Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Analisis Real 2 – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

       Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasan mata kuliah Analisis Real 2 (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 5 oleh Dr. Dede Suratman, M.Si pada tanggal 31 Oktober 2017.

Soal Nomor 1
Tuliskan pola barisan berikut.

a) $2, -5, 10, -17, 26, \cdots$
b) $\dfrac{1}{2}, 1, \dfrac{7}{8}, \dfrac{5}{8}, \dfrac{13}{32}, \cdots$
c) $\dfrac{3}{2}, 4, 6, \dfrac{8}{3}, 2, \cdots$

Pembahasan

Jawaban a)
Diberikan barisan:  $2, -5, 10, -17, 26, \cdots$. Barisan ini dikenal sebagai barisan alternating (barisan yang silang tanda). Tinjau barisan dengan suku mutlaknya: $2, 5, 10, 17, 26, \cdots$ (dengan pola $+3, +5, +7, +9, \cdots$) yang merupakan barisan aritmetika tingkat II. Bentuk umumnya adalah $a_n = an^2 + bn + c$.
Jika $n$ dan $a_n$ disubstitusikan sesuai dengan suku barisan tersebut, diperoleh

$\begin{cases} 2 = a + b + c \\ 5 = 4a + 2b + c \\ 10 = 9a + 3b + c \end{cases}$
Selesaikan sistem ini dengan menerapkan metode penyelesaian SPLTV, sehingga diperoleh $a = 1, b = 0$, dan $c = 1$.
Jadi, barisan tersebut memiliki pola $a_n = n^2 + 1$.
Sekarang, karena yang dimaksud dalam soal adalah suatu barisan yang silang tanda, dan dengan meninjau bahwa suku ke-$1$ adalah $2$ (positif), maka barisan $2, -5, 10, -17, 26, \cdots$ memiliki pola $\text{U}_n = (-1)^{n+1}(n^2 + 1), n \in \mathbb{N}$.
Jawaban b)
Tinjau barisan $\dfrac{1}{2}, 1, \dfrac{7}{8}, \dfrac{5}{8}, \dfrac{13}{32}, \cdots$. Tampak sekilas bahwa barisan ini tidak memiliki pola, tetapi perhatikan bahwa kita dapat memanipulasi bentuk setiap sukunya menjadi sebagai berikut.
$\dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{4}, \dfrac{7}{8}, \dfrac{10}{16}, \dfrac{13}{32}, \cdots$
Polanya terpisah pada pembilang dan penyebut. Oleh karena itu, tinjaulah satu per satu.
Pada pembilang: barisan $1, 4, 7, 10, 13, \cdots$ merupakan barisan aritmetika tingkat I, dengan $a_n = 1 + (n -1) \times 3 = 3n -2$.
Pada penyebut: barisan $2, 4, 8, 16, 32, \cdots$ merupakan barisan geometri dengan $b_n = 2(2)^{n-1} = 2^n$. 
Jadi, pola barisan yang dimaksud pada soal adalah
$\text{U}_n = \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{3n-2}{2^n}$
Jawaban c) 
Barisan tersebut terbentuk karena ada bilangan berpola yang dikalikan dengan setiap sukunya, yaitu $\dfrac{8}{3}, \dfrac{9}{6}, \dfrac{4}{9}$, di mana pembilangnya memiliki pola barisan geometri dengan rasio $\dfrac{1}{2}$ (suku ganjil), penyebutnya berkelipatan $3$, dan pembilang untuk suku genap selalu $9$.
$\begin{aligned} & \dfrac{3}{2} \times \dfrac{8}{3} = 4 \\ & 4 \times \dfrac{9}{6} = 6 \\ & 6 * \dfrac{4}{9} = \dfrac{8}{3} \\ & \dfrac{8}{3} \times \dfrac{9}{12} = 2 \\ & 2 \times \dfrac{2}{15} = \dfrac{4}{15} \\ & \dfrac{4}{15} \times \dfrac{9}{18} = \dfrac{2}{15} \end{aligned}$ 

[collapse]

Soal Nomor 2
Diberikan $\varepsilon = \dfrac{2}{275}$. Carilah $k \in \mathbb{N}$ terkecil, sedemikian sehingga untuk $n \geq k$ berlaku

$\left|\dfrac{n^2+3}{3n^2 + 2} -\dfrac{1}{3} \right| < \varepsilon$.

Pembahasan

$\left|\dfrac{n^2+3}{3n^2 + 2} -\dfrac{1}{3} \right| < \varepsilon = \dfrac{2}{275}$
Dengan menyamakan penyebut (pada ekspresi dalam harga mutlak), diperoleh

$\left|\dfrac{(3n^2 + 9) -(3n^2 + 2)}{9n^2 + 6}\right| < \dfrac{2}{275}$
$\dfrac{7}{9n^2 + 6} < \dfrac{2}{275}$
$\dfrac{14}{18n^2 + 12} < \dfrac{14}{1925}$
$18n^2 + 12 > 1925 \Leftrightarrow 18n^2 > 1913$
$n^2 > 102,277\cdots \Rightarrow n \geq 11$
Ini berarti, untuk $n \geq k$, nilai $k$ terkecil yang diambil adalah $\boxed{11}

[collapse]

Soal Nomor 3
Gunakan definisi kekonvergenan untuk membuktikan bahwa 
$\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{2n+1}{3n+2}\right) = \dfrac{2}{3}$.

Pembahasan

Menurut definisi limit/kekonvergenan,
$\boxed{\begin{aligned} & x_n \rightarrow x \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists k \in \mathbb{N} \ni n \geq k \\ &~\text{berlaku}~|x_n -x| < \varepsilon} \end{aligned}$
Ambil sembarang $\varepsilon > 0$, sehingga berlaku juga bahwa $\dfrac{1}{\varepsilon} > 0$. Menurut Sifat Archimedean (SA), ada $k \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\dfrac{1}{\varepsilon} < k$, yang ekuivalen dengan $\dfrac{1}{k} < \varepsilon$. Lebih lanjut, karena $n \geq k$, berlaku juga $\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{k}$.
Sekarang, kita harus memeriksa apakah $|x_n -x| < \varepsilon$
(Pengerjaan dari ruas kiri)
$\left|\dfrac{2n+1}{3n+2} -\dfrac{2}{3}\right| = \left|\dfrac{(6n+3)-(6n + 4)}{9n+6} \right|$
$ = \dfrac{1}{9n+6} \leq \dfrac{1}{9n} \leq \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{k} < \varepsilon$
Jadi, terbukti bahwa $\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{2n+1}{3n+2}\right) = \dfrac{2}{3}$. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 4
Selidiki apakah barisan $X = \left(\dfrac{n^2 -8n}{n^2+3}\right)$ terbatas! Apabila terbatas, tentukan batas-batasnya.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan pola gambar berikut.


Apabila panjang sisi persegi pada pola pertama $x$ satuan, tentukan luas daerah yang diarsir pada pola ke-$1000$.

Pembahasan

Pada gambar 1, luas persegi tersebut adalah $L_1 = x^2$ satuan panjang.
Panjang sisi persegi pada gambar 2 dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} s & = \sqrt{\left(\dfrac12x\right)^2 + \left(\dfrac12x\right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac12x^2} \\ & = x\sqrt{\dfrac12} \end{aligned}$
Luas persegi pada gambar 2 adalah $L_2 = \left(x\sqrt{\dfrac12}\right)^2 = \dfrac12x^2$ yang merupakan setengah dari luas persegi pada gambar 1.
Analog dengan ini, kita peroleh bahwa luas tiap persegi membentuk barisan geometri dengan $a = x^2$ dan $r = \dfrac{1}{2}$, sehingga 

$\begin{aligned} & U_{n}  = ar^{n-1} \\ & U_{1000} = x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1000-1} = x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{999} \end{aligned}$
Jadi, luas yang diarsir pada pola ke-$1000$ adalah $x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{999}$ satuan luas.

[collapse]

CategoriesUTS Mata Kuliah, Analisis RealTags, , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *