Soal dan Pembahasan – Koset dan Subgrup Normal

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai koset dan subgrup normal yang merupakan submateri dari mata kuliah Struktur Aljabar. Semoga bermanfaat!

Definisi Koset

Jika $H$ subgrup dari $G, a \in G$, maka
1) $Ha = \{ha~|~h \in H\}$ disebut koset kanan $H$ dalam $G$
2) $aH = \{ah~|~h \in H\}$ disebut koset kiri $H$ dalam $G$

Definisi Subgrup Normal

Definisi 1: Jika $N$ subgrup dari $G$, maka $N$ disebut subgrup normal dari $G$ jika dan hanya jika $gN = Ng, \forall g \in G$.
Definisi 2: Jika $N$ subgrup dari $G$, maka $N$ disebut subgrup normal dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $g \in G, n \in N$, berlaku $gng^{-1} \in N$.
Definisi 3: $N$ subgrup dari $G$ disebut subgrup normal dari $G$ jika dan hanya jika $gNg^{-1} \subseteq N, \forall g \in G$.

Soal Nomor 1
Diberikan $(G, +)$ merupakan grup dengan $G = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}$. Jika $(H, +)$ dengan $H$ himpunan bilangan bulat kelipatan $3$ adalah subgrup dari $G$, tentukan $H2, H3$, dan $-2H$

Penyelesaian

Diketahui $H = \{\cdots, -6, -3, 0, 3, 6, \cdots\}$
$$\begin{aligned} H2 & = \{ \cdots, (-6 + 2), (-3 + 2), (0 + 2), (3 + 2), (6 + 2), \cdots\} \\ & = \{ \cdots, -4, -1, 2, 5, 8, \cdots\} \end{aligned}$$
Selanjutnya,
$$\begin{aligned} H3 & = \{ \cdots, (-6 + 3), (-3 + 3), (0 + 3), (3 + 3), (6 + 3), \cdots\} \\ & = \{ \cdots, -3, 0, 3, 6, 9, \cdots\} = H \end{aligned}$$
Terakhir,
$$\begin{aligned} & -2H \\ & = \{\cdots, (-2 + (-6)), (-2 + (-3)), (-2 + 0), (-2 + 3), (-2 + 6), \cdots \} \\ & = \{\cdots, -8, -5, -2, 1, 4 \} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui $(G, \times)$ grup.
$G = \{1, -1, i, -i\}$ dengan $i = \sqrt{-1}$
$H = \{1, -1\}$ subgrup dari $G$
Tentukan koset kanan dan koset kiri dari $H$ dalam $G$

Penyelesaian

Koset-koset kanan dari $H$ dalam $G$
$$\begin{aligned} H1 & = \{1 \times 1, -1 \times 1\} = \{1, -1\} = H \\ H(-1) & = \{1 \times (-1), -1 \times (-1)\} = \{-1, 1\} = H \\ Hi & = \{1 \times i, -1 \times i\} = \{i, -i\} \\H(-i) & = \{1 \times (-i), -1 \times (-i)\} = \{-i, i\} \end{aligned}$$
Koset-koset kiri dari $H$ dalam $G$
$$\begin{aligned} 1H & = \{1 \times 1, 1 \times (-1)\} = \{-1, 1\} = H \\-1H & = \{-1 \times 1, -1 \times (-1)\} = \{-1, 1\} = H \\ iH & = \{i \times 1, i \times (-1)\} = \{i, -i\} \\ -iH & = \{-i \times 1, -i \times (-i)\} = \{-i, i\} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 3
Berapa banyak koset kanan berlainan dari $4\mathbb{Z}$ pada $\mathbb{Z}$ pada operasi penjumlahan?

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\mathbb{Z} = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}$
$4\mathbb{Z} = \{\cdots, -8, -4, 0, 4, 8, \cdots\}$
Unsur $0, 1, 2, 3 \in \mathbb{Z}$, sehingga dapat ditulis
$4\mathbb{Z}+ 0 = \{\cdots, -8, -4, 0, 4, 8, \cdots\}$
$4\mathbb{Z}+1 = \{\cdots, -7, -3, 1, 5, 9,\cdots\}$
$4\mathbb{Z}+2 = \{\cdots, -6, -2, 2, 6, 10, \cdots\}$
$4\mathbb{Z}+3 = \{\cdots, -5, -1, 3, 7, 11, \cdots\}$
(Selanjutnya, akan berulang secara periodik)
Jadi, ada $4$ koset kanan berlainan dari $4\mathbb{Z}$ dalam $\mathbb{Z}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $G = \langle a \rangle$ adalah grup atas penjumlahan bilangan real, $n(G) = 10$, dan $H$ adalah subgrup dari $G$ dengan generator $a^2$, tentukan semua koset kanan $H$ dalam $G$ serta indeksnya.

Penyelesaian

Karena $a$ adalah generator dari $G$ dan banyak anggota $G$ adalah 10, maka dapat ditulis
$G = \{a, a^2, a^3, \cdots, a^9, a^{10} = e\}$
Sedangkan,
$H = \{a^2, a^4, a^6, a^8, a^{10} = e\}$
Dengan menggunakan teorema $Hx = H$ jika dan hanya jika $x \in H$, maka diperoleh
$Ha^2 = Ha^4 = Ha^6 = Ha^8 = Ha^{10}$
Selanjutnya,
$Ha = \{a^3, a^5, a^7, a^9, a^1\}$
$Ha^3 = \{a^5, a^7, a^9, a^1, a^3\}$
$Ha^5 = \{a^7, a^9, a^1, a^3, a^5\}$
$Ha^7 = \{a^9, a^1, a^3, a^5, a^7\}$
$Ha^9 = \{a^1, a^3, a^5, a^7, a^9\}$
Diperoleh $Ha = Ha^3 = Ha^5 = Ha^7 = Ha^9$
Jadi, ada $2$ koset kanan berlainan dalam $G$. Berarti indeksnya adalah $2$. Atau,
$I_G(H) = \dfrac{n(G)}{n(H)} = \dfrac{10}{5} = 2$

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal ON MIPA-PT Bidang Matematika Seleksi Untan)
Banyaknya unsur dari $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ adalah $\cdots$
A. $1$       B. $2$       C. $4$        D. $8$       E. $16$

Penyelesaian

$\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ adalah grup kuosien/grup faktor, yang berarti adalah himpunan semua koset kanan $2\mathbb{Z}$ dalam $\mathbb{Z}$. Perhatikan bahwa,
$\mathbb{Z} = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}$
$2\mathbb{Z} = \{\cdots, -4, -2, 0, 2, 4, \cdots\}$
sehingga koset kanannya adalah sebagai berikut.
$\cdots$
$2\mathbb{Z} + 0 = 2\mathbb{Z}$
$2\mathbb{Z} + 1 = \{\cdots, -3, -1, 1, 3, 5, \cdots\}$
$2\mathbb{Z} + 2 = 2\mathbb{Z}$
$2\mathbb{Z} + 3 = \{\cdots, -1, 1, 3, 5, 7, \cdots\}$
$\cdots$
Kita temukan bahwa hanya ada $2$ koset kanan berbeda, yaitu himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil. Jadi, banyaknya unsur dari $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ adalah $2$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Misalkan $G$ adalah grup permutasi $S_3$, yakni
$\{(1), (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3), (1,3,2)\}$
Diberikan $H = \{(1), (1,2,3), (1,3,2)\}$ adalah subgrup dari $G$. Tunjukkan bahwa $H$ adalah subgrup normal dari $G$.

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 7
Misalkan $G = \{1,2,3,4,5,6\}$ dengan operasi perkalian bilangan bulat modulo $7$ merupakan grup. $H = \{1,2,4\}$ adalah subgrup dari $G$. Carilah semua koset kanan dan koset kiri $H$ dalam $G$. Apakah $H$ subgrup normal dari $G$?

Penyelesaian

Koset kanan $H$ dalam $G$ adalah
$\begin{cases} H1 = \{1, 2, 4\} \times_7 1 = \{1,2,4\} \\ H2 = \{1,2,4\} \times_7 2 = \{2,4,1\} \\ H3 = \{1,2,4\} \times_7 3 = \{3,6,5\} \\ H4 = \{1,2,4\} \times_7 4 = \{4,1,2\} \\ H5 = \{1,2,4\} \times_7 5 = \{5,3,6\} \\ H6 = \{1,2,4\} \times_7 6 = \{6,5,3\} \end{cases}$
Sedangkan koset kirinya adalah
$\begin{cases} 1H = 1 \times_7 \{1, 2, 4\} = \{1,2,4\} \\ 2H = 2 \times_7 \{1,2,4\} = \{2,4,1\} \\ 3H = 3 \times_7 \{1,2,4\} = \{3,6,5\} \\ 4H = 4 \times_7 \{1,2,4\} = \{4,1,2\} \\ 5H = 5 \times_7 \{1,2,4\} = \{5,3,6\} \\ 6H = 6 \times_7 \{1,2,4\} = \{6,5,3\} \end{cases}$
Dua uraian di atas menunjukkan bahwa $gH = Hg$ untuk setiap $g \in G$. Dengan kata lain, koset kanan dan koset kiri $H$ dalam $G$ sama. Oleh karena itu, berdasarkan definisi, $H$ disebut sebagai subgrup normal dari $G$. 
Catatan:
Berikut disajikan perhitungan lengkap (sebagai sampel) untuk penentuan koset di atas:
$\begin{aligned} \{1,2,4\} \times_7 2 & = \{1 \times_7 2, 2 \times_7 2, 4 \times_7 2\} \\ & = \{2,4,1\} \end{aligned}$
Sebagai informasi, simbol $\times_7$ menyatakan operasi perkalian bilangan bulat modulo $7$. 
$2 \times_7 4 = (2 \times 4)~\text{mod}~7 = 1$

[collapse]

Soal Nomor 8
Misalkan $\mathbb{Z}_6$ merupakan grup dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 6 dan $H = \{0,2,4\}$ adalah subgrup darinya. Tunjukkan bahwa $H$ subgrup normal dari $\mathbb{Z}_6$.

Penyelesaian

Untuk menunjukkan bahwa $H$ subgrup normal dari $\mathbb{Z}_6$, harus dibuktikan bahwa koset kanan dan koset kiri $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ sama. 
Perhatikan bahwa elemen $\mathbb{Z}_6$ adalah $0,1,2,3,4$, dan $5$. 
Koset kanan $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ adalah
$\begin{cases} H0 = \{0,2,4\} +_6 0 = \{0,2,4\} \\ H1 = \{0,2,4\} +_6 1= \{1,3,5\} \\ H2 = \{0,2,4\} +_6 2 = \{2,4,0\} \\ H3 = \{0,2,4\} +_6 3 = \{3,5,1\} \\ H4 = \{0,2,4\} +_6 4 = \{4,0,2\} \\ H5 = \{0,2,4\} +_6 5 = \{5,1,3\} \end{cases}$
Sedangkan koset kirinya adalah
$\begin{cases} 0H = 0 +_6 \{0,2,4\} = \{0,2,4\} \\ 1H = 1 +_6 \{0,2,4\} = \{1,3,5\} \\ 2H = 2 +_6 \{0,2,4\} = \{2,4,0\} \\ 3H = 3 +_6 \{0,2,4\} = \{3,5,1\} \\ 4H = 4 +_6 \{0,2,4\} = \{4,0,2\} \\ 5H = 5 +_6 \{0,2,4\} = \{5,1,3\} \end{cases}$
Dari dua uraian di atas, tampak bahwa berlaku $gH = Hg$ untuk setiap $g \in \mathbb{Z}_6$. Ini menunjukkan bahwa koset kanan dan koset kiri $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ adalah sama, sehingga terbukti bahwa $H$ subgrup normal dari $\mathbb{Z}_6$

[collapse]

Soal Nomor 9
Misalkan $T_B = \left\{\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix} | a, b, c \in \mathbb{R}, ac \neq 0\right\}$ adalah grup terhadap operasi perkalian matriks. Buktikan bahwa $\left\{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{bmatrix} | x \in \mathbb{R}\right\}$ merupakan subgrup normal dari $T_B$.

Penyelesaian

Ambil sembarang $t \in T_B$, dengan
$t = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix}, a, b, c \in \mathbb{R}, ac \neq 0$
Selanjutnya, ambil sembarang $n \in N$, dengan
$n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{bmatrix}, x \in \mathbb{R}$
Akan ditunjukkan bahwa $tnt^{-1} \in N$ dengan $t^{-1} = \dfrac{1}{ac} \begin{bmatrix} c & 0 \\ -b & a \end{bmatrix}$ adalah invers dari matriks $t$. 
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} tnt^{-1} & = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{bmatrix} \dfrac{1}{ac} \begin{bmatrix} c & 0 \\ -b & a \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b + cx & c \end{bmatrix} \dfrac{1}{ac} \begin{bmatrix} c & 0 \\ -b & a \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ c^2x & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $tnt^{-1}$ memenuhi bentuk dan sifat keanggotaan himpunan $N$ (pada baris $2$ kolom $1$: entri $c^2x$ merupakan bilangan real karena $x$ dan $c$ keduanya bilangan real). Ini berarti, $tnt^{-1} \in N$. 
Dengan demikian, $N$ terbukti merupakan subgrup normal dari $T_B$.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini