Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Analisis Real 1 (Versi B) – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

     Berikut ini adalah soal ujian akhir semester beserta pembahasan mata kuliah Analisis Real 1 (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 4 oleh Dr. Dede Suratman, M.Si pada tanggal 5 Juli 2018.

Soal Nomor 1
Carilah himpunan penyelesaian dari |x - 5| < 6 - |x|

Penyelesaian

Diberikan pertidaksamaan |x-5| < 6 - |x|
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, didapat
|x-5| = \begin{cases} x - 5, &~\text{jika}~x \geq 5 \\ -x + 5, &~\text{jika}~x < 5 \end{cases}
dan
|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}
Perhatikan bahwa intervalnya terbagi dalam tiga daerah.
Daerah I: x < 0
Pada daerah ini, didapat |x-5| = -x+5 dan |x| = -x, sehingga pertidaksamaannya dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} -x+5 & < 6 - (-x) \\ -2x & < 1 \\ x & > -\dfrac{1}{2} \end{aligned}
Irisan dari x < 0 dan x > -\dfrac{1}{2} adalah -\dfrac{1}{2} < x < 0 (penyelesaian pertama).
Daerah II: 0 \leq x < 5
Pada daerah ini, didapat |x-5| = -x+5 dan |x| = x, sehingga pertidaksamaannya dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} -x+5 & < 6 - x \\ 5 & < 6 \end{aligned}
Ketaksamaan di atas bernilai benar, sehingga penyelesaian dari kasus ini diambil dari interval syaratnya, yaitu 0 \leq x < 5 (penyelesaian kedua).
Daerah III: x \geq 5
Pada daerah ini, didapat |x-5| = x-5 dan |x| = x, sehingga pertidaksamaannya dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} x-5 & < 6 - x\\ 2x & < 11 \\ x & < \dfrac{11}{2} \end{aligned}
Irisan dari x \geq 5 dan x < \dfrac{11}{2} adalah 5 \leq < x < \dfrac{11}{2} (penyelesaian ketiga).
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x-5| < 6 - |x| adalah gabungan dari ketiga penyelesaian tersebut, yaitu
\boxed{\text{HP} = \left\{x \in \mathbb{R} | -\dfrac{1}{2} < x < \dfrac{11}{2}\right\}} 

[collapse]

Soal Nomor 2
Sketsalah grafik dari |y - 1| = 5 - |2x|

Penyelesaian

Pada persamaan |y-1| = 5 - |2x|, tinjau dalam 4 kasus berbeda dengan menggunakan definisi nilai mutlak, yaitu
\begin{aligned} & |y-1| = \begin{cases} y - 1, &~\text{jika}~y \geq 1_\\ -y + 1, &~\text{jika}~y < 1 \end{cases} \\& |2x| = \begin{cases} 2x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -2x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases} \end{aligned}
Kasus pertama:
Untuk y \geq 1 dan x \geq 0, diperoleh
\begin{aligned} y-1 & = 5 - 2x \\ 2x + y & = 6 \end{aligned}
Sketsakan grafik dari persamaan garis lurus ini pada sistem koordinat Kartesius hanya pada interval y \geq 1 dan x \geq 0.
Kasus kedua:
Untuk y \geq 1 dan x < 0, diperoleh
\begin{aligned} y-1 & = 5 - (-2x) \\ -2x + y & = 6 \end{aligned}
Sketsakan grafik dari persamaan garis lurus ini pada sistem koordinat Kartesius hanya pada interval y \geq 1 dan x < 0.
Kasus ketiga:
Untuk y < 1 dan x \geq 0, diperoleh
\begin{aligned} -y+1 & = 5 - 2x \\ 2x - y & = 4 \end{aligned}
Sketsakan grafik dari persamaan garis lurus ini pada sistem koordinat Kartesius hanya pada interval y < 1 dan x \geq 0.
Kasus keempat:
Untuk y < 1 dan x < 0, diperoleh
\begin{aligned} -y+1 & = 5 - (-2x) \\ 2x + y & = -4 \end{aligned}
Sketsakan grafik dari persamaan garis lurus ini pada sistem koordinat Kartesius hanya pada interval y < 1 dan x < 0.
Catatan: kita akan menemukan bahwa 4 garis yang digambar itu ternyata memiliki titik ujung di (0,1). Keempat garis tersebut merupakan hasil penggambaran grafik dari |y-1| = 5-|2x|.

[collapse]

Soal Nomor 3
Berikan penjelasan apa yang dimaksud dengan:
a. Batas atas sebuah himpunan
b. Supremum sebuah himpunan
Berikan masing-masing sebuah contoh.

Penyelesaian

Jawaban a)
Batas atas suatu himpunan adalah bilangan yang lebih besar atau sama dengan dari semua elemen di himpunan tersebut. Misalnya, diberikan himpunan A = \{1,2,3,4,5\}. Batas atas himpunan A adalah bilangan real x yang memenuhi x \geq 5.
Jawaban b)
Supremum suatu himpunan adalah batas atas terkecil pada himpunan tersebut. Pada himpunan A = \{1,2,3,4,5}, batas atas himpunan ini adalah bilangan real x yang memenuhi x \geq 5. Ini berarti, 5 merupakan batas atas terkecil (supremum) dari A

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan himpunan C = \left\{\dfrac{1-3n}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}.
a. Apakah -3,11 adalah batas bawah C? Berikan penjelasan.
b. Tentukan infimum himpunan C.

Penyelesaian

Jawaban a)
-3,11 adalah batas bawah C, karena untuk setiap n \in \mathbb{N}, \dfrac{1}{n} > 0, dan akibatnya,
\dfrac{1-3n}{n} = \dfrac{1}{n} - 3 \geq -3,11 \iff \dfrac{1}{n} \geq  -0,11 > 0
Jawaban b)
Perhatikan bahwa \dfrac{1-3k}{k} = \dfrac{1}{k} - 3 \in C, k \in \mathbb{N}.
Dengan menggunakan pendekatan limit,
\displaystyle \lim_{k \to \infty} \left(\dfrac{1}{k} - 3\right) = 0 - 3 = -3
Jadi, infimum dari C adalah -3.
(Anda juga dapat menunjukkan bahwa himpunan \left\{\dfrac{1}{n} | n \in \mathbb{N}\right\} memiliki infimum 0) 

[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan himpunan berikut.
S = \left\{\dfrac{2n^2-4n}{n^2-5}: n \in \mathbb{N}\right\}
a. Tunjukkan bahwa himpunan S terbatas
b. Tentukan supremum himpunan S
b. Tentukan infimum himpunan S

Penyelesaian

Jawaban a)
Bila S dinyatakan dengan tabulasi (didaftarkan anggotanya), didapat
S = \left\{\dfrac{1}{2}, 0, \dfrac{3}{2}, \dfrac{16}{11}, \dfrac{3}{2}, \cdots\right\}
Karena \dfrac{2n^2-4n} {n^2-5} \geq 0 untuk setiap n \in \mathbb{N}, maka jelas bahwa seluruh bilangan real negatif akan menjadi batas bawah S. Jadi, S terbatas di bawah. Selanjutnya, gunakan pendekatan limit,
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n^2-4n} {n^2-5} = 2
Ini berarti, batas atas himpunan S adalah setiap bilangan real x yang memenuhi x \geq 2. Jadi, S terbatas di atas.
Dapat disimpulkan bahwa S merupakan himpunan terbatas (bounded set).
Jawaban b) Batas atas terkecil dari himpunan S adalah 2. Jadi, \sup(S) = 2.
Jawaban c) Batas bawah terbesar dari himpunan S adalah 0. Jadi, \inf(S) = 0.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini