7}{8}, \dfrac{5}{8}, \dfrac{13}{32}, .... Tampak sekilas bahwa barisan ini tidak memiliki pola, tetapi perhatikan bahwa kita dapat memanipulasi bentuk setiap sukunya menjadi sebagai berikut.
\dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{4}, \dfrac{7}{8}, \dfrac{10}{16}, \dfrac{13}{32}, ...
Polanya terpisah pada pembilang dan penyebut. Oleh karena itu, tinjaulah satu per satu.
Pada pembilang: barisan 1, 4, 7, 10, 13, ... merupakan barisan aritmetika tingkat I, dengan a_n = 1 + (n - 1) \times 3 = 3n - 2.
Pada penyebut: barisan 2, 4, 8, 16, 32, ... merupakan barisan geometri dengan b_n = 2(2)^{n-1} = 2^n
Jadi, pola barisan yang dimaksud pada soal adalah
u_n = \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{3n-2}{2^n}

Jawaban Nomor 1c (Dijawab oleh Fajar Rachman, kolom komentar)
Barisan tersebut terbentuk karena ada bilangan berpola yang dikalikan dengan setiap sukunya, yaitu \dfrac{8}{3}, \dfrac{9}{6}, \dfrac{4}{9}, di mana pembilangnya memiliki pola barisan geometri dengan rasio \dfrac{1}{2} (suku ganjil), penyebutnya berkelipatan 3, dan pembilang untuk suku genap selalu 9.
\begin{aligned} & \dfrac{3}{2} \times \dfrac{8}{3} = 4 \\ & 4 \times \dfrac{9}{6} = 6 \\ & 6 * \dfrac{4}{9} = \dfrac{8}{3} \\ & \dfrac{8}{3} \times \dfrac{9}{12} = 2 \\ & 2 \times \dfrac{2}{15} = \dfrac{4}{15} \\ & \dfrac{4}{15} \times \dfrac{9}{18} = \dfrac{2}{15} \end{aligned}

Jawaban Nomor 2
\left|\dfrac{n^2+3}{3n^2 + 2} - \dfrac{1}{3} \right| < \varepsilon = \dfrac{2}{275}
Dengan menyamakan penyebut (pada ekspresi dalam harga mutlak), diperoleh

\left|\dfrac{(3n^2 + 9) - (3n^2 + 2)}{9n^2 + 6}\right| < \dfrac{2}{275}
\dfrac{7}{9n^2 + 6} < \dfrac{2}{275}
\dfrac{14}{18n^2 + 12} < \dfrac{14}{1925}
18n^2 + 12 > 1925 \Leftrightarrow 18n^2 > 1913
n^2 > 102,277... \Rightarrow n \geq 11
Ini berarti, untuk n \geq k, nilai k terkecil yang diambil adalah 11. 

Jawaban Nomor 3
Menurut definisi limit/kekonvergenan,
\boxed{x_n \rightarrow x \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists k \in \mathbb{N} \ni n \geq k~\text{berlaku}~|x_n - x| < \varepsilon}
Ambil sembarang \varepsilon > 0, sehingga berlaku juga bahwa \dfrac{1}{\varepsilon} > 0. Menurut Sifat Archimedean (SA), ada k \in \mathbb{N} sedemikian sehingga \dfrac{1}{\varepsilon} < k, yang ekuivalen dengan \dfrac{1}{k} < \varepsilon. Lebih lanjut, karena n \geq k, berlaku juga \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{k}.
Sekarang, kita harus memeriksa apakah |x_n - x| < \varepsilon
(Pengerjaan dari ruas kiri)
\left|\dfrac{2n+1}{3n+2} - \dfrac{2}{3}\right| = \left|\dfrac{(6n+3)-(6n + 4)}{9n+6} \right|
= \dfrac{1}{9n+6} \leq \dfrac{1}{9n} \leq \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{k} < \varepsilon
Jadi, terbukti bahwa \lim \left(\dfrac{2n+1}{3n+2}\right) = \dfrac{2}{3}. \blacksquare 

Jawaban Nomor 4
Barisan X ini merupakan barisan yang terbatas, karena dengan meninjau sifat limit tak berhingga dan berdasarkan sifat limit, kita tahu bahwa
\lim \left(\dfrac{n^2 - 8n}{n^2+3}\right) = 1
Sekarang, kita menduga bahwa 1 merupakan batas atas barisan X. Berangkat dari konsep bilangan asli, bahwa
n \geq -\dfrac{8}{3} \Leftrightarrow -8n \leq 3
n^2 - 8n \leq n^2 + 3 \Leftrightarrow \dfrac{n^2 - 8n}{n^2 + 3} \leq 1
Jadi, benar bahwa batas atas barisan X adalah 1.
Selanjutnya, kita menduga bahwa -\dfrac{7}{4} merupakan batas bawah barisan X (saat n = 1). (to be continued…)

Jawaban Nomor 5
Luas bangun datar tersebut membentuk barisan geometri dengan a = x^2 dan r = \dfrac{1}{2}, sehingga 
\begin{aligned} & U_{n}  = ar^{n-1} \\ & U_{1000} = x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1000-1} = x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{999} \end{aligned}
Jadi, luas yang diarsir pada pola ke-1000 adalah x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{999} satuan luas.

Ayo Beri Rating Postingan Ini

6 Balasan untuk “Soal dan Penyelesaian UTS Analisis Real 2”

  1. menurut saya 1c selanjutnya adalah bil 4/15

    diliat dr rasionya

    8/3 ,9/6 ,4/9 ,9/12 lalu saya lanjutin 2/15 ,9/18 ,1/21

    semoga faham

    Rate
  2. utk no 5 menurut saya jawabannya x)/(2^999

    dr derat satu ke deret lainnya mempunyai luas yg berasio 1/2
    U1 = x)/(2^0
    U2 = x)/(2^1

    Un = x)/(2^(n-1
    U1000 = x)/(2^(1000-1
    U1000 = x)/(2^999
    $€M0G4 F4H4M

    Rate

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *