Berikut ini adalah soal-soal ON MIPA-PT bidang Analisis Real beserta pembahasannya. Beberapa soal mungkin belum disediakan penyelesaiannya. Jika Anda dapat memberi solusi, silakan kirimkan argumentasi Anda di email: shanedizzy6@gmail.com. Tentunya, kami mengucapkan terima kasih atas hal tersebut.
Jika ada pertanyaan, silakan ajukan di kolom komentar.
Soal Nomor 1
Diberikan himpunan . Tentukan infimum
.
Dengan menggunakan ketaksamaan Aritmetik-Geometri,
dan persamaannya berlaku jika dan hanya jika dan
. Untuk
, kita bisa mengambil
untuk memenuhi kondisi tersebut. Jadi, infimum
adalah
.
Soal Nomor 2 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2016)
Jika barisan bilangan real memenuhi sifat
dan
maka
Dengan menggunakan Teorema Stolz-Cesaro, diperoleh
Jadi, didapat
Soal Nomor 3 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2016)
Diketahui . Jika
dengan
untuk setiap
, maka
Perhatikan bahwa jika fungsi terdiferensialkan pada interval
, maka
dan
Dalam kasus ini, kita mendapatkan , sehingga
. Dengan demikian,
Jadi,
Soal Nomor 4
Diketahui fungsi
mempunyai turunan di dan
.
memiliki turunan di
dan
berarti fungsi itu kontinu di titik-titik tersebut.
Perhatikan bahwa
Catatan:
Untuk memeriksa masing-masing nilai dan
, diferensialkan fungsinya,
Agar fungsinya kontinu, haruslah , dan mengimplikasikan
dan
.
Soal Nomor 5
Diberikan deret pangkat .
Tentukan himpunan/selang kekonvergenan deret itu.
Bentuk sumasinya dapat diubah dalam bentuk deret pangkat, yaitu
Dengan menggunakan uji rasio, diperoleh
Berdasarkan teorema uji rasio, deret itu akan konvergen apabila .
Jadi, selang kekonvergenan deret itu adalah
Soal Nomor 6
Tentukan nilai dari
dan jari-jari konvergensinya.
Perhatikan bahwa
dengan jari-jari konvergensinya
Catatan:
Bentuk khusus (saat )
sering muncul dalam beberapa kasus.
Soal Nomor 7
Diberikan fungsi tak nol dan fungsi
dengan
sedemikian sehingga
Berilah contoh fungsi dan
yang menunjukkan bahwa belum tentu berlaku
Diketahui untuk setiap , berlaku
Ambil dan
, sehingga terpenuhi
dan ini menunjukkan bahwa
Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari
Perhatikan bahwa bentuk di atas dapat ditulis menjadi
Catatan:
Ingat bahwa
untuk setiap
Soal Nomor 9 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2018)
Jika fungsi kontinu pada selang
dan
Hitung
Teorema Dasar Kalkulus Pertama mengatakan bahwa untuk setiap fungsi yang kontinu pada interval tertutup
dan
sembarang titik dalam interval tersebut, maka berlaku
Jadi,
Selanjutnya, dapat kita tuliskan
Jadi, nilai dari adalah
Catatan:
Turunan terhadap fungsi konstan
adalah
Soal Nomor 10 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2007)
Diberikan , maka
Perhatikan bahwa
Jadi, diperoleh
Soal Nomor 11
Diberikan fungsi dengan
untuk . Jika
, maka nilai
Perhatikan bahwa,
Diberikan , sehingga
Dari sini, kita dapatkan turunannya,
untuk nilai yang bersesuaian, sehingga
Akibatnya,
Jadi, kita peroleh
Soal Nomor 12 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2016)
Misalkan . Jika
, maka
Persamaan mencapai nilai minimum saat
, sehingga
Soal Nomor 13 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2016)
Untuk setiap untuk setiap
dengan
dan
. Jika
untuk setiap
, maka
Diberikan
dan
Dengan menggunakan metode substitusi dalam integral, misalkan sehingga
, diperoleh
Jadi,
Soal Nomor 14 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2016)
Jika fungsi kontinu dengan
, maka
Dengan menggunakan kontradiksi, andaikan dan
tak konstan, maka akan ditemukan dua bilangan real
dan
sedemikian sehingga
. Ambil sebuah bilangan irasional
di antara
dan
. Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem), ada
sedemikian sehingga
dan ini kontradiksi dengan definisi himpunan
, di mana harus
terpenuhi untuk setiap
. Jadi, haruslah
konstan berupa bilangan rasional.