Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Non-Homogen) dengan Koefisien Konstan

Berikut ini disajikan beberapa soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan diferensial linear orde dua (non-homogen) dengan koefisien konstan. Metode yang digunakan melibatkan penyelesaian PD homogennya, sehingga Anda diharuskan sudah menguasai teknik penyelesaiannya. 

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan

Gunakan bantuan tabel FUC di bawah untuk mengerjakan soal-soal berikut ini.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{No.} & \text{Fung}\text{si Undetermined Coefficient (FUC)} & \text{Himp}\text{unan Undetermined Coefficient (HUC)} \\ \hline 1 & x^n & \{x^n, x^{n-1}, \cdots, x, 1\} \\ \hline 2 & e^{ax} & \{e^{ax}\}, a \neq 0 \\ \hline 3 & \sin (bx+c)~\text{atau}~\cos (bx+c) & \{\sin (bx+c, \cos (bx+c)\}, b \neq 0 \\ \hline 4 & x^ne^{ax} & \{x^ne^{ax}, x^{n-1}e^{ax}, \cdots, xe^{ax}, e^{ax}\}, a \neq 0 \\ \hline 5 & x^n \sin (bx + c)~\text{atau}~x^n \cos (bx + c) & \{x^n \sin (bx+c), x^n \cos (bx+c), x^{n-1} \sin (bx+c), x^{n-1} \cos (bx+c), \cdots, \sin (bx+c), \cos (bx+c)\}, b \neq 0 \\ \hline 6 & e^{ax} \sin (bx+c)~\text{atau}~e^{ax} \cos (bx+c) & \{e^{ax} \sin (bx+c), e^{ax} \cos (bx+c)\}, a \neq 0, b \neq 0 \\ \hline 7 & x^n e^{ax} \sin (bx+c)~\text{atau}~x^n e^{ax} \cos (bx+c) &  \{x^n e^{ax} \sin (bx+c), x^n e^{ax} \cos (bx+c), x^{n-1} e^{ax} \sin (bx+c), x^{n-1} e^{ax} \cos (bx+c),  \cdots, e^{ax} \sin (bx+c), e^{ax} \cos (bx+c)\}, a \neq 0, b \neq 0 \\ \hline \end{array}$$

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial (Tingkat Dasar)

Soal Nomor 1
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 3y = 5$.

Pembahasan

PD di atas bukan PD homogen sebab ruas kanannya mengandung konstanta tak nol. Gunakan cara yang sama seperti mencari penyelesaian umum PD homogen. Persamaan karakteristiknya adalah $m^2- 2m- 3 = (m- 3)(m + 1) = 0$. Dengan demikian, akar karakteristiknya adalah $m = 3 \lor m =-1$. Berarti, penyelesaian umum PD homogen terkait adalah $y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}$. Dengan memperhatikan koefisien $y$ pada PD, kita dapatkan bahwa perlu adanya konstanta baru yang bila dikalikan dengan $-3$, hasilnya $5$.  Konstanta itu adalah $-\dfrac{5}{3}$. Jadi, solusi umum PD tersebut adalah
$\boxed{y = y_c- \dfrac{5}{3} = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}- \dfrac{5}{3}}$.

[collapse]

Soal Nomor 2
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 3y = 2e^{4x}$.

Pembahasan

Langkah pertama adalah menentukan solusi komplementer (umum) untuk PD homogen terkait, yaitu
$\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 3y = 0$
Persamaan karakteristiknya adalah $m^2- 2m- 3 = 0$, dengan akar karakteristik $m = 3$ dan $m =-1$. Jadi, solusi umumnya adalah $y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}$
Langkah selanjutnya adalah menentukan solusi partikulir (solusi khusus) PD non-homogen tersebut.
Misalkan $y_p = Ae^{4x}$ merupakan solusi khususnya, sehingga $y’ = 4Ae^{4x}$ dan $y^{\prime \prime} = 16Ae^{4x}$. Substitusikan ke PD, diperoleh
$16Ae^{4x}- 2(4Ae^{4x})- 3Ae^{4x} = 2e^{4x}$
$\Leftrightarrow 5Ae^{4x} = 2e^{4x}$
$\Leftrightarrow A = \dfrac{2}{5}$

Berarti, solusi khususnya adalah $y_p = \dfrac{2}{5}e^{4x}$
Solusi umum PD itu adalah
$\boxed{y = y_c + y_p = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{2}{5}e^{4x}}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Soal Nomor 3
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 3y = 2e^{3x}$.

Pembahasan

Solusi umum PD non-homogen terkait adalah $y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}$. Sekarang, kita akan menentukan solusi khusus PD homogennya dengan cara yang sama seperti sebelumnya.
Misalkan $y_p = Ae^{3x}$ merupakan solusi khususnya, sehingga $y’ = 3Ae^{3x}$ dan $y^{\prime \prime} = 9Ae^{3x}$. Substitusikan ke PD, diperoleh
$9Ae^{3x}- 2(3Ae^{3x})- 3Ae^{3x} = 2e^{3x}$
$0 = 2e^{3x}$

Dalam hal ini, kita menemukan bahwa nilai $A$ menjadi sembarang konstanta, sebab pada solusi umum $y_c$ sudah terkandung suku dengan ekspresi $e^{3x}$.
Ulangi step dengan memisalkan $y_p = Axe^{3x}$ sebagai solusi khususnya, sehingga $y_p’ = 3Axe^{3x} + Ae^{3x}$ dan $y_p” = 9Axe^{3x} + 6Ae^{3x}$.
Substitusikan ke PD hingga diperoleh

$\begin{aligned} (9Axe^{3x} + 6Ae^{3x}) &- 2(3Axe^{3x} + Ae^{3x}) \\ &- 3Axe^{3x} = 2e^{3x} \end{aligned}$
$\Leftrightarrow 4Ae^{3x} = 2e^{3x}$
$\Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}$

Jadi, $y_p = \dfrac{1}{2}xe^{3x}$
Dengan demikian, solusi umum PD homogen tersebut adalah
$\boxed{y = y_c + y_p = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{1}{2}xe^{3x}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 3\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y = 4x^2$.

Pembahasan

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah $y_c = C_1e^{2x} + C_2e^{x}$
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah $\{x^2, x, 1\}$. Misalkan
$y_p = Ax^2 + Bx + C$ adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
$y_p’ =2Ax + B$ dan $y_p^{\prime \prime} = 2A$
Substitusikan ke PD:
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 3\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y & = 4x^2 \\ 2A-3(2Ax + B) + 2(Ax^2 + Bx + C) & = 4x^2 \\ 2Ax^2 + (-6A + 2B)x + (2A- 3B + 2C) & = 4x^2 \end{aligned}$$Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases} 2A & = 4 \\-6A+ 2B & = 0 & \\ 2A- 3B + 2C & = 0 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh
$\begin{cases} A = 2 & \\ B = 6 & \\ C = 7 \end{cases}$
Jadi, $y_p = 2x^2 + 6x + 7 $
Solusi umumnya adalah $y = y_c + y_p$, yaitu
$\boxed{y = C_1e^{2x} + C_2e^{x} + 2x^2 + 6x + 7 }$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah

Soal Nomor 5
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 8y = 4e^{2x}- 21e^{-3x}$.

Pembahasan

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah $y_c = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}$
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah $\{e^{2x}, e^{-3x}\}$. Misalkan
$y_p = Ae^{2x}+ Be^{-3x}$ adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
$y_p’ = 2Ae^{2x}- 3Be^{-3x}$ dan $y_p^{\prime \prime}  = 4Ae^{2x} + 9Be^{-3x}$
Substitusikan ke PD:
$$\begin{aligned} \dfrac{d^2y}{\text{d}x^2}- 2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 8y & = 4e^{2x}- 21e^{-3x} \\ (4Ae^{2x} + 9Be^{-3x})- 2(2Ae^{2x}- 3Be^{-3x})- 8(Ae^{2x}+ Be^{-3x}) & = 4e^{2x}- 21e^{-3x} \\ (-8A)e^{2x} + 7Be^{-3x} & = 4e^{2x}- 21e^{-3x} \end{aligned}$$Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases}-8A & = 4  \\ 7B & =-21 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh
$\begin{cases} A =-\dfrac{1}{2} & \\ B =-3 \end{cases}$
Jadi, $y_p =-\dfrac{1}{2}e^{2x}- 3e^{-3x}$
Solusi umumnya adalah $y = y_c + y_p$, yaitu
$\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}-\dfrac{1}{2}e^{2x}- 3e^{-3x}}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 3y = 2e^x- 10 \sin x$.

Pembahasan

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah $y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}$
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah $\{e^x, \sin x, \cos x\}$. Misalkan
$y_p = Ae^x + B \sin x + C \cos x$ adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
$y_p’ = Ae^x + B \cos x- C \sin x$
$y_p^{\prime \prime} = Ae^x- B \sin x- C \cos x$
Substitusikan ke PD:
$\dfrac{d^2y}{\text{d}x^2}- 2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 3y = 2e^x- 10 \sin x$
$\begin{aligned} \Leftrightarrow & (Ae^x -B \sin x- C \cos x) -2(Ae^x + \\ &  B \cos x- C \sin x) -3( Ae^x + B \sin x + \\ &  C \cos x) = 2e^x- 10 \sin x \end{aligned}$
$\begin{aligned} \Leftrightarrow & -4Ae^x + (-4B + 2C) \sin x + \\ &  (-2B- 4C) \cos x = 2e^x- 10 \sin x \end{aligned}$
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases}-4A = 2 & \\-4B + 2C =-10 & \\-2B- 4C = 0 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh
$\begin{cases} A =-\dfrac{1}{2} & \\ B =2 & \\ C =-1 \end{cases}$
Jadi, $y_p =-\dfrac{1}{2}e^x + 2\sin x- \cos x$
Solusi umumnya adalah $y = y_c + y_p$, yaitu
$$\boxed{y = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}- \dfrac{1}{2}e^x + 2\sin x- \cos x}$$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Eksak

Soal Nomor 7
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} +2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 5y = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x$.

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD homogen terkait adalah $m^2 + 2m + 5 = 0$. Akar karakteristiknya (gunakan rumus kuadrat) adalah $m =-1 \pm 2i$ sehingga solusi umumnya adalah
$y_c = e^{-x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)$
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah $\{\sin 2x, \cos 2x\}$. Misalkan
$y_p = A \sin 2x + B \cos 2x$ adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
$y_p’ = 2A \cos 2x- 2B \sin 2x$
$y_p^{\prime \prime} =-4A \sin 2x- 4B \cos 2x$
Substitusikan ke PD:
$\dfrac{d^2y}{\text{d}x^2} +2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 5y = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x$
$\begin{aligned} \Leftrightarrow & (-4A \sin 2x- 4B \cos 2x)  + 2(2A \cos 2x \\ & -2B \sin 2x) + 5(A \sin 2x + B \cos 2x) \\ & = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x \end{aligned}$
$\begin{aligned} \Leftrightarrow & (A- 4B)\sin 2x + (4A + B)\cos 2x \\ & = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x \end{aligned}$
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases} A-4B = 6 & \\ 4A+B= 7 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh
$\begin{cases} A = 2 & \\ B =-1 \end{cases}$
Jadi, $y_p = 2 \sin 2x- \cos 2x$
Solusi umumnya adalah $y = y_c + y_p$, yaitu
$$\boxed{y = e^{-x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x) + 2 \sin 2x- \cos 2x}$$

[collapse]

Soal Nomor 8
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} +2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y = 10 \sin 4x$.

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD homogen terkait adalah $m^2 + 2m + 2 = 0$. Akar karakteristiknya (gunakan rumus kuadrat) adalah $m =-1 \pm i$ sehingga solusi umumnya adalah
$y_c = e^{-x}(C_1 \sin x + C_2 \cos x)$
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah $\{\sin 4x, \cos 4x\}$. Misalkan
$y_p = A \sin 4x + B \cos 4x$ adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
$y_p’ = 4A \cos 4x- 4B \sin 4x$
$y_p^{\prime \prime} =-16A \sin 4x- 16B \cos 4x$
Substitusikan ke PD:
$\dfrac{d^2y}{\text{d}x^2} +2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y = 10 \sin 4x$
$\begin{aligned} \Leftrightarrow & (-16A \sin 4x-16B \cos 4x) + \\ &  2(4A \cos 4x- 4B \sin 4x) + 2(A \sin 4x + \\ & B \cos 4x) = 10 \sin 4x \end{aligned}$
$\begin{aligned} \Leftrightarrow & (-14A- 8B)\sin 4x + (8A- 14B) \\ & \cos 4x = 10 \sin 4x \end{aligned}$
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases}-14A-8B & = 10 \\ 8A-14B & = 0 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh
$\begin{cases} A =-\dfrac{7}{13}& \\ B =-\dfrac{4}{13} \end{cases}$
Jadi, $y_p =-\dfrac{7}{13} \sin 4x-\dfrac{4}{13} \cos 4x$
Solusi umumnya adalah $y = y_c + y_p$, yaitu
$$\boxed{y = e^{-x}(C_1 \sin x + C_2 \cos x)-\dfrac{7}{13} \sin 4x-\dfrac{4}{13} \cos 4x}$$ 

[collapse]

Soal Nomor 9
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 3\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 4y = 16x- 12e^{2x}$.

Pembahasan

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah $y_c = C_1e^{4x} + C_2e^{-x}$
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah $\{x, 1, e^{2x}\}$. Misalkan
$y_p = Ax + B + Ce^{2x}$ adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
$y_p’ = A + 2Ce^{2x}$ dan $y_p^{\prime \prime} = 4Ce^{2x}$
Substitusikan ke PD:
$\dfrac{d^2y}{\text{d}x^2}- 3\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 4y = 16x- 12e^{2x}$
$\begin{aligned} \Leftrightarrow & (4Ce^{2x})- 3(A + 2Ce^{2x}) \\ & -4(Ax + B + Ce^{2x}) = 16x- 12e^{2x} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \Leftrightarrow & (-6C)e^{2x} + (-4A)x + (-3A- 4B) \\ & = 16x- 12e^{2x} \end{aligned}$
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases}-6C & =-12 & \\-4A & = 16 & \\-3A- 4B & = 0 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh
$\begin{cases} A =-4 & \\ B = 3 & \\ C = 2 \end{cases}$
Jadi, $y_p =-4x + 3 + 2e^{2x}$
Solusi umumnya adalah $y = y_c + y_p$, yaitu
$\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2e^{-x}- 4x + 3 + 2e^{2x}}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen (Reduksi dan Pemisahan Variabel)