Soal dan Pembahasan – Deret Laurent dalam Analisis Kompleks

    Berikut ini adalah beberapa soal beserta pembahasannya mengenai Deret Laurent dalam Analisis Kompleks.

Soal Nomor 1
Uraikan fungsi \dfrac{1}{z+3} dalam deret Laurent untuk daerah konvergensi |z| > 3.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa ada 2 arti dari daerah |z|>3, yaitu
1) Perlu menguraikan fungsi tersebut untuk daerah konvergensinya, yaitu pada semua z yang berada di luar lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 3.
2) Perlu menguraikan fungsi tersebut ke dalam bentuk deret pangkat positif maupun negatif dari z. Singkatnya menjadi
\boxed{\displaystyle \sum a_n.z^n + \sum \dfrac{b_n}{z^n} }
Perhatikan bahwa,
\dfrac{1}{z+3} = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{1 +\dfrac{3} {z}}
Uraikan ekspresi \dfrac{1}{1 + \dfrac{3}{z}} dalam deret Taylor. Ingat bentuk berikut.
\boxed{\displaystyle \dfrac{1}{1 + z} = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^nz^n}
Jadi, dapat ditulis
\dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{1 +\dfrac{3} {z}} = \dfrac{1}{z} \times \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n. \left(\dfrac{3}{z}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n. 3^n} {z^{n+1}}
Dapat dilihat bahwa kita hanya mencari principal part dari deret Laurent karena daerah yang diminta adalah |z| > 3

[collapse]

Soal Nomor 2
Uraikan fungsi \dfrac{1}{z - 1} dalam deret Taylor pada daerah |z - 2| < 2 dan bagian principal part deret Laurent pada daerah |z - 2| > 2.

Penyelesaian

Titik singular fungsi tersebut adalah z = 1, sedangkan daerah konvergensinya adalah |z - 2| < 2 (di dalam lingkaran dengan pusat (2,0) dan berjari-jari 2). Karena titik singularnya berada dalam daerah konvergensi, maka uraikan fungsinya hanya dengan deret Taylor (sebagaimana yang diminta pada soal).
\dfrac{1}{z - 1} = \dfrac{1}{1 + (z - 2)} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-z + 2)^n
Di lain pihak, titik singular fungsi berada di luar daerah konvergensi |z - 2| > 2, sehingga diuraikan dalam principal part deret Laurent.
\begin{aligned} \dfrac{1}{z-1} & = \dfrac{1}{1 + (z - 2)} \\ & = \dfrac{1}{(z - 2)\left(1 + \dfrac{1}{z - 2}\right)} \\ & = \dfrac{1}{z-2} \times \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n. \left(\dfrac{1}{z-2}\right)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n} {(z - 2)^{n+1}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Uraikan fungsi \dfrac{1}{(z+2)(z-1)} dalam deret Laurent untuk daerah 4 < |z - 2| < \infty

Penyelesaian

Daerah konvergensi 4 < |z - 2| < \infty ekuivalen dengan |z - 2| > 4. Titik singular fungsinya, yaitu z = -2 dan z = 1 masing-masing di luar daerah konvergensinya, sehingga penguraiannya dengan menggunakan principal part deret Laurent sebagai berikut.
\begin{aligned}& \dfrac{1}{(z+2)(z-1)} = \dfrac{-\dfrac{1}{3}}{z + 2} + \dfrac{\dfrac{1}{3}} {z - 1} \\ & = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4 + (z - 2)} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{1 + (z - 2)} \\ & = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(z - 2)\left(1 + \dfrac{4}{z - 2}\right)} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(z-2)\left(1 + \dfrac{1}{z - 2}\right)} \\ & = -\dfrac{1}{3(z-2)} \times \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{4}{z -2}\right)^n + \dfrac{1}{3(z-2)} \times \sum (-1)^n\left(\dfrac{1}{z-2}\right)^n \\ & = \boxed{\dfrac{1}{3}(1-4^n) \sum \dfrac{(-1)^n} {(z-2)^{n+1}}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 4 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan)
Uraian deret Laurent dari fungsi f(z) = \dfrac{3}{z^2 - iz} pada daerah |z + i| < 1 adalah…..

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \dfrac{3}{z^2 - iz} = \dfrac{3}{z(z - i)}
Titik singular fungsi ini adalah z = 0 dan z = i yang letaknya TIDAK berada di luar daerah konvergensi |z + i| < 1 (lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1), sehingga kita menguraikan keduanya ini hanya dalam bentuk deret Taylor.
\begin{aligned} & \dfrac{3}{z(z + i)} = 3\left(\dfrac{-\dfrac{1}{i}} {z} + \dfrac{\dfrac{1}{i}} {z - i}\right) \\ & = -\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i + (z + i)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i + (z + i)} \\ & =-\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i\left(1 + \dfrac{z + i}{-i}\right)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i\left(1 + \dfrac{z+i}{-2i}\right)} \\ & = -3 \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-i}\right)^n + \dfrac{3}{2} \times \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-2i}\right)^n \\ & = \displaystyle \sum 3\left(\dfrac{z+i} {i} \right)^n + \sum \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{z+i}{2i}\right)^n \\ & = \boxed{3 \sum (z + i)^n\left(\dfrac{1}{2^{n+1}i^n} - \dfrac{1}{i^n}\right)} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 5
Uraikan dalam deret Laurent dari fungsi f(z) = \sin \left( \dfrac{1}{z}\right) pada daerah konvergensi |z| > 0

Penyelesaian

Karena daerah konvergensinya adalah |z| > 0, maka penyelesaiannya melibatkan principal part deret Laurent. Perhatikan bahwa,
\boxed{\sin z = \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^nz^{2n+1}} {(2n+1)!}}
Jadi,
\sin \left( \dfrac{1}{z}\right) = \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} \times \left(\dfrac{1}{z} \right)^{2n+1} = \sum \dfrac{(-1)^n} {(2n+1)!.z^{2n+1}}

[collapse]

Soal Nomor 6
Uraikan dalam deret Laurent dari fungsi f(z) = \dfrac{1}{z^3-2z^2+z} untuk daerah konvergensi 0 < |z - 1| < 1

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \dfrac{1}{z^3-2z^2+z} = \dfrac{1}{z(z-1)^2}
Tampak titik singular z_1 = 0 dan z_2 = 1, berturut-turut berada dalam syarat konvergensi |z - 1| < 1 dan |z - 1| > 0, berarti bagian fungsi yang memiliki syarat |z - 1| < 1 akan diselesaikan seperti deret Taylor dan bagian fungsi yang memiliki syarat |z - 1| > 0 akan diselesaikan seperti principal part dalam deret Laurent.
Bentuk fungsi di atas dapat dipecah menjadi
f(z) = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{(z-1)^2}
Tinjau bagian \dfrac{1}{(z-1)^2} yang akan dicari bentuk principal part. Tetapi, ternyata bentuk tersebut sudah dalam bentuk deret pangkat \dfrac{1}{(z-1)^n} sehingga tidak perlu diubah lagi.
Jadi,
\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \dfrac{1}{1 + (z - 1)} \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \displaystyle \sum (-1)^n(z-1)^n \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \boxed{\sum (-1)^n(z-1)^{n-2}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 7
Uraikan fungsi f(z) = \dfrac{5z + 2i} {z(z+i)} dalam deret Laurent untuk daerah 1 < |z - i| < 2

Penyelesaian

Anulus konvergensinya adalah daerah di antara lingkaran berpusat di (0,1) dan berjari-jari 1 dengan 2. Fungsi yang diberikan memiliki titik singular z = 0 dan z = i. Titik singular z = 0 berada lebih kecil dari daerah konvergensi, sehingga diselesaikan dalam bentuk principal part, sedangkan z = i diselesaikan seperti deret Taylor karena lebih besar dari daerah konvergensi. Pertama-tama, pecahkan fungsinya dalam bentuk parsial.
\dfrac{5z+2i} {z(z+i}} = \dfrac{2}{z} + \dfrac{3}{z+i}
(i) Menguraikan bentuk \dfrac{2}{z} dalam principal part deret Laurent.
\begin{aligned} \dfrac{2}{z} & = \dfrac{2}{i + (z - i)} \\ & = \dfrac{2}{(z-i)\left(1 + \dfrac{i}{z-i}\right)} \\ & = \dfrac{2}{z-i} \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{i} {z-i} \right)^n \\ & = \boxed{2 \sum (-1)^n \times \dfrac{(i)^n} {(z-i)^{n+1}}} \end{aligned}
(ii) Menguraikan bentuk \dfrac{3}{z + i} dalam bentuk deret Taylor.
\begin{aligned} \dfrac{3}{z+i} & = \dfrac{3}{2i + (z - i)} \\ & = \dfrac{3}{2i\left(1 + \dfrac{z-i} {2i} \right)} \\ & = \dfrac{3}{2i} \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z-i} {2i} \right)^n \\ & = \boxed{3 \sum (-1)^n \times \dfrac{(z-i)^n} {(2i)^{n+1}}} \end{aligned}
Jadi, deret Laurentnya adalah penjumlahan dari keduanya, yaitu
\boxed{2 \sum (-1)^n \times \dfrac{(i)^n} {(z-i)^{n+1}} + 3 \sum (-1)^n \times \dfrac{(z-i)^n} {(2i)^{n+1}}}

[collapse]

Soal Nomor 8 (Soal ON MIPA-PT Seleksi UGM Tahun 2015)
Uraikan fungsi f(z) = \dfrac{z+3}{z^2-6z+8} dalam bentuk deret Laurent dari daerah 0 < |z - 2| < 2

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \dfrac{z+3}{z^2-6z+8} = \dfrac{z+3}{(z-4)(z-2)}
Daerah konvergensinya adalah di antara lingkaran berpusat di (2,0) berjari-jari 0 dan 2.
Titik singular fungsi tersebut adalah z = 4 dan z = 2. Titik singular z = 2 lebih kecil dari daerah konvergensi, sehingga diselesaikan dalam bentuk principal part, sedangkan titik singular z = 4 lebih besar dari daerah konvergensi, dan harus diselesaikan dalam bentuk deret Taylor.
Untungnya, \dfrac{1}{z - 2} sudah dalam bentuk principal part, sehingga tidak perlu diubah. Sekarang, akan diuraikan bentuk \dfrac{1}{z -4} dalam deret Taylor sebagai berikut.
\begin{aligned} \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{z-4} & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2 + (z - 2)} \\ & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2\left(1 + \dfrac{z-2}{-2}\right) } \\ & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2} \times \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z-2}{-2}\right)^n \\ & = \boxed{ -(z + 3) \sum \dfrac{(z-2)^{n-1}} {2^{n+1}}} \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini