Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang barisan dan deret aritmetika. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Aritmetika

Soal Nomor 1
Rumus umum suku ke-n untuk barisan -1, 1, 3, 5, 7, \cdots adalah \cdots
A. \text{U}_n = n + 2            D. \text{U}_n = 2n-3
B. \text{U}_n = 2n-1           E. \text{U}_n = 3n-2
C. \text{U}_n = 2n-2

Penyelesaian

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui a = -1 dan b = 2, sehingga
\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = -1 + (n - 1) \times 2 \\ & = -1 + 2n - 2 \\ & = 2n - 3 \end{aligned}
Jadi, rumus umum suku ke-n adalah \boxed{\text{U}_n = 2n - 3} (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 2
Rumus umum dari barisan bilangan -8, 0,8,16, \cdots adalah \cdots
A. \text{U}_n = 2n                D. \text{U}_n = 8n+16
B. \text{U}_n = 2n+2          E. \text{U}_n = 8n-16
C. \text{U}_n = 4n-6   

Penyelesaian

Barisan bilangan itu merupakan barisan aritmetika karena memiliki suku yang berdekatan sama/tetap.
Diketahui a = -8 dan b = 8.
Dengan menggunakan formula suku ke-n barisan aritmetika, didapat
\begin{aligned} \text{U}_n & = a +(n-1)b \\ & = -8 + (n-1)\times 8 \\ & -8 + 8n - 8 \\ & = 8n -16 \end{aligned}
Jadi, rumus umum barisan tersebut adalah \boxed{\text{U}_n = 8n-16} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika: -18, -15, -12, -9 adalah \cdots
A. \text{U}_n = -3n + 15              D. \text{U}_n = 3n + 21
B. \text{U}_n = -3n - 15               E. \text{U}_n = 3n - 21
C. \text{U}_n = 3n + 15

Penyelesaian

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap. Diketahui a = -18 dan b = 3, sehingga
\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = -18 + (n - 1) \times 3 \\ & = -18 + 3n - 3 = 3n - 21 \end{aligned}
Jadi, rumus umum suku ke-n adalah \boxed{\text{U}_n = 3n-21} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Rumus suku ke-n dari barisan bilangan: 5, 2, -1, -4, \cdots adalah \cdots
A. \text{U}_n = 5n-3
B. \text{U}_n = 3n+2
C. \text{U}_n = 3n-8
D. \text{U}_n = -3n-8
E. \text{U}_n = -3n+8

Penyelesaian

Barisan di atas termasuk barisan aritmetika dengan suku pertama a = 5 dan b = -3. Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 5 + (n-1)(-3) \\ & = 5 - 3n + 3 \\ & = -3n + 8 \end{aligned}
Jadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah \boxed{\text{U}_n = -3n + 8} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui barisan bilangan: 6, 10, 14, \cdots. Rumus umum suku ke-n untuk barisan bilangan tersebut adalah \cdots
A. \text{U}_n = -4n-2          D. \text{U}_n = n-4
B. \text{U}_n = 4n-2           E. \text{U}_n = n+4
C. \text{U}_n = 4n+2

Penyelesaian

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui a = 6 dan b = 4, sehingga
\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 6 + (n - 1) \times 4 \\ & = 6 + 4n - 4 \\ & = 4n + 2 \end{aligned}
Jadi, rumus umum suku ke-n adalah \boxed{\text{U}_n = 4n + 2} (Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui barisan aritmetika: 4, 1, -2, -5, \cdots. Suku ke-10 barisan tersebut adalah \cdots
A. 31        B. 23         C. -23        D. -26         E. -31

Penyelesaian

Diketahui: a = 4 dan b = -3. Dengan demikian,
\begin{aligned} \text{U}_{n} & = a + (n - 1)b \\ \text{U}_{10} & = 4 + (10 - 1) \times (-3) \\ & = 4 + 9 \times (-3) \\ & = 4 - 27 = -23 \end{aligned}
Jadi, suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah \boxed{-23} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Suku ke-n suatu barisan bilangan dirumuskan \text{U}_n = 15 - 3n. Suku ke-15 dari barisan tersebut adalah \cdots
A. 30       B. 15        C. 0        D. -15        E. -30

Penyelesaian

Diketahui \text{U}_n = 15-3n. Untuk n = 15, diperoleh
\text{U}_{15} = 15 - 3(15) = 15-45 = -30
Jadi, suku ke-15 dari barisan tersebut adalah \boxed{-30} (Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui suku ke-5 dan suku ke-9 dari suatu barisan bilangan aritmetika adalah 18 dan 6. Suku ke-3 barisan tersebut adalah \cdots
A. 9        B. 12         C. 15         D. 21          E. 24

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \text{U}_n = a + (n-1)b. Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut.
b = \dfrac{\text{U}_9 - \text{U}_5}{9 - 5} = \dfrac{6-18}{4} = -3
Selanjutnya, akan dicari nilai a (suku pertama) dengan menggunakan persamaan \text{U}_5 = 18 sebagai berikut.
\begin{aligned} \text{U}_5 = a + 4b & = 18 \\ a + 4(-3) & = 18 \\ a & = 30 \end{aligned}
Suku ke-3 barisan tersebut adalah
\boxed{\text{U}_3 = a + 2b = 30 + 2(-3) = 24} (Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 dari barisan aritmetika secara berturut-turut adalah -5 dan -9. Suku ke-10 dari barisan tersebut adalah \cdots
A. 20      B. 19       C. 17        D. -19        E. -20

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \text{U}_n = a + (n-1)b. Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut.
b = \dfrac{\text{U}_5 - \text{U}_3}{5 - 3} = \dfrac{-9 - (-5)}{2} = -2
Selanjutnya, akan dicari nilai a (suku pertama) dengan menggunakan persamaan \text{U}_3 = -5 sebagai berikut.
\begin{aligned} \text{U}_3 = a + 2b & = -5 \\ a + 2(-2) & = -5 \\ a - 4 & = -5 \\ a & = -1 \end{aligned}
Suku ke-10 barisan tersebut adalah \boxed{\text{U}_{10} = a + 9b = -1 + 9(-2) = -19} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui suatu barisan aritmetika dengan \text{U}_4 = 17 dan \text{U}_9 = 37. Suku ketujuh barisan tersebut adalah \cdots
A. 25         B. 29         C. 32          D. 40          E. 44

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \text{U}_n = a + (n-1)b. Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut.
b = \dfrac{\text{U}_9 - \text{U}_4}{9 - 4} = \dfrac{37-17}{5} = 4
Selanjutnya, akan dicari nilai a (suku pertama) dengan menggunakan persamaan \text{U}_4 = 17 sebagai berikut.
\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ a + 3(4) & = 17 \\ a + 12 & = 17 \\ a & = 5 \end{aligned}
Suku ke-7 barisan tersebut adalah
\boxed{\text{U}_7 = a + 6b = 5 + 6(4) = 29} (Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama 3 dan suku ke-5 adalah 11. Suku ke-25 dari barisan tersebut adalah \cdots
A. 73       B. 70        C. 68         D. 61        E. 51

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \text{U}_n = a + (n-1)b. Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut.
b = \dfrac{\text{U}_5 - \text{U}_1}{5 - 1} = \dfrac{11 - 3}{4} = 2
Suku ke-25 barisan tersebut adalah
\boxed{\text{U}_{25} = a + 24b = 3 + 24(2) = 51} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui barisan aritmetika dengan \text{U} _5 =17 dan \text{U}_{10} = 32. Suku ke-20 adalah \cdots
A. 57      B. 62     C. 67      D. 72      E. 77

Penyelesaian

Perhatikan bahwa \text{U}_5 = 17 dan \text{U}_{10} = 32.
Dari sini, kita mengetahui bahwa untuk setiap lima suku, bedanya adalah 32-17 = 15.
Dengan demikian,
\text{U}_{15} = 32+15 = 47 dan \text{U}_{20} = 47+15 = 62
Jadi, suku ke-20 barisan aritmetika tersebut adalah \boxed{62} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Dari suatu deret aritmetika, diketahui suku pertama adalah 20 dan suku keenam adalah 40. Jumlah sepuluh suku pertama dari deret tersebut adalah \cdots
A. 340      B. 350     C. 360        D. 370        E. 380

Penyelesaian

Diketahui a = 20 dan \text{U}_6 = 40.
Langkah pertama adalah mencari nilai b (beda) terlebih dahulu.
\begin{aligned} \text{U}_6 & = 40 \\ a + 5b & = 40 \\ 20 + 5b & = 40 \\ 5b & = 20 \\ b & = 4 \end{aligned}
Dengan demikian, akan dicari hasil dari \text{S}_{10} sebagai berikut.
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 4\right) \\ & = 5(40 + 36) \\ & = 5(76) = 380 \end{aligned}
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah \boxed{380}
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui
a + (a+1)+(a+2)+\cdots+50=1.139
Jika a bilangan bulat positif, maka nilai a = \cdots
A. 15         B. 16          C. 17          D. 18           E. 19

Penyelesaian

Perhatikan bahwa deret di atas merupakan deret aritmetika karena berselisih 1 dengan suku yang berdekatan. 
Banyaknya suku deret itu adalah
n = 50 - a + 1 = 51 - a
Diketahui S_{n} = 1.139, sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} S_n & = \dfrac{n} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_n) \\ 1.139 & = \dfrac{51 - a} {2}(a + 50) \\ 51a + 2.550 - a^2 - 50a & = 2.278 \\ a^2-a-272 & = 0 \\ (a - 17)(a + 16) & = 0 \end{aligned}
Jadi, diperoleh a = 17 atau a = -16
Karena a bulat positif, maka dipilih \boxed{a=17} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara \sqrt[3]{2.006} dan \sqrt{2.006} adalah \cdots
A. 908              D. 920
B. 912               E. 924
C. 916

Penyelesaian

Misalkan m adalah bilangan bulat yang terletak di antara \sqrt[3]{2.006} dan \sqrt{2.006}, maka ditulis
\sqrt[3]{2.006} < m < \sqrt{2.006} 
Diketahui bahwa 12^3 = 1.728, sedangkan 13^3 = 2.197, sehingga pembulatan ke atas dari \sqrt[3]{2.006} adalah 13
Diketahui juga bahwa 44^2 = 1.936 dan 45^2 = 2.025, sehingga pembulatan ke bawah dari \sqrt{2.006} adalah 44
Dengan demikian, dapat ditulis
13 \leq m \leq 44
Penjumlahan nilai-nilai m akan membentuk deret aritmetika dengan a = 13, n = 44-13+1 = 32, dan \text{U}_{32} = 44, sehingga
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_{32} & = \dfrac{32} {2}(13 + 44) \\ & = 16 \cdot 57 = 912 \end{aligned}
Jadi, hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara \sqrt[3]{2.006} dan \sqrt{2.006} adalah \boxed{912} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Suku ketiga suatu deret aritmetika adalah 11. Jumlah suku keenam hingga suku kesembilan ialah 134. Suku pertama dan beda deret itu berturut-turut adalah \cdots
A. 1 dan 3                D. 2 dan 4
B. 2 dan 5                E. 1 dan 5
C. 1 dan 4

Penyelesaian

Diketahui \color{red} {\text{U}_3 = a + 2b = 11}
Karena jumlah suku ke-6 sampai suku ke-9 adalah 134, kita peroleh
\begin{aligned} \text{U}_6 + \text{U}_7 +\text{U}_8 + \text{U}_9 & = 134 \\ (a + 5b) + (a + 6b) + (a + 7b) + (a + 8b) & = 134 \\ 4a + 26b & = 134 \\ 4\begingroup \color{red} {(a + 2b)} \endgroup + 18b & = 134 \\ 4(11) + 18b & = 134 \\ 44 + 18b & = 134 \\ 18b & = 90 \\ b & = 5 \end{aligned}
Karena b = 5, maka
a + 2b = 11 \Rightarrow a + 2(5) = 11 \Leftrightarrow a = 1
Jadi, suku pertama dan beda deret itu berturut-turut adalah \boxed{1} dan \boxed{5} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 17
Suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 5. Diketahui suku kesepuluh adalah dua kali suku keempat. Jumlah enam suku pertama barisan tersebut adalah \cdots
A. 55         B. 58          C. 61           D. 64           E. 67

Penyelesaian

Diketahui \text{U}_1 = a = 5
Karena suku kesepuluh adalah dua kali suku keempat, kita peroleh
\begin{aligned} \text{U}_{10} & = 2\text{U}_4 \\ a + 9b & = 2(a + 3b) \\ \text{Substitusi}~a&=5 \\ 5 + 9b & = 2(5+3b) \\ 5+9b&=10+6b \\ 9b-6b&=10-5 \\ 3b & = 5 \\ b & = \dfrac53 \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_6 & = \dfrac{6}{2}\left(2 \times 5 + (6-1)\times \dfrac53\right) \\ & = 3\left(10 + \dfrac{25}{3}\right) \\ & = 30 + 25 = 55 \end{aligned}
Jadi, jumlah enam suku pertama barisan tersebut adalah \boxed{55} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Di antara tiap dua suku bilangan 20, 68, dan 116 akan disisipkan 5 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. Jumlah seluruh bilangan yang disisipkan adalah \cdots
A. 680               D. 880
B. 694               E. 889
C. 740

Penyelesaian

Barisan aritmetika yang dimaksud adalah 
\begin{aligned} & 20, \text{U}_2, \text{U}_3, \text{U}_4,\text{U}_5,\text{U}_6, \\ & 68, \text{U}_8,\text{U}_9,\text{U}_{10},\text{U}_{11},\text{U}_{12}, 116 \end{aligned}
Diketahui:
\color{red} {\text{U}_1 = a = 20}
Karena \text{U}_7 = 68, diperoleh
\begin{aligned} \begingroup \color{red} {a} \endgroup + 6b & = 68 \\ 20+6b & = 68 \\ 6b &=48 \\ b&=8 \end{aligned}
Selanjutnya, akan dihitung jumlah 13 suku pertama barisan itu. 
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{13} & = \dfrac{13}{2}(2 \times 20 + (13-1)\times 8) \\ & = \dfrac{13}{2}(40 + 96) \\ & = \dfrac{13}{\cancel{2}} \times \cancelto{68}{136} = 884 \end{aligned}
Dengan demikian, jumlah semua bilangan yang disisipkan itu adalah
\boxed{\text{S}_{13} - 20 - 68 - 116 = 884-204 = 680} 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan \text{S}_n = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n. Suku ke-10 dari deret aritmetika tersebut adalah \cdots
A. 49                D. 33,5
B. 47,5             E. 29
C. 35

Penyelesaian

Ingat bahwa \text{U}_n = \text{S}_n - \text{S}_{n-1}
Dengan demikian, akan dicari nilai dari \text{S}_{10} dan \text{S}_9 sebagai berikut. 
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n \\ \text{S}_{9} & = \dfrac{5}{2}(9)^2 + \dfrac{3}{2}(9) \\ & = \dfrac{5 \times 81}{2} + \dfrac{27}{2} \\ & = \dfrac{405 + 27}{2} = 216 \end{aligned}
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{5}{2}(10)^2 + \dfrac{3}{\cancel{2}}(\cancelto{5}{10}) \\ & = \dfrac{5}{\cancel{2}}(\cancelto{50}{100})+ 15 \\ & = 250 + 15 = 265 \end{aligned} 
Dengan demikian, diperoleh
\text{U}_{10} = \text{S}_{10} - \text{S}_9 = 265-216 = 49
Jadi, suku ke-10 dari deret aritmetika tersebut adalah \boxed{49} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan \text{S}_n = 2n^2+4n. Suku ke-9 dari deret aritmetika tersebut adalah \cdots
A. 30         B. 34           C. 38         D. 42             E. 46

Penyelesaian

Ingat bahwa \text{U}_n = \text{S}_n - \text{S}_{n-1}
Dengan demikian, akan dicari nilai dari \text{S}_{9} dan \text{S}_8 sebagai berikut. 
\begin{aligned} \text{S}_n & = 2n^2+4n \\ \text{S}_{8} & = 2(8)^2 + 4(8) \\ & = 128 + 32 = 160 \end{aligned}
\begin{aligned} \text{S}_n & = 2n^2+4n \\ \text{S}_9 & = 2(9)^2 + 4(9) \\ & = 162+36=198 \end{aligned} 
Dengan demikian, diperoleh
\text{U}_{9} = \text{S}_{9} - \text{S}_8 = 198-160=38
Jadi, suku ke-9 dari deret aritmetika tersebut adalah \boxed{38} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jumlah 20 suku pertama suatu deret aritmetika ialah 500. Jika suku pertama ialah 5, maka suku terakhir deret itu adalah \cdots
A. 35       B. 39     C. 45       D. 48      E. 52

Penyelesaian

Diketahui: \text{S}_{20} = 500; \text{U}_1=a=5
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmetika, diperoleh
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_{20} & = \dfrac{20} {2}(5 + \text{U}_{20}) \\ \cancelto{50}{500} & = \cancel{10}(5+\text{U}_{20}) \\ 50 & = 5 + \text{U}_{20} \\ \text{U}_{20} & = 50-5 = 45 \end{aligned}
Jadi, suku terakhir deret itu adalah \boxed{45} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jumlah bilangan genap antara 1 dan 101 yang tidak habis dibagi 3 adalah \cdots
A. 1.742            D. 1.724
B. 1.734            E. 1.718
C. 1.730

Penyelesaian

Bilangan genap yang habis dibagi 3 adalah bilangan kelipatan 6.
Barisan bilangan kelipatan 6 dari 1 sampai 101 adalah
6, 12, 18, 24, \cdots, 96
yang merupakan barisan aritmetika
Diketahui: a=6, n = \dfrac{96}{6} = 16, dan \text{U}_n = \text{U}_{16} = 96
Jumlah tiap suku barisan ini dinyatakan oleh
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a+\text{U}_n) \\ \text{S}_{16} & = \dfrac{16}{2}(6+96) \\ & = 8(102) = 816 \end{aligned}
Selanjutnya, akan dicari jumlah bilangan dari 1 sampai 101, yaitu jumlah tiap suku dari barisan
1,2,3,4,\cdots, 101
yang merupakan barisan aritmetika dengan a=1, n = 101, dan \text{U}_{101} = 101, sehingga 
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a+\text{U}_n) \\ \text{S}_{101} & = \dfrac{101}{2}(1+101) \\ & = \dfrac{101}{\cancel{2}}(\cancelto{51}{102}) = 2.550 \end{aligned}
Dengan demikian, jumlah bilangan genap dari 1 sampai 101 yang tidak habis dibagi 3 adalah
\boxed{\text{S} = 2.550-816 = 1.734}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Jika x_{k+1} = x_k + \dfrac12 untuk k = 1,2,3,\cdots dan x_1=1, maka nilai dari x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} = \cdots
A. 40.000               D. 40.900
B. 40.300                E. 41.200
C. 40.600

Penyelesaian

Perhatikan bahwa x_{k+1} = x_k + \dfrac12 ekuivalen dengan x_{k+1} - x_k = \dfrac12. Selisih x_{k+1} dan x_k adalah konstan, yaitu \dfrac12 untuk setiap k \geq 1, sehingga x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} merupakan deret aritmetika dengan suku pertama x_1 = a = 1 dan b = \dfrac{1}{2}, serta n = 400
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} \\ & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ & = \dfrac{400}{2}\left(2(1) + (400-1) \cdot \dfrac12\right) \\ & = 200\left(2 + \dfrac{399}{2}\right) \\ & = 400 + 39.900 = 40.300 \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} = 40.300} 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24
Diketahui barisan aritmetika dengan beda positif memiliki suku tengah 17. Apabila jumlah n suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah 221 dan selisih antara suku ke-n dengan suku pertama adalah 24, maka suku pertama barisan tersebut adalah \cdots
A. 1           B. 4          C. 5             D. 6            E. 9

Penyelesaian

Selisih antara suku ke-n dengan suku pertama adalah 24, sehingga ditulis
\text{U}_n - \text{U}_1 = 24 \Leftrightarrow \text{U}_n = \text{U}_1 + 24
Karena suku tengah barisan aritmetika itu adalah 17, maka diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_1 + \text{U}_n} {2} & = 17 \\ \text{U}_1 + ( \text{U}_1 + 24) & = 17 \cdot 2 \\ 2\text{U}_1 & = 10 \\ \text{U}_1 & = 5 \end{aligned}
Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah \boxed{5} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Dalam suatu deret aritmetika, jumlah suku ke-3 dan ke-5 adalah 14, sedangkan jumlah 12 suku pertamanya adalah 129. Jika suku ke-n adalah 193, nilai n = \cdots
A. 118            D. 128
B. 122            E. 130
C. 126

Penyelesaian

Karena jumlah suku ke-3 dan ke-5 adalah 14, kita peroleh
\begin{aligned} \text{U}_3 + \text{U}_5 & = 14 \\ (a + 2b) + (a + 4b) & = 14 \\ 2a + 6b & = 14 \\ 2a & = 14-6b && (\bigstar) \end{aligned}
Karena jumlah 12 suku pertamanya adalah 129, kita peroleh
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{12}{2}((14-6b) + (12-1)b) \\ 129 & = 6(5b +14) \\ 129 & = 30b + 84 \\ 30b & = 45 \\ b & = \dfrac{45}{30} = \dfrac{3}{2} \end{aligned}
Substitusi nilai b = \dfrac32 ke persamaan \bigstar
\begin{aligned} 2a & = 14-\cancelto{3}{6}\left(\dfrac{3}{\cancel{2}} \right) \\ 2a & = 14 - 9 \\ 2a & = 5 \\ a & = \dfrac52 \end{aligned}
Diberikan bahwa suku ke-n adalah 193, maka kita tuliskan
\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ 193 & = \dfrac52 + (n-1)\left(\dfrac32\right) \\ \text{Kalikan}~2&~\text{di kedua ruas} \\ 386 & = 5 + (n-1)(3) \\ 381 & = 3(n-1) \\ n-1 & = \dfrac{381}{3} = 127 \\ n & = 128 \end{aligned}
Jadi, nilai n adalah \boxed{128} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 26 (\bigstar~\text{HOTS}~\bigstar)
Jumlah 5 suku pertama deret aritmetika adalah 20. Jika masing-masing suku dikurangi dengan suku ke-3, maka hasil kali suku ke-1, ke-2, ke-4, dan ke-5 adalah 324. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah \cdots
A. -4 atau 68
B. -52 atau 116
C. -64 atau 88
D. -44 atau 124
E. -56 atau 138

Penyelesaian

Diketahui \text{S}_5 = 20
Berdasarkan kalimat ke-2 pada soal di atas, diperoleh
\begin{aligned} \text{U}_1 - \text{U}_3 & = a - (a + 2b) = -2b \\ \text{U}_2 - \text{U}_3 & = (a + b) - (a + 2b) = -b \\ \text{U}_4 - \text{U}_3 & = (a + 3b) - (a + 2b) = b \\ \text{U}_5 - \text{U}_3 & = (a + 4b) - (a + 2b) = 2b \end{aligned}
berarti hasil kalinya menghasilkan
\begin{aligned} (-2b) (-b) (b) (2b) & = 324 \\ 4b^4 & = 324 \\ b^4 & = 81 \\ b & = \pm 3 \end{aligned}
Karena \text{S}_5 = 20, diperoleh
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_5 & = \dfrac{5}{2}(2a + (5-1)b) \\ 20 & = \dfrac{5}{2}(2a + 4b) \\ 4 & = a + 2b \end{aligned}
Untuk b = 3, diperoleh 
a + 2(3) = 4 \Leftrightarrow a = -2
Untuk b = -3, diperoleh 
a + 2(-3) = 4 \Leftrightarrow a = 10
Berikutnya, akan dicari nilai dari \text{S}_8
Untuk a = -2 dan b = 3, kita tulis
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_8 & = \dfrac{8}{2}(2 \cdot (-2) + (8-1) \cdot 3) \\ & = 4(-4 + 21) = 4(17) = 68 \end{aligned}
Untuk a = 10 dan b = -3, kita tulis
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{8} & = \dfrac{8}{2}(2 \cdot (10) + (8-1) \cdot (-3)) \\ & = 4(20 - 21) = 4(-1) = -4 \end{aligned}
Jadi, jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah \boxed{-4} atau \boxed{68} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 27
Pada barisan aritmetika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5. Suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-\cdots
A. 13       B. 11           C. 9           D. 7            E. 3

Penyelesaian

Diketahui \text{U}_{25} = 3\text{U}_5
Berdasarkan rumus suku ke-n barisan aritmetika, yaitu \text{U}_n = a + (n-1)b, diperoleh
\begin{aligned} a + 24b & = 3(a + 4b) a + 24b & = 3a + 12b \\ 2a & = 12b \\ a & = 6b \end{aligned}
Misalkan suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-n, sehingga kita tuliskan
\begin{aligned} \text{U}_n & = 2\text{U}_1 \\ a + (n-1)b & = 2a \\ (n-1)b & = a \\ \text{Substitusi}~a & = 6b \\ (n-1)\cancel{b} & = 6\cancel{b} \\ n - 1 & = 6 \\ n & = 7 \end{aligned}
Jadi, suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-7. (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 28
Diketahui jumlah suku-suku suatu barisan aritmetika adalah 585. Jika suku pertama ditambah 3, suku kedua ditambah 9, suku ketiga ditambah 15, dan seterusnya, maka diperoleh jumlah suku-suku barisan yang baru senilai 1.092. Jumlah suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir barisan tersebut adalah \cdots
A. 45               D. 180
B. 90               E. 225
C. 135

Penyelesaian

Misalkan jumlah suku-suku barisan aritmetika semula adalah \text{S}_k = \\text{U}_1 + \text{U}_2 + \cdots + \text{U}_k, sedangkan jumlah suku-suku barisan aritmetika yang baru adalah \text{S}_n, dengan
\begin{aligned} (\text{U}_1 + 3) + (\text{U}_2 + 9) & + (\text{U}_3 + 15) + \cdots + \\ & (\text{U}_k + x) = 1.092 \end{aligned}
Dengan mengelompokkan, kita tuliskan
\begin{aligned} (\text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \cdots & + \text{U}_k) + (3 \\ & + 9 + 15 + \cdots + x) = 1.092 \end{aligned} 
Dengan demikian, kita peroleh
\begin{aligned} 585 + (3 + 9 + 15 + \cdots + x) & = 1.092 \\ 3 + 9 + 15 + \cdots + x & = 507 \end{aligned}
Perhatikanlah bahwa deret 3 + 9 + 15 + \cdots + x merupakan deret aritmetika dengan suku pertama a = 3, b = 6, dan \text{S}_n = 507
Akan dicari nilai dari n
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ 507 & = \dfrac{n}{2}(2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 6) \\ 507 & = \dfrac{n} {2} (6 + 6n - 6) \\ 507 & = 3n^2 \\ n^2 & = 169 \\ n & = 13 \end{aligned}
Ini berarti, n = k = 13
Jumlah suku pertama dan suku terakhir barisan aritmetika semula dapat ditentukan dengan rumus \text{S}_k
\begin{aligned} \text{S}_k & = \dfrac{k} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_k) \\ 585 & = \dfrac{13} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_{13}) \\ (\text{U}_1 + \text{U}_{13}) & = \dfrac{585 \times 2}{13} = 90 \end{aligned}
Suku tengahnya adalah
\text{U}_7 & = \dfrac{\text{U}_1 + \text{U}_{13}} {2} = \dfrac{90}{2} = 45
Dengan demikian, hasil dari
\text{U}_1 + \text{U}_7 + \text{U}_{13} = 90 + 45 = 135
Jadi, jumlah suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir barisan tersebut adalah \boxed{135} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 29 (\bigstar~\text{HOTS}~\bigstar)
Jumlah 50 suku pertama dari deret \log 5 + \log 55 + \log 605 + \log 6.655 + \cdots adalah \cdots
A. \log (55^{1.150})
B. \log (5^{25} \cdot 11^{1.225})
C. \log (25^{25} \cdot 11^{1.225})
D. \log (275^{1.150})
E. 1.150 \log 5

Penyelesaian

Deret di atas merupakan deret aritmetika dengan suku pertama a = \log 5 dan b = \log 11. Untuk itu, 
\text{U}_2 = \log 5 + \log 11 = \log 55
Dengan demikian, 
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{50} & = \dfrac{50}{2}(2 \cdot \log 5 + (50-1) \cdot \log 11) \\ & = 25(\log 25 + \log 11^{49}) \\ & = \log 25^{25} + \log (11^{49})^{25} \\ & = \log 25^{25} + \log 11^{1.225} \\ & = \log (25^{25} \cdot 11^{1.225}) \end{aligned}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 30
Bilangan ^y \log (x-1), ^y \log (x+1), dan ^y \log (3x-1) merupakan tiga suku deret aritmetika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah 6, maka nilai x + y adalah \cdots
A. 2         B. 3            C. 4               D. 5             E. 8

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \text{U}_1 & = ^y \log (x-1) && x > 1 \\ \text{U}_2 & = ^y \log (x+1) && x > -1 \\ \text{U}_3 & = ^y \log (3x-1) && x > \dfrac13 \end{aligned}
Catatan: Dalam logaritma, numerus harus bernilai positif. Irisan dari ketiga syarat nilai x untuk masing-masing numerus adalah x > 1
Dalam barisan aritmetika, berlaku hubungan \boxed{2\text{U}_2 = \text{U}_1 + \text{U}_3}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} 2 ^y \log (x+1) & = ^y \log (x-1) + ^y \log (3x-1) \\ ^y \log (x+1)^2 & = ^y \log [(x-1)(3x-1)] \\ (x+1)^2 & = (x-1)(3x-1) \\ x^2+2x+1 & = 3x^2-4x+1 \\ 2x^2-6x & = 0 \\ 2x(x-3) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh nilai x = 0 atau x = 3
Karena numerus memberikan syarat x > 1, maka nilai x = 0 tidak boleh dipilih. Jadi, nilai x yang memenuhi hanya x = 3
Karena jumlah ketiga suku tersebut adalah 6, maka kita tulis
\begin{aligned} & ^y \log (x-1) + ^y \log (x+1) + ^y \log (3x-1) = 6 \\ & \text{Substitusikan}~x = 3 \\ & ^y \log (3-1) + ^y \log (3+1) + ^y \log (3(3)-1) = 6 \\ & ^y \log 2 + ^y \log 4 + ^y \log 8 = ^y \log y^6 \\ & ^y \log (2 \cdot 4 \cdot 8) = ^y \log y^6 \\ & 2^6 = y^6 \\ & y = 2 \end{aligned}
Catatan: y tidak boleh bernilai -2 karena dapat menimbulkan fallacy (sesat nalar) bila disubstitusikan kembali ke bentuk logaritmanya. 
Jadi, nilai dari \boxed{x+y=3+2=5}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 31
Jika diketahui
\begin{aligned} (1+3+5+\cdots+a) & +(1+3+5+\cdots+b) \\ & = 1+3+5+\cdots+25 \end{aligned}
maka nilai a+b adalah \cdots
A. 24        B. 28         C. 32        D. 36        E. 40

Penyelesaian

Berdasarkan deret bilangan ganjil, diketahui
1+3+5+\cdots+n = \left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2
Perhatikan bahwa deret 1+3+5+\cdots+25 sama dengan \left(\dfrac{25+1}{2}\right)^2 = 13^2
Berdasarkan rumus Pythagoras, tripel Pythagoras yang memuat 13 sebagai bilangan terbesar dan dua bilangan lainnya merupakan bilangan bulat adalah (5, 12, 13)
Ini berarti, deret (1+3+5+\cdots+a) = 5^2, sehingga a = (5 \times 2) - 1 = 9, sedangkan deret (1+3+5+\cdots+b) = 12^2, sehingga b = (12 \times 2) - 1 = 23
Jadi, nilai dari \boxed{a+b=9+23=32}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 32
Diketahui rumus jumlah suku ke-n suatu barisan aritmetika adalah \text{S}_n = 2n^2+n. Nilai dari \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1} adalah \cdots
A. 6n^2+8n+1
B. 6n^2-8n+1 
C. 8n^2-6n+1
D. 8n^2+6n+1
E. 8n^2-6n-1

Penyelesaian

Cara 1: Standar
Diketahui: \text{S}_n = 2n^2+n.
Substitusi n=1, diperoleh
\text{S}_1 = 2(1)^2+1=3
Substitusi n=2, diperoleh
\text{S}_2 = 2(2)^2+2=10
Substitusi n=1, diperoleh
\text{S}_3 = 2(3)^2+3=21 
Dari sini, didapat 
\begin{aligned} \text{U}_1 & = \text{S}_1 = 3 \\ \text{U}_2 & = \text{S} _2 - \text{S}_1 = 10-3=7 \\ \text{U}_3 & = \text{S} _3 - \text{S}_2 = 21-10=11 \end{aligned}
Barisan aritmetika: 3, 7, 11, \cdots
dengan a=3 dan b=4
Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah
\begin{aligned} \text{U}_n & = a+(n-1)b \\ & = 3+(n-1)(4) \\ & = 4n - 1 \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} & \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1} \\ & = 3 + 11 + 19 + \cdots + 4(2n-1)-1 \\ & = \underbrace{\dfrac{2n-1}{2}(3 + 4(2n-1) - 1)}_{\text{rumus S}_n} \\ & = \dfrac{2n-1}{2}(8n-2) \\ & = \dfrac{16n^2-12n+2}{2} = 8n^2-6n+1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1}} =8n^2-6n+1}
Cara 2: Trik Cepat
Diketahui: \text{S}_n = 2n^2+n.
Substitusi n=1, diperoleh
\text{S}_1 = 2(1)^2+1=3 
Cek pilihan gandanya sekarang. 
Substitusi n=1 juga harus menghasilkan 3.
Pilihan C memenuhi: 8n^2-6n+1 = 8(1)^2-6(1)+1=3
sedangkan pilihan lainnya tidak. 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 33
Misal \text{U}_n suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a dan b. Jika b=2a dan \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \text{U}_7 + \text{U}_{9} = 90, maka nilai dari \text{U}_8 + \text{U}_{10} + \text{U}_{12} + \text{U}_{14} + \text{U}_{16} = \cdots
A. 210                      D. 240
B. 220                      E. 250
C. 230

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} & b = 2a \\ & \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \text{U}_7 + \text{U}_{9} = 90 \end{aligned}
Akan dicari nilai a dan b terlebih dahulu sebagai berikut.
\begin{aligned} & \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \text{U}_7 + \text{U}_{9} = 90 \\ & a + (a + 2b) + (a+4b)+(a+6b)+ (a+8b) = 90 \\  & 5a + 20b = 90 \\ & a + 4b= 18 \\ & \text{Substitusikan}~b = 2a \\ & a + 4(2a) = 18 \\ & 9a = 18 \\ & a = 2 \end{aligned}
Substitusi a = 2 pada b=2a, sehingga didapat b = 2(2)= 4.
Untuk itu,
\begin{aligned} & \text{U}_8 + \text{U}_{10} + \text{U}_{12} + \text{U}_{14} + \text{U}_{16}\\ & = (a + 7b) + (a + 9b)+ (a+11b)+ (a+13b)+ (a+15b) \\ & = 5a + 55b \\ & = 5(2) + 55(4) = 230 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \text{U}_8 + \text{U}_{10} + \text{U}_{12} + \text{U}_{14} + \text{U}_{16} adalah \boxed{230}
(Jawaban C)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini