Soal dan Pembahasan – Kompetisi Sains Nasional (KSN) Tingkat Kabupaten Bidang Matematika SMA/MA Tahun 2020

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan Kompetisi Sains Nasional Tingkat Kabupaten (KSN-K) bidang matematika SMA/MA tahun 2020. Soal dibagi menjadi $2$ kategori, yaitu soal kemampuan dasar yang terdiri dari $10$ butir, begitu juga dengan soal kemampuan lanjut. Semua soal berbentuk isian singkat. Peserta diberi waktu selama $120$ menit untuk mengerjakan soal tersebut.

Klik: Download Soal KSN-K Matematika SMA/MA Tahun 2020 (PDF)

Kemampuan Dasar
Pada bagian ini setiap jawaban yang benar bernilai $2$ poin dan setiap jawaban yang salah atau kosong bernilai nol.

Soal Nomor 1
Misalkan $f(x) = \dfrac{3(x-1)(x-2)}{2}+\dfrac{(x-2)(x-3)}{2}$ $-2(x-1)(x-3)$. Nilai dari $f(20)$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Cara 1: Menyederhanakan dulu
Kita sederhanakan rumus fungsi $f(x)$, lalu substitusi $x = 20$.
$$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac{3(x-1)(x-2)}{2} + \dfrac{(x-2)(x-3)}{2}-2(x-1)(x-3) \\ & = \dfrac{3(x^2-3x+2)}{2}+\dfrac{x^2-5x+6}{2}-2(x^2-4x+3) \\ & = \dfrac{3x^2-9x+6+x^2-5x+6}{2}-2x^2+8x-6 \\ & = \dfrac{4x^2-14x+12}{2}-2x^2+8x-6 \\ & = 2x^2-7x+6-2x^2+8x-6 = x \end{aligned}$$Karena $f(x)=x$, maka untuk $x=20$, diperoleh $\boxed{f(20)=20}$
Cara 2: Substitusi langsung
Substitusi langsung $x = 20$ pada $f(x)$.

$$\begin{aligned} f(20) & = \dfrac{3(20-1)(20-2)}{2} + \dfrac{(20-2)(20-3)}{2}-2(20-1)(20-3) \\ & = \dfrac{3(19)(\cancelto{9}{18})}{\cancel{2}}+\dfrac{(\cancelto{9}{18})(17)}{\cancel{2}}-2(19)(17) \\ & = 3(19)(9)+9(17)-2(19)(17) = 20 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f(20) = 20}$
Catatan:
Substitusi langsung $x = 20$ pada $f(x)$ masih sangat memungkinkan untuk dilakukan perhitungan, tetapi akan memakan waktu yang lama bila $x$ disubstitusi sebagai bilangan yang lebih besar, misalnya $x = 2020$. Cara yang disarankan adalah menyederhanakan rumus fungsi $f(x)$ sebisa mungkin.

[collapse]

Soal Nomor 2
Diberikan sebuah kubus besar berukuran $3 \times 3$ yang seluruh permukaannya dicat dengan warna merah. Kubus tersebut dipotong menjadi $27$ kubus satuan (kubus berukuran $1 \times 1 \times 1$). Diketahui bahwa Amir mengambil satu kubus kecil yang salah satu sisinya berwarna merah. Peluang kubus kecil yang diambil Amir memiliki tepat dua sisi berwarna merah adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Banyak kubus yang tidak terkena cat untuk kubus berukuran $n \times n \times n$ adalah $(n-2)(n-2)(n-2)$, sedangkan banyak kubus yang terkena cat satu sisi saja adalah $6(n-2)(n-2)$, serta banyak kubus yang terkena cat tepat $3$ sisi adalah $8$ (di tepi kubus).
Untuk $n = 3$, banyak kubus yang tidak terkena cat ada $1$ buah sehingga sebanyak $\color{red}{26}$ kubus yang terkena cat.
Selanjutnya, terdapat $6(3-2)(3-2) = 6$ kubus yang terkena cat satu sisi saja. Akibatnya, banyak kubus yang terkena cat dua sisi adalah $26-6-8=\color{blue}{12}$, seperti tampak pada ilustrasi gambar berikut.

Dengan demikian, peluang terambilnya kubus kecil dengan tepat dua sisi terkena cat adalah $\boxed{\dfrac{\color{blue}{12}}{\color{red}{26}} = \dfrac{6}{13}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan trapesium siku-siku seperti pada gambar di bawah ini.

Jika $AB = 1, BD = \sqrt7$, dan $AD=CD$, maka luas trapesium tersebut adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Tarik garis dari titik $A$ sehingga tegak lurus dengan $DC$, memotong di titik $E$ seperti gambar.

Diketahui $AB = EC = 1$. Misalkan $AD = x$, maka $DE = x-1$. Misalkan juga $AE = BC = y$.
Pada segitiga siku-siku $ADE$, berlaku rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} AE^2 & = AD^2-DE^2 \\ y^2 & = x^2-(x-1)^2 \\ y^2 & = x^2-(x^2-2x+1) \\ y^2 & = 2x-1 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Pada segitiga siku-siku $BDC$, juga berlaku rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} BC^2 & = BD^2-DC^2 \\ y^2 & = (\sqrt7)^2-x^2 \\ y^2 & = 7-x^2 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Berdasarkan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh
$\begin{aligned} 2x-1 & = 7-x^2 \\ x^2+2x-8 & = 0 \\ (x+4)(x-2) & = 0 \end{aligned}$
Didapat $x = -4$ (tidak memenuhi karena bernilai negatif) atau $x=2$.
Substitusi $x = 2$ pada persamaan $(1)$ sehingga diperoleh
$y^2 = 2(2)-1 \Rightarrow y = \sqrt3$
Luas trapesiun $ABCD$ selanjutnya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = \dfrac{(AB+CD) \times BC}{2} \\ & = \dfrac{(1+2) \times \sqrt3}{2} = \dfrac32\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, luas trapesium itu adalah $\boxed{\dfrac32\sqrt3}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Misalkan $x, y$ bilangan asli sehingga $2x+3y=2020$. Nilai terbesar yang mungkin dari $3x+2y$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Perhatikan ekspresi $3x+2y$. Supaya bernilai sebesar mungkin, maka nilai $x$ harus dibuat maksimum karena koefisiennya lebih besar dari variabel $y$.
Tinjau persamaan $2x+3y=2020$.
Jika dipilih $x = 1010$, berakibat $y = 0$, padahal $y$ harus bilangan asli.
Nilai $x = 1009$ dan $x = 1008$ mengakibatkan nilai $y$ juga bukan bilangan asli.
Jika dipilih $x = 1007$, diperoleh $y = 2$. Artinya, nilai $x$ terbesar adalah $1007$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} 3x+2y & =3(1007)+2(2) \\ & = 3021+4 = 3025 \end{aligned}$
Jadi, nilai terbesar yang mungkin dari $\boxed{3x+2y=3025}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Suatu barisan bilangan real $a_1, a_2, a_3, \cdots$ memenuhi $a_1 = 1$, $a_2=\dfrac35$, dan $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{2}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}$ untuk setiap $n \geq 3$. Bilangan $a_{2020}$ dapat ditulis sebagai $\dfrac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ bilangan asli relatif prima. Nilai $p+q$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui $a_1 = 1$ dan $a_2 = \dfrac35$.
Untuk $n \geq 3$, berlaku $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{2}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}$.
Cara pertama: Relasi rekurensi
Misalkan $\dfrac{1}{a_n} = b_n$, sehingga persamaan di atas ditulis $b_n = 2b_{n-1}-b_{n-2}$. Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi tersebut adalah
$\begin{aligned} r^2 & = 2r-1 \\ r^2-2r+1 & = 0 \\ (r-1)^2 &= 0 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $r = 1$ (kembar).
Karena memiliki akar kembar, maka solusi umum relasi rekurensi tersebut adalah $b_n = C_1r^2 + C_2nr^2$.
Perhatikan bahwa $a_1 = 1$, sehingga $b_1 = 1$. Substitusi $n = 1$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} b_1 & = C_1(1)^2 + C_2(1)(1)^2 \\ 1 & = C_1 + C_2 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Perhatikan juga bahwa $a_2 = \dfrac35$, sehingga $b_2 = \dfrac53$. Substitusi $n = 2$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} b_2 & = C_1(1)^2 + C_2(2)(1)^2 \\ \dfrac53 & = C_1 + 2C_2 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari kedua persamaan yang didapat, kita mendapat $C_1 = \dfrac13$ dan $C_2 = \dfrac23$, sehingga $b_n = \dfrac13 + \dfrac23n = \dfrac{1+2n}{3}$, artinya $a_n = \dfrac{3}{1+2n}$.
Substitusi $n = 2020$ dan akhirnya didapat $a_{2020} = \dfrac{3}{1+2(2020)} = \dfrac{1}{1347}$.
Oleh karena itu, nilai $p = 1$ dan $q = 1347$, berarti $\boxed{p+q=1348}$ 
Cara kedua: Pola
Substitusi $n = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{2}{a_2}-\dfrac{1}{a_1} \\ \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{2}{\frac35}-\dfrac11 \\ \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{10}{3}-1 \\ a_3 & = \dfrac37 \end{aligned}$
Substitusi $n = 4$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{2}{a_3}-\dfrac{1}{a_2} \\ \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{2}{\frac37}-\dfrac{1}{\frac35} \\ \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{14}{3}-\dfrac53 \\ a_4 & = \dfrac39 \end{aligned}$
Substitusi $n = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_5} & = \dfrac{2}{a_4}-\dfrac{1}{a_3} \\ \dfrac{1}{a_5} & = \dfrac{2}{\frac39}-\dfrac{1}{\frac37} \\ \dfrac{1}{a_5} & = 6-\dfrac73 \\ a_5 & = \dfrac{3}{11} \end{aligned}$
Dari $3$ nilai yang telah didapat, tampak suatu pola barisan: $\dfrac37, \dfrac39, \dfrac{3}{11}$, yaitu pembilang tetap $3$, namun penyebut bertambah $2$ membentuk barisan aritmetika.
Rumus suku ke-$n$ dari barisan semula adalah $a_n = \dfrac{3}{2n+1}$ dengan $n \geq 3$. Pernyataan ini dapat dibuktikan menggunakan induksi matematika.
Dengan demikian,
$a_{2020} = \dfrac{3}{2(2020)+1} = \dfrac{1}{1347}$
Oleh karena itu, nilai $p = 1$ dan $q = 1347$, berarti $\boxed{p+q=1348}$

[collapse]

Klaim

Diketahui $\dfrac{1}{a_{k+1}} = \dfrac{2}{a_k}-\dfrac{1}{a_k-1}$ untuk $k \geq 3$.
Akan dibuktikan untuk setiap bilangan asli $n$, berlaku $a_n = \dfrac{3}{2n+1}$ menggunakan induksi.
Basis induksi:
Untuk $n = 1$,
$a_1 = \dfrac{3}{2(1)+1} = \dfrac{3}{3} = 1$
yang berarti benar.
Langkah induksi:
Asumsikan benar untuk $n = 1, 2, 3, \cdots, k$. Untuk $n = k+1$, maka
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_{k+1}} & = \dfrac{2}{a_k}-\dfrac{1}{a_{k-1}} \\ \dfrac{2}{\frac{3}{2k+1}}-\dfrac{1}{\frac{3}{2(k-1)+1}} \\ & = \dfrac{2(2k+1)}{3}-\dfrac{2(k-1)+1}{3} \\ & = \dfrac{4k+2}{3}-\dfrac{2k-1}{3} \\ & = \dfrac{2k+3}{3} \\ & = \dfrac{2(k+1)+1}{3} \\ a_k & = \dfrac{3}{2(k+1)+1} \end{aligned}$
Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan di atas terbukti.

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui $S$ adalah himpunan semua titik $(x, y)$ pada bidang Kartesius, dengan $x,y$ bilangan bulat, $0 \leq x \leq 20$ dan $0 \leq y \leq 19$. Banyaknya cara memilih dua titik berbeda di $S$ sehingga titik tengahnya juga ada di $S$ adalah $\cdots \cdot$
Catatan: Dua titik $P(a,b)$ dan $Q(c, d)$ berbeda jika $a \neq c$ dan $b \neq d$. Pasangan titik $(P, Q)$ dan $(Q, P)$ dianggap sama.

Pembahasan

Misalkan diberikan $P(a, b)$ dan $Q(c, d)$. Titik tengah dari $PQ$ dinyatakan oleh $M\left(\dfrac{a+c}{2}, \dfrac{b+d}{2}\right)$ dengan $0 \leq a, c \leq 20$ dan $0 \leq b, d \leq 19$. Dari sini diketahui bahwa $a$ dan $c$ harus memiliki paritas yang sama (sama-sama ganjil atau sama-sama genap), begitu juga dengan $b$ dan $d$. Banyak kemungkinan nilai untuk $a, c$ masing-masing adalah $21$, sedangkan untuk $b, d$ sebanyak $20$.

  1. Jika $a, c$ keduanya ganjil, maka ada $10$ kemungkinan untuk $a$ dan $c$, sehingga banyak pasangan berbeda $(a, c)$ adalah $10 \cdot 10 = 100$. Jika $a, c$ keduanya genap, maka ada $11$ kemungkinan $a$ dan $c$, sehingga banyak pasangan berbeda $(a, c)$ adalah $11 \cdot 11 = 121$. Total pasangan sebanyak $100+121=221$.
  2. Jika $b, d$ keduanya ganjil, maka ada $10$ kemungkinan untuk $b$ dan $d$, sehingga banyak pasangan berbeda $(b, d)$ adalah $10 \cdot 10 = 100$. Jika $b, d$ keduanya genap, maka juga ada $10$ kemungkinan $b$ dan $d$, sehingga banyak pasangan berbeda $(b, d)$ adalah $10 \cdot 10 = 100$. Total pasangan sebanyak $100+100=200$.

Banyak titik $M\left(\dfrac{a+c}{2}, \dfrac{b+d}{2}\right)$ adalah $221 \cdot 200 = 44.200$. Karena titik $(P, Q)$ dan $(Q, P)$ dianggap sama, maka banyak pasangan $(P, Q)$ ada $\dfrac{44.200}{2!} = 22.100$, tetapi terdapat titik $P(a, b)$ dan $Q(c, d)$ sehingga $P = Q$ (ketika $a = c$ dan $b = d$). Banyak pasangan $(P, Q)$ ketika $P = Q$ adalah $21 \cdot 20 = 420$. Dengan demikian, diperoleh banyak cara memilih dua titik sehingga titik tengahnya juga di $S$ adalah $\boxed{22.100-420 = 21.680}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui segitiga $ABC$ dengan panjang sisi $BC = 3$, $CA = 4$, dan $AB = 5$. Titik $P$ terletak pada $AB$ dan $Q$ terletak di $AC$ sehingga $AP = AQ$ dan garis $PQ$ membagi segitiga $ABC$ menjadi dua daerah dengan luas yang sama. Panjang segmen $PQ$ adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 8
Himpunan penyelesaian dari persamaan $|x+1| + \left|\dfrac{19}{x-1}\right| = \dfrac{20-x^2}{1-x}$ adalah interval $[a, b)$. Nilai dari $b-a$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui $|x+1| + \left|\dfrac{19}{x-1}\right| = \dfrac{20-x^2}{1-x}$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} |x+1| & = \begin{cases} x+1, &\text{jika}~x \geq -1 \\ -x-1, &\text{jika}~x < -1 \end{cases} \\ |x-1| & = \begin{cases} x-1, &\text{jika}~x \geq 1 \\ -x+1, &\text{jika}~x < 1 \end{cases} \end{aligned}$
Kasus 1: $x < -1$
Setelah dibatasi nilai $x$ dalam interval $x < -1$, kita peroleh
$\begin{aligned} (-x-1) + \dfrac{19}{-x+1} & = \dfrac{20-x^2}{1-x} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~(1-x) \\ (-x-1)(1-x) + 19 & = 20-x^2 \\ x^2-1 + 19 & = 20-x^2 \\ 2x^2 & = 2 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$
Karena $x = \pm 1$ tidak masuk interval $x < -1$, maka untuk kasus ini, tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Kasus 2: $-1 \leq < x < 1$
Setelah dibatasi nilai $x$ dalam interval $-1 \leq x < 1$, kita peroleh
$\begin{aligned} (x+1) + \dfrac{19}{-x+1} & = \dfrac{20-x^2}{1-x} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~(1-x) \\ (x+1)(1-x) + 19 & = 20-x^2 \\ -x^2+1 + 19 & = 20-x^2 \\ 20 & = 20 \end{aligned}$
Pernyataan terakhir bernilai benar, artinya persamaan tersebut terpenuhi untuk semua $x \in \mathbb{R}$. Nilai $x$ yang memenuhi untuk kasus ini adalah $-1 \leq x < 1$ (syarat intervalnya).
Kasus 3: $x \geq 1$
Setelah dibatasi nilai $x$ dalam interval $x \geq 1$, kita peroleh
$\begin{aligned} (x+1) + \dfrac{19}{x-1} & = \dfrac{20-x^2}{1-x} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~(x-1) \\ (x+1)(x-1) + 19 & = -20+x^2 \\ x^2-1 + 19 & = -20+x^2 \\ 18 & = -20 \end{aligned}$
Pernyataan terakhir bernilai salah, artinya persamaan tersebut tidak terpenuhi untuk semua $x \in \mathbb{R}$. Kita simpulkan bahwa tidak ada nilai $x$ yang memenuhi untuk kasus ini.
Dari ketiga kasus, kita peroleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah nilai-nilai $x$ dalam interval $-1 \leq x < 1$ atau dalam notasi selang ditulis $[-1, 1)$, berarti $a = -1$ dan $b = 1$, sehingga $\boxed{b-a=1-(-1)=2}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Misalkan $n \geq 2$ bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $a, b$ dengan $a+b=n$ berlaku $a^2+b^2$ merupakan bilangan prima. Hasil penjumlahan semua bilangan asli $n$ semacam itu adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 10
Suatu komite yang terdiri dari beberapa anggota hendak menghadiri $40$ rapat. Diketahui bahwa setiap rapat dihadiri tepat $10$ anggota komite dan setiap dua anggota menghadiri rapat bersama paling banyak satu kali. Banyaknya anggota komite terkecil yang mungkin adalah $\cdots \cdot$

Kemampuan Lanjut
Pada bagian ini setiap jawaban yang benar bernilai $4$ poin, jawaban kosong bernilai nol, dan jawaban salah bernilai $-1$ (negatif satu) poin.

Soal Nomor 1
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ACB = 48^{\circ}$. Garis bagi $\angle BAC$ memotong sisi $BC$ dan lingkaran luar $ABC$ berturut-turut di titik $D$ dan $E$. Jika $AC = AB + DE$, maka besar $\angle ABC = \cdots \cdot$

Soal Nomor 2
Misalkan $p$ suatu bilangan prima sehingga terdapat pasangan bilangan asli $(m, n)$ dengan $n>1$ yang memenuhi $mn^2+mnp+m+n+p=mn$ $+mp+np+n^2+2020$. Semua nilai $p$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 3
Misalkan $P(x)$ suatu polinom sehingga $P(x)+8x=P(x-2)+6x^2$. Jika $P(1)=1$, maka $P(2) = \cdots \cdot$

Soal Nomor 4
Banyaknya tripel bilangan bulat $(x, y, z)$ dengan $0 \leq x \leq y \leq z$ yang memenuhi persamaan $x+y+z=32$ adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 5
Misalkan $ABC$ segitiga dan $P, Q, R$ titik pada sisi $BC, CA$, dan $AB$. Jika luas segitiga $ABC$ sama dengan $20$ kali luas segitiga $PQR$ dan $\dfrac{AQ}{AC} + \dfrac{BR}{BA} + \dfrac{CP}{CB} = 1$, maka $\left(\dfrac{AQ}{AC}\right)^2 + \left(\dfrac{BR}{BA}\right)^2 + \left(\dfrac{CP}{CB}\right)^2$ $= \cdots \cdot$

Soal Nomor 6
Kuartet bilangan asli $(a,b,c,d)$ dikatakan keren jika memenuhi $b = a^2+1$, $c=b^2+1$, dan $d=c^2+1$, serta $\tau(a) + \tau(b) + \tau(c) + \tau(d)$ bilangan ganjil. Banyaknya kuartet keren $(a,b,c,d)$ dengan $a,b,c,d < 10^6$ adalah $\cdots \cdot$
Catatan: Untuk bilangan asli $k$, $\tau(k)$ menyatakan banyak faktor positif dari $k$.

Soal Nomor 7
Misalkan $a,b,c$ bilangan real tak negatif dengan $a+2b+3c=1$. Nilai maksimum dari $ab+2ac = \cdots \cdot$

Soal Nomor 8
Bilangan asli terkecil $n$ sehingga $n+3$ dan $2020n+1$ bilangan kuadrat sempurna adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 9
Lima tim bertanding satu sama lain di mana setiap dua tim bertanding tepat sekali. Dalam setiap pertandingan, masing-masing tim memiliki peluang $1/2$ untuk menang dan tidak ada pertandingan yang berakhir seri. Peluang bahwa setiap tim menang minimal sekali dan kalah minimal sekali adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 10
Misalkan $H$ adalah titik tinggi dari segitiga lancip $ABC$ dan $P$ adalah titik tengah $CH$. Jika $AP = 3$, $BP=2$, dan $CP=1$, maka panjang sisi $AB$ adalah $\cdots \cdot$
Catatan: Titik tinggi suatu segitiga adalah perpotongan ketiga garis tinggi dari segitiga tersebut.

Klik: Download Pembahasan KSN-K Matematika SMA/MA Tahun 2020 (PDF)