Tag: Kombinatorika

Karena jumlahnya $48$ (genap), maka ada 2 kemungkinan yang dapat kita analisis: 1) genap + genap + genap dan 2) genap + ganjil + ganjil. Bilangan prima yang genap hanya ada satu sehingga kemungkinannya adalah genap + ganjil + ganjil. Bilangan prima yang genap adalah $2.$ Adapun daftar beberapa bilangan prima pertama adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline 2 & 3 & 5 \\ 7 & 11 & 13 \\ 17 & 19 & 23 \\ 29 & 31 & 37 \\ 41 & 43 & 47 \\ \hline \end{array}$$Kita perlu mencari 2 bilangan prima lain yang memiliki jumlah $48-2 = 46.$ Lakukan observasi dan kita peroleh beberapa kemungkinan: $(5, 41),$ $(3, 43),$ dan $(17, 29).$ Agar diperoleh hasil kali sebesar mungkin, pilihlah bilangan yang memiliki selisih terkecil, yakni $(17, 29).$ Dengan demikian, tiga bilangan prima yang dipilih adalah $(2, \color{red}{17}, \color{red}{29})$ sehingga hasil kali terbesar dari dua bilangan di antaranya adalah $\boxed{17 \cdot 29 = 493}$

Misalkan $^y \log 2 = a$ dengan $a > 0$ sehingga $^2 \log y = \dfrac{1}{a}.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} ^y \log 2 + \! ^2 \log y & = \dfrac52 \\ a + \dfrac{1}{a} & = \dfrac52 \\ 2a^2 + 2 & = 5a \\ 2a^2-5a+2 & = 0 \\ (2a-1)(a-2) & = 0 \\ a = \dfrac12~\text{atau}~a & = 2 \end{aligned}$$Substitusi kembali pada pemisalan semula sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} a = \dfrac12 & \Rightarrow \! ^y \log 2 = \dfrac12 \Rightarrow y = 4 \\ a = 2 & \Rightarrow \! ^y \log 2 = 2 \Rightarrow y  = \sqrt2 \end{aligned}$$Karena $y$ merupakan bilangan bulat positif, maka satu-satunya nilai $y$ yang mungkin adalah $\boxed{4}$

Untuk mempermudah perhitungan, kalikan setiap ruas pada persamaan di atas dengan KPK dari $(2, 3, 4, 5),$ yaitu $60.$ Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} (x-1)+\left(\dfrac{x}{2}-2\right)+\left(\dfrac{x}{3}-3\right)+\left(\dfrac{x}{4}-4\right)+\left(\dfrac{x}{5}-5\right) & =122 \\ (60x-60) + (30x-120) + (20x-180) + (15x-240) + (12x-300) & = 7.320 \\ 137x & = 8.220 \\ x & = 60 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{60}$

Perhatikan gambar berikut.
Misalkan $\angle AMB = x.$ Karena garis $MB$ membagi sudut $KMP$ sama besar, maka $\angle DMC = \angle AMB = x.$
Perhatikan $\triangle MDC.$ Titik $C$ berada tepat di tengah $MP,$ membelah segitiga menjadi dua bagian yang sama besar sehingga $KC$ pasti tegak lurus dengan $MP.$ Akibatnya, $\angle MCD = 90^\circ.$
Selanjutnya, diketahui bahwa $\angle MKP = \angle AMB + 3^\circ = x + 3^\circ.$ Karena $KC$ juga merupakan garis bagi, maka $\angle MKC = \dfrac{x + 3^\circ}{2}.$
Pada $\triangle MKC,$ berlaku jumlah semua sudutnya $180^\circ.$
$$\begin{aligned} \angle M + \angle K + \angle C & = 180^\circ \\ (x + x) + \left(\dfrac{x + 3^\circ}{2}\right) + 90^\circ & = 180^\circ \\ 2x + \dfrac{x + 3^\circ}{2} & = 90^\circ \\ 4x+ (x + 3^\circ) & = 180^\circ \\ 5x & = 177^\circ \\ x & = 35,4^\circ \end{aligned}$$Terakhir, tinjau segi empat $MAEC.$ Karena jumlah sudut pada segi empat adalah $360^\circ,$ maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \angle M + \angle A + \angle E + \angle C & = 360^\circ \\ 2x + 90^\circ + \angle E + 90^\circ & = 360^\circ \\ 2(35,4^\circ) + \angle E & = 180^\circ \\ \angle E & = 109,2^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $AEC$ adalah $\boxed{109,2^\circ}$

Mencari sisa hasil bagi suatu bilangan oleh $10$ artinya kita mencari angka satuannya.
Alternatif 1: Pola Angka Satuan
Periksa angka satuan dari hasil $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 10^2.$
$$\begin{aligned} & 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 \\ & \Rightarrow 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 + 0 = 4\color{red}{5} \Rightarrow 5 \end{aligned}$$Kita dapat memisalkan
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Kelompok 1} & 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 10^2 \\ \text{Kelompok 2} & \color{red}{1}1^2 + 12^2 + 13^2 + \cdots + 20^2 \\ \text{Kelompok 3} & \color{red}{2}1^2 + 22^2 + 23^2 + \cdots + 30^2 \\ \cdots & \cdots \cdots \cdots \\ \text{Kelompok 202} & \color{red}{201}1^2 + 2012^2 + 2013^2 + \cdots + 2020^2 \\ \hline \end{array}$$Karena ada $202$ kelompok dengan setiap kelompok bilangan tersebut memiliki jumlah yang angka satuannya $5,$ maka angka satuan dari $1^2+2^2+3^2+\cdots+2019^2+2020^2$ adalah $\boxed{202 \times 5 \Rightarrow 0}$
Alternatif 2: Menggunakan Rumus Jumlah Kuadrat
Perhatikan bahwa rumus deret berikut berlaku untuk setiap bilangan asli $n.$
$$\boxed{1^2+2^2+3^2+\cdots++(n-1)^2 + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$Untuk $n = 2020,$ diperoleh
$$\begin{aligned} 1^2+2^2+3^2+\cdots+2019^2+2020^2 & = \dfrac{2020(2021)(4041)}{6} \\ & = 101\color{red}{0}(2021)(1347) \end{aligned}$$Jelas bahwa hasil kalinya memiliki angka satuan $0.$ Jadi, disimpulkan bahwa sisa hasil bagi penjumlahan bilangan kuadrat tersebut oleh $10$ adalah $\boxed{0}$

Misalkan:
$$\begin{aligned} N & = \text{Banyak uang ibu (rupiah)} \\ x & = \text{Banyak sosis ayam/sapi yang dibeli (kilogram)} \end{aligned}$$Dari kalimat kedua soal, kita peroleh persamaan
$$N = 60.000x + 40.000x = 100.000x.$$Setengah dari uang ibu adalah $50.000x.$ Ibu menggunakan uang ini untuk membeli sosis ayam sebanyak $\dfrac{50.000x}{40.000} = \dfrac54x$ dan sosis sapi sebanyak $\dfrac{50.000x}{60.000} = \dfrac56x.$
Karena ibu akan mendapatkan $6,5$ kg lebih banyak sosis ayam dan sosis sapi, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac54x + \dfrac56x & = \underbrace{(x + x)}_{\text{mula-mula}} + 6,5 \\ \text{Kedua ruas}&~\text{dikali}~12 \\ 15x + 10x & = 24x + 78 \\ x & = 78 \end{aligned}$$Dengan demikian, uang ibu mula-mula adalah $N = 100.000\color{blue}{(78)} = 7.800.000.$
Jadi, uang yang dimiliki ibu jika dibagi $1.000$ adalah $\boxed{7.800~\text{rupiah}}$

Perhatikan persamaan $|x + 2020| + |y + 50| = 1.$ Untuk bilangan bulat $x$ dan $y,$ persamaan tersebut terpenuhi ketika salah satu suku di ruas kiri bernilai $1,$ sedangkan suku lainnya bernilai $0.$
Jadi, kita harus analisis setiap kasus.
$$\begin{array}{cccc} \hline |x + 2020| & |y + 50| & x & y \\ \hline 1 & 0 & -2019 & -50 \\ & & -2021 & \\ \hline 0 & 1 & -2020 & -49 \\ & & & -51 \\ \hline \end{array}$$Kita peroleh $4$ pasangan nilai bilangan bulat $(x, y)$ yang memenuhi persamaan, yaitu $(-2019, -50),$ $(-2021, -50),$ $(-2020, -49),$ dan $(-2020, -51).$
Sekarang, substitusi nilai $x$ dan $y$ tersebut pada $|x + 50| + |y + 2020|.$
$$\begin{array}{cccc} \hline x & y & |x + 50| + |y + 2020| & \text{Hasil} \\ \hline -2019 & -50 & |-2019 + 50| + |-50 + 2020| & 3939 \\ -2021 & -50 & |-2021 + 50| + |-50 + 2020| & 3941 \\ -2020 & -49 & |-2020 + 50| + |-49 + 2020| & 3941 \\ -2020 & -51 & |-2020 + 50| + |-51 + 2020| & 3939 \\ \hline \end{array}$$Jadi, nilai terbesar yang mungkin tercapai untuk ekspresi nilai mutlak tersebut adalah $\boxed{3941}$

Perlu diketahui bahwa persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ yang memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2,$ jumlah akarnya adalah $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},$ sedangkan hasil kali akarnya adalah $x_1x_2 = \dfrac{c}{a}.$

Misalkan $ax^2 + px + m = 0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ sehingga $ax^2 + mx + n = 0$ memiliki akar-akar $3\alpha$ dan $3\beta.$
Jumlah akar dan hasil kali akar dari $ax^2 + px + m = 0$ adalah
$$\begin{aligned} \alpha + \beta & = -\dfrac{p}{a} \\ \alpha \beta & = \dfrac{m}{a} \end{aligned}$$Jumlah akar dari $ax^2 + mx + n = 0$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 3\alpha + 3\beta & = -\dfrac{m}{a} \\ 3(\alpha + \beta) & = -\dfrac{m}{a} \\ 3\left(-\dfrac{p}{\cancel{a}}\right) & = -\dfrac{m}{\cancel{a}} \\ 3p & = m && (\cdots 1) \end{aligned}$$Hasil kali akar dari $ax^2 + mx + n = 0$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 3\alpha \cdot 3\beta & = \dfrac{n}{a} \\ 9(\alpha \beta) & = \dfrac{n}{a} \\ 9\left(\dfrac{m}{\cancel{a}}\right) & = \dfrac{n}{\cancel{a}} \\ 9m & = n && (\cdots 2) \end{aligned}$$Substitusi $m = 3p$ dari persamaan $(1)$ pada persamaan $(2).$
$$\begin{aligned} 9\color{red}{m} & = n \\ 9(3p) & = n \\ \dfrac{p}{n} & = \dfrac{1}{27} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{p}{n} = \dfrac{1}{27}}$

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{2^2-1^2}+\dfrac{1}{3^2-2^2}+\dfrac{1}{4^2-3^2}+\dfrac{1}{5^2-4^2}+\dfrac{1}{6^2-5^2}  \\ & = \dfrac{1}{(2+1)(2-1)} + \dfrac{1}{(3+2)(3-2)}+\dfrac{1}{(4+3)(4-3)}+\dfrac{1}{(5+4)(5-4)}+\dfrac{1}{(6+5)(6-5)} \\ & = \dfrac13 + \dfrac15 + \dfrac17 + \dfrac19 + \dfrac{1}{11} \\ & = \dfrac15 + \dfrac17 + \dfrac49 + \dfrac{1}{11} \\ & = \dfrac{7 \cdot 9 \cdot 11 + 5 \cdot 9 \cdot 11 + 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 + 5 \cdot 7 \cdot 9}{5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11} \\ & = \dfrac{12 \cdot 9 \cdot 11 + 5 \cdot 7 \cdot 53}{3.465} \\ & = \dfrac{3.043}{3.465} \end{aligned}$$Jadi, kita ambil $A = 3.043$ dan $B = 3.465$ sehingga nilai terkecil dari $A + B$ adalah $\boxed{3.043 + 3.465 = 6.508}$

Perhatikan persamaan tersebut. Agar menghasilkan bilangan bulat $62,$ maka setiap sukunya haruslah berupa bilangan bulat. Dengan kata lain, $\overline{abc},$ $\overline{ab},$ dan $c$ harus merupakan bilangan kuadrat dengan interval berikut.
$$\begin{aligned} 10^2 & \le \overline{abc} \le 31^2 \\ 4^2 & \le \overline{ab} \le 9^2 \\ 0^2 & \le c \le 3^2 \end{aligned}$$Adapun nilai $c$ dan $\overline{ab}$ yang mungkin adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline c & 0, 1, 4, 9 \\ \hline \overline{ab} & 16, 25, 36, 49, 64, 81 \\ \hline \end{array}$$Sekarang, periksa kombinasi mana yang membuat $\overline{abc}$ merupakan bilangan kuadrat.
Kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \overline{ab} = 16~\text{dan}~c = 9 & \Rightarrow \overline{abc} = 169 && (\cdots 1) \\ \overline{ab} = 36~\text{dan}~c = 1 & \Rightarrow \overline{abc} = 361 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Kemungkinan 1: $\overline{abc} = 169.$
Periksa persamaan.
$$\begin{aligned} & \sqrt{\overline{abc}} + \sqrt{\overline{ab}} + \sqrt{c} + \overline{ab} \\ & = \sqrt{169} + \sqrt{16} + \sqrt9 + 16 \\ & = 13 + 4 + 3 + 16 = 36 \end{aligned}$$Kasus ini tidak memenuhi persamaan.
Kemungkinan 2: $\overline{abc} = 361.$
Periksa persamaan.
$$\begin{aligned} & \sqrt{\overline{abc}} + \sqrt{\overline{ab}} + \sqrt{c} + \overline{ab} \\ & = \sqrt{361} + \sqrt{36} + \sqrt1 + 36 \\ & = 19 + 6 + 1 + 36 = 62 \end{aligned}$$Kasus ini memenuhi persamaan.
Jadi, nilai $\boxed{a+b+c=3+6+1=10}$

Jadikan ruas kanan menjadi nol, kemudian faktorkan.
$$\begin{aligned} \sqrt{2.020ab}-\sqrt{2.020a}-\sqrt{2.020b} + a\sqrt{b} + b\sqrt{a} & = 2.020 \\ \sqrt{2.020ab}-\sqrt{2.020a}-\sqrt{2.020b} + a\sqrt{b} + b\sqrt{a}-2.020 & = 0 \\ \left(\sqrt{2020} + \sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{ab}-\sqrt{2020}\right) & = 0 \end{aligned}$$Kita peroleh dua kemungkinan.
$$\begin{cases} \sqrt{2020} + \sqrt{a} + \sqrt{b} & = 0 && (\cdots 1) \\ \sqrt{ab}-\sqrt{2020} & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan pertama tidak mungkin terpenuhi karena $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ tidak dapat bernilai negatif. Jadi, melihat persamaan $(2),$ diperoleh $\sqrt{ab} = \sqrt{2020}$ sehingga $ab = 2020.$ Di sini kita perlu mencari banyak pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan $ab = 2020.$ Perhatikan bahwa $2020 = 2^2 \cdot 5^1 \cdot 101^1$ sehingga banyak faktor positifnya (lihat pangkat, tambahkan 1, kalikan) adalah $(2+1)(1+1)(1+1) = 8.$ Hasil tersebut menunjukkan bahwa ada 8 pasangan terurut $(a, b)$ yang memenuhi persamaan itu.
$$\begin{array}{cc} \hline (1, 2020) & (2, 1010) & (4, 505) & (20, 101) \\ (2020, 1) & (1010, 2) & (505, 4) & (101, 20) \\ \hline \end{array}$$Jadi, banyak pasangan $(a, b)$ yang mungkin adalah $\boxed{8}$

Diketahui
$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x} \\ & = 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x}.  \end{aligned}$
Dengan menggunakan Ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x} & \geq 2\sqrt{(9~\cancel{x \sin x})\left(\dfrac{4}{\cancel{x \sin x}}\right)} \\ & = 2\sqrt{36} = 12 \end{aligned}$$Akibatnya, $f(x) \geq 12$.
Jadi, nilai minimum dari $f(x)$ adalah $\boxed{12}$

Diketahui
$$\begin{cases} x + \dfrac{1}{y} & = 4 && (\cdots 1)  \\ y + \dfrac{1}{z} & = 1 && (\cdots 2)  \\ z + \dfrac{1}{x} & = \dfrac73 && (\cdots 3) \end{cases}$$Apabila ketiga persamaan dijumlahkan, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} (x + y + z) + \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\right) & = 4 + 1 + \dfrac73 \\ (x + y + z) + \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\right) & = \dfrac{22}{3} \end{aligned}$$Apabila ketiga persamaan dikalikan sesuai ruasnya, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \left(x + \dfrac{1}{y}\right)\left(y + \dfrac{1}{z}\right)\left(z + \dfrac{1}{x}\right) & = 4 \cdot 1 \cdot \dfrac73 \\ xyz + \color{blue}{x + y + z + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} + \dfrac{1}{xyz} & = \dfrac{28}{3} \\ xyz+ \dfrac{22}{3} + \dfrac{1}{xyz} & = \dfrac{28}{3} \\ xyz + \dfrac{1}{xyz} & = 2 \\ xyz & = 1  \Rightarrow yz = \dfrac{1}{x} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $y + \dfrac{1}{z} = 1$ dapat kita tulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} yz + 1 & = z \\ \dfrac{1}{x} + 1 & = z \\ -z+\dfrac{1}{x} & = -1 && (\cdots 4) \end{aligned}$$Dari persamaan $(3)$ dan $(4)$, kita peroleh SPLDV dengan variabel $x$ dan $z.$ Lakukan proses eliminasi.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} z + \dfrac{1}{x} & = \dfrac73 \\ -z+\dfrac{1}{x} & = -1 \end{aligned} \\ \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 2z & = \dfrac{10}{3} \\ z & = \dfrac{5}{3} \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi pada salah satu persamaan sehingga diperoleh $x = \dfrac32$ dan $y = \dfrac25.$ Jadi, nilai $$\boxed{x + y + z = \dfrac32 + \dfrac25 + \dfrac53 = \dfrac{107}{30}}$$

Pertama, kita lengkapi besar sudut yang belum diketahui terlebih dahulu. Keempat sudut pada persegi memiliki besar $90^\circ$ (siku-siku). $BD$ adalah diagonal persegi sehingga membelah sudutnya menjadi sama besar, yakni $45^\circ.$ 
$$\begin{aligned} \angle CDB = 45^\circ & \Rightarrow \angle ADE = 45^\circ \\ \angle CBD = 45^\circ & \Rightarrow \angle ABE = 45^\circ \end{aligned}$$Diketahui $\angle DAE = 15^\circ$ sehingga $\angle BAE = 90^\circ-15^\circ = 75^\circ.$ Pada $\triangle ABE,$ jumlah semua sudutnya $180^\circ.$
$$\begin{aligned} \angle ABE + \angle BAE + \angle AEB & = 180^\circ \\ 45^\circ + 75^\circ + \angle AEB & = 180^\circ \\ \angle AEB & = 60^\circ \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $DEB$ berpelurus sehingga $\angle AED = 120^\circ.$ Perhatikan gambar berikut agar lebih jelas.
Gunakan Aturan Sinus berturut-turut pada $\triangle ADE$ dan $\triangle ABE.$
$$\begin{aligned} \dfrac{DE}{\sin 15^\circ} = \dfrac{AE}{\sin 45^\circ} & \land \dfrac{EB}{\sin 75^\circ} = \dfrac{AE}{\sin 45^\circ} \\ \Rightarrow \dfrac{DE}{\sin 15^\circ} & = \dfrac{EB}{\sin 75^\circ} \\ \dfrac{DE}{EB} & = \dfrac{\sin 15^\circ}{\sin 75^\circ} \end{aligned}$$Sekarang, kita cari nilai sinus tersebut dengan menggunakan identitas jumlah sudut berikut.
$$\boxed{\sin (A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B}$$Kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{DE}{EB} & = \dfrac{\sin (45^\circ-30^\circ)}{\sin (45^\circ + 30^\circ)} \\ & = \dfrac{\sin 45^\circ \cos 30^\circ-\cos 45^\circ \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ \cos 30^\circ+\cos 45^\circ \sin 30^\circ} \\ & = \dfrac{\dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12\sqrt3-\dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12}{\dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12\sqrt3+\dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12} \\ & = \dfrac{\dfrac14\sqrt6-\dfrac14\sqrt2}{\dfrac14\sqrt6+\dfrac14\sqrt2} \\ & = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}} \\ & = \dfrac{6 + 2-2\sqrt{12}}{6-2} \\ & = \dfrac{8-4\sqrt3}{4} \\ & = 2-\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, $\dfrac{DE}{EB} = a-\sqrt{b} = 2-\sqrt3$ sehingga didapat nilai $a = 2$ dan $b = 3.$ Dengan demikian, nilai $\boxed{a + b = 2 + 3 = 5}$

Perhatikan bahwa $a < b < c < d < e < f$ menunjukkan bahwa nilai keenam digit tersebut berbeda-beda, $0$ sampai $9.$ Banyak kemungkinannya adalah $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot  7 \cdot 6 \cdot 5.$
Pada setiap susunan $6$ angka tertentu, tepat ada $1$ kemungkinan yang memenuhi syarat $a < b < c < d  < e < f$ dari $6!$ kemungkinan.
Sebagai ilustrasi untuk susunan 3 angka: Dari permutasi $123$, yaitu $123,$ $132,$ $213,$ $231,$ $312,$ dan $321,$ hanya $123$ yang memenuhi $a < b < c.$
Dengan demikian, banyak nomor khusus yang terbentuk dapat dihitung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} N & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot  7 \cdot 6 \cdot 5}{6!} \\ & = \dfrac{\cancel{10} \cdot \cancelto{3}{9}  \cdot \cancelto{2}{8} \cdot  7 \cdot \cancel{6} \cdot 5}{\cancel{6} \cdot \cancel{5} \cdot \bcancel{4} \cdot \bcancel{3} \cdot \cancel{2}} \\ & = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 5 = 210 \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{210}$ nomor khusus yang memenuhi bentuk tersebut.

Pada bagian pertama, bola dapat melewati dua jalur, yaitu jalur $A$ atau $B.$ Masing-masing peluangnya adalah $\dfrac12.$ Setelah itu, bola kembali diberikan pilihan untuk melewati dua jalur di bawahnya dengan peluangnya sebesar $\dfrac12$ kali dari peluang di atasnya. Prinsip ini berlanjut terus sampai bola jatuh ke lubang skor.
Jika diperhatikan dengan saksama, ternyata nilai peluang pada jalur berkaitan dengan Segitiga Pascal.
Pembilang pada peluang diambil dari bilangan yang ada pada Segitiga Pascal, sedangkan penyebutnya membentuk barisan geometri dengan rasio $2$, yaitu $2, 4, 8,$ $16, 32, 64.$
Kita peroleh untuk masing-masing lubang (dari kiri ke kanan), peluang bola masuk adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Skor Lubang} & \text{Peluang} \\ \hline 70 & 1/64 \\ 50 & 6/64 \\ 30 & 15/64 \\ 10 & 20/64 \\ 30 & 15/64 \\ 50 & 6/64 \\ 70 & 1/64 \\ \hline \end{array}$$Pada akhirnya, kita akan temukan bahwa peluang bola untuk masuk ke dalam lubang skor $70$ adalah $\dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{64} = \dfrac{1}{32}.$ Diperoleh $a = 1$ dan $b = 32$ (karena sudah relatif prima) sehingga nilai $\boxed{a+b=33}$

Pertama, substitusi $x = 2.$
$$\begin{aligned} 2f(x^2)+3f(19-5x) & = x^2 \\ \Rightarrow 2f(2^2) + 3f(19-5(2)) & = 2^2 \\ 2f(4) + 3f(9) & = 4 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusi $x = 3.$
$$\begin{aligned} 2f(x^2)+3f(19-5x) & = x^2 \\ \Rightarrow 2f(3^2) + 3f(19-5(3)) & = 3^2 \\ 2f(9) + 3f(4) & = 9 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Kita peroleh SPLDV dengan variabel $f(4)$ dan $f(9).$ Gunakan metode eliminasi untuk mencari nilai $f(4)$ seperti berikut.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3f(9) + 2f(4) & = 4 \\ 2f(9) + 3f(4) & = 9 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 23 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6f(9) + 4f(4) & = 8 \\ 6f(9) + 9f(4) & = 27 \end{aligned} \\ & \rule{3.6 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 5f(4) & = 19 \\ f(4) & = \dfrac{19}{5} \end{aligned} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f(4) = \dfrac{19}{5}}$

Misalkan $A$ dan $B$ masing-masing menyatakan jumlah buku di tiap kotak tipe A dan tiap kotak tipe B sehingga diperoleh persamaan $7A + 11B = 624.$
Sebanyak $3$ kotak tipe A diambil, kemudian dibagikan kepada $\color{blue}{4}$ orang anak dan tersisa $\color{red}{1}$ buah buku. Jika $C$ menyatakan banyak buku yang diterima masing-masing anak, maka diperoleh persamaan $3A = \color{blue}{4}C + \color{red}{1}.$
Sisanya, yaitu Sebanyak $4$ kotak tipe A diambil, kemudian dibagikan kepada $\color{blue}{7}$ orang anak dan tersisa $\color{red}{6}$ buah buku. Jika $D$ menyatakan banyak buku yang diterima masing-masing anak, maka diperoleh persamaan $4A = \color{blue}{7}D + \color{red}{6}.$
Sampai di sini, kita sudah memperoleh sistem persamaan linear yang solusinya harus berupa bilangan bulat positif.
$$\begin{cases} 7A + 11B & = 624 && (\cdots 1) \\ 3A & = 4C + 1 && (\cdots 2) \\ 4A & = 7D + 6 && (\cdots 3) \end{cases}$$Dari persamaan $(2)$ dan $(3)$, kita bisa mengeliminasi $A.$
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3A & = 4C+1 \\ 4A & = 7D+6 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 4 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~12A & = 16C+4 \\ 12A & = 21D+18 \end{aligned} \\ & \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 0 & = 16C-21D-14 \\ 16C & = 21D-14 \\ C & = \dfrac{7(3D-2)}{16} \end{aligned} \end{aligned}$$Sekarang, kita harus memilih nilai $D$ yang tepat agar $A, B,$ dan $C$ merupakan bilangan bulat positif yang memenuhi sistem persamaan di atas.
Perhatikan persamaan $C = \dfrac{7(3D-2)}{16}.$ Karena $7$ prima, maka agar $C$ bulat positif, $3D-2$ harus merupakan kelipatan $16.$ Dapat diperiksa bahwa $D = 10$ memenuhi. Selanjutnya, kita cukup tambahkan $16$ untuk nilai awal $D$ tersebut, dan seterusnya ($D = 10, 26, 42, 58, \cdots),$ sampai ditemukan apa yang kita inginkan. Kita fokus pada nilai $A$ dan $B$ saja karena $C$ sudah dipastikan bulat untuk nilai $D$ tersebut. Tabel di sini menunjukkan nilai $A$ yang didapat dari substitusi nilai $D$ pada persamaan $4A = 7D + 6,$ sedangkan nilai $B$ didapat dari substitusi nilai $A$ pada persamaan $7A + 11B = 624.$
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Nilai}~D & \text{Nilai}~A & \text{Nilai}~B \\ \hline 10 & 19 & \dfrac{491}{11} \\ 26 & 35 & \dfrac{295}{11} \\ 42 & 75 & 9 \\ \hline \end{array}$$Ternyata, nilai $D$ yang memenuhi adalah $42$ sehingga nilai $A = 75$ dan $B = 9.$ Jadi, ada $75$ buku di masing-masing kotak tipe A dan $9$ buku di masing-masing kotak tipe B.
Oleh karena itu, total buku pada $4$ kotak tipe B adalah $\boxed{4(9) = 36}$

Untuk mencari nilai $M,$ kita harus tahu panjang $AB$ terlebih dahulu.
Perhatikan gambar berikut.Misalkan $O$ adalah titik pusat lingkaran dan $G$ adalah titik singgung lingkaran yang melalui $AB.$ Di sini kita akan mencari panjang $AG.$ Adapun langkah-langkah untuk mengisi keterangan pada gambar di atas adalah sebagai berikut.

1. Karena $\angle DEG$ adalah sudut keliling yang menghadap busur $DG,$ sedangkan $\angle DOG$ adalah sudut pusat yang menghadap busur yang sama, maka $\angle DOG = 2 \times \angle DEG = 90^\circ.$
2. Karena $OG \perp AB$ (sifat garis singgung) dan $\angle DOG$ siku-siku serta $DO = OG = r,$ maka diperolehlah persegi $DOGH$ dengan $H$ terletak di $AG$ sehingga $DH \perp AG.$
3. Panjang $DH = OG = r$ dan $\angle ADH = 45^\circ.$
4. $\triangle ADH$ sama kaki dengan $AH = DH = r.$ Dengan rumus Pythagoras, berlaku
   $$\begin{aligned} AH^2 + DH^2 & = AD^2 \\ r^2 + r^2 & = 4^2 \\ 2r^2 & = 16 \\ r^2 & = 8 = 2\sqrt2 \end{aligned}$$
5. Dengan demikian, $AG = 2r = 2(2\sqrt2) = 4\sqrt2.$

Berikutnya, kita akan mencari panjang $GB.$

1. Karena $\angle GFC$ adalah sudut keliling yang menghadap busur $GC,$ sedangkan $\angle GOC$ adalah sudut pusat yang menghadap busur yang sama, maka $\angle GOC = 2 \times \angle GFC = 60^\circ.$
2. Tarik garis vertikal $PC$ sehingga tegak lurus dengan $OG.$
3. Akan terbentuk segitiga siku-siku $OPC.$ Perhatikan bahwa $OC$ adalah jari-jari dengan panjang $2\sqrt2.$ Pada segitiga dengan ukuran sudut $30^\circ-60^\circ-90^\circ,$ panjang sisi di depan sudut $30^\circ$ adalah setengah kalinya dari hipotenusa. Jadi, $OP = \sqrt2.$ sehingga panjang $PG$ juga $\sqrt2.$
4. Menurut rumus Pythagoras pada $\triangle OCP,$ diperoleh
   $$\begin{aligned} PC & = \sqrt{OC^2-OP^2} \\  & = \sqrt{(2\sqrt2)^2-(\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{8-2} = \sqrt6 \end{aligned}$$
5. Dari gambar, tampak bahwa $PC = GQ = \sqrt6.$
6. Karena $OP = PG = \sqrt2,$ maka $CQ$ juga demikian panjangnya.
7. Pada segitiga dengan ukuran sudut $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ panjang sisi di depan sudut $30^\circ$ adalah setengah kalinya dari hipotenusa. Karena $CQ = 2sqrt2,$ maka $CB = 2\sqrt2.$
8. Menurut rumus Pythagoras pada $\triangle CQB,$ diperoleh
   $$\begin{aligned} QB & = \sqrt{CB^2-CQ^2} \\  & = \sqrt{(2\sqrt2)^2-(\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{8-2} = \sqrt6 \end{aligned}$$
9. Dengan demikian, $GB = GQ + QB =$ $\sqrt6 + \sqrt6 = 2\sqrt6.$

Langkah terakhir, panjang $AB = AG + GB = 4\sqrt2 + 2\sqrt6.$
Ubah dalam bentuk pecahan desimal, yakni
$$\begin{aligned} AB & \approx 4(1,4) + 2(2,4) \\ & \approx 5,6 + 4,8 \\ & \approx 10,4 \end{aligned}$$Karena $M$ adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari panjang $AB,$ maka $M$ adalah $\boxed{11}$

Misalkan $K$ dan $H$ masing-masing menyatakan banyaknya bola kuning dan hijau. Misalkan juga banyak bola hijau di kantong $2$ adalah $x.$
Kondisi mula-mula:
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Kantong 1} & \text{Kantong 2} \\ K = 5 & H = x \\ \hline \end{array}$$Satu bola dipindahkan dari kantong $1$ ke kantong $2.$
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Kantong 1} & \text{Kantong 2} \\ K = 4 & H = x \\ & K = 1 \\ \hline \end{array}$$Satu bola dipindahkan dari kantong $2$ ke kantong $1.$

Kasus 1: Bola kuning yang terambil
Peluang terambilnya bola kuning di kantong $2$ adalah $\dfrac{1}{x+1}.$
Setelah dipindahkan ke kantong $1,$ kantong $1$ sekarang memuat $5$ bola kuning, sedangkan kantong $2$ memuat $x$ bola hijau.
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Kantong 1} & \text{Kantong 2} \\ K = 5 & H = x \\ \hline \end{array}$$Langkah berikutnya, diambil satu bola lagi dari kantong $1$ (pasti bola kuning) dipindahkan ke kantong $2$ sehingga bola kuning di kantong $1$ tersisa $4,$ sedangkan kantong $2$ memuat $x$ bola hijau dan $1$ bola kuning.
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Kantong 1} & \text{Kantong 2} \\ K = 4 & H = x \\ & K = 1 \\ \hline \end{array}$$Peluang terambil bola hijau untuk kasus ini dinyatakan oleh
$$P(A) = \dfrac{1}{x+1} \cdot \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{x}{x^2+2x+1}.$$
Kasus 2: Bola hijau yang terambil
Peluang terambilnya bola hijau di kantong $2$ adalah $\dfrac{x}{x+1}.$
Setelah dipindahkan ke kantong $1,$ kantong $1$ sekarang memuat $4$ bola kuning dan $1$ bola hijau, sedangkan kantong $2$ memuat $(x-1)$ bola hijau dan $1$ bola kuning.
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Kantong 1} & \text{Kantong 2} \\ H = 1 & H = x-1 \\ K = 4 & K = 1 \\ \hline \end{array}$$Langkah berikutnya, diambil satu bola lagi dari kantong $1$ dipindahkan ke kantong $2.$ Ada dua kasus lagi yang perlu dibagi.
Kasus 2A: Bola kuning yang terambil
Peluang terambilnya bola kuning di kantong $1$ adalah $\dfrac{4}{5}.$
Setelah dipindahkan ke kantong $2,$ kantong $1$ sekarang memuat $3$ bola kuning dan $1$ bola hijau, sedangkan kantong $2$ memuat $(x-1)$ bola hijau dan $2$ bola kuning.
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Kantong 1} & \text{Kantong 2} \\ H = 1 & H = x-1 \\ K = 3 & K = 2 \\ \hline \end{array}$$Langkah terakhir adalah mengambil bola hijau di kantong $2$ dengan peluang $\dfrac{x-1}{x+1}.$
Secara keseluruhan, peluang terambil bola hijau untuk kasus ini adalah
$$P(B) = \dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac45 \cdot \dfrac{x-1}{x+1} = \dfrac{4x^2-4x}{5(x^2+2x+1)}.$$Kasus 2B: Bola hijau yang terambil
Peluang terambilnya bola hijau di kantong $1$ adalah $\dfrac{1}{5}.$
Setelah dipindahkan ke kantong $2,$ kantong $1$ sekarang memuat $4$ bola kuning, sedangkan kantong $2$ memuat $x$ bola hijau dan $1$ bola kuning.
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Kantong 1} & \text{Kantong 2} \\ H = 0 & H = x \\ K = 4 & K = 1 \\ \hline \end{array}$$Langkah terakhir adalah mengambil bola hijau di kantong $2$ dengan peluang $\dfrac{x}{x+1}.$
Secara keseluruhan, peluang terambil bola hijau untuk kasus ini adalah
$$P(C) = \dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac15 \cdot \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{x^2}{5(x^2+2x+1)}.$$Gabungkan peluang untuk setiap kasus di atas. Kita peroleh
$$\begin{aligned} P(A) + P(B) + P(C) & = \dfrac35 \\ \dfrac{x}{x^2+2x+1} + \dfrac{4x^2-4x}{5(x^2+2x+1)} + \dfrac{x^2}{5(x^2+2x+1)} & = \dfrac35 \\\dfrac{5x}{5(x^2+2x+1)} + \dfrac{4x^2-4x}{5(x^2+2x+1)} + \dfrac{x^2}{5(x^2+2x+1)} & = \dfrac35 \\ \dfrac{5x^2+x}{\cancel{5}(x^2+2x+1)} & = \dfrac{3}{\cancel{5}} \\ 5x^2+x & = 3(x^2+2x+1) \\ 2x^2-5x-3 & = 0 \\ (2x+1)(x-3) & = 0 \\ x = -\dfrac12~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Karena $x$ menyatakan banyak bola, nilainya harus bulat nonnegatif. Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $3,$ artinya banyak bola hijau di kantong $2$ mula-mula adalah $\boxed{3}$

Stimulus:
Perhatikan segitiga sembarang $ABC$ berikut.
Garis bagi adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga menuju sisi di hadapannya sehingga besar sudutnya terbagi dua sama besar. Koordinat titik bagi (incenter), yaitu titik perpotongan tiga garis bagi segitiga, dinyatakan oleh $(X_I, Y_I)$ dengan
$$\begin{aligned} X_I & = \dfrac{aX_A + bX_B + cX_C}{a + b + c} \\ Y_I & = \dfrac{aY_A + bY_B + cY_C}{a + b + c} \end{aligned}$$Garis berat adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga menuju sisi di hadapannya sehingga sisinya terbagi dua sama panjang. Koordinat titik berat (centroid), yaitu titik perpotongan tiga garis berat segitiga, dinyatakan oleh $(X_{Ce}, Y_{Ce})$ dengan
$$\begin{aligned} X_{Ce} & = \dfrac{X_A + X_B + X_C}{3} \\ Y_{Ce} & = \dfrac{Y_A + Y_B + Y_C}{3} \end{aligned}$$Rumus ini berlaku untuk segitiga jenis apapun, termasuk segitiga siku-siku.

Misalkan terdapat segitiga siku-siku $ABC$ dengan perbandingan panjang sisi $3 : 4 : 5$ dan luas $294.$
Misalnya $k$ adalah bilangan asli sehingga $AB = 3k,$ $AC = 4k,$ dan $BC = 5k.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac{AB \cdot AC}{2} \\ 294 & = \dfrac{3k \cdot 4k}{2} \\ 294 & = 6k^2 \\ 49 & = k^2 \\ 7 & = k \end{aligned}$$Jadi, kita peroleh $AB = 21$, $AC = 28,$ dan $BC = 35.$
Sekarang, dapat dibuat gambar segitiga berikut.
Anggap $A$ berada di titik $(0, 0)$ sehingga $B(21, 0)$ dan $C(28, 0).$
Berikutnya, akan dicari koordinat titik bagi segitiga ini.
$$\begin{aligned} X_I & = \dfrac{21(28) + 28(0) + 35(0)}{21 + 28 + 35} = \dfrac{\cancel{21}(28)}{\cancelto{4}{84}} = 7 \\ Y_I & = \dfrac{21(0) + 28(21) + 35(0)}{21 + 28 + 35} = \dfrac{28(\cancel{21})}{\cancelto{4}{84}} = 7 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik bagi segitiga adalah $(7, 7).$
Selanjutnya, akan dicari koordinat titik berat segitiga.
$$\begin{aligned} X_{Ce} & = \dfrac{0+28+0}{3} = \dfrac{28}{3} \\ Y_{Ce} & = \dfrac{0 + 0 + 21}{3} = 7 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik berat segitiga adalah $\left(\dfrac{28}{3}, 7\right).$
Jarak titik bagi dan titik berat tersebut adalah $x.$ Karena ordinatnya sama, maka jarak ditentukan dari selisih absis kedua titik itu.
$$\begin{aligned} x & = \dfrac{28}{3}-7 \\ 3x & = 28-21 = 7 \end{aligned}$$Jadi, nilai $3x$ adalah $\boxed{7}$