Diposkan pada

Kesesatan Matematis (Mathematical Fallacy) – Penjelasan dan Contohnya

  Mathematical Fallacy (kesesatan matematis) merupakan bentuk pemikiran atas konsep matematika yang salah, bahkan dapat bersifat “menyesatkan”. Fallacy sendiri berasal dari bahasa Yunani dan Latin, yang berarti sesat berpikir. Dalam hal ini, fallacy merupakan elemen yang membuat pola pikir logika seseorang menjadi salah/sesat. Selain dalam dunia matematika, fallacy juga sering terjadi pada bidang lain, misalnya dalam bidang kajian linguistik (bahasa) terjadi kesalahan penafsiran kata yang dapat menimbulkan perbedaan pandangan. 
        Fakta di lapangan menunjukkan bahwa pembelajaran matematika khususnya di sekolah terkadang menyesatkan siswa (menimbulkan fallacy). Konsep yang telah ditanamkan pada siswa seolah-olah tidak digubris dalam pembelajaran di kelas sehingga saat mereka diberikan suatu kasus yang menguji pemahaman konsep dan kemampuan penalaran, mereka tidak bisa menyelesaikannya. Kesesatan yang timbul dalam matematika ini ternyata mengundang banyak ketertarikan dari siswa itu sendiri. Sebagai contoh, diberikan permasalahan matematika berikut terkait Teorema Pythagoras. 
          Jika diberikan segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, dengan panjang AC = 6~\text{cm} dan panjang BC = 8~\text{cm}, maka panjang AB = \cdots~\text{cm}. 
Soal tersebut jelas bukan menjadi masalah yang besar karena dengan hanya menerapkan Teorema Pythagoras, soal tersebut terselesaikan secara gamblang, yaitu
\begin{aligned} & AB^2 = AC^2 + BC^2 \\ & = 6^2 + 8^2 = 100 \\ & AB = \sqrt{100} = 10~\text{cm} \end{aligned}
Langkah pengerjaan yang pada umumnya dianggap sepele adalah mengubah bentuk AB^2 = 100 menjadi AB = 10 dan seolah-olah menimbulkan pertanyaan di benak para pelajar saat diberikan pernyataan berikut. 
Jika x^2 = a, maka x = \pm a
Pada kenyataannya, jawaban atas penyelesaian soal di atas memang benar saat variabel yang ditinjau mewakili ukuran panjang, karena ukuran panjang tidak mungkin menghasilkan nilai negatif. Sayangnya, konsep ini jarang ditekankan sehingga berimbas pada kesesatan siswa.

        Kesalahan yang pada umumnya dilakukan siswa di kelas dapat dikategorikan sebagai common mistake (kesalahan biasa). Bentuk kesalahan lainnya yang dapat menimbulkan kesimpangsiuran konsep matematika adalah howler dan fallacy. Guru besar Universitas Cambridge yang bernama E. A. Maxwell, Ph.D, berpendapat bahwa howler dapat diartikan sebagai suatu istilah yang menyatakan suatu kesalahan “tidak terlihat” yang mengarah pada jawaban yang benar, seperti yang tertuang pada karyanya yang berjudul “Fallacies in Mathematics“. Dalam pernyataan itu, “tak terlihat” artinya samar/buram, atau sulit dideteksi letak/alasan kesalahannya. Sedangkan fallacy secara kontras dapat diartikan sebagai suatu kesalahan yang terjadi karena eksistensi argumen yang cacat sehingga diperoleh kesimpulan yang salah, tetapi masuk akal (wrong but plausible conclusion). Hal ini diperkuat oleh pendapat Bryan Bunch (Bryan Bunch, 1982: 1) yang menyatakan bahwa jika kita mendapatkan jawaban yang salah dari argumen (langkah/proses pengerjaan) yang kelihatannya benar, maka kesalahan seperti itu disebut fallacy.

Berikut ini adalah contoh-contoh mathematical fallacy yang terjadi pada berbagai terobosan konsep matematika. 

1. Howler

Meskipun howler dan fallacy dibedakan oleh beberapa pakar matematika, tetapi pada hakikatnya, dua istilah ini sangat berkaitan. Howler dalam bahasa Indonesia diartikan sebagai “kesalahan besar” dan sering kali dijadikan topik diskusi dalam forum khusus matematika. Contoh howler yang sering terjadi adalah dalam hal penyederhanaan bentuk pecahan berikut. 
\dfrac{16}{64} = \dfrac{1\cancel{6}} {\cancel{6}4} = \dfrac{1}{4}~~~~\vline~~~~\dfrac{19}{95} = \dfrac{1\cancel{9}} {\cancel{9}5} = \dfrac{1}{5}
Meskipun jawabannya benar, namun proses pengerjaannya salah. Kita tahu bahwa angka 6 dan 9 tidak boleh dicoret/dikanselasi karena angka itu tidak berdiri sendiri. Segala pembuktian ataupun perhitungan yang salah tetapi menghasilkan jawaban yang benar seperti contoh di atas disebut howler, yang dicetuskan oleh Maxwell.
Catatan: Istilah howler tidak hanya dipakai dalam dunia matematika. Kata “howler” juga digunakan dalam kehidupan sehari-hari dan kerap disinonimkan dengan “big mistake”. Sebagai contoh dalam dunia sepak bola,  pemain yang melakukan gol bunuh diri berarti melakukan howler (kesalahan besar).

2. Pembagian oleh Nol

Pembagian oleh nol (dalam notasi angka maupun variabel) sering kali membuat terjadinya fallacy. Alhasil, jawaban yang diperolehpun absurd dan menentang konsep matematika yang telah ada, meskipun pada proses pengerjaan kelihatannya sudah sesuai dengan aturan matematika. 
Sebagai contoh:
Akan dibuktikan bahwa 1 + 1 = 1 dengan menggunakan konsep aljabar. 
Misalkan x = 1 dan y = 1, sehingga dapat ditulis x = y. 
\begin{aligned} x & = y \\ x^2 & = xy && (\text{Kedua ruas dikalikan}~x) \\ x^2 - y^2 & = xy - y^2 && (\text{Kedua ruas dikurangi}~y^2) \\ (x+y) \cancel{(x-y)} & = y\cancel{(x-y)} && (\text{Faktorkan}) \\ x + y & = y && (\text{Kedua ruas dibagi}~x-y) \\ 1 + 1& = 1 && (\text{Substitusi kembali}) \end{aligned} \blacksquare

Analisis Kesalahan

Jelas pembuktian di atas absurd karena tidak mungkin 1 + 1 = 1 (harusnya 1+1 = 2). 
Kekeliruan terjadi pada bagian yang melibatkan pembagian kedua ruas dengan x-y, padahal x - y = 0.

[collapse]

3. Prinsip Nilai Mutlak yang Salah

Kekeliruan jenis ini terjadi karena ketidaktelitian dalam menggunakan prinsip nilai mutlak. 
Perhatikan contoh berikut. 
Akan dibuktikan bahwa 2+2=5
\begin{aligned} 2+2 & = 4-\dfrac{9}{2} + \dfrac{9}{2} && (1) \\ & = \sqrt{\left(4-\dfrac{9}{2}\right)^2} + \dfrac{9}{2} && (2) \\ & = \sqrt{16 - 36 + \left(\dfrac{9}{2}\right)^2} + \dfrac{9}{2} && (3) \\ & = \sqrt{-20 + \left(\dfrac{9}{2}\right)^2} + \dfrac{9}{2} && (4) \\ & = \sqrt{25-45+\left(\dfrac{9}{2}\right)^2} + \dfrac{9}{2} && (5) \\ & = \sqrt{5^2 - 2.5.\dfrac{9}{2} + \left(\dfrac{9}{2}\right)^2} + \dfrac{9}{2} &&(6) \\ & = \sqrt{\left(5-\dfrac{9}{2}\right)^2} + \dfrac{9}{2} &&(7) \\ & = 5-\dfrac{9}{2} + \dfrac{9}{2} && (8) \\ & = 5 \end{aligned} \blacksquare

Analisis Kesalahan

Konsep dasar nilai mutlak (yang terkait dengan akar kuadrat dari suatu bilangan kuadrat) adalah
\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}
Letak kesalahan proses pembuktian di atas ada pada langkah ke-2. Ini dikarenakan 
4 - \dfrac{9}{2} = -\dfrac{1}{2} (bernilai negatif). Seharusnya, 
\color{red}{\sqrt{\left(4-\dfrac{9}{2}\right)^2} = -\left(4-\dfrac{9}{2}\right)}

[collapse]

4. Dilema Plus Minus

Banyak orang melakukan kekeliruan dalam hal menarik akar kuadrat dari bentuk x^2 = a^2 menjadi x = a, padahal seharusnya x = \pm a (baca: plus minus a). Menyepelekan kesalahan seperti ini ternyata dapat mengakibatkan jawaban yang salah/kurang lengkap, bahkan bisa berefek fatal seperti pada contoh berikut. 
Akan dibuktikan -1 = 1 dengan menggunakan konsep trigonometri.
Diketahui identitas Pythagoras pada trigonometri: 
\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1} 
Persamaan di atas dapat dimanipulasi sedemikian sehingga diperoleh
\begin{aligned} \cos^2 x & = 1- \sin^2 x && (1) \\ \sqrt{\cos^2 x} & = \sqrt{1-\sin^2 x} && (2) \\ \cos x & = (1-\sin^2 x)^{\frac{1}{2}} && (3) \end{aligned}
Misalkan x = \pi, diperoleh
\begin{aligned} \cos \pi & = (1-\sin^2 \pi)^{\frac{1}{2}} && (4) \\ -1 & = (1-0)^{\frac{1}{2} && (5) \\ -1 &= 1 && (6) \end{aligned} \blacksquare

Analisis Kesalahan

Kesalahan terjadi pada langkah ke-2 karena mengakarkuadratkan kedua ruas harus diberi syarat bahwa kedua ruasnya tidak bernilai negatif. Sedangkan saat kita mensubstitusikan x = \pi, didapat ruas kiri: \cos \pi = -1 (bernilai negatif). Langkah ke-2 bisa saja benar asalkan nilai x yang diambil mengakibatkan kedua ruas persamaan tersebut tidak bernilai negatif, misalnya x = \dfrac{\pi} {4}.

[collapse]

5. Masalah Deret Divergen

Kekeliruan jenis ini terjadi karena kesalahan penggunaan konsep deret tak hingga yang divergen. Sebagai informasi, suatu deret dikatakan divergen jika limit dari jumlah tiap sukunya tidak menuju bilangan apapun, dan bahkan sampai tak hingga atau negatif tak hingga, sedangkan jika deret itu menuju suatu bilangan tertentu, maka deret itu dikatakan sebagai deret yang konvergen. 
Misalkan diberikan deret tak hingga yang divergen sebagai berikut. 
S = 1+2+4+8+16+\cdots && (1)
S ini divergen karena tampak hasil penjumlahan tiap suku-sukunya akan terus membesar menuju tak hingga. 
Jika kita mengurangi kedua ruasnya dengan 1, diperoleh
S - 1 = 2 + 4 + 8 + 16 + \cdots && (2)
Sekarang, kalikan kedua ruas dengan 2 pada persamaan (1):
2S = 2 + 4 + 8 + 16 + \cdots && (3)
Bandingkan persamaan (2) dan (3), untuk memperoleh
S - 1 = 2S
dan akhirnya didapat S = -1. Artinya, 1+2+4+8+16+\cdots = -1. 
Jelaslah jawaban ini absurd dan tidak masuk akal karena tidak ada tanda-tanda yang membuat penjumlahan deret itu menjadi bernilai negatif.

Analisis Kesalahan

Deret di atas termasuk deret divergen karena penjumlahan suku-sukunya menuju tak hingga. Konsep \infty (baca: tak hingga/infinit) sebenarnya cukup abstrak untuk dipelajari, karena \infty bukanlah suatu bilangan dan akibatnya tidak bisa dimanipulasi layaknya suatu variabel dalam aljabar. Salah satu sifat yang melibatkan \infty, yaitu \infty - a untuk a \in \mathbb{R} (tidak memandang seberapa besar nilai a) yang hasil operasinya tetaplah \infty. Sifat ini dipakai pada pembuktian di atas dan berimbas pada jawaban yang absurd karena \infty diperlakukan layaknya suatu bilangan/variabel.

[collapse]

6. Integral yang Lolos Fondasi

Akan dibuktikan bahwa 0 = -1 dengan menggunakan konsep integral trigonometri sebagai berikut. Diketahui:
\int \tan x~\text{d}x = \int \sin x \sec x~\text{d}x
(Ini dikarenakan \tan x = \sin x \sec x) 
Misalkan u = \sec x dan \text{d}v = \sin x~\text{d}x. Dengan rumus integral parsial, diperoleh
\displaystyle \int \tan x~\text{d}x = -\sec x \cos x - \int (-\cos x) \sec x \tan x~\text{d}x
Karena \sec x \cos x = 1, maka
\cancel{\int \tan x~\text{d}x} = -1 + \cancel{\int \tan x~\text{d}x} 
Akhirnya, diperoleh 0 = -1. \blacksquare

Analisis Kesalahan

Kita tahu bahwa integral dari suatu fungsi tidaklah tunggal, melainkan menghasilkan suatu keluarga fungsi. Misalkan
\displaystyle \int \tan x~\text{d}x = F(x) + C dengan C suatu konstanta sembarang, maka 
\begin{aligned} \displaystyle \int \tan x~\text{d}x & = -1 + \int \tan x~\text{d}x \\ \cancel{ F(x)} + C_1 & = -1 + \cancel{F(x)} + C_2 \\ C_1 - C_2 & = -1 \end{aligned}
Ekspresi terakhir menunjukkan bahwa dua konstanta itu mengikuti suatu persamaan. Mengabaikan kedua konstanta ini justru mengakibatkan penarikan kesimpulan yang salah seperti halnya contoh di atas.

[collapse]

7. Sedikit Gesekan dalam Turunan

Akan dibuktikan bahwa 2 = 1 dengan menggunakan prinsip turunan. 
Untuk sembarang bilangan positif x, bisa ditulis sebagai
x = \underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{\text{sebanyak}~x}
Kalikan kedua ruas dengan x, sehingga diperoleh
x^2 = \underbrace{x + x + x + \cdots + x} _{\text{sebanyak}~x}
Diferensialkan kedua ruas terhadap x:
\begin{aligned} \dfrac{\text{d}} {\text{d}x}(x^2) & = \dfrac{\text{d}} {\text{d}x}(x+x+x+\cdots+x) \\ 2x & = \underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{sebanyak}~x} \\ 2x & = x \end{aligned}
Karena x tak nol, maka kedua ruas pada persamaan terakhir di atas dapat dibagi x, sehingga diperoleh 2 = 1. \blacksquare

Analisis Kesalahan

Perhatikan bagian:
x^2 = \underbrace{x + x + \cdots + x} _{\text{sebanyak}~x}
Terlihat kita mencoba merepresentasikan x^2 sebagai penjumlahan x sebanyak x buah. Jika diamati lebih jauh, bentuk penjumlahan ini bisa ditulis sebagai ax untuk a = x. Pada pembuktian di atas, proses pendiferensialan ax dilakukan dengan menganggap a sebagai suatu konstanta, padahal a dalam kasus ini berperan sebagai variabel, sehingga diferensiasinya seharusnya menggunakan aturan hasil kali dalam turunan sebagai berikut. 
\begin{aligned} x^2 & = ax \\ \dfrac{\text{d}} {\text{d}x}(x^2) & = \dfrac{\text{d}} {\text{d}x}(ax) \\ 2x & = \left(\dfrac{\text{d}} {\text{d}a}. \dfrac{\text{d}a}{\text{d}x}. (ax)\right) + a \\ 2x & = x + a = x + x \end{aligned}
Catatan: \dfrac{\text{d}a} {\text{d} x} = 1 (ingat bahwa a = x). Persamaan di atas terpenuhi, sehingga tidak mengalami fallacy seperti contoh di atas.

[collapse]

8. Permainan Aljabar yang Berbahaya

Akan dibuktikan bahwa 3 = 0 dengan menggunakan konsep persamaan dan manipulasi aljabar. Diberikan suatu persamaan kuadrat x^2+x+1 = 0. Kalikan kedua ruas dengan x untuk mendapatkan
\begin{aligned} x^3+x^2+x & = 0 \\ x^3+x^2+x & = 1-1 \\ x^3+x^2+x+1 & = 1 \end{aligned}
Substitusikan persamaan x^2+x+1=0 ke dalam persamaan ini, sehingga didapat
\begin{aligned} x^3 + 0 & = 1 \\ x^3 & = 1 \\ x &= \sqrt[3]{1} = 1 \end{aligned}
Sekarang, substitusikan x = 1 pada persamaan awal, diperoleh
1^2 + 1 + 1 = 0 yang berarti 3 = 0. \blacksquare

Analisis Kesalahan

Kesalahan terjadi ketika proses pembuktian di atas menyimpulkan bahwa x^3 = 1 memiliki hanya satu solusi, yaitu x = 1, yang seharusnya dapat difaktorkan seperti berikut
x^3-1 = 0 \implies (x-1)(x^2+x+1)=0
Jelas terlihat bahwa solusinya ada dua, yaitu x = 1 atau x^2+x+1=0 (hubungan disjungsi) . Namun pada pembuktian di atas, yang terjadi adalah menganggap hubungan kedua solusi ini sebagai suatu konjungsi, yaitu x = 1 dan x^2+x+1=0. Secara implisit, ini terlihat ketika mensubstitusikan x = 1 pada persamaan x^2+x+1=0

[collapse]

9. Pelanggaran Aturan Pangkat

Akan dibuktikan bahwa 1 = -1 dengan menggunakan konsep pangkat.
Diketahui (-1)^3 = -1.
Perhatikan bahwa ekspresi pada ruas kirinya dapat ditulis menjadi
\boxed{\begin{aligned} & ((-1)^6)^{\frac{1}{2}} && (\text{Aturan pangkat}) \\ & = 1^{\frac{1}{2}} && ((-1)^6 = 1) \\ & = 1 \end{aligned}}.
Jadi, diperoleh 1 = -1. \blacksquare

Analisis Kesalahan

Langkah mengubah ekspresi (-1)^3 menjadi ((-1)^6)^{\frac{1}{2}}  memunculkan terjadinya fallacy. Ini dikarenakan dalam Aturan Pangkat yang digunakan, yaitu a^b = (a^c)^d dengan b = cd berlaku dengan catatan bila dikomutatifkan (ditukar) posisi c dan d, tidak menimbulkan kecacatan argumen. Dalam hal ini,
((-1)^6)^{\frac{1}{2}} \neq ((-1)^{\frac{1}{2}})^6
karena (-1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-1} = i merupakan bilangan imajiner (khayal).

[collapse]

10. Berat Gajah Sama Dengan Berat Semut

Akan dibuktikan bahwa berat gajah sama dengan berat semut.
Misalkan g = berat gajah dan s = berat semut. Dalam hal ini, akan ditunjukkan g = s.
Jika a = berat gabungan keduanya, maka dapat ditulis
a = g + s \iff g = a - s \iff g - a = -s
Kalikan persamaan g -a = -s dengan g untuk memperoleh
g^2-ag = -sg
Karena g = a - s, maka persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi
\begin{aligned} g^2-ag & = -s(a-s) \\ g^2-ag & = s^2-as \end{aligned}
Tambahkan kedua ruasnya dengan \left(\dfrac{a}{2}\right)^2, sehingga dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} g^2-ag+\left(\dfrac{a} {2}\right)^2 & = s^2-as + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\ \left(g - \dfrac{a} {2}\right)^{\cancel{2}} & = \left(s - \dfrac{a} {2}\right)^{\cancel{2}} && (\text{Difaktorkan}) \\ g - \cancel{\dfrac{a} {2}} & = s - \cancel{\dfrac{a} {2}} && (\text{Tarik akar kuadrat}) \\ g & = s \end{aligned}
Terbukti bahwa berat gajah sama dengan berat semut. \blacksquare

Analisis Kesalahan

Pembuktian tersebut jelaslah absurd karena gajah seharusnya memiliki berat yang jauh lebih besar dibandingkan semut. Letak kesalahan ada pada langkah ke-2 baris terakhir, yaitu proses menarik akar kuadrat pada kedua ruas,
\begin{aligned} \left(g - \dfrac{a} {2}\right) ^2 & = \left(s - \dfrac{a}{2}\right)^2 \\ g - \dfrac{a} {2} & = s - \dfrac{a} {2}\end{aligned}
yang seharusnya,
\begin{aligned} \left(g - \dfrac{a} {2}\right) ^2 & = \left(s - \dfrac{a}{2}\right)^2 \\ g - \dfrac{a} {2} & = \pm\left(s - \dfrac{a} {2}\right) \end{aligned}
Pilih tanda negatif untuk memperoleh
g - \dfrac{a} {2} = \dfrac{a} {2} - s \iff a = s + g
Persamaan ini sesuai dengan redaksi awal yang mengatakan bahwa berat semut ditambah berat gajah berarti berat gabungan keduanya. Dengan kata lain, proses ini tidak lagi menimbulkan fallacy.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini