Soal dan Pembahasan -Ujian Tengah Semester (UTS) Struktur Aljabar (Teori Grup)

        Berikut ini adalah 6 soal UTS Struktur Aljabar (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 6 November 2017 oleh Dr. Yulis Jamiah, M.Pd. Peserta (mahasiswa) hanya perlu menjawab 3 soal dari 6 soal yang diberikan, dengan syarat 2 soal bernomor ganjil dan 1 soal bernomor genap.

Soal Nomor 1
Tunjukkan bahwa $G = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} | a, b, d \in \mathbb{R}, ad \neq 0\right\}$ merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks. Apakah $G$ juga grup abelian?

Pembahasan

Harus ditunjukkan bahwa $(G, \times)$ memenuhi sifat tertutup, memenuhi sifat asosiatif, memiliki identitas, dan setiap elemennya memiliki invers.
(Bersifat tertutup) Ambil sembarang $A, B \in G$ dengan $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix}$ (semua entrinya real dan determinannya tak nol). Akan ditunjukkan bahwa $AB \in G$. Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ae & ap + bh \\ 0 & dh \end{pmatrix} \in G \end{aligned}$
karena memenuhi sifat keanggotaan $G$. Jadi, operasi perkalian matriks di $G$ merupakan operasi biner karena bersifat tertutup.
(Bersifat asosiatif) Ambil sembarang $A, B, C \in G$ dengan $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix} i & j \\ 0 & l \end{pmatrix}$ (entrinya bilangan real dan determinannya tak nol). Akan ditunjukkan bahwa berlaku $(AB)C = A(BC)$
$\begin{aligned} (AB)C & = \left[\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix} i & j \\ 0 & l \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ae & af + bh \\ 0 & dh \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & j \\ 0 & l \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} (ae)i & (ae)j + (af + bh)l \\ 0 & (db)l \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a(ei) & a(ej + fl) + b(hl) \\ 0 & d(hl) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ei & ej + fl \\ 0 & hl \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}\left[\begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & j \\ 0 & l \end{pmatrix}\right] \\ & = A(BC) \end{aligned}$
Karena berlaku demikian, maka dapat disimpulkan bahwa $G$ memenuhi sifat asosiatif.
(Memiliki identitas) $G$ memiliki identitas, yaitu $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G$ sedemikian sehingga berlaku
$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$ dengan $ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \in G$
(Setiap elemen memiliki invers) Ambil sembarang elemen $A \in G$ dengan $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$. Klaim bahwa invers dari $A$ adalah $A^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{a} & -\dfrac{b}{ad} \\ 0 & \dfrac{1}{d} \end{pmatrix}$ sedemikian sehingga berlakulah
$AA^{-1} = I$
di mana $I$ elemen identitas $G$.
Keempat syarat ini terpenuhi sehingga terbukti bahwa $G$ dengan operasi perkalian matriks merupakan grup. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $G$ dengan operasi tersebut bukanlah grup abelian. Berarti, harus ditunjukkan bahwa $AB \neq BA$ untuk $A,B \in G$
Ambil $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$ dengan $A, B \in G$
berarti
$\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ae & af + bh \\ 0 & dh \end{pmatrix} \end{aligned}$
sedangkan
$\begin{aligned} BA & = \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ea & eb + fd \\ 0 & hd \end{pmatrix} \end{aligned}$
Diperoleh $AB \neq BA$ sehingga tidak berlaku sifat komutatif dalam $G$. Jadi, $G$ bukan grup abelian.

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $(G, \circ)$ grup dan $a, b \in G$, tunjukkan bahwa $a \circ x = b$ dan $y \circ a = b$ hanya memiliki penyelesaian tunggal.

Pembahasan

Pertama-tama, akan ditunjukkan bahwa $a \circ x = b$ memiliki penyelesaian. Diketahui $(G, \circ)$ grup, ambil $a \in G$, berarti $a^{-1} \in G$. Jadi,
$\begin{aligned} a \circ x & = b \\ a^{-1} \circ (a \circ x) & = a^{-1} \circ b\\ (a^{-1} \circ a) \circ x &  = a ^{-1} \circ b\\ e \circ x & = a^{-1} \circ b \\ x & =a^{-1} \circ b \end{aligned}$
Berdasarkan sifat tertutup pada grup, $a^{-1} \circ b$ merupakan elemen $G$ sehingga merupakan penyelesaian dari persamaan $a \circ x = b$
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa penyelesaian dari persamaan itu tunggal.
Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut, berarti berlaku
$a \circ x_1 = b = a \circ x_2$
Dengan hukum kanselasi kiri, diperoleh
$x_1 = x_2$
Jadi, penyelesaiannya selalu tunggal.
Kedua, akan ditunjukkan bahwa $y \circ a = b$ memiliki penyelesaian. Diketahui $(G, \circ)$ grup, ambil $a \in G$, berarti $a^{-1} \in G$. Jadi,
$\begin{aligned} y \circ a & = b \\ (y \circ a) \circ a^{-1} & = b \circ a^{-1} \\ y \circ (a \circ a^{-1}) & = b \circ a ^{-1} \\ y \circ e & = b \circ a^{-1} \\ y & =b \circ a^{-1} \end{aligned}$
Berdasarkan sifat tertutup pada grup, $b \circ a^{-1}$ merupakan elemen $G$ sehingga merupakan penyelesaian dari persamaan $y \circ a = b$
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa penyelesaian dari persamaan itu tunggal.
Misalkan $y_1$ dan $y_2$ merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut, berarti berlaku
$y_1 \circ a = b = y_2 \circ a$
Dengan hukum kanselasi kanan, diperoleh
$y_1 = y_2$
Jadi, penyelesaiannya selalu tunggal. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui $(G, \times)$ grup dengan $G = \{I, A, B, C\}$ dan $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$, dan $C = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
a) Tunjukkan bahwa $G$ grup siklik dengan generator $B$.
b) Tunjukkan bahwa $G$ grup siklik dengan generator $C$.

Pembahasan

Ingat definisi grup siklik berikut.
Misalkan $G$ grup dan $\mathbb{Z}$ himpunan bilangan bulat. $G$ disebut grup siklik jika ada $a \in G$ sedemikian sehingga $G = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}$. Elemen $a$ pada $G$ selanjutnya disebut generator dari $G$.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa,

$\begin{aligned} B & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ B^2 & = B \times B \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ &  = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = A \\ B^3 & = B^2 \times B \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = C \\ B^4 & = B^3 \times B \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = I \end{aligned}$
Ternyata kita peroleh bahwa perpangkatan $B$ menghasilkan/membangkitkan seluruh elemen $G$. Berarti, $G$ adalah grup siklik dengan generator $B$ atau ditulis $G = [B]$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa,

$\begin{aligned} C & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\C^2 & = C \times C \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = A \\C^3 & = C^2 \times C \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &  = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = B \\ C^4 & = C^3 \times C \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Ternyata kita peroleh bahwa perpangkatan $C$ menghasilkan/membangkitkan seluruh elemen $G$. Berarti, $G$ adalah grup siklik dengan generator $C$ atau ditulis $G = [C]$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Soal Nomor 4
Jika $(G, \star)$ grup dan $a, b, c \in G$, tunjukkan bahwa
a) $a \star c = b \star c \Rightarrow a = b$
b) $c \star a = c \star b \Rightarrow a = b$

Pembahasan

Karena $G$ grup, maka berlaku sifat tertutup, sifat asosiatif, memiliki identitas yaitu $e$, dan setiap elemen memiliki invers. Perhatikan bahwa,
$a \star c = b \star c$
(Operasi elemen $c^{-1}$ pada kedua ruas)
$(a \star c) \star c^{-1} = (b \star c) \star c^{-1}$
(Terapkan sifat asosiatif)
$a \star (c \star c^{-1}) = b \star (c \star c^{-1})$
(Gunakan eksistensi invers)
$a \star e = b \star e$
(Gunakan sifat identitas)
$a = b$ (Terbukti)
Teorema ini selanjutnya dikenal sebagai Hukum Kanselasi Kanan.
Selanjutnya dengan prinsip yang sama,
$\begin{aligned} c \star a & = c \star b \\ c^{-1} \star (c \star a) & = c^{-1} \star (c \star b)  \\ (c^{-1} \star c) \star a & = (c^{-1} \star c) \star b \\e \star a & = e \star b \\ a &= b \end{aligned}$ (Terbukti)
Teorema ini selanjutnya dikenal sebagai Hukum Kanselasi Kiri.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diberikan $G$ grup dengan $$G = \left\{I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\right\}$$Tunjukkan bahwa $H = \{I, B\}$ merupakan subgrup dari $G$.

Pembahasan

$H$ adalah grup finit (grup yang elemen himpunannya berhingga), sehingga kita diperbolehkan menggunakan teorema berikut.
$G$ grup, $H \subseteq G, H = \emptyset$, $H$ finit, $H$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika $\forall a, b \in H \Rightarrow ab \in H$
Dari redaksi yang diberikan, jelas bahwa $H$ himpunan bagian dari $G$ dan $H$ tidak kosong.
Ambil $I, B \in H$.
$IB = BI = B \in H$
(Gunakan sifat identitas perkalian matriks)
Jadi, sifat tertutup berlaku dalam $H$. Berarti, $H$ subgrup dari $G$ (terbukti). 

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $A$ dan $B$ subgrup dari grup $G$, tunjukkan bahwa $A \cap B$ juga subgrup $G$.

Pembahasan

Akan ditunjukkan bahwa irisan dua subgrup adalah subgrup juga, yaitu menunjukkan bahwa $A \cap B$ tidak membentuk himpunan kosong, $A \cap B$ merupakan subset dari $G$, berlakunya sifat tertutup, dan setiap elemen di $A \cap B$ memiliki invers.
($A \cap B$ tidak kosong)
Secara matematis, ditulis $A \cap B \neq \emptyset$. Karena $A$ subgrup dari $G$, maka $A$ memiliki identitas, yaitu $e$. Begitu juga $B$ dengan identitas yang sama, yaitu $e$. Dari kedua ini, diperoleh $e \in A \cap B$. Jadi, $A \cap B = \emptyset$ tidak kosong (salah satu anggotanya adalah $e$)

($A \cap B$ subset $G$)
$A$ subgrup dari $G$, berarti $A \subseteq G$
$B$ subgrup dari $G$, berarti $B \subseteq G$
Dari kedua ini, diperoleh $A \cap B \subseteq G$
(Berlaku sifat tertutup)
Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap $a, b \in A \cap B$ berlaku $ab \in A \cap B$
Ambil sembarang $a, b \in A \cap B$. Selanjutnya,
$a \in A \cap B \Rightarrow a \in A \land a \in B$
$b \in A \cap B \Rightarrow b \in A \land b \in B$
Karena $a, b \in A$ dan $A$ subgrup dari $G$, maka dengan sifat tertutupnya, berlaku $ab \in A$
Juga karena $a, b \in B$ dengan $B$ subgrup dari $G$, maka dengan sifat tertutupnya, berlaku $ab \in B$
Dari kedua ini, akhirnya diperpleh $ab \in A \cap B$ (terbukti)
(Setiap elemen di $A \cap B$ memiliki invers)
Ambil sembarang $a \in A \cap B$
$a \in A \cap B$ berarti $a \in A$ dan $a \in B$. Karena $A$ dan $B$ keduanya subgrup dari $G$, maka dengan sifat ketertutupan inversnya, berlaku $a^{-1} \in A$ dan $a^{-1} \in B$, yang berarti $a^{-1}\in A \cap B$. Jadi, setiap sembarang elemen $A \cap B$ memiliki invers padanya.
Keempat syarat telah terpenuhi, sehingga terbukti bahwa $A \cap B$ adalah subgrup dari $G$. 

[collapse]