Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Kalkulus Diferensial (FKIP Untan) Tahun 2016/2017

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester (soal B) beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2016/2017) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Edy Yusmin, M. Pd pada tanggal 19 April 2017.

Soal Nomor 1
Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut. 
a) \dfrac{x+1}{2-x} < \dfrac{x} {3+x}
b) 2|x| - |x - 3| \geq 3

Penyelesaian

Jawaban a) 
\begin{aligned} & \dfrac{x+1}{2-x} < \dfrac{x} {3+x} \\ & \dfrac{x+1}{2-x} - \dfrac{x}{3+x} < 0 \\ & \dfrac{(x+1)(3+x) - x(2-x)} {(2-x) (3+x)} < 0 \\ & \dfrac{2x^2 + 2x + 3}{(2-x)(3+x)} < 0 \end{aligned}
Pembilang pada pertidaksamaan terakhir definit positif, sehingga agar bernilai negatif, haruslah
(2-x) (3+x) < 0
dengan pembuat nol x = 2 atau x = -3. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 
HP = \{x | -3 < x < 2\} 
Jawaban b) 
Gunakan definisi harga mutlak
|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}
dan
|x - 3| = \begin{cases} x - 3, &~\text{jika}~x \geq 3 \\ -x + 3, &~\text{jika}~x < 3 \end{cases}
Untuk x < 0, pertidaksamaan yang diberikan menjadi
\begin{aligned}& 2(-x) -(-x + 3) \geq 3 \\ & -x - 3 \geq 3 \\ & x \leq -6 \end{aligned}
Diperoleh HP_1 = \{x | x < 0 \land x \leq -6\} = \{x| x \leq -6\}
Untuk 0 \leq x < 3, pertidaksamaan menjadi
\begin{aligned} & 2x - (-x + 3) \geq 3 \\ & 3x \geq 6 \\ & x \geq 2 \end{aligned}
Diperoleh HP_2 = \{x | 0 \leq x < 3 \land x \geq 2\} = \{x | 2 \leq x < 3\}
Untuk x \geq 3, pertidaksamaan menjadi
\begin{aligned} 2x - (x - 3) \geq 3 \\ x \geq 0 \end{aligned}
Diperoleh HP_3 = \{x | x \geq 3 \land x \geq 0\} = \{x | x \geq 3\}
Hasil gabungan dari tiga himpunan penyelesaian tersebut adalah HP dari pertidaksamaan yang dimaksud, yaitu
HP = \{x | x \leq 6 \lor x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan daerah asal (domain) dan daerah nilai dari fungsi f(x) = \sqrt{\dfrac{x-4}{3x-6}}

Penyelesaian

Syarat radikan tidak boleh negatif, jadi haruslah
\dfrac{x - 4}{3x - 6} \geq 0
Pembuat nol masing-masing bagian adalah x = 4 dan x = 2. Ambil titik uji, misalkan x = 0, lalu substitusikan ke pertidaksamaan itu, sehingga didapat \dfrac{-4}{-6} = \dfrac{2}{3} (positif), sehingga dari formasi garis bilangan yang dibuat, diperoleh penyelesaiannya adalah 
\{x~|~x \leq 2 \lor x \geq 4\}
Selain itu, penyebut juga tidak boleh bernilai nol, ditulis
\begin{aligned} & 3x - 6 \neq 0 \\ & x \neq 2\end{aligned}
Jadi, daerah asal (domain) fungsi f adalah \{x~|~ x < 2 \lor x \geq 4\}
Selanjutnya, daerah hasil (range) suatu bentuk akar kuadrat termasuk dalam kasus ini adalah \{y ~| ~y \geq 0\} (akar kuadrat dari suatu bilangan tidak mungkin menghasilkan bilangan negatif)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan fungsi f(x) = 2 + x^2 dan g(x) = \sqrt{2-x^2}
a) Tunjukkan apakah fungsi f \circ g terdefinisi. 
b) Tentukan persamaan fungsi komposisi f \circ g jika ada. 
c) Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari fungsi komposisi f \circ g

Penyelesaian

Jawaban a) 
Fungsi komposisi tersebut akan terdefinisi jika hasil irisan antara domain fungsi f dan range fungsi g bukan himpunan kosong. 
Perhatikan bahwa daerah asal (domain) fungsi f adalah \mathbb{R}, sedangkan daerah hasil (range) fungsi g terbatas dengan syarat 2 - x^2 \geq 0 atau diselesaikan sebagai berikut. 
\begin{aligned} & x^2 \leq 2 \\ & -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \end{aligned} 
Jelaslah bahwa irisan keduanya tidak kosong, sehingga fungsi komposisi f \circ g terdefinisi. 
Jawaban b) 
\begin{aligned}(f \circ g)(x) & = f(g(x)) = f(\sqrt{2-x^2}) \\ & = 2 + \left(\sqrt{2-x^2}\right)^2 \\ & = 2 + (2 - x^2) = 4 - x^2 \end{aligned}
Jawaban c) 
Daerah definisi (daerah asal/domain) fungsi f \circ g adalah \mathbb{R} (berapun nilai x yang dimasukkan, tidak membuat fungsi menjadi tak terdefinisi), sedangkan daerah hasilnya adalah \{</span><span style="font-family: verdana, geneva, sans-serif; font-size: 10pt;"> y~|~ y \leq 4, y \in \mathbb{R}\}, karena jika kita perhatikan bentuk 4 - x^2, kita dapat mengetahui bahwa nilai maksimum fungsinya adalah 4, dan jika x menjauh dari 0, maka nilai fungsinya justru semakin kecil.

[collapse]

Soal Nomor 4
Anda bermaksud membuat kolam ikan yang akan dipagari dengan kawat pagar siap jadi. Kolam tersebut dibagi menjadi dua bidang kolam berbentuk persegi panjang berdampingan yang identik, dengan luas masing-masing kolam adalah 300~m^2. Jika panjang masing-masing kolam dinyatakan dalam x dan lebarnya dinyatakan dalam y, nyatakan keliling pagar sebagai fungsi dari x.

Penyelesaian

Buatlah sketsa gambar seperti berikut. 

Dengan menggunakan konsep luas persegi panjang, diperoleh
xy = 300 \Rightarrow y = \dfrac{300}{x}
Selanjutnya, keliling pagar dinyatakan sebagai fungsi dari x adalah
\begin{aligned} f(x) & = x + x + x + x + y + y + y \\ & = 4x + 3y = 4x + 3\left(\dfrac{300}{x}\right) = \left(4x + \dfrac{900}{x}\right)~m \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester Kalkulus Diferensial (FKIP Untan) Tahun 2017/2018

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M. Si pada tanggal 23 April 2018.

Soal Nomor 1
Carilah titik-titik potong fungsi f(x) = 21x^2 + 22x - 8 dengan sumbu X dan sumbu Y.

Penyelesaian

Titik potong fungsi pada sumbu X terjadi saat f(x) = y = 0, yaitu
0 = 21x^2 + 22x - 8 = (3x + 4)(7x - 2)
Dengan demikian, titik potongnya adalah \left(-\dfrac{4}{3}, 0\right) dan \left(\dfrac{2}{7}, 0\right)
Titik potong fungsi pada sumbu Y terjadi saat x = 0, yaitu
f(x) = y = 21(0)^2 + 22(0) - 8 = -8
Jadi, titik potongnya adalah (0,-8)

[collapse]

Soal Nomor 2
Selesaikanlah dengan dua cara (aljabar dan garis bilangan)
i) \dfrac{2}{3x} < 4
ii) \dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4}

Penyelesaian

Jawaban i)
Cara aljabar
\begin{aligned} & \dfrac{2}{3x} < 4 \\ & \dfrac{2}{3x} - 4 < 0 \\ & \dfrac{2-12x} {3x} < 0 \end{aligned}
Dua kemungkinan agar pertidaksamaan di atas bernilai benar adalah 1) 2 - 12x > 0 dan 3x < 0 atau 2) 2- 12x < 0 dan 3x > 0
Kemungkinan 1) menghasilkan x < \dfrac{1}{6} dan x < 0. Hasil irisannya adalah x < 0. Kemungkinan 2) menghasilkan x > \dfrac{1}{6} dan x > 0. Hasil irisannya adalah x > \dfrac{1}{6}
Gabungan dari kedua himpunan penyelesaian masing-masing kemungkinan tersebut adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan sebelumnya, yaitu \{x| x < 0 \lor x > \dfrac{1}{6}, x \in \mathbb{R}\}
Cara garis bilangan
Perhatikan bahwa \dfrac{2}{3x} < 4 ekuivalen dengan \dfrac{2-12x} {3x} < 0. Pembuat nol pada pembilang adalah x = \dfrac{1}{6}, sedangkan pada penyebut adalah x = 0.
Ujilah dengan titik-titik lain, misal diambil x = 1, diperoleh \dfrac{-10}{3} (bernilai negatif), sehingga dapat dibuat garis bilangan yang telah dilengkapi tanda kepositivan dan daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

Jawaban ii)
Cara aljabar
\begin{aligned} & \dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4} \\ & \dfrac{-6 - x}{4x} < 0 \end{aligned}
Dua kemungkinan agar pertidaksamaan di atas bernilai benar adalah 1) -6 - x > 0 dan 4x < 0 atau 2) -6 - x < 0 dan 4x > 0
Kemungkinan 1) menghasilkan x < -6 dan x < 0. Hasil irisannya adalah x < -6. Kemungkinan 2) menghasilkan x > -6 dan x > 0. Hasil irisannya adalah x > 0. Gabungan dari kedua himpunan penyelesaian masing-masing kemungkinan tersebut adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan sebelumnya, yaitu \{x| x < -6 \lor x > 0, x \in \mathbb{R}\}
Cara garis bilangan
Perhatikan bahwa \dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4} ekuivalen dengan \dfrac{-6 - x} {4x} < 0
Pembuat nol pada pembilang adalah x = -6, sedangkan pada penyebut adalah x = 0
Ujilah dengan titik-titik lain, misal diambil x = 1, diperoleh \dfrac{-7}{4} (bernilai negatif), sehingga dapat dibuat garis bilangan yang telah dilengkapi tanda kepositivan dan daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 3
Gambarkan grafik fungsi f dengan f(x) = \begin{cases} 5 - x, &~ \text{jika}~x \geq 3 \\ (x - 2)^2, &~\text{jika}~1 < x < 3 \\ \dfrac{1}{3}(x+2), &~\text{jika}~x \leq 1 \end{cases}

Tentukanlah nilai-nilai di bawah ini:
i) f\left(\dfrac{1}{2}\right)
ii) f(1)
iii) f(3)
iv) \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x)
v) \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x)
vi) \displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x)
vii) \displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} f(x)

Penyelesaian


Jawaban i) Karena x = \dfrac{1}{2} \leq 1, maka f(x) = \dfrac{1}{3}(x+2), sehingga f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} + 2\right) = \dfrac{5}{6}
Jawaban ii) Karena x = 1 \leq 1, maka f(x) = \dfrac{1}{3}(x+2), sehingga f(1) = \dfrac{1}{3}(1+2) = 1
Jawaban iii) Karena x = 3 \geq 3, maka f(x) = 5 - x, sehingga f(3) = 5 - 3 = 2
Jawaban iv) \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{3}(x+2) = 1
Jawaban v) \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1} (x-2)^2 = 1
Jawaban vi) \displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3} = (x - 2)^2 = 1
Jawaban vii) \displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3} 5 - x = 2
Catatan: Pada gambar, terlihat jelas bahwa grafik fungsi tidak kontinu di x = 3

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2}

Penyelesaian

Substitusi x = 2 pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Tetapi, dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} \\ & = \lim_{x \to 2} -(x^2 + 2x + 4) \\ & = -(2^2 + 2(2) + 4) = -12 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2} adalah -12.

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2 - \dfrac{6}{x}}{x^2 - 9}

Penyelesaian

Substitusi x = 3 pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Tetapi, dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2 - \dfrac{6}{x}}{x^2 - 9} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2\left(1 - \dfrac{3}{x}\right)}{x\left(1 - \dfrac{3}{x}\right)\left(x+3\right)} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2}{x(x+3)} \\ & = \dfrac{2}{3(3+3)} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x}

Penyelesaian

Substitusi x = 0 pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Dengan menggunakan teorema:
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b}
diperoleh bahwa
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x} = \dfrac{6}{7}
Alternatif lain untuk menyelesaikan soal ini (termasuk soal nomor 4 dan 5) adalah dengan menggunakan Dalil L’Hospital/turunan (dengan syarat substitusi titik limit menghasilkan bentuk tak tentu). Jadi, \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{6 \cos 6x} {7 \cos 7x} = \dfrac{6}{7}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Kalkulus Lanjut

Berikut ini adalah 5 soal UAS Kalkulus Lanjut (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 11 Januari 2018 oleh Drs. Ade Mirza, M.Pd.

Soal Nomor 1
Buktikan bahwa \displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 1)} (2x^2 + y^2) = 3

Penyelesaian

Fungsi f(x, y) = z = (2x^2 + y^2) terdefinisi pada \mathbb{R}^2, dengan (1, 1) sebagai titik limitnya. Kita akan tunjukkan bahwa:
\boxed{\begin{aligned}\forall \epsilon > 0, & \exists \delta > 0 \ni 0 < ||(x, y) - (1, 1)|| \\ & < \delta \Rightarrow |f(x, y) - 3| < \epsilon \end{aligned} }
atau
\boxed{\begin{aligned} \forall \epsilon > 0, & \exists \delta > 0 \ni 0 < \sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} < \delta \\ &  \Rightarrow |2x^2 + y^2 - 3| < \epsilon \end{aligned}}
Analisis:
\begin{aligned} |2x^2 + y^2 - 3| & = |2x^2 - 2 + y^2 - 1| \\ & = |2(x+1)(x-1) + (y+1)(y-1)| \\ & \leq 2|x+1||x-1| + |y+1||y-1| \end{aligned}
Untuk ini, kita harus membatasi faktor |x + 1| dan |y + 1| oleh suatu konstanta real.
Misalkan 0 < \sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} < \delta \leq 1 \bigstar, maka berlaku
0 < |x - 1| <  \sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} < \delta \leq 1
0 < |y - 1| < \sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} < \delta \leq 1
Akibatnya,
|x + 1| = |x - 1 + 2| \leq |x - 1| + 2 \leq 1 + 2 = 3
|y + 1| = |y - 1 + 2| \leq |y - 1| + 2 \leq 1 + 2 = 3
sehingga dari pemisalan tersebut, diperoleh
\begin{aligned} & 2|x+1||x-1| + |y+1||y-1| \leq 6|x - 1| + 3|y - 1| \\ & \leq 6\sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} + 3\sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} \\ & = 9\sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} \\ & < 9\delta \end{aligned}
Dengan demikian, (langkah bukti):
Ambil sembarang \epsilon > 0, pilih \delta = \min\left\{1, \dfrac{1}{6}\epsilon\right\}, akibatnya jika 0 < \sqrt{(x-1)^2 + (y -1)^2} < \delta, maka berlaku
|2x^2 + y^2 - 3| < \epsilon
Jadi, terbukti bahwa \displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 1)} (2x^2 + y^2) = 3
Catatan \bigstar: Mengapa harus 1? Untuk mempermudah pembuktian/perhitungan, ambil bilangan bulat positif terkecil, yaitu 1 sebagai batas konstanta real yang dimaksud.

[collapse]

Soal Nomor 2
Gunakan integral ganda dua untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x^2 - 2 dan y = x

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Dengan menggunakan integral ganda dua, hitung isi benda yang terletak dalam silinder x^2 + z^2 = 9 dan x^2 + y^2 = 9

Penyelesaian

Klik sini untuk mengetahui representasi geometrik dan penjelasan yang lebih kompleks mengenai Steinmetz Solid (bangun ruang yang diperoleh dari pengirisan/perpotongan dua atau lebih silinder)

Batas integrasi diberikan oleh
-3 \leq x \leq 3
-\sqrt{9 - x^2} \leq z \leq \sqrt{9 - x^2}
Jadi, volume bisilinder yang terbentuk ditentukan oleh
\begin{aligned} V & = \displaystyle \int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9 - x^2}}^{\sqrt{9 - x^2}} 2\sqrt{9 - x^2}~dy~dx \bigstar \\ & = \int_{-3}^{3} \left[2\sqrt{9 - x^2}y\right]_{-\sqrt{9 - x^2}}^{\sqrt{9 - x^2}}~dx \\ & = \int_{-3}^{3} \left(2(9 - x^2) + 2(9 - x^2)\right)~dx \\ & = \left[36x - \dfrac{4}{3}x^3\right]_{-3}^{3} \\ & = 144~\text{satuan volume} \end{aligned}
Jadi, volume dari perpotongan dua silinder tersebut adalah 144 satuan volume.
Catatan \bigstar: Angka 2 pada integran didapat karena sifat kesimetrian.

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah integral berikut dengan mengubahnya dalam koordinat tabung terlebih dahulu.
\displaystyle \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9 - x^2}} \int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + y^2}~dz~dy~dx

Penyelesaian

Ingat bahwa dalam sistem koordinat tabung, dV = dz~r~dr~d\theta (posisinya menyesuaikan integralnya)
Kita akan mengubah batas integralnya terlebih dahulu.
Integral ketiga memiliki batas yang tidak perlu diubah (untuk variabel z)
Integral kedua memiliki batas 0 < y < \sqrt{9 - x^2} \Leftrightarrow 0 < x^2 + y^2 < 9
Pertidaksamaan itu merupakan pertidaksamaan lingkaran dengan radius 3, sehingga diperoleh
0 \leq \theta \leq 2\pi
-3 \leq r \leq 3
Jadi,
\begin{aligned} \displaystyle & \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9 - x^2}} \int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + y^2}~dz~dy~dx \\  & = \int_{-3}^{3} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^2~dz~d\theta~dr \\ & = \int_{-3}^{3} \int_{0}^{2\pi} 2r^2~d\theta~dr \\ & = \int_{-3}^{3} 4\pi r^2~dr \\ & = 72\pi \end{aligned}
Jadi, diperoleh \boxed{\displaystyle \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9 - x^2}} \int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + y^2}~dz~dy~dx = 72\pi}

[collapse]

Soal Nomor 5
Perlihatkan dengan integral ganda dua bahwa volume bola berjari-jari r adalah \dfrac{4}{3}\pi r^3

Penyelesaian

Gunakan integral ganda dua (double integrals) dalam sistem koordinat polar. Persamaan umum bola yang berpusat di titik asal dan berjari-jari r adalah x^2 + y^2 + z^2 = r^2. Jika z dijadikan subjek persamaan, diperoleh z = \pm \sqrt{r^2 - x^2 - y^2}. Dalam koordinat polar, ditulis z = \pm \sqrt{r^2 - R^2}. Batas integral yang ditentukan oleh variabel R dan \theta, yaitu
0 \leq R \leq r
0 \leq \theta \leq 2\pi
Karena bola bersifat simetris dengan bagian separuhnya, maka kita dapat menentukan volume bola dengan menghitung volume setengah bola dikali 2, yaitu
\begin{aligned} V & = \displaystyle 2 \int_D \int \sqrt{r^2 - R^2}~dA \\ & = 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - R^2}~R~dR~d\theta \\ & = 2 \int_{0}^{2\pi} \left[-\dfrac{1}{3}\left(r^2 - R^2\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{r}~d\theta \\ & = \dfrac{2}{3} \int_{0}^{2\pi} r^3~d\theta \\ & = \dfrac{2}{3} \left[r^3\theta\right]_{0}^{2\pi} \\ & = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \end{aligned}
(Terbukti)

[collapse]

Selanjutnya, soal berikut merupakan soal UAS tahun-tahun sebelumnya yang diharapkan dapat melengkapi ilmu kita bersama.

Soal Nomor 6 
Selidiki apakah fungsi berikut kontinu pada daerah definisinya.
f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}

Soal Nomor 7
Tentukan turunan parsial pertama dari f(x, y) = \tan^{-1} (x^2 + y^2)

Penyelesaian

Ingat!!
\boxed{\dfrac{d}{dx} (\tan^{-1} u) = \dfrac{u'}{1 + u^2}}
(u adalah fungsi terhadap variabel x)
Akan dicari turunan parsial pertama dari f(x, y) terhadap variabel x dan y.
(Turunan parsial pertama terhadap x)
Anggap x sebagai variabel dan y sebagai suatu konstanta.
\dfrac{\partial}{\partial x}(\tan^{-1} (x^2 + y^2) = \boxed{\dfrac{2x}{1 + (x^2 + y^2)^2}}
(Turunan parsial pertama terhadap y)
Anggap y sebagai variabel dan x sebagai suatu konstanta.
\dfrac{\partial}{\partial y}(\tan^{-1} (x^2 + y^2) = \boxed{\dfrac{2y}{1 + (x^2 + y^2)^2}}

[collapse]

Sumber gambar:
https://www.tutorvista.com/content/math/triple-integral/

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Persamaan Diferensial Biasa

Berikut ini adalah 4 soal UAS Persamaan Diferensial Biasa (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 10 Januari 2018 oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si . Materi yang diujikan mengenai persamaan diferensial linear homogen dan non-homogen dengan koefisien konstan dan kebebasan linear penyelesaian umumnya.

Soal Nomor 1
Tunjukkan bahwa e^{2x} dan e^{3x} merupakan penyelesaian bebas linear dari PD
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 5\dfrac{dy}{dx} + 6y = 0
Selanjutnya, cari solusi yang memenuhi y(0) = 2 dan y'(0) = 3

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui y = x merupakan penyelesaian PD
(x^2 + 1)\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2x\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0
Cari solusi bebas linear dengan reduksi orde serta tulis penyelesaian umumnya.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 4x^2

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{2x} + C_2e^{x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{x^2, x, 1\}. Misalkan
y_p = Ax^2 + Bx + C adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' =2Ax + B dan y_p'' = 2A
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 4x^2
2A - 3(2Ax + B) + 2(Ax^2 + Bx + C) = 4x^2
2Ax^2 + (-6A + 2B)x + (2A - 3B + 2C) = 4x^2
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} 2A = 4 & \\ -6A+ 2B = 0 & \\ 2A - 3B + 2C = 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = 2 & \\ B = 6 & \\ C = 7 \end{cases}
Jadi, y_p = 2x^2 + 6x + 7
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{2x} + C_2e^{x} + 2x^2 + 6x + 7 }

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah solusi umum dari (x^2 + 1)\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2x\dfrac{dy}{dx} + 2y = 6(x^2 + 1)^2 jika diberikan solusi umum PD homogen terkait y_c(x) = C_1(x) + C_2(x^2 - 1)

Penyelesaian

Diberikan y_c(x) = C_1(x) + C_2(x^2 - 1). Misalkan
y_p(x) = v_1(x).x + v_2(x).(x^2 - 1)
y_p'(x) = v_1(x) + v_1'(x).x + v_2'(x)(x^2 - 1) + v_2(x)(2x)
Misal v_1'(x).x + v_2'(x)(x^2 - 1) = 0
sehingga
y_p'(x) = v_1(x) + v_2(x)(2x)
Turunannya adalah
y_p''(x) = v_1'(x) + v_2'(x)(2x) + 2v_2(x)
Substitusikan y_p(x) beserta turunannya ke PD, diperoleh
\begin{multlined} (x^2 + 1)(v_1'(x) + v_2'(x).2x + 2v_2(x)) 2x(v_1(x) \\ + v_2(x).2x) + 2(v_1(x).x + v_2(x).(x^2 - 1)) = 6(x^2 + 1)^2 \end{multlined}
Sederhanakan bentuk di atas sehingga menjadi
v_1'(x) + 2xv_2'(x) = 6(x^2 + 1)
Dari sini, kita peroleh SPL
\begin{cases} v_1'(x).x + v_2'(x)(x^2 - 1) = 0 \\ v_1'(x) + 2xv_2'(x) = 6(x^2 + 1) \end{cases}
Cari nilai v_1'(x) dan v_2'(x) dengan menggunakan Aturan Cramer.
v_1'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} 0 & x^2-1 \\ 6(x^2+1) & 2x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x & x^2-1 \\ 1 & 2x \end{vmatrix}} = \dfrac{-6(x^4-1)}{x^2 + 1} = -6(x^2 - 1)
v_2'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} x & 0 \\ 1 & 6(x^2+1) \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x & x^2-1 \\ 1 & 2x \end{vmatrix}} = \dfrac{6x(x^2+1)}{x^2+1} = 6x
Dengan integral, diperoleh
v_1(x) = -2x^3 + 6x +D_1
v_2(x) = 3x^2 + D_2
Jadi, kita peroleh
y_p(x) = (-2x^3 + 6x +D_1) x + (3x^2 + D_2)(x^2 - 1)
y_p(x)= x^4 + (3 + D_2)x^2 + D_1x - D_2
Penyelesaian umum dari PD tersebut adalah
y(x) = y_c(x) + y_p(x)
y(x) = C_1(x) + C_2(x^2 - 1) + x^4 + (3 + D_2)x^2 + D_1x - D_2
\boxed{y(x) = Cx + (3 + D)x^2 + x^4 + E}
(Perhatikan bahwa dalam hal ini, kita mentransformasi/mengubah bentuk konstanta agar lebih sederhana yaitu dengan mengganti hurufnya saja)

[collapse]

 

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Non-Homogen) dengan Koefisien Konstan


Berikut ini disajikan beberapa soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan diferensial linear orde dua (non-homogen) dengan koefisien konstan. Metode yang digunakan melibatkan penyelesaian PD homogennya, sehingga Anda diharuskan sudah menguasai teknik penyelesaiannya. Klik link berikut untuk mempelajari soal-soal yang terkait dengannya.
Soal dan Pembahasan – PD Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan

Gunakan bantuan tabel UC di atas untuk mengerjakan soal-soal berikut ini.

Soal Nomor 1
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2 \dfrac{dy}{dx} - 3y = 5

Penyelesaian

PD di atas bukan PD homogen sebab ruas kanannya mengandung konstanta tak nol. Gunakan cara yang sama seperti mencari penyelesaian umum PD homogen. Persamaan karakteristiknya adalah m^2 - 2m - 3 = (m - 3)(m + 1) = 0. Dengan demikian, akar karakteristiknya adalah m = 3 \lor m = -1. Berarti, penyelesaian umum PD homogen terkait adalah y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}. Dengan memperhatikan koefisien y pada PD, kita dapatkan bahwa perlu adanya konstanta baru yang bila dikalikan dengan -3, hasilnya adalah 5.  Konstanta itu adalah -\dfrac{5}{3}. Jadi, solusi umum PD tersebut adalah
\boxed{y = y_c - \dfrac{5}{3} = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} - \dfrac{5}{3}}.

[collapse]

Soal Nomor 2
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2 \dfrac{dy}{dx} - 3y = 2e^{4x}

Penyelesaian

Langkah pertama adalah menentukan solusi komplementer (umum) untuk PD homogen terkait, yaitu
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2 \dfrac{dy}{dx} - 3y = 0
Persamaan karakteristiknya adalah m^2 - 2m - 3 = 0, dengan akar karakteristik m = 3 dan m = -1. Jadi, solusi umumnya adalah y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}
Langkah selanjutnya adalah menentukan solusi partikulir (solusi khusus) PD non-homogen tersebut.
Misalkan y_p = Ae^{4x} merupakan solusi khususnya, sehingga y' = 4Ae^{4x} dan y'' = 16Ae^{4x}. Substitusikan ke PD, diperoleh
16Ae^{4x} - 2(4Ae^{4x}) - 3Ae^{4x} = 2e^{4x}
\Leftrightarrow 5Ae^{4x} = 2e^{4x}
\Leftrightarrow A = \dfrac{2}{5}

Berarti, solusi khususnya adalah y_p = \dfrac{2}{5}e^{4x}
Solusi umum PD itu adalah
\boxed{y = y_c + y_p = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{2}{5}e^{4x}}

[collapse]

Soal Nomor 3
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2 \dfrac{dy}{dx} - 3y = 2e^{3x}

Penyelesaian

Mirip dengan soal nomor 1 (bedanya hanya pada ekspresi di ruas kanannya). Solusi umum PD non-homogen terkait adalah y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}. Sekarang, kita akan menentukan solusi khusus PD homogennya dengan cara yang sama seperti sebelumnya.
Misalkan y_p = Ae^{3x} merupakan solusi khususnya, sehingga y' = 3Ae^{4x} dan y'' = 9Ae^{4x}. Substitusikan ke PD, diperoleh
9Ae^{4x} - 2(3Ae^{4x}) - 3Ae^{4x} = 2e^{4x}
0 = 2e^{4x}

Dalam hal ini, kita menemukan bahwa nilai A menjadi sembarang konstanta, sebab pada solusi umum y_c sudah terkandung suku dengan ekspresi e^{3x}.
Ulangi step dengan memisalkan y_p = Axe^{3x} sebagai solusi khususnya, sehingga y_p' = 3Axe^{3x} + Ae^{3x} dan y_p'' = 9Axe^{3x} + 6Ae^{3x}. Substitusikan ke PD hingga diperoleh
(9Axe^{3x} + 6Ae^{3x}) - 2(3Axe^{3x} + Ae^{3x}) - 3Axe^{3x} = 2e^{3x}
\Leftrightarrow 4Ae^{3x} = 2e^{3x}
\Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}

Jadi, y_p = \dfrac{1}{2}xe^{3x}
Dengan demikian, solusi umum PD homogen tersebut adalah
\boxed{y = y_c + y_p = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{1}{2}xe^{3x}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 4x^2

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{2x} + C_2e^{x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{x^2, x, 1\}. Misalkan
y_p = Ax^2 + Bx + C adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' =2Ax + B dan y_p'' = 2A
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 4x^2
2A - 3(2Ax + B) + 2(Ax^2 + Bx + C) = 4x^2
2Ax^2 + (-6A + 2B)x + (2A - 3B + 2C) = 4x^2
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} 2A = 4 & \\ -6A+ 2B = 0 & \\ 2A - 3B + 2C = 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = 2 & \\ B = 6 & \\ C = 7 \end{cases}
Jadi, y_p = 2x^2 + 6x + 7
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{2x} + C_2e^{x} + 2x^2 + 6x + 7 }

[collapse]

Soal Nomor 5
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 8y = 4e^{2x} - 21e^{-3x}

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{e^{2x}, e^{-3x}\}. Misalkan
y_p = Ae^{2x}+ Be^{-3x} adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = 2Ae^{2x} - 3Be^{-3x} dan y_p'' = 4Ae^{2x} + 9Be^{-3x}
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 8y = 4e^{2x} - 21e^{-3x}
\begin{aligned} (4Ae^{2x} + 9Be^{-3x}) & - 2(2Ae^{2x} - 3Be^{-3x}) \\ & - 8(Ae^{2x}+ Be^{-3x}) = 4e^{2x} - 21e^{-3x} \end{aligned}
\Leftrightarrow (-8A)e^{2x} + 7Be^{-3x} = 4e^{2x} - 21e^{-3x}
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} -8A = 4 & \\ 7B = -21 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = -\dfrac{1}{2} & \\ B = -3 \end{cases}
Jadi, y_p = -\dfrac{1}{2}e^{2x} - 3e^{-3x}
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x} -\dfrac{1}{2}e^{2x} - 3e^{-3x}}

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 3y = 2e^x - 10 \sin x

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{e^x, \sin x, \cos x\}. Misalkan
y_p = Ae^x + B \sin x + C \cos x adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = Ae^x + B \cos x - C \sin x
y_p'' = Ae^x - B \sin x - C \cos x
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 3y = 2e^x - 10 \sin x
\begin{aligned} (Ae^x & - B \sin x - C \cos x)  - 2(Ae^x +  B \cos x \\ & - C \sin x)  - 3( Ae^x + B \sin x + C \cos x) \\ & = 2e^x - 10 \sin x \end{aligned}
\begin{aligned} -4Ae^x + & (-4B + 2C) \sin x + (-2B - 4C) \cos x \\ & = 2e^x - 10 \sin x \end{aligned}
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} -4A = 2 & \\ -4B + 2C = -10 & \\ -2B - 4C = 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = \dfrac{1}{2} & \\ B =2 & \\ C = -1 \end{cases}
Jadi, y_p = \dfrac{1}{2}e^x + 2\sin x - \cos x
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{1}{2}e^x + 2\sin x - \cos x}

[collapse]

Soal Nomor 7
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + 5y = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD homogen terkait adalah m^2 + 2m + 5 = 0. Akar karakteristiknya (gunakan rumus kuadrat) adalah m = -1 \pm 2i sehingga solusi umumnya adalah
y_c = e^{-x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{\sin 2x, \cos 2x\}. Misalkan
y_p = A \sin 2x + B \cos 2x adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = 2A \cos 2x - 2B \sin 2x
y_p'' = -4A \sin 2x - 4B \cos 2x
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + 5y = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x
\begin{aligned} ( -4A \sin 2x & - 4B \cos 2x)  + 2(2A \cos 2x - \\ & 2B \sin 2x) + 5(A \sin 2x + B \cos 2x) \\ & = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x \end{aligned}
\begin{aligned} (A - 4B)\sin 2x & + (4A + B)\cos 2x \\ & = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x \end{aligned}
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} A-4B = 6 & \\ 4A+B= 7 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = 2 & \\ B = -1 \end{cases}
Jadi, y_p = 2 \sin 2x - \cos 2x
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = e^{-x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x) + 2 \sin 2x - \cos 2x}

[collapse]

Soal Nomor 8
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + 2y = 10 \sin 4x

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD homogen terkait adalah m^2 + 2m + 2 = 0. Akar karakteristiknya (gunakan rumus kuadrat) adalah m = -1 \pm i sehingga solusi umumnya adalah
y_c = e^{-x}(C_1 \sin x + C_2 \cos x)
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{\sin 4x, \cos 4x\}. Misalkan
y_p = A \sin 4x + B \cos 4x adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = 4A \cos 4x - 4B \sin 4x
y_p'' = -16A \sin 4x - 16B \cos 4x
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + 2y = 10 \sin 4x
\begin{aligned}(-16A \sin 4x - & 16B \cos 4x) + 2(4A \cos 4x \\ & - 4B \sin 4x)   + 2(A \sin 4x + B \cos 4x) \\ & = 10 \sin 4x \end{aligned}
\Leftrightarrow (-14A - 8B)\sin 4x + (8A - 14B)\cos 4x = 10 \sin 4x
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} -14A-8B = 10 & \\ 8A-14B= 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = -\dfrac{7}{13}& \\ B = -\dfrac{4}{13} \end{cases}
Jadi, y_p = -\dfrac{7}{13} \sin 4x -\dfrac{4}{13} \cos 4x
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = e^{-x}(C_1 \sin x + C_2 \cos x) -\dfrac{7}{13} \sin 4x -\dfrac{4}{13} \cos 4x}

[collapse]

Soal Nomor 9
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} - 4y = 16x - 12e^{2x}

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{4x} + C_2e^{-x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{x, 1, e^{2x}\}. Misalkan
y_p = Ax + B + Ce^{2x} adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = A + 2Ce^{2x} dan y_p'' = 4Ce^{2x}
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} - 4y = 16x - 12e^{2x}
\begin{aligned} (4Ce^{2x}) - 3(A + 2Ce^{2x}) & - 4(Ax + B + Ce^{2x}) \\ & = 16x - 12e^{2x} \end{aligned}
(-6C)e^{2x} + (-4A)x + (-3A - 4B) = 16x - 12e^{2x}
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} -6C = -12 & \\ -4A = 16 & \\ -3A - 4B = 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = -4 & \\ B = 3 & \\ C = 2 \end{cases}
Jadi, y_p = -4x + 3 + 2e^{2x}
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2e^{-x} - 4x + 3 + 2e^{2x}}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini