Tag: Himpunan Tegas

Logika kabur (fuzzylogic) dikatakan sebagai logika baru, tetapi sebenarnya telah ada sejak dulu. Ini dikarenakan metode dalam logika kabur baru ditemukan puluhan tahun yang lalu, padahal konsepnya telah diaplikasikan sejak lama.

Berbeda dengan logika kuno (logika digital) yang hanya memiliki nilai $0$ dan $1,$ atau true dan false, logika kabur memiliki nilai pada rentang $0$ sampai $1.$ Oleh karena itu, logika kabur dapat mendefinisikan nilai menengah di antara dua evaluasi konvensional yang berbeda.

Dalam bagian ini, kita akan membuat istilah “kekaburan” yang sebelumnya terdengar asing menjadi lazim. Kekaburan berasal dari kata dasar “kabur”, dan di sini kita artikan sebagai ketidakjelasan (bukan melarikan diri). Kita sebenarnya telah menemui gejala kekaburan dalam hidup sehari-hari. Ambil contoh seperti kejadian di dalam kelas. Seorang guru bertanya kepada siswanya, “Siapa di sini yang menjadi anak bungsu?” Dengan tegas, siswa yang posisinya sebagai anak bungsu dalam keluarganya akan mengangkat tangan. Kejadian ini berbeda secara signifikan ketika guru bertanya, “Siapa di sini yang pintar berhitung?” Ini dikarenakan keraguan yang ditimbulkan cukup terasa karena ketidaktegasan dari istilah “pandai berhitung”. Hal ini merupakan salah satu contoh kekaburan.

Kekaburan atau ketidaktegasan yang kita temui dalam kehidupan sehari-hari memiliki beberapa bentuk, di antaranya sebagai berikut:

1. Keambiguan (ambiguity), terjadi karena suatu kata/istilah memiliki makna ganda. Misalnya, kata “bulan” bisa berarti benda langit yang muncul di malam hari, bisa juga berarti satuan waktu yang setara dengan $1/12$ tahun.
2. Keacakan (randomness), yaitu ketidakpastian mengenai suatu hal karena hal itu belum terjadi. Misalnya, ketidakpastian mengenai keadaan kita pada lima tahun mendatang.
3. Ketidakjelasan karena kurang lengkapnya informasi yang dimiliki (incompleteness). Misalnya, ketidakjelasan mengenai kehidupan di luar angkasa.
4. Ketidakakuratan (imprecision), disebabkan oleh keterbatasan alat dan metode untuk mengumpulkan informasi. Misalnya, tidak akuratnya penggunaan penggaris untuk mengukur diameter kelereng.

   

5. Kekaburan semantik, yaitu kekaburan yang disebabkan karena makna dari suatu kata/istilah tidak dapat didefinisikan secara tegas dan berlaku sama bagi setiap orang, misalnya kata cantik, pandai, tinggi, berat, dan sebagainya.

Kekaburan semantik adalah topik yang dibahas dalam hal ini. Istilah “kabur” berasal dari bahasa Inggris, “fuzzy”. Beberapa referensi masih mempertahankan penggunaan istilah fuzzy dibandingkan menerjemahkannya ke dalam bahasa Indonesia.

Secara teknis, logika kabur adalah cara atau teknik untuk memetakan suatu ruang masukan (input) ke dalam suatu ruang keluaran (output). Sebagai contoh:

1. Manajer pergudangan memberi informasi kepada manajer produksi mengenai banyaknya persediaan barang pada akhir minggu ini, kemudian manajer produksi akan menetapkan jumlah barang yang harus diproduksi keesokan harinya.
2. Pelayan restoran memberi pelayanan kepada pelanggan. Sebagai bentuk imbalan, sejumlah pelanggan memberikan tip kepada pelayan tersebut atas kinerjanya.
3. Seorang anak menjelaskan seberapa sejuk ruangan yang ditempatinya. Ibunya lalu mengatur kecepatan putaran kipas di ruangan tersebut.
4. Penumpang taksi menyuruh sopir taksi agar kecepatan kendaraannya dinaikkan sebanyak sekian. Sopir taksi lalu mengatur pijakan gas taksinya.

Contoh pemetaan masukan-keluaran yang dimaksud pada pernyataan sebelumnya dalam bentuk grafis tampak pada gambar berikut.

Perhatikan bahwa di antara ruang masukan dan keluaran, terdapat satu kotak hitam yang fungsinya melakukan pemetaan.

Sejarah Penemuan Logika Kabur

Adanya kekaburan semantik dari segi keilmuan sering kali menimbulkan masalah karena penelitian ilmiah pada umumnya memerlukan ketepatan dan kepastian yang berkenaan dengan makna istilah yang dipakai. Bahasa baru yang dapat mengungkap ketidaktegasan/kekaburan tersebut amat diperlukan. Bahasa semacam itulah yang diciptakan oleh Lotfi Asker Zadeh (1921–2017), seorang guru besar berkebangsaan Amerika Serikat.

Sejak tahun 1960, Zadeh telah merasa bahwa sistem analisis matematika konvensional terlalu eksak sehingga tidak dapat berfungsi untuk menyelesaikan banyak masalah dunia nyata yang teramat kompleks. Dalam salah satu karyanya, ia menuliskan:
“We need a radically different kind of mathematics, the mathematics of kabur or cloudy quantities which are not describable in terms of probability distributions” (1962).

Zadeh menciptakan definisi baru mengenai himpunan. Himpunan yang selama ini kita kenal dinamakan himpunan tegas, dan sekarang kita diperkenalkan dengan apa yang disebut sebagai himpunan kabur. Istilah himpunan kabur dalam matematika ini juga membuahkan banyak istilah lainnya, termasuk nilai keanggotaan (membership grades). Selanjutnya berdasarkan konsep himpunan kabur itu, Zadeh mengembangkan konsep algoritma kabur (1968), yang merupakan landasan dari logika kabur (fuzzy logic) dan penalaran hampiran (approximate reasoning), yaitu penalaran yang melibatkan pernyataan-pernyataan dengan predikat yang kabur.

Pada mulanya, teori kabur ditolak mentah-mentah oleh para ilmuwan di AS karena dianggap tidak memiliki landasan matematis yang dapat dipertanggungjawabkan. Tidak ada forum penerbit jurnal ilmiah yang tertarik untuk menerbitkan karangan Zadeh mengenai himpunan kabur itu. Bahkan Zadeh dituduh telah menghambur-hamburkan uang negara karena banyak penelitiannya yang didanai oleh NSF (National Science Foundation), sebuah institusi nasional milik pemerintah AS.

Hal ini sangat kontras dengan apa yang terjadi di Eropa dan negara Jepang. Teori kabur diterima dengan baik di sana. Ini dikarenakan orang Eropa dan Asia cenderung lebih menerima keadaan abu-abu, dibandingkan orang AS yang cenderung hitam-putih. Sembari Zadeh memperdalam dan mengokohkan fondasi ilmu kabur tersebut, para ilmuwan di luar AS berlomba-lomba untuk mengaplikasikan penggunaan teori kabur. Alhasil, sampai sekarang teori kabur telah banyak memberikan kebermanfaatan bagi manusia dalam banyak bidang.

Alasan Digunakannya Logika Kabur

Ada beberapa alasan kita perlu menggunakan logika kabur, yaitu sebagai berikut.

1. Konsep logika kabur mudah dipahami. Konsep matematis yang mendasarinya terbilang sederhana.
2. Logika kabur sangat fleksibel.
3. Logika kabur memiliki toleransi terhadap data yang tidak tepat.
4. Logika kabur mampu memodelkan fungsi-fungsi nonlinear yang sangat kompleks.
5. Logika kabur dapat membangun dan mengaplikasikan pengalaman-pengalaman para ahli secara langsung tanpa harus melalui proses pelatihan.
6. Logika kabur dapat bekerja sama dengan teknik-teknik kendali secara konvensional.
7. Logika kabur didasarkan pada bahasa alami.

Aplikasi (Penerapan) Logika Kabur

Beberapa aplikasi atau penerapan logika kabur yang telah diketahui bermanfaat bagi kehidupan umat manusia, antara lain:

1. Pada tahun 1990, Jepang pertama kali menciptakan mesin cuci yang sistem kerjanya berlandaskan logika kabur. Mesin cuci tersebut diproduksi oleh Matsushita Electric Industrial Company (sekarang dikenal sebagai Panasonic Corporation). Sistem kabur digunakan untuk menentukan putaran yang tepat secara otomatis berdasarkan jenis dan banyaknya kotoran, serta banyak pakaian yang dicuci. Masukan yang digunakan adalah: persentase kekotoran pakaian, jenis kotoran, dan banyak pakaian yang dicuci. Mesin ini menggunakan sensor optik, mengeluarkan cahaya ke air, dan mengukur proses cahaya tersebut sampai ke ujung lainnya. Semakin kotor pakaian, sinar yang sampai akan semakin redup. Selain itu, sistem juga dapat menentukan jenis kotoran (daki atau minyak).
2. Transmisi otomatis pada mobil. Salah satunya adalah mobil Nissan yang telah menggunakan sistem kabur pada transmisi otomatis dan mampu menghemat bensin sebesar 12 – 17%.

   

3. Sistem kereta bawah tanah Sendai (The Sendai Subway) mengontrol pemberhentian kereta secara otomatis pada area tertentu.

   

4. Dalam ilmu kedokteran dan biologi, sistem kabur dipakai dalam proses diagnosis, penelitian kanker, manipulasi peralatan prostetik, dan lain-lain.
5. Dalam sistem manajemen dan pengambilan keputusan, sistem kabur diterapkan dalam manajemen basis data, tata letak pabrik, pembuatan keputusan di bidang militer, pembuatan gim, dan lain-lain.
6. Dalam bidang ekonomi, logika kabur diterapkan pada sistem pemasaran yang kompleks.
7. Logika kabur dipakai dalam klasifikasi dan pencocokan pola.
8. Dalam bidang psikologi, logika kabur dipakai untuk menganalisis kelakuan masyarakat, pencegahan dan investigasi tindakan kriminal, dan lain-lain.
9. Dalam ilmu-ilmu sosial, logika kabur banyak dipakai untuk memodelkan informasi yang tidak pasti.
10. Dalam ilmu lingkungan, logika kabur dipakai pada sistem kendali kualitas air, prediksi cuaca, dan lain-lain.
11. Dalam ilmu teknik, logika kabur dipakai dalam perancangan jaringan komputer, prediksi gempa bumi, dan sebagainya.
12. Dalam riset operasi, logika kabur dipakai dalam penjadwalan dan pemodelan, pengalokasian, dan lain-lain.
13. Logika kabur dipakai untuk meningkatkan taraf kepercayaan, seperti kegagalan diagnosis, inspeksi dan pemantauan produksi, dan lain-lain.

Himpunan Tegas dan Himpunan Kabur

Dalam ilmu logika kabur, dikenal 2 jenis himpunan, yaitu himpunan tegas (crisp) dan himpunan kabur (kabur). Keduanya dibedakan berdasarkan asumsi nilai keanggotaannya. Nilai keanggotaan selanjutnya disimbolkan dengan huruf Yunani $\mu$ (dibaca: mu).

1. Himpunan tegas (crisp set) adalah himpunan yang menyatakan keanggotaan objek dengan dua nilai keanggotaan, yaitu $\mu = 1$ (merupakan anggota himpunan) dan $\mu = 0$ (bukan anggota himpunan). 
2. Himpunan kabur (fuzzy set) adalah himpunan yang menyatakan keanggotaan objek dengan nilai keanggotaan ($\mu$) yang berbeda-beda pada interval $0 \leq \mu \leq 1.$

Himpunan yang terdefinisi secara tegas memiliki arti bahwa untuk setiap elemen (unsur) dalam semestanya selalu dapat ditentukan secara tegas apakah ia termasuk anggota dari himpunan itu atau tidak. Dengan kata lain, terdapat batas yang tegas antara unsur-unsur yang merupakan anggota dan unsur-unsur yang bukan anggota dari suatu himpunan.

Pada kenyataannya, tidak semua himpunan yang kita jumpai terdefinisi seperti itu, misalnya himpunan orang kaya, himpunan siswa pandai, himpunan orang gemuk, dan sebagainya. Pada himpunan orang kaya, kita tidak dapat menentukan secara tegas/pasti anggota dari himpunan tersebut. Andaikan kita definisikan bahwa orang kaya adalah orang yang memiliki kekayaan senilai Rp1 triliun, maka orang yang memiliki kekayaan senilai Rp999 miliar bukan termasuk orang kaya berdasarkan definisi tersebut. Sulit bagi sejumlah orang menerima keadaan tersebut. Hal itu menunjukkan bahwa memang batas antara orang yang kaya dan orang yang tidak kaya tidak dapat ditentukan secara tegas.

Contoh Himpunan Tegas:
Jika diketahui:
$$\begin{aligned} S & = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}~\text{adalah semesta pembicaraan}, \\ A & = \{1, 2, 3\}, \\ B & = \{3, 4, 5\}, \end{aligned}$$maka bisa dikatakan bahwa:

1. Nilai keanggotaan $2$ pada himpunan $A$ adalah $\mu_A[2] = 1$, karena $2 \in A$.
2. Nilai keanggotaan $3$ pada himpunan $A$ adalah $\mu_A[3] = 1$, karena $3 \in A$.
3. Nilai keanggotaan $6$ pada himpunan $A$ adalah $\mu_A[6] = 1$, karena $6 \notin A$.
4. Nilai keanggotaan $2$ pada himpunan $B$ adalah $\mu_B[2] = 0$, karena $2 \notin A$.
5. Nilai keanggotaan $5$ pada himpunan $B$ adalah $\mu_B[5] = 1$, karena $5 \in B$.

Contoh Himpunan Tegas:
Misalkan variabel umur dibagi meniadi $3$ kategori, yaitu
$$\begin{cases} \text{Muda} & \text{Umur} < 35~\text{tahun} \\ \text{Dewasa} & 35 \leq \text{Umur} \leq 55~\text{tahun} \\ \text{Tua} & \text{Umur} > 55~\text{tahun} \end{cases}$$Nilai keanggotaan himpunan Muda, Dewasa, dan Tua ini dapat direpresentasikan dalam bentuk grafik berikut.
Dari grafik tersebut, dapat dilihat bahwa:

1. Jika seseorang berumur $18$ tahun, maka ia dikatakan muda, ditulis $\mu_{\text{Muda}}[18] = 1.$
2. Jika seseorang berumur $35$ tahun, maka ia dikatakan tidak muda, ditulis $\mu_{\text{Muda}}[35] = 0.$
3. Jika seseorang berumur $35$ tahun kurang $1$ hari, maka ia juga dikatakan muda, ditulis $\mu_{\text{Muda}}[35~\text{th}-1\text{hr}] = 1.$
4. Jika seseorang berumur $33$ tahun, maka ia dikatakan tidak dewasa, ditulis $\mu_{\text{Dewasa}}[33] = 0.$
5. Jika seseorang berumur $90$ tahun, maka ia dikatakan tua, ditulis $\mu_{\text{Tua}}[90] = 1.$

Dari sini, dapat dikatakan bahwa pemakaian himpunan tegas untuk menyatakan kategori umur seseorang sangat tidak adil. Perubahan waktu yang sangat kecil saja pada suatu nilai dapat mengakibatkan perbedaan kategori yang cukup signifikan. Himpunan kabur digunakan untuk mengantisipasi kelemahan tersebut. Seseorang dapat saja masuk ke dalam dua himpunan yang berbeda. Misalnya, ia dikategorikan muda dan dewasa, tetapi dengan nilai keanggotaan tertentu pada interval $0$ sampai $1$. Lebih lanjut, seseorang yang berusia $30$ tahun termasuk dalam himpunan Muda dengan nilai keanggotaan $0,\!6$ sekaligus termasuk dalam himpunan Dewasa dengan nilai keanggotaan $0,\!4$. 

Konsep dalam Himpunan Kabur

1. Pendukung (support) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A},$ dinotasikan $\text{supp}(\widetilde{A}),$ adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang memiliki derajat keanggotaan taknol dalam $\widetilde{A}$.
2. Teras (core) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{core}(\widetilde{A}),$ adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang memiliki derajat keanggotaan sama dengan $1$ dalam $\widetilde{A}.$
3. Titik silang (crossover point) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{crossover}(\widetilde{A})$, adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang memiliki derajat keanggotaan sama dengan $0,\!5$ dalam $\widetilde{A}$.
4. Tinggi (height) dari suatu himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{height}(\widetilde{A}),$ adalah batas atas terkecil (supremum) dari himpunan semua derajat keanggotaan unsur-unsur semesta dalam himpunan kabur $\widetilde{A}.$ Jika tingginya sama dengan $1$, maka $\widetilde{A}$ disebut himpunan kabur normal. Jika tidak, maka $\widetilde{A}$ disebut himpunan kabur subnormal.
5. Pusat (center) dari himpunan kabur $\widetilde{A}$, dinotasikan $\text{center}(\widetilde{A})$, adalah titik yang merupakan purata dari semua titik di dalam semesta dengan nilai keanggotaannya pertama kali mencapai nilai maksimum (bila kurva menanjak) atau terakhir kali mencapai maksimum (bila kurva menurun). Jika nilai purata itu berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah titik dengan nilai purata tersebut. Jika nilai purata itu takhingga positif atau takhingga negatif, maka pusat himpunan kabur itu adalah titik dengan nilai terkecil atau terbesar di antara semua titik yang mencapai nilai keanggotaan maksimum.

   

   

   

Berikut ini adalah soal dan pembahasan terkait dasar-dasar logika kabur, termasuk juga mengenai himpunan tegas dan himpunan kabur.

Quote by Damkerng Mungthanya

 Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Kata/istilah berikut yang tidak menimbulkan kekaburan semantik adalah $\cdots \cdot$
A. dingin                          D. cantik
B. pandai                         E. mamalia
C. tinggi  

Soal Nomor 2

Himpunan berikut yang tidak terdefinisi sebagai himpunan tegas adalah $\cdots \cdot$
A. $K = \{\text{binatang berkaki enam}\}$
B. $L = \{x \mid x < 2, x \in \mathbb{R}\}$
C. $M = \{x \mid -2 < x < -1, x \in \mathbb{Z}\}$
D. $N = \{\text{nama pahlawan super Marvel}\}$
E. $O = \{\text{nama ilmuwan genius}\}$

Soal Nomor 3

Diketahui himpunan tegas:
$$\begin{aligned} S & = \{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j\} \\ P & = \{e, f, g, h\} \\ Q & = \{a, b, c, i, j\}. \end{aligned}$$Nilai keanggotaan $\mu_P[i], \mu_Q[a]$, dan $\mu_Q[h]$ berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $1, 1$, dan $1$
B. $0, 1$, dan $0$
C. $0, 1$, dan $1$
D. $1, 1$, dan $0$
E. $0, 0$, dan $0$

Soal Nomor 4

Misalkan terdapat himpunan tegas $A = \{x \mid -3 < x < 9, x \in \mathbb{R}\}$. Pernyataan berikut yang bernilai benar terkait nilai keanggotaan pada $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\mu_A\left[\dfrac{19}{99}\right] = 0$
B. $\mu_A[-0,\!2333] = 0$
C. $\mu_A[8,\!9999] = 1$
D. $\mu_A[-4] = 1$
E. $\mu_A[\sqrt2 + \sqrt3] = 0$

Soal Nomor 5

Perhatikan representasi grafis dari variabel suhu dalam satuan derajat Celsius berikut.
Pernyataan berikut yang tidak benar adalah $\cdots \cdot$

1. nilai keanggotaan untuk suhu $20^{\circ}\text{C}$ pada himpunan Dingin adalah $1$
2. nilai keanggotaan untuk suhu $10^{\circ}\text{C}$ pada himpunan Panas adalah $0$
3. nilai keanggotaan untuk suhu $25^\circ \text{C}$ pada himpunan Dingin maupun himpunan Panas adalah $0$
4. suhu $30^{\circ}C$ sampai $40^{\circ}\text{C}$ memiliki nilai keanggotaan $1$ pada himpunan Panas
5. nilai keanggotaan untuk suhu $0^\circ \text{C}$ pada himpunan Dingin bukan bernilai $1$.

Soal Nomor 6

Diketahui nilai keanggotaan untuk variabel UMUR secara grafis seperti gambar berikut.
Seseorang yang berumur $40$ tahun mempunyai nilai $\mu_{\text{Muda}}[40]$ dan $\mu_{\text{Dewasa}}[40]$ masing-masing sebesar $\cdots \cdot$
A. $0,\!6$ dan $0,\!8$
B. $0,\!25$ dan $0,\!5$
C. $1$ dan $0$
D. $0,\!8$ dan $0,\!6$
E. $0,\!2$ dan $0,\!4$

Soal Nomor 7

Dalam semesta himpunan semua bilangan real $\mathbb{R}$, didefinisikan himpunan kabur $\widetilde{A}$ dengan fungsi keanggotaan:
$$\mu_{\widetilde{A}}(x) = \begin{cases} 0 & \text{untuk}~x < 1 \\ 0,\!1x & \text{untuk}~1 \leq x \leq 9 \\ 0,\!5 & \text{untuk}~x > 9 \end{cases}$$Berdasarkan definisi fungsi keanggotaan himpunan kabur di atas, teras darinya adalah $\text{Teras}(\widetilde{A}) = \cdots \cdot$
A. $\{x \in \mathbb{R} \mid x < 1\}$
B. $\{x \in \mathbb{R} \mid 1 \leq x \leq 9\}$
C. $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 9\}$
D. $\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 1\}$
E. $\{ \}$

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Perhatikan grafik fungsi keanggotaan dari variabel UMUR berikut.
Misalkan kumpulan orang yang dikategorikan Muda, Dewasa, dan Tua berturut-turut dinotasikan sebagai himpunan $\widetilde{M}, \widetilde{D}$, dan $\widetilde{T}$. Tentukan:

1. pendukung dari ketiga himpunan kabur tersebut.
2. teras dari ketiga himpunan kabur tersebut.
3. titik silang dari ketiga himpunan kabur tersebut.
4. tinggi dari ketiga himpunan kabur tersebut.
5. pusat dari ketiga himpunan kabur tersebut.

Soal Nomor 2

Diberikan himpunan kabur $\widetilde{C}$ dengan fungsi yang menyatakan nilai keanggotaan pada semesta bilangan real nonnegatif berikut.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x+2}{4}, & \text{untuk}~0 \leq x < 2 \\ \dfrac{4,\!4-0,\!7x}{3}, & \text{untuk}~2 \leq x < 5 \\ 0,\!3, & \text{untuk}~5 \leq x < 8 \\ \dfrac{3-0,\!3x}{2}, & \text{untuk}~8 \leq x < 10 \\ 0, & \text{untuk}~x~\text{lainnya} \end{cases}$$Tentukan:
a. $\text{supp}(\widetilde{C})$;
b. $\text{core}(\widetilde{C})$;
c. $\text{crossover}(\widetilde{C})$;
d. $\text{height}(\widetilde{C})$;
e. $\text{center}(\widetilde{C})$.