Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Limit Fungsi Trigonometri

      Berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan super lengkap mengenai limit khusus fungsi trigonometri. Untuk soal limit fungsi aljabar, dipisahkan dalam postingan lain karena soalnya akan terlalu banyak bila ditumpuk menjadi satu. Penyajian rumus/simbol matematika di sini menggunakan LaTeX sehingga lebih smooth dari segi tampilan.

Catatan Saku:
Secara umum, rumus-rumus limit fungsi trigonometri dapat dituliskan sebagai berikut.
1. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin mx}{nx} = \dfrac{m}{n}$
2. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{nx}{\sin mx} = \dfrac{n}{m}$
3. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{nx}{\tan mx} = \dfrac{n}{m}$
4. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan mx}{nx} = \dfrac{m}{n}$
5. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin mx}{\sin nx} = \dfrac{m}{n}$
6. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan mx}{\tan nx} = \dfrac{m}{n}$
7. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin mx}{\tan nx} = \dfrac{m}{n}$
8. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan mx}{\sin nx} = \dfrac{m}{n}$
Rumus di atas mudah untuk diingat karena hasilnya selalu merupakan pembagian dari koefisien pada pembilang dan penyebutnya. Perhatikan bahwa hanya limit untuk sinus dan tangen yang dapat dirumuskan nilainya seperti di atas, tidak berlaku untuk cosinus.

Versi Inggris: Problem and Solution – Limit of Trigonometric Functions

Baca : Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar

Today Quote

Be the reason someday smiles today.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Limit Tak Hingga

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{\sin 6x} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac16$                   C. $2$                     E. $6$
B. $\dfrac13$                   D. $3$

Pembahasan

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Berdasarkan rumus limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin mx}{\sin nx} = \dfrac{m}{n}$, untuk $m = 2$ dan $n = 6$, diperoleh
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{\sin 6x} = \dfrac{2}{6} = \dfrac13}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 7x + \tan 3x-\sin 5x}{\tan 9x-\tan 3x-\sin x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $9$                      C. $5$                     E. $1$
B. $7$                      D. $3$

Pembahasan

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada dengan cara mengalikannya dengan $\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 7x + \tan 3x-\sin 5x}{\tan 9x-\tan 3x-\sin x} \times \color{red}{\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin 7x}{x} + \dfrac{\tan 3x}{x}-\dfrac{\sin 5x}{x}}{\dfrac{\tan 9x}{x}-\dfrac{\tan 3x}{x}-\dfrac{\sin x}{x}} \\ & = \dfrac{7 + 3-5}{9-3-1} \\ & = \dfrac{5}{5} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 7x + \tan 3x-\sin 5x}{\tan 9x-\tan 3x-\sin x}=1}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 2x}{\tan^3 \frac12x} = \cdots \cdot$
A. $2^3$                     C. $2^5$                  E. $2^7$
B. $2^4$                     D. $2^6$

Pembahasan

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Berdasarkan rumus limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin mx}{\tan nx} = \dfrac{m}{n}$, untuk $m = 2$ dan $n = \frac12$, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 2x}{\tan^3 \frac12x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 2x}{\tan \frac12x}\right)^3 \\ & = \left(\dfrac{2}{\frac12}\right)^3 \\ & = (4)^3 = (2^2)^3 = 2^6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 2x}{\tan^3 \frac12x} = 2^6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2x^2+x}{\sin x} = \cdots \cdot$
A. $-2$                     C. $0$                    E. $2$
B. $-1$                     D. $1$

Pembahasan

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Langkah selanjutnya adalah dengan melakukan pemisahan pecahan menjadi dua suku, lalu munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2x^2+x}{\sin x} & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{2x^2}{\sin x}+\dfrac{x}{\sin x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \left(2x \cdot \dfrac{x}{\sin x}\right) + \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} \\ & = 2(0)(1) + 1 \\ & = 0+1 = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2x^2+x}{\sin x} = 1}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \cdot \tan 3x}{3x^2} = \cdots \cdot$
A. $0$                         C. $\dfrac32$                   E. $6$
B. $\dfrac23$                        D. $2$

Pembahasan

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Langkah selanjutnya adalah dengan mengeluarkan konstanta dari bentuk limitnya, lalu munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada dengan cara mengelompokkan.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \cdot \tan 3x}{3x^2} & = \dfrac13 \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\tan 2x}{x} \cdot \dfrac{\tan 3x}{x}\right) \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac21 \cdot \dfrac31 = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \cdot \tan 3x}{3x^2} = 2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1-\cos 5x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac15$                    C. $\dfrac52$                   E. $\dfrac65$
B. $\dfrac25$                    D. $\dfrac56$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$, sehingga perlu dilakukan manipulasi bentuk dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} & \cos ax = 1-2 \sin^2 \dfrac{a}{2}x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1-\cos 5x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1-(1-2 \sin^2 \dfrac{5}{2}x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x}{2 \cdot \sin \dfrac{5}{2}x \cdot \sin \dfrac{5}{2}x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sin 3x} {\sin \dfrac{5}{2}x} \cdot \dfrac{\tan 5x} {\sin \dfrac{5}{2}x}\right) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{10}{5} = \dfrac{6}{5} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1-\cos 5x} = \dfrac{6}{5}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga : Soal dan Pembahasan- Integral Dengan Substitusi Aljabar dan Trigonometri

Soal Nomor 7
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                    C. $1$                     E. $3$
B. $0$                       D. $2$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Ingat bahwa
$\boxed{\begin{aligned} \cos 2x & = 1-2 \sin^2 x \\ \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {bx} & = \dfrac{a} {b} \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\tan bx} & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(1-2 \sin^2 x)} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 x} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \dfrac{\sin x} {x} \cdot \dfrac{\sin x}{\tan 2x}\right) \\ & = 2 \times 1 \times \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x} = 1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                      C. $3$                   E. $9$
B. $2$                      D. $6$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 3$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Ingat bahwa
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a} {b}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)} \\ & = \lim_{x \to 3} \left(x \cdot \dfrac{\tan 2(x-3)} {\sin (x-3)}\right) \\ & = 3 \cdot 2 = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)} = 6}$
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 9
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x}- \dfrac{2}{x^2}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-8$                       C. $-2$                      E. $4$
B. $-4$                       D. $2$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$, sehingga perlu dilakukan manipulasi bentuk dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \tan ax = \dfrac{\sin ax}{\cos ax} \\ & \sin 2ax = 2 \sin ax \cos ax \\ & \sin^2 ax + \cos^2 ax = 1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x}- \dfrac{2}{x^2}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x}- \dfrac{2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x-2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x-2 \cdot \dfrac{\sin 2x} {\cos 2x}}{x^2 \tan 2x} \color{red}{\times \dfrac{\cos 2x}{\cos 2x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (2\cdot 2x) \cos 2x-2 \sin 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 2x-2 sin 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x(\cos^2 2x- 1)}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x (-\sin^2 2x)}{x^2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{\cancel{\cos 2x}} \cancel{\cos 2x} } \\ & =-2 \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 2x} {\sin 2x} \cdot \dfrac{\sin 2x} {x} \cdot \dfrac{\sin 2x} {x}\right) \\ & =-2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 =-8 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x}-\dfrac{2}{x^2}\right)=-8}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                      C. $\dfrac14$                   E. $1$
B. $0$                         D. $\dfrac12$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} & \sin ax + \sin bx = 2 \sin \left(\dfrac{a+b}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{a-b}{2}x\right) \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {2 \sin \left(\dfrac{1+3}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{1-3}{2}x\right)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cdot \cancel{\cos x} } {2 \cdot \sin 2x \cdot \cancel{\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} = 1}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Limit Euler

Soal Nomor 11
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1- \cos 4x} {x \sin x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                       C. $4$                     E. $16$
B. $2$                       D. $8$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.

$\boxed{\begin{aligned} & \cos 2x = 1-2 \sin^2 x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 4x}{x \sin x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos (2 \cdot 2x)}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(1-2 \sin^2 2x)}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 2x}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{x} \cdot \dfrac{\sin 2x}{\sin x}\right) \\ & = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 4x}{x \sin x}= 8}$
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x} {\tan x-\sin 2x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                     C. $0$                      E. $1$
B. $-\dfrac12$                   D. $\dfrac12$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.

$\boxed{\begin{aligned} & \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \\ & \sin 2x = 2 \sin x \cos x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = 1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Alternatif I:

Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\tan x-\sin 2x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}-2 \sin x \cos x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x \cos x}{\sin x-2 \sin x \cos^2 x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x \cos x}{\sin x (1-2 \cos^2 x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x}{\sin x} \cdot \dfrac{\cos 2x \cos x}{1-2 \cos^2 x}\right) \\ & = 1 \cdot \dfrac{\cos 0 \cdot \cos 0}{1-2 \cos^2 0} \\ & = 1 \cdot \dfrac{1 \cdot 1}{1-2 \cdot 1} =-1 \end{aligned}$$Alternatif II:
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x} {\tan x-\sin 2x} & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x \cos 2x} {\tan x-\sin 2x} \cdot \dfrac{\frac{1}{x}} {\frac{1}{x}}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 2x} {\frac{\tan x} {x}-\frac{\sin 2x} {x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 0}{1-2} = \dfrac{1}{-1} =-1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\tan x-\sin 2x} =-1}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri (Versi HOTS + Olimpiade)

Soal Nomor 13
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan (2x-2)} {\sin^2 (x-1)}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $4$                    E. $8$
B. $2$                     D. $6$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan sifat limit trigonometri berikut.

$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} =1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan (2x-2)}{\sin^2 (x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)(x-1) \tan 2(x-1)}{\sin (x-1) \cdot \sin (x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \left((x + 1) \cdot \dfrac{x-1}{\sin (x-1)} \cdot \dfrac{\tan 2(x-1)}{\sin (x-1)}\right) \\ & = (1 + 1) \cdot 1 \cdot 2 = 4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan(2x-2)}{\sin^2 (x-1)} = 4}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x- \cos x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\sqrt2$                   C. $0$                  E. $\sqrt2$
B. $-\dfrac12\sqrt2$                 D. $\dfrac12\sqrt2$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = \dfrac{\pi}{4}$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$
Gunakan identitas trigonometri berikut.

$\boxed{\cos 2x = \cos^2 x-\sin^2 x}$
Dengan mengalikan limit fungsi tersebut dengan bentuk sekawan penyebutnya, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x-\cos x} & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \left(\dfrac{\cos 2x} {\sin x-\cos x} \times \dfrac{\sin x + \cos x} {\sin x + \cos x} \right) \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x (\sin x + \cos x)} {\sin^2 x- \cos^2 x} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cancel{\cos 2x} (\sin x + \cos x)} {-\cancel{\cos 2x}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}}-(\sin x+ \cos x) \\ & =-\left(\sin \dfrac{\pi} {4} + \cos \dfrac{\pi} {4}\right) \\ & =-\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) =-\sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x- \cos x} =-\sqrt{2}}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 15
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x-\cos^2 2x} {\sin 2x-\cos 2x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\sqrt2$                C. $0$                   E. $\sqrt2$
B. $-\dfrac12\sqrt2$                  D. $\dfrac12\sqrt2$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = \dfrac{\pi}{8}$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Dengan mengalikan limit fungsi tersebut dengan bentuk sekawan penyebutnya, diperoleh,
$$\begin{aligned} \displaystyle & \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x-\cos^2 2x} {\sin 2x-\cos 2x} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \left(\dfrac{\sin^2 2x-\cos^2 2x} {\sin 2x- \cos 2x} \times \dfrac{\sin 2x + \cos 2x}{\sin 2x + \cos 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\cancel{(\sin^2 2x-\cos^2 2x)}(\sin 2x + \cos 2x)}{\cancel{\sin^2 2x-\cos^2 2x}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} (\sin 2x + \cos 2x) \\ & = \sin \dfrac{2\pi}{8} + \cos \dfrac{2\pi}{8} \\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} = \sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x- \cos^2 2x} {\sin 2x-\cos 2x} = \sqrt{2}}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 16
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x-2\pi)} {\tan (2\pi x- 4\pi)}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac{1}{2\pi}$                 C. $0$                    E. $\dfrac{1}{2\pi}$
B. $-\dfrac{1}{\pi}$                   D. $\dfrac{1}{\pi}$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan sifat limit trigonometri berikut.
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\tan bx} = \dfrac{a}{b}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x-2\pi)} {\tan (2\pi x- 4\pi)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos \pi(x-2)}{\tan 2\pi(x-2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{x-2}{\tan 2\pi(x-2)} \cdot \cos \pi(x-2)\right) \\ & = \dfrac{1}{2\pi} \cdot 1 = \dfrac{1}{2\pi} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x-2\pi)} {\tan (2\pi x-4\pi)} = \dfrac{1}{2\pi}}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Bagian Dasar)

Soal Nomor 17
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                    C. $0$                   E. $2$
B. $-1$                    D. $1$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} & \sin ax + \sin bx = 2 \sin \left(\dfrac{a+b}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{a-b}{2}x\right) \\ & \cos (-x) = \cos x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}$$Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cdot \cos x} {2 \sin \left(\dfrac{1+3}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{1-3}{2}x\right)}\ \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cdot \cancel{\cos x} } {2 \sin 2x \cancel{\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} = 1}$
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 18
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x-\tan 2x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac23$                    C. $\dfrac53$                  E. $\dfrac83$
B. $\dfrac43$                    D. $\dfrac73$

Pembahasan

Bagilah pembilang dan penyebut dengan $x$ sehingga rumus limit fungsi trigonometri dapat diterapkan.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x-\tan 2x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{3 + \dfrac{\sin 4x}{x}}{5- \dfrac{2 \tan 2x}{2x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{3 + \dfrac{4 \sin 4x}{4x}}{5- \dfrac{\tan 2x}{x}} \\ & = \dfrac{3 + 4 \cdot \displaystyle \lim_{4x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x}}{5-2 \cdot \displaystyle \lim_{2x \to 0} \dfrac{\tan 2x}{2x}} \\ & = \dfrac{3+4}{5-2} = \dfrac{7}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x-\tan 2x} = \dfrac{7}{3}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{x^3-1} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{3}$                    C. $1$                  E. $\dfrac{1}{2}$
B. $-\dfrac{1}{3}$                 D. $-1$    

Pembahasan

Perhatikan bahwa $x^3- 1$ dapat difaktorkan menjadi $(x-1)(x^2 + x + 1)$ sehingga dengan menggunakan metode pemfaktoran dalam limit, didapat
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{x^3-1} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{(x-1)(x^2+x+1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \left(-\dfrac{\tan (x-1)}{x-1} \cdot \dfrac{1}{x^2 + x + 1}\right) \\ & =-\dfrac{1}{1^2 + 1 + 1} =-\dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{x^3-1} =-\dfrac{1}{3}}$
Catatan: Ingat bahwa $\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1}$
(Jawaban C)  

[collapse]

Soal Nomor 20
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sec 9x-\sec 7x}{\sec 5x-\sec 3x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                    E. $4$
B. $1$                    D. $3$           

Pembahasan

Gunakan beberapa identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} \\ \cos x + \cos y & = 2 \cos \dfrac12(x+y) \cos \dfrac12(x-y) \end{aligned}}$$Kita akan peroleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sec 9x-\sec 7x}{\sec 5x-\sec 3x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{\cos 9x}-\dfrac{1}{\cos 7x}}{\dfrac{1}{\cos 5x}-\dfrac{1}{\cos 3x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\cos 7x-\cos 9x}{\cos 9x \cos 7x}}{\dfrac{\cos 3x-\cos 5x}{\cos 3x \cos 5x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 7x- \cos 9x}{\cos 9x \cos 7x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{\cos 3x- \cos 5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin \dfrac12(7x+9x) \sin \dfrac12(7x-9x)}{\cos 9x \cos 7x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{-2 \sin \dfrac12(3x+5x) \sin \dfrac12(3x-5x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin 8x \sin (-x)}{\cos 9x \cos 7x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{-2 \sin 4x \sin (-x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 8x}{\sin 4x} \times \dfrac{\sin x}{\sin x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{\cos 9x \cos 7x} \\ & = \dfrac{8}{4} \times 1 \times \dfrac{\cos 0 \cos 0}{\cos 0 \cos 0} \\ & = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sec 9x-\sec 7x}{\sec 5x-\sec 3x} = 2}$

(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi-2x) \cdot \tan 5x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac45$                   C. $\dfrac25$                  E. $\dfrac14$
B. $\dfrac35$                   D. $\dfrac12$         

Pembahasan

Misalkan $u = x-\dfrac{\pi}{2}$, atau dengan kata lain $x = u + \dfrac{\pi}{2}$. Ketika $x$ mendekati $\dfrac{\pi}{2}$, maka $u$ mendekati $0$. Dengan demikian, bentuk limitnya dapat ditulis dan diselesaikan seperti berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{u \to 0} \left(\pi-2\left(u + \dfrac{\pi}{2}\right)\right) \tan 5\left(u+\dfrac{\pi}{2}\right) \\ & =-2 \lim_{u \to 0} u \tan \left(5u + \dfrac{\pi}{2}\right) && \left(\cdots \tan \dfrac{5\pi}{2} = \tan \dfrac{\pi}{2}\right) \\ & =-2 \lim_{u \to 0} u (-\cot 5u) && \left(\cdots \tan \left(u + \dfrac{\pi}{2}\right) =-\cot u\right) \\ & = 2 \lim_{u \to 0} \dfrac{u}{\tan 5u} \\ & = 2 \times \dfrac15 = \dfrac25 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi-2x) \cdot \tan 5x = \dfrac25}$
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Hitunglah $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x-\dfrac{\pi}{2}}$.

Pembahasan

Gunakan rumus trigonometri berikut.
$\boxed{\cos x = \sin \left(\dfrac{\pi}{2}- x\right)}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x-\dfrac{\pi}{2}} & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}{x-\dfrac{\pi}{2}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}{-\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)} \\ & =-\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)} =-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x- \dfrac{\pi}{2}} =-1}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right)$.

Pembahasan

Ingat bahwa $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a} {b}}$. 
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right) \\ & = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin 2a} {a} \left(\dfrac{\sin^2 2a} {\cos 2a} + \cos 2a\right) \\ & = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin 2a} {a} \cdot \lim_{a \to 0} \left(\dfrac{\sin^2 2a} {\cos 2a} + \cos 2a\right) \\ & = 2(0+1) = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right) = 2}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x-x \cos 4x}$.

Pembahasan

Gunakan identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \cos ax & = 1-2 \sin^2 \dfrac{a}{2}x \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\sin bx} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x-x \cos 4x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cancel{x} \cdot x \tan 2x} {\cancel{x} (1-\cos 4x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \tan 2x} {1-(1-2 \sin^2 2x)} \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{x \tan 2x}{2 \sin^2 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \cdot \dfrac{\tan 2x} {\sin 2x} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x-x \cos 4x}$ adalah $\dfrac{1}{4}$

[collapse]
 

Soal Nomor 4
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x}$.

Pembahasan

Gunakan perbandingan dan identitas trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ \cos 2x & = \cos^2 x- \sin^2 x \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos^2 x- \sin^2 x}{\dfrac{\cos x-\sin x} {\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{(\cos^2 x- \sin^2 x) \cos x} {\cos x-\sin x} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{(\cos x + \sin x) \cancel{(\cos x-\sin x)} \cos x} {\cancel{\cos x-\sin x}} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} (\cos x + \sin x) \cos x \\ & = (\cos 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) \cos 45^{\circ} \\ & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x}$ adalah $\boxed{1}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan nilai dari limit berikut.
a. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x^2)}{x^2+\tan^2(3x)}$
b. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x^3)}{x^3+\sin^3(4x)}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diberikan $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x^2)}{x^2+\tan^2(3x)}$
Untuk menghitung nilai limitnya, bagi pembilang dan penyebut dengan $x^2$. Perhatikan kembali bahwa
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax^2}{bx^2} & = \dfrac{a}{b} \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{bx} & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}$
Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin(4x^2)}{x^2}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{\tan^2(3x)}{x^2}} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin(4x^2)}{x^2}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{\tan 3x}{x} \times \dfrac{\tan 3x}{x}} \\ & = \dfrac{4}{1 + 3 \times 3} = \dfrac{4}{10} = \dfrac25 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x^2)}{x^2+\tan^2(3x)}= \dfrac25}$
Jawaban b)
Diberikan $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x^3)}{x^3+\sin^3(4x)}$
Untuk menghitung nilai limitnya, bagi pembilang dan penyebut dengan $x^3$. Perhatikan kembali bahwa
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax^3}{bx^3} & = \dfrac{a}{b} \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}$
Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x^3)}{x^3+\sin^3(4x)} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\tan (2x^3)}{x^3}}{\dfrac{x^3}{x^3} + \dfrac{\sin^3 (4x)}{x^3}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\tan (2x^3)}{x^3}}{\dfrac{x^3}{x^3} + \dfrac{\sin (4x)}{x} \times \dfrac{\sin (4x)}{x} \times \dfrac{\sin (4x)}{x}} \\ & = \dfrac{2}{1 + 4 \times 4 \times 4} = \dfrac{2}{65} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x^3)}{x^3+\sin^3(4x)}=\dfrac{2}{65}}$

[collapse]