Materi, Soal, dan Pembahasan – Sumasi Rangkap

Sumasi rangkap (multiple summation) sering kali muncul dalam berbagai konteks. Prinsipnya sama halnya seperti perulangan bersarang (nested loops) pada sistem pemrograman komputer. Sumasi rangkap memuat setidaknya dua notasi sigma dengan indeks yang berbeda. Sebagai contoh, berikut diberikan contoh sumasi rangkap dua (double summation) dan rangkap tiga (triple summation).
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{i = 1}^9 \sum_{j = 1}^{12} (i + 2j) \\ & \sum_{k = -3}^8 \sum_{j = 6}^{18} \sum_{i = 2}^8 (i-2j+3k) \end{aligned}$$Karena melibatkan penggunaan notasi sigma yang lebih banyak, sebaiknya Anda pelajari terlebih dahulu sumasi tunggal yang ada pada tautan berikut.

Baca: Soal dan Pembahasan – Notasi Sigma 

Untuk menghitung nilai dari sumasi rangkap, jabarkan sumasi yang lebih dalam terlebih dahulu, kemudian baru dilanjutkan pada penjabaran sumasi yang lebih luar. Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i = 1}^4 \sum_{j = 1}^3 ij & = \sum_{i=1}^4 (i + 2i + 3i) \\ & = \sum_{i = 1}^4 6i \\ & = 6 + 12 + 18 + 24 = 60 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa kita tidak perlu menuliskan rumus barisannya dalam kurung ketika hanya memuat satu suku. Namun, ketika memuat lebih dari satu suku, tanda kurung mesti digunakan seperti contoh berikut.
$$\sum_{i = 1}^4 \sum_{j = 1}^3 \color{red}{(i + j)}$$

Jumlah deret ketika indeksnya tidak saling bergantung (independent) menghasilkan sifat pada sumasi rangkap berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m f(i) f(j) & = f(1) \sum_{j=1}^m f(j) + f(2) \sum_{j=1}^m f(j) + \cdots + f(n) \sum_{j=1}^m f(j) \\ & = (f(1) + f(2) + \cdots + f(n))\left(\sum_{j=1}^m f(j)\right) \\ & = \sum_{i=1}^n f(i) \sum_{j=1}^m f(j). \end{aligned}$$Sifat tersebut dapat digeneralisasi sampai sumasi rangkap yang lebih besar dari dua. Selain itu, sifat tersebut dapat sewaktu-waktu digunakan untuk mempermudah proses perhitungan operasi sumasi rangkap seperti contoh yang diberikan berikut.

Contoh

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Hitunglah hasil dari $$\displaystyle \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n \sum_{k=0}^n C(n, i) \cdot C(n, j) \cdot C(n, k).$$Catatan: Notasi $C(n, k)$ menyatakan kombinasi $k$ dari $n$ objek.

Pembahasan: Dengan menggunakan teorema binomial, diperoleh
$$2^n = C(n, 0) + C(n, 1) + \cdots + C(n, n) = \displaystyle \sum_{i=0}^n C(n, i).$$Oleh karena itu, didapat
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n \sum_{k=0}^n C(n, i) \cdot C(n, j) \cdot C(n, k) & = \sum_{i=0}^n C(n, i) \sum_{j=0}^n C(n, j) \sum_{k=0}^n C(n, k) \\ & = 2^n \cdot 2^n \cdot 2^n \\ & = 8^n. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari operasi sumasi rangkap tersebut adalah $\boxed{8^n}$

Selain itu, ada juga sumasi rangkap yang indeks bergantung dengan indeks lain, misalnya $$\displaystyle \sum_{i = 3}^9 \sum_{j = 1}^{i-1} (3i -2j).$$

Today Quote

Gembok tidak pernah dibuat tanpa kunci. Demikian pula Tuhan tidak pernah memberi masalah tanpa solusi.

Berikut ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan terkait perhitungan yang melibatkan sumasi rangkap.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Nilai dari $\displaystyle \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 2}^4 (i +j)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $18$                      C. $30$                       E. $60$
B. $27$                      D. $45$

Pembahasan

Jabarkan menjadi deret dimulai dari notasi sigma dengan indeks $j,$ kemudian dilanjutkan dengan penjabaran notasi sigma dengan indeks $i.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 2}^4 (i +j) & = \sum_{i = 1}^3 \left((i + 2) + (i + 3) + (i + 4)\right) \\ & = \sum_{i=1}^3 (3i + 9) \\ & = 3 \sum_{i=1}^3 (i + 3) \\ & = 3 \left(\sum_{i=1}^3 i + \sum_{i = 1}^3 3\right) \\ & = 3\left((1 + 2 + 3) + 3(3)\right) \\ & = 3(6 + 9) \\ & = 45 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 2}^4 (i +j)$ adalah $\boxed{45}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2

Nilai dari $\displaystyle \sum_{i = 1}^4 \sum_{j = 0}^3 i$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10$                      C. $40$                       E. $80$
B. $20$                      D. $60$

Pembahasan

Jabarkan menjadi deret dimulai dari notasi sigma dengan indeks $j,$ kemudian dilanjutkan dengan penjabaran notasi sigma dengan indeks $i.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i = 1}^4 \sum_{j = 0}^3 i & = \sum_{i=1}^4 (i + i + i + i) \\ & = 4 \sum_{i=1}^4 i \\ & = 4(1 + 2 + 3 + 4) \\ & = 40 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \sum_{i = 1}^4 \sum_{j = 0}^3 i$ adalah $\boxed{40}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3

Nilai dari $\displaystyle \sum_{i = 1}^4 \sum_{j = -1}^2 j$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                        C. $8$                      E. $16$
B. $6$                        D. $12$

Pembahasan

Jabarkan menjadi deret dimulai dari notasi sigma dengan indeks $j,$ kemudian dilanjutkan dengan penjabaran notasi sigma dengan indeks $i.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i = 1}^4 \sum_{j = -1}^2 j \\ & = \sum_{i=1}^4 (-1 + 0 + 1 + 2) \\ & = \sum_{i=1}^4 2 \\ & = 4(2) = 8\end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \sum_{i = 1}^4 \sum_{j = -1}^2 j$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4

Nilai dari $\displaystyle \sum_{i=-3}^{68} \sum_{j=5}^{18} (3i-2j)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $75.096$                     D. $97.958$                              
B. $80.012$                     E. $110.304$
C. $84.428$                        

Pembahasan

Karena penjabaran deretnya melibatkan banyak suku, akan lebih efektif jika kita menggunakan sifat-sifat notasi sigma dan rumus deret.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=-3}^{68} \sum_{j=5}^{18} (3i-2j) & = \sum_{i=1}^{72} \sum_{j=1}^{14} (3(i-4)-2(j+4)) \\ & = \sum_{i=1}^{72} \sum_{j=1}^{14} (3i-2j-20) \\ & = \sum_{i=1}^{72} \left(3i \sum_{j=1}^{14} 1-2\sum_{j=1}^{14} j-20\sum_{j=1}^{14} 1\right) \\ & = \sum_{i=1}^{72} \left(3i \cdot 14(1)-\cancel{2} \cdot \dfrac{14(15)}{\cancel{2}}-20 \cdot 14(1)\right) \\ & =\sum_{i=1}^{72} (42i-490) \\ & = 42 \sum_{i=1}^{72} i-490 \sum_{i=1}^{72} 1 \\ & = \cancelto{21}{42} \cdot \dfrac{72(73)}{\cancel{2}}-490 \cdot 72(1) \\ & = 75.096 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \sum_{i=-3}^{68} \sum_{j=5}^{18} (3i-2j)$ adalah $\boxed{75.096}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5

Nilai dari $\displaystyle \sum_{i = 2}^3 \sum_{j=3}^5 \sum_{k = -1}^2 (i-j+k)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $24$                      C. $-6$                      E. $-48$
B. $6$                        D. $-24$

Pembahasan

Jabarkan menjadi deret dimulai dari notasi sigma dengan indeks $k,$ kemudian dilanjutkan dengan penjabaran notasi sigma dengan indeks $j,$ lalu terakhir, jabarkan notasi sigma dengan indeks $i.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i = 2}^3 \sum_{j=3}^5 \sum_{k = -1}^2 (i-j+k) & = \sum_{i = 2}^3 \sum_{j=3}^5 \left[(i-j-1) + (i-j+0) + (i-j+1) + (i-j+2)\right] \\ & = \sum_{i = 2}^3 \sum_{j=3}^5 (4i-4j + 2) \\ & = \sum_{i = 2}^3 \left[(4i-4(3) + 2) + (4i-4(4) + 2) + (4i-4(5) + 2)\right] \\ & = \sum_{i = 2}^3 (12i-42) \\ & = (12(2)-42) + (12(3)-42) \\ & = -24 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \sum_{i = 2}^3 \sum_{j=3}^5 \sum_{k = -1}^2 (i-j+k)$ adalah $\boxed{-24}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6

Notasi sigma untuk menyatakan $$\displaystyle \sum_{j = -1}^{12} (-1-j) + \sum_{j = 0}^{12} (0-j) + \sum_{j = 1}^{12} (1-j) + \cdots + \sum_{j = 8}^{12} (8-j)$$adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{i = -1}^8 \sum_{j=i}^{12} (i-j)$
B. $\displaystyle \sum_{i = 1}^8 \sum_{j=i}^{12} (i-j)$
C. $\displaystyle \sum_{j=i}^{8} \sum_{i = -1}^{12} (i-j)$
D. $\displaystyle \sum_{i = j}^8 \sum_{j=1}^{12} (i-j)$
E. $\displaystyle \sum_{i = -j}^8 \sum_{j=-1}^{12} (i-j)$

Pembahasan

Perhatikan bahwa suku deret tersebut berbentuk $\displaystyle \sum_{j = x}^{12} (x-j)$ untuk $x \in \{-1, 0, 1, \cdots, 8\}.$ Dengan demikian, notasi sigma yang sesuai untuk menyatakan deret tersebut adalah $$\boxed{\displaystyle \sum_{i = -1}^8 \sum_{j=i}^{12} (i-j)}$$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7

Misalkan $a$ merupakan bilangan real dengan $|a| > 1.$ Nilai dari $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{a^{i +j+k}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(a+1)^3$                       D. $(a-1)^{-3}$
B. $(a-1)^3$                        E. $(a+1)^{-3}$
C. $1$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{a^{i +j+k}} & = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{a^i} \cdot \dfrac{1}{a^j} \cdot \dfrac{1}{a^k} \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{a^i} \sum_{j=1}^{\infty} \dfrac{1}{a^j} \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{a^k}. \end{aligned}$$Tinjau deret geometri takhingga $$S = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a^3} + \cdots$$Jumlahannya konvergen ke suatu bilangan karena $|a| > 1$ sehingga $-1 < r = \dfrac{1}{a} < 1,$ atau $|r| < 1.$ Karena suku pertama dan rasionya $\dfrac{1}{a},$ diperoleh $S = \dfrac{\dfrac{1}{a}}{1-\dfrac{1}{a}} = \dfrac{1}{a-1}.$
Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{a^i} \sum_{j=1}^{\infty} \dfrac{1}{a^j} \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{a^k} & = \dfrac{1}{a-1} \cdot \dfrac{1}{a-1} \cdot \dfrac{1}{a-1} \\ & = \dfrac{1}{(a-1)^3} \\ & = (a-1)^{-3}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{a^{i +j+k}}$ adalah $\boxed{(a-1)^{-3}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8

Nilai dari $\displaystyle \sum_{i=3}^5 \sum_{j=1}^{i-1} (i + j)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $41$                      C. $57$                     E. $81$
B. $49$                      D. $69$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\displaystyle \sum_{i=3}^5 \sum_{j=1}^{i-1} (i + j)$ merupakan contoh sumasi rangkap dua yang indeks $j$-nya bergantung pada indeks $i.$ Namun, kita tetap dapat menghitung hasilnya dengan prinsip yang sama.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=3}^5 \sum_{j=1}^{i-1} (i + j) & = \sum_{i=3}^5 \left[(i + 1) + (i + 2) + \cdots + (i + (i-1))\right] \\ & = \sum_{i=3}^5 \left[i(i-1) + (1 + 2 + \cdots + (i-1)\right] \\ & = \sum_{i=3}^5 \left(i(i-1) + \dfrac{i(i-1)}{2}\right) \\ & = \dfrac32 \sum_{i=3}^5 i(i-1) \\ & = \dfrac32\left(3(2) + 4(3) + 5(4)\right) \\ & = \dfrac32(6 + 12 + 20) \\ & = 57 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \sum_{i=3}^5 \sum_{j=1}^{i-1} (i + j)$ adalah $\boxed{57}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9

Nilai dari $\displaystyle \sum_{i=5}^{12} \sum_{j=1}^{i-2} (i-2j)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $38$                      C. $64$                       E. $98$
B. $52$                      D. $80$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\displaystyle \sum_{i=3}^5 \sum_{j=1}^{i-1} (i + j)$ merupakan contoh sumasi rangkap dua yang indeks $j$-nya bergantung pada indeks $i.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=5}^{12} \sum_{j=1}^{i-2} (i-2j) & = \sum_{i=5}^{12} \left[(i-2(1)) + (i-2(2)) + \cdots (i-2(i-2))\right] \\ & = \sum_{i=5}^{12} \left[i(i-2)-2(1 + 2 + \cdots + (i-2))\right] \\ & = \sum_{i=5}^{12} \left(i(i-2)-\cancel{2} \cdot \dfrac{(i-1)(i-2)}{\cancel{2}}\right) \\ & = \sum_{i=5}^{12} (i-2)(i-(i-1)) \\ & = \sum_{i=5}^{12} (i-2) \\ & = \sum_{i=5}^{12} i-\sum_{i=5}^{12} 2 \\ & = (5 + 6 + \cdots + 12)-8(2) \\ & = 52 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \sum_{i=5}^{12} \sum_{j=1}^{i-2} (i-2j)$ adalah $\boxed{52}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Nilai dari $$\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j = i + 1}^{n} \left(C(n, i) + C(n, j)\right)$$adalah $\cdots \cdot$
A. $(n-1) \cdot 2^n$
B. $n \cdot 2^{n-1}$
C. $n \cdot 2^n$
D. $(n+1) \cdot 2^n$
E. $(n+1) \cdot 2^{n+1}$

Pembahasan

Tinjau penjabaran dari deret-deret yang berubah karena nilai $i.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Nilai}~i & \text{Nilai}~j & \text{Deret} \\ \hline i = 0 & 1 \le j \le n & (C(n, 0) + C(n, 1)) + (C(n, 0) + C(n, 2)) + \cdots + (C(n, 0) + C(n, n)) \\ i = 1 & 2 \le j \le n & (C(n, 1) + C(n, 2)) + (C(n, 1) + C(n, 3)) + \cdots + (C(n, 1) + C(n, n)) \\ i = 2 & 3 \le j \le n & (C(n, 2) + C(n, 3)) + (C(n, 2) + C(n, 4)) + \cdots + (C(n, 2) + C(n, n)) \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ i = n-1 & j = n & C(n, n-1) + C(n, n) \\ \hline \end{array}$$Jika semua deret dijumlahkan, masing-masing suku $C(n, 0),$ $C(n, 1),$ $C(n, 2), \cdots,$ dan $C(n, n)$ muncul sebanyak $n$ kali sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j = i + 1}^{n} \left(C_(n, i) + C(n, j)\right) & = nC(n, 0) + nC(n, 1) + nC(n, 2) + \cdots + nC(n, n) \\ & = n(C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + \cdots + C(n, n)) \\ & = n \cdot 2^n. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j = i + 1}^{n} \left(C_(n, i) + C(n, j)\right) = n \cdot 2^n}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11

Nilai dari $$\displaystyle \underset{0 \le k \le m \le p \le n}{\sum \sum \sum} C(n, p) \cdot C(p, m) \cdot C(m, k)$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2^n$
B. $3^n$
C. $4^n$
D. $4^{k + m + p}$
E. $4^{k + m + p + n}$

Pembahasan

Kita akan melibatkan penggunaan teorema binomial untuk menyelesaikan soal ini.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \underset{0 \le k \le m \le p \le n}{\sum \sum \sum} C(n, p) \cdot C(p, m) \cdot C(m, k) \\ & = \sum_{k=0}^n \sum_{m=k}^n \sum_{p=m}^n \dfrac{n!}{\cancel{p!}(n-p)!} \cdot \dfrac{\cancel{p!}}{m! \cdot (p-m)!} \cdot C(m, k) \\ & = \sum_{k=0}^n \sum_{m=k}^n \sum_{p=m}^n \dfrac{n!}{m!(n-m)!} \cdot \dfrac{(n-m)!}{(n-p)!(p-m)!} \cdot C(m, k) \\ & = \sum_{k=0}^n \sum_{m=k}^n \sum_{p=m}^n C(n, m) \cdot C(n-m, p-m) \cdot C(m, k) \\ & = \sum_{k=0}^n \sum_{m=k}^n C(n, m) \cdot C(m, k) \cdot \sum_{p=m}^n C(n-m, p-m) \\ & = \\ & = \sum_{k=0}^n \sum_{m=k}^n C(n, m) \cdot C(m, k) \cdot \sum_{p=m}^n C(n-m, p-m) 1^{n-p} \cdot 1^{p-m} \\ & = \sum_{k=0}^n \sum_{m=k}^n C(n, m) \cdot C(m, k) \cdot (1+1)^{n-m} && (\text{Teorema binomial}) \\ & = \sum_{k=0}^n \sum_{m=k}^n C(n, m) \cdot C(m, k) \cdot 2^{n-m} \\ & = \sum_{k=0}^n \sum_{m=k}^n \dfrac{n!}{\cancel{m!}(n-m)!} \cdot \dfrac{\cancel{m!}}{k!(m-k)!} \cdot 2^{n-m} \\ & = \sum_{k=0}^n \sum_{m=k}^n \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \dfrac{(n-k)!}{(n-m)!(m-k)!} \cdot 2^{n-m} \\ & = \sum_{k=0}^n \sum_{m=k}^n C(n, k) \cdot C(n-k, m-k) \cdot 2^{n-m} \\ & = \sum_{k=0}^n C(n, k) \sum_{m=k}^n C(n-k, m-k) \cdot 2^{n-m} \\ & = \sum_{k=0}^n C(n, k) \sum_{m=k}^n C(n-k, m-k) \cdot 2^{n-m} \cdot 1^{m-k} \\ & = \sum_{k=0}^n C(n, k) (2+1)^{n-k} && (\text{Teorema binomial}) \\ & = \sum_{k=0}^n C(n, k) 3^{n-k} \\ & = \sum_{k=0}^n C(n, k) 3^{n-k} \cdot 1^k \\ & = (3 + 1)^n && (\text{Teorema binomial}) \\ & = 4^n \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \underset{0 \le k \le m \le p \le n}{\sum \sum \sum} C(n, p) \cdot C(p, m) \cdot C(m, k) = 4^n}$$(Jawaban C)

[collapse]

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini jika ada kesalahan pengetikan sekecil apa pun, seperti kesalahan pengetikan, kode LaTeX yang tidak berjalan, atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x