Soal dan Pembahasan – TIMO 2017 Heat Round Secondary 2 (Kelas 8)

Berikut ini merupakan soal (beserta pembahasannya dalam Bahasa Indonesia) Thailand International Mathematical Olympiad Tahun 2017 Heat Round Secondary 2 (Kelas 8). Terdapat 25 soal dalam 5 bidang lomba: logical thinking, algebra, number theory, geometry, dan combinatorics.
Unduh: Docx atau PDF (Naskah Asli)

Logical Thinking

Question Nomor 1
Given A and C are two non-zero digits and the 3-digit numbers formed by these two digits have the following properties:

1. \overline{CAC} is divisible by 9;
2. \overline{CCA} is divisible by 7;
3. \overline{ACC} has an odd number of factors.
Find the 3-digit number \overline{ACA}.
Diketahui A dan C adalah dua angka bukan nol dan bilangan 3-angka yang dibentuk dari keduanya mempunyai sifat sebagai berikut:
1. \overline{CAC} habis dibagi 9;
2. \overline{CCA} habis dibagi 7;
3. \overline{ACC} mempunyai faktor sebanyak ganjil.
Carilah bilangan 3-angka \overline{ACA}.

Penyelesaian

Berdasarkan kondisi pertama, \overline{CAC} habis dibagi 9, artinya jumlah digitnya juga habis dibagi 9.
Ini menunjukkan bahwa \overline{CCA} habis dibagi 7 sekaligus habis dibagi 9, sehingga \overline{CCA} habis dibagi 7 \times 9 = 63. Dengan kata lain, \overline{CCA} merupakan kelipatan 63.
Bilangan kelipatan 63 yang berbentuk \overline{CCA} hanya ada dua, yaitu 441 dan 882. Untuk itu, \overline{ACC} = 144 atau \overline{ACC} = 288.
Perhatikan bahwa,
144 = 2^4 \times 3^2 memiliki jumlah faktor = (4 + 1) \times (2 + 1) = 15
dan
288 = 2^5 \times 3^2 memiliki jumlah faktor = (5 + 1) \times (2 + 1) = 18
Jadi,  \overline{ACC} = 144 memenuhi kondisi ketiga.
Untuk itu,  \overline{ACA} = 141

[collapse]

Question Number 2
Split 7, 34, 51, 64, 69, 70, 92 and 720 into 2 groups of 4 numbers such that the products of numbers in both groups are equal. Find the sum of the numbers of the group that contains 7.
Pisahkan 7, 34, 51, 64, 69, 70, 92, dan 720 dalam 2 kelompok yang masing-masing beranggotakan 4 bilangan sehingga hasil kali bilangan-bilangan dalam kedua kelompok itu sama. Tentukan jumlah bilangan dari kelompok yang mengandung angka 7.

Penyelesaian

Uraikan 8 bilangan itu dalam bentuk faktorisasi prima. 
\begin{aligned} 7 & = 7 \\ 34 & = 2 \times 17 \\ 51 & = 3 \times 17 \\ 64 & = 2^6 \\ 69 & = 3 \times 23 \\ 70 & = 2 \times 5 \times 7 \\ 92 & = 2^2 \times 23 \\ 720 & = 2^4 \times 3^2 \times 5 \end{aligned}
Dengan memperhatikan dan menganalisis komponen bilangan prima beserta pangkatnya dari kedelapan bilangan itu, kita dapat peroleh dua kelompok bilangan yang dimaksud:
\{51, 64, 69, 70\}
dan 
\{720, 92 , 34, 7\}
Jumlah bilangan dalam kelompok yang mengandung angka 7 adalah
\boxed{720+92+34+7 = 853}

[collapse]

Question Number 3
Thirty children, numbered 1 to 30, sit around a circle in order. Each child has an integer in hand. The child numbered 1 has the integer 1. The child numbered 2 has the integer 2. Given that the sum of the integers of any 21 consecutive children is equal to 7. What is the integer held by the child numbered 30?
Sebanyak 30 anak yang diberi nomor urut 1 sampai 30 duduk melingkar berurutan. Anak bernomor urut 1 memegang bilangan 1. Anak bernomor urut 2 memegang bilanan 2. Diketahui jumlah bilangan dari 21 anak berurutan selalu 7. Berapakah bilangan yang dipegang oleh anak bernomor urut 30?

Comments

Tidak mungkin jumlah bilangan dari 21 anak berurutan adalah 7. Andaikan saja bilangan yang dipegang oleh semua anak adalah 1, maka jumlah bilangan 21 anak berurutan adalah 21.

[collapse]

Question Number 4
There are 20 problems in a mathematics competition. The scores of each problem are allocated in the following ways: 2 marks will be given for a correct answer, 0 marks will be given for a blank answer or a wrong answer. Find the minimum number of candidate(s) to ensure that 3 candidates will have the same scores in the competition.
Terdapat 20 soal dalam suatu lomba matematika. Nilai dari setiap soal mengikuti aturan berikut: 2 poin diberikan untuk jawaban yang benar, tidak ada pengurangan nilai untuk soal yang tak dijawab maupun jawaban yang salah. Tentukan jumlah peserta paling sedikit untuk memastikan ada 3 peserta yang mendapatkan nilai yang sama dalam lomba tersebut.

Penyelesaian

Nilai yang mungkin didapat peserta lomba berdasarkan rubrik penilaian tersebut adalah \{0, 2, 4, \cdots, 40\} (ada 21 kemungkinan). Untuk memastikan ada 3 peserta dengan nilai yang sama, dibutuhkan paling sedikit \boxed{2 \times 21 + 1 = 43} orang.

[collapse]

Question Number 5
There are 3 pieces of white chopsticks, 4 pieces of yellow chopsticks and 5 pieces of blue chopsticks mixed together. Close your eyes. If you want to get a pair of yellow chopsticks, at least how many piece(s) of chopstick(s) is / are needed to be taken?
Ada 5 batang sumpit putih, 7 batang sumpit kuning, dan 9 batang sumpit biru dicampur bersama. Tutup matamu. Jika kamu ingin mendapat sepasang sumpit kuning, paling sedikit berapa batang sumpit yang perlu diambil?

Penyelesaian

Ambil 9 batang sumpit biru, lalu ambil 5 batang sumpit putih, sehingga hanya tersisa 7 batang sumpit kuning yang mungkin terpilih. Ambil 2 batang (1 pasang) sumpit kuning tersebut. 
Jadi, paling sedikit \boxed{9 + 5 + 2 = 16} batang sumpit perlu diambil untuk memastikan diperolehnya sepasang sumpit kuning.

[collapse]

Algebra

Question Number 6
Find the value of x if |x-7| - |x-4| = 9
Tentukan nilai x jika |x-7| - |x-4| = 9

Penyelesaian

Kondisi pertama: \color{blue}{x \geq 7}
Persamaan akan menjadi
\begin{aligned} (x - 7) - (x - 4) & = 9 \\ -3 & = 9 \end{aligned}
Diperoleh persamaan yang bernilai salah sehingga untuk kondisi ini, tidak ada penyelesaian yang diperoleh. 
Kondisi kedua: \color{blue}{4 \leq x < 7}
Persamaan akan menjadi
\begin{aligned} -(x - 7) - (x - 4) & = 9 \\ -2x + 11 & = 9 \\ -2x & = -2 \\ x & = 1 \end{aligned}
Diperoleh nilai x = 1, tetapi tidak berada dalam selang \color{blue}{4 \leq x < 7}, sehingga bukan penyelesaian persamaan tersebut. 
Kondisi ketiga: \color{blue}{x < 4}
\begin{aligned} -(x - 7) - (-(x - 4)) & = 9 \\ -x + 7 + x - 4 & = 9 \\ 3 & = 9 \end{aligned}
Diperoleh persamaan yang bernilai salah sehingga untuk kondisi ini, tidak ada penyelesaian yang diperoleh. 
Dengan demikian, persamaan tersebut tidak memiliki himpunan penyelesaian (tidak ada nilai x yang memenuhi).

[collapse]

Question Number 7
Factorize x^2 - y^2 + 2y - 1.
Faktorkan x^2 - y^2 + 2y - 1.

Penyelesaian

Ingat bentuk a^2-b^2=(a+b) (a-b)
\begin{aligned} x^2 - y^2 + 2y - 1 & = x^2 - (y^2 - 2y +1) \\ & = x^2 - (y - 1)(y-1) \\ & = x^2 - (y-1)^2 \\ & = (x + y - 1)(x - y + 1) \end{aligned}
Jadi, bentuk pemfaktoran dari x^2 - y^2 + 2y - 1 adalah \boxed{(x+y-1)(x-y+1)}

[collapse]

Question Number 8
How many positive integral solution(s) is / are there for x if -24 \leq 7x+4 \leq 18
Berapa banyak penyelesaian bulat positif x jika -24 \leq 7x+4 \leq 18?

Penyelesaian

Langkah pertama adalah menentukan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. 
\begin{aligned} & -24 \leq 7x+4 \leq 18 \\ & -24 - 4 \leq 7x +4-4 \leq 18-4 \\ & -28 \leq 7x \leq 14 \\ & \dfrac{-28}{7} \leq x \leq \dfrac{14}{7} \\ & -4 \leq x \leq 2 \end{aligned}
Pertidaksamaan terakhir menunjukkan bahwa hanya ada \boxed{2} penyelesaian bulat positif untuk nilai x, yakni \{1,2\}.

[collapse]

Question Number 9
It is known that x \neq 4, 5, 6, 7. If \dfrac{x-11}{(x-5)(x-6)} = \dfrac{x-11}{(x-4)(x-7)}, find the value of x.
Diketahui bahwa x \neq 4, 5, 6, 7. Jika \dfrac{x-11}{(x-5)(x-6)} = \dfrac{x-11}{(x-4)(x-7)}, tentukan nilai x.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa substitusi nilai x = 4, 5, 6, 7 akan menyebabkan bentuk pecahannya tak terdefinisi (undefined). Persamaan di atas mengimplikasikan pembilangnya harus bernilai 0, yakni x - 11 = 0, sehingga diperoleh x = 11. Ini merupakan satu-satunya penyelesaian persamaan tersebut. 

[collapse]

Question Number 10
Given that a is a negative real number and a \neq -1. If a + \dfrac{1}{a+1} = -3, find the value of a.
Diketahui a adalah bilangan real negatif dan a \neq -1. Jika a + \dfrac{1}{a+1} = -3, tentukan nilai a.

Penyelesaian

Kalikan kedua ruas dengan (a+1), kemudian gunakan operasi dasar aljabar, sehingga diperoleh
\begin{aligned} a + \dfrac{1}{a+1} & = -3 \\ a(a+1) + \dfrac{1}{\cancel{a+1}}(\cancel{a+1}) & = -3(a+1) \\ a^2 + a + 1 & = -3a - 3 \\ a^2 + 4a + 4 & = 0 \\ (a + 2)^2 & = 0 \\ a & = -2 \end{aligned}
Jadi, nilai a adalah \boxed{-2}

[collapse]

Number Theory

Question Number 11
Find the remainder when 2017^{2017} is divided by 16.
Tentukan sisa dari 2017^{2017} ketika dibagi oleh 16.

Penyelesaian

\begin{aligned} 2017 & \equiv 1(\text{mod}~16) \\ 2017^{2017} & \equiv 1^{2017} (\text{mod}~16) \\ 2017^{2017} & \equiv 1(\text{mod}~16) \end{aligned}
Jadi, sisa hasil baginya adalah \boxed{1}.

[collapse]

Question Number 12
Find the minimum value of x^2+6x+25.
Tentukan nilai minimum dari x^2+6x+25.

Penyelesaian

Diketahui: a = 1, b = 6, dan 25
Titik minimum tercapai saat 
x = -\dfrac{b} {2a} = -\dfrac{6}{2(1)} = -3
Substitusikan x = 3 ke bentuk x^2+6x+25
\begin{aligned} x^2+6x+25 & = (-3)^2 + 6(-3) + 25 \\ & = 9 - 18 + 25 = 16 \end{aligned}
Jadi, nilai minimum dari x^2+6x+25 adalah \boxed{16}

[collapse]

Question Number 13
Find the unit digit of A jika A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{2016} + 3^{2017}
Tentukan angka satuan dari A jika A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{2016} + 3^{2017}

Penyelesaian

Pola angka satuan dari perpangkatan 3 adalah: 3, 9, 7, 1 yang bila dijumlahkan menghasilkan 3 + 9 + 7 + 1 = 20 (angka satuannya 0). Perhatikan bahwa 2016 \div 4 = 504 dan 3^{2017} memiliki angka satuan 3
Untuk itu, dapat ditulis
A' & = 1 + \underbrace{0 + 0 + \cdots + 0}_{\text{ada}~504} + 3 = 4
Jadi, angka satuan dari A adalah \boxed{4}

[collapse]

Question Number 14
Given x > 0 and x + \dfrac{1}{x} = 2017. Find the value of x^2 + \dfrac{1}{x^2}
Diberikan x > 0 dan x + \dfrac{1}{x} = 2017. Tentukan nilai dari x^2 + \dfrac{1}{x^2}

Penyelesaian

\begin{aligned} x + \dfrac{1}{x} & = 2017 \\ \left(x + \dfrac{1}{x} \right)^2 & = 2017^2 \\ x^2 + 1 + 1 + \dfrac{1}{x^2} & = 4068289 \\ x^2+\dfrac{1}{x^2} & = 4068289 - 2 = 4068287 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{x^2+\dfrac{1}{x^2} = 4068287}

[collapse]

Question Number 15
If (x-1) is a factor of polynomial (2017x^2 - 1221x - c), find the value of c.
Jika (x-1) adalah faktor dari suku banyak (2017x^2 - 1221x - c), tentukan nilai c.

Penyelesaian

Diketahui:
2017x^2 - 1221x - c = (x-1)p(x)
dengan p(x) sebagai suatu polinomial berderajat 1. Jika x = 1, diperoleh
\begin{aligned} 2017(1)^2 - 1221(1) - c & = (1-1)p(1) \\ 796 - c & = 0 \\ c & = 796 \end{aligned}
Jadi, nilai c adalah \boxed{796}.

[collapse]

Geometry

Question Number 16
In the figure below, AB = AC. D is a point of AB. E is on the extension of AC. DE intersects BC at F. If \dfrac{FC}{BF} = \dfrac{1}{8}, \dfrac{AB}{AE} = \dfrac{3}{4}, find the value of \dfrac{DF}{FE}.
Pada gambar di bawah, AB = AC. D adalah titik yang terletak pada AB. E berada pada perpanjangan AC. DE memotong BC di F. Jika \dfrac{FC}{BF} = \dfrac{1}{8}, \dfrac{AB}{AE} = \dfrac{3}{4}, carilah nilai dari \dfrac{DF}{FE}.

Penyelesaian

Misalkan CF = x, berarti BF = 8x dan akibatnya BC = 9x.
Konstruksikan titik G pada AB, sehingga AG = AE dan \triangle AGE adalah segitiga sama kaki.

Dengan demikian, \triangle ABC \sim \triangle AGE dan perbandingan panjang sisinya \dfrac{AB}{AG} = \dfrac{3}{4}.
Ini mengimplikasikan GE = \dfrac{4}{3} \cdot BC = \dfrac{4}{3} \cdot 9x = 12x
Perhatikan juga bahwa \triangle DBF \sim \triangle DGE dengan perbandingan \dfrac{BF}{GE} = \dfrac{8x}{12x} = \dfrac{2}{3}. Jadi, \dfrac{DF}{DE} = \dfrac{2}{3}, sehingga \boxed{\dfrac{DF}{FE} = \dfrac{2}{1} = 2}

[collapse]

Question Number 17
For three points on a coordinate plane A(1,3),B(5,2) and C(7,4), find the area of the triangle formed by using those three points as vertices.
Jika terdapat tiga titik pada bidang koordinat A(1,3),B(5,2) and C(7,4), tentukan luas segitiga yang dibentuk dengan menggunakan ketiga titik ini sebagai titik sudutnya.

Penyelesaian

Gambarkan ketiga titik tersebut pada bidang koordinat, kemudian hubungkan ketiga titiknya menggunakan garis lurus sehingga terbentuk sebuah segitiga. Luas segitiga ini dapat dihitung dengan mengurangkan luas persegi panjang CDEF terhadap segitiga siku-siku ACD, ABE, dan BCF.

\begin{aligned} L_{ABC} & = L_{CDEF} - L_{ACD} - L_{ABE} - L_{BCF} \\ & = (6 \times 12) - \dfrac{1}{2}(6 \times 1 + 4 \times 1 + 2 \times 2) \\ & = 12 - \dfrac{1}{\cancel{2}}(\cancelto{7}{14}) = 5 \end{aligned}
Jadi, luas segitiga itu adalah \boxed{5} satuan luas.

[collapse]

Question Number 18
The lengths of 3 sides of a right-angled triangle are also integers. The length of one of the right-angled sides is 2017. Find the length of the other right-angled sides.
Panjang ketiga sisi pada suatu segitiga siku-siku berupa bilangan bulat. Panjang satu sisi siku-sikunya 2017. Tentukan panjang sisi siku-siku lainnya.

Penyelesaian

Ingat: \left(n, \dfrac{n^2 - 1}{2}, \dfrac{n^2 + 1}{2}\right) selalu membentuk Tripel Pythagoras apabila n bilangan prima.
Misalkan segitiga siku-siku tersebut memiliki panjang kaki a dan 2017, serta hipotenusanya c. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned}a^2 + 2017^2 & = c^2 \\ c^2 - a^2 & = 2017^2 \\ (c + a)(c - a) & = 2017 \end{aligned}
Karena 2017 adalah bilangan prima, maka persamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika:
\begin{cases} c + a = 2017^2 \\ c - a = 1 \end{cases}
Nilai (a, c) yang memenuhi SPLDV di atas adalah \left(\dfrac{2017^2 - 1}{2}, \dfrac{2017^2 + 1}{2}\right)
Jadi, panjang sisi siku-siku lainnya adalah \boxed{\dfrac{2017^2 - 1}{2}}

[collapse]

Question Number 19
ABCDEF is an equiangular hexagon. Given AB=2015,BC=2016,CD=2017 and DE=2018. Find the perimeter of ABCDEF.
ABCDEF adalah segienam sama sudut. Diketahui AB=2015,BC=2016,CD=2017, dan DE=2018. Tentukan keliling dari ABCDEF.

Penyelesaian

Panjangkan AB, CD, dan EF sehingga terbentuk segitiga sama sisi seperti gambar di bawah.

Panjang sisi segitiga tersebut adalah
BC + CD + DE = 2016 + 2017 + 2018 = 6051
Dengan demikian,
DE + EF + FA = 6051 \iff EF + FA = 4033
Jadi, keliling heksagon tersebut adalah
\begin{aligned} & AB + BC + CD + DE + (EF + FA) \\ & = 2015 + 2016 + 2017 + 2018 + 4033 = 12099 \end{aligned}

[collapse]

Question Number 20
How many diagonal(s) does a convex nonagon (9-sided polygon) have?
Berapa banyak diagonal pada nonagon konveks (segi-9)?

Penyelesaian

Banyaknya diagonal pada poligon n sisi atau segi-n dirumuskan oleh
\dfrac{1}{2}n(n-3)
Untuk itu, banyak diagonal nonagon tersebut adalah \boxed{\dfrac{1}{3} \times 9 \times (9 - 3) = 18}

[collapse]

Combinatorics

Question Number 21
Find the number of the combination(s) arranging 3 boys and 4 girls in a row.
Tentukan banyaknya kombinasi mengatur 3 anak laki-laki dan 4 anak perempuan dalam suatu baris.

Penyelesaian

Jumlah objek ada 7. Pengaturannya hanya memperhatikan jenis kelamin sehingga ada objek yang akan dianggap sama meskipun ditukar. Dengan menggunakan konsep permutasi berulang, banyak cara pengaturannya adalah
\dfrac{7!} {4! 3!} = \dfrac{7 \cdot \bcancel{6} \cdot 5 \cdot \cancel{4!}} {\cancel{4!} \cdot \bcancel{3!} } = 35~\text{cara}

[collapse]

Question Number 22
Four boys Bobby, Benson, Benny, Benjamin and three girls Grace, Gloria Georgia are to be seated in a row according to the following rules:
A boy will not sit next to another boy and a girl will not sit next to another girl.
Benny must sit next to Gloria.
Find the number of the combination(s) satisfying the above condition.
Empat anak laki-laki bernama Bobby, Benson, Benny, Benjamin dan tiga anak perempuan bernama Grace, Gloria, dan Georgia akan diposisikan duduk dalam barisan menurut aturan berikut:
1. Anak laki-laki tidak boleh duduk di samping anak laki-laki yang lain dan anak perempuan tidak boleh duduk di samping anak perempuan.
2. Benny harus duduk di samping Gloria.
Tentukan banyak kombinasi yang memenuhi kondisi di atas.

Penyelesaian

Salah satu posisi duduk yang memenuhi kedua syarat di atas adalah

Perhatikan bahwa anak perempuan tidak boleh berada di ujung karena jika demikian syarat pertama tak bisa dipenuhi. 
Pada posisi di atas, Bobby, Benson, dan Benjamin dapat saling bertukar tempat dengan 3! = 6 cara, sedangkan Grace dan Georgia juga dapat bertukar tempat dengan 2! = 2 cara. Posisi Benny dan Gloria dapat ditukarkan ke tempat duduk Bobby, Grace dan Benson, Georgia (ada 2 cara). Dengan demikian, total kombinasi tempat duduk mereka adalah
\boxed{6 \times 2 \times 2 = 24~\text{cara}}

[collapse]

Question Number 23
A fair 6-face die is thrown 2 times. Find the probability that the sum of numbers obtained is 4 or 7.
Suatu dadu 6-sisi yang setimbang dilempar sebanyak 2 kali. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu 4 atau 7.

Penyelesaian

Kemungkinan mata dadu yang diharapkan muncul agar jumlahnya 4 atau 7 adalah
\begin{aligned} \{(1, 3), & (3, 1), (2, 2), (1, 6), (6, 1), \\ & (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)\} \end{aligned}
yaitu sebanyak 9, dengan total anggota ruang sampel sebanyak 6 \times 6 = 36. Jadi, peluangnya sebesar \boxed{\dfrac{9}{36}= \dfrac{1}{4}}

[collapse]

Question Number 24
Twenty cards are marked from 1 to 20 and 2 are drawn at random. Find the probability that two cards drawn are both multiples of 5.
Sebanyak 20 kartu ditandai angka 1 sampai 20 dan diambil 2 kartu secara acak. Tentukan peluang diperolehnya dua kartu yang bertuliskan angka berkelipatan 5.

Penyelesaian

Angka berkelipatan 5 ada empat, yaitu \{5, 10, 15, 20\}
Banyak cara memilih dua dari 4 bilangan di atas adalah \displaystyle \binom{4}{2} = \dfrac{4!} {2!2!} = 6
Banyak cara memilih dua dari 20 bilangan adalah \displaystyle \binom{20}{2} = \dfrac{20!} {18!2!} = 190
Jadi, peluangnya sebesar \boxed{\dfrac{6}{190} = \dfrac{3}{95}}

[collapse]

Question Number 25
If Anna goes from point A to point B, each step can only move up or move right, how many method(s) is / are there?
Jika Anna berjalan dari titik A menuju titik B yang setiap langkahnya hanya boleh bergerak ke atas atau ke kanan, berapa banyak carakah untuk ke sana?

Penyelesaian

Perhatikan skema berikut untuk menentukan banyaknya cara bergerak.

Jadi, ada \boxed{92} cara untuk bergerak dari titik A ke titik B

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini