Soal dan Pembahasan – Analisis Kurva Kompleks dan Integral Kontur (Integral Garis)

Berikut ini adalah kumpulan soal beserta pembahasannya mengenai analisis kurva kompleks (termasuk Kurva Yordan) dan integral kontur (integral garis) yang didapat dari berbagai referensi. Beberapa soal merupakan soal olimpiade tingkat perguruan tinggi bidang Analisis Kompleks dan juga soal-soal yang diujikan saat Ujian Akhir Semester (UAS) sehingga dapat dijadikan sebagai referensi/sumber belajar. Selamat belajar! Jika ada pertanyaan/perbaikan, silakan ajukan di kolom komentar.



Persamaan Integral Cauchy
Jika f(z) analitik dalam domain D yang terhubungkan sederhana, maka untuk sembarang titik z_0 dalam D dan sembarang lintasan tertutup sederhana C dalam D yang melingkungi z_0 berlaku
\boxed{\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {z -z_0}= 2\pi if(z_0)}
Pengintegralannya dilakukan dalam arah berlawanan jarum jam.

Turunan dari Fungsi Hasil Integral Cauchy
Jika f(z) analitik dalam domain D, maka f(z) mempunyai turunan semua ordo di dalam D, yang semuanya juga analitik dalam D. Nilai turunan di titik z_0 itu dinyatakan sebagai
f'(z_0) = \displaystyle \dfrac{1}{2\pi i} \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z-z_0)^2}~dz
Secara umum, dapat ditulis
\boxed{f^n(z_0) = \displaystyle \dfrac{n!} {2\pi i} \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z-z_0)^{n+1}}~dz}
atau
\boxed{\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z-z_0)^{n+1}}~dz = f^n(z_0) \times \dfrac{2\pi i} {n!}}

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari integral kompleks \int \limits_{C} \cos z~dz jika C adalah setengah lingkaran |z| = \pi, x \geq 0 dari -\pi i ke \pi i

Penyelesaian

Dalam mata kuliah kalkulus, diketahui bahwa
\boxed{\int \cos x~dx = \sin x + C}
Jadi,
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \cos z~dz & = \int_{-\pi i}^{\pi i} \cos z~dz \\ & = [\sin z]_{-\pi i}^{\pi i} \\ & = \sin \pi i + \sin \pi i = 2 \sin \pi i \end{aligned}
Karena \sin iz = i~\sinh z, berarti dapat ditulis,
\boxed{\int \limits_{C} \cos z~dz = 2 \sin \pi i = 2i \sinh \pi}

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari \displaystyle \int \limits_{C} f(z)~dz jika f(z) = y - x + 6ix^2 dan C terdiri atas dua penggal garis dari z = 0 sampai z = i dan dari z = i sampai z = 1 +i adalah \cdots

Penyelesaian

Integral garis dalam kasus ini memberikan
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} & (y - x + 6ix^2)~(dx + idy) \\ & = \int \limits_{C} (y - x +6ix^2)~dx + \int \limits_{C} (iy - ix - 6x^2)~dy \end{aligned}
Garis dari z = 0 sampai z = i sama dengan garis dari titik (0,0) ke (0,1) berarti x = 0 sehingga dx = 0
Jadi, integralnya ditulis
\int_0^{1} 0 + \int_0^{1} (iy - 0)~dy = \left[\dfrac{i} {2}y^2\right]_0^{1} = \dfrac{i} {2}
Selanjutnya, garis dari z = i sampai z = 1+i sama dengan garis dari titik (0,1) ke (1, 1) berarti y = 1 sehingga dy = 0
Jadi, integralnya ditulis
\begin{aligned} \int_0^{1} (1-x+6ix^2)~dx + \int_0^{1} 0 & = \left[x - \dfrac{1}{2}x^2 + 2ix^3\right]_0^{1} \\ & = 1 -\dfrac{1}{2} + 2i \\ & = \dfrac{1}{2} +2i \end{aligned}
Ini berarti, nilai dari \int_C f(z) ~dz yang dimaksud adalah
\dfrac{i} {2}+ \dfrac{1}{2} +2i = \boxed{\dfrac{1+5i} {2}}

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah \int \limits_{C} \overline{z}~dz dari z = 0 ke z = 4 + 2i sepanjang kurva C yang diberikan oleh
a) z = t^2 + it
b) garis z = 0 ke z = 2i kemudian dari z = 2i ke z = 4 + 2i

Penyelesaian

(Jawaban a)
Diketahui z = t^2+it berarti konjugatnya adalah \overline{z} = t^2-it
Titik z = 0 dan z = 4+2i berkaitan dengan t = 0 dan t = 2 (akan menjadi batas bawah dan atas integral). Selain itu, dari z = t^2+it, diperoleh
dz = (2t + i)~dt
Jadi, integral garisnya diberikan oleh
\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{2} (t^2-it)(2t+i)~dt & = \int_{0}^{2} (2t^3-it^2+t) ~dt \\ & = \boxed{10 - \dfrac{8}{3}i} \end{aligned}
(Jawaban b)
Integral garis yang diberikan adalah
\begin{aligned} \int \limits_{C} (x-iy)&(dx + i~dy) = \int_C (x~dx + y~dy) \\ & + i \int_C (x~dy - y~dx) \end{aligned}
Garis dari z = 0 ke z = 2i sama dengan garis dari titik (0,0) ke (0,2), sehingga x = 0, dx = 0, dan integral garisnya adalah
\int_{y=0}^{2} (0 +y~dy) + i \int_{y = 0}^{2}(0 - 0) = \int_{y = 0}^{2} y~dy = 2
Garis dari z = 2i ke z = 4+2i sama dengan garis dari titik (0,2) ke (4,2), sehingga y = 2, dy = 0, dan integral garisnya adalah
\begin{aligned}& \int_{x=0}^{4} (x~dx + 0) + i \int_{x = 0}^{4}(0 - 2~dx) \\ & = \int_{x = 0}^{4} x~dx + \int_{x =0}^{4} (-2)~dx \\ & = 8 - 8i \end{aligned}
Jadi, nilai yang diinginkan adalah
(2) + (8 - 8i) = 10 - 8i

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan letak dan nama kesingularan dari f(z) = \dfrac{z^3+2}{(z - 2)^3}

Penyelesaian

Titik singular adalah titik di mana suatu fungsi tidak memiliki turunan. Sedangkan kesingularan adalah keadaan di mana suatu titik pada bidang kompleks menjadi titik singular.
Fungsi f untuk kasus ini memiliki kesingularan kutub berderajat 3 di z = 2 (perhatikan penyebutnya).
Untuk memeriksa kesingularan di z = \infty, andaikan bahwa w = 0 dan z = \dfrac{1}{w}, sehingga
\begin{aligned} f(z) & = f\left(\dfrac{1}{w} \right)\\ &  = \dfrac{\dfrac{1}{w^3} + 2}{\left(\dfrac{1}{w} -2\right)^3} \\ & = \dfrac{1 + 2w^3}{(1-2w)^3} \end{aligned}.
Dari bentuk ini, kita dapatkan bahwa tidak terjadi kesingularan saat w = 0, yang artinya f tidak memiliki kesingularan di z = \infty

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Jika C: persegi panjang dengan titik sudut 2 + 2i, -2 + 2i, -2 - 2i, dan 2 - 2i, dengan C berorientasi positif, nilai dari
\displaystyle \oint \dfrac{\cos z} {z(z^2-8)}~dz adalah \cdots

Penyelesaian

C adalah kurva yang membentuk bangun persegi pada bidang kompleks. Perhatikanlah bahwa titik singular integran, yaitu z = 0 berada dalam C, sedangkan z^2 - 8 = 0 \Rightarrow z = \pm\sqrt{8} tidak berada dalam C, jadi dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \oint \dfrac{\cos z} {z(z^2-8)}~dz & = \oint \dfrac{\cos z}{z^2-8} \times \dfrac{dz}{z} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\cos z}{z^2 - 8}\right]_{z = 0} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\cos 0}{0 - 8}\right] \\ & = \boxed{-\dfrac{1}{4} \pi i} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitunglah dengan Rumus Cauchy
\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{\cos \pi z} {z^2-1}

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 7
Hitunglah integral kompleks
\displaystyle \int \limits_{C} ze^{z^2}~dz, C adalah kurva dari 1 menuju i sepanjang sumbu kompleks.

Penyelesaian

Integral ini dapat diselesaikan dengan metode substitusi.
Misal u = z^2 berarti du =2z~dz atau z~dz = \dfrac{du} {2}, sehingga
\displaystyle \int \limits_{C} ze^{z^2}~dz = \dfrac{1}{2} \int \limits_{C_1} e^u~du
di mana C_1 adalah kurva hasil transformasi C karena adanya perubahan variabel integrasi.
Perhatikan pada kurva C:
z_0 = 1 (batas bawah)
z_1 = i (batas atas)
berarti pada kurva C_1 (pemisalan u = z^2) :
u_0 = 1^2 = 1 (batas bawah)
u_1 = i^2 = -1 (batas atas)
Selanjutnya, kita siap menghitung integralnya.
\begin{aligned} \displaystyle \dfrac{1}{2} \int \limits_{C_1} e^u~du & = \dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_{1}^{-1} \\ & = \dfrac{1}{2}(e^{-1} - e^1) \\ & = -\dfrac{1}{2}(e^1 - e^{-1}) \\ & = \boxed{-\sinh 1} \end{aligned}
Catatan:
Hal yang perlu Anda perhatikan:
\boxed{\sinh z = \dfrac{1}{2}(e^z - e^{-z})}

[collapse]

Soal Nomor 8
Hitunglah \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{e^z} {z - 2}~dz dengan integral Cauchy.

Penyelesaian

\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{e^z} {z - 2}~dz = 2\pi i e^z\left|_{z = 2} = \boxed{2\pi i e^2}
untuk setiap kontur (lintasan tertutup sederhana) yang melingkungi z_0 = 2 dan bernilai 0 untuk setiap kontur yang tidak melingkungi z_0 = 2.

[collapse]

Soal Nomor 9
Hitunglah \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^3-6}{2z-i}~dz dengan menggunakan integral Cauchy.

Penyelesaian

\begin{aligned} \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^3-6}{2z-i}~dz & = \oint \limits_{C} \dfrac{\dfrac{z^3-6}{2}} {z - \dfrac{i} {2}}~dz \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{z^3-6}{2}\right]_{z = \dfrac{i} {2}} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\dfrac{-i} {8} - 6}{2} \right] \\ & = \boxed{\dfrac{\pi} {8} - 6\pi i} \end{aligned}
untuk setiap kontur yang melingkungi z_0 = \dfrac{i} {2} di mana z_0 terletak di dalam C.

[collapse]

Soal Nomor 10
Integralkan \dfrac{z^2}{z^2+1} dengan arah berlawanan jarum jam sepanjang lingkaran |z + i| = 1

Penyelesaian

Perhatikan bahwa C adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di (0,-1) beradius 1.
\displaystyle \begin{aligned} \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{z^2+1}& ; C: |z + i| = 1 \\ & = \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{z-i}. \dfrac{dz} {z+i} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{z^2}{z-i} \right] _{z = -i} \\ & = 2\pi i \times \dfrac{-1}{-i-i} \\ & = -\pi \end{aligned}
untuk setiap kontur yang melingkungi z = -i termasuk dalam kasus ini C: |z + i| = 1

[collapse]

Soal Nomor 11
Integralkan \dfrac{z^2}{z^4-1} dengan arah berlawanan jarum jam sepanjang lingkaran |z - 1| = 1

Penyelesaian

Perhatikan bahwa C adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di (1, 0) beradius 1.
\displaystyle \begin{aligned} \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{z^4-1} & ; C: |z - 1| = 1 \\ & = \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{(z^2+1)(z+1)}. \dfrac{dz} {z-1} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{z^2}{(z^2+1)(z+1)} \right] _{z = 1} \\ & = 2\pi i \times \dfrac{1}{(1+1)(1+1)} \\ & = \dfrac{1}{2}\pi i \end{aligned}
untuk setiap kontur yang melingkungi z = 1 termasuk dalam kasus ini C: |z - 1| = 1

[collapse]

Soal Nomor 12
Integralkan \dfrac{1}{4z + i} dengan arah berlawanan jarum jam sepanjang lingkaran satuan.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa C adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di (0, 0) beradius 1 (lingkaran satuan).
\displaystyle \begin{aligned}& \oint \limits_{C} \dfrac{1}{4z + i}~dz ; C: |z| = 1 \\ & = \oint \limits_{C} \dfrac{\dfrac{1}{4}}{z + \dfrac{i} {4}}~dz \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{1}{4}\right] _{z = -\frac{i}{4}\\ & = \dfrac{\pi i} {2} \end{aligned}
untuk setiap kontur yang melingkungi z = -\dfrac{i}{4} termasuk dalam kasus ini C: |z|= 1

[collapse]

Soal Nomor 13
Hitunglah integral kompleks \displaystyle \oint \limits_{|z| = 2} z^2e^{2z}~dz.

Penyelesaian

Fungsi f(z) = z^2e^{2z} merupakan fungsi analitik karena merupakan hasil perkalian polinom z^2 dan bentuk eksponensial e^{2z} yang keduanya merupakan fungsi analitik. (Ingat: suatu fungsi dikatakan analitik pada domain D jika fungsinya terdefinisi dan dapat diturunkan pada setiap titik dari D). Lintasannya (pada integral) adalah |z| = 2 yang merupakan lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 2, sehingga merupakan lintasan tertutup. Menurut akibat Teorema Cauchy-Goursat, diperoleh 
\boxed{\displaystyle \oint \limits_{|z| = 2} z^2e^{2z}~dz = 0} 

[collapse]

Soal Nomor 14
Hitunglah integral kompleks \displaystyle \oint_{C} e^{-x}e^{-iy}~dz jika C adalah persegi dengan titik-titik sudut 0, 1, 1 + i, i

Penyelesaian

Perhatikan integran f(z) = e^{-x}e^{-iy} = e^{-x - iy} = e^{-z} yang merupakan fungsi analitik. Karena lintasannya berupa persegi (lintasan tertutup), maka dengan menggunakan Teorema Cauchy-Goursat, dapat disimpulkan bahwa
\boxed{\displaystyle \oint_{C} e^{-x}e^{-iy}~dz = 0}

[collapse]

Soal Nomor 15
Integralkan fungsi berikut dalam arah berlawanan jarum jam sepanjang lingkaran satuan.
a) \dfrac{z^2}{(2z-1)^2}
b) \dfrac{z^3}{(2z+1)^3}

Penyelesaian

Ingat bahwa
\boxed{\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z - z_0)^{n+1}} = f^n(z_0)\dfrac{2\pi i} {n!}}
Dengan demikian,
(Jawaban a)
\begin{aligned} \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{(2z-1)^2}~dz & = \dfrac{1}{4} \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{\left(z - \dfrac{1}{2}\right)^2}~dz \\ & = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{d}{dz}(z^2)\right] _{z= \dfrac{1}{2}} \times \dfrac{2\pi i} {1!} \\ & = \dfrac{1}{2}\pi i \end{aligned}
(Jawaban b)
\begin{aligned} \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^3}{(2z+i)^3}~dz & = \dfrac{1}{8} \oint \limits_{C} \dfrac{z^3}{\left(z + \dfrac{i}{2}\right)^3}~dz \\ & = \dfrac{1}{8}\left[\dfrac{d}{dz^2}(z^3)\right] _{z = -\dfrac{i}{2}} \times \dfrac{2\pi i} {2!} \\ & = \dfrac{3}{8}\pi \end{aligned}

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini