Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas XI Semester Genap TA 2018/2019 SMKN 3 Pontianak

Berikut ini merupakan soal (disertai pembahasannya) ulangan umum matematika kelas XI semester genap tahun ajaran 2018/2019 SMKN 3 Pontianak yang diujikan tanggal 16 April 2019. Materi yang diujikan adalah: Peluang, Bangun Ruang (Dimensi Tiga), dan Logika Matematika.
Penulis mengarsipkannya sebagai bahan referensi untuk belajar. Semoga membantu dan bermanfaat! 
Silakan unduh soalnya dalam format PDF di sini

Bagian Pilihan Ganda
Berilah tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang dianggap benar!

Soal Nomor 1
Rafardhan mempunyai 5 celana, 7 kaus, dan 4 topi. Banyaknya cara Rafardhan dapat memakai celana, kaus, dan topi yang berbeda adalah …
A. 24                 D. 120
B. 48                 E. 140
C. 55

Penyelesaian

Dengan menggunakan Aturan Perkalian, banyaknya cara ada \boxed{5 \times 7 \times 4 = 140} 
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Dari angka 1, 2, 3, 7, dan 8 akan disusun bilangan ganjil yang terdiri atas 3 angka. Jika tidak ada angka yang boleh diulang, maka banyaknya bilangan yang diperoleh adalah …
A. 28       B. 30         C. 32         D. 36          E. 40

Penyelesaian

Pada bilangan 3-angka, terdapat digit ratusan, puluhan, dan satuan. 
Karena bilangannya ganjil, maka untuk mengisi angka satuan hanya dipilih angka 1, 3, dan 7 (ada \boxed{3} cara). 
Untuk mengisi angka puluhan, tersisa \boxed{4} bilangan (termasuk 2 dan 8), di mana satu bilangan telah dipilih untuk mengisi angka satuan tadi. 
Untuk mengisi angka ratusan, tersisa \boxed{3} bilangan, di mana dua bilangan masing-masing telah dipilih untuk mengisi angka satuan dan puluhan. 
Jadi, ada \boxed{3 \times 4 \times 3 = 36~\text{bilangan}} yang dapat dibentuk (Jawaban D).

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai n yang memenuhi persamaan \dfrac{n!}{(n-2)!} =30 adalah …
A. 10          B. 9             C. 8            D. 7            E. 6

Penyelesaian

\begin{aligned} \dfrac{n!}{(n-2)!} & = 30 \\ \dfrac{n \times (n-1) \times \cancel{(n-2)!}} {\cancel{(n-2)!}} & = 30 \\ n(n-1)&=30 \\ n^2-n-30&=0 \\ (n-6)(n+5) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh n=6 atau n = -5. Karena n tertulis dalam notasi faktorial, maka n = -5 tidak memenuhi. Jadi, nilai \boxed{n = 6} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai n yang memenuhi _{n-1}P_2=6 adalah …
A. 8          B. 7            C. 6             D. 5              E. 4

Penyelesaian

Notasi P menyatakan permutasi. Secara matematis, ditulis
_nP_k = \dfrac{n!} {(n-k)!}
Dengan demikian,
\begin{aligned} _{n-1}P_2 & =6 \\ \dfrac{(n-1)!} {(n-1-2)!} & = 6 \\ \dfrac{(n-1) \times (n-2) \times \cancel{ (n-3)!}} {\cancel{(n-3)!}} & = 6 \\ (n-1)(n-2) & = 6 \\ n^2 - 3n - 4 & = 0 \\ (n-4)(n+1) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh n = 4 atau n=-1 (tidak memenuhi). Jadi, nilai \boxed{n=4}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Dari 5 orang akan dipilih 3 orang sebagai juara I, II, dan III. Banyaknya susunan pemenang yang dapat terjadi adalah …
A. 120        B. 90           C. 60            D. 30         E. 15

Penyelesaian

Kasus ini termasuk kasus permutasi, karena susunan pemenang akan dianggap berbeda apabila orangnya dibolak-balik posisi juaranya. 
Permutasi 3 objek dari 5 objek, sebanyak
_3P_5 & = \dfrac{5!} {(5-3)!} = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times \cancel{2!}} {\cancel{2!}} = 60
Jadi, ada \boxed{60} susunan pemenang yang dapat terjadi (Jawaban C).

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai n yang memenuhi _{n+1}C_2 =15 adalah …
A. 9        B. 8          C. 7             D. 6             E. 5

Penyelesaian

Notasi C menyatakan kombinasi. Secara matematis, ditulis
_nC_k = \dfrac{n!} {(n-k)!k!}
Dengan demikian,
\begin{aligned} _{n+1}C_2 & =15 \\ \dfrac{(n+1)!} {(n+1-2)! \times 2!} & = 15 \\ \dfrac{(n+1)\times n \times \cancel{(n-1)!}} {\cancel{(n-1)!} \times 2} & = 15 \\ (n+1)(n) & = 30 \\ n^2+n-30 & = 0 \\ (n+6)(n-5)&=30 \end{aligned}
Diperoleh n = -6 (tidak memenuhi) atau n=5. Jadi, nilai \boxed{n=5}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Dalam suatu pertemuan terdapat 12 orang yang akan berjabat tangan satu sama lain. Banyak jabat tangan yang terjadi adalah …
A. 96         B. 66            C. 56          D. 36          E. 24

Penyelesaian

Cara 1: Formal
Jabat tangan melibatkan 2 orang dan akan dianggap suatu kejadian yang sama: A bersalaman dengan B dan B bersalaman dengan A, sehingga ini tergolong kasus kombinasi. 
Kombinasi 2 objek dari 12 objek, sebanyak
\begin{aligned} _{12}C_2 & = \dfrac{12!} {(12-2)! \times 2!} \\ & = \dfrac{12 \times 11 \times \cancel{10!}} {\cancel{10!} \times 2} \\ & = \dfrac{\cancelto{6}{12} \times 11}{\cancel{2}} = 66 \end{aligned}
Cara 2: Dasar
A dapat berjabat tangan dengan 11 orang lainnya. B dapat berjabat tangan dengan 10 orang lainnya (tidak berjabat tangan dengan A karena sudah terhitung sebelumnya). C dapat berjabat tangan dengan 9 orang lainnya dan seterusnya. 
Banyak jabat tangan yang terjadi adalah
11+10+9+8+\cdots+2+1 = 66
Jadi, ada 66 jabat tangan yang dapat terjadi (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Banyaknya susunan huruf yang dapat disusun dari kata “AGUSTUS” adalah … 
A. 2.920                 D. 1.260
B. 2.520                 E. 1.050
C. 1.620

Penyelesaian

Kata “AGUSTUS” terdiri dari 7 huruf, dengan huruf U muncul 2 kali dan juga huruf S muncul 2 kali, sehingga termasuk kasus permutasi berulang. 
Banyak susunan kata yang dapat terbentuk adalah
\begin{aligned} \dfrac{7!} {2! \times 2!} & = \dfrac{7 \times 6 \times 5 \times \cancelto{2}{4} \times 3 \times \cancel{2!}} {\cancel{2!} \times \cancel{2}} \\ & = 7 \times 6 \times 5 \times 2 \times 3 = 1.260 \end{aligned}
Jadi, ada \boxed{1.260} susunan kata yang dapat dibentuk (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu remi. Peluang terambilnya kartu Queen adalah …
A. \dfrac{9}{13}        B. \dfrac{7}{13}         C. \dfrac{5}{13}         D. \dfrac{3}{13}       E. \dfrac{1}{13}

Penyelesaian

Satu set kartu remi terdiri dari 52 kartu (+2 kartu Joker), tetapi umumnya kartu Joker tak dipakai. 
Kartu Queen ada empat, yaitu Queen Diamond (wajik), Queen Spade (sekop), Queen Hearts (hati), dan Queen Club (Keriting). 
Dengan demikian, peluang terambilnya sebuah kartu Queen dari 52 kartu adalah \boxed{P(\text{Queen}) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Dua buah dadu dilempar sekali. Peluang muncul jumlah mata dadu lebih dari 7 adalah …
A. \dfrac{1}{2}         B. \dfrac{4}{9}          C. \dfrac{5}{12}          D. \dfrac{7}{18}        E. \dfrac{13}{36}

Penyelesaian

Berjumlah lebih dari 7, berarti boleh 8, 9, 10, 11, atau 12.
Misalkan A adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu 8, sehingga
A = \{(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)\}
dengan \text{n}(A) = 5
Misalkan B adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu 9, sehingga 
B = \{(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)\}
dengan \text{n}(B) = 4
Misalkan C adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu 10, sehingga
C = \{(4, 6), (6, 4), (5, 5)\}
dengan \text{n}(C) = 3
Misalkan D adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu 11, sehingga
D = \{(5, 6), (6, 5)\}
dengan \text{n}(D) = 2
Misalkan E adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu 12, sehingga
E = \{(6, 6)\}
dengan \text{n}(E) = 1
Banyaknya anggota ruang sampel untuk 2 dadu yang masing-masingnya memiliki 6 sisi adalah \text{n}(S) = 6 \times 6= 36
Jadi, peluangnya adalah 
\begin{aligned} & p(A \cup B \cup C \cup D \cup E) \\ & = \dfrac{\text{n}(A) + \text{n}(B) + \text{n}(C) + \text{n}(D) + \text{n}(E)} {\text{n}(S)} \\ & = \dfrac{5+4+3+2+1}{36} \\ & = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12} \end{aligned} 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Sepasang suami istri berencana memiliki 3 anak. Peluang anak yang lahir ketiganya laki-laki adalah …
A. \dfrac{1}{2}        B. \dfrac{1}{3}            C. \dfrac{1}{4}            D. \dfrac{1}{5}            E. \dfrac{1}{8}

Penyelesaian

Banyaknya anggota ruang sampel ada 2, yaitu laki-laki dan perempuan. 
Peluang kelahiran anak pertama laki-laki adalah \dfrac12
Peluang kelahiran anak kedua laki-laki adalah \dfrac12
Peluang kelahiran anak ketiga laki-laki adalah \dfrac12
Jadi, peluang anak yang lahir ketiganya laki-laki adalah \boxed{\dfrac12 \times \dfrac12 \times \dfrac12 = \dfrac18}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Tiga mata uang logam dilempar bersama-sama sebanyak 320 kali. Frekuensi harapan muncul dua angka dan satu gambar adalah … kali.
A. 60                D. 240
B. 80                E. 280
C. 120

Penyelesaian

Misalkan M adalah kejadian munculnya 2 angka (A) dan 1 gambar (G), sehingga
M = \{(A, A, G), (A, G, A), (G, A, A)\}
sehingga \text{n}(M) = 3 
Banyaknya anggota ruang sampel untuk 3 koin yang masing-masingnya memiliki 2 sisi adalah \text{n}(S) = 2 \times 2 \times 2 = 8
Jadi, peluangnya adalah p(M) = \dfrac{\text{n}(M)} {\text{n}(S)} = \dfrac{3}{8} 
Frekuensi harapan munculnya dua angka dan satu gambar adalah
\boxed{p(M) \times n = \dfrac{3}{8} \times 320 = 120~\text{kali}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak antara titik B dan EG adalah …
A. 3\sqrt{6}~\text{cm}            D. 6\sqrt{6}~\text{cm}
B. 4\sqrt{6}~\text{cm}            E. 7\sqrt{6}~\text{cm}
C. 5\sqrt{6}~\text{cm}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Pada segitiga BEG, diketahui BE, EG, dan BG semuanya merupakan diagonal bidang kubus, sehingga segitiga BEG merupakan segitiga sama sisi dengan panjang BE = EG = BG = 6\sqrt{2}~\text{cm}. Untuk itu, jarak B ke EG adalah jarak B ke O di mana O titik tengah EG
Sekarang tinjau segitiga siku-siku BOG. Diketahui: OG = \dfrac12 EG = \dfrac12(6\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}~\text{cm} dan BG = 6\sqrt{2}~\text{cm}
Panjang BO dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras
\begin{aligned} BO & = \sqrt{BG^2 - OG^2} \\ & = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{72-18} \\ & = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, jarak B ke EG adalah \boxed{3\sqrt{6}~\text{cm}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui T.ABCD limas segiempat beraturan yang memiliki panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegak 12\sqrt{2}~\text{cm}. Jarak titik A ke TC adalah …
A. 3\sqrt{6}~\text{cm}             D. 6\sqrt{6}~\text{cm}
B. 4\sqrt{6}~\text{cm}             E. 7\sqrt{6}~\text{cm}
C. 5\sqrt{6}~\text{cm}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Panjang diagonal alasnya adalah
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = 12\sqrt{2}
Segitiga ATC merupakan segitiga sama sisi karena AC = AT = TC = 12\sqrt{2}~\text{cm}
Dengan demikian, jarak titik A ke TC adalah jarak titik A ke titik O di mana O titik tengah TC seperti gambar.
Perhatikan segitiga siku-siku AOC
Diketahui: AC = 12\sqrt{2}~\text{cm} dan OC = \dfrac12 TC = \dfrac12(12\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}~\text{cm}
Panjang AO dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras, yaitu
\begin{aligned} AO & = \sqrt{AC^2-OC^2} \\ & = \sqrt{(12\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{288-72} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, jarak titik A ke TC adalah \boxed{6\sqrt{6}~\text{cm}}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jarak titik E ke bidang diagonal BDHF adalah … 
A. \frac12 a\sqrt{3}~\text{cm}           D. \frac12a~\text{cm}
B. \frac12 a\sqrt{2}~\text{cm}           E. \frac14a~\text{cm}
C. \frac14 a\sqrt{2}~\text{cm}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik E ke bidang diagonal BDHF sama dengan jarak titik E ke titik tengah diagonal HF
Misalkan O titik tengah diagonal HF. EG merupakan diagonal bidang dengan panjang a\sqrt{2}~\text{cm}.
Perhatikan bahwa panjang EO merupakan setengah dari panjang diagonal EG, sehingga
EO = \dfrac12(a\sqrt{2}) = \dfrac12 a\sqrt{2}~\text{cm} 
Jadi, jarak titik E ke bidang diagonal BDHF adalah \boxed{\dfrac12 a\sqrt{2}~\text{cm}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Jarak ruas garis HD dan EG adalah …
A. 6~\text{cm}                    D. 8~\text{cm}
B. 6\sqrt{2}~\text{cm}               E. 8\sqrt{2}~\text{cm}
C. 6\sqrt{3}~\text{cm}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak HD ke EG sama dengan jarak H ke titik tengah EG. Misalkan O titik tengah EG, sehingga kita peroleh sebuah segitiga siku-siku HEO (siku-siku di O). 
Diketahui panjang EH = 12~\text{cm}. Panjang diagonal bidang EG = s\sqrt{2} = 12\sqrt{2}~\text{cm}, sehingga EO = \dfrac12EG = \dfrac12(12\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}~\text{cm}
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, didapat
\begin{aligned} HO & = \sqrt{EH^2 - EO^2} \\ & = \sqrt{12^2-(6\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{144-72} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, jarak ruas garis HD dan EG adalah \boxed{6\sqrt{2}~\text{cm}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik B ke garis HC adalah …
A. 12\sqrt{2}~\text{cm}         D. 8~\text{cm}
B. 8\sqrt{5}~\text{cm}           E. 4\sqrt{6}~\text{cm}
C. 8\sqrt{3}~\text{cm}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik B ke HC sama dengan jarak titik B ke C. Perhatikan bahwa BC merupakan rusuk kubus, sehingga panjang BC = 8~\text{cm}
Jadi, jarak titik B ke garis HC adalah \boxed{8~\text{cm}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2a cm. Panjang ruas garis HB adalah …
A. (2a\sqrt{3} - a\sqrt{2})~\text{cm}       D. 2a\sqrt{2}~\text{cm}
B. a\sqrt{2}~\text{cm}                         E. 2a\sqrt{3}~\text{cm}
C. a\sqrt{3}~\text{cm}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Pertama, perhatikan segitiga ABD (siku-siku di A). Panjang BD dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
\begin{aligned} BD & = \sqrt{AB^2 + AD^2} \\ & = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} \\ & = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}
Sekarang, perhatikan segitiga BDH (siku-siku di D). Panjang HB juga dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
\begin{aligned} HB & = \sqrt{BD^2 + DH^2} \\ & = \sqrt{(2a\sqrt{2})^2 + (2a)^2} \\ & = \sqrt{8a^2 + 4a^2} \\ & = \sqrt{12a^2} = 2a\sqrt{3}~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang ruas garis HB adalah \boxed{2a\sqrt{3}~\text{cm}}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui sebuah balok PQRS.TUVW dengan panjang 15 cm, lebar 7 cm, dan tinggi 5 cm. Jarak antara bidang alas PQRS dan bidang atas TUVW adalah …
A. 5~\text{cm}                  D. 7~\text{cm}
B. 5\sqrt{2}~\text{cm}             E. 7\sqrt{2}~\text{cm}
C. 5\sqrt{3}~\text{cm}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak antara bidang alas PQRS dan bidang atas TUVW sama dengan tinggi balok tersebut. Dengan demikian, jarak kedua bidang itu adalah \boxed{5~\text{cm}} 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Diketahui sebuah limas T.ABCD dengan sisi alas berbentuk persegi dan panjang rusuk alas 6 cm serta panjang rusuk tegaknya 5 cm. Tinggi limas tersebut adalah …
A. \sqrt{7}~\text{cm}                     D. 4~\text{cm}
B. 3~\text{cm}                         E. 3\sqrt{2}~\text{cm}
C. \sqrt{13}~\text{cm}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan proyeksi titik T ke bidang alas ABCD adalah titik O yang terletak di tengah-tengah bidang itu. Sekarang, perhatikan segitiga AOT (siku-siku di O). Karena AC merupakan diagonal bidang alas (persegi), maka AC = 6\sqrt{2}~\text{cm}, sehingga AO = \dfrac{1}{2}(AC) = \dfrac12(6\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}~\text{cm}
AT merupakan rusuk tegak limas, sehingga AT = 5~\text{cm}. Dalam bentuk ini, OT merupakan tinggi limas yang akan dicari panjangnya dengan menggunakan Teorema Pythagoras
\begin{aligned} OT & = \sqrt{AT^2 - AO^2} \\ & = \sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{25-18} = \sqrt{7}~\text{cm}\end{aligned}
Jadi, tinggi limas tersebut adalah \boxed{\sqrt{7}~\text{cm}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah …
A. 2\sqrt{2}~\text{cm}             D. 4\sqrt{6}~\text{cm}
B. 2\sqrt{6}~\text{cm}             E. 8\sqrt{2}~\text{cm}
C. 4\sqrt{2}~\text{cm}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.
 

Proyeksi DE pada BDHF adalah OD, di mana O titik tengah HF.
Pada segitiga HOD (siku-siku di H), diketahui panjang DH = 8~\text{cm}. Karena panjang HF (diagonal bidang) 8\sqrt{2}~\text{cm}, maka HO = \dfrac12(HF) = \dfrac12(8\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}~\text{cm}. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned} OD & = \sqrt{DH^2 + HO^2} \\ & = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}
Dengan demikian, panjang proyeksinya adalah panjang OD, yaitu \boxed{4\sqrt{6}~\text{cm}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Berikut ini yang bukan termasuk pernyataan adalah …
A. Semua bilangan prima merupakan bilangan ganjil
B. Ada bilangan prima yang genap
C. Ada segitiga yang jumlah seluruh sudutnya tidak 180\degree
D. Harga beras naik membuat semua orang pusing
E. Jakarta merupakan ibu kota Indonesia

Penyelesaian

Dalam matematika, suatu kalimat disebut pernyataan apabila nilai kebenarannya dapat ditentukan. 
Pilihan A: “Semua bilangan prima merupakan bilangan ganjil” (bernilai salah) 
Pilihan B: “Ada bilangan prima yang genap” (bernilai benar) 
Pilihan C: “Ada segitiga yang jumlah seluruh sudutnya tidak 180\degree” (bernilai salah) 
Pilihan D: “Harga beras naik membuat semua orang pusing” (tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya karena bersifat relatif) 
Pilihan E: “Jakarta merupakan ibu kota Indonesia” (bernilai benar) 
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23
Nilai x agar pernyataan “x bilangan prima dan 3x^2-1=26” bernilai benar adalah …
A. 2        B. 3          C. 5         D. 7           E. 9

Penyelesaian

Pernyataan majemuk yang diberikan di atas merupakan konjungsi (dihubungkan oleh kata “dan”). 
Agar konjungsi bernilai benar, maka kedua pernyataan harus bernilai benar. 
Pernyataan pertama: x bilangan prima
Pernyataan kedua: 3x^2-1=26
Karena 3x^2-1=26 masih berbentuk kalimat terbuka, maka kita harus menentukan nilai x agar persamaan tersebut bernilai benar. 
\begin{aligned} 3x^2-1=26 \\ 3x^2 & = 27 \\ x^2 & = 9 \\ x & = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \end{aligned}
Kita peroleh 2 nilai x yaitu x=3 atau x=-3. Karena x=-3 bukan bilangan prima, maka satu-satunya nilai x yang memenuhi untuk membuat pernyataan pertama bernilai benar adalah \boxed{x=3}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24
Negasi dari “Ada siswa yang pergi ke sekolah dengan menggunakan bus” adalah …
A. Setiap siswa pergi ke sekolah dengan menggunakan bus
B. Beberapa siswa pergi ke sekolah dengan menggunakan bus
C. Semua siswa pergi ke sekolah dengan menggunakan bus
D. Beberapa siswa tidak pergi ke sekolah dengan menggunakan bus
E. Setiap siswa tidak pergi ke sekolah dengan menggunakan bus

Penyelesaian

Negasi (ingkaran) adalah operasi logika yang membalikkan kebenaran suatu pernyataan.  Negasi dari kata “ada” adalah “setiap” atau “semua”.
Negasi dari “Ada siswa yang pergi ke sekolah dengan menggunakan bus” adalah “Setiap siswa tidak pergi ke sekolah dengan menggunakan bus.”
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 25
Negasi dari pernyataan “Rizki merupakan anak yang rajin dan pandai melukis” adalah
A. Rizki merupakan anak yang tidak rajin dan tidak pandai melukis
B. Rizki merupakan anak yang rajin atau pandai melukis
C. Rizki merupakan anak yang tidak rajin atau tidak pandai melukis
D. Rizki merupakan anak yang rajin atau tidak pandai melukis
E. Rizki merupakan anak yang tidak rajin atau pandai melukis

Penyelesaian

Negasi (ingkaran) adalah operasi logika yang membalikkan kebenaran suatu pernyataan.  Negasi dari kata “dan” adalah “atau” (konjungtif menjadi disjungtif). Secara simbolik, kita tulis
\sim (p \land q) = \sim p~\lor \sim q
Dalam kasus ini,
p: Rizki merupakan anak yang rajin.
q: Rizki pandai melukis.
Untuk itu, negasi dari pernyataan “Rizki merupakan anak yang rajin dan pandai melukis” adalah “Rizki merupakan anak yang tidak rajin atau tidak pandai melukis”
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 26
Ingkaran dari pernyataan “Jika Wati pandai mengoperasikan komputer, maka ia diterima sebagai karyawan” adalah …
A. Wati pandai mengoperasikan komputer dan diterima sebagai karyawan
B. Wati pandai mengoperasikan komputer atau diterima sebagai karyawan
C. Wati tidak pandai mengoperasikan komputer dan diterima sebagai karyawan
D. Wati tidak pandai mengoperasikan komputer atau tidak diterima sebagai karyawan
E. Wati pandai mengoperasikan komputer dan tidak diterima sebagai karyawan

Penyelesaian

Bentuk yang ekuivalen dengan p \implies q adalah \sim p \lor q.
Dengan demikian, negasi (ingkaran) dari p \implies q ekuivalen dengan p~\land \sim q. Secara simbolik, kita tulis
\sim (p \implies q) \equiv p~\land \sim q
(Simbol \equiv dibaca: ekuivalen)
Misalkan
p: Wati pandai mengoperasikan komputer;
q: Wati diterima sebagai karyawan.
Dengan demikian, ingkaran dari pernyataan “Jika Wati pandai mengoperasikan komputer, maka ia diterima sebagai karyawan” adalah “Wati pandai mengoperasikan komputer dan ia tidak diterima sebagai karyawan.”
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 27
Invers pernyataan “Jika rakyat membayar pajak, maka pembangunan berjalan lancar” adalah …
A. Jika rakyat membayar pajak, maka pembangunan tidak berjalan lancar
B. Jika rakyat tidak membayar pajak, maka pembangunan berjalan lancar
C. Jika pembangunan berjalan lancar, maka rakyat membayar pajak
D. Jika pembangunan berjalan lancar, maka rakyat tidak membayar pajak
E. Jika rakyat tidak membayar pajak, maka pembangunan tidak berjalan lancar

Penyelesaian

Pernyataan implikasi (jika maka) di atas berbentuk p \implies q, sehingga inversnya berbentuk \sim p \implies \sim q. Dengan demikian, invers pernyataan “Jika rakyat membayar pajak, maka pembangunan berjalan lancar” adalah “Jika rakyat tidak membayar pajak, maka pembangunan tidak berjalan lancar.”
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 28
Kontraposisi dari pernyataan “Jika Anda jujur, maka Anda dipercaya” adalah …
A. Jika Anda tidak dipercaya, maka Anda tidak jujur
B. Jika Anda tidak jujur, maka Anda tidak dipercaya
C. Jika Anda tidak jujur, maka Anda dipercaya
D. Jika Anda tidak dipercaya, maka Anda jujur
E. Jika Anda dipercaya, maka Anda jujur

Penyelesaian

Pernyataan implikasi (jika maka) di atas berbentuk p \implies q, sehingga kontraposisinya berbentuk \sim q \implies \sim p. Dengan demikian, kontraposisi dari pernyataan “Jika Anda jujur, maka Anda dipercaya” adalah “Jika Anda tidak dipercaya, maka Anda tidak jujur.” (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 29
Dari pernyataan majemuk p \implies q, konversnya adalah …
A. q \implies p
B. \sim p \implies \sim q
C. \sim q \implies \sim p
D. p \implies \sim q
E. \sim p \implies q

Penyelesaian

Implikasi berbentuk: p \implies q
Konversnya berbentuk: q \implies p
Inversnya berbentuk: \sim p \implies \sim q
Kontraposisinya berbentuk: \sim q \implies \sim p
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 30
Diketahui premis
P: Jika Toni memenangkan olimpiade matematika, maka Toni memperoleh medali emas.
Q: Toni tidak memperoleh medali emas.
Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas adalah …
A. Toni memenangkan olimpiade matematika
B. Toni tidak memperoleh medali emas
C. Toni tidak memenangkan olimpiade matematika
D. Toni memperoleh medali emas
E. Toni tidak memenangkan olimpiade matematika dan Toni tidak mendapat medali emas

Penyelesaian

Penyajian kedua premis di atas berbentuk modus tollens
Premis 1: P \implies Q
Premis 2: \sim Q
Kesimpulan: \sim P
Berdasarkan bentuk model tollens, kesimpulan yang sah (valid) adalah “Toni tidak memenangkan olimpiade matematika” (Jawaban C)

[collapse]

Bagian Esai

Soal Nomor 31
Diberikan pernyataan: “Jika Yana seorang pelajar, maka ia memakai seragam sekolah.”
Tentukan:
A. Konvers dari pernyataan tersebut!
B. Invers dari pernyataan tersebut!
C. Kontraposisi dari pernyataan tersebut!

Penyelesaian

Pernyataan berbentuk implikasi (jika maka):
Jika Yana seorang pelajar, maka ia memakai seragam sekolah.
Jawaban a) 
Jika Yana memakai seragam sekolah, maka Yana seorang pelajar. 
Jawaban b) 
Jika Yana bukan seorang pelajar, maka ia tidak memakai seragam sekolah. 
Jawaban c) 
Jika Yana tidak memakai seragam sekolah, maka Yana bukan seorang pelajar.

[collapse]

Soal Nomor 32
Dari kota A ke kota B terdapat 4 jalur berbeda. Dari kota B ke kota C terdapat 2 jalur. Dari kota C ke kota D terdapat 3 jalur. Tentukan banyaknya jalur yang dapat ditempuh dari kota A ke kota D melalui kota B dan C!

Penyelesaian

Dengan menggunakan Aturan Perkalian, banyaknya jalur yang dapat ditempuh dari kota A ke kota D melalui kota B dan C adalah \boxed{4 \times 2 \times 3 = 24}

[collapse]

Soal Nomor 33
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan panjang diagonal ruang kubus tersebut!

Penyelesaian

Misalkan diberikan kubus ABCD.EFGH seperti gambar di bawah.

Salah satu diagonal ruang kubus tersebut adalah AG
Perhatikan segitiga ACG (siku-siku di G). AC merupakan diagonal bidang, sehingga panjangnya adalah AC = 10\sqrt{2}~\text{cm}
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned} AG & = \sqrt{AC^2 + CG^2} \\ & = \sqrt{10^2 + 10^2} \\ & = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \end{aligned}
Jadi, panjang diagonal ruang kubus itu adalah \boxed{10\sqrt{2}~\text{cm}}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini