Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri (Versi HOTS/Olimpiade)

       Berikut ini admin sajikan soal dan pembahasan tentang limit fungsi aljabar dan trigonometri, tetapi tipe soalnya HOTS dan olimpiade sehingga akan jauh lebih menantang. Semoga bermanfaat dan tetap semangat belajar!

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri (Standar)

Soal Nomor 1
Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3-64}{\sqrt{x} – \sqrt{3\sqrt{x} – 2}} = \cdots$
A. $18$                D. $248$
B. $48$                E. $768$
C. $128$

Penyelesaian

Substitusi langsung $x = 4$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan sekaligus metode pemfaktoran, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3-64}{\sqrt{x} – \sqrt{3\sqrt{x} – 2}} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3-64}{\sqrt{x} – \sqrt{3\sqrt{x} – 2}} \times \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{3\sqrt{x} – 2}}{\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x} – 2}} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{(x^3-64)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x} – 2})}{x – (3\sqrt{x} – 2)} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{(x-4)(x^2+4x+16)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x} – 2})}{(\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} – 1)} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{\cancel{(\sqrt{x}-2)}(\sqrt{x} + 2)(x^2+4x+16)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x} – 2})}{\cancel{(\sqrt{x} – 2)}(\sqrt{x} – 1)} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{(\sqrt{x} + 2)(x^2+4x+16)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x} – 2})}{\sqrt{x} – 1} \\ = & \dfrac{(\sqrt{4} + 2)(4^2+4(4)+16)(\sqrt{4} + \sqrt{3\sqrt{4} – 2})}{\sqrt{4} – 1} \\ = & \dfrac{(2+2)(16+16+16)(2+2)}{2-1} \\ = & 4 \times 48 \times 4 = 768 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3-64}{\sqrt{x} – \sqrt{3\sqrt{x} – 2}} = 768}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai $a$ agar $\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{x^3+(3-a)x-3a}{x-a}$  ada dan berhingga.

Penyelesaian

Agar limit dari suatu fungsi ada dan berhingga, substitusi titik limitnya harus menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Pada penyebut, jelas bahwa jika $x = a$, maka $x – a  = a – a = 0$.
Tinjau pembilang fungsi tersebut.
$\begin{aligned} x^3 + (3 – a)x – 3a & = 0 \\ \text{Substitusi}~x = a & \\ a^3 + (3-a)a – 3a & = 0 \\ a^3 -a^2 & = 0 \\ a^2(a- 1) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $a = 0$ atau $a = 1$.
Jadi, nilai $a$ yang dimaksud adalah $\boxed{0}$ atau $\boxed{1}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 + a\sqrt{x} + b}{x-4} = 5$, maka nilai $a+b = \cdots$
A. $-20$       B. $-8$         C. $-4$        D. $6$        E. $12$

Penyelesaian

Dengan menggunakan dalil L’Hospital, kita dapat menentukan persamaan yang melibatkan $a$ dan $b$ pada bentuk limit tersebut, dengan syarat substitusi langsung $x = 4$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Ini berarti,
$\dfrac{4^2 + a\sqrt{4} + b}{4 – 4} = \dfrac{2a + b + 16}{0} = \dfrac{0}{0}$.
Jadi, diperoleh persamaan $2a + b = -16$.
Selanjutnya, terapkan dalil L’Hospital (turunkan terhadap variabel $x$)
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 + a\sqrt{x} + b}{x-4} & = 5 \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to 4} \dfrac{2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}a}{1} & = 5 \\ 2(4) + \dfrac{1}{2\sqrt{4}}a & = 5 \\ 8 + \dfrac{1}{4}a & = 5 \\ a & = (5 – 8) \times 4 = -12 \end{aligned}$
Substitusi $a = -12$ pada persamaan $2a + b = -16$.
$2(-12) + b = -16 \Leftrightarrow b = 8$
Jadi, nilai $\boxed{a + b = -12 + 8 = -4}$

[collapse]

Quote by Nelson Mandela 

Pendidikan adalah senjata paling mematikan di dunia, karena dengan pendidikan, Anda dapat mengubah dunia

Soal Nomor 4
Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} = -2$ dan $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{x-3} = 10$. Jika $f(x)$ adalah fungsi berderajat $3$ yang memenuhi kedua limit tersebut, tentukanlah rumus fungsi $f(x)$.

Penyelesaian

Misalkan $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, a \neq 0$.
Gunakan dalil L’Hospital pada $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} = -2$ dengan syarat $f(1) = 0$, yaitu
$\begin{aligned} & a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d \\ & = a + b + c + d = 0 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} & = -2 \\ \lim_{x \to 1} f'(x) & = -2 \\ \lim_{x \to 1} (3ax^2 + 2bx + c) & = -2 \\ 3a(1)^2 + 2b(1) + c & = -2 \\ 3a + 2b + c & = -2 \end{aligned}$
Selanjutnya, gunakan dalil L’Hospital pada $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{x-3} = 10$ dengan syarat $f(3) = 0$, yaitu
$\begin{aligned} & a(3)^3 + b(3)^2 + c(3) + d \\ & = 27a + 9b + 3c + d = 0 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{x-3} & = 10 \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to 3} f'(x) & = 10 \\ \lim_{x \to 3} (3ax^2 + 2bx + c) & = 10 \\ 3a(3)^2 + 2b(3) + c & = 10 \\ 27a + 6b + c & = 10 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh SPLEV berikut.
$\begin{cases} a+b+c+d=0 \\ 3a+2b+c=-2 \\ 27a+9b+3c+d=0 \\ 27a+6b+c=10 \end{cases}$
Selesaikan sistem di atas sehingga didapat $a = 2, b = -9, c = 10$, dan $d = -3$
Jadi, rumus fungsi $f$ adalah $\boxed{f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 10x-3}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika $\displaystyle \lim_{x \to b} \dfrac{4 – \sqrt{a(x+b)}} {b-x} = b$ dengan $a < 0, b < 0$, maka nilai $a-b=\cdots$
A. $-9$       B. $-7$        C. $-5$       D. $7$       E. $9$

Penyelesaian

Bentuk limit di atas dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil L’Hospital, namun syaratnya ketika $x = b$ disubstitusikan menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Pada penyebut, jelas substitusi menghasilkan $0$
Pada pembilang
$\begin{aligned} 4 – \sqrt{a(x+b)} & = 0 \\ 4 – \sqrt{a(b+b)} & = 0 \\ -\sqrt{2ab} & = -4 \\ ab & = 8 && (\bigstar) \end{aligned}$
Terapkan Dalil L’Hospital dengan cara menurunkan masing-masing pembilang dan penyebut terhadap variabel $x$. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to b} \dfrac{4 – \sqrt{a(x+b)}} {b-x} & = b \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to b} \dfrac{-\frac{1}{2}a(a(x+b))^{-\frac{1}{2}}} {-1} & = b \\ \text{Substitusi}~x = b & \\ \dfrac{a} {2\sqrt{a(b+b)}} & = b \\ a & = 2b\sqrt{2ab} \\ a^2 & = 4b^2 \cdot 2ab \\ a^2 & = 8ab^3 \\ a(a – 8b^3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 0$ (tidak memenuhi karena diberikan bahwa $a < 0$) atau $a = 8b^3$. 
Substitusi $a = 8b^3$ pada $\bigstar$, 
$\begin{aligned} ab & = 8 \\ (8b^3)b & = 8 \\ b^4 & = 1 \end{aligned}$
Diperoleh $b = 1$ (tidak memenuhi karena diberikan bahwa $b < 0$) atau $b = -1$ (memenuhi). 
Untuk $b = -1$, diperoleh $a = 8b^3 = 8(-1)^3 = -8$. 
Jadi, $\boxed{a-b=-8-(-1)=-7}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b} -2}{x-1} = A$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b} -2x}{x^2+2x-3} = \cdots$
A. $\frac14(A+2)$               D. $\frac12(A-2)$
B. $\frac14(A-2)$                E. $A-2$
C. $\frac12(A+2)$

Penyelesaian

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b} -2}{x-1} = A$
Dengan menggunakan sejumlah sifat limit dasar, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b} -2x}{x^2+2x-3} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b} -2 -2x + 2}{(x+3)(x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{x+3} \cdot \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\sqrt{ax^4+b} -2}{x-1} – \dfrac{2x-2}{x-1}\right) \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{x+3} \cdot \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\sqrt{ax^4+b} -2}{x-1} – \dfrac{2\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}}\right) \\ & = \dfrac{1}{1+3} \cdot (A-2) \\ & = \dfrac{1}{4}(A-2) \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b} -2x}{x^2+2x-3} = \dfrac14(A-2)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)} {x^2} = 1$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = \cdots$
A. tak ada            D. $\frac{1}{2}$
B. $0$                      E. $2$
C. $1$

Penyelesaian

Perhatikan bentuk $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)} {x^2} = 1$. Karena memiliki nilai limit berhingga, maka substitusi langsung $x = 0$ harus menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Ini mengimplikasikan
$\dfrac{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)} {\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2} = 1$
sehingga mengharuskan
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) – 3g(x)] = 2$ dan $\displaystyle \lim_{x \to a} [3f(x) + g(x)] = 1$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)g(x) = \cdots$
A. $-\dfrac12$      B. $-\dfrac14$      C. $\dfrac14$       D. $\dfrac12$    E. $1$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat dasar limit, persamaan $\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) – 3g(x)] = 2$ dapat kita tuliskan menjadi
$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) – 3 \lim_{x \to a} g(x) = 2$
dan persamaan $\displaystyle \lim_{x \to a} [3f(x) + g(x)] = 1$ dapat kita tuliskan menjadi
$\displaystyle 3 \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = 1$
Sekarang, misalkan $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = m$ dan $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = n$, sehingga terbentuk SPLDV:
$\begin{cases} m – 3n = 2 \\ 3m + n = 1 \end{cases}$
Selesaikan dengan metode gabungan. 
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} m – 3n & = 2 \\ 3m + n & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} m-3n&=2 \\~9m+3n & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 10m & = 5 \\ m & = \dfrac{5}{10} = \dfrac12 \end{aligned} \end{aligned}$
Untuk $m = \dfrac12$, diperoleh:
$\begin{aligned} 3m + n & = 1 \\ n & = 1 – 3m \\ & = 1 – 3\left(\dfrac12\right) \\ & = -\dfrac12 \end{aligned}$
Ini berarti, $m = \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \dfrac12$ dan $n = \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = – \dfrac12$ 
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)g(x) & = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac12\right) = – \dfrac14 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)g(x) = -\dfrac14}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {x} = \dfrac12$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {\sqrt{1-x} – 1} = \cdots$
A. $-4$       B. $-2$        C. $-1$          D. $2$         E. $4$

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned}&  \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {\sqrt{1-x} – 1}\\  & = \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {\sqrt{1-x} – 1} \times \dfrac{\sqrt{1-x} +1}{\sqrt{1-x} +1} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)(\sqrt{1-x} +1)} {(1-x) -1} \\ & = – \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)(\sqrt{1-x} +1)} {x} \\ & = -\lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {x} \times \lim_{x \to 0} (\sqrt{1-x} +1) \\ & = -\dfrac12 \times (\sqrt{1-0}+1) \\ & = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {\sqrt{1-x} – 1} = -1}$ 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\frac13Ax^3 + \frac12Bx^2-3x} {x^3-2x^2-9x+16} = \dfrac{3}{10}$, maka nilai dari $40A + 30B = \cdots$
A. $99$             C. $45$            E. $16$
B. $81$             D. $32$       

Penyelesaian

Dengan menggunakan substitusi langsung, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\frac13Ax^3 + \frac12Bx^2-3x} {x^3-2x^2-9x+16} & = \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{\frac13A(2)^3 + \frac12B(2)^2-3(2)} {(2)^3-2(2)^2-9(2)+16} & = \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{\frac83A + 2B – 6}{8 – 8 – 18 + 16} & = \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{\frac83 A + 2B – 6}{-2} \times \color{red}{\dfrac{-5}{-5}} & = \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{-\frac{40}{3}A – 10B + 30}{\cancel{10}} & = \dfrac{3}{\cancel{10}} \\ -\frac{40}{3}A – 10B + 30 & = 3 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&(-3) \\ 40A + 30B – 90 & = -9 \\ 40A + 30B & = 81 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{40A+30B = 81}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} – \sqrt{5x^2-\sqrt{x}}} {\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}} – \sqrt{11x^2 – 2\sqrt{x}}} = \cdots$
A. $-\frac58$               D. $\frac58$
B. $\frac38$                 E. $\frac34$
C. $-\frac38$

Penyelesaian

Gunakan metode pengalian akar sekawan dua kali. 
Kalikan fungsinya dengan $\dfrac{\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}} + \sqrt{11x^2 – 2\sqrt{x}}} {\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}} + \sqrt{11x^2 – 2\sqrt{x}}}$,
sehingga didapat

$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} – \sqrt{5x^2-\sqrt{x}})(\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}})} {(7x^2+2\sqrt{x}) – (11x^2-2\sqrt{x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} – \sqrt{5x^2-\sqrt{x}})(\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}})} {-4x^2+4\sqrt{x}} \end{aligned}$$
Selanjutnya, kalikan fungsinya dengan $\dfrac{\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} + \sqrt{5x^2-\sqrt{x}}} {\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} + \sqrt{5x^2-\sqrt{x}}}$
sehingga didapat
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\cancel{(-2x^2+2\sqrt{x})} (\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}}) + \sqrt{11x^2-2\sqrt{x}})} {\cancelto{2}{(-4x^2+4\sqrt{x})} (\sqrt{(3x^2+\sqrt{x}} + \sqrt{5x^2-\sqrt{x}})}\\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}}+ \sqrt{11x^2-2\sqrt{x}}}{2(\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} + \sqrt{5x^2-\sqrt{x}})}\\ & =\dfrac{\sqrt{7(1)^2 + 2\sqrt{1}} + \sqrt{11(1)^2-2\sqrt{1}}} {2(\sqrt{3(1)^2 + \sqrt{1}} + \sqrt{5(1)^2-\sqrt1}} \\ & = \dfrac{3 + 3}{2(2+2)} = \dfrac68 = \dfrac34 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} – \sqrt{5x^2-\sqrt{x}}} {\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}} – \sqrt{11x^2 – 2\sqrt{x}}} = \dfrac34}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{a+x} – \sqrt{a-x}} = b$, maka nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x} – \sqrt{b-x}}{x}$ adalah $\cdots$
A. $a^{-\frac{1}{2}}$           D. $a^{\frac{1}{2}}$
B. $a^{-\frac{1}{4}}$           E. $a$
C. $a^{\frac{1}{4}}$

Penyelesaian

Tinjau $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{a+x} – \sqrt{a-x}} = b$.
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, didapat
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{a+x} – \sqrt{a-x}} & = b \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{a+x} – \sqrt{a-x}} & \times \color{red}{ \dfrac{\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}}} = b \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{x(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x})}{(a+x)-(a-x)} & = b \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cancel{x}(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x})}{2\cancel{x}} & = b \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}}{2} & = b \\ \dfrac{\sqrt{a+0} + \sqrt{a-0}}{2} & = b \\ 2\sqrt{a} & = 2b \\ a^{\frac{1}{2}} & = b \end{aligned}$$
Selanjutnya, tinjau $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x} – \sqrt{b-x}}{x}$
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x} – \sqrt{b-x}}{x} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x} – \sqrt{b-x}}{x} \times \color{blue}{\dfrac{\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x}}{\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x}}} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{(b+x)-(b-x)}{x(\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x})} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{2\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x})} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{2}{\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x}} \\ = & \dfrac{2}{\sqrt{b+0} + \sqrt{b-0}} \\ = & \dfrac{2}{2\sqrt{b}} \\ = & \dfrac{1}{\sqrt{b}} \end{aligned}$$
Substitusikan nilai $b = a^{\frac{1}{2}}$
$\dfrac{1}{\sqrt{b}} = b^{-\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{2}} = a^{-\frac{1}{4}}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x} – \sqrt{b-x}}{x} = a^{-\frac{1}{4}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat dan $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-x-b} {2-x} = a$, maka nilai $b-a = \cdots$
A. $-5$        B. $-3$          C. $-1$           D. $2$           E. $5$

Penyelesaian

Karena fungsi $\dfrac{x^2-x-b} {2-x}$ memiliki nilai limit untuk $x$ mendekati $2$, maka substitusi langsung $x = 2$ harus menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$, sehingga ditulis
$\dfrac{(2)^2-2-b} {2-2} = \dfrac{2-b} {2-2} = \dfrac{0}{0}$
Dengan demikian, diperoleh $b = 2$. 
Selanjutnya, dapat ditentukan nilai $a$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-x-2}{2-x} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{\cancel{(x-2)}(x+1)} {-\cancel{(x-2)}} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{x+1}{-1} \\ & = -(2+1) = -3 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $a = -3$
Jadi, hasil dari $\boxed{b-a=2-(-3)=5}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{px+q}-2} = 8$, nilai dari $3p-5q = \cdots$
A. $-6$     B. $-4$      C. $0$       D. $4$       E. $6$

Penyelesaian

Agar fungsi tersebut memiliki nilai limit ketika $x$ mendekati 2, substitusi $x=2$ harus membuat nilai fungsinya menjadi $\dfrac00$ (bentuk tak tentu).
Pada pembilang, jelas $(2)^2-4 = 0$.
Pada penyebut,
$\sqrt{2p+q}-2 = 0 \Rightarrow 2p+q = 4$
Selanjutnya, dengan menggunakan Dalil L’Hospital pada bentuk limitnya, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{px+q}-2} & = 8 \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to 2} \dfrac{2x}{\dfrac{p}{2\sqrt{px+q}}} & = 8 \\ \dfrac{2(2)}{\dfrac{p}{2\sqrt{2p+q}}} & = 8 \\ 4(2\sqrt{2p+q}) & = 8p \\ \text{Substitusi}~& 2p+q=4 \\ 4(2\sqrt{4})&=8p \\ p & = 2 \end{aligned}$
Untuk itu, $2p+q= 4 \Rightarrow 2(2)+q=4 \Leftrightarrow q=0$.
Jadi, $\boxed{3p-5q=3(2)-5(0) = 6}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui $f(x) = 3x-p$ untuk $x \leq 2$ dan $f(x) = 2x+1$ untuk $x > 2$. Agar $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$ memiliki nilai, maka $p = \cdots$
A. $1$          B. $2$          C. $3$         D. $4$          E. $5$

Penyelesaian

Agar $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$ memiliki nilai, maka limit kiri dan limit kanannya harus sama. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) & = \lim_{x \to 2^+} f(x) \\ \lim_{x \to 2} (3x-p) & = \lim_{x \to 2} (2x+1) \\ 3(2)-p & = 2(2)+1 \\ 6-p & = 5 \\ p & = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{1}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Tentukan hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^2} – 2\sqrt[3]{x} + 1}{(x-1)^2}$

Penyelesaian

Substitusi langsung $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Misalkan $y = \sqrt[3]{x}$. Ini berarti $y^3 = x$. Untuk $x$ mendekati $1$, nilai $y$ juga mendekati $1$. Dengan demikian, bentuk limit di atas ekuivalen dengan bentuk berikut. Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^2} – 2\sqrt[3]{x} + 1}{(x-1)^2} & = \lim_{y \to 1} \dfrac{y^2 – 2y + 1}{(y^3-1)^2} \\ & = \lim_{y \to 1} \dfrac{\cancel{(y-1)^2}}{\cancel{(y-1)^2}(y^2+y+1)^2} \\ & = \lim_{y \to 1} \dfrac{1}{(y^2+y+1)^2} \\ & = \dfrac{1}{(1^2 + 1 + 1)^2} \\ & = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^2} – 2\sqrt[3]{x} + 1}{(x-1)^2} = \dfrac{1}{9}}$

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x – \pi) \cos^2 x} {\pi(\pi – 2x) \tan (x – \frac{\pi} {2})}$

Penyelesaian

Gunakan identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \cos \theta = \sin \left(\dfrac{\pi} {2} – \theta\right) \\ & \cos^2 \theta = \sin^2 \left(\theta – \dfrac{\pi} {2}\right) \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {\tan bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x – \pi) \cos^2 x} {\pi(\pi – 2x) \tan (x – \frac{\pi} {2})} \\ &= \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x – \pi) \sin^2 \left(x – \frac{\pi} {2}\right)} {-2\pi\left(x – \frac{\pi} {2}\right) \tan (x – \frac{\pi} {2}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \left(\dfrac{4(x – \pi)} {-2\pi} \cdot \dfrac{\sin \left(x – \frac{\pi} {2}\right)} {\left(x – \frac{\pi} {2}\right)} \cdot \dfrac{\sin \left(x – \frac{\pi} {2}\right)} {\tan \left(x – \frac{\pi} {2}\right)} \right) \\ & = \dfrac{4\left(\frac{\pi} {2} – \pi\right)} {-2\pi} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{-2\pi} {-2\pi} = 1 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x – \pi) \cos^2 x} {\pi(\pi – 2x) \tan (x – \frac{\pi} {2})}$ adalah $\boxed{1}$

[collapse]

Soal Nomor 18
Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di $x = 1$. 
$f(x) = \begin{cases} (x-1)^2 \sin \left(\dfrac{1}{x-1}\right), & x \neq 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}$

Penyelesaian

Fungsi tersebut akan kontinu di $x = 1$ apabila $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 1$
Sekarang, perhatikan bahwa untuk setiap $x \neq 1$, berlaku
$$\begin{aligned} & -1 \leq \sin \left(\dfrac{1}{x-1}\right) \leq 1 \\ & -(x-1)^2 \leq (x-1)^2 \sin \left(\dfrac{1}{x-1}\right) \leq (x-1)^2 \\ & -(x-1)^2 \leq f(x) \leq (x-1)^2 \end{aligned}$$
Perhatikan bahwa 
$\displaystyle \lim_{x \to 1} -(x-1)^2 = \lim_{x \to 1} -(x-1)^2 = 0$
sehingga menurut Teorema Apit dalam konsep limit berlaku $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0$. Ternyata kita peroleh bahwa $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$. Dengan demikian, $f$ tidak kontinu di $x = 1$.

[collapse]

Soal Nomor 19
Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5x^5 + 4 \sin^4 x}}{\sqrt{x^2+1} – 1} = \cdots$
A. $9$         B. $4$         C. $3$           D. $2$           E. $0$

Penyelesaian

Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5x^5 + 4 \sin^4 x}}{\sqrt{x^2+1} – 1} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^4\left(5x + 4 \dfrac{\sin^4 x}{x^4}\right)}}{\sqrt{x^2+1} – 1} \times \color{blue}{\dfrac{\sqrt{x^2+1} + 1}{\sqrt{x^2+1} + 1}} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2\sqrt{5x + 4 \dfrac{\sin^4 x}{x^4}} \cdot (\sqrt{x^2+1} + 1)}{(x^2 + 1) – 1} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2\sqrt{5x + 4 \dfrac{\sin^4 x}{x^4}} \cdot (\sqrt{x^2+1} + 1)}{x^2} \times \color{red}{\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}}} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5x + 4 \dfrac{\sin^4 x}{x^4}} \cdot (\sqrt{x^2+1} + 1)}{1} \\ = & \sqrt{5(0) + 4} \cdot (\sqrt{0^2+1} + 1) \\ = & \sqrt{4}(\sqrt{1}+1) = 4 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5x^5 + 4 \sin^4 x}}{\sqrt{x^2+1} – 1} = 4}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $f(x) = \sin^2 3x$, maka $\displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+2p)-f(x)}{2p} = \cdots$
A. $2 \cos 3x$         D. $6 \sin 3x \cos 3x$
B. $2 \sin 3x$          E. $6 \cos^2 x$
C. $6 \sin^2 x$

Penyelesaian

Dengan menggunakan Dalil L’Hospital, akan ditentukan nilai limitnya sebagai berikut. Ingat bahwa turunannya terhadap variabel $p$, sehingga $x$ dianggap sebagai konstanta.
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+2p)-f(x)}{2p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{\sin^2 3(x+2p) – \sin^2 3x}{2p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{6 \sin^2 3(x+2p) \cos 3(x+2p) – 0}{2} \\ & = 6 \sin^2 3(x + 0) \cos 3(x + 0) \\ & = 3 \sin 3x \cos 3x \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limitnya adalah $\boxed{3 \sin 3x \cos 3x}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Hitunglah $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}}$

Penyelesaian

Alternatif I:
Dengan menggunakan teorema limit trigonometri
$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x} {x} = 1}$, 
dan perhatikan bahwa $x \sin \dfrac{1}{x}$ akan bernilai $0$ apabila $x \to 0$, maka
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}} = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin a} {a} = 0$
Alternatif II:
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & -1 \leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1 \\ & -x \leq x \sin \dfrac{1}{x} \leq x \\ & 0 \leq \lim_{x \to 0} x \sin \dfrac{1}{x} \leq 0 \end{aligned}$
Dengan menggunakan Teorema Apit, dapat disimpulkan bahwa
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}} = 0$

[collapse]

Soal Nomor 22
Tentukan nilai $a$ agar fungsi
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin (ax)} {x}, & x < 0 \\ x + 1, & x \geq 0 \end{cases}$
mempunyai limit di $x = 0$.

Penyelesaian

Agar $f$ memiliki limit di $x = 0$, haruslah berlaku
$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$
Ekspresi pada ruas kiri persamaan di atas memberikan
$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (ax)} {x} = a$
Ekspresi pada ruas kanan persamaan di atas memberikan
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1$
Dapat disimpulkan bahwa agar $f$ memiliki limit di $x = 0$, nilai $a$ haruslah $\boxed{1}$.

[collapse]

Soal Nomor 23
Tentukan nilai $k$ agar fungsi
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\tan (kx)} {x}, & x < 0 \\ 3x + 2k^2, & x \geq 0 \end{cases}$
kontinu di $x = 0$.

Penyelesaian

Agar $f$ kontinu di $x = 0$, haruslah berlaku
$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) & = \lim_{x \to 0^+} f(x) \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan (kx)} {x} & = \lim_{x \to 0} (3x+2k^2) \\ k & = 3(0) + 2k^2 \\ k & = 2k^2 \\ k(2k-1) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai $k = 0$ atau $k = \dfrac{1}{2}$. 
Jadi, agar $f$ kontinu di $x=0$, haruslah $\boxed{k \in \left\{0,\dfrac{1}{2}\right\}}$ 

[collapse]

Soal Nomor 24
Tentukan nilai $a$ dan $b$ sehingga
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a + \cos (bx)} {x^2} = -2$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 0} (a + \cos (bx))$ haruslah bernilai $0$ sebab jika hal ini tidak terjadi (katakanlah $\displaystyle \lim_{x \to 0} (a + \cos (bx)) = c \neq 0$), maka akan berakibat
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a + \cos (bx)} {x^2} = \dfrac{c} {\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2} = \infty$
Jadi, kita dapat menuliskan
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} (a + \cos (bx)) & = 0 \\ a + \cos (0b) & = 0 \\ a + 1 & = 0 \\ a & = -1 \end{aligned}$
Karena sekarang bentuk limitnya menjadi $\dfrac{0}{0}$ saat substitusi $x = 0$, maka berlaku Dalil L’Hospital, sehingga diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{-b \sin (bx) } {2x} = -2$
Terapkan dalil tersebut sekali lagi untuk memperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{-b^2 \cos (bx) } {2} & = -2 \\ \dfrac{-b^2 \cos (0b)} {2} & = -2 \\ -b^2 & = -4 \\ b & = \pm 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{a =1}$ dan $\boxed{b=\pm 2}$

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui fungsi $f(x) = \begin{cases} 5x+1, x \geq 0 \\ \dfrac{\cos 3x – \cos kx} {6x^2}, x < 0 \end{cases}$
Tentukan nilai $k$ agar limit fungsi $f(x)$ memiliki nilai saat $x$ mendekati 0.

Penyelesaian

Nilai limit kiri dari fungsi $f$ untuk $x$ mendekati 0 adalah sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) & = \lim_{x \to 0} (5x+1) \\ & = 5(0) + 1 = 1 \end{aligned}$
Agar limit fungsi $f(x)$ memiliki nilai saat $x$ mendekati 0, maka haruslah $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$
$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) & = 1 \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 3x – \cos kx} {6x^2} & = 1 \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin \frac{1}{2}(3x + kx) \sin \frac{1}{2}(3x – kx)} {6x^2} & = 1 \\ \dfrac{-2}{6} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \frac{3+k}{2}x \sin \frac{3-k} {2}x} {x \cdot x} & = 1 \\ -\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3+k} {2} \cdot \dfrac{3-k} {2}& = 1 \\ \dfrac{-(3+k) (3-k)} {12} & = 1 \\ k^2 – 9 & = 12 \\ k^2 & = 21 \\ k& = \pm \sqrt{21} \end{aligned}$$
Jadi, nilai $k$ yang dimaksud adalah $\boxed{k = \pm \sqrt{21}}$

[collapse]

Soal Nomor 26
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{\dfrac{\tan (\pi x – \pi) – (x^2-1)} {(4-4x) + \sin 2(\pi x – \pi)}} = \cdots$
A. 1                          D. $\sqrt{2}$
B. $\frac12$                         E. $\sqrt{\pi-2}$
C. $\frac12\sqrt{2}$

Penyelesaian

Misalkan $y = x – 1$. 
Untuk $x \to 1$, maka $y \to 0$. 
Dengan demikian, limit di atas dapat ditulis kembali menjadi
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{\dfrac{\tan \pi(x – 1) – (x+1)(x-1)} {-4(x-1) + \sin 2\pi(x – 1)}} \\ & = \sqrt{\lim_{y \to 0} \dfrac{\tan \pi y – (y+2)y} {-4y + \sin 2\pi y}} \\ & = \sqrt{\lim_{y \to 0} \dfrac{\frac{\tan \pi y} {y} – \frac{(y+2)y} {y}} {\frac{-4y} {y} + \frac{\sin 2\pi y} {y} }} \\ & = \sqrt{\dfrac{\pi – (0 + 2)} {-4 + 2\pi}} \\ & = \sqrt{\dfrac{\cancel{\pi – 2}}{2\cancel{(\pi – 2)}}} \\ & = \sqrt{\dfrac12} = \dfrac12\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{\dfrac{\tan (\pi x – \pi) – (x^2-1)} {(4-4x) + \sin 2(\pi x – \pi)}} = \dfrac12\sqrt{2}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Tambahan

Soal Nomor 27
Jika $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax^2+b} – 8}{x – 2} = A$ untuk suatu $A \in \mathbb{R}$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{ax^2+b} – 2x}{x^2+x-2} = \cdots$
A. $-2A$       B. $-A$        C. $0$          D. $A$        E. $2A$

Penyelesaian

Dari persamaan $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax^2+b} – 8}{x – 2} = A$, kita ketahui bahwa limitnya ada, sehingga substitusi $x = 2$ pada bentuk $\dfrac{\sqrt{ax^2+b} – 8}{x – 2}$ seharusnya menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00$, ditulis
$\dfrac{\sqrt{a(2)^2+b}-8}{2-2} = \dfrac{\sqrt{4a+b}-8}{0} = \dfrac00$
Jadi, diperoleh persamaan
$\begin{aligned} \sqrt{4a+b}-8 & = 0 \\ \sqrt{4a+b} & = 8 \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ 4a+b & = 64 \end{aligned}$
Sekarang, dapat kita tulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{ax^2+b} – 2x}{x^2+x-2} & = \dfrac{\sqrt[3]{a(2)^2+b} – 2(2)}{(2)^2+2-2} \\ & = \dfrac{\sqrt[3]{4a+b} – 4}{4} \\ & = \dfrac{\sqrt[3]{64} – 4}{4} \\ & = \dfrac{4-4}{4} = 0 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{ax^2+b} – 2x}{x^2+x-2} = 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini