Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret (Versi HOTS/Olimpiade)

       Berikut ini merupakan beberapa soal tentang barisan dan deret versi Higher Order Thinking Skill (HOTS) dan soal dengan tingkat kesulitan yang tinggi (olimpiade). Soal ini diharapkan dapat membantu memantapkan penguasaan materi yang bersangkutan karena telah disertai dengan pembahasannya.

Quote by Muhammad Ali

Friendship is the hardest thing in the world to explain. It’s not something you learn in school. But if you haven’t learned the meaning of friendship, you really haven’t learned anything.

Bagian Pilihan Ganda 

Soal Nomor 1 
Jumlah $5$ suku pertama deret aritmetika adalah $20$. Jika masing-masing suku dikurangi dengan suku ke-$3$, maka hasil kali suku ke-$1$, ke-$2$, ke-$4$, dan ke-$5$ adalah $324$. Jumlah $8$ suku pertama deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$ atau $68$
B. $-52$ atau $116$
C. $-64$ atau $88$
D. $-44$ atau $124$
E. $-56$ atau $138$

Pembahasan

Diketahui $\text{S}_5 = 20$. 
Berdasarkan kalimat ke-$2$ pada soal di atas, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_1-\text{U}_3 & = a-(a + 2b) =-2b \\ \text{U}_2- \text{U}_3 & = (a + b)-(a + 2b) =-b \\ \text{U}_4-\text{U}_3 & = (a + 3b)-(a + 2b) = b \\ \text{U}_5-\text{U}_3 & = (a + 4b)-(a + 2b) = 2b \end{aligned}$
berarti hasil kalinya menghasilkan
$\begin{aligned} (-2b) (-b) (b) (2b) & = 324 \\ 4b^4 & = 324 \\ b^4 & = 81 \\ b & = \pm 3 \end{aligned}$
Karena $\text{S}_5 = 20$, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_5 & = \dfrac{5}{2}(2a + (5-1)b) \\ 20 & = \dfrac{5}{2}(2a + 4b) \\ 4 & = a + 2b \end{aligned}$
Untuk $b = 3$, diperoleh 
$a + 2(3) = 4 \Leftrightarrow a =-2.$
Untuk $b =-3$, diperoleh 
$a + 2(-3) = 4 \Leftrightarrow a = 10.$
Berikutnya, akan dicari nilai dari $\text{S}_8$. 
Untuk $a =-2$ dan $b = 3$, kita tulis
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_8 & = \dfrac{8}{2}(2 \cdot (-2) + (8-1) \cdot 3) \\ & = 4(-4 + 21) = 4(17) = 68 \end{aligned}$
Untuk $a = 10$ dan $b =-3$, kita tulis
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{8} & = \dfrac{8}{2}(2 \cdot (10) + (8-1) \cdot (-3)) \\ & = 4(20-21) = 4(-1) =-4 \end{aligned}$
Jadi, jumlah $8$ suku pertama deret tersebut adalah $\boxed{-4}$ atau $\boxed{68}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2 
Jumlah $50$ suku pertama dari deret $\log 5 + \log 55 + \log 605 +$ $ \log 6.655 + \cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\log (55^{1.150})$
B. $\log (5^{25} \cdot 11^{1.225})$
C. $\log (25^{25} \cdot 11^{1.225})$
D. $\log (275^{1.150})$
E. $1.150 \log 5$

Pembahasan

Deret di atas merupakan deret aritmetika dengan suku pertama $a = \log 5$ dan $b = \log 11$. Untuk itu, 
$\text{U}_2 = \log 5 + \log 11 = \log 55.$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{50} & = \dfrac{50}{2}(2 \cdot \log 5 + (50-1) \cdot \log 11) \\ & = 25(\log 25 + \log 11^{49}) \\ & = \log 25^{25} + \log (11^{49})^{25} \\ & = \log 25^{25} + \log 11^{1.225} \\ & = \log (25^{25} \cdot 11^{1.225}) \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Soal Nomor 3
Bilangan $^y \log (x-1), ^y \log (x+1)$, dan $^y \log (3x-1)$ merupakan tiga suku deret aritmetika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah $6$, maka nilai $x + y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                         C. $4$                         E. $8$
B. $3$                        D. $5$             

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = ^y \log (x-1) && x > 1 \\ \text{U}_2 & = ^y \log (x+1) && x >-1 \\ \text{U}_3 & = ^y \log (3x-1) && x > \dfrac13 \end{aligned}$
Catatan: Dalam logaritma, numerus harus bernilai positif. Irisan dari ketiga syarat nilai $x$ untuk masing-masing numerus adalah $x > 1.$
Dalam barisan aritmetika, berlaku hubungan $\boxed{2\text{U}_2 = \text{U}_1 + \text{U}_3}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} 2 \cdot ^y \log (x+1) & = \! ^y \log (x-1) + \! ^y \log (3x-1) \\ ^y \log (x+1)^2 & = \! ^y \log [(x-1)(3x-1)] \\ (x+1)^2 & = (x-1)(3x-1) \\ x^2+2x+1 & = 3x^2-4x+1 \\ 2x^2-6x & = 0 \\ 2x(x-3) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh nilai $x = 0$ atau $x = 3.$
Karena numerus memberikan syarat $x > 1$, maka nilai $x = 0$ tidak boleh dipilih. Jadi, nilai $x$ yang memenuhi hanya $x = 3.$
Karena jumlah ketiga suku tersebut adalah $6$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} ^y \log (x-1) + \! ^y \log (x+1) + \! ^y \log (3x-1) & = 6 \\  \text{Substitusikan}~x & = 3 \\ ^y \log (3-1) + \! ^y \log (3+1) + \! ^y \log (3(3)-1) &  = 6 \\ ^y \log 2 + \! ^y \log 4 + \! ^y \log 8 & = \! ^y \log y^6 \\ ^y \log (2 \cdot 4 \cdot 8) & = \! ^y \log y^6 \\  2^6 & = y^6 \\ & y & = 2 \end{aligned}$$Catatan: $y$ tidak boleh bernilai $-2$ karena basis logaritma harus positif.
Jadi, nilai dari $\boxed{x+y=3+2=5}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika diketahui $$\begin{aligned} (1+3+5 & +\cdots+a) +(1+3+5+\cdots+b) \\ & = 1+3+5+\cdots+25 \end{aligned}$$maka nilai $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $24$                      C. $32$                   E. $40$
B. $28$                      D. $36$        

Pembahasan

Berdasarkan deret bilangan ganjil, diketahui bahwa
$1+3+5+\cdots+n = \left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2.$
Perhatikan bahwa deret $1+3+5+\cdots+25$ sama dengan $\left(\dfrac{25+1}{2}\right)^2 = 13^2.$
Berdasarkan rumus Pythagoras, Tripel Pythagoras yang memuat $13$ sebagai bilangan terbesar dan dua bilangan lainnya merupakan bilangan bulat adalah $(5, 12, 13)$. 
Ini berarti, deret $(1+3+5+\cdots+a) = 5^2$ sehingga $a = (5 \times 2)-1 = 9$, sedangkan deret $(1+3+5+\cdots+b) = 12^2$ sehingga $b = (12 \times 2)-1 = 23.$
Jadi, nilai dari $\boxed{a+b=9+23=32}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui rumus jumlah suku ke-$n$ suatu barisan aritmetika adalah $\text{S}_n = 2n^2+n$. Nilai dari $\text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6n^2+8n+1$
B. $6n^2-8n+1$ 
C. $8n^2-6n+1$
D. $8n^2+6n+1$
E. $8n^2-6n-1$

Pembahasan

Cara 1: Standar
Diketahui: $\text{S}_n = 2n^2+n$.
Substitusi $n=1$, diperoleh
$\text{S}_1 = 2(1)^2+1=3.$
Substitusi $n=2$, diperoleh
$\text{S}_2 = 2(2)^2+2=10.$
Substitusi $n=1$, diperoleh
$\text{S}_3 = 2(3)^2+3=21.$ 
Dari sini, didapat 
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = \text{S}_1 = 3 \\ \text{U}_2 & = \text{S} _2- \text{S}_1 = 10-3=7 \\ \text{U}_3 & = \text{S} _3-\text{S}_2 = 21-10=11 \end{aligned}$
Barisan aritmetika: $3, 7, 11, \cdots$
dengan $a=3$ dan $b=4$. 
Rumus suku ke-$n$ barisan tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a+(n-1)b \\ & = 3+(n-1)(4) \\ & = 4n- 1 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} & \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1} \\ & = 3 + 11 + 19 + \cdots + 4(2n-1)-1 \\ & = \underbrace{\dfrac{2n-1}{2}(3 + 4(2n-1)-1)}_{\text{rumus S}_n} \\ & = \dfrac{2n-1}{2}(8n-2) \\ & = \dfrac{16n^2-12n+2}{2} = 8n^2-6n+1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1} =8n^2-6n+1}$$Cara 2: Trik Cepat
Diketahui: $\text{S}_n = 2n^2+n.$
Substitusi $n=1$, diperoleh
$\text{S}_1 = 2(1)^2+1=3.$ 
Cek pilihan gandanya sekarang. 
Substitusi $n=1$ juga harus menghasilkan $3$.
Pilihan C memenuhi: $8n^2-6n+1 = 8(1)^2-6(1)+1=3,$ sedangkan pilihan lainnya tidak. 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Misal $\text{U}_n$ suatu barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan $b$. Jika $b=2a$ dan $\text{U}_1 + \text{U}_3 +$ $\text{U}_5 + \text{U}_7 + \text{U}_{9} = 90,$ maka nilai dari $\text{U}_8 + \text{U}_{10} + \text{U}_{12} +$ $\text{U}_{14} + \text{U}_{16} = \cdots \cdot$
A. $210$                            D. $240$
B. $220$                            E. $250$
C. $230$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} b & = 2a \\ & \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \text{U}_7 + \text{U}_{9} & = 90 \end{aligned}$
Akan dicari nilai $a$ dan $b$ terlebih dahulu sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \text{U}_7 + \text{U}_{9} & = 90 \\ a + (a + 2b) + (a+4b)+(a+6b)+ (a+8b) & = 90 \\  5a + 20b & = 90 \\ a+ 4b & = 18 \\ \text{Substitusikan}~& b= 2a \\ a + 4(2a) & = 18 \\ 9a & = 18 \\  a &= 2 \end{aligned}$$Substitusi $a = 2$ pada $b=2a$, sehingga didapat $b = 2(2)= 4$.
Untuk itu,
$$\begin{aligned} & \text{U}_8 + \text{U}_{10} + \text{U}_{12} + \text{U}_{14} + \text{U}_{16}\\ & = (a + 7b) + (a + 9b)+ (a+11b)+ (a+13b)+ (a+15b) \\ & = 5a + 55b \\ & = 5(2) + 55(4) = 230 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\text{U}_8 + \text{U}_{10} + \text{U}_{12} + \text{U}_{14} + \text{U}_{16}$ adalah $\boxed{230}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi (Soal Cerita) Barisan dan Deret Aritmetika 

Soal Nomor 7
Keliling dari lima buah lingkaran membentuk barisan aritmetika. Jika luas terkecil $154~\text{cm}^2$ dan luas terbesar $1.386~\text{cm}^2$, maka jumlah keliling seluruh lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ $\left(\pi = \dfrac{22}{7}\right)$
A. $220~\text{cm}$                    D. $660~\text{cm}$
B. $330~\text{cm}$                    E. $880~\text{cm}$
C. $440~\text{cm}$

Pembahasan

Jari-jari lingkaran terkecil dengan luas $154~\text{cm}^2$ adalah
$\begin{aligned} r & = \sqrt{L \div \pi} \\ & = \sqrt{154 \div \dfrac{22}{7}} \\ & = \sqrt{\cancelto{7}{154} \times \dfrac{7}{\cancel{22}}} = 7~\text{cm} \end{aligned}$
Keliling lingkaran terkecil ini adalah
$k = 2 \pi r = 2 \cdot \dfrac{22}{\cancel{7}} \cdot \cancel{7} = 44~\text{cm}$
Jari-jari lingkaran terbesar dengan luas $1.386~\text{cm}^2$ adalah
$\begin{aligned} R & = \sqrt{L \div \pi} \\ & = \sqrt{1.386 \div \dfrac{22}{7}} \\ & = \sqrt{\cancelto{63}{1.386} \times \dfrac{7}{\cancel{22}}} \\ & = \sqrt{3^2 \cdot 7^2} = 21~\text{cm} \end{aligned}$
Keliling lingkaran terbesar ini adalah
$K = 2 \pi R = 2 \cdot \dfrac{22}{\cancel{7}} \cdot \cancelto{3}{21} = 132~\text{cm}$
Jumlah seluruh keliling lingkaran tersebut adalah jumlah lima suku pertama barisan aritmetika dengan $n = 5$, $a = 44$, dan $\text{U}_n = 132$, yaitu
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n}{2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_5 & = \dfrac{5}{2}(44 + 132) \\ & = \dfrac{5}{\cancel{2}}(\cancelto{88}{176}) \\ & = 440~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jumlah keliling kelima lingkaran adalah $440~\text{cm}$.
(Jawaban C)

[collapse]
 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SD)

Soal Nomor 8
Jika $x_{n+2} = x_n + p$, dengan $p \neq 0$, untuk sembarang bilangan asli positif $k,$ maka nilai dari $x_4+x_8+x_{12}+$ $\cdots+x_{4n} = \cdots \cdot$
A. $nx_4 + \dfrac{pn}{2}(n-1)$
B. $nx_4 + \dfrac{pn}{2}(n+1)$
C. $nx_4 + \dfrac{2pn}{2}(n-1)$
D. $nx_4 + \dfrac{pn}{2}(2n+1)$
E. $nx_4 + \dfrac{pn}{2}(2n-1)$

Pembahasan

Diketahui $x_{n+2} = x_n + p$.
Untuk $n = 4$, diperoleh $x_6 = x_4 + p$.
Untuk $n = 6$, diperoleh $x_8 = x_6 + p$.
Ini berarti, $x_8 = (x_4+p)+p = x_4 + 2p$, dilanjutkan hingga
$x_{12} = x_4 + 4p$
$x_{16} = x_4 + 6p$
dengan pola $x_{4n} = x_4 + (2n-2)p$.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & x_4+x_8+x_{12}+\cdots+x_{4n} \\ & = (x_4) + (x_4 + 2p) + (x_4 + 4p) + \cdots + (x_4 + (2n-2)p) \\ & = (\underbrace{x_4+x_4+\cdots+x_4}_{\text{sebanyak}~n}) + (\underbrace{2p+4p+\cdots+(2n-2)p}_{\text{der}\text{et aritmetika}}) \\ & = nx_4 + \dfrac{n-1}{2}(2p+(2n-2)p) \\ & = nx_4 + \dfrac{n-1}{2}(2pn) \\ & = nx_4 + \dfrac{2pn}{2}(n-1) \end{aligned}$$Catatan:
$2p+4p+\cdots+(2n-2)p$ merupakan deret aritmetika dengan banyak suku $n-1$, suku pertamanya $2p$, serta suku terakhirnya $(2n-2)p$.
Jadi, $$\boxed{x_4+x_8+x_{12}+\cdots+x_{4n} = nx_4 + \dfrac{2pn}{2}(n-1)}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jumlah logaritma dari lima suku pertama deret geometri adalah $5 \log 3$. Bila suku ke-$4$ deret tersebut adalah $12$, maka suku ke-$6$ deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $192$                  C. $16$                 E. $2$
B. $96$                    D. $12$      

Pembahasan

Diketahui $\text{U}_4 = 12.$
Jumlah logaritma dari lima suku pertama deret geometri adalah $5 \log 3$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \log \text{U}_1 + \log \text{U}_2 & + \log \text{U}_3 + \log \text{U}_4 \\ & + \log \text{U}_5 = 5 \log 3 \end{aligned}$ 
Dengan menggunakan sifat logaritma dasar, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\log} (\text{U}_1 \cdot \text{U}_2 \cdot \text{U}_3 \cdot \text{U}_4 \cdot \text{U}_5) & = \cancel{\log} 3^5 \\ \text{U}_1 \cdot \text{U}_2 \cdot \text{U}_3 \cdot \text{U}_4 \cdot \text{U}_5 & = 3^5 \\ a(ar) (ar^2)(ar^3)(ar^4) & = 3^5 \\ a^5r^{10} & = 3^5 \\ (ar^2)^5 & = 3^5 \\ \text{U}_3 = ar^2 & = 3 \end{aligned}$
Rasio barisan geometri ini adalah
$r = \dfrac{\text{U}_4}{\text{U}_3} = \dfrac{12}{3} = 4.$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = \text{U}_4 \cdot r = 12 \cdot 4 = 48 \\ \text{U}_6 & = \text{U}_5 \cdot r = 48 \cdot 4 = 192 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan geometri itu adalah $\boxed{192}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10 (Soal SNMPTN Tahun 2009)
Misalkan $\text{U}_n$ menyatakan suku ke-$n$ barisan geometri. Jika diketahui $\text{U}_5 = 12$ dan $\log \text{U}_4 + \log \text{U}_5-$ $\log \text{U}_6 = \log 3$, maka nilai $\text{U}_4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12$                     C. $8$                      E. $4$
B. $10$                     D. $6$           

Pembahasan

Diketahui bahwa $\log \text{U}_4 + \log \text{U}_5- \log \text{U}_6 = \log 3$ sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \log \text{U}_4 + \log \text{U}_5-\log \text{U}_6 & = \log 3 \\ \log ar^3 + \log ar^4-\log ar^5 & = \log 3 \\ \log \left(\dfrac{ar^3 \cdot ar^4}{ar^5}\right) & = \log 3 \\ \log ar^2 & = \log 3 \\ \cancel{\log} \text{U}_3 & = \cancel{\log} 3 \\ \text{U}_3 & = 3 \end{aligned}$
Diketahui juga $\text{U}_5 = 12$. 
Untuk itu, didapat
$\text{U}_4 = \sqrt{\text{U}_3 \cdot \text{U}_5} = \sqrt{3 \cdot 12} = 6$
Jadi, nilai dari $\boxed{\text{U}_4 = 6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika jumlah $6.036$ suku pertama deret geometri adalah $1.141$ dan jumlah $4.024$ suku pertamanya adalah $780$, maka jumlah $2.012$ suku pertamanya adalah $\cdots \cdot$
A. $400$                    D. $1.021$
B. $600$                    E. $1.521$
C. $800$

Pembahasan

Dalam deret geometri, berlaku rumus berikut. 
$\boxed{(\text{S}_{2n}-\text{S}_n)^2 = \text{S}_n(\text{S}_{3n}- \text{S}_{2n})}$
Misalkan $\text{S}_n = A$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} (\text{S}_{4.024}-\text{S}_{2.012})^2 & = \text{S}_{2.012}(\text{S}_{6.036}-\text{S}_{4.024}) \\ (780- A)^2 & = A(1.141-780) \\ 608.400-1.560A + A^2 & = 361A \\ A2- 1.921A + 608.400 & = 0 \\ (A-400)(A-1.521) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $A = 400$ atau $A = 1.521$
Perhatikan bahwa $\text{S}_{6.036} = 1.141$ dan $\text{S}_{4.012} = 780$ menunjukkan tren menurun sehingga pilih $A = \text{S}_{2.012} = 400.$
Jadi, jumlah $2.012$ suku pertamanya adalah $\boxed{400}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika jumlah $100$ suku pertama deret geometri adalah $\pi$ dan jumlah $200$ suku pertamanya adalah $3\pi$, maka jumlah $700$ suku pertamanya adalah $\cdots \cdot$
A. $125\pi$                 D. $133\pi$
B. $127\pi$                 E. $135\pi$
C. $129\pi$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{S}_{100} & = \dfrac{a(r^{100}-1)} {r-1} = \pi \\ \text{S}_{200} & = \dfrac{a(r^{200}-1)} {r-1} = 3\pi \end{aligned}$
Dari sini, berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{\cancel{a} (r^{100}-1)} {\bcancel{\pi}} & = \dfrac{\cancel{a}(r^{200}-1)} {3\bcancel{\pi}} \\ 3\cancel{(r^{100}-1)} & = \cancel{(r^{100}-1)} (r^{100}+1) \\ r^{100} & = 2 \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan bahwa jumlah $700$ suku pertama deret geometri dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \text{S}_{700} & = \text{S}_{200} + r^{200}(a+ar^2+\cdots+ar^{199}) \\ & + r^{400}(a+ar^2+\cdots+ar^{199}) \\ & + r^{600}(a+ar^2+\cdots+ar^{99}) \end{aligned}$
Selanjutnya, kita dapatkan
$\begin{aligned} \text{S}_{700} & = \text{S}_{200} + (r^{100})^2(\text{S}_{200}) \\ &+ (r^{100})^4(\text{S}_{200}) + (r^{100})^6(\text{S}_{100}) \end{aligned}$
Substitusikan $\text{S}_{100} = \pi$, $\text{S}_{200} = 3\pi$, dan $r^{100} = 2$. 
$$\begin{aligned} \text{S}_{700} & = 3\pi + (2)^2(3\pi) + (2)^4(3\pi) + (2)^6(\pi) \\ & = 3\pi + 12\pi + 48\pi + 64\pi = 127\pi \end{aligned}$$Jadi, jumlah $700$ suku pertamanya adalah $\boxed{127\pi}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri 

Soal Nomor 13
Diketahui suku keenam dari suatu deret geometri adalah $162$. Jumlah logaritma suku kedua, ketiga, keempat, dan kelima sama dengan $4 \log 2 + 6 \log 3$. Rasionya adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                   E. $5$
B. $2$                    D. $4$           

Pembahasan

Diketahui suku keenam bernilai $162$ sehingga ditulis $\text{U}_6 = ar^5 = 162.$
Jumlah logaritma suku kedua, ketiga, keempat, dan kelima sama dengan $4 \log 2 + 6 \log 3$, berarti kita peroleh
$$\begin{aligned} \log \text{U}_2 + \log \text{U}_3 + \log \text{U}_4 + \log \text{U}_5 & = 4 \log 2 + 6 \log 3 \\ \log ar + \log ar^2 + \log ar^3 + \log ar^4 & = \log 2^4 + \log 3^6 \\ \log (ar \cdot ar^2 \cdot ar^3 \cdot ar^4) & = \log (2^4 \cdot 3^6) \\ \cancel{\log} (a^4r^{10}) & =\cancel{\log} (2^43^6) \\ a^4r^{10} & = 2^43^6 \\ (a^2r^5)^2 & = (2^23^3)^2 \\ a^2r^5 & = 2^23^2 = 108 \\ r^5 & = \dfrac{108}{a^2} \end{aligned}$$Substitusikan pada persamaan $ar^5 = 162.$
$\begin{aligned} a\left(\dfrac{108}{a^2}\right) & = 162 \\ a & = \dfrac{108}{162} \end{aligned}$
Substitusikan pada persamaan $ar^5 = 162$ kembali. 
$\begin{aligned} \dfrac{108}{162}r^5 & = 162 \\ r^5 & = 162 \times \dfrac{162}{108} \\ r^5 & = 243 \\ r & = \sqrt[5]{243} = 3 \end{aligned}$
Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah $\boxed{3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14 
Jika $P$ adalah hasil kali dari $n$ bilangan yang membentuk barisan geometri, $S$ merupakan jumlah dari $n$ bilangan tersebut, serta $S’$ adalah jumlah dari kebalikan masing-masing $n$ bilangan tersebut, maka nilai $P$ bila dinyatakan dalam $S, S’$, dan $n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(SS’)^{n/2}$
B. $\left(\dfrac{S}{S’}\right)^{n/2}$
C. $(SS’)^{n-2}$
D. $\left(\dfrac{S}{S’}\right)^{n}$
E. $\left(\dfrac{S’}{S}\right)^{(n-1)/2}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $S$ merupakan deret geometri dengan suku awal $a$ dan rasio $r$.
$\begin{aligned} S & = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} \\ & = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} \end{aligned}$
$P$ adalah hasil kali $n$ bilangan tersebut.
$\begin{aligned} P & = a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \\ & = a^{n}r^{1+2+\cdots+(n-1)} \\ & = a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}} \end{aligned}$
$S’$ adalah jumlah kebalikan dari $n$ bilangan tersebut.
$\begin{aligned} S’ & = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ar} + \dfrac{1}{ar^2} + \cdots + \dfrac{1}{ar^{n-1}} \\ & = \dfrac{1}{a}\left(1+\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r^2} + \cdots + \dfrac{1}{r^{n-1}}\right) \\ & = \dfrac{1}{a}\left(\dfrac{1-\dfrac{1}{r^n}}{1-\dfrac{1}{r}}\right) \\ & = \dfrac{r}{ar^n}\left(\dfrac{r^n-1}{r-1}\right) \\ & = \dfrac{1}{ar^{n-1}}\left(\dfrac{r^n-1}{r-1}\right) \end{aligned}$
Akibatnya,
$\begin{aligned} \dfrac{S}{S’} & = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} \cdot (ar^{n-1}) \cdot \dfrac{r-1}{r^n-1} \\ & = \color{blue}{a^2r^{n-1}} \end{aligned}$
Selanjutnya, kita peroleh
$\begin{aligned} P & = a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}} \\ & =(\color{blue}{a^2r^{n-1}})^{n/2} \\ & = \left(\dfrac{S}{S’}\right)^{n/2} \end{aligned}$
Jadi, nilai $P$ dinyatakan oleh $\boxed{\left(\dfrac{S}{S’}\right)^{n/2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15
Bentuk sederhana dari $1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 +$ $\cdots + 2020 \cdot 2^{2020}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2(2020 \cdot 2^{2019}-2^{2019} + 1)$
B. $2(2020 \cdot 2^{2020}-2^{2020} + 1)$
C. $2020 \cdot 2^{2020}-2^{2020} + 2$
D. $2020 \cdot 2^{2020}-2^{2020} + 1$
E. $2(2019 \cdot 2^{2020}-2^{2020} + 1)$

Pembahasan

Misalkan $x = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 +$ $3 \cdot 2^3 + \cdots + 2020 \cdot 2^{2020}$.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} 2x &= 2(1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + 2020 \cdot 2^{2020}) \\ & = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \cdots + 2020 \cdot 2^{2021} \end{aligned}$$Kita peroleh,
$$\begin{aligned} x & = 2x-x \\ & = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \cdots + 2020 \cdot 2^{2021}-1 \cdot 2^1-2 \cdot 2^2-3 \cdot 2^3-\cdots- 2020 \cdot 2^{2020} \\ & = -1 \cdot 2^1+(1-2) \cdot 2^2 + (2-3) \cdot 2^3 + \cdots + (2019-2020) \cdot 2^{2020} + 2020 \cdot 2^{2021} \\ & = -(\underbrace{2+2^2+\cdots+2^{2020}}_{\text{dere}\text{t geo}\text{metri}})+2020 \cdot 2^{2021} \\ & = -\dfrac{2(2^{2020}-1)}{2-1} + 2020 \cdot 2^{2021} \\ & = 2(2020 \cdot 2^{2020}-2^{2020} + 1) \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari ekspresi itu adalah $\boxed{2(2020 \cdot 2^{2020}-2^{2020} + 1)}$
Catatan: Bentuk sederhana dari $1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n2^n$ $= 2(n2^n-2^n+1)$
untuk setiap $n$ bilangan asli.
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 16 (UM UGM 2019)
Jumlah tiga suku pertama suatu barisan geometri adalah $91.$ Jika suku ketiga dikurangi $13,$ maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Suku pertama barisan geometri tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $4$ atau $43$
B. $7$ atau $46$
C. $10$ atau $49$
D. $13$ atau $52$
E. $16$ atau $55$

Pembahasan

Misalkan tiga suku barisan geometri tersebut adalah $a, ar, ar^2$ sehingga berlaku
$$a + ar + ar^2 = 91~~~(\cdots 1)$$Suku ketiga dikurangi $13,$ diperoleh barisan aritmetika $a, ar, ar^2-13$ sehingga berlaku
$$\begin{aligned} a + (ar^2-13) & = 2ar \\ a + ar^2-2ar & = 13 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a+ar+ar^2}{a+ar^2-2ar} & = \dfrac{91}{13} \\ \dfrac{a(1+r+r^2)}{a(1+r^2-2r)} & = 7 \\ 7(1+r^2-2r) & = 1+r+r^2 \\ 6r^2-15r+6 & = 0 \\ 2r^2-5r+2 & = 0 \\ (2r-1)(r-2) & = 0 \\ r = \dfrac12~\text{atau}~r & = 2 \end{aligned}$$Substitusi $r = \dfrac12$ pada persamaan $(1)$ untuk memperoleh
$$\begin{aligned} a + ar + ar^2 & = 91 \\ a + a\left(\dfrac12\right) + a\left(\dfrac12\right)^2 & = 91 \\ a + \dfrac12a + \dfrac14a & = 91 \\ \dfrac74a & = 91 \\ a & = 91 \cdot \dfrac47 = \boxed{52} \end{aligned}$$Substitusi $r = 2$ pada persamaan $(1)$ untuk memperoleh
$$\begin{aligned} a + ar + ar^2 & = 91 \\ a + a\left(2\right) + a\left(2\right)^2 & = 91 \\ a + 2a + 4a & = 91 \\ \dfrac7a & = 91 \\ a & = \boxed{13} \end{aligned}$$Jadi, suku pertama barisan geometri tersebut adalah $\boxed{13~\text{atau}~52}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Geometri 

Soal Nomor 17 (UM UGM 2018)
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2-b^2x+c=0$ adalah $q$ dan $3q$ dengan $q>0.$ Jika $1, b, c-4$ membentuk tiga suku barisan geometri, maka $\dfrac{-b^2+c}{q} = \cdots \cdot$
A. $-2$                        C. $0$                     E. $2$
B. $-1$                        D. $1$

Pembahasan

Karena $1, b, c-4$ merupakan barisan geometri, maka berlaku
$$\begin{aligned} 1 \cdot (c-4) & = b^2 \\ c-4 & = b^2 \\ -b^2+c & = 4 \end{aligned}$$Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2-b^2x+c=0$ adalah $q$ dan $3q.$ Jumlah akar dan hasil kali akar dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} q + 3q & = -\dfrac{-b^2}{1} \\ 4q & = b^2 && (\cdots 1) \\ q \cdot 3q & = \dfrac{c}{1} \\ 3q^2 & = c && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diatas, diperoleh
$$\begin{aligned} c-b^2 & = 3q^2-4q \\ 4 & = 3q^2-4q \\ 3q^2-4q-4 & = 0 \\ (3q+2)(q-2) & = 0 \\ q = -\dfrac23~\text{atau}~q & = 2 \end{aligned}$$Karena $q > 0,$ maka $q = 2.$
Dengan demikian, $\boxed{\dfrac{-b^2+c}{q} = \dfrac{4}{2} = 2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika $a,b,c,d,$ dan $e$ adalah bilangan real positif yang membentuk barisan aritmetika naik dan $a,b,$ dan $e$ membentuk barisan geometri, maka nilai $\dfrac{e}{b}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                          C. $3$                       E. $9$
B. $2$                         D. $5$

Pembahasan

Misalkan lima suku barisan aritmetika tersebut kita tuliskan sebagai
$$\overline{a}, \overline{a} + \overline{b}, \overline{a} +2 \overline{b}, \overline{a} + 3\overline{b}, \overline{a} + 4\overline{b}$$Diketahui bahwa $\color{blue}{\overline{a}}, \color{red}{\overline{a} + \overline{b}}, \color{green}{\overline{a} + 4\overline{b}}$ merupakan barisan geometri sehingga berlaku
$$\begin{aligned} (\color{blue}{\overline{a}})(\color{green}{\overline{a} + 4\overline{b}}) & = (\color{red}{\overline{a} + \overline{b}})^2 \\ \overline{a}^2 + 4 \overline{a} \overline{b} & = \overline{a}^2 + 2 \overline{a} \overline{b} + \overline{b}^2 \\ 2 \overline{a} \overline{b} & = \overline{b}^2 \\ 2\overline{a} & = \overline{b} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{e}{b} & = \dfrac{\overline{a} + 4\overline{b}}{\overline{a} + \overline{b}} \\ & = \dfrac{\overline{a} + 4(2\overline{a})}{\overline{a} + (2\overline{a})} \\ & = \dfrac{9\overline{a}}{3\overline{a}} = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{e}{b} = 3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19 (UM UGM 2018)
Jika bilangan $2001$ ditulis dalam bentuk $$1-2+3-4+\cdots+(n-2)-(n-1)+n,$$maka jumlahan digit-digit dari bilangan $n$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $5$                          C. $7$                        E. $9$
B. $6$                         D. $8$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 1-2+3-4+\cdots+(n-2)-(n-1)+n & = 2001 \\ (1-2) + (3-4) + \cdots ((n-2)-(n-1)) + n & = 2001 \\ \underbrace{(-1) + (-1) + \cdots + (-1)}_{\text{Sebanyak}~(n-1)/2} + n & = 2001 \\ -1 \cdot \dfrac{n-1}{2} + n & = 2001 \\ (-n+1) + 2n & = 4002 && (\text{Kali}~2) \\ n & = 4001 \end{aligned}$$Jadi, jumlahan digit-digit dari $n$ adalah $\boxed{4+0+0+1=5}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20 (UM UGM 2019)
Diberikan bilangan real $r$ dengan $0<r<1.$ Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $2$ dan rasio $\dfrac{1}{1+r}$ adalah $8,$ maka jumlah tak hingga deret geometri dengan suku pertama $8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10$                     C. $15$                     E. $18$
B. $12$                     D. $16$

Pembahasan

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dinyatakan oleh
$$\boxed{\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}}$$Untuk suku pertama $2$ dan rasio $\dfrac{1}{1+r}$ serta $\text{S}_{\infty} = 8,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} 8 & = \dfrac{2}{1-\dfrac{1}{1+r}} \color{red}{\times \dfrac{1+r}{1+r}} \\ 8 & = \dfrac{2(1+r)}{(1+r)-1} \\ 4 & = \dfrac{1+r}{r} \\ 4r & = 1 + r \\ 3r & = 1 \\ r & = \dfrac13 \end{aligned}$$Selanjutnya, kita akan mencari jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $8$ dan rasio $\dfrac13.$
$$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{8}{1-\dfrac13} \\ & = \dfrac{8}{\dfrac23} = 8 \cdot \dfrac32 = 12 \end{aligned}$$Jadi, jumlah tak hingga deret geometri tersebut adalah $\boxed{12}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Deret Geometri Tak Hingga 

Soal Nomor 21 (UM UGM 2019)
Jika $a<x<b$ adalah solusi pertidaksamaan $1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+\cdots>2$ dengan $x \neq 1,$ maka $a+b=\cdots \cdot$
A. $-1$                     C. $-3$                  E. $-5$
B. $-2$                    D. $-4$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+\cdots$ merupakan deret geometri tak hingga dengan $a = 1$ dan $r = 2^x$. Syarat agar deret ini konvergen adalah rasionya harus di antara $-1$ dan $1$ sehingga kita tuliskan
$$\begin{aligned} 2^x & > -1 \Rightarrow x \in \mathbb{R} \\ 2^x & < 1 \Rightarrow 2^x < 2^0 \Rightarrow \color{blue}{x < 0} \end{aligned}$$Pertidaksamaan dapat ditulis menjadi berikut.
$$\begin{aligned} 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+\cdots & > 2 \\ \dfrac{1}{1-2^x} & > 2 \\ \dfrac12 & > 1-2^x \\ -\dfrac12 & > -2^x \\ 2^x & > \dfrac12 \\ 2^x & > 2^{-1} \\ x & > -1 \end{aligned}$$Jadi, solusi pertidaksamaan tersebut adalah $-1 < x < 0.$ Dengan demikian, nilai $\boxed{a+b=-1+0=-1}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22 (UM UGM 2019)
Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah $\dfrac94.$ Suku pertama dan rasio deret tersebut masing-masing $a$ dan $-\dfrac{1}{a}$ dengan $a > 0.$ Jika $\text{U}_n$ menyatakan suku ke-$n$ pada deret tersebut, maka nilai $3\text{U}_6-\text{U}_5 = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac{2}{27}$                       D. $\dfrac{1}{27}$
B. $-\dfrac{1}{27}$                       E. $\dfrac{2}{27}$
C. $0$

Pembahasan

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dinyatakan oleh
$$\boxed{\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}}$$Untuk $\text{S}_{\infty} = \dfrac94,$ suku pertama $a,$ dan rasio $-\dfrac{1}{a},$ diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac94 & = \dfrac{a}{1-\left(-\dfrac{1}{a}\right)} \\ \dfrac94 & = \dfrac{a^2}{a+1} \\ 9a + 9 & = 4a^2 \\ 4a^2-9a-9 & = 0 \\ (4a+3)(a-3) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = -\dfrac43$ (tidak memenuhi) atau $a = 3$ (memenuhi).
Untuk $a = 3,$ kita peroleh $r = -\dfrac13$ dan juga
$$\begin{aligned} 3\text{U}_6-\text{U}_5 & = 3 \left(3 \cdot \left(-\dfrac13\right)^5\right)- \left(3 \cdot \left(-\dfrac13\right)^4\right) \\ & = -\dfrac{1}{27}-\dfrac{1}{27} \\ & = -\dfrac{2}{27} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{3\text{U}_6-\text{U}_5 = -\dfrac{2}{27}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diberikan bilangan-bilangan positif $x_1$ dan $x_2.$ Jika $12, x_1, x_2$ membentuk barisan aritmetika dan $x_1, x_2, 4$ membentuk barisan geometri, maka $x_1+x_2=\cdots \cdot$
A. $6$                       C. $10$                   E. $15$
B. $8$                      D. $13$

Pembahasan

Karena $12, x_1, x_2$ membentuk barisan aritmetika, maka berlaku
$$2 \text{U}_2 = \text{U}_1 + \text{U}_3 \Rightarrow 2x_1 = 12 + x_2$$Karena $x_1, x_2, 4$ membentuk barisan geometri, maka berlaku
$$\text{U}_2^2 = \text{U}_1 \text{U}_3 \Rightarrow \color{blue}{x_2^2 = 4x_1}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} 2x_1 & = 12 + x_2 \\ \color{blue}{4x_1} & = 24 + 2x_2 && (\text{Kali}~2) \\ \color{blue}{x_2^2} & = 24 + 2x_2 \\ x_2^2-2x_2-24 & = 0 \\ (x_2-6)(x_2+4) & = 0 \\ x_2 = 6~\text{atau}~x_2 & = -4 \end{aligned}$$Karena $x_2$ harus positif, maka diambil $x_2 = 6.$ Akibatnya, $2x_1 = 12 + \color{red}{6},$ sehingga didapat $x_1 = 9.$
Jadi, nilai $\boxed{x_1+x_2 = 9+6=15}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 24
Titik $P(x_1, y_1), P(x_2, y_2),$ $ \cdots, P(x_{10}, y_{10})$ dilalui oleh garis $g$ yang mempunyai persamaan $y+2x-3=0.$ Bilangan-bilangan $x_1, x_2, \cdots, x_{10}$ membentuk barisan aritmetika. Jika $x_{10} = 2$ dan $y_5 = 7,$ maka nilai $y_7 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{19}{5}$                          D. $\dfrac{13}{5}$
B. $\dfrac{17}{5}$                          E. $\dfrac{11}{5}$
C. $\dfrac{15}{5}$

Pembahasan

Diketahui $x_{10} = 2$ dan $y_5 = 7.$ Pertama, kita cari dulu $x_5.$ Substitusi $y_5 = 7$ pada persamaan garisnya.
$$\begin{aligned} \color{red}{y}+2x-3 & = 0 \\ 7+2x-3 & = 0 \\ 4+2x & = 0 \\ x & = -2 \end{aligned}$$Diperoleh $x_5 = -2.$
Sekarang, kita peroleh dua suku barisan aritmetika tersebut.
Misalkan suku pertama = $x_1 = a$ dan bedanya $b.$
Kita peroleh
$$\begin{aligned} x_5 & = a + 4b = -2 && (\cdots 1) \\ x_{10} & = a + 9b = 2 && (\cdots 2) \\ \Rightarrow 5b & = 4 \\ b & = \dfrac45 \end{aligned}$$Substitusi $b = \dfrac45$ pada $(1)$ atau $(2)$ selanjutnya menghasilkan $a = -\dfrac{26}{5}.$
Berikutnya, kita mencari nilai $x_7.$
$$\begin{aligned} x_7 & = a + 6b \\ & = -\dfrac{26}{5} + 6 \cdot \dfrac45 \\ & = -\dfrac25 \end{aligned}$$Substitusi $x_7 = -\dfrac25$ pada persamaan garis untuk memperoleh $y_7.$
$$\begin{aligned} y + 2\color{blue}{x}-3 & = 0 \\ y + 2 \left(-\dfrac25\right)-3 & = 0 \\ y-\dfrac45-3 & = 0 \\ y-\dfrac{19}{5} & = 0 \\ y & = \dfrac{19}{5} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{y_7 = \dfrac{19}{5}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 25
Jika $k, \ell,$ dan $m$ adalah barisan geometri, maka $\log k, \log \ell,$ dan $\log m$ adalah $\cdots \cdot$

  1. barisan geometri dengan rasio $\log l-\log k$
  2. barisan aritmetika dengan beda $\log l-\log k$
  3. barisan geometri dengan rasio $\dfrac{\ell}{k}$
  4. barisan aritmetika dengan beda $\dfrac{\ell}{k}$
  5. bukan barisan geometri maupun barisan aritmetika

Pembahasan

Karena $k, \ell, m$ membentuk barisan geometri, maka berlaku persamaan $km = \ell^2.$
Sekarang perhatikan bahwa persamaan di atas dapat kita tulis menjadi
$$\begin{aligned} \log km & = \log \ell^2 \\ \log k + \log m & = 2 \log \ell \end{aligned}$$Persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa $\log k, \log \ell, \log m$ merupakan barisan aritmetika dengan beda $\log \ell-\log k = \log \dfrac{\ell}{k}.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 26
Barisan bilangan berikut disusun dari bilangan bulat positif yang merupakan gabungan bilangan kelipatan $2$ atau bilangan kelipatan $3.$
$$2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, \cdots$$Suku ke-$2021$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $3030$                        D. $3034$
B. $3022$                        E. $3036$
C. $3033$

Pembahasan

Kelompokkan setiap $4$ suku pada barisan tersebut seperti berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Sampai suku ke-}4 & 2, 3, 4, \color{red}{6} \\ \text{Sampai suku ke-}8 & 8, 9, 10, \color{red}{12} \\ \text{Sampai suku ke-}12 & 14, 15, 16, \color{red}{18} \\ \cdots & \cdots \\ \text{Sampai suku ke-}4n & 6n-4, 6n-3, 6n-2, \color{red}{6n} \\ \hline \end{array}$$Pengelompokan $4$ suku di atas menghasilkan pola untuk menentukan suku urutan kelipatan $4$, yaitu $6n$ untuk bilangan asli $n.$ Ganti $n$ menjadi $506$ dan kita peroleh
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Sampai suku ke-}2024 & \color{blue}{3032}, 3033, 3034, \color{red}{3036} \\ \hline \end{array}$$Bilangan $3036$ merupakan suku ke-$2024.$ Artinya, suku ke-$2021$ adalah suku pertama pada kelompok tersebut, yaitu $\boxed{3032}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 27
Suatu barisan bilangan bulat $u_1, u_2, u_3, \cdots$ memenuhi
$$u_{n+1}-u_n = \begin{cases} 1, &~\text{jika}~n~\text{ganjil} \\ 2, &~\text{jika}~n~\text{genap} \end{cases}$$Jika $$u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{20} = 360,$$maka nilai $u_1 = \cdots \cdot$
A. $4$                        C. $6$                     E. $8$
B. $5$                       D. $7$

Pembahasan

Yang harus kita lakukan untuk mencari $u_1$ adalah mengubah $u_2, u_3, \cdots, u_{20}$ sehingga mengandung bentuk $u_1,$ kemudian substitusikan pada persamaan yang diberikan di soal.
Perhatikan bahwa kita punya
$$\begin{aligned} u_2-u_1 & = 1 && (\cdots 1) \\ u_3-u_2 & = 2 && (\cdots 2) \\ u_4-u_3 & = 1 && (\cdots 3) \\ \cdots \cdots \cdots & \cdots \\ u_{20}-u_{19} & = 1 && (\cdots 19) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1),$ langsung kita peroleh $u_2 = u_1 + 1.$
Jumlahkan persamaan $(1)$ dan $(2)$ sehingga diperoleh
$$u_3-u_1 = 3 \Leftrightarrow u_3 = u_1 + 3.$$Dengan prinsip yang sama, jumlahkan persamaan $(1)$, $(2),$ dan $(3)$ sekaligus sehingga diperoleh $u_4=u_1+4.$
Pada akhirnya, kita peroleh bahwa $u_{20}$ didapat dengan menjumlahkan $19$ persamaan tersebut.
$$\begin{aligned} u_{20}-u_1 & = \underbrace{(1+2)+(1+2)+(1+2)+\cdots+(1+2)}_{\text{ada}~9}+1 \\ & = \underbrace{3+3+3+\cdots+3}_{\text{ada}~9}+1 \\ & = 3 \times 9 + 1 = 28 \end{aligned}$$Dari persamaan $u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{20} = 360,$ didapat
$$\begin{aligned} u_1 + (u_1 + 1) + (u_1 + 3) + (u_1 + 4) + \cdots + (u_1 + 28) & = 360 \\ 20u_1 + (1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 9 + \cdots + 27 + 28) & = 360 \\ 20u_1 + \underbrace{(1+2+3+4+5+6+\cdots+27+28)}_{\text{deret aritmetika}}-\underbrace{(2+5+8+11+\cdots+23+26)}_{\text{deret aritmetika}} & = 360 \\ 20u_1 + \dfrac{28}{2}(1+28)-\dfrac{9}{2}(2+26) & = 360 \\ 20u_1 + 406-126 & = 360 \\ 20u_1 + 280 & = 360 \\ 20u_1 & = 80 \\ u_1 & = 4. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{u_1 = 4}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 28
Hasil jumlah dari $$\dfrac12 + \dfrac44 + \dfrac98 + \dfrac{16}{16} + \dfrac{25}{32} + \cdots$$dapat dinyatakan sebagai perkalian $2$ buah bilangan prima. Jumlah kedua bilangan prima tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                        C. $6$                     E. $8$
B. $5$                       D. $7$

Pembahasan

Misalkan
$$S = \dfrac12 + \dfrac44 + \dfrac98 + \dfrac{16}{16} + \dfrac{25}{32} + \cdots$$Jika kedua ruas dibagi $2,$ kita peroleh
$$\dfrac{S}{2} = \dfrac14 + \dfrac48 + \dfrac{9}{16} + \dfrac{16}{32} + \dfrac{25}{64} + \cdots$$sehingga
$$\begin{aligned} S-\dfrac{S}{2} & = \dfrac12 + \left(\dfrac44-\dfrac14\right) + \left(\dfrac98-\dfrac48\right) + \left(\dfrac{16}{16}-\dfrac{9}{16}\right) + \left(\dfrac{25}{32}-\dfrac{16}{32}\right) + \cdots \\ \dfrac{S}{2} & = \dfrac12 + \dfrac34 + \dfrac58 + \dfrac{7}{16} + \dfrac{9}{32} + \cdots \end{aligned}$$Jika kedua ruas dibagi $2$ lagi, kita peroleh
$$\dfrac{S}{4} = \dfrac14 + \dfrac38 + \dfrac{5}{16} + \dfrac{7}{32} + \dfrac{9}{64} + \cdots$$sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{S}{2}-\dfrac{S}{4} & = \dfrac12 + \left(\dfrac34-\dfrac14\right) + \left(\dfrac58-\dfrac38\right) + \left(\dfrac{7}{16}-\dfrac{5}{16}\right) + \left(\dfrac{9}{32}-\dfrac{7}{32}\right) + \cdots \\ \dfrac{S}{4} & = \dfrac12 + \underbrace{\dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac{1}{16} + \cdots}_{\text{deret geometri tak hingga}} \\ \dfrac{S}{4} & = \dfrac12 + 1 \\ \dfrac{S}{4} & = \dfrac32 \\ S & = 6. \end{aligned}$$Jadi, hasil jumlahnya adalah $6 = 2 \cdot 3$ (perkalian antara $2$ dan $3$ yang keduanya merupakan bilangan prima) sehingga jumlah kedua bilangan prima tersebut adalah $\boxed{2 + 3 = 5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Diketahui barisan bilangan real $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots$ merupakan barisan geometri. Jika $a_1+a_4 = 20$, maka berapa nilai minimum dari $a_1+a_2+a_3+$ $a_4+a_5+a_6$?

Pembahasan

Misalkan suku pertama $a_1 = a$ dan rasio barisannya $r.$
Diketahui $a_1 + a_4 = a + ar^3 = 20.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6 \\ & = a + ar + ar^2+ar^3 + ar^4 + ar^5 \\ & = (a+ar^3) + r(a + ar^3) + r^2(a + ar^3) \\ & = 20 + 20r + 20r^2 \\ & = 20 + 20(1+r^2) \\ & = 20(r^2+r+1) \\ & = 20\left(\left(r+\dfrac12\right)^2+\dfrac34\right) \end{aligned}$$Bentuk terakhir akan bernilai minimum ketika $\left(r+\dfrac12\right)^2 = 0$ sehingga diperoleh nilai minimumnya adalah $\boxed{20\left(0 + \dfrac34\right) = 15}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan formula suku ke-$n$ dari barisan berikut.
$$\sqrt2, \sqrt{2\sqrt2}, \sqrt{2\sqrt{2\sqrt2}}, \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt2}}}, \cdots$$

Pembahasan

Jika setiap suku pada barisan di atas diubah menjadi bentuk pangkat, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \text{U}_1 & = \sqrt2 = 2^{\frac12} \\ \text{U}_2 & = \sqrt{2\sqrt2} = 2^{\frac12 + \frac14} \\ \text{U}_3 & = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt2}} = 2^{\frac12 + \frac14 + \frac18} \\ \text{U}_4 & = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt2}}} = 2^{\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}} \end{aligned}$$Dari bentuk tersebut, tampak bahwa pangkatnya membentuk deret geometri dengan suku pertama $a = \dfrac12$ dan rasio $r = \dfrac12.$ Dengan demikian, formula suku ke-$n$ dapat kita tentukan, yaitu $$\boxed{\text{U}_n = 2^{\frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots + \frac{1}{2^n}}}$$

[collapse]