Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

     Aturan Sinus dan Aturan Cosinus merupakan dua aturan yang menghubungkan panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga sembarang dengan menggunakan konsep trigonometri. Sesuai dengan namanya, Aturan Sinus melibatkan fungsi sinus, sama halnya dengan Aturan Cosinus. Selain itu, luas segitiga ternyata dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan trigonometri, yaitu didasarkan pada besar sudut dan panjang dua sisi yang mengapitnya.

Aturan Sinus

Aturan Sinus (Law of Sines atau Sines Law/Rule) adalah teorema berupa persamaan yang menghubungkan nilai sinus sudut dalam segitiga dengan panjang sisi di depannya dalam bentuk perbandingan.
Jika diberikan segitiga sembarang $ABC$ seperti gambar, maka berlaku persamaan berikut.
$$\boxed{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R}$$dengan $R$ adalah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $ABC$.

Aturan Cosinus

Aturan Cosinus (Law of Cosines atau Cosines Formula/Rule) adalah teorema yang digunakan untuk menentukan panjang sisi depan suatu sudut dengan menggunakan hubungan dua panjang sisi pengapit sudut tersebut dan nilai cosinusnya.

Pada segitiga $ABC$ di atas, berlaku
$$\begin{aligned} a^2 & = b^2 + c^2- 2bc \cos \alpha \\ b^2 & = a^2 + c^2- 2ac \cos \beta \\ c^2 & = a^2 + b^2- 2ab \cos \gamma \end{aligned}$$

Aturan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Misalkan $\triangle ABC$ segitiga sembarang seperti gambar.

Dengan demikian, luas $\triangle ABC$ dapat dihitung dengan rumus berikut apabila diketahui panjang dua sisi segitiga beserta besar sudut pengapitnya.
$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 ab \sin C \\ & =  \dfrac12 bc \sin A \\ & = \dfrac12 ac \sin B \end{aligned}$
Luas segitiga juga dapat dihitung bila diketahui panjang satu sisi dan besar tiga sudutnya.
$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A} \\ & = \dfrac{b^2 \sin A \sin C}{2 \sin B} \\ & = \dfrac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}  \end{aligned}$

Untuk memahami lebih dalam mengenai materi ini, berikut disediakan soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat!

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Dasar

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Diketahui $\triangle ABC$ dengan panjang sisi $a = 4~\text{cm}$, $\angle A = 120^{\circ}$, dan $\angle B = 30^{\circ}$. Panjang sisi $c = \cdots \cdot$
A. $2\sqrt2~\text{cm}$                  D. $\dfrac34\sqrt2~\text{cm}$
B. $\dfrac43\sqrt3~\text{cm}$                 E. $\sqrt3~\text{cm}$
C. $\dfrac34\sqrt3~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena jumlah besar sudut dalam segitiga selalu $180^{\circ}$, maka $\angle C = (180-120-30)^{\circ} = 30^{\circ}$.
Selanjutnya, dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin A} & = \dfrac{c}{\sin C} \\ \dfrac{4}{\sin 120^{\circ}} & = \dfrac{c}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{4}{\cancel{\frac12}\sqrt3} & = \dfrac{c}{\cancel{\frac12}} \\ c & = \dfrac{4}{\sqrt3} = \dfrac43\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{c = \dfrac43\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Pada $\triangle JKL$, diketahui $\sin L = \dfrac13$, $\sin J = \dfrac35$, dan $JK = 5$ cm. Panjang $KL$ adalah $\cdots~\text{cm}$.
A. $5$                      C. $9$                      E. $15$
B. $7$                      D. $12$

Pembahasan

Pada $\triangle JKL$, sisi depan sudut $L$ adalah $JK$, sedangkan sisi depan sudut $J$ adalah $KL$. Dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{JK}{\sin L} & = \dfrac{KL}{\sin J} \\ \dfrac{5}{\frac13} & = \dfrac{KL}{\frac35} \\ 15 & = \dfrac{KL}{\frac35} \\ KL & = 15 \cdot \dfrac35 = 9 \end{aligned}$$Jadi, panjang $KL$ adalah $\boxed{9~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada $\triangle ABC$, diketahui $(b+c) : (c + a) : (a + b)$ $= 4 : 5 : 6$. Nilai dari $\sin A : \sin B : \sin C = \cdots \cdot$
A. $7 : 5 : 3$                     D. $4 : 5 : 6$
B. $3 : 5 : 7$                     E. $6 : 5 : 4$
C. $7 : 3 : 5$

Pembahasan

Diketahui untuk suatu bilangan asli $k$, berlaku:
$$\begin{aligned} b+c & = 4k && (\cdots 1) \\ a+c & = 5k && (\cdots 2) \\ a+b & = 6k && (\cdots 3) \end{aligned}$$Eliminasi $c$ pada persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh $a-b = -k$. Sebut ini sebagai persamaan $(4)$.
Dari persamaan $(3)$ dan $(4)$, kita peroleh $a = \dfrac72k$ dan $b = \dfrac52k$, sehingga $c = \dfrac32k$. Jadi, diperoleh perbandingan
$$\begin{aligned} a : b : c & = \dfrac72k : \dfrac52k : \dfrac32k \\ & = 7 : 5 : 3 \end{aligned}$$Menurut Aturan Sinus, perbandingan nilai sinus sudut sama dengan perbandingan panjang sisi depannya, sehingga $\boxed{\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c = 7 : 5 : 3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Pada $\triangle ABC$, diketahui bahwa $\angle B = 70^{\circ}$, $\angle C = 80^{\circ}$, dan $BC = 2$ cm. Jika $R$ adalah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $ABC$, maka nilai $R = \cdots~\text{cm}$.
A. $1$                     C. $4$                    E. $10$
B. $2$                     D. $8$

Pembahasan

Menurut Aturan Sinus,
$$\boxed{\color{blue}{\dfrac{BC}{\sin \angle A}} = \dfrac{AB}{\sin \angle C} = \dfrac{AC}{\sin \angle B} = \color{blue}{2R}}$$dengan $R$ adalah panjang jari-jari lingkaran luar $\triangle ABC$.
Karena $\angle B = 70^{\circ}$ dan $\angle C = 80^{\circ}$, maka $\angle A = (180-70-80)^{\circ} = 30^{\circ}$, sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin \angle A} & = 2R \\ \dfrac{2}{\sin 30^{\circ}} & = 2R \\ \dfrac{2}{\frac12} & = 2R \\ R & = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{R = 2~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Panjang sisi-sisi pada $\triangle ABC$ berbanding $6 : 5 : 4$. Cosinus sudut yang terbesar dari segitiga tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$                     C. $\dfrac34$                E. $\dfrac56$
B. $\dfrac23$                     D. $\dfrac45$        

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.


Kita misalkan $AC = 6, AB = 5$, dan $BC = 4$.
Dengan menggunakan Aturan Cosinus, nilai masing-masing cosinus sudut dapat ditentukan karena panjang ketiga sisi segitiganya telah diketahui.
Cosinus sudut $A$ adalah
$\begin{aligned} \cos A & = \dfrac{AC^2+AB^2-BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} \\ & = \dfrac{6^2+5^2-4^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} \\ & = \dfrac{36+25-16}{60} \\ & = \dfrac{45}{60} = \dfrac23 \end{aligned}$
Cosinus sudut $B$ adalah
$\begin{aligned} \cos B & = \dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \\ & = \dfrac{5^2+4^2-6^2}{2 \cdot 5 \cdot 4} \\ & = \dfrac{25+16-36}{40} \\ & = \dfrac{5}{40} = \dfrac18 \end{aligned}$
Cosinus sudut $C$ adalah
$\begin{aligned} \cos A & = \dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} \\ & = \dfrac{6^2+4^2-5^2}{2 \cdot 6 \cdot 4} \\ & = \dfrac{36+16-25}{48} \\ & = \dfrac{27}{48} = \dfrac{9}{16} \end{aligned}$
Karena $\dfrac18 < \dfrac{9}{16} < \dfrac34$, maka cosinus sudut terbesar adalah pada sudut $A$, yaitu $\cos A = \dfrac34$.
Tips: Semakin kecil panjang sisi depan sudut pada segitiga, maka nilai cosinus sudutnya akan semakin besar.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika panjang sisi-sisi segitiga $ABC$ berturut-turut adalah $AB=4~\text{cm}$, $BC=6~\text{cm}$, dan $AC=5~\text{cm}$, sedangkan $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, dan $\angle BCA = \gamma$, maka $\sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = \cdots \cdot$
A. $4 : 5 : 6$                D. $4 : 6 : 5$
B. $5 : 6 : 4$                E. $6 : 4 : 5$
C. $6 : 5 : 4$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh persamaan
$\dfrac{AB}{\sin \gamma} = \dfrac{BC}{\sin \alpha} = \dfrac{AC}{\sin \beta}$
Berdasarkan aturan tersebut, diketahui bahwa nilai sinus sudut sebanding dengan panjang sisi di depan sudutnya. Sisi depan sudut $\alpha$ adalah $BC$, sisi depan sudut $\beta$ adalah $AC$, dan sisi depan sudut $\gamma$ adalah $AB$.
Dalam kasus ini, dapat kita tulis
$\boxed{\begin{aligned} \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma & = BC : AC : AB \\ & = 6 : 5 : 4 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Dalam sebuah lingkaran yang berjari-jari $8~\text{cm}$ dibuat segi-$12$ beraturan. Panjang sisi segi-12 beraturan tersebut adalah $\cdots~\text{cm}$.
A. $8\sqrt{2-\sqrt3}$          
B. $8\sqrt{2-\sqrt2}$          
C. $8\sqrt{3-\sqrt2}$
D. $8\sqrt{3-\sqrt3}$
E. $8\sqrt{3 + \sqrt2}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Pada segitiga $OAB$, diketahui bahwa $r = OB = OA = 8~\text{cm}$ serta $\angle AOB = 360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}$. Panjang sisi $AB$ dapat dihitung dengan menggunakan Aturan Cosinus.
$\begin{aligned} AB^2 & = OA^2+OB^2-2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 30^{\circ} \\ AB^2 & = 8^2+8^2-2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ AB^2 & = 128- 64\sqrt3 \\ AB^2 & = 64(2-\sqrt3) \\ AB & = 8\sqrt{2-\sqrt3}~\text{cm}\end{aligned}$
Jadi, panjang sisi segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{8\sqrt{2-\sqrt3}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Aplikasi Trigonometri

Soal Nomor 8
Nilai $\cos \theta$ pada gambar di bawah adalah $\cdots \cdot$
Tali busur ABCD dalam lingkaran

A. $-1$                   C. $-\dfrac23$                  E. $\dfrac23$
B. $-\dfrac57$                     D. $1$       

Pembahasan

Tarik garis dari titik $A$ ke titik $C$, sebut saja garis $AC$.
Perhatikan bahwa $\angle ABC = \theta$, sehingga besar sudut di hadapannya adalah $\angle ADC = 180^{\circ}- \theta$
Catatan: Jumlah sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur lingkaran adalah $\color{red}{180^{\circ}}$
Dengan menggunakan Aturan Cosinus pada $\triangle ABC$ dan $\triangle ADC$, diperoleh kesamaan panjang $AC$, yakni
$\begin{aligned} & AB^2+BC^2- & 2(AB)(BC) \cos \theta \\ & = AD^2+CD^2-2(AD)(CD) \cos (180^{\circ}-\theta) \end{aligned}$
Diketahui bahwa $AB = 1$, $BC = 2$, $CD = 3$, dan $AD = 4$, serta $\cos (180^{\circ}-\theta) =-\cos \theta$, sehingga
$\begin{aligned} & (1)^2+(2)^2 &-2(1)(2) \cos \theta \\ & = (4)^2+(3)^2-2(3)(4)(-\cos \theta) \end{aligned}$
Selanjutnya, kita peroleh
$\begin{aligned} 5-4 \cos \theta & = 25+24 \cos \theta \\ 28 \cos \theta & =-20 \\ \cos \theta & =-\dfrac{20}{28} =-\dfrac57 \end{aligned}$

Jadi, nilai $\boxed{\cos \theta =-\dfrac57}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Perhatikan gambar segiempat $PQRS$ berikut.

Panjang $RS = \cdots \cdot$
A. $6\sqrt2~\text{cm}$             D. $9\sqrt2~\text{cm}$
B. $6\sqrt3~\text{cm}$             E. $9\sqrt3~\text{cm}$
C. $12~\text{cm}$

Pembahasan

Pada segitiga $PQS$, panjang $QS$ dapat dihitung dengan menggunakan Aturan Cosinus, yakni
$\begin{aligned} QS^2 & = PS^2+PQ^2-2 \cdot PS \cdot PQ \cdot \cos 30^{\circ} \\ & = 9^2+(9\sqrt3)^2-2 \cdot 9 \cdot 9\sqrt3 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ & = 81 + 243- 243 \\ QS & = \sqrt{81} = 9~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, gunakan Aturan Sinus pada segitiga $QRS$ untuk mencari panjang $RS$.
$\begin{aligned} \dfrac{QS}{\sin 60^{\circ}} & = \dfrac{RS}{\sin 90^{\circ}} \\ \dfrac{9}{\frac12\sqrt3} & = \dfrac{RS}{1} \\ RS & = \dfrac{18}{\sqrt3} = 6\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $\boxed{RS = 6\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Pada $\triangle PQR$, diketahui besar $\angle Q = 45^{\circ}$ dan garis tinggi dari titik $R$. Jika $QR = a$ dan $PT = a\sqrt2$, maka panjang $PR$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2a\sqrt2$                       D. $\dfrac12a\sqrt{10}$
B. $\dfrac12a\sqrt5$                      E. $a\sqrt2$
C. $2$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Panjang $RT$ dapat ditentukan dengan menggunakan Aturan Sinus pada segitiga $QRT$.
$\begin{aligned} \dfrac{QR}{\sin 90^{\circ}} & = \dfrac{RT}{\sin 45^{\circ}} \\ \dfrac{a}{1} & = \dfrac{RT}{\frac12\sqrt2} \\ RT & = \dfrac12a\sqrt2 \end{aligned}$
Berikutnya, panjang $PR$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $PRT$
$\begin{aligned} PR^2 & = PT^2 + RT^2 \\ & = (a\sqrt2)^2+ \left(\dfrac12a\sqrt2\right)^2 \\ & = 2a^2 + \dfrac12a^2 \\ & = \dfrac52a^2 \\ PR & = \sqrt{\dfrac52a^2} = \dfrac12a\sqrt{10} \end{aligned}$
Jadi, panjang $PR$ adalah $\boxed{\dfrac12a\sqrt{10}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Pada segitiga $ABC$, diketahui panjang sisi $AB = 15$ cm, $BC = 14$ cm, dan $AC = 13$ cm. Nilai $\tan C = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{5}{13}$                 C. $\dfrac{12}{13}$                E. $\dfrac{13}{12}$
B. $\dfrac{5}{12}$                 D. $\dfrac{12}{5}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa segitiga $ABC$ berikut.

Karena ketiga panjang sisi segitiga diketahui, maka kita dapat mencari nilai $\cos C$ terlebih dahulu dengan menggunakan Aturan Cosinus.
$\begin{aligned} \cos C & = \dfrac{BC^2+AC^2-AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} \\ & = \dfrac{14^2+13^2-15^2}{2 \cdot 14 \cdot 13} \\ & = \dfrac{196+169-225}{2 \cdot 14 \cdot 13} \\ & = \dfrac{\cancelto{10}{140}}{2 \cdot \cancel{14} \cdot 13} = \dfrac{5}{13} \end{aligned}$
Panjang sisi samping $\angle C = 5$.
Panjang sisi miring $\angle C = 13$.
Panjang sisi depan $\angle C = \sqrt{13^2-5^2} = 12$.
Dengan demikian,
$\boxed{\tan C = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{12}{5}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Luas segi-$12$ beraturan dengan masing-masing panjang sisinya $4~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(96+48\sqrt3)~\text{cm}^2$           
B. $(24+12\sqrt3)~\text{cm}^2$           
C. $(24\sqrt3+12)~\text{cm}^2$
D. $(96\sqrt3+48)~\text{cm}^2$
E. $(96\sqrt3+12)~\text{cm}^2$

Pembahasan

Perhatikan segi-$12$ beraturan dan potongannya berupa segitiga sama kaki berikut.

Besar sudut $BAC$ adalah $\dfrac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}$, sehingga besar sudut kakinya adalah $\dfrac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$. Dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x}{\sin 75^{\circ}} & = \dfrac{4}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{x}{\sin (45+30)^{\circ}} & = \dfrac{4}{\frac12} \\ \dfrac{x}{\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}} & = 8 \end{aligned}$
Selanjutnya, diperoleh
$\begin{aligned} x & = 8(\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}) \\ x & = 8\left(\dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12\sqrt3 + \dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12\right) \\ x & = 8\left(\dfrac14\sqrt6 + \dfrac14\sqrt2\right) \\ x & = 2\sqrt6 + 2\sqrt2 = [2(\sqrt6+\sqrt2)]~\text{cm} \end{aligned}$

Luas segitiga $ABC$ pada gambar di atas adalah
$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \cdot x \cdot x \cdot \sin 30^{\circ} \\ & = \dfrac12 \cdot 4(\sqrt6+\sqrt2)^2 \cdot \dfrac12 \\ & = (\sqrt6 + \sqrt2)^2 \\ & = 8 + 2\sqrt12 = (8 + 4\sqrt3)~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Dua belas segitiga kongruen seperti segitiga $ABC$ memiliki total luas yang sama dengan segi-$12$ beraturan, yaitu
$\begin{aligned} L & = 12 \cdot L_{\triangle ABC} \\ & = 12 \cdot (8+4\sqrt3) \\ & = (96+48\sqrt3)~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{96+48\sqrt3~\text{cm}^2}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika dalam segitiga $ABC$ berlaku hubungan $a^2(1+\cos A) = 2bc \sin^2 A$, maka segitiga $ABC$ berbentuk $\cdots \cdot$
A. segitiga sama sisi
B. segitiga siku-siku
C. segitiga sama kaki
D. segitiga sembarang
E. segitiga tumpul

Pembahasan

Gunakan aturan cosinus bahwa $a^2 = b^2+c^2-2bc \cos A$, serta identitas Pythagoras $\sin^2 A = 1-\cos^2 A$.
Kita peroleh,
$$\begin{aligned} a^2(1+\cos A) & = 2bc \sin^2 A \\ (b^2+c^2-2bc \cos A)(1+\cos A) & = 2bc(1-\cos^2 A) \\ (b^2+c^2-2bc \cos A)\cancel{(1+\cos A)} & = 2bc\cancel{(1+\cos A)}(1-\cos A) \\ b^2+c^2-\bcancel{2bc \cos A} & = 2bc-\bcancel{2bc \cos A} \\ b^2-2bc+c^2 & = 0 \\ (b-c)^2 & = 0 \\ b & = c \end{aligned}$$Jadi, kita dapat simpulkan bahwa segitiga $ABC$ adalah segitiga sama kaki karena ada dua sisi yang panjangnya sama.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Luas segiempat $ABCD$ pada gambar di bawah adalah $\cdots~\text{cm}^2$.
A. $(72 + 50\sqrt3)$               D. $(36 + 50\sqrt3)$
B. $(72 + 25\sqrt3)$               E. $(36 + 25\sqrt3)$
C. $74$

Pembahasan

Perhatikan kembali gambar segiempat $ABCD$ berikut.
Luas segiempat $ABCD$ sama dengan jumlah dari luas segitiga $ABC$ dan $ACD$.
Luas segitiga $ABC$ dapat langsung ditentukan menggunakan rumus luas sinus.
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 60^{\circ} \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{5}{20} \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}\sqrt3 \\ & = 50\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Pada segitiga $ABC$, panjang $AC$ dapat dicari dengan menggunakan Aturan Cosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2+BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cos 60^{\circ} \\ AC^2 & = 20^2+10^2-2 \cdot 20 \cdot 10 \cdot \dfrac12 \\ AC^2 & = 400+100-200 \\ AC^2 & = 300 \\ AC & = \sqrt{300} = 10\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$$Luas segitiga $ACD$ dapat ditentukan dengan memakai rumus Heron karena panjang ketiga sisinya diketahui.
Setengah keliling segitiga itu adalah
$$\begin{aligned} S & = \dfrac{AD+CD+AC}{2} \\ & = \dfrac{6\sqrt3+8\sqrt3+10\sqrt3}{2} = 12\sqrt3 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ACD} & = \sqrt{S(S-AD)(S-CD)(S-AC)} \\ & = \sqrt{12\sqrt3(6\sqrt3)(4\sqrt3)(2\sqrt3)} \\ & = \sqrt{(12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2) \cdot (\sqrt3)^4} \\ & = \sqrt{(2^2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 3^2} \\ & = \sqrt{2^6 \cdot 3^4} \\ & = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, kita peroleh bahwa luas segiempat $ABCD$ adalah $$\boxed{L_{\triangle ACD} + L_{\triangle ABC} = (72 + 50\sqrt3)~\text{cm}^2}$$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 15
Sebuah mobil melaju dari tempat $A$ sejauh $16~\text{km}$ dengan arah $40^{\circ}$, kemudian berbelok sejauh $24~\text{km}$ ke tempat $B$ dengan arah $160^{\circ}$. Jarak $A$ dan $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $21~\text{km}$                    D. $32~\text{km}$
B. $8\sqrt7~\text{km}$                E. $8\sqrt{19}~\text{km}$
C. $8\sqrt{10}~\text{km}$

Pembahasan

Posisikan titik $C$ dan gunakan garis bantu seperti gambar di bawah.

Dari gambar, diperoleh bahwa $\angle ACB = 20^{\circ} + 40^{\circ} = 60^{\circ}$. Selanjutnya dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
$$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2+BC^2-2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle ACB \\ AB^2 & = 16^2+24^2-2 \cdot 16 \cdot 24 \cdot \cos 60^{\circ} \\ AB^2 & = 256+576-768 \cdot \dfrac12 \\ AB^2 & = 448 \\ AB & = \sqrt{448} = \sqrt{64 \times 7} = 8\sqrt7~\text{km} \end{aligned}$$Jadi, jarak $A$ dan $B$ adalah $\boxed{8\sqrt7~\text{km}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c

Soal Nomor 16
Keliling suatu segienam beraturan adalah $84~\text{cm}$. Luas segienam tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $588\sqrt3~\text{cm}^2$             D. $245\sqrt3~\text{cm}^2$
B. $392\sqrt3~\text{cm}^2$             E. $147\sqrt3~\text{cm}^2$
C. $294\sqrt3~\text{cm}^2$

Pembahasan

Ada dua cara untuk menentukan luas segienam tersebut, yaitu menggunakan Teorema Pythagoras dan Aturan Luas Segitiga dalam Trigonometri.
Cara 1: Teorema Pythagoras
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena keliling segienam beraturan tersebut $84~\text{cm}$, maka panjang sisinya adalah $84 \div 6 = 14~\text{cm}$
Tarik garis tinggi dari titik pusat segienam tersebut ke salah satu sisi.
Misalkan panjang garis tinggi ini adalah $t$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} t & = \sqrt{14^2-7^2} \\ & = \sqrt{196-49} = \sqrt{147} = 7\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas segienam tersebut dapat ditentukan, karena luasnya 6 kali luas segitiga pembentuknya.
$\begin{aligned} L_{\text{segienam}} & = 6 \times L_{\triangle} \\ & = 6 \times \dfrac12 \times 14 \times 7\sqrt3 \\ & = 294\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segienam tersebut adalah $\boxed{294\sqrt3~\text{cm}^2}$
Cara 2: Aturan Luas Segitiga dalam Trigonometri
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Panjang $r = 84 \div 6 = 14~\text{cm}$ dan $n = 6$ (karena segi-6). Luas segienam tersebut adalah
$\begin{aligned} L_{\text{segienam}} & = n \left(\dfrac12r^2 \sin \dfrac{360^{\circ}}{n}\right) \\ & = \cancelto{3}{6}\left(\dfrac{1}{\cancel{2}}(14)^2 \sin \dfrac{360^{\circ}}{6}\right) \\ & = 3(196)\left(\dfrac12\sqrt3\right) \\ & = 294\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Luas segi-$12$ beraturan dengan masing-masing panjang sisinya $4~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(96+48\sqrt3)~\text{cm}^2$
B. $(24+12\sqrt3)~\text{cm}^2$
C. $(24\sqrt3+12)~\text{cm}^2$
D. $(96\sqrt3+48)~\text{cm}^2$
E. $(96\sqrt3+12)~\text{cm}^2$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar segi-$\color{red}{12}$ berikut.
Segi-12
Tinjau satu segitiga dari dua belas segitiga sama kaki yang kongruen.
Besar sudut $O$ adalah $\dfrac{360^{\circ}}{\color{red}{12}} = 30^{\circ}$
Karena $\triangle OAB$ sama kaki (panjang $OA = OB$), maka haruslah dua sudut lainnya sebesar $\dfrac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$.
Gunakan Aturan Sinus dan ingat kembali bahwa $\sin 30^{\circ} = \dfrac12$ dan $\sin 75^{\circ} = \dfrac14(\sqrt6 + \sqrt2)$.
$\begin{aligned} \dfrac{OA}{\sin 75^{\circ}} & = \dfrac{AB}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{x}{\frac14(\sqrt6+\sqrt2)} & = \dfrac{4}{\frac12} \\ x & = 2(\sqrt6 + \sqrt2)~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan menggunakan Aturan Luas Segitiga pada Trigonometri, diperoleh
$\begin{aligned} L_{OAB} & = \dfrac12 \cdot OA \cdot OB \cdot \sin 30^{\circ} \\ & = \dfrac12 \cdot 2(\sqrt6 + \sqrt2) \cdot 2(\sqrt6 + \sqrt2) \cdot \dfrac12 \\ & = (\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2) \\ & = (\sqrt6)^2+2(\sqrt6)(\sqrt2) + (\sqrt2)^2 \\ & = (8+4\sqrt3)~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Karena ada $12$ segitiga yang kongruen, maka
$\begin{aligned} L_{\text{segi}-12} & = 12 \times (8+4\sqrt3) \\ & = (96+48\sqrt3)~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{(96+48\sqrt3)~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Sebuah kapal berlayar dari Pelabuhan A ke Pelabuhan B sejauh $200$ mil dengan arah $35^{\circ}$. Dari Pelabuhan B, kapal itu berlayar sejauh $300$ mil menuju Pelabuhan C dengan arah $155^{\circ}$. Jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\cdots$ mil. 
A. $100\sqrt{2}$                  D. $100\sqrt{13}$
B. $100\sqrt{3}$                  E. $100\sqrt{19}$
C. $100\sqrt{7}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Sketsa Soal Cerita Aturan Cosinus
(Titik awal penarikan sudut selalu dimulai dari bagian sumbu-$X$ positif)
Panjang $AC$ selanjutnya dapat ditentukan dengan menggunakan Aturan Cosinus. 
$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^{\circ} \\ AC^2 & = (200)^2 + (300)^2-2 \cdot 200 \cdot 300 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AC^2 & = 40.000 + 90.000-60.000 \\ AC^2 & = 70.000 \\ AC & = \sqrt{70.000} = 100\sqrt{7} \end{aligned}$
Jadi, jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\boxed{100\sqrt{7}~\text{mil}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Sebuah kapal laut berlayar ke arah timur sejauh $120$ km, kemudian memutar kemudi pada jurusan $60^{\circ}$ sejauh $100$ km hingga berhenti. Jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\cdots$ meter.
A. $25\sqrt{50}$                       D. $27\sqrt{66}$
B. $20\sqrt{91}$                       E. $24\sqrt{70}$
C. $24\sqrt{66}$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.
Sketsa Soal Cerita Aturan Cosinus
Perhatikan bahwa kemudi dibelokkan $60^{\circ}$ di titik $B$, artinya sudut pelurus $\angle ABC = 60^{\circ}$. Penarikan sudut selalu dimulai dari sumbu-$X$ positif.
Misalkan titik $A$ adalah titik mula-mula dan titik $C$ merupakan titik pemberhentian kapal.

Perhatikan bahwa $\angle ABC = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$
Karena diketahui sisi-sudut-sisi, maka untuk mencari jarak yang dimaksud, yakni panjang $AC$, dapat menggunakan Aturan Cosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC \\ & = 120^2 + 100^2-2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \cos 120^{\circ} \\ & = 14.400 + 10.000-2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \left(-\dfrac12\right) \\ & = 24.400 + 12.000 \\ & = 36.400 = 100 \times 4 \times 91 \\ AC & = \sqrt{100 \times 4 \times 91} \\ & = 10 \times 2 \times \sqrt{91} = 20\sqrt{91} \end{aligned}$$Jadi, jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\boxed{20\sqrt{91}}$ meter.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Sukardi dan Lili berdiri di suatu pantai dengan terpisah jarak $6$ km antara keduanya. Garis pantai yang melalui mereka berupa garis lurus. Keduanya dapat melihat kapal laut yang sama dari tempat mereka berdiri. Misalkan sudut antara tempat Sukardi berdiri dengan kapal laut yang merupakan garis lurus adalah $45^{\circ}$. Sementara itu, sudut antara tempat Lili berdiri dengan kapal laut yang merupakan garis lurus adalah $15^{\circ}$. Jika jarak kapal laut dengan tempat Lili berdiri adalah $a\sqrt{b}$ km, dengan $a\sqrt{b}$ adalah bentuk akar paling sederhana, maka nilai $b-a = \cdots \cdot$
A. $0$                       C. $3$                      E. $6$
B. $2$                       D. $4$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Titik $C$ adalah titik lokasi kapal laut. Besar sudut $C$ adalah $(180-45-15)^{\circ} = 120^{\circ}$. Untuk mencari jarak kapal laut dan Lili, yaitu panjang $BC$, gunakan Aturan Sinus.
$$\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin C} & = \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{6}{\sin 120^{\circ}} & = \dfrac{BC}{\sin 45^{\circ}} \\ \dfrac{6}{\frac12\sqrt3} & = \dfrac{BC}{\frac12\sqrt2} \\ BC & = \dfrac{6}{\sqrt3} \times \sqrt2 \\ BC & = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $a = 2$ dan $b = 6$, sehingga $\boxed{b-a=6-2=4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri

Soal Nomor 21
Sebuah mobil melaju dari tempat A sejauh $16$ km dengan arah $40^{\circ}$, kemudian berbelok sejauh $24$ km ke tempat B dengan arah $160^{\circ}$. Jarak A dan B adalah $\cdots$ km. 
A. $21$                                D. $32$
B. $8\sqrt{7}$                            E. $8\sqrt{19}$
C. $8\sqrt{10}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Sketsa Soal Cerita Aturan Cosinus
Pada segitiga $ABC$ di atas, diketahui $AC = 16~\text{km}$, $CB = 24~\text{km}$, dan $\angle ACB = 60^{\circ}$. Dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2 + CB^2-2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos 60^{\circ} \\ AB^2 & = (16)^2 + (24)^2-2 \cdot 16 \cdot 24 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AB^2 & = 256 + 576-384 \\ AB^2 & = 448 \\ AB & = \sqrt{448} = 8\sqrt{7} \end{aligned}$ 
Jadi, jarak A ke B adalah $\boxed{8\sqrt{7}~\text{km}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Diberikan segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Titik $D$ terletak pada sisi $AC$ sedemikian sehingga garis $BD$ membagi dua sudut $ABC$ sama besar. Diketahui panjang $AB = 3$ dan luas segitiga $ABD$ sama dengan $9$. Panjang sisi $CD$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $4$                    C. $7$                 E. $9$
B. $6$                    D. $8$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar segitiga $ABC$ berikut.
Garis bagi BD pada segitiga ABC
Kita misalkan $\angle CBD = \angle DBA = \theta$.
Pada segitiga siku-siku $BCD$, berlaku perbandingan trigonometri
$\sin \theta = \dfrac{CD}{BD} \Leftrightarrow \color{red}{CD = BD \sin \theta}$
Berdasarkan aturan luas segitiga menurut trigonometri pada $\triangle ABD$ ditinjau dari sudut $\theta$, kita peroleh
$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac12 \cdot AB \cdot \color{red}{BD \cdot \sin \theta} \\ 9 & = \dfrac12 \cdot 3 \cdot \color{red}{CD} \\ CD & = 9 \cdot \dfrac23 = 6 \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $CD$ adalah $\boxed{6}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui $a, b, c$ masing-masing adalah panjang sisi segitiga $ABC$. Jika $(a+b+c)(a-b+c) = 3ac$, maka besarnya sudut yang menghadap sisi $b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $30^{\circ}$                C. $60^{\circ}$                E. $90^{\circ}$
B. $45^{\circ}$                D. $75^{\circ}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} (a+b+c)(a-b+c) & = 3ac \\ (a+c+b)(a+c-b) & = 3ac \\ (a+c)^2-b^2 & = 3ac \\ (a^2+2ac+c^2)-b^2 & = 3ac \\ a^2+c^2-ac & = b^2 \end{aligned}$
Misalkan $B$ adalah besar sudut di depan sisi $b$. Sekarang, dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
$\begin{aligned} \cos B & = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\ & = \dfrac{a^2+c^2-(a^2+c^2-ac)}{2ac} \\ & = \dfrac{ac}{2ac} = \dfrac12 \end{aligned}$
Karena $\cos B = \dfrac12$, maka nilai $B$ yang mungkin adalah $60^{\circ}$.
Jadi, besar sudut yang menghadap sisi $b$ adalah $\boxed{60^{\circ}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Pembuktian Identitas Trigonometri

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Pada suatu segitiga $ABC$, besar $\angle C$ tiga kali besar $\angle A$ dan besar $\angle B$ dua kali besar $\angle A$. Berapakah perbandingan panjang $AB$ dan $BC$?

Pembahasan

Pada segitiga, jumlah sudutnya selalu $180^{\circ}$, sehingga ditulis $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
Karena $\angle C = 3\angle A$ dan $\angle B = 2\angle A$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} \angle A + 2 \angle A + 3 \angle A & = 180^{\circ} \\ 6 \angle A & = 180^{\circ} \\ \angle A & = 30^{\circ} \end{aligned}$
Ini berarti, $\angle B = 60^{\circ}$ dan $\angle C = 90^{\circ}$. Jadi, segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$.
Dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin C} & = \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{AB}{BC} & = \dfrac{\sin C}{\sin A} \\ AB : BC & = \sin 90^{\circ} : \sin 30^{\circ} \\ & = 1 : \dfrac12 = 2 : 1 \end{aligned}$
Jadi, perbandingan panjang $AB$ dan $BC$ adalah $\boxed{2 : 1}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui $\triangle ABC$ dengan $a+c = 12$ cm dan $b + c = 13$ cm, serta $\angle A = 60^{\circ}$. Tentukan nilai $a$.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar $\triangle ABC$ berikut.
Karena $a + c = 12$ cm, maka itu berarti $c = (12-a)$ cm.
Perhatikan juga bahwa
$\begin{aligned} (a + c)-(b+c) & = 12-13 \\ a-b & = -1 \\ b & = (a+1)~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, untuk mencari nilai $a$, kita gunakan Aturan Cosinus.
$$\begin{aligned} a^2 & = b^2+c^2-2bc \cos A \\ a^2 & = (a+1)^2+(12-a)^2-2(a+1)(12-a) \cos 60^{\circ} \\ a^2 & = (a^2+2a+1)+(144-24a+a^2)-\cancel{2}(-a^2+11a+12) \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}} \\ a^2 & = a^2+2a+1+144-24a+a^2+a^2-11a-12 \\ a^2 & = 3a^2-33a+133 \\ 0 & = 2a^2-33a + 133 \\ 0 & = (2a-19)(a-7) \end{aligned}$$Diperoleh $a = \dfrac{19}{2}$ atau $a = 7$.
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{a = \dfrac{19}{2}~\text{atau}~a = 7}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa dalam segitiga sembarang $ABC$ berlaku $\dfrac{a-b}{c} = \dfrac{\sin A-\sin B}{\sin C}$.

Pembahasan

Dalam segitiga sembarang $ABC$, berlaku
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$
Dalam bentuk lain, ditulis
$a = \dfrac{b \sin A}{\sin B}$ dan $c = \dfrac{b \sin C}{\sin B}$
Dengan demikian, kita dapatkan
$\begin{aligned} \dfrac{a-b}{c} & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\sin B}-b}{\dfrac{b \sin C}{\sin B}} \\ & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\cancel{\sin B}}-\dfrac{b \sin B}{\cancel{\sin B}}}{\dfrac{b \sin C}{\cancel{\sin B}}} \\ & = \dfrac{b \sin A-b \sin B}{b \sin C} \\ & = \dfrac{\sin A-\sin B}{\sin C} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa dalam segitiga sembarang $ABC$ berlaku $\dfrac{a-b}{c} = \dfrac{\sin A-\sin B}{\sin C}$.

[collapse]

Soal Nomor 4
Buktikan bahwa luas segiempat tali busur $ABCD$ pada gambar di bawah adalah $L = \dfrac12(ab + cd) \sin \theta$

Pembahasan

Dengan menerapkan konsep luas segitiga dalam trigonometri, diperoleh
$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac12 cd \sin \theta \\ L_{\triangle BCD} & = \dfrac12 ab \sin C \end{aligned}$
Pada segiempat tali busur, jumlah besar sudut yang saling berhadapan adalah $180^{\circ}$, sehingga
$\theta + \angle C = 180^{\circ} \iff \angle C = 180^{\circ}- \theta$
Dengan demikian, luas segitiga $BCD$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} L_{\triangle BCD} & = \dfrac12 ab \sin (180^{\circ}- \theta) \\ & = \dfrac12 ab \sin \theta \end{aligned}$
Ini berarti, luas segiempat $ABCD$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = L_{\triangle ABD} + L_{\triangle BCD} \\ & = \dfrac12 cd \sin \theta + \dfrac12 ab \sin \theta \\ & = \dfrac12(ab+cd) \sin \theta \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa luas segiempat tali busur $ABCD$ itu adalah $\boxed{L_{ABCD} = \dfrac12(ab + cd) \sin \theta}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri

Soal Nomor 5
Pada gambar di bawah, $ABCD$ adalah segiempat tali busur lingkaran (besar sudut yang berhadapan jumlahnya $180^{\circ}$). Buktikan bahwa
$\cos \theta = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}$

Pembahasan

Jika pada segiempat $ABCD$ itu ditarik garis $BD$, maka dengan menggunakan Aturan Cosinus pada $\triangle ABD$ dan $\triangle BCD$, diperoleh
$\begin{cases} BD^2 = c^2+d^2-2cd \cos \theta~~~~(\cdots 1) \\ BD^2 = a^2+b^2-2ab \cos C~~~~(\cdots 2) \end{cases}$
Pada segiempat tali busur, jumlah besar sudut yang saling berhadapan adalah $180^{\circ}$, sehingga
$\theta + \angle C = 180^{\circ} \iff \angle C = 180^{\circ}-\theta$
Persamaan $2$ selanjutnya dapat diubah menjadi
$BD^2 = a^2+b^2-2ab \cos (180^{\circ}-\theta)$
Dengan menggunakan konsep relasi sudut, diperoleh
$BD^2 = a^2+b^2+2ab \cos \theta~~~(\cdots 3)$
Sekarang, eliminasi $BD^2$ pada persamaan $1$ dan $3$, sehingga kita peroleh
$c^2+d^2-2cd \cos \theta-a^2-b^2-2ab \cos \theta = 0$
Substitusi nilai masing-masing:
$\begin{aligned}-2 \cos \theta(ab + cd) & = a^2+b^2-c^2-d^2 \\-2\cos \theta & = \dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{ab+cd} \\ \cos \theta & = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)} \end{aligned}$

Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\cos \theta = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui $\triangle ABC$ dengan $CD$ adalah garis berat, yaitu garis yang membagi dua sama panjang sisi $AB$. Dengan menggunakan Aturan Cosinus, buktikan bahwa:
a. $CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2-\dfrac14c^2$
b. $4CD^2 = a^2+b^2+2ab \cos C$

Pembahasan

Jawaban a)
.Perhatikan bahwa $\angle ADC + \angle BDC = 180^{\circ}$ (kedua sudut saling berpelurus), dan dapat juga kita tulis $\angle BDC = 180^{\circ}-\angle ADC$. Dengan menggunakan Aturan Cosinus pada $\triangle ADC$ dan $\triangle BDC$, diperoleh dua persamaan, yakni
$$\begin{cases} b^2 = \frac14c^2 + CD^2-2 \cdot \dfrac12 \cdot c \cdot CD \cos \angle ADC \\ a^2 = \frac14c^2 + CD^2-2 \cdot \dfrac12 \cdot c \cdot CD \cos \angle (180^{\circ}-ADC) \end{cases}$$Perhatikan juga bahwa $\cos \angle (180^{\circ}-ADC) =-\cos ADC$. Ini berarti,
$$\begin{cases} b^2 = \frac14c^2 + CD^2-2 \cdot \frac12 \cdot c \cdot CD \cos \angle ADC \\ a^2 = \frac14c^2 + CD^2 + 2 \cdot \frac12 \cdot c \cdot CD \cos ADC \end{cases}$$Jumlahkan kedua persamaan di atas, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} b^2+a^2 & = \dfrac12c^2 + 2CD^2 \\ 2CD^2 & = a^2+b^2-\dfrac12c^2 \\ CD^2 & = \dfrac12 a^2+\dfrac12b^2-\dfrac14c^2 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2-\dfrac14c^2$
Jawaban b)
Dengan menggunakan Aturan Cosinus terhadap sisi $AB$, diperoleh
$c^2 = a^2+b^2-2ab \cos C$
Berdasarkan jawaban a, diketahui bahwa 
$CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2-\dfrac14c^2$
Persamaan ini ekuivalen dengan 
$4CD^2 = 2a^2 + 2b^2-c^2$
Substitusikan $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos C$, didapat
$\begin{aligned} 4CD^2 & = 2a^2 + 2b^2-(a^2+b^2-2ab \cos C) \\ & = a^2+b^2 + 2ab \cos C \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $4CD^2 = a^2+b^2+2ab \cos C$

[collapse]

Soal Nomor 7
Buktikan bahwa luas segiempat $ABCD$ sembarang pada gambar di bawah adalah $L = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta$

Pembahasan

Luas segiempat $ABCD$ dapat dihitung dengan menjumlahkan luas dari empat segitiga penyusunnya. Luas masing-masing segitiga dapat ditentukan dengan menggunakan Aturan Sinus (ingat bahwa $\sin (180^{\circ}-\theta) = \sin \theta$)
$\begin{aligned} L_{\triangle CDP} & = \dfrac12 \cdot CP \cdot DP \cdot \sin \theta \\ L_{\triangle BCP} & = \dfrac12 \cdot CP \cdot BP \cdot \sin \theta \\ L_{\triangle ABP} & = \dfrac12 \cdot AP \cdot BP \cdot \sin \theta \\ L_{\triangle ADP} & = \dfrac12 \cdot AP \cdot DP \cdot \sin \theta \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{ABCD} & = L_{\triangle CDP} + L_{\triangle BCP} + L_{\triangle ABP} + L_{\triangle ADP} \\ & = \dfrac12 \cdot CP \cdot DP \cdot \sin \theta + \dfrac12 \cdot CP \cdot BP \cdot \sin \theta \\ & + \dfrac12 \cdot AP \cdot BP \cdot \sin \theta + \dfrac12 \cdot AP \cdot DP \cdot \sin \theta \\ & = \dfrac12 \sin \theta(CP(DP+BP)+AP(BP+DP)) \\ & = \dfrac12 \sin \theta(CP \cdot BD + AP \cdot BD) \\ & = \dfrac12 \sin \theta \cdot BD(CP + AP) \\ & = \dfrac12 \sin \theta \cdot BD \cdot AC \\ & = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa luas segiempat $ABCD$ tersebut adalah $\boxed{L_{ABCD} = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Penerapan Identitas Trigonometri

Soal Nomor 8
Pada $\triangle ABC$ sembarang, buktikan bahwa
$$c(\sin^2 A + \sin^2 B) = \sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B)$$

Pembahasan

Akan dibuktikan
$$\underbrace{c(\sin^2 A + \sin^2 B)}_{\text{ruas kiri}} = \underbrace{\sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B)}_{\text{ruas kanan}}$$Gunakan Aturan Sinus.
$$\boxed{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}}$$Dari persamaan tersebut, kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} \sin A & = \dfrac{a \sin B}{b} \\ \sin B & = \dfrac{b \sin A}{a} \end{aligned}$$Selanjutnya, akan dibuktikan dimulai dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} c(\sin^2 A + \sin^2 B) & = c\left(\sin A \cdot \sin A + \sin B \cdot \sin B\right) \\ & = c\left(\dfrac{a \sin B}{b} \cdot \sin A + \dfrac{b \sin A}{a} \cdot \sin B\right) \\ & = c\left(\dfrac{\sin B}{b} \cdot (a \sin A) + \dfrac{\sin A}{a} \cdot (b \sin B)\right) \\ & = c\left(\dfrac{\sin C}{c} \cdot (a \sin A) + \dfrac{\sin C}{c} \cdot (b \sin B)\right) && (\text{Aturan Sinus}) \\ & = \cancel{c} \cdot \dfrac{\sin C}{\cancel{c}}(a \sin A + b \sin B) && (\text{Difaktorkan}) \\ & = \underbrace{\sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B)}_{\text{ruas kanan}} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa pada $\triangle ABC$ sembarang, berlaku $$c(\sin^2 A + \sin^2 B) = \sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B)$$

[collapse]