Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Kalkulus Diferensial – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

      Berikut ini adalah soal ujian akhir semester beserta pembahasan mata kuliah Kalkulus Diferensial (Differential Calculus) (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si pada tanggal 9 Juli 2018.

Soal Nomor 1
Hitunglah nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^3+x-30}{x-3}

Penyelesaian

Alternatif I: Menggunakan Metode Pemfaktoran
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^3+x-30}{x-3} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\cancel{(x-3)}(x^2+3x+10)}{\cancel{x - 3}} \\ & = \lim_{x \to 3} (x^2 + 3x + 10) \\ & = 3^2 + 3(3) + 10 = 28 \end{aligned}
Alternatif II: Menggunakan Dalil L'Hospital
Karena substitusi titik limit x = 3 menghasilkan bentuk tak tentu (nol per nol), maka dalil L’Hospital berlaku.
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^3+x-30}{x-3} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{3x^2+1}{1} \\ & = 3(3)^2 + 1 = 28 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{x}} {x-3}.

Penyelesaian

Alternatif I: Menggunakan Metode Pemfaktoran
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{x}} {x-3} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\dfrac{2x - 6}{3x}}{x-3} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2\cancel{(x-3)}}{3x\cancel{(x-3)}} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2}{3x} = \dfrac{2}{9} \end{aligned}
Alternatif II: Menggunakan Dalil L’Hospital
Substitusi titik limitnya (ambil x = 3) menghasilkan bentuk tak tentu (nol per nol), sehingga berlaku dalil L’Hospital
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{x}} {x-3} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{0 + \dfrac{2}{x^2}}{1 -0} \\ & = \dfrac{2}{3^2} = \dfrac{2}{9} \end{aligned}
Jadi, nilai limitnya adalah \dfrac{2}{9}.

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah nilai dari \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{(4+h)^2+2(4+h) -24}{h}

Penyelesaian

Alternatif I: Menggunakan Metode Pemfaktoran
Misalkan x = 4 + h  \iff h = x - 4, sehingga bentuk limitnya sekarang dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2+2x-24}{x-4} & = \lim_{x \to 4} \dfrac{\cancel{(x-4)}(x+6)}{\cancel{x-4}} \\ & = \lim_{x \to 4} (x + 6) \\ & = 4 + 6 = 10 \end{aligned}
Alternatif II: Menggunakan Dalil L’Hospital
Substitusi titik limitnya (ambil h = 0) menghasilkan bentuk tak tentu (nol per nol), sehingga berlaku dalil L’Hospital

\begin{aligned} \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{(4+h)^2+2(4+h) -24}{h} & = \lim_{h \to 0} \dfrac{2(4+h)+2-0}{1} \\ & = 2(4+0)+2 = 10 \end{aligned}
Jadi, nilai limitnya adalah 10.

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 5x}{\sin 6x}

Penyelesaian

Alternatif I: Menggunakan Teorema Limit Trigonometri
Gunakan teorema limit trigonometri berikut. 
\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b}}
sehingga
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 5x}{\sin 6x} = 2 \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{3}
Alternatif II: Menggunakan Dalil L’Hospital
Substitusi titik limitnya (ambil x = 0) menghasilkan bentuk tak tentu (nol per nol), sehingga berlaku dalil L’Hospital
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 5x}{\sin 6x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{10 \cos 5x} {6 \cos 6x} \\ & = \dfrac{10 \cos 0}{6 \cos 0} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3} \end{aligned}
Jadi, nilai limitnya adalah \dfrac{5}{3}
Catatan: Ingat bahwa jika f(x) = \sin ax, maka turunan pertamanya adalah f'(x) = a \cos ax.

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika f(x) = 3x^2-4x, carilah f'(x) dengan memakai definisi.

Penyelesaian

Diberikan f(x) = 3x^2-4x dan ini berarti f(x+h) = 3(x+h)^2-4(x+h)
Berdasarkan definisi turunan, kita kemudian dapatkan
\begin{aligned} f'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) -f(x)} {h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{3(x+h)^2-4(x+h) - (3x^2-4x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{3x^2} + 6hx + 3h^2 \bcancel{- 4x} - 4h \cancel{ - 3x^2}+\bcancel{4x}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{6hx + 3h^2 - 4h} {h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(6x + 3h + 4)} {\cancel{h}} \\ & = 6x + 3(0) + 4 \\ & = 6x + 4 \end{aligned}
Jadi, f'(x) = 6x + 4.

[collapse]

Soal Nomor 6
Gambarkan grafik fungsi f dengan f(x) = \begin{cases} 8 - x,~\text{jika}~x \geq 3 \\ 2x - 1, ~\text{jika}~x < 3 \end{cases}
Tentukan nilai-nilai di bawah ini:
i)  f\left(\dfrac{1}{2}\right)
ii) f(1)
iii) f(3)
iv) \displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x)
v) Apakah f kontinu di 3? Jelaskan.

Penyelesaian


Jawaban i) 
Karena \dfrac{1}{2} < 3, maka rumus fungsi yang digunakan adalah f(x) = 2x - 1, yaitu f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2\left(\dfrac{1}{2}\right) - 1 = 0
Jawaban ii) 
Karena 1 < 3, maka rumus fungsi yang digunakan adalah f(x) = 2x - 1, yaitu f\left(1\right) = 2\left(1 \right) - 1 = 1
Jawaban iii) 
Karena 3 \geq 3, maka rumus fungsi yang digunakan adalah f(x) = 8-x, yaitu f\left(3 \right) = 2\left(3 \right) - 1 = 5
Jawaban iv) 
\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3} (2x - 1) = 2(3) - 1 = 5
Jawaban v) 
Agar f kontinu di 3, haruslah \displaystyle \lim_{x \to 3} f(x) = f(3).
Perhatikan bahwa, \displaystyle \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (8 - x) = 8 -3 = 5, sedangkan f(3) = 8 - 3 = 5, sehingga f kontinu di titik tersebut.
Secara geometris, grafik tidak terputus di x = 3 (lihat gambar).

[collapse]

Soal Nomor 7
Carilah titik potong sumbu X dengan garis yang menyinggung kurva y = (x^2+1)^{-2} di titik \left(1,\dfrac{1}{4}\right).

Penyelesaian

Gradien garis yang menyinggung y sama dengan nilai f'(1) (turunan pertama y = f(x) saat x = 1). 
Untuk itu, akan dicari terlebih dahulu f'(1) sebagai berikut dengan f(x) = (x^2+1)^{-2}
Dengan menggunakan Aturan Rantai, diperoleh
f'(x) = -2(x^2+1)^{-3}(2x) = -4x(x^2+1)^{-3}
sehingga
m = f'(1) = -4(1)(1+1)^{-3} = -4(2)^{-3} = -\dfrac{4}{8} = -\dfrac{1}{2}
Ordinat titik singgung garis terhadap kurva y adalah \dfrac{1}{4}
Ini berarti, persamaan garis yang kita peroleh melalui titik \left(1,\dfrac{1}{4}\right) dan bergradien -\dfrac{1}{2}, yang dinyatakan oleh
\begin{aligned} & y = m(x - x_1) + y_1 = -\dfrac{1}{2}(x-1) + \dfrac{1}{4} \\ & 4y = -2(x-1) + 1 = -2x + 3 \end{aligned}
Garis 4y = -2x + 3 akan memiliki titik potong di sumbu X di x = \dfrac{3}{2}. Ini dapat diketahui dengan mensubstitusikan y = 0 pada persamaan garis tersebut. Perhatikan gambar berikut sebagai representasi geometrisnya.

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika y = \left(\dfrac{3x^2-2}{x+3}\right)^3, carilah \dfrac{\text{d}y}{\text{d} x}.

Penyelesaian

Gunakan Aturan Rantai, kemudian Aturan Hasil Bagi dalam turunan. 
Perhatikan bahwa jika diberikan f(x) = \left(\dfrac{u} {v}\right)^n, maka 
\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = f'(x) = n\left(\dfrac{u} {v}\right)^{n-1} \times \dfrac{u'v-uv'} {v^2}
Misalkan u = 3x^2-2 dan v = x + 3, sehingga u' = 6x dan v' = 1
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned}\dfrac{\text{d}y}{\text{d} x} & = f'(x) \\ & = 3\left(\dfrac{3x^2-2}{x+3}\right)^2 \times \dfrac{6x(x+3)-(3x^2-2)(1)} {(x+3)^2} \\ & = \dfrac{3(3x^2-2)^2}{(x+3)^2} \times \dfrac{3x^2+18x+2}{(x+3)^2} \\ & = \dfrac{3(x^2-2)^2(3x^2+18x+2)} {(x+3)^4} \end{aligned} 
Catatan: Notasi dengan bentuk seperti \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} dikenal sebagai notasi Leibniz, diambil dari nama Gottfried Wilhelm Leibniz. Sedangkan notasi f'(x) dikenal sebagai notasi aksen, diperkenalkan oleh Joseph-Louis Lagrange. Kedua notasi ini memiliki makna yang sama.

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika f(x) = \left(\dfrac{3x+1} {x^2+2} \right)^3, hitunglah turunan fungsi f pada x = 3 (pada arsip soal asli, terdapat kesalahan pengetikan).

Penyelesaian

Akan dicari nilai dari f'(3), sehingga sebelumnya harus ditentukan terlebih dahulu turunan pertama f, yaitu f'(x)
Gunakan Aturan Rantai, kemudian Aturan Hasil Bagi dalam turunan. 
Perhatikan bahwa jika diberikan f(x) = \left(\dfrac{u} {v}\right)^n, maka 
\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = f'(x) = n\left(\dfrac{u} {v}\right)^{n-1} \times \dfrac{u'v-uv'} {v^2}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} f'(x) & = 3\left(\dfrac{3x+1} {x^2+2} \right)^2 \times \dfrac{3(x^2+2)-(3x+1)(2x)} {(x^2+2)^2} \\ & = \dfrac{3(3x+1)^2(-3x^2-2x+6)}{(x^2+2)^4} \end{aligned}
Untuk x = 3, kita dapatkan
\begin{aligned} f'(3) & = \dfrac{3(3(3)+1)^2(-3(3)^2-2(3)+6)} {(3^2+2)^4} \\ & = \dfrac{3(100)(-27)} {14641} \\ & =-\dfrac{8100}{14641} \end{aligned}
Jadi, nilai dari turunan pertama f di x =3 adalah -\dfrac{8100}{14641}.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini