Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar

       Turunan fungsi aljabar merupakan salah satu subbab dari kalkulus diferensial. Di sini, kita akan mempelajari tentang aturan-aturan turunan pada fungsi aljabar. Lebih lanjut, aturan turunan tersebut selanjutnya diterapkan untuk menyelesaikan persoalan fungsi trigonometri. Di sesi ini, kita khusus membahas soal mengenai turunan fungsi aljabar. Soal-soal dikumpulkan dari berbagai literatur dengan tingkat kesulitan yang variatif untuk meningkatkan dan menguji pemahaman pembaca. Semoga bermanfaat.

Aturan Turunan

Berikut ini merupakan beberapa aturan turunan dasar yang selanjutnya digunakan untuk menyelesaikan persoalan turunan fungsi aljabar.

  1. Aturan turunan fungsi konstan
    Jika $y = f(x) = c$ dengan $c \in \mathbb{R}$, maka $f'(x) = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0$.
  2. Aturan turunan fungsi identitas
    Jika $y = f(x) = x$, maka $f'(x) = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 1$. 
  3. Aturan turunan fungsi pangkat
    Jika $y = f(x) = x^n$, maka $f'(x) = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = nx^{n-1}$.
  4. Aturan turunan fungsi berbentuk $y = ax^n$
    Jika $y = f(x) = ax^n$ untuk suatu $a \in \mathbb{R}$, maka $f'(x) = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = anx^{n-1}$.
  5. Turunan jumlah dan selisih fungsi-fungsi
    Jika $f(x) = y = u \pm v$ dengan $u$ dan $v$ keduanya fungsi dari $x$, maka $f'(x) = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = u’ \pm v’$.
    Secara verbal: turunan dari jumlah/selisih fungsi-fungsi sama dengan jumlah/selisih dari turunan masing-masing fungsi tersebut.
  6. Aturan hasil kali dalam turunan
    Jika $f(x) = y = u \cdot v$ dengan $u$ dan $v$ keduanya fungsi dari $x$, maka $f'(x) = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = u’ \cdot v + u \cdot v’$.
    Jika $f(x) = y = u \cdot v \cdot w$ dengan $u$, $v$, dan $w$ keduanya fungsi dari $x$, maka
    $\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ & = u \cdot v \cdot w’ + u \cdot v’ \cdot w + u’ \cdot v \cdot w \end{aligned}$

  7. Aturan hasil bagi dalam turunan
    Jika $f(x) = y = \dfrac{u}{v}$ dengan $u$ dan $v$ keduanya fungsi dari $x$, maka
    $f'(x) = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{u’ \cdot v-u \cdot v’}{v^2}$

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Dasar)

Quote by Pam Leo

You cannot teach children to behave better by making them feel worse. When children feel better, they behave better.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Apabila $f(x)=x^2-\dfrac{1}{x}+1$, maka $f'(x)= \cdots \cdot$
A. $x-x^{-2}$
B. $x+x^{-2}$
C. $2x+x^{-2}+1$
D. $2x-x^{-2}+1$
E. $2x+x^{-2}$

Pembahasan

Gunakan aturan turunan dasar.
$\begin{aligned} f(x) & =x^2-\dfrac{1}{x}+1 \\ & = x^2-x^{-1}+1 \\ f'(x) & = 2x^{2-1}-(-1)x^{-1-1}+0 \\ & = 2x+x^{-2} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f'(x) = 2x+x^{-2}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $g(x) = \dfrac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}$, maka $g'(x) = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}$
B. $-x^3+3x^2+\dfrac12\sqrt{2x}$
C. $\dfrac{1}{x^2}+x^2-2$
D. $\dfrac{1}{x^2}+3x^2-2$
E. $\dfrac{1}{x^2}+3x^2+\dfrac12\sqrt{2x}$

Pembahasan

Gunakan aturan turunan dasar.
$\begin{aligned} g(x) & = \dfrac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x} \\ & = x^{-1}+x^3-\sqrt{2}x^{1/2} \\ g'(x) & = -1x^{-1-1}+3x^{3-1}-\sqrt{2} \cdot \dfrac12x^{1/2-1} \\ & = -x^{-2}+3x^2-\dfrac12\sqrt2x^{-1/2} \\ & = -\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt{x}} \\ & = -\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2x}} && * \end{aligned}$
Catatan: $*\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{1}{\sqrt2}$
Jadi, hasil dari $\boxed{g'(x) = -\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar

Soal Nomor 3
Jika $R(t) = t\sqrt{t} + \dfrac{1}{t\sqrt{t}}$, maka $\dfrac{\text{d}R(t)}{\text{d}t}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\dfrac32\sqrt{t} + \dfrac{3}{2\sqrt{t}}$
B. $\dfrac32\sqrt{t} -\dfrac{3}{2\sqrt{t}}$
C. $\dfrac32\sqrt{t} -\dfrac{3}{2t^2\sqrt{t}}$
D. $\dfrac23\sqrt{t} -\dfrac{1}{t^2\sqrt{t}}$
E. $\dfrac32\sqrt{t} + \dfrac{1}{t^2\sqrt{t}}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} R(t) & = t\sqrt{t} + \dfrac{1}{t\sqrt{t}} = t \cdot t^{1/2} + \dfrac{1}{t \cdot t^{1/2}} \\ & = t^{3/2} + t^{-3/2} \end{aligned}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}R(t)}{\text{d}t} & = \dfrac32t^{3/2-1}-\dfrac32t^{-3/2-1} \\ & = \dfrac32t^{1/2}-\dfrac32t^{-5/2} \\\\ & = \dfrac{3}{2}\sqrt{t}-\dfrac{3}{2t^2\sqrt{t}} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{\text{d}R(t)}{\text{d}t} = \dfrac{3}{2}\sqrt{t}-\dfrac{3}{2t^2\sqrt{t}}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri

Soal Nomor 4
Turunan pertama dari $f(x)=\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{6}{x}$ adalah $f'(x)$. Nilai dari $f'(1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                 C. $4$                 E. $10$
B. $2$                    D. $5$

Pembahasan

Gunakan aturan turunan dasar untuk mencari turunan pertama dari fungsi $f(x)$.
$$\begin{aligned} f(x) & =\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{6}{x} \\ & = 4(\underbrace{x-3}_{u})^{-1}-6x^{-1} \\ f'(x) & = 4(-1)(x-3)^{-2} \cdot \underbrace{1}_{u’}-6(-1)x^{-2} \\ & = -\dfrac{4}{(x-3)^2}+\dfrac{6}{x^2} \end{aligned}$$Substitusi $x=1$ dan kita akan $\begin{aligned} f'(1) & = -\dfrac{4}{(\color{blue}{(1)}-3)^2}+\dfrac{6}{\color{blue}{(1)}^2} \\ & = -\dfrac{4}{4} + \dfrac{6}{1} \\ & = -1+6 = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f'(1) = 5}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)

Soal Nomor 5
Turunan pertama dari $H(x) = x^{2/3}(4x-5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} + \dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}$
B. $\dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}$
C. $\dfrac{10\sqrt[3]{x}}{3} -\dfrac{20}{3\sqrt[3]{x}}$
D. $\dfrac{-20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}$
E. $\dfrac{4x-5}{3\sqrt[3]{x}} -\dfrac{4}{\sqrt[3]{x}}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} H(x) & = x^{2/3}(4x-5) \\ & = 4x^{2/3} \cdot x-5x^{2/3} \\ & = 4x^{5/3}-5x^{2/3} \end{aligned}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{aligned} H'(x) & = 4 \cdot \dfrac53 \cdot x^{5/3-1}-5 \cdot \dfrac23 \cdot x^{2/3-1} \\ & = \dfrac{20}{3}x^{2/3}-\dfrac{10}{3}x^{-1/3} \\ & = \dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}} \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama dari $H(x)$ adalah $\boxed{\dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diberikan $f(r) = 2r^{\frac32}-2r^{\frac12}$. Nilai $f'(1)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                    E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan

Diketahui $f(r) = 2r^{\frac32}-2r^{\frac12}$.
Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama fungsi $f(r)$ adalah
$\begin{aligned} f'(r) & = 2 \cdot \dfrac32r^{\frac32-1}-2 \cdot \dfrac12r^{\frac12-1} \\ & = 3r^{\frac12}-r^{-\frac12} \\ & = 3\sqrt{r}-\dfrac{1}{r} \end{aligned}$
Untuk $r=1$, didapat
$\boxed{f'(1)= 3\sqrt{1}-\dfrac{1}{1} = 3-1=2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $y = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x-6$. Nilai $x$ yang membuat $y’ = 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$ atau $1$                D. $1$ atau $2$
B. $-1$ atau $0$                E. $1$ atau $3$
C. $0$ atau $2$

Pembahasan

Diketahui $y = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x-6$.
Turunan pertama dari $y$ adalah
$\begin{aligned} y’ & = \dfrac13(3)x^2-\dfrac32(2)x+2-0 \\ & = x^2-3x+2 \end{aligned}$
Misalkan $y’ = 0$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} x^2-3x+2 & = 0 \\ (x-2)(x-1) & = 0 \\ x = 2~\text{atau}&~x = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang membuat $y’=0$ adalah $1$ atau $2$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $f(m) = 4 + \sqrt[4]{m^3} + 3 \sqrt[3]{m^2}$, maka nilai $f'(1) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{11}{4}$                 C. $\dfrac74$                  E. $\dfrac14$
B. $\dfrac{9}{4}$                   D. $\dfrac54$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} f(m) & = 4 + \sqrt[4]{m^3} + 3 \sqrt[3]{m^2} \\ & = 4 + m^{3/4} + 3m^{2/3} \end{aligned}$
Turunan pertama dari $f(m)$ adalah
$\begin{aligned} f'(m) & = 0 + \dfrac34m^{3/4-1} + \cancel{3} \cdot \dfrac{2}{\cancel{3}}m^{2/3-1} \\ & = \dfrac34m^{-1/4}+2m^{-1/3} \\ & = \dfrac{3}{4\sqrt[4]{m}}+\dfrac{2}{\sqrt[3]{m}} \end{aligned}$
Untuk $m=1$, diperoleh
$f'(1) = \dfrac{3}{4\sqrt[4]{1}}+\dfrac{2}{\sqrt[3]{1}} = \dfrac34 + 2 = \dfrac{11}{4}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f'(1)=\dfrac{11}{4}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika turunan pertama dari $y = (x^2+1)(x^3-1)$ adalah $y’ = ax^4+bx^2+cx$ dengan $a,b,c \in \mathbb{Z}$, maka nilai dari $abc = \cdots \cdot$
A. $-60$                   C. $0$                    E. $60$
B. $-30$                   D. $30$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} y & = (x^2+1)(x^3-1) \\ & = x^5-x^2+x^3-1 \end{aligned}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{aligned} y’ & = 5x^{5-1}-2x^{2-1}+3x^{3-1}-0 \\ & = 5x^4-2x+3x^2 \\ & = 5x^4+3x^2-2x \end{aligned}$
Karena itu, kita peroleh $a = 5$, $b = 3$, dan $c = -2$.
Catatan: $\mathbb{Z}$ menyatakan simbol untuk himpunan bilangan bulat.
Jadi, $\boxed{abc = 5(3)(-2) = -30}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Turunan pertama dari $f(x)=x^2(3x-1)^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x(15x+2)(3x-1)^2$
B. $x(15x-2)(3x-1)^2$
C. $x(9x+2)(3x-1)^2$
D. $x(18x+2)(3x-1)^2$
E. $x(18x-2)(3x-1)^2$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=x^2(3x-1)^3$.
Gunakan aturan turunan dasar (terutama aturan hasil kali) dan aturan rantai.
Misalkan
$$\begin{aligned} u & = x^2 \implies u’ = 2x \\ v & = (\underbrace{3x-1}_{p})^3 \implies v’ = 3(3x-1)^2(\underbrace{3}_{p’}) = 9(3x-1)^2 \end{aligned}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh
$\begin{aligned} f'(x) & = u’v+uv’ \\ & = (2x)(3x-1)^3+(x^2)(9(3x-1)^2) \\ & = (3x-1)^2(2x(3x-1)+9x^2) \\ & = (3x-1)^2(6x^2-2x+9x^2) \\ & = (3x-1)^2(15x^2-2x) \\ & = x(15x-2)(3x-1)^2 \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama dari $f(x)$ adalah $\boxed{x(15x-2)(3x-1)^2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika $y = x\sqrt{2x^2+3}$, maka $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\cdots \cdot$
A. $(4x^2-3)(2x^2+3)^{-1/2}$
B. $(4x^2+3)(2x^2+3)^{-1/2}$
C. $2x(2x^2+3)(2x^2+3)^{-1/2}$
D. $x(2x+3)(2x^2+3)^{-1/2}$
E. $(2x^2+3)^{1/2}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} y & = x\sqrt{2x^2+3} \\ & = \sqrt{x^2(2x^2+3)} \\ & = \sqrt{2x^4+3x^2} \\ & = (\underbrace{2x^4+3x^2}_{u})^{1/2} \end{aligned}$
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh turunan pertama $y$, yaitu
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac12(2x^4+3x^2)^{-1/2} \cdot (\underbrace{8x^3+6x}_{u’}) \\ & = \dfrac12(2(4x^3+3x))(2x^4+3x^2)^{-1/2} \\ & = (4x^3+3x)(2x^4+3x^2)^{-1/2} \\ & = x(4x^2+3) \cdot \dfrac{1}{x}(2x^2+3)^{-1/2} \\ & = (4x^2+3)(2x^2+3)^{-1/2} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=(4x^2+3)(2x^2+3)^{-1/2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $f(x) = \sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}$ dengan $x \neq 1$, maka $f'(x) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{6x-6}{\sqrt{(2x-1)^3}}$
B. $\dfrac{-3}{2(x-1)^{3/2}\sqrt{x+2}}$
C. $2x\sqrt{1-x^2}-\dfrac{x(x^2+3)}{\sqrt{1-x^2}}$
D. $-\dfrac{9}{4\sqrt{(3x+2)^3}}$
E. $\dfrac{3x^2-4}{2\sqrt{x^3-4x}}$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \sqrt{\underbrace{\dfrac{x+2}{x-1}}_{p}}$.
Pertama, kita akan mencari turunan dari $p$ terlebih dahulu menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan:
$u = x+2 \implies u’ = 1$
$v = x-1 \implies v’ = 1$
Turunan dari $p$ adalah
$\begin{aligned} p’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{1(x-1)-(x+2)(1)}{(x-1)^2} \\ & = \dfrac{x-1-x-2}{(x-1)^2} \\ & = \dfrac{-3}{(x-1)^2} \end{aligned}$
Sekarang, akan dicari turunan $f(x)$ menggunakan aturan rantai.
$\begin{aligned} f(x) & = \left(\underbrace{\dfrac{x+2}{x-1}}_{p}\right)^{1/2} \\ \implies f'(x) & = \dfrac12\left(\dfrac{x+2}{x-1}}\right)^{-1/2} \cdot \underbrace{\dfrac{-3}{(x-1)^2}}_{p’} \\ & = \dfrac12 \cdot \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} \cdot \dfrac{-3}{(x-1)^2} \\ & = \dfrac{-3}{2(x-1)^{3/2}\sqrt{x+2}} \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{f'(x) = \dfrac{-3}{2(x-1)^{3/2}\sqrt{x+2}}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui $f(x) = |x|$. Jika turunan pertamanya adalah $f'(x)$, maka nilai dari $f'(999) = \cdots \cdot$
A. $0$                  C. $\dfrac{1}{999}$                E. $999$
B. $1$                  D. $2$

Pembahasan

Diketahui $y = f(x) = |x|$.
Akan dicari turunan dari $y$.
$\begin{aligned} y & = |x| \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ y^2 & = x^2 \\ 2y \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 2x \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{x}{y} = \dfrac{x}{|x|} \end{aligned}$.
Untuk $x = 999$, diperoleh
$\boxed{f'(999) = \dfrac{999}{|999|} = 1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 14
Turunan pertama dari $y=(2x+1)^5(x+1)$ ditulis sebagai $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$. Jika $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = (ax+b)^4(cx+d)$ dengan $a,b,c,d$ bilangan bulat positif, maka nilai dari $a+b+c+d = \cdots \cdot$
A. $20$                 C. $26$                 E. $29$
B. $24$                 D. $27$

Pembahasan

Diketahui $y=(2x+1)^5(x+1)$.
Gunakan aturan turunan dasar (terutama aturan hasil kali) dan aturan rantai.
$$\begin{aligned} u & = (\underbrace{2x+1}_{p})^5 \implies u’ = 5(2x+1)^4(\underbrace{2}_{p’}) = 10(2x+1)^4 \\ v & = x+1 \implies v’ = 1 \end{aligned}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh
$\begin{aligned} y’ & = u’v+uv’ \\ & = 10(2x+1)^4(x+1) + (2x+1)^5(1) \\ & = (2x+1)^4(10(x+1)+(2x+1)) \\ &= (2x+1)^4(10x+10+2x+1) \\ & = (2x+1)^4(12x+11) \end{aligned}$
Karena diketahui $y’ = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = (ax+b)^4(cx+d)$, maka kita dapatkan $a = 2$, $b=1$, $c=12$, dan $d=11$, sehingga $\boxed{a+b+c+d=2+1+12+11=26}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Turunan pertama dari invers fungsi $f(x) = \dfrac{x-1}{2}$ adalah $\dfrac{\text{d}f^{-1}(x)}{\text{d}x} = \cdots \cdot$
A. $-2$                   C. $-\dfrac12$                  E. $2$
B. $-1$                   D. $\dfrac12$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \dfrac{x-1}{2}$.
Pertama, akan dicari invers fungsi $f(x)$ terlebih dahulu.
Misalkan $f(x) = y$.
$\begin{aligned} y & = \dfrac{x-1}{2} \\ 2y & = x-1 \\ 2y+1 & = x \\ 2y+1 & = f^{-1}(y) \\ 2x+1 & = f^{-1}(x) \end{aligned}$
Jadi, invers fungsi $f(x)$ adalah $f^{-1}(x) = 2x + 1$.
Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan dasar turunan, yaitu $\boxed{\dfrac{\text{d}f^{-1}(x)}{\text{d}x} = 2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Invers dari turunan pertama fungsi $f(x)=3x^2+4x-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{x-4}{6}$                   D. $\dfrac{6}{x+4}$
B. $\dfrac{x+4}{6}$                   E. $\dfrac{x-4}{x+4}$
C. $\dfrac{6}{x-4}$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 3x^2+4x-2$.
Pertama, kita akan mencari turunan pertamanya dulu.
$\begin{aligned} f'(x) & = 3(2)x^{2-1}+4(1)x^{1-1}-0 \\ & = 6x + 4 \end{aligned}$
Selanjutnya, kita akan mencari invers dari $f'(x) = 6x + 4$.
Misalkan $f'(x) = y$ sehingga
$\begin{aligned} y & = 6x + 4 \\ y-4 & = 6x \\ x & = \dfrac{y-4}{6} \\ f^{-1}'(y) & = \dfrac{y-4}{6} \\ f^{-1}'(x) & = \dfrac{x-4}{6} \end{aligned}$
Jadi, invers dari turunan pertama $f(x)$ adalah $\boxed{\dfrac{x-4}{6}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi

Soal Nomor 17
Jika $P(x) = \sqrt[3]{x}$, maka $P(x)-3xP'(x)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $0$                  C. $2 \sqrt[3]{x}$                 E. $x \sqrt[3]{x}$
B. $1$                  D. $3 \sqrt[3]{x}$

Pembahasan

Diketahui $P(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$.
Turunan pertama dari $P(x)$ adalah $P'(x) = \dfrac13x^{1/3-1} = \dfrac13x^{-2/3}$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} P(x)-3xP'(x) & = \sqrt[3]{x}-\cancel{3}x \cdot \dfrac{1}{\cancel{3}})x^{-2/3} \\ & = \sqrt[3]{x}-x^{-2/3+1} \\ & = \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x} = 0 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{P(x)-3xP'(x) = 0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika $f\left(\dfrac{x-3}{2x+1}\right) = x^2+x-2$, maka nilai dari $f'(1) = \cdots \cdot$
A. $-49$                   C. $0$                 E. $49$
B. $-7$                     D. $7$

Pembahasan

Diketahui $f\left(\dfrac{x-3}{2x+1}\right) = x^2+x-2$.
Pertama, kita cari turunan dari $p = \dfrac{x-3}{2x+1}$ menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan:
$u = x-3 \implies u’ = 1$
$v = 2x+1 \implies v’ = 2$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} p’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{1(2x+1)-(x-3)(2)}{(2x+1)^2} \\ & = \dfrac{2x+1-2x+6}{(2x+1)^2} \\ & = \dfrac{7}{(2x+1)^2} \end{aligned}$
Dengan menggunakan aturan rantai, kita akan mencari turunan dari $f(x)$.
$\begin{aligned} f\left(\underbrace{\dfrac{x-3}{2x+1}}_{p}\right) & = x^2+x-2 \\ \implies f’\left(\dfrac{x-3}{2x+1}\right) \cdot \underbrace{\dfrac{7}{(2x+1)^2}}_{p’} & = 2x+1 \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $f'(1)$, yang berarti
$\begin{aligned} \dfrac{x-3}{2x+1}& =1 \\ x-3 & = 2x+1 \\ x & = -4 \end{aligned}$
Substitusi $x = -4$ pada $f’\left(\dfrac{x-3}{2x+1}\right) \cdot \dfrac{7}{(2x+1)^2} = 2x+1$ dan kita akan memperoleh
$\begin{aligned} f’\left(\dfrac{-4-3}{2(-4)+1}\right) \cdot \dfrac{7}{(2(-4)+1)^2} & = 2(-4)+1 \\ f'(1) \cdot \dfrac{7}{49} & = -7 \\ f'(1) & = -7 \times 7 = -49 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f'(1) = -49}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika $(f \circ g)'(x) = (g \circ f)'(x)$, $g(2) = g'(2) = 2$ dan $f(2) = 1$, maka nilai dari $g'(1) = \cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                    E. $5$
B. $2$                    D. $4$

Pembahasan

Diberikan: $g(2) = g'(2) = 2$ dan $f(2) = 1$.
Gunakan aturan rantai.
$\begin{aligned} (f \circ g)'(x) & = (g \circ f)'(x) \\ [f(g(x))]’ & = [g(f(x))]’ \\ f'(g(x)) \cdot g'(x) & = g'(f(x)) \cdot f'(x) \end{aligned}$
Sekarang, substitusi $x = 2$.
$\begin{aligned} f'(g(2)) \cdot g'(2) & = g'(f(2)) \cdot f'(2) \\ \cancel{f'(2)} \cdot 2 & = g'(1) \cdot \cancel{f'(2)} \\ 2 & = g'(1) \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{g'(1) = 2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Laju perubahan fungsi $f(x) = (x^2-3)^2$ pada $x=2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$                    C. $5$                  E. $1$
B. $6$                    D. $2$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = (x^2-3)^2 = x^4-6x^2+9$.
Laju perubahan fungsi pada saat $x=2$ dinyatakan oleh nilai turunan pertama $f(x)$ saat $x = 2$, atau secara matematis, $f'(2)$.
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{aligned} f(x) &= 4x^{4-1}-6(2)x^{2-1}+0 \\ & = 4x^3-12x \end{aligned}$
Untuk $x=2$, diperoleh
$\boxed{f'(2) = 4(2)^3-12(2) = 32-24 = 8}$
Jadi, laju perubahan fungsi $f(x)$ pada saat $x=2$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Sebuah persegi dengan sisi $x$ memiliki luas $f(x)$. Nilai $f'(6)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $36$                C. $10$             E. $6$
B. $12$                D. $8$

Pembahasan

Luas persegi itu dinyatakan oleh
$f(x) = x \cdot x = x^2$.
Turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x) = 2x$.
Substitusi $x = 6$ dan kita akan memperoleh $\boxed{f'(6) = 2(6)=12}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Besar populasi di suatu daerah $t$ tahun mendatang ditentukan oleh persamaan $p(t) = 10^3t^2-5 \cdot 10^2t + 10^6$. Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $\cdots \cdot$
A. $10.500$ jiwa per tahun
B. $10.000$ jiwa per tahun
C. $9.500$ jiwa per tahun
D. $9.000$ jiwa per tahun
E. $8.500$ jiwa per tahun

Pembahasan

Diketahui $p(t) = 10^3t^2-5 \cdot 10^2t + 10^6$.
Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang dinyatakan oleh nilai turunan pertama $p(t)$ saat $t = 5$. Turunan pertamanya adalah
$p'(t)= 10^3(2)t-5 \cdot 10^2$
Substitusi $t = 5$ dan kita akan memperoleh
$\begin{aligned} p'(5) & = 10^3(2)(5)-5 \cdot 10^2 \\ & =10.000-500 = 9.500 \end{aligned}$
Jadi, laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $\boxed{9.500~\text{jiwa/tahun}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 23
Dua bilangan bulat $m$ dan $n$ memenuhi hubungan $2m-n=40$. Nilai minimum dari $p=m^2+n^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $320$                    D. $260$
B. $295$                    E. $200$
C. $280$

Pembahasan

Diketahui $2m-n=40$.
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $n = 2m-40$.
Karena $p=m^2+n^2$, maka
$\begin{aligned} p & = m^2+(2m-40)^2 \\ & = m^2 + (4m^2-160m+1600) \\ & = 5m^2-160m+1600 \end{aligned}$
Agar $p$ minimum, turunan pertama $p$ terhadap variabel $m$ harus bernilai $0$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}p}{\text{d}m} & = 0 \\ 10m-160 & = 0 \\ 10m & = 160 \\ m & = 16 \end{aligned}$
$p$ akan minimum saat $m = 16$. Ini berarti, nilai $\begin{aligned} p & = 5m^2-160m+1600 \\ & = 5(16)^2-160(16)+1600 \\ & = 1280-2560+1600 \\ & = 320 \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum dari $p$ adalah $\boxed{320}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 24
Jumlah dua bilangan $p$ dan $q$ adalah $6$. Nilai minimum dari $2p^2+q^2 = \cdots \cdot$
A. $12$                  C. $20$                   E. $32$
B. $18$                  D. $24$

Pembahasan

Diketahui $p+q = 6$.
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $q = 6-p$.
Misalkan $z = 2p^2+q^2$, maka
$\begin{aligned} z & = y^2+(6-p)^2 \\ & = 2p^2 + (36-12p+p^2) \\ & = 3p^2-12p+36 \end{aligned}$
Agar $z$ minimum, turunan pertama $z$ terhadap variabel $p$ harus bernilai $0$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}z}{\text{d}p} & = 0 \\ 6p-12 & = 0 \\ 6p & = 12 \\ p & = 2 \end{aligned}$
$z$ akan minimum saat $p = 2$. Ini berarti, nilai $\begin{aligned} z & = 3p^2-12p+36 \\ & = 3(2)^2-12(2)+36 \\ & = 12-24+36 \\ & = 24 \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum dari $2p^2-q^2$ adalah $\boxed{24}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 25
Jumlah $2$ bilangan bulat positif $x$ dan $y$ adalah $18$. Nilai maksimum dari $xy$ adalah bilangan dua-digit $\overline{ab}$. Hasil dari $a \times b = \cdots \cdot$
A. $0$                   C. $12$                  E. $24$
B. $8$                   D. $16$

Pembahasan

Diketahui $x+y = 18$.
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $y = 18-x$.
Misalkan $z = xy$, maka
$\begin{aligned} z & = x(18-x) \\ & = 18x-x^2 \end{aligned}$
Agar $z$ maksimum, turunan pertama $z$ terhadap variabel $x$ harus bernilai $0$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}z}{\text{d}x} & = 0 \\ 18-2x & = 0 \\ 2x & = 18 \\ x & = 9 \end{aligned}$
$z$ akan maksimum saat $x = 9$. Ini berarti, nilai
$\begin{aligned} z & = 18x-x^2 \\ & = 18(9)-(9)^2 \\ & = 9(18-9) \\ & = 81 \end{aligned}$

Jadi, nilai maksimum dari $xy$ adalah $\overline{ab} = 81$, artinya $a = 8$ dan $b = 1$ sehingga $\boxed{a \times b = 8 \times 1 = 8}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26
Perhatikan grafik fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ berikut.
Apabila $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$, maka nilai dari $h'(1) = \cdots \cdot$
A. $-6$                     C. $-2$                  E. $2$
B. $-3$                     D. $1$

Pembahasan

Grafik fungsi $f(x)$ yang memuat $x = 1$ adalah garis lurus yang melalui titik $(0, 8)$ dan $(4, 0)$. Persamaan garisnya adalah
$\begin{aligned} 8x + 4y & = 8 \cdot 4 \\ 2x + y & = 8 \\ f(x) & = y = -2x + 8 \end{aligned}$
Untuk $x = 1$, diperoleh $f(1) = -2(1)+8 = 6$.
Turunan pertama $f(x)$ adalah
$f'(x) = -2$ sehingga $f'(1) = -2$.
Grafik fungsi $g(x)$ yang memuat $x = 1$ adalah garis lurus yang melalui titik $(0, 0)$ dan $(6, 8)$. Persamaan garisnya adalah
$g(x) = y = \dfrac86x = \dfrac43x$
Untuk $x = 1$, diperoleh $g(1) = \dfrac43$.
Turunan pertama $g(x)$ adalah
$g'(x) = \dfrac43$ sehingga $g'(1) = \dfrac43$.
Diketahui $h(x)= \dfrac{f(x)}{g(x)}$. Dengan menggunakan aturan hasil bagi, diperoleh turunan pertama $h(x)$, yaitu
$h'(x) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$
Substitusi $x = 1$.
$\begin{aligned} h'(1) & = \dfrac{f'(1) \cdot g(1)-f(1) \cdot g'(1)}{(g(1))^2} \\ & = \dfrac{-2 \cdot \dfrac43-6 \cdot \dfrac43}{\left(\dfrac43\right)^2} \\ & = \dfrac{-\dfrac83-8}{\dfrac{16}{9}} \\ & = -\dfrac{\cancelto{2}{32}}{\cancel{3}} \cdot \dfrac{\cancelto{3}{9}}{\cancel{16}} \\ & = -2 \cdot 3 = -6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{h'(1) = -6}$
(Jawaban A)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Carilah turunan pertama fungsi berikut ini.
$f(x)=x^6\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}}$

Pembahasan

Ada $2$ alternatif untuk menyelesaikan persoalan ini.
Cara 1: Menyatakan dalam bentuk pangkat
Nyatakan rumus fungsinya dalam bentuk yang lebih sederhana dengan menggunakan sifat-sifat eksponen.
Cara 2: Menggunakan formula
Jika $f(x) = ax^p \sqrt[m]{x^n}$ dengan $p>1$, $m > n$, dan $m,n$ bilangan positif, maka turunan fungsi itu adalah
$\boxed{f'(x) = \dfrac{a(pm+n)}{m}x^{p-1} \sqrt[m]{x^n}}$

Cara 1: Menyatakan dalam bentuk pangkat
$\begin{aligned} f(x) & =x^6\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \\ & = x^6 \cdot x^{5/7} \cdot x^{\frac{3}{7 \times 5}} \cdot x^{\frac{1}{7 \times 5 \times 2}} \\ & = x^6 \cdot x^{5/7} \cdot x^{3/35} \cdot x^{1/70} \\ & = x^{6+5/7+3/35+1/70} \\ & = x^{420/70+50/70+6/70+1/70} \\ & = x^{477/70} \\ f'(x) & = \dfrac{477}{70}x^{477/70-1} \\ & = \dfrac{477}{70}x^{407/70} \\ & = \dfrac{477}{70}x^5 \cdot x^{57/70} \\ & =\dfrac{477}{70}x^5 \cdot x^{5/7 + 3/35 + 1/70} \\ & = \dfrac{477}{70}x^5\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \end{aligned}$
Cara 2: Menggunakan Formula
$$\begin{aligned} f(x) & =x^6\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \\ & = \dfrac{[(6 \times 7 + 5) \times 5 + 3] \times 2 + 1}{7 \times 5 \times 2}x^5\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \\ & = \dfrac{477}{70}x^5\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui $f(x) = (4x+3)(4-x^2)$. Buktikan bahwa $\dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x} = -2(6x^3x-8)$.

Pembahasan

Diketahui $f(x) = (4x+3)(4-x^2)$ $= 16x-4x^3+12-3x^2$.
Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama dari $f(x)$ adalah
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x} & = 16(1)x^0-4(3)x^2+0-3(2)x^1 \\ & = 16-12x^2-6x \\ & = -2(6x^2+3x-8) \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x} = -2(6x^2+x-8)}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan fungsi $f(x)=ax^2+bx+c$. Jika $f'(0) = 2$, $f'(1) = 4$, dan $f(2)=6$, carilah nilai $a, b$, dan $c$.

Pembahasan

Diketahui $f(x)=ax^2+bx+c$.
Turunan pertamanya adalah $f'(x) = 2ax + b$.
Karena $f'(0) = 2$, kita peroleh
$2a\color{red}{(0)}+b = 2 \Leftrightarrow b = 2$
Karena $f'(1) = 4$ dan $b=2$, kita peroleh
$\begin{aligned} 2a\color{red}{(1)}+\color{blue}{2} & = 4 \\ 2a & = 2 \\ a & = 1 \end{aligned}$
Karena $f(2) = 6$, serta $a = 1$ dan $b = 2$, kita peroleh
$\begin{aligned} f(x) & = ax^2+bx+c \\ \implies f(2) & = 1(2)^2+2(2)+c \\ 6 & = 4+4+c \\ c & = 6-8 = -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a,b,c$ berturut-turut adalah $\boxed{1, 2, -2}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$, $f(-1)=4$, $f(1) = 0$, $f'(-1)=0$, dan $f'(0) = -3$. Hitunglah nilai-nilai berikut ini.
a. $a, b, c$, dan $d$.
b. $f'(1)$ dan $f’\left(-\dfrac23\right)$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$.
Karena $f'(0) = -3$ di mana $f'(x)$ menyatakan turunan pertama $f(x)$, maka kita dapat tuliskan
$\begin{aligned} f'(x) & = 3ax^2+2bx+c \\ f'(0) & = 3a(0)^2+2b(0)+c \\ -3 & = c \end{aligned}$
Sekarang, $f(x) = ax^3+bx^2-3x+d$.
Untuk $f(-1)=4$, kita peroleh
$$\begin{aligned} a(-1)^3+b(-1)^2-3(-1)+d & = 4 \\ -a+b+3+d & = 4 \\ -a+b+d & = 1 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Untuk $f(1) = 0$, kita peroleh
$\begin{aligned} a(1)^3+b(1)^2-3(1)+d & = 0 \\ a+b-3+d & = 0 \\ a+b+d & = 3 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Eliminasi $b$ dan $d$ pada persamaan $(1)$ dan $(2)$ di atas, sehingga diperoleh $a = 1$.
Sekarang, $f(x) = x^3+bx^2-3x+d$ dan $f'(x) = 3x^2+2bx-3$.
Karena $f'(-1) = 0$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 3(-1)^2 + 2b(-1)-3 & = 0 \\ 3-2b-3 & = 0 \\ b & = 0 \end{aligned}$
Substitusi nilai $b = 0$ dan $a = 1$ pada persamaan $a+b+d = 3$.
$1+0+d = 3 \Leftrightarrow d = 2$
Jadi, nilai $a,b,c,d$ berturut-turut adalah $1, 0, -3, 2$.
Jawaban b)
Diketahui $f(x) = x^3-3x+2$ sehingga $f'(x) = 3x^2-3$.
Dengan demikian,
$f'(1) = 3(1)^2-3 = 3-3 = 0$
dan
$\begin{aligned} f’\left(-\dfrac23\right) & = 3\left(-\dfrac23\right)^2-3 \\ & = -\dfrac43-3 \\ & =-\dfrac53 \end{aligned}$ 

[collapse]

Soal Nomor 5
Diberikan $f(x) = x^4+ax^2+b$. Carilah nilai $a$ dan $b$ agar $f(1)-1=f'(1)-2=0$.

Pembahasan

Diketahui $f(x)=x^4+ax^2+b$.
Turunan pertama dari $f(x)$ adalah $f'(x)=4x^3+2ax$.
Karena $f(1)-1 = 0$, maka kita tuliskan
$\begin{aligned} (1)^4+a(1)^2 + b-1 & = 0 \\ 1+a+b-1 & = 0 \\ a + b & = 0* \end{aligned}$
Karena $f'(1)-2=0$, maka kita tuliskan
$\begin{aligned} 4(1)^3+2a(1)-2 & = 0 \\ 4+2a-2 & = 0 \\ 2a & = -2 \\ a & = -1 \end{aligned}$
Didapat $\boxed{a=-1}$. Dari $*$, kita peroleh bahwa $\boxed{b = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui $g(x)=ax^2+bx+c$. Carilah nilai $a, b$, dan $c$ yang memenuhi sistem persamaan berikut ini.
$g(0) = 0$ dan $(x+1)g'(x)-2g(x)+4=0$

Pembahasan

Diketahui $g(x)=ax^2+bx+c$.
Karena $g(0)=0$, maka kita tuliskan
$a(0)^2+b(0)+c = 0 \Leftrightarrow c = 0$
Jadi, $g(x) = ax^2+bx$ sehingga turunan pertamanya adalah $g'(x) = 2ax + b$.
Dari $(x+1)g'(x)-2g(x)+4=0$, kita peroleh
$$\begin{aligned} (x+1)(2ax+b)-2(ax^2+bx)+4 & = 0 \\ (\cancel{2ax^2}+bx+2ax+b)-\cancel{2ax^2}-2bx+4 & = 0 \\ -bx+2ax+b+4 & = 0 \\ (-b+2a)x + (b+4) & = 0 \end{aligned}$$Di ruas kiri, terdapat variabel $x$ dengan koefisien $-b+2a$ serta konstanta $b+4$, sedangkan di ruas kanan hanya ada konstanta $0$. Jika kita samakan, kita peroleh
$\begin{cases} -b+2a & = 0 && (\cdots 1) \\ b+4 & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dari persamaan $(2)$, diperoleh $b = -4$.
Substitusi $b=-4$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} -\color{red}{b}+2a & = 0 \\ -\color{red}{(-4)}+2a & = 0 \\ 4+2a & = 0 \\ a & = -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a, b, c$ berturut-turut adalah $\boxed{-2, -4, 0}$

[collapse]