Soal dan Pembahasan – Luas Daerah Menggunakan Integral

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai penentuan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan menggunakan konsep integral. Perlu diperhatikan bahwa integral yang digunakan adalah integral standar (bukan integral lipat yang dipelajari pada kalkulus lanjut). Materi ini dipelajari saat kelas XI Matematika Wajib (SMA) dan diperdalam pada Matematika Peminatan. Gambar kurva dan daerah arsiran dalam postingan ini merupakan produk dari penggunaan aplikasi Geogebra.

Today Quote

You don’t need to be perfect. Just be better than you were yesterday.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri

Soal Nomor 1
Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut dapat dinyatakan dengan rumus $\cdots \cdot$
Luas daerah menggunakan integral oleh fungsi y = x^2 dan y = x + 6

A. $L = \displaystyle \int_{-2}^3 (x^2-x+6)~\text{d}x$
B. $L = \displaystyle \int_{-2}^3 (-x^2+x+6)~\text{d}x$
C. $L = \displaystyle \int_{-2}^3 (x^2-x-6)~\text{d}x$
D. $L = \displaystyle \int_{2}^{-3} (x^2-x+6)~\text{d}x$
E. $L = \displaystyle \int_{2}^{-3} (-x^2+x+6)~\text{d}x$

Pembahasan

Daerah yang diarsir terbatas pada selang titik potong kedua kurva.
Untuk itu, kita akan mencari koordinat titik potongnya dulu dengan cara menyamakan kedua fungsi.
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2 = x + 6 \\ x^2-x-6 & = 0 \\ (x-3)(x+2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 3$ atau $x = -2$.
Untuk $x = 3$, diperoleh $y = 9$.
Untuk $x = -2$, diperoleh $y = 4$.
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(3, 9)$ dan $(-2, 4)$.
Karena variabel integralnya menggunakan $x$, maka kita beri batas atas dan batas bawah integral berdasarkan absis titik potong, yaitu $x = -2$ sebagai batas bawah dan $x = 3$ sebagai batas atas.
Perhatikan bahwa kurva $y = x + 6$ berada di atas kurva $y = x^2$ pada interval $-2 < x < 3$ sehingga luas daerah yang diarsir dinyatakan oleh
$\begin{aligned} A &  \displaystyle \int_{-2}^3 (y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})~\text{d}x \\ & = \int_{-2}^3 ((x+6)-(x^2))~\text{d}x \\ & = \int_{-2}^3 (-x^2+x+6)~\text{d}x \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Fungsi Kuadrat

Soal Nomor 2
Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut dinyatakan dalam rumus $\cdots \cdot$
Luas daerah menggunakan integral oleh fungsi y = x dan y = -x^2 + 6x
A. $\displaystyle \int_0^5 ((-x^2+6x)-x)~\text{d}x$
B. $\displaystyle \int_0^5 (-x-(-x^2+6x))~\text{d}x$
C. $\displaystyle \int_0^3 ((-x^2+6x)-x)~\text{d}x$
D. $\displaystyle \int_0^5 (x-(-x^2+6x))~\text{d}x$
E. $\displaystyle \int_0^5 ((-x^2+6x)+x)~\text{d}x$

Pembahasan

Daerah yang diarsir terbatas pada selang titik potong kedua kurva.
Koordinat titik potongnya telah diketahui pada gambar, yaitu $(0, 0)$ dan $(5, 5)$.
Karena variabel integralnya menggunakan $x$, maka kita beri batas atas dan batas bawah integral berdasarkan absis titik potong, yaitu $x = 0$ sebagai batas bawah dan $x = 5$ sebagai batas atas.
Perhatikan bahwa kurva $y = -x^2 + 6x$ berada di atas kurva $y = x$ pada interval $0 < x < 5$ sehingga luas daerah yang diarsir dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} A & = \displaystyle \int_{0}^5 (y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})~\text{d}x \\ & = \int_{0}^5 ((-x^2+6x)-(x))~\text{d}x \end{aligned}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Luas daerah yang diarsir pada gambar dinyatakan dengan rumus $\cdots \cdot$
Daerah terbatas oleh kurva lingkaran dan parabola

$$\begin{aligned} & \text{A}. \displaystyle \int_0^2 (\sqrt{4-x^2}+(x-1)^2-1)~\text{d}x \\ & \text{B}. \int_0^2 ((x-1)^2-1-\sqrt{4-x^2})~\text{d}x \\ & \text{C}.  \int_0^2 (\sqrt{4-x^2})~\text{d}x + \int_2^0 \int ((x-1)^2-1)~\text{d}x \\ & \text{D}. \int_0^2 (\sqrt{4-x^2})~\text{d}x-\int_2^0 \int ((x-1)^2-1)~\text{d}x \\ & \text{E}. \int_0^2 ((x-1)^2-1)~\text{d}x-\int_2^0 \sqrt{4-x^2}~\text{d}x \end{aligned}$$

Pembahasan

Titik potong kurva lingkaran dan parabola adalah pada titik asal dan pada titik $(2, 0)$ (dapat dilihat pada gambar). Perhatikan bahwa $x^2+y^2=\color{red}{4}$ merupakan persamaan lingkaran yang berjari-jari $r = \sqrt{\color{red}{4}} = 2$.
Daerah yang diarsir kita partisi dalam dua bagian: daerah $A$ dan $B$.
Daerah $A$ adalah daerah yang dibatasi oleh lingkaran di kuadran I pada selang $(0, 2)$.
Nyatakan persamaan lingkaran itu sebagai fungsi implisit untuk variabel $x$, yaitu $y = \sqrt{4-x^2}$.
Integral tentu yang menyatakan luas daerah $A$ adalah
$L_A = \displaystyle \int_0^2 \sqrt{4-x^2}~\text{d}x$
Daerah $B$ adalah daerah yang dibatasi oleh parabola di bawah sumbu-$X$. Parabola itu dapat dinyatakan sebagai fungsi terhadap variabel $x$, yaitu $y = (x-1)^2-1$.
Karena di bawah sumbu-$X$, maka hasil perhitungan integralnya negatif padahal luas tidak mungkin bernilai negatif. Untuk itu, kita perlu menggunakan sifat integral tentu:
$\boxed{\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x = -\int_b^a f(x)~\text{d}x}$
Dengan demikian, integral tentu yang menyatakan luas daerah $B$ adalah
$\begin{aligned} L_B & = -\int_0^2 ((x-1)^2-1)~\text{d}x \\ & = \int_2^0 ((x-1)^2-1)~\text{d}x \end{aligned}$
Dengan demikian, luas daerah arsir seluruhnya dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L & = L_A + L_B \\ & = \displaystyle \int_0^2 \sqrt{4-x^2}~\text{d}x + \int_2^0 ((x-1)^2-1)~\text{d}x \end{aligned}$$(Jawaban C)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Soal Nomor 4
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2$, $y=1$, dan $x=2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \int_{-1}^2 (1-x^2)~\text{d}x$
B. $\displaystyle \int_{-1}^2 (x^2-1)~\text{d}x$
C. $\displaystyle \int_{1}^2 (x^2-1)~\text{d}x$
D. $\displaystyle \int_{-1}^1 (1-x^2)~\text{d}x$
E. $\displaystyle \int_{0}^2 (x^2-1)~\text{d}x$

Pembahasan

Gambarkan sketsa setiap kurva, lalu arsir daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva tersebut.Daerah terbatas oleh kurva parabola dan dua garis lurus
Perhatikan bahwa daerah yang diarsir terbatas pada selang absis titik $A$ dan $C$. Dapat ditentukan bahwa koordinat titik $A$ adalah $(1, 1)$ (dengan substitusi $y = 1$ pada $y = x^2$) dan koordinat titik $C$ adalah $(2, 1)$.
Ini artinya, batas bawah integral adalah $x = 1$ dan batas atasnya $x=2$.
Karena kurva $y=x^2$ selalu berada di atas kurva $y = 1$ pada selang tersebut, maka integral tentu yang menyatakan luas daerah yang diarsir itu adalah
$$\boxed{L = \displaystyle \int_{1}^2 (y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})~\text{d}x = \int_1^2 (x^2-1)~\text{d}x}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5 (UN 2014)
Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut dapat dinyatakan oleh $\cdots \cdot$
Luas daerah menggunakan integral oleh fungsi y = 5 - x dan y = x^2 + 2x + 1
A. $\displaystyle \int_0^1 (x^2+2x+1)~\text{d}x + \int_1^5 (5-x)~\text{d}x$
B. $\displaystyle \int_{-1}^0 (x^2+2x+1)~\text{d}x + \int_0^5 (5-x)~\text{d}x$
C. $\displaystyle \int_{-1}^1 (x^2+2x+1)~\text{d}x + \int_1^5 (5-x)~\text{d}x$
D. $\displaystyle \int_{-1}^1 (x^2+2x+1)~\text{d}x + \int_0^5 (5-x)~\text{d}x$
E. $\displaystyle \int_0^1 (5-x)~\text{d}x + \int_1^5 (x^2+2x+1)~\text{d}x$

Pembahasan

Untuk menghitung luas daerah yang diarsir dengan menggunakan integral, kita harus partisi daerahnya terlebih dahulu dengan garis tegak $x = 1$ sebagai pembatas.Pada selang $(-1, 1)$, dibuat batang tegak dengan puncaknya menyentuh kurva $y=x^2+2x+1$ dan dasarnya menyentuh sumbu-$X$. Ini artinya luas daerah yang dibatasi oleh keduanya pada selang $(-1, 1)$ dapat dihitung dengan integral tentu:
$A_1 = \displaystyle \int_{-1}^1 (x^2+2x+1)~\text{d}x$
Pada selang $(1, 5)$, dibuat batang tegak dengan puncaknya menyentuh kurva $y=5-x$ dan dasarnya menyentuh sumbu-$X$. Ini artinya luas daerah yang dibatasi oleh keduanya pada selang $(1,5)$ dapat dihitung dengan integral tentu:
$A_2 = \displaystyle \int_{1}^5 (5-x)~\text{d}x$
Dengan demikian, luas daerah yang diarsir dapat dinyatakan dengan rumus
$$\boxed{A_1+A_2 = \displaystyle \int_{-1}^1 (x^2+2x+1)~\text{d}x+\int_1^5 (5-x)~\text{d}x}$$(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Jumlah Riemann

Soal Nomor 6 (SBMPTN 2013)
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=3-x^2$ dan $y=2|x|$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \int_0^1 (-x^2-2x+3)~\text{d}x$
B. $2 \displaystyle \int_{-1}^0 (-x^2-2x+3)~\text{d}x$
C. $\displaystyle \int_{-1}^1 (-x^2+2x+3)~\text{d}x$
D. $\displaystyle \int_0^1 (-x^2+2x+3)~\text{d}x$
E. $2 \displaystyle \int_{-1}^0 (-x^2+2x+3)~\text{d}x$

Pembahasan

Pertama, gambarkan dulu sketsa grafik kedua fungsi pada bidang koordinat.
Kurva $y=3-x^2$ berbentuk parabola, sedangkan kurva $y=2|x|$ berbentuk seperti huruf V yang terdiri dari $2$ bagian, yaitu $y=2x$ untuk $x \geq 0$ dan $y=-2x$ untuk $x<0$.
Kedua, arsir daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut. Kita partisi daerahnya dengan pembatas sumbu-$Y$. Daerah $A_1$ merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva $y=3-x^2$ dan $y=-2x$, sedangkan daerah $A_2$ merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva $y=3-x^2$ dan $y=2x$.Luas daerah menggunakan integral oleh fungsi y = |2x| dan y = 3-x^2Jika diperhatikan, ternyata luas $A_1$ sama dengan luas $A_2$ karena kedua kurva tersebut simetris terhadap sumbu-$Y$. Jadi, dapat ditulis $A_1 = A_2$ sehingga luas daerah yang diarsir dapat dinyatakan oleh $2A_1$ (pilih salah satu saja).
Pada selang $(-1, 0)$, kurva $y=3-x^2$ selalu berada di atas kurva $y=-2x$ sehingga integral tentu yang menyatakan luas $A_1$ adalah
$\begin{aligned} A_1 & = \displaystyle \int_{-1}^0 (y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})~\text{d}x \\ & = \int_{-1}^0 ((3-x^2)-(-2x))~\text{d}x \\ & = \int_{-1}^0 (-x^2+2x+3)~\text{d}x \end{aligned}$
Luas daerah yang diarsir adalah
$\boxed{2A_1 = 2 \displaystyle \int_{-1}^0 (-x^2+2x+3)~\text{d}x}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Dasar)

Soal Nomor 7
Luas daerah yang dibatasi garis $y=\dfrac12$ dan kurva $y=\dfrac{x^2}{1+x^2}$ dapat dinyatakan sebagai integral tentu, yaitu $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2-1}{x^2+1}~\text{d}x$
B. $2 \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1-x^2}{1+x^2}~\text{d}x$
C. $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1-x^2}{1+x^2}~\text{d}x$
D. $2 \displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2}{1+x^2}~\text{d}x$
E. $2 \displaystyle \int_0^1 \dfrac{x}{1+x^2}~\text{d}x$

Pembahasan

Pertama, kita akan menentukan titik potong kedua kurva yang akan menjadi batas integralnya. Caranya adalah dengan menyamakan kedua fungsi.
$\begin{aligned} y & = y \\ \dfrac{x^2}{x^2+1} & = \dfrac12 \\ 2x^2 & = x^2 + 1 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$
Jadi, batas integralnya adalah $-1 < x < 1$.
Posisi kurva $y = \dfrac{x^2}{1+x^2}$ terhadap $y = \dfrac12$ pada selang $(-1, 1)$ dapat ditentukan dengan menggunakan uji titik. Misalnya kita pilih $x = 0$, sehingga
$y = \dfrac{0^2}{1+0^2} = \dfrac{0}{1} = 0 < \dfrac12$. Ini artinya, kurva $y = \dfrac12$ selalu berada di atas kurva $y = \dfrac{x^2}{1+x^2}$ pada interval tersebut.
Dengan demikian, integral tentu yang menyatakan luas daerah yang dimaksud adalah
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^1 \left(\dfrac12-\dfrac{x^2}{1+x^2}\right)~\text{d}x & = \int_{-1}^1 \left(\dfrac{(1+x^2)-2x^2}{2(1+x^2)}\right)~\text{d}x \\ & = \color{red}{\dfrac12 \int_{-1}^1 \left(\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right)~\text{d}x} \end{aligned}$$Karena $f(x) = \dfrac{1-x^2}{1+x^2}$ merupakan fungsi genap sebab berlaku $f(x) = f(-x)$, maka berlaku rumus kesimetrian integral bahwa luas daerah dari selang $(-1, 0)$ sama dengan luas daerah dari selang $(0, 1)$. Untuk itu, integral di atas dapat ditulis menjadi
$$2 \cdot \color{red}{\dfrac12 \displaystyle \int_0^1 \left(\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right)~\text{d}x} = \displaystyle \int_0^1 \left(\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right)~\text{d}x$$(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 8
Luas daerah $D$ yang dibatasi oleh kurva $y = x^2$ di kuadran I, garis $x + y =2$, garis $y=4$, serta sumbu-$Y$ adalah $\cdots$ satuan luas.
A. $2\dfrac16$                        D. $4\dfrac13$
B. $3\dfrac16$                        E. $4\dfrac12$
C. $4\dfrac16$

Pembahasan

Pertama, gambarkan dulu ketiga kurvanya. Kurva $y=x^2$ berbentuk parabola yang terbuka ke atas dengan puncak di $(0,0)$. Kurva $x + y = 2$ ekuivalen dengan $y = 2-x$ berupa garis lurus yang melalui $(2, 0)$ dan $(0, 2)$. Kurva $y = 4$ berupa garis mendatar. Perhatikan bahwa koordinat titik potong kurva $y=x^2$ dan $y=2-x$ dapat ditentukan dengan menyamakan kedua fungsinya.
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2 & = 2-x \\ x^2+x-2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = -2$ atau $x=1$.
Untuk $x = -2$, diperoleh $y = 4$.
Untuk $x = 1$, diperoleh $y=1$.
Jadi, koordinat titik potongnya di $(-2, 4)$ dan $(1, 1)$.
Selanjutnya, arsirlah daerah yang dibatasi oleh ketiga kurva tersebut. Kita partisi menjadi $2$ daerah, yaitu $A_1$ dan $A_2$.
Daerah terbatas pada sejumlah kurva

Daerah $A_1$ dibatasi oleh garis $y=5$, sumbu-$Y$, garis $x = 1$, dan $x + y = 2$ pada selang $(0, 1)$. Karena garis $y=4$ selalu berada di atas kurva $y =2-x$, maka integral tentu yang menyatakan luas $A_1$ adalah sebagai berikut beserta perhitungannya.
$\begin{aligned} L_{A_1}& = \displaystyle \int_0^1 (y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})~\text{d}x \\ & = \int_0^1 (4-(2-x))~\text{d}x \\ & = \int_0^1 (x+2)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac12x^2+2x\right]_0^1 \\ & = \left(\dfrac12(1)^2+2(1)\right)-(0+0) \\ & = \dfrac12+2 = 2\dfrac12 \end{aligned}$
Daerah $A_2$ dibatasi oleh kurva $y=4$, garis $x=1$, dan $y=x^2$ pada selang $(1, 2)$. Karena garis $y=4$ selalu berada di atas kurva $y = x^2$, maka integral tentu yang menyatakan luas $A_2$ adalah sebagai berikut beserta perhitungannya.
$\begin{aligned} L_{A_2}& = \displaystyle \int_1^2 (y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})~\text{d}x \\ & = \int_1^2 (4-x^2)~\text{d}x \\ & = \left[4x-\dfrac13x^3\right]_1^2 \\ & = \left(4(2)-\dfrac13(2)^3\right)-\left(4(1)-\dfrac13(1)^3\right) \\ & = 8-\dfrac83-4+\dfrac13 \\ & = 4-\dfrac73 = 1\dfrac23 \end{aligned}$
Dengan demikian, luas daerah yang diarsir secara keseluruhan adalah $\boxed{2\dfrac12 + 1\dfrac23 = 4\dfrac16}$ satuan luas.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral Tentu

Soal Nomor 9
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2+4x+6$ dan garis $y=2-x$ adalah $\cdots$ satuan luas.
A. $\dfrac{27}{2}$                 C. $\dfrac92$               E. $\dfrac12$
B. $\dfrac94$                   D. $\dfrac32$

Pembahasan

Cara 1: Menggunakan Integral
Gambarkan sketsa grafik dari fungsi $y = x^2+4x+6$ dan $y = 2-x$ pada bidang Kartesius.
Daerah terbatas oleh garis dan parabola
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan kita hitung luasnya. Daerah tersebut terbatas pada selang titik potong kedua kurva. Untuk itu, kita akan mencari koordinat titik potongnya dulu dengan cara menyamakan kedua fungsi.
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2+4x+6 & = 2-x \\ x^2+5x+4 & = 0 \\ (x+4)(x+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = -4$ atau $x = -1$.
Untuk $x = -4$, diperoleh $y = 6$.
Untuk $x = -1$, diperoleh $y = 3$.
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(-4, 6)$ dan $(-1, 3)$.
Karena variabel integralnya menggunakan $x$, maka kita beri batas atas dan batas bawah integral berdasarkan absis titik potong, yaitu $x = -4$ sebagai batas bawah dan $x = -1$ sebagai batas atas.
Perhatikan bahwa kurva $y =2-x$ selalu berada di atas kurva $y = x^2+4x+6$ pada interval $-4 < x < -1$ sehingga luas daerah yang diarsir dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L & = \displaystyle \int_{-4}^{-1} (y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})~\text{d}x \\ & = \int_{-4}^{-1} ((2-x)-(x^2+4x+6)~\text{d}x \\ & = \int_{-4}^{-1} (-x^2-5x-4)~\text{d}x \\ & = \left[-\dfrac13x^3-\dfrac52x^2-4x\right]_{-4}^{-1} \\ & = \left(-\dfrac13(-1)^3-\dfrac52(-1)^2-4(-1)\right)-\left(-\dfrac13(-4)^3-\dfrac52(-4)^2-4(-4)\right) \\ & = \left(\dfrac13-\dfrac52+4\right)-\left(\dfrac{64}{3}-40+16\right) \\ & = \dfrac{11}{6}+\dfrac83 = \dfrac{27}{6} = \dfrac92 \end{aligned}$$Cara 2: Menggunakan Diskriminan

Jika kita menyamakan kedua fungsi, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2+4x+6 & = 2-x \\ x^2+5x+4 & = 0 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat di atas berbentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a = 1$, $b = 5$, dan $c = 4$.
Nilai diskriminannya adalah
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = (5)^2-4(1)(4) \\ & = 25-16=9 \end{aligned}$
Luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva itu dapat dihitung dengan menggunakan formula:
$\boxed{L = \dfrac{D\sqrt{D}}{6a^2}}$
Karena $D = 9$ dan $a = 1$ (koefisien $x^2$), kita peroleh
$L = \dfrac{\cancelto{3}{9}\sqrt{9}}{\cancelto{2}{6}(1)^2} = = \dfrac92$
Cara 3: Menggunakan Selisih Absis Titik Potong
Jika kita menyamakan kedua fungsinya, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2+4x+6 & = 2-x \\ x^2+5x+4 & = 0 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat di atas berbentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a = 1$, $b = 5$, dan $c = 4$.
Penyelesaian persamaan kuadrat bila sudah difaktorkan menjadi $(x+1)(x+4)=0$ adalah $x=-4$ atau $x=-1$.
Luas daerah yang diarsir ditentukan oleh rumus $L = \left|\dfrac{a}{6}(\Delta x)^3\right|$, yaitu

$L= \left|\dfrac{1}{6}(-1-(-4))^3\right| = \dfrac16 \cdot 27 = \dfrac{9}{2}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{\dfrac92}$ satuan luas.
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri

Soal Nomor 10
Perhatikan gambar berikut.
Luas daerah menggunakan integral oleh fungsi y = 2 - x dan y = x^2
Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots$ satuan luas.
A. $\dfrac72$                   C. $\dfrac{11}{2}$                E. $3$
B. $\dfrac92$                   D. $\dfrac{9}{5}$

Pembahasan

Daerah yang diarsir terbatas pada selang titik potong kedua kurva.
Untuk itu, kita akan mencari koordinat titik potongnya dulu dengan cara menyamakan kedua fungsi.
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2 & = 2-x \\ x^2+x-2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = -2$ atau $x = 1$.
Untuk $x = -2$, diperoleh $y = 4$.
Untuk $x = 1$, diperoleh $y = 1$.
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(-2, 4)$ dan $(1, 1)$.
Karena variabel integralnya menggunakan $x$, maka kita beri batas atas dan batas bawah integral berdasarkan absis titik potong, yaitu $x = -2$ sebagai batas bawah dan $x = 1$ sebagai batas atas.
Perhatikan bahwa kurva $y = 2-x$ selalu berada di atas kurva $y = x^2$ pada interval $-2 < x < 1$ sehingga luas daerah yang diarsir dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L & \displaystyle \int_{-2}^1 (y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})~\text{d}x \\ & = \int_{-2}^1 ((2-x)-(x^2))~\text{d}x \\ & = \int_{-2}^1 (-x^2-x+2)~\text{d}x \\ & = \left[-\dfrac13x^3-\dfrac12x^2+2x\right]_{-2}^1 \\ & = \left(-\dfrac13(1)^3-\dfrac12(1)^2+2(1)\right)-\left(-\dfrac13(-2)^3-\dfrac12(-2)^2+2(-2)\right) \\ & = \left(-\dfrac13-\dfrac12+2\right)-\left(\dfrac83-2-4\right) \\ & = \dfrac76-\left(-\dfrac{10}{3}\right) = \dfrac{27}{6} = \dfrac92 \end{aligned}$$Cara 2: Menggunakan Diskriminan
Jika kita menyamakan kedua fungsi, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2 & = 2-x \\ x^2+x-2 & = 0 = 0 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat di atas berbentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a = 1$, $b = 1$, dan $c = -2$.
Nilai diskriminannya adalah
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = (1)^2-4(1)(-2) \\ & = 1+8 = 9 \end{aligned}$
Luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva itu dapat dihitung dengan menggunakan formula:
$\boxed{L = \dfrac{D\sqrt{D}}{6a^2}}$
Karena $D = 9$ dan $a = 1$ (koefisien $x^2$), kita peroleh
$L = \dfrac{\cancelto{3}{9}\sqrt{9}}{\cancelto{2}{6}(1)^2} = = \dfrac92$
Cara 3: Menggunakan Selisih Absis Titik Potong
Jika kita menyamakan kedua fungsinya, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2 & = 2-x \\ x^2+x-2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = -2$ atau $x = 1$.
Persamaan kuadrat di atas berbentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan koefisien $x^2$-nya adalah $a=1$.
Luas daerah yang diarsir ditentukan oleh rumus $L = \left|\dfrac{a}{6}(\Delta x)^3\right|$, yaitu
$L= \left|\dfrac{1}{6}(1-(-2))^3\right| = \dfrac16 \cdot 27 = \dfrac{9}{2}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{\dfrac92}$ satuan luas.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Gambar berikut menunjukkan bagian kurva $y = x^2$ dan sebuah persegi panjang dengan dua titik sudutnya pada $(0,0)$ dan $(c, 0)$.
Luas daerah menggunakan integral
Nilai perbandingan antara luas persegi panjang terhadap luas bagian yang diraster adalah $\cdots \cdot$
A. $3 : 4$                        D. $2 : 3$
B. $3 : 2$                        E. $4 : 3$ 
C. $5 : 4$

Pembahasan

Perhatikan bahwa koordinat titik potong parabola $y = x^2$ dan garis tegak $x = c$ adalah $(c, c^2)$.
Ini artinya, garis datar yang membatasi daerah arsir di bagian atas adalah $y = c^2$.
Dengan menggunakan integral pada batas bawah $x = 0$ dan batas atas $x = c$, luas daerah arsiran tersebut adalah
$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = \displaystyle \int_0^c (c^2-x^2)~\text{d}x \\ & = \left[c^2x-\dfrac13x^3\right]_0^c \\ & = \left(c^2(c)-\dfrac13(c)^3\right)-(0-0) \\ & = c^3-\dfrac13c^3 = \dfrac23c^3 \end{aligned}$
Persegi panjang tersebut memiliki panjang $c$ dan lebar $c^2$ sehingga luasnya adalah
$L_{\text{pp}} = p \cdot l = c \cdot c^2 = c^3$
Dengan demikian, perbandingan luas persegi panjang terhadap luas bagian yang diarsir adalah
$\boxed{L_{\text{pp}} : L_{\text{Arsir}} = \cancel{c^3} : \dfrac23\cancel{c^3} = 3 : 2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)

Soal Nomor 12 (GRE Mathematics Test)
Jika $b>0$ dan $\displaystyle \int_0^b x~\text{d}x = \int_0^b x^2~\text{d}x$, maka luas daerah yang diraster pada gambar berikut adalah $\cdots \cdot$
Daerah terbatas oleh kurva parabola dan dua garis lurus

A. $\dfrac{1}{12}$                     C. $\dfrac14$                E. $\dfrac12$
B. $\dfrac16$                       D. $\dfrac13$

Pembahasan

Daerah yang diarsir (diraster) dibatasi oleh kurva $y=x^2$, $y = x$, dan $x=b$ pada selang $(1, b)$. Perhatikan bahwa kurva $y=x^2$ selalu berada di atas kurva $y=x$ sehingga luasnya ditentukan dengan integral berikut.
$\displaystyle \int_1^b (x^2-x)~\text{d}x = \int_1^b x^2~\text{d}x-\int_1^b x~\text{d}x~~~(\cdots 1)$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat integral tentu dan informasi yang diketahui, yaitu
$\displaystyle \color{blue}{\int_0^b x~\text{d}x = \int_0^b x^2~\text{d}x}~~~~~(\cdots 2)$
kita akan menghitung luas daerah yang diarsir.
Untuk kurva $y = x^2$, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^b x^2~\text{d}x & = \int_0^1 x^2~\text{d}x + \int_1^b x^2~\text{d}x && (\text{sifat kekontinuan inte}\text{gral tentu}) \\ \int_0^b x^2~\text{d}x & =\left[\dfrac13x^3\right]_0^1 + \int_1^b x^2~\text{d}x \\ \int_0^b x^2~\text{d}x & = \dfrac13 + \int_1^b x^2~\text{d}x \\ \int_1^b x^2~\text{d}x & = \int_0^b x^2~\text{d}x-\dfrac13 && (\cdots 3) \end{aligned}$$Untuk kurva $y = x$, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^b x~\text{d}x & = \int_0^1 x~\text{d}x + \int_1^b x~\text{d}x && (\text{sifat kekontinuan inte}\text{gral tentu}) \\ \int_0^b x~\text{d}x & =\left[\dfrac12x^2\right]_0^1 + \int_1^b x~\text{d}x \\ \int_0^b x~\text{d}x & = \dfrac12 + \int_1^b x~\text{d}x \\ \int_1^b x~\text{d}x & = \int_0^b x~\text{d}x-\dfrac12 && (\cdots 4) \end{aligned}$$
Substitusi persamaan $3$ dan $4$ ke persamaan $1$.
$\begin{aligned} A & = \displaystyle \int_1^b x^2-\int_1^b x~\text{d}x \\ & = \left(\int_0^b x^2~\text{d}x-\dfrac13\right)-\left(\int_0^b x~\text{d}x-\dfrac12\right) \\ & = \left(\color{blue}{\int_0^b x^2~\text{d}x-\int_0^b x~\text{d}x}\right)-\dfrac13+\dfrac12 \\ & = 0-\dfrac13+\dfrac12 = \dfrac16 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{\dfrac16}$ satuan luas.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13 (SBMPTN 2015)
Pada interval $-10 \leq x \leq 0$, luas daerah di bawah kurva $y=x^2$ dan di atas garis $y=kx$ sama dengan luas daerah di atas kurva $y=x^2$ dan di bawah garis $y=kx$. Nilai $k = \cdots \cdot$
A. $-6\dfrac23$                 C. $-5$               E. $-4\dfrac13$
B. $-6$                    D. $-4\dfrac23$

Pembahasan

Absis titik potong kurva $y = x^2$ dan $y=kx$ dapat dicari dengan menyamakan kedua fungsinya.
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2 & = kx \\ x^2-kx & = 0 \\ x(x-k) & = 0 \end{aligned}$
Absis titik potong di $x=0$ dan $x=k$ dengan $-10 < k < 0$.
Luas daerah arsiran pada selang $(-10, k)$ sama dengan luas daerah arsiran pada selang $(k, 0)$. Dengan menggunakan integral tentu, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-10}^k (x^2-kx) \text{d}x & = \int_k^0 (kx-x^2) \text{d}x \\ \int_{-10}^k (x^2-kx) \text{d}x & =- \int_k^0 (x^2-kx) \text{d}x \\ \int_{-10}^k (x^2-kx)dx + \int_k^0 (x^2-kx) dx & = 0 \\ \int_{-10}^0 (x^2-kx) dx & = 0 \\ \left[\dfrac13x^3-\dfrac12kx^2\right]_{-10}^0 & = 0 \\ (0-0)+\left(\dfrac13(-10)^3-\dfrac12k(-10)^2\right) & = 0 \\ -\dfrac{1000}{3}-50k & = 0 \\ 50k & = -\dfrac{1000}{3} \\ k & = -\dfrac{20}{3} \\ k & = -6\dfrac23 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{k=-6\dfrac23}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2+a$, garis $y=-x+a$, dan garis $x=a$ mempunyai luas $\dfrac13a$. Nilai dari $10a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $10$                     E. $20$
B. $5$                     D. $15$

Pembahasan

Karena $L = \dfrac13a$, maka kita simpulkan bahwa $a > 0$.
Sketsa kurva $y = x^2+a$ yang merupakan pergeseran kurva $y = x^2$ ke atas sehingga titik puncaknya di $(0, a)$.

Sketsa kurva $y = -x + a \Leftrightarrow x+y=a$ yang merupakan garis lurus dengan perpotongan terhadap sumbu-$X$ di $(a, 0)$ dan perpotongan terhadap sumbu-$Y$ di $(0, a)$.
Sketsa kurva $x = a$ berupa garis tegak.
Daerah terbatas oleh kurva parabola dan dua garis lurus
Daerah yang diarsir dibatasi oleh ketiga kurva tersebut pada selang $(0, a)$.
Perhatikan bahwa pada selang itu, kurva $y=x^2+a$ selalu berada di atas kurva $y = -x+a$ sehingga luas daerah yang diarsir ditentukan oleh integral tentu berikut.
$\begin{aligned} L & = \displaystyle \int_{0}^a [(x^2+a)-(-x+a)]~\text{d}x \\ & = \int_0^a (x^2+x)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac13x^3+\dfrac12x^2\right]_0^a \\ & = \left(\dfrac13a^3+\dfrac12a^2\right)-0 \\ & = \dfrac{a^3}{3}+\dfrac{a^2}{2} \end{aligned}$
Karena diketahui luasnya $\dfrac13a$, maka diperoleh persamaan
$\begin{aligned} \dfrac{a^3}{3}+\dfrac{a^2}{2} & = \dfrac13a \\ \text{Kalikan}~6~\text{di kedua}&~\text{ruas} \\ 2a^3-3a^2 & = 2a \\ 2a^3+3a^2-2a & = 0 \\ a(2a^2+3a-2) & = 0 \\ a(2a+4)(2a-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 0$ atau $a = -2$ atau $a = \dfrac12$. Karena $a$ harus positif, maka dipilih $a = \dfrac12$.
Dengan demikian, nilai $\boxed{10a = 10 \cdot \dfrac12 = 5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Volume Benda Putar Menggunakan Integral

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x-3$ dan sumbu-$X$ dalam selang:
a. $[3, 7]$
b. $[0, 3]$

Luas daerah menggunakan integral

Pembahasan

Langkah 1:
Sketsa grafik $y = f(x) = x-3$ dengan memperhatikan selang yang diberikan.
$f(x) = x-3$ merupakan fungsi linear yang grafiknya berupa garis lurus. Untuk menggambar garis lurus, kita hanya perlu dua titik. Dua titik itu biasanya dipilih sebagai titik potong kedua sumbu koordinat. Titik potong grafik terhadap sumbu-$X$ adalah $Q(3, 0)$, sedangkan titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ adalah $P(0, -3)$. Grafiknya ditunjukkan pada gambar di bawah.
Langkah 2:
Perhatikan selang di mana daerah di bawah grafik yang diminta bernilai positif atau negatif.
Jawaban a)
Untuk selang $[3,7]$, grafik $y=x-3$ seluruhnya berada di atas sumbu-$X$ sehingga luas daerah yang dibatasi oleh grafik itu dan sumbu-$X$ bisa dihitung dengan integral berikut.
$\begin{aligned} A_1 & = \displaystyle \int_3^7 (x-3)~\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}-3x\right]_3^7 \\ & = \left[\dfrac{7^2}{2}-3(7)\right]-\left[\dfrac{3^2}{2}-3(3)\right] \\ & = \left(\dfrac{49}{2}-21\right)-\left(\dfrac92-9\right) \\ & = \left(\dfrac{49}{2}-\dfrac92\right)-21+9 \\ & = 20-21+9 = 8 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah pada selang tersebut adalah $\boxed{A_1 = 8}$ satuan luas.
Jawaban b)
Untuk selang $[0,3]$, grafik $y=x-3$ seluruhnya berada di bawah sumbu-$X$ sehingga luas daerah yang dibatasi oleh grafik itu dan sumbu-$X$ bisa dihitung dengan integral berikut dan tanda negatifnya diabaikan.
$\begin{aligned} A_2 & = \displaystyle \int_0^3 (x-3)~\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}-3x\right]_0^3 \\ & = \left[\dfrac{3^2}{2}-3(3)\right]-\left[\dfrac{0^2}{2}-3(0)\right] \\ & = \left(\dfrac{9}{2}-9\right)-(0-0) = -4\dfrac12 \end{aligned}$
Abaikan tanda negatif.
Jadi, luas daerah pada selang tersebut adalah $\boxed{A_2 = 4\dfrac12}$ satuan luas.

[collapse]

Soal Nomor 2
Dengan menggunakan integral, tentukan perbandingan luas daerah $A$ dan $B$ pada gambar berikut.
Daerah A dan B dengan pembatas sebuah garis dan sumbu-X

Pembahasan

Daerah $A$ dibatasi oleh garis $y=x+2$ dan sumbu-$X$ pada selang $(-2, 0)$.
Luasnya dapat ditentukan dengan menggunakan integral berikut, yakni
$\begin{aligned} L_A & = \displaystyle \int_{-2}^0 (x+2)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac12x^2+2x\right]_{-2}^0 \ \ & = (0+0)- \left(\dfrac12(-2)^2+2(-2)\right) \\ & = 0-\left(\dfrac12(4)-4\right) = 2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah $A$ adalah $\boxed{2}$ satuan luas.
Daerah $B$ juga dibatasi oleh garis $y=x+2$ dan sumbu-$X$, tetapi pada selang $(0, 3)$.
Luasnya dapat ditentukan dengan menggunakan integral berikut, yakni
$\begin{aligned} L_B & = \displaystyle \int_{0}^3 (x+2)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac12x^2+2x\right]_{0}^3 \\ & = \left(\dfrac12(3)^2+2(3)\right)-(0+0) \\ & = \dfrac12(9)+6-0= \dfrac{21}{2} \end{aligned}$
Jadi, luas daerah $B$ adalah $\boxed{\dfrac{21}{2}}$ satuan luas.
Dengan demikian, perbandingan luas daerah $A$ dan $B$ adalah $\boxed{L_A : L_B = 2 : \dfrac{21}{2} = 4 : 21}$
Catatan:
Daerah $A$ berbentuk segitiga siku-siku sehingga luasnya sebenarnya dapat dicari langsung dengan menggunakan rumus luas segitiga $L_A = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{2 \times 2}{2} = 2$.
Daerah $B$ berbentuk trapesium siku-siku sehingga luasnya sebenarnya dapat dicari langsung dengan menggunakan rumus luas trapesium $L_B = \dfrac{(a+b) \times t}{2} = \dfrac{(2+5) \times 3}{2} = \dfrac{21}{2}$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan luas daerah yang diarsir berikut.
Daerah yang dibatasi oleh suatu parabola

Pembahasan

Daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva $y=x^2-3x$ dan sumbu-$X$ pada selang $(-1, 4)$.
Selanjutnya, luas daerah arsir masing-masing dapat ditentukan dengan menggunakan integral berikut.
Pada selang $(-1, 0)$, diperoleh
$\begin{aligned} L_1 & = \displaystyle \int_{-1}^0 (x^2-3x)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac13x^3-\dfrac32x^2\right]_{-1}^0 \\ & = (0-0) + \left(\dfrac13(-1)^3-\dfrac32(-1)^2\right) \\ & = 0 + \left(-\dfrac13-\dfrac32\right) \\ & = \dfrac{11}{6} \end{aligned}$
Sekarang pada selang $(0, 3)$. Perlu diperhatikan bahwa daerah yang diarsir pada selang $(0, 3)$ berada di bawah sumbu-$X$ sehingga hasil perhitungan integralnya pasti bertanda negatif. Agar positif, kita beri tanda nilai mutlak saja.
$\begin{aligned} L_2 & = \displaystyle \left|\int_{0}^3 (x^2-3x)~\text{d}x \right| \\ & = \left|\left[\dfrac13x^3-\dfrac32x^2\right]_{0}^3\right| \\ & = \left|\left(\dfrac13(3)^3-\dfrac32(3)^2\right)-(0-0)\right| \\ & = \left|9-\dfrac{27}{2}\right|= \dfrac{9}{2}\end{aligned}$
Terakhir, pada selang $(3, 4)$, diperoleh
$$\begin{aligned} L_3 & = \displaystyle \int_{3}^4 (x^2-3x)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac13x^3-\dfrac32x^2\right]_{3}^4 \\ & = \left(\dfrac13(4)^3-\dfrac32(4)^2\right)- \left(\dfrac13(3)^3-\dfrac32(3)^2\right) \\ & = \left(\dfrac{64}{3}-24\right)- \left(9-\dfrac{27}{2}\right) \\ & = \dfrac{64}{3}-33+\dfrac{27}{2} \\ & = \dfrac{128-198+81}{6} = \dfrac{11}{6} \end{aligned}$$Dengan demikian, luas daerah arsiran seluruhnya adalah
$\boxed{\begin{aligned} L_1+L_2+L_3 & = \dfrac{11}{6} + \dfrac{11}{2} + \dfrac{11}{6} \\ & = \dfrac{55}{6} \end{aligned}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2-2x$ dan $y = 6x-x^2$ pada selang $(0, 4)$.
Daerah yang dibatasi oleh dua parabola

Pembahasan

Cara 1: Menggunakan Integral
Daerah yang diarsir dibatasi oleh dua kurva parabola, yaitu $y = x^2-2x$ dan $y=6x-x^2$. Perhatikan bahwa dari selang $(0, 4)$, kurva $y=6x-x^2$ selalu berada di atas kurva $y=x^2-2x$.
Dengan demikian, luasnya dapat ditentukan dengan menggunakan integral tentu berikut.
$\begin{aligned} L & = \displaystyle \int_0^4 [(6x-x^2)-(x^2-2x)]~\text{d}x \\ & = \int_0^4 (-2x^2+8x)~\text{d}x \\ & = \left[-\dfrac23x^3 + 4x^2\right]_{0}^4 \\ & = \left(-\dfrac23(4)^3 + 4(4)^2\right)-(-0+0) \\ & = -\dfrac{128}{3}+64 = \dfrac{64}{3} \end{aligned}$
Cara 2: Menggunakan Diskriminan
Jika kita menyamakan kedua fungsi kuadrat tersebut, kita peroleh
$\begin{aligned} x^2-2x & = 6x-x^2 \\ 2x^2-8x & = 0 \end{aligned}$
Dari bentuk umum persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, kita peroleh $a=2$, $b=-8$, dan $c=0$ sehingga diskriminannya adalah
$D = b^2-4ac = (-8)^2-4(2)(0) = 64$
Luas daerah yang diarsir ditentukan oleh rumus $L = \dfrac{D\sqrt{D}}{6a^2}$, yaitu
$L = \dfrac{64\sqrt{64}}{6(2)^2} = \dfrac{64 \cdot \cancel{8}}{\cancelto{3}{6 \cdot 4}} = \dfrac{64}{3}$
Cara 3: Menggunakan Selisih Absis Titik Potong
Dari gambar yang diberikan, kedua kurva fungsi kuadrat tersebut berpotongan di absis $x = 0$ dan $x = 4$.
Kemudian kita samakan kedua fungsi kuadratnya untuk memperoleh
$\begin{aligned} x^2-2x & = 6x-x^2 \\ 2x^2-8x & = 0 \end{aligned}$
Dari bentuk umum persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, kita peroleh $a=2$.
Luas daerah yang diarsir ditentukan oleh rumus $L = \left|\dfrac{a}{6}(\Delta x)^3\right|$, yaitu
$L= \left|\dfrac{2}{6}(4-0)^3\right| = \dfrac13 \cdot 64 = \dfrac{64}{3}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{\dfrac{64}{3}}$ satuan luas.

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=-x^2+4x$ dan sumbu-$X$ dari $x=1$ sampai dengan $x=5$.

Pembahasan

Pertama, gambarkan dulu kurva $y = -x^2+4x$. Kurvanya berbentuk parabola yang terbuka ke bawah dengan titik potong terhadap sumbu-$X$ di $(0,0)$ dan $(4,0)$ serta memiliki sumbu simetri $x = 2$. Setelah itu, beri arsiran daerah yang dibatasi oleh parabola dan sumbu-$X$ dari selang $(1, 5)$.Luas daerah menggunakan integral
Pada selang $(1, 4)$, daerah arsiran berada di atas sumbu-$X$ sehingga luasnya dapat ditentukan dengan menggunakan integral tentu berikut.
$\begin{aligned} A_1 & = \displaystyle \int_1^4 (-x^2+4x)~\text{d}x \\ & = \left[-\dfrac13x^3+2x^2\right]_1^4 \\ & = \left(-\dfrac13(4)^3+2(4)^2\right)-\left(-\dfrac13(1)^3+2(1)^2\right) \\ & = \left(\dfrac{-64}{3}+32\right)-\left(-\dfrac13+2\right) \\ & = -\dfrac{63}{3} + 30 = -21+30 = 9 \end{aligned}$
Untuk selang $(4, 5)$, daerah arsirannya berada di bawah sumbu-$X$ sehingga luasnya dapat ditentukan dengan menggunakan integral berikut (perhatikan bahwa batas atas/bawah kita tukar posisinya).
$\begin{aligned} A_2 & = \displaystyle \int_5^4 (-x^2+4x)~\text{d}x \\ &= \left[-\dfrac13x^3+2x^2\right]_5^4 \\ & = \left(-\dfrac13(4)^3+2(4)^2\right)- \left(-\dfrac13(5)^3+2(5)^2\right) \\ & = \left(\dfrac{-64}{3}+32\right)-\left(-\dfrac{125}{3}+50\right) \\ & = \dfrac{61}{3}-18 = 2\dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah arsiran seluruhnya adalah $\boxed{A_1+A_2 = 9+2\dfrac13 = 11\dfrac13}$ satuan luas.

[collapse]

Soal Nomor 6
Dari gambar berikut, tentukan perbandingan luas daerah $A_1$ dan $A_2$ dengan menggunakan integral.
Daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi kubik

Pembahasan

Daerah $A_1$ merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva $y=-x^3$ dan sumbu-$X$ pada selang $(-1, 0)$.
Luasnya dapat ditentukan oleh integral tentu berikut.
$$\begin{aligned} L_{A_{1}} & = \displaystyle \int_{-1}^0 (-x^3)~\text{d}x \\ & = \left[-\dfrac14x^4\right]_{-1}^0 \\ & = -\dfrac14 \cdot \left[x^4\right]_{-1}^0 \\ & = -\dfrac14(0^4-(-1)^4) \\ & = -\dfrac14(0-1) = \dfrac14 \end{aligned}$$Daerah $A_2$ merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva $y=-x^3$, garis $y=-1$, dan sumbu-$X$ pada selang $(0, 1)$. Perhatikan bahwa pada selang tersebut, kurva $y=-x^3$ selalu berada di atas garis $y=-1$. Luasnya dapat ditentukan oleh integral tentu berikut.
$$\begin{aligned} L_{A_{2}} & = \displaystyle \int_{0}^1 (-x^3-(-1))~\text{d}x \\ & = \left[-\dfrac14x^4+x\right]_{0}^1 \\ & = \left(-\dfrac14(1)^4+1\right)-(0+0) \\ & = -\dfrac14+1 = \dfrac34 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas daerah $A_1$ dan $A_2$ adalah $\boxed{L_{A_1} : L_{A_2} = \dfrac14 : \dfrac34 = 1 : 3}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva $y = \sqrt{x}$, $x+y-6=0$, dan sumbu-$Y$ dengan mengikuti langkah berikut.

  1. Gambarkan sketsa kurva dan tunjukkan daerah yang akan dihitung luasnya dengan memberi arsiran.
  2. Nyatakan luas daerah yang akan dihitung dengan menggunakan integral tentu.
  3. Hitunglah luas daerah tersebut dengan menghitung integral tentunya.

Pembahasan

Jawaban a)
Untuk menggambar kurva $y = \sqrt{x}$, plot titik-titik yang dilalui dengan menggunakan tabel. Perhatikan bahwa domain dari fungsi tersebut adalah himpunan semua bilangan real non-negatif sehingga kita mulai dari $x = 0$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 4 \\ \hline f(x) & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$
Catatan: Kita pilih nilai $x$ yang merupakan bilangan kuadrat agar hasilnya bulat.
Hubungkan ketiga titik tersebut sehingga terbentuk kurva lengkung yang mulus.
Kurva $x+y-6=0$ atau ekuivalen dengan $\color{red}{y=6-x}$ berupa garis lurus yang memiliki titik potong terhadap sumbu koordinat di $(0, 6)$ dan $(6, 0)$.
Titik potong kedua kurva dapat ditentukan dengan menyamakan kedua fungsinya.
$\begin{aligned} y & = \color{red}{y} \\ \sqrt{x} & = \color{red}{6-x} \\ \text{Kuadr}&\text{atkan kedua ruas} \\ x & = (6-x)^2 \\ 0 & = 36-13x+x^2 \\ 0 & = (x-9)(x-4) \end{aligned}$
Jadi, $x = 9$ atau $x = 4$ merupakan calon penyelesaian persamaan tersebut. Perhatikan bahwa substitusi $x = 9$ pada persamaan $\sqrt{x} = 6-x$ mengakibatnya diperolehnya:
$\sqrt9 = 6-9 = -3$ (pernyataan ini salah).
Hanya $x = 4$ yang menjadi penyelesaiannya.

Saat $x = 4$, nilai $y = \sqrt{4} = 2$, sehingga titik potong kedua kurva itu adalah $(4, 2)$.
Berikut adalah sketsa grafik kedua kurva tersebut beserta daerah yang akan kita cari luasnya.
Sketsa grafik fungsi irasional dan fungsi linear
Jawaban b)
Daerah yang diarsir berada pada selang $(0, 4)$. Perhatikan bahwa kurva $y =6-x$ selalu berada di atas kurva $y=\sqrt{x}$ pada selang tersebut sehingga integral tentu yang menyatakan luasnya adalah
$$\displaystyle \int_0^4 (y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})~\text{d}x = \int_0^4 (6-x-\sqrt{x})~\text{d}x$$Jawaban c)
Akan dihitung hasil dari integral tentu pada jawaban b untuk menentukan luas daerah yang diarsir.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^4 (6-x-\sqrt{x})~\text{d}x & = \left[6x-\dfrac12x^2-\dfrac23x^{\frac32}\right]_0^4 \\ & = \left(6(4)-\dfrac12(4)^2-\dfrac23(4)^{\frac32}\right)-(0-0-0) \\ & = \left(24-8-\dfrac{16}{3}\right) = 16-5\dfrac13 = 10\dfrac23 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah $\boxed{10\dfrac23}$ satuan luas.

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut.
Daerah yang dibatasi oleh kurva trigonometri dan garis lurus

Pembahasan

Kita partisi daerah yang diarsir menjadi $2$ bagian, yaitu daerah $A$ dan $B$.
Daerah $A$ adalah daerah yang dibatasi oleh kurva $y=\sin x$, garis tegak $x=\dfrac{\pi}{2}$, serta sumbu-$X$ dari selang $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$.
Luasnya dapat ditentukan dengan menggunakan integral tentu berikut.
$\begin{aligned} L_A & = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin x~\text{d}x \\ & = \left[-\cos x\right]_0^{\pi/2} \\ & = -\cos \dfrac{\pi}{2}-(-\cos 0) \\ & = 0-(-1) =1 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah $A$ adalah $\boxed{1}$ satuan luas.
Daerah $B$ adalah daerah berbentuk segitiga siku-siku yang dibatasi oleh garis $y=-x+\dfrac{\pi}{2}+1$, garis tegak $x=\dfrac{\pi}{2}$, dan sumbu-$X$ pada selang $\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}+1\right)$. Bilangan $\dfrac{\pi}{2}+1$ merupakan absis titik potong garis $y=-x+\dfrac{\pi}{2}+1$ terhadap sumbu-$X$.
Tanpa menggunakan integral, kita dapat menentukan luas daerah $B$ dengan menggunakan rumus luas segitiga.
$\begin{aligned} L_B & = \dfrac12 \times a \times t \\ & = \dfrac12 \times 1 \times 1 = \dfrac12 \end{aligned}$
Jadj, luas daerah $B$ adalah $\boxed{\dfrac12}$ satuan luas.
Dengan demikian, luas yang diarsir seluruhnya adalah $\boxed{1+\dfrac12 = \dfrac32}$ satuan luas.

[collapse]

Soal Nomor 9
Perhatikan gambar berikut.
Sketsa sisi samping jembatan
Gambar di atas merupakan sketsa sisi samping sebuah jembatan. Lengkungan jembatan dapat direpresentasikan oleh kurva $y = 4-x^2$. Berapakah luas sisi samping jembatan itu (daerah yang diarsir)?

Pembahasan

Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis mendatar $y=5$ dan parabola $y=4-x^2$ pada selang $(-2, 2)$. Selain itu, tampak bahwa garis $y=5$ selalu berada di atas kurva $y=4-x^2$ pada selang tersebut.
Perhatikan bahwa luas daerah yang diarsir pada selang $(-2, 0)$ dan selang $(0, 2)$ sama karena kurvanya simetris terhadap sumbu-$Y$.
Integral tentu yang menyatakan luas daerah yang diarsir adalah
$\displaystyle \int_{-2}^2 (5-(4-x^2))~\text{d}x$
Karena luasnya simetris, kita bisa menuliskannya menjadi
$2 \displaystyle \int_0^2 (5-(4-x^2))~\text{d}x$
Selanjutnya, diperoleh
$\begin{aligned} L & = 2 \displaystyle \int_0^2 (x^2+1)~\text{d}x \\ & = 2 \cdot \left[\dfrac13x^3+x\right]_0^2 \\ & = 2\left(\dfrac13(2)^3+2\right)-2(0)\\ & = 2\left(\dfrac83+2\right) = \dfrac{28}{3} = 9\dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, luas sisi samping jembatan itu adalah $\boxed{9\dfrac13}$ satuan luas.

[collapse]

Soal Nomor 10
Seorang perancang grafis diberi tugas menciptakan sebuah logo untuk kedipan bayangan mata (blink eye shadow) seperti gambar.
Blink eye shadow
Diagram di bawah menunjukkan grafik dari dua kurva $f(x)=x^2-7x+10$ dan $g(x)=-x^2+3x+10$ yang berpotongan di titik $A$ dan $B$. Daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut ternyata membentuk mata seperti gambar di atas.
Daerah terbatas oleh grafik dua fungsi kuadrat
a. Tentukan koordinat titik $B$.
b. Hitunglah luas daerah yang diraster.

Pembahasan

Jawaban a)
Titik $B$ merupakan titik potong kedua kurva. Koordinat titik potongnya dapat ditentukan dengan menyamakan kedua fungsi.
$\begin{aligned} f(x) & = g(x) \\ \Leftrightarrow x^2-7x+10 & = -x^2+3x+10 \\ 2x^2-10x & = 0 \\ 2x(x-5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 0$ atau $x = 5$.
Dengan melihat gambar kedua grafik di atas, jelas bahwa koordinat titik $B$ adalah $(5, 0)$.
Jawaban b)
Perhatikan gambar berikut.
Kita buat sebuah batang tegak di dalam daerah arsiran. Puncak dari batang tegak ini terletak pada $y=g(x) = -x^2+3x+10$, sedangkan dasarnya terletak pada $y=f(x)=x^2-7x+10$. Dengan demikian, tinggi dari batang tegak ini adalah
$\begin{aligned} h(x) & = g(x)-f(x) \\ & = (-x^2+3x+10)-(x^2-7x+10) \\ & = -2x^2+10x \end{aligned}$
Selanjutnya kita cari batas dari daerah yang diarsir dengan menentukan titik potong kedua kurva. Batas daerah tersebut telah dihitung sebelumnya, yaitu $x=0$ dan $x=5$. Dengan demikian, luas daerah yang diarsir dapat dinyatakan oleh integral berikut.
$\begin{aligned} A & = \displaystyle \int_0^5 h(x)~\text{d}x = \int_0^5 (-2x^2+10x)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac{-2x^3}{3}+5x^2\right]_0^5 \\ & = \left[\dfrac{-2(5)^3}{3}+5(5)^2\right]-0 \\ & = \dfrac{-250}{3}+125 = 41\dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{A=41\dfrac23}$ satuan luas.

[collapse]