Persamaan Diferensial (biasa disingkat PD) merupakan salah satu mata kuliah spesialis matematika yang termasuk dalam tingkat advanced. Digolongkan dalam tingkat advanced karena materi ini memerlukan pemahaman lanjutan dari materi-materi penunjang, terutama kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Oleh karena itu, pembaca disarankan untuk menguasai kedua materi ini sebelum memulai mempelajari mengenai persamaan diferensial. Pos ini menyajikan beberapa contoh soal terkait pengenalan persamaan diferensial (dasar).
Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah
Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Eksak
Soal Nomor 1
Tentukan orde persamaan diferensial berikut dan tentukan apakah termasuk persamaan linear atau tidak.
a. $x \cdot \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}+3 \cdot \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 2xy = \sin x$
b. $y \cdot \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}-x\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + x^2y = e^{-x}$
c. $(1+y^2)\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2} + t \cdot \dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} + 2y = e^t$
d. $\dfrac{\text{d}^4y}{\text{d}t^4} + \dfrac{\text{d}^3y}{\text{d}t^3} + \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}+ y = 1$
Jawaban a)
Persamaan diferensial orde dua (dari ekspresi $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$) dan termasuk persamaan linear.
Jawaban b)
Persamaan diferensial orde dua (dari ekspresi $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$), tetapi bukan termasuk persamaan linear karena suku keduanya, yaitu $-x\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2$ mengandung turunan $y$ berpangkat $2$.
Jawaban c)
Persamaan diferensial orde dua (dari ekspresi $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}$), tetapi bukan termasuk persamaan linear karena suku pertamanya, yaitu $(1+y^2)\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}$ mengandung perkalian variabel terikat $y$ dengan turunannya.
Jawaban d)
Persamaan diferensial orde empat (dari ekspresi $\dfrac{\text{d}^4y}{\text{d}t^4}$) dan termasuk persamaan linear.
Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Soal Nomor 2
Bentuklah persamaan diferensial dari $y = A \sin x + B \cos x$.
Ingat bahwa
$\boxed{\begin{aligned}&\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\sin x = \cos x \\ & \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\cos x = -\sin x \end{aligned}}$
Dari bentuk $y = A \sin x + B \cos x,$ turunkan kedua ruas terhadap $x$, diperoleh
$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = A \cos x -B \sin x.$
Turunkan sekali lagi terhadap $x$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} & = -A \sin x -B \cos x \\ & = -(A \sin x + B \cos x) = -y. \end{aligned}$
Dengan demikian, kita dapatkan $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + y = 0.$
Jadi, bentuk persamaan diferensial dari persamaan $y = A \sin x + B \cos x$ adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + y = 0}$
Soal Nomor 3
Bentuklah persamaan diferensial dari $y = x + \dfrac{A}{x}$.
Diberikan $y = x + \dfrac{A}{x}.$
Turunkan kedua ruas terhadap $x$, diperoleh
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 1 -\dfrac{A}{x^2}$ $\bigstar$
Karena $y = x + \dfrac{A}{x}$, maka dengan menempatkan $A$ pada satu ruas, diperoleh $A = x(y -x).$
Substitusikan $A$ ini ke $\bigstar$, didapat
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 1 -\dfrac{x(y-x)}{x^2} \\ & = 1 -\dfrac{y-x}{x} \\ & =\dfrac{2x-y}{x}. \end{aligned}$
Jadi, persamaan diferensialnya adalah
$\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{2x-y}{x}}$ atau $\boxed{x \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2x -y}$
Soal Nomor 4
Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung $y = Ce^{-4x}$ dengan $C$ adalah konstanta sembarang.
Ingatlah rumus turunan fungsi transenden berikut, dengan $u$ menyatakan fungsi dalam variabel bebas $x$.
$$\boxed{\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}e^u = u’e^u}$$Karena ada satu konstanta sembarang, maka dibutuhkan $2$ persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah $1$.
Persamaan $1$: $y = Ce^{-4x}. \tag{1}$
Turunkan terhadap $x$, diperoleh
Persamaan $2$: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -4Ce^{-4x}. \tag{2}$
Dari persamaan $1$: $C = \dfrac{y}{e^{-4x}}$, substitusikan $C$ ke persamaan $2$ untuk mendapatkan
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -4 \cdot \dfrac{y}{\cancel{e^{-4x}}} \cdot \cancel{e^{-4x}} \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -4y \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan diferensial yang dimaksud adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y = 0}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan
Soal Nomor 5
Tentukan persamaan diferensial dari $y = x^3 + Ax^2 + Bx + C$ dengan $A,B,C$ masing-masing merupakan konstanta sembarang.
Persamaan 1: $y = x^3 + Ax^2 + Bx + C.$
Turunkan terhadap $x$, diperoleh
Persamaan 2: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 3x^2 + 2Ax + B.$
Turunkan terhadap $x$, diperoleh
Persamaan 3: $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = 6x + 2A.$
Turunkan terhadap $x$, diperoleh
Persamaan 4: $\dfrac{\text{d}^3y}{\text{d}x^3} = 6.$
Jadi, persamaan diferensial yang dimaksud adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}^3y}{\text{d}x^3} -6 = 0}$
Soal Nomor 6
Carilah persamaan diferensial dari berkas kardioida $r = a(1 -\cos \theta)$ dengan $a$ adalah konstanta sembarang.
Karena ada satu konstanta sembarang, maka dibutuhkan $2$ persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah $1$.
Persamaan $1$:
$r = a(1 -\cos \theta). \tag{1}$
Turunkan $r$ terhadap $\theta$, diperoleh
Persamaan 2:
$\dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = a \sin \theta. \tag{2}$
Substitusikan $a = \dfrac{r}{1 -\cos \theta}$ dari persamaan $1$ ke persamaan $2.$ Akan diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} & = \dfrac{r}{1 -\cos \theta}\times \sin \theta \\ (1 -\cos \theta)\dfrac{dr}{d\theta} & = r \sin \theta \end{aligned}$$Jadi, persamaan diferensialnya adalah $\boxed{(1 -\cos \theta)\dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = r \sin \theta}$
Soal Nomor 7
Carilah persamaan diferensial dari keluarga lingkaran dengan jari-jari tetap yang berpusat pada sumbu $X$ dengan persamaannya $(x-c)^2 + y^2 = r^2$ dengan $c$ adalah suatu konstanta.
Karena ada $1$ konstanta sembarang, maka diperlukan dua persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah $1$.
Persamaan $1$:
$(x-c)^2 + y^2 = r^2. \tag{1}$
Turunkan terhadap $x$, diperoleh
Persamaan $2$:
$2(x-c) + 2y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0. \tag{2}$
Dari persamaan $2$, diperoleh $x -c = -y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}.$
Substitusikan ke persamaan $1$ sehingga diperoleh
$\left(-y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2$
$y^2\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2.$
Jadi, persamaan diferensial yang dimaksud adalah $\boxed{y^2\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2}$
Soal Nomor 8
Tentukan persamaan diferensial dari $x = y -(y^2 + 1)$.
Diberikan persamaan $x = y -(y^2 + 1)$.
Turunkan terhadap $y$ sehingga diperoleh $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} = 1 -2y.$
Jadi, persamaan diferensialnya $\boxed{\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} = 1 -2y}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Non-Homogen) dengan Koefisien Konstan
Soal Nomor 9
Carilah persamaan diferensial dari fungsi primitif berikut jika $A$ dan $B$ adalah konstanta sembarang.
a. $y = Ae^x + B$
b. $y = A \sin (y + B)$
Jawaban a)
Misalkan
$y = Ae^x + B. \tag{1}$
Turunkan $y$ terhadap $x$, diperoleh
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = Ae^x. \tag{2}$
Turunkan sekali lagi,
$\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = Ae^x. \tag{3}$
Dari persamaan $2$ dan $3$, kita peroleh
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} \Leftrightarrow \dfrac{d^2y}{dx^2} -\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0.$
Jadi, persamaan diferensialnya adalah
$\boxed{\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} -\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0}$
Jawaban b)
Misalkan
$x = A \sin (y + B). \tag{1}$
Turunkan $x$ terhadap $y$, diperoleh
$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} = A \cos (y + B). \tag{2}$
Turunkan sekali lagi,
$\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} = -A \sin (y + B). \tag{3}$
Dari persamaan $1$ dan persamaan $3$, kita dapatkan
$x = -\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} \Leftrightarrow \dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} + x = 0.$
Jadi, persamaan diferensialnya adalah
$\boxed{\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} + x = 0}$
Soal Nomor 10
Tunjukkan kebenaran teorema berikut.
Jika $f_1$ solusi dari $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_1(x)$ dan $f_2$ solusi dari $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_2(x),$ maka $f_1 + f_2$ merupakan solusi dari $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_1(x) + Q_2(x)$.
Misalkan turunan pertama $f_1$ dan $f_2$ berturut-turut adalah $f_1’$ dan $f_2’$.
Dari hipotesis, kita peroleh dua persamaan berikut:
$\begin{cases} f_1′ + P(x)f_1 = Q_1(x) \\ f_2′ + P(x)f_2 = Q_2(x)\end{cases}$ ($\bigstar$)
Untuk membuktikan bahwa $f_1 + f_2$ merupakan solusi dari persamaan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_1(x) + Q_2(x)$, substitusikan $y = f_1 + f_2$, dengan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = f_1′ + f_2’$ ke ruas kirinya sehingga diperoleh
$f_1′ + f_2′ + P(x)(f_1 + f_2)$
$= (f_1′ + P(x)f_1) + (f_2′ + P(x)f_2).$
Dengan menggunakan ($\bigstar$), diperoleh
$= Q_1(x) + Q_2(x).$
(Terbukti) $\blacksquare$
Soal Nomor 11
Tentukan penyelesaian umum dari $2y^{\prime \prime} -8 = 0$.
Misalkan $y$ adalah fungsi dari $x$ sehingga
$\begin{aligned} 2y^{\prime \prime} -8 & = 0 \\ y^{\prime \prime} & = 4 \\ \int y^{\prime \prime}~\text{d}y & = \int~4~\text{d}x \\ y’ & = 4x + C \\ \int y’~\text{d}y & = \int (4x + C)~\text{d}x \\ y & = 2x^2 + Cx + D. \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian umum dari persamaan diferensial di atas adalah $\boxed{y = 2x^2 + Cx + D}$ dengan $C, D$ merupakan konstanta sembarang.
Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen (Reduksi dan Pemisahan Variabel)