Soal Latihan dan Penyelesaian – Operasi Biner dan Grup (Struktur Aljabar)

Soal Nomor 1
Misalkan himpunan bilangan asli \mathbb{N}, didefinisikan dalam operasi \star, yaitu \forall x,y \in \mathbb{N}, berlaku
x \star y = x + y - xy
Tunjukkan bahwa (\mathbb{N}, \star) adalah bukan grupoid.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa (\mathbb{N}, \star) merupakan struktur aljabar yang dilengkapi dengan operasi \star, tetapi bukan disebut sebagai grupoid karena tidak mewarisi sifat tertutup (operasinya bukan biner). Dengan counter example, ambil x = 4 dan y = 5, sehingga x \star y = 4 \star 5 = 4 + 5 - 4.5 = -11 \notin \mathbb{N}. (terbukti)

[collapse]
 


Soal Nomor 2
Diberikan \mathbb{Z}^+ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan didefinisikan x * y = |x - y| untuk setiap x,y \in \mathbb{Z}^+. Apakah operasi * pada himpunan tersebut bersifat tertutup, komutatif, atau asosiatif?

Penyelesaian

Dengan meninjau definisi harga mutlak
|x - y| = \begin{cases} x - y, & \mbox{jika}~x > y \\ 0, & \mbox{jika}~x = y \\ -x + y, & \mbox{jika}~x < y \end{cases}
Perhatikan bahwa |x - y| = 0 jika dan hanya jika x = y, padahal 0 bukanlah anggota \mathbb{Z}^+, sehingga operasi * tidak bersifat tertutup dalam \mathbb{Z}^+. Sebagai contoh, ambil x = y = 3, akibatnya |x - y| = |3 - 3| = 0 \notin \mathbb{R}^+

Jika operasi tersebut memenuhi sifat komutatif, maka haruslah berlaku
x * y = y * x dengan x, y \in \mathbb{Z}^+.
Perhatikan bahwa
x * y = |x - y| = |(-1)(y - x)|
= |-1|.|y-x| = 1.|y-x| = |y-x| = y * x
Jadi, operasi * terbukti memenuhi sifat komutatif.

Jika operasi tersebut memenuhi sifat asosiatif, maka haruslah berlaku
x * (y * z)= (x * y) * z dengan x, y, z \in \mathbb{Z}^+.
Perhatikan bahwa
x * (y * z)= x * |y - z| = |x - |y - z||
(x * y) * z = |x - y| * z = ||x - y| - z|
Diperoleh bahwa x * (y * z) \neq (x * y) * z
Jadi, operasi * tidak terbukti memenuhi sifat asosiatif.

[collapse]


Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa untuk  G = \{0, 1\}(G, \times) merupakan grup.

Penyelesaian

Agar G dikatakan grup dalam operasi perkalian standar, maka G harus memenuhi 4 aksioma (termasuk aksioma operasi biner yaitu perkalian standar: sifat tertutup). Untuk menunjukkannya, gunakan Tabel Cayley.


Dengan meninjau Tabel Cayley di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa:

  1. Operasi perkalian merupakan operasi biner karena bersifat tertutup pada G, yaitu hasil operasinya sendiri merupakan anggota G.
  2. Operasi perkalian standar pada G bersifat asosiatif.
  3. Operasi perkalian standar pada G memiliki identitas, yaitu 1.
  4. Operasi perkalian standar pada G memiliki invers, yaitu 1, karena untuk sembarang a \in G, berlaku
    a \times 1 = 1 \times a = a.
    Karena memenuhi 4 aksioma grup, maka G merupakan grup terhadap operasi perkalian standar,  (G, \times).
    (Terbukti) \blacksquare

    [collapse]


Soal Nomor 4
Diketahui G = {bilangan rasional positif} dan a * b = \dfrac{ab}{2}, \forall a,b\in G. Tunjukkan bahwa (G, *) merupakan grup.

Penyelesaian

Agar (G, *) dikatakan sebagai grup dalam operasi bintang, maka harus ditunjukkan bahwa (G, *) memenuhi 4 aksioma grup (termasuk sifat tertutup).

  1. Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang bersifat tertutup pada G.
    Ambil sembarang a,b \in G sehingga menurut definisi operasi bintang, diperoleh
    a*b = \dfrac{ab}{2}
    Karena ab dan 2 masing-masing merupakan bilangan bulat positif, sehingga \dfrac{ab}{2} merupakan bilangan rasional positif, maka \dfrac{ab}{2} juga anggota G. Berarti, operasi bintang bersifat tertutup pada G.
  2. Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada G bersifat asosiatif.
    Ambil sembarang a,b,c \in G. Perhatikan bahwa,
    (a * b) * c = \dfrac{ab}{2} * c
    = \dfrac{abc}{4} = a * \dfrac{bc}{2} = a * (b * c)
    Karena (a * b) * c =  a * (b * c), maka dapat dikatakan bahwa operasi bintang pada G bersifat asosiatif.
  3. Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada G memiliki identitas.
    Ambil sembarang a \in G dengan e sebagai identitas (yang akan dicari). Perhatikan bahwa,
    a * e  = \dfrac{ae}{2} = a \Rightarrow e = \dfrac{2a}{a} = 2
    e * a = \dfrac{ea}{2} = a \Rightarrow e = \dfrac{2a}{a} = 2
    Jadi, unsur identitas/kesatuannya adalah 2.
  4. Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada G memiliki invers.
    Ambil sembarang a, b \in G, sehingga menurut aksioma invers pada grup, invers dari a yaitu b harus memenuhi
    a * b = 2 \Leftarrow \dfrac{ab}{2} = 2 \Leftarrow b = \dfrac{4}{a}
    Jadi, invers sembarang a \in G adalah \dfrac{4}{a}.
    Karena memenuhi 4 aksioma grup tersebut, maka (G, *) merupakan grup. (Terbukti) \blacksquare

    [collapse]


Soal Nomor 5
Untuk semua bilangan bulat n \geq 2 didefinisikan Z_n = \{0, 1, 2, ..., n-1\}. Untuk \forall a,b \in Z_n, didefinisikan

a +_n b = (a+b)\mod n
a \times_n b = (a \times b)\mod n
Untuk n = 8, tunjukkan bahwa +_n dan \times_n adalah operasi biner.

Penyelesaian

Untuk n = 8, diperoleh Z_8 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}.
Buatlah Tabel Cayley untuk kasus ini.


Mungkin ada pembaca yang kebingungan bagaimana cara mendapatkan angka-angka yang diberi latar kuning pada Tabel Cayley. Diambil beberapa sampel perhitungan untuk memberi penjelasan:

  • 5 +_n 7 = (5 + 7)\mod 8 = 12\mod 8 = (8 \times 1 + 4)\mod 8 = 4
    Dalam hal ini, 12 dibagi 8 adalah 1 dengan sisa 4. (mod = sisa hasil bagi)
  • 4 \times_n 7 = (4 \times 7)\mod 8 = 28\mod 8 = (8 \times 3 + 4)\mod 8 = 4
    Dalam hal ini, 28 dibagi 8 adalah 3 dengan sisa 4.
    Dari Tabel Cayley di atas, terlihat bahwa hasil operasi +_n dan \times_n semuanya merupakan anggota Z_8, sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa +_n dan \times_n adalah operasi biner karena bersifat tertutup. (terbukti) \blacksquare

    [collapse]


Soal Nomor 6
Misalkan \dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q} - \{0\} sembarang. Didefinisikan operasi * dengan
\dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b^2 + d}
Tunjukkan bahwa * bukan operasi biner.

Penyelesaian

Untuk menunjukkan bahwa * bukan operasi biner, berarti kita harus membuktikan (memberi penyangkal) bahwa operasi tersebut tidak bersifat tertutup. Dengan kata lain, kita harus menemukan dua buah bilangan rasional tanpa 0 yang bila dioperasikan tidak menghasilkan bilangan rasional tanpa 0.
Ambil a = -c atau d = -b^2, dengan a, b, c, d \in \mathbb{Z} - \{0\} (mengikuti definisi bilangan rasional, tanpa 0), maka hasil operasi * menghasilkan bilangan yang bukan anggota himpunan \mathbb{Q} - \{0\}.
Untuk a = -c, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d}  & = \dfrac{a + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{-c + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{0}{b^2 + d} = 0 \notin \mathbb{Q} - \{0\} \end{aligned}
Untuk d = -b^2, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d}  & = \dfrac{a + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{a + c}{b^2 - b^2} = \dfrac{a + c}{0} = \emptyset \notin \mathbb{Q} - \{0\} \end{aligned}
Jadi, operasi tersebut tidak bersifat tertutup dan oleh karenanya bukan termasuk operasi biner. (Terbukti) \blacksquare

[collapse]


Soal Nomor 7
Misalkan P adalah himpunan bilangan bulat berkelipatan 3. Tunjukkan bahwa (P, +) merupakan grup abelian.

Penyelesaian

Diberikan P = \{3x | x \in \mathbb{Z}\}
(Sifat tertutup) Ambil sembarang a = 3x \in P dan b = 3y \in P. Akan ditunjukkan bahwa a + b \in P
a + b = 3x + 3y = 3(x + y)
Karena x + y \in \mathbb{Z}, maka jelas bahwa 3(x + y) \in P
(Sifat asosiatif) Ambil sembarang a = 3x \in P, b = 3y \in P, dan c = 3z \in P. Akan ditunjukkan bahwa (a + b) + c = a + (b + c)
\begin{aligned} (a + b) + c & = (3x + 3y) + 3z \\ & = 3(x + y) + 3z \\ & = 3((x + y) + z \\ & = 3(x + (y + z)) \\ & = 3x + 3(y +z) \\ & = 3x + (3y + 3z) \\ & = a + (b + c) \end{aligned}
(Eksistensi identitas) Ambil sembarang a = 3x \in P. Akan ditunjukkan bahwa ada b = 3.0\in P sedemikian sehingga berlaku a + b = a
\begin{aligned} a + b = 3x + 3.0 \\ & = 3(x + 0) \\ & = 3x = a \end{aligned}
Jadi, unsur identitas dalam P terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat adalah 0.
(Invers) Ambil sembarang a = 3x \in P. Akan ditunjukkan bahwa ada b = 3(-x) \in P sedemikian sehingga berlaku a + b = 0
\begin{aligned} a + b = 3x + 3(-x) \\ & = 3(x + (-x)) \\ & = 3(0) = 0 \end{aligned}
(Sifat komutatif) Ambil sembarang a = 3x \in P dan b = 3y \in P. Akan ditunjukkan bahwa a + b = b + a
\begin{aligned} a + b = 3x + 3y \\ & = 3(x + y) \\ & = 3(y + x) \\ & = 3y + 3x = b + a \end{aligned}
Karena memenuhi kelima syarat, maka dapat disimpulkan (P, +) merupakan grup komutatif (grup abelian).

[collapse]

Soal Nomor 8
Misalkan \mathbb{Z} bilangan bulat dan didefinisikan operasi biner x * y = x + y - 1, \forall x,y \in \mathbb{Z}. Tunjukkan bahwa (\mathbb{Z}, *) merupakan grup abelian!

Penyelesaian

Untuk membuktikan bahwa (\mathbb{Z}, *) grup abelian, maka harus ditunjukkan bahwa (\mathbb{Z}, *) memenuhi 4 aksioma (sifat).
i) Operasi * berlaku sifat asosiatif
Akan ditunjukkan bahwa x * (y * z) = (x * y) * z, \forall x,y,z \in \mathbb{Z}
x * y * z = x * (y + z - 1) = x + (y + z - 1) - 1
= (x + y - 1) + z - 1 = (x * y) + z - 1
= (x * y) * z
Jadi, operasi * berlaku sifat asosiatif.

ii) (\mathbb{Z}, *) memiliki identitas
Akan ditunjukkan bahwa ada e \in \mathbb{Z} sedemikian sehingga berlaku x * e = e * x = x, x \in \mathbb{Z}
Perhatikan bahwa:
x * e = x \Leftrightarrow x + e - 1 = x
\Rightleftarrow e - 1 = 0 \Leftrightarrow e = 1
dan
e * x = x \Leftrightarrow e + x - 1 = x
\Leftrightarrow e - 1 = 0 \Leftrightarrow e = 1
Jadi, (\mathbb{Z}, *) memiliki identitas, yaitu 1.
iii) Setiap elemen (\mathbb{Z}, *) memiliki invers.
Akan ditunjukkan bahwa x * x^{-1} = x^{-1} * x = e = 1, x \in \mathbb{Z}
Perhatikan bahwa,
x * x^{-1} = 1\Leftrightarrow x + x^{-1} - 1 = 1 \Leftrightarrow x^{-1} = 2 - x
x * x^{-1} = 1\Leftrightarrow x^{-1} + x - 1 = 1 \Leftrightarrow x^{-1} = 2 - x
Jadi, setiap x \in \mathbb{Z} memiliki invers yaitu x^{-1} = 2 - x.
iv) Operasi * bersifat komutatif
Akan ditunjukkan bahwa berlaku x * y = y * x, \forall x,y \in \mathbb{Z}
x * y = x + y - 1 = y + x - 1 = y * x
Jadi, operasi * bersifat komutatif.
Karena memenuhi 4 aksioma ini, maka
(\mathbb{Z}, *) terbukti merupakan grup abelian. \blacksquare

[collapse]


Soal Nomor 9
Misalkan G grup sedemikian sehingga (ab)^2 = a^2b^2, untuk \forall a,b \in G. Tunjukkan bahwa G merupakan grup komutatif (abelian).

Penyelesaian

Ambil sembarang a, b \in G. Akan ditunjukkan bahwa ab = ba. Perhatikan bahwa
(ab)^2 = a^2b^2 = (aa)(bb)
Di lain sisi, juga diketahui bahwa
(ab)^2 = (ab)(ab)
Ini berarti,
(aa)(bb) = (ab)(ab)
Gunakan sifat asosiatif,
a(ab)b = a(ba)b
Karena G grup, maka berlaku hukum kanselasi, diperoleh
ab = ba
Jadi, terbukti bahwa G merupakan grup komutatif (abelian). \blacksquare

[collapse]


Soal Nomor 10
Tunjukkan bahwa jika setiap unsur dalam grup G merupakan invers dari dirinya sendiri, maka G grup abelian!

Penyelesaian

Ambil sembarang a, b \in G. Diberikan bahwa a = a^{-1} dan b = b^{-1}. Juga karena G grup, maka operasi * pada G bersifat tertutup. Artinya, a*b \in G. Akan ditunjukkan bahwa a * b = b *a.
Perhatikan bahwa
a * b = (a * b)^{-1}
Dengan menggunakan teorema grup, berlaku
(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} = b * a
Terbukti, a * b = b * a. Jadi, G merupakan grup abelian.

[collapse]


Soal Nomor 11 (Soal ON MIPA-PT
Diberikan (G, \star) suatu grup dan a, b \in G. Diketahui a \star b = b \star a^{-1} dan b \star a = a \star b^{-1}. Elemen identitas dari G adalah …
A. a^5
B. a^4
C. a^3
D. a^2
E. a

Penyelesaian

Diketahui bahwa
a \star b = b \star a^{-1}
untuk setiap a, b \in G. Karena G grup, maka setiap anggota G memiliki invers di G. Dalam kasus ini, a memiliki invers, yaitu a^{-1} \in G.
Jadi, berlaku
a \star a^{-1} = a^{-1} \star a^{-1}
Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh
a = a^{-1}
Diperoleh bahwa invers anggota G adalah dirinya sendiri. Menurut definisi grup: identitas dan invers,
a \star a^{-1} = e
a \star a = e
a^2 = e
Jadi, unsur identitas G adalah a^2. (Jawaban D)

[collapse]


Soal Nomor 12 (Soal OSN-Pertamina Tahun 2011 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi)
Misalkan (G, +) suatu grup dan a, b elemen-elemen di G. Jika ab = ba, |a| = m, |b| = n, dan m,n saling prima relatif, maka \cdots
A. |a + b| = |a| + |b|
B. |ab| = |a|~|b|
C. |ab| < |a|~|b|
D. |a + b| = |a| = |b| - |ab|
E. |ab| = |a + b|

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]


Soal Nomor 13 (Soal OSN-Pertamina Tahun 2010 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi)
Misalkan M_n(\mathbb{Z}) menyatakan himpunan matriks persegi berukuran n \times n dengan elemen-elemennya pada \mathbb{Z}. Jika operasi \bullet menyatakan perkalian matriks dan \mathbb{M} = \{M \in M_2(\mathbb{Z}) : |M| \neq 0\}, maka (\mathbb{M}, \bullet) adalah \cdots
A. grup abelian
B. grup non-abelian
C. monoid abelian dan bukan grup
D. monoid non-abelian dan bukan grup
E. tidak dapat ditentukan

Penyelesaian

Jelas bahwa pada operasi perkalian maupun penjumlahan pada bilangan bulat bersifat tertutup. Sifat asosiatif juga berlaku secara umum pada matriks. Himpunan matriks \mathbb{M} juga memiliki identitas terhadap operasi perkalian matriks, yaitu
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
Tetapi, tidak semua anggota himpunan matriksnya memiliki invers yang juga anggota himpunan matriks tersebut.
Dalam hal ini, kita sudah tahu bahwa invers dari matriks berordo 2 dengan entri bilangan bulat a,b,c,d yang dinotasikan
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
memiliki invers
\dfrac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
Perkalian terhadap bilangan konstan berupa pecahan (bilangan rasional) di luar matriks mengakibatkan entrinya tidak selalu bilangan bulat. Berarti, struktur aljabar (\mathbb{M}, \bullet) memenuhi sifat tertutup, asosiatif, dan memiliki identitas, tetapi tidak semua anggotanya memiliki invers di \mathbb{M}. Karena hanya memenuhi 3 aksioma pertama, maka struktur tersebut dinamakan monoid (jika aksioma invers terpenuhi disebut grup). Selanjutnya, kita juga sudah tahu bahwa dalam operasi perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif. Jadi, struktur tersebut adalah monoid non-abelian (atau monoid non-komutatif) dan bukan grup (Jawaban D)

[collapse]


Soal Nomor 14 (Soal OSN-Pertamina Tahun 2010 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi)
Semigrup adalah himpunan tak kosong dengan operasi biner yang memenuhi sifat tertutup dan asosiatif. Sedangkan monoid adalah semigrup dengan identitas. Pernyataan berikut yang benar adalah \cdots
A. (\mathbb{Z}, \times) monoid dan bukan grup
B. (\mathbb{Z}^+, \times) semigrup dan bukan monoid
C. (\mathbb{Z}, +) monoid dan bukan grup
D. (\mathbb{Z}^+, +) semigrup dan bukan monoid
E. Lebih dari satu pilihan jawaban di atas benar

Penyelesaian

(\mathbb{Z}, \times) merupakan monoid dan bukan grup adalah pernyataan yang benar karena tidak setiap elemennya memiliki invers di \mathbb{Z}. Contohnya, invers perkalian dari 1 adalah 1 (bulat), tetapi invers perkalian dari 2 adalah \dfrac{1}{2} yang jelas bukan bilangan bulat.
(\mathbb{Z}^+, \times) adalah semigrup dan bukan monoid merupakan pernyataan yang salah sebab strukturnya memiliki identitas, yaitu 1, yang merupakan bilangan bulat positif (seharusnya monoid dan bukan grup)
(\mathbb{Z}, +) adalah monoid dan bukan grup merupakan pernyataan yang salah karena elemen himpunannya memiliki invers di himpunan itu sendiri. Misalkan invers jumlah dari 2 adalah -2, invers jumlah dari 0 adalah 0, dan seterusnya.
(\mathbb{Z}^+, +) adalah semigrup dan bukan monoid merupakan pernyataan yang benar karena strukturnya tidak memiliki identitas. Identitas operasi penjumlahan pada bilangan bulat adalah 0, tetapi 0 sendiri bukan bilangan bulat positif.
Jadi, ada 2 alternatif jawaban yang benar. Berarti, pilih jawaban E.

[collapse]


Soal Nomor 15
Tunjukkan bahwa \mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, 3, \cdots, n - 1\} dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo n merupakan grup.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]


Soal Nomor 16 (Soal ON MIPA-PT
Diketahui grup permutasi S_4. Order dari (1~2~3~4) \in S_4 adalah \cdots (order dari a \in G adalah bilangan asli terkecil yang memenuhi a^n = e dengan e elemen identitas)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Penyelesaian

(1~2~3~4) artinya permutasi yang mengambil \{1,2,3,4\} sebagai suatu sikel (siklus), yaitu \begin{cases} 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 3 \\ 3 \mapsto 4 \\ 4 \mapsto 1 \end{cases}
Bagan di atas menunjukkan adanya 4 siklus, yang berarti membutuhkan pengoperasian sebanyak 4 kali dari permutasi semula. Jadi, order dari S_4 adalah 4.
Tips: Order dari (1~2~3~\cdots~n) \in S_n adalah n

[collapse]


Soal Nomor 17 (Soal ON MIPA-PT
Misalkan A = \{e, x, x^2, x^3, y, xy, x^2y, x^3y\} dengan x^4 = y^2 = e dan xy = y^{-1}x. Banyaknya unsur idempoten di A adalah \cdots
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Penyelesaian

Elemen a \in A disebut unsur idempoten di A jika berlaku a^2 = a. Jelas bahwa e adalah elemen idempoten dalam A, karena berlaku e^2 = e. Perhatikan bahwa x^{2a} = x^a hanya ketika x^a = e, jadi tidak ada perpangkatan x lain yang merupakan idempoten. Selain itu, y^{-1} = y, sehingga dalam grup ini, berlaku xy = yx (abelian). Selanjutnya,
(x^ay)(x^ay) = x^{2a}y^2 = x^{2a}e = x^{2a} \neq x^ay
Jadi, tidak ada elemen A dalam bentuk x^ay yang merupakan idempoten di grup tersebut.
Dapat disimpulkan bahwa banyak unsur idempoten di A hanya 1, yaitu e.

[collapse]


Soal Nomor 18 (Soal ON MIPA-PT)
Misalkan S_5 adalah grup permutasi atas \{1, 2, 3, 4, 5\}. Banyaknya unsur berorde 2 di S_5 adalah \cdots

Penyelesaian

Unsur berorde 2 pada grup permutasi S_5 menandakan bahwa kita harus membentuk cycle permutasi berbentuk (a, b) atau (a, b)(c, d), yang banyak unsurnya dapat dihitung dengan aturan kombinasi. Ingat bahwa (a, b) dan (b, a) adalah sama (misalnya, (1, 2) = (2, 1), atau misal cycle berorde tiga (1, 2, 3) = (2, 3, 1) = (3, 1, 2)). Untuk kasus (a, b), ada sebanyak C_2^5 = 10.
Untuk kasus (a, b)(c, d), ada sebanyak C_2^5 \times C_2^3 = 10 \times 3 = 30
Jadi, banyak unsur berorde 2 di S_5 adalah 10 + 30 = 40.

[collapse]


Soal Nomor 19
Jika G adalah grup dan a^2 = e, \forall a \in G, buktikan bahwa G adalah grup abelian.

Penyelesaian

Misal G grup dengan operasi * dan a^2 = e untuk setiap a \in G.
Akan ditunjukkan bahwa a * b = b * a dengan a, b \in G
Karena a,b \in G, maka a*b juga elemen G (sifat tertutup). Berarti,
\begin{aligned}& (a*b)^2 = e \\ & a*b*a*b=e \\ & a^2*b*a*b = a \\ & e*b*a*b = a \\ & b*a*b = a \\ & b^2*a*b = b * a \\ & e*a*b = b * a \\ & a*b = b*a \end{aligned}
Terbukti bahwa G abelian.

[collapse]

Soal Nomor 20
Buktikan bahwa semua grup dengan order kurang dari 5 adalah abelian.

Penyelesaian

Misalkan grup G mempunyai 4 elemen dan a, b, e tiga elemen berbeda dalam G. Berarti, a * b dan b * a juga elemen G.
Andaikan a * b \neq b * a, berarti a*b = e, a atau b.
Jika a * b = e, maka b * a = e dan akibatnya a * b = b * a.
Jika a * b = a, maka b = e.
Jika a * b = b, maka a = e.
Semuanya kontradiksi dengan pengandaian, sehingga haruslah a * b = b*a, dan G terdiri atas 4 elemen, yaitu e, a, b, a*b.
Untuk menunjukkan bahwa G abelian, harus dibuktikan bahwa a*(a*b) = (a*b)*a
yaitu
\begin{aligned} & a * b = b * a \\ & a * (a * b) = a * (b * a) \\ & a * (a * b) = (a * b) * a \end{aligned}
Jadi, terbukti bahwa G abelian.

[collapse]

Soal Nomor 21 (Asked by I Wayan Krisna Adipayana)
Jika grup G dengan a^5 = e dan aba^{-1} = b^2 untuk setiap a,b \in G, buktikan bahwa |b| = 31

Penyelesaian

Diberikan a^5 = e dan aba^{-1} = b^2. Akan ditunjukkan bahwa |b| = 31 atau dengan kata lain, b^{31} = e. Selain itu, kita juga mendapatkan bahwa ab = b^2a. Gunakan informasi ini untuk membuktikan |b| = 31.
Perhatikan bahwa,
\begin{aligned} aba^{-1} = b^2 \Leftrightarrow &~ab = b^2a \\ & a^4ab = a^4b^2a \\ & b = a^4b^2a \\ & b^{31} = (a^4b^2a)^{31} = a^{31}b^{62}a^{124} \\ & b^{31} = ab^{62}a^4 = b^{124}a^5 = b^{124} \end{aligned}
Persamaan b^{31} = b^{124} = (b^{31})^4 akan benar apabila b^{31} = e. Jadi, terbukti bahwa |b| = 31.

[collapse]

Soal Nomor 22
Operasi bilangan * pada himpunan bilangan rasional \mathbb{Q} didefinisikan sebagai
\dfrac{a} {b} * \dfrac{c}{d} = \dfrac{a} {b} - \dfrac{4}{5} + \dfrac{c} {d}
Tentukan
a) \dfrac{1}{2} * \dfrac{2}{3},
b) elemen identitas operasi tersebut,
c) invers dari \dfrac{2}{5}

Penyelesaian

Jawaban a)
Dengan menggunakan definisi operasi yang diberikan, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{1}{2} * \dfrac{2}{3} & = \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{3} \\ & = \dfrac{15 - 24 + 20}{30} = \dfrac{11}{30} \end{aligned}
Jawaban b)
Misalkan \dfrac{a}{b} \in \mathbb{Q}. Akan dicari e \in \mathbb{Q}, sedemikian sehingga berlaku
\dfrac{a}{b} * e = \dfrac{a}{b}
Dengan menggunakan definisi operasi *, didapat
\dfrac{a}{b} - \dfrac{4}{5} + e = \dfrac{a}{b}
Jadi, didapat e= \dfrac{4}{5}
Dengan demikian, identitas operasi * adalah \dfrac{4}{5}.
Jawaban c)
Akan dicari a^{-1} \in \mathbb{Q} sedemikian sehingga berlaku
\dfrac{2}{5}*a^{-1} = e = \dfrac{4}{5}
Selanjutnya, diperoleh
\dfrac{2}{5} - \dfrac{4}{5} + a^{-1} = \dfrac{4}{5}
Jadi, didapat a^{-1} = \dfrac{6}{5}
Dengan demikian, invers dari \dfrac{2}{5} adalah \dfrac{6}{5}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini