Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Berikut ini adalah soal dan pembahasan mengenai limit fungsi. Diharapkan postingan ini dapat menjadi referensi bagi para pencari ilmu untuk belajar materi yang bersangkutan.

Soal Nomor 1
Carilah nilai dari limit berikut. 
a) \displaystyle \lim_{x \to 3} 9
b) \displaystyle \lim_{x \to -2} 2x
c) \displaystyle \lim_{x \to 3} (2x^2+7x +8)
d) \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x + 2}{x + 3}

Penyelesaian

Semua bentuk limit tersebut dapat dicari dengan hanya mensubstitusikan langsung titik limitnya. 
Jawaban a) 
\displaystyle \lim_{x \to 3} 9 = 9
Jawaban b) 
\displaystyle \lim_{x \to -2} 2x = 2(-2) = -4
Jawaban c) 
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} (2x^2+7x+8) & = 2(3)^2 + 7(3) + 8 \\ & = 18 + 21+8 = 47 \end{aligned}
Jawaban d) 
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x+2}{x+3} = \dfrac{0+2}{0+3} = \dfrac{2}{3}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 1 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Limit tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode pemfaktoran sebagai berikut. 
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x-1)}} {\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1) \\ & = 1+1 = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1} = 2}

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 2 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x+3)\cancel{(x-2)} }{(x+2)\cancel{(x-2)}} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{x+3}{x+2} \\ & = \dfrac{2+3}{2+2} = \dfrac{5}{4} \end{aligned}
Jadi, nilai dari  \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} = \dfrac{5}{4}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} adalah \cdots

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \times \dfrac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} \right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5x(3+\sqrt{9+x})} {9-(9+x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5\cancel{x}(3+\sqrt{9+x})} {-\cancel{x}} \\ & = \lim_{x \to 0} -5(3+\sqrt{9+x}) \\ & = -5(3 + \sqrt{9+0}) \\ & = -5(3 + 3) = -30 \end{aligned}
Jadi, nilai \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} adalah \boxed{-30}.

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} adalah \cdots

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x=3 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} \\ & = \lim_{x \to 3} \left(\dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} \times \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}} \right) \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{4-(x+1)} {(x-3)(2+\sqrt{x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\cancel{-x+3}} {-\cancel{(-x+3)}(2+\sqrt{x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{1}{-2 - \sqrt{x+1}} \\ & = \dfrac{1}{-2 - \sqrt{3+1}} \\ & = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} adalah -\dfrac{1}{4}

[collapse]
 

Soal Nomor 6
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 2 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}} \right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})} {9-(x^2+5)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{\cancel{(4-x^2)} (3+\sqrt{x^2+5})} {\cancel{4-x^2}} \\ & = \lim_{x \to 2} (3+\sqrt{x^2+5}) \\ & = 3 + \sqrt{2^2+5} \\ & = 3 + 3 = 6 \end{aligned}
Jadi, nilai \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} adalah \boxed{6}.

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Ingat bahwa
\boxed{\begin{aligned} \cos 2x & = 1 - 2 \sin^2 x \\ \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {bx} & = \dfrac{a} {b} \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\tan bx} & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(1-2 \sin^2 x)} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 x} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \dfrac{\sin x} {x} \cdot \dfrac{\sin x}{\tan 2x}  = 2 \times 1 \times \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x} = 1}

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 3 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Ingat bahwa
\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a} {b}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)} \\ & = \lim_{x \to 3} \left(x \cdot \dfrac{\tan 2(x-3)} {\sin (x-3)}\right) \\ & = 3 \cdot 2 = 6 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)} = 6}

[collapse]

Soal Nomor 9
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 1 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} & = \lim_{x \to 4} \left( \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} \times \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x} +2}\right) \\ & = \lim_{x \to 4} \dfrac{\cancel{(x-4)} (\sqrt{x}+2)} {\cancel{x-4}} \\ & = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x} +2) \\ & = \sqrt{4} + 2 = 4 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} = 4}

[collapse]

Soal Nomor 10
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 1 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} & = \lim_{x \to \sqrt{2}} \left( \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} \times \dfrac{x+\sqrt{2}} {x+\sqrt{2}}\right) \\ & = \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{\cancel{(x^2-2)} (x+\sqrt{2})} {\cancel{x^2-2}} \\ & = \lim_{x \to \sqrt{2}} (x+\sqrt{2}) \\ & = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}}

[collapse]

Soal Nomor 11
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1 - \cos 5x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}, sehingga perlu dilakukan manipulasi bentuk dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
\boxed{\begin{aligned} & \cos ax = 1 - 2 \sin^2 \dfrac{a}{2}x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1 - \cos 5x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1 - (1 - 2 \sin^2 \dfrac{5}{2}x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x}{2 \cdot \sin \dfrac{5}{2}x \cdot \sin \dfrac{5}{2}x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sin 3x} {\sin \dfrac{5}{2}x} \cdot \dfrac{\tan 5x} {\sin \dfrac{5}{2}x}\right) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{10}{5} = \dfrac{6}{5} \end{aligned}

Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1 - \cos 5x} = \dfrac{6}{5}}

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x} -2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 1 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x} -2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} \\ & = \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{(\sqrt{5-x} -2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} \times \dfrac{\sqrt{5-x} +2}{\sqrt{5-x} +2}\right) \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(5-x-4)(\sqrt{2-x} +1)} {(1-x)(\sqrt{5-x} +2)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\cancel{(1-x)} (\sqrt{2-x} +1)} {\cancel{(1-x)} (\sqrt{5-x} +2)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x} +1} {\sqrt{5-x} +2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2-1} + 1}{\sqrt{5-1} +2} \\ & = \dfrac{1+1}{2+2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x} -2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} = \dfrac{1}{2}}

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{8}{x^2-4}\right)

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 2 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{8}{x^2-4}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \dfrac{8}{(x+2)(x-2)}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2x-4}{(x-2)(x+2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2\cancel{(x-2)}} {\cancel{(x-2)}(x+2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2}{x+2} \\ & = \dfrac{2}{2+2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{8}{x^2-4}\right) = \dfrac{1}{2}}

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2}{x^2}\right)

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}, sehingga perlu dilakukan manipulasi bentuk dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \tan ax = \dfrac{\sin ax}{\cos ax} \\ & \sin 2ax = 2 \sin ax \cos ax \\ & \sin^2 ax + \cos^2 ax = 1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2}{x^2}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x - 2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x - 2 \cdot \dfrac{\sin 2x} {\cos 2x}}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (2\cdot 2x) \cos 2x - 2 \sin 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x(\cos^2 2x - 1)}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x (-\sin^2 2x)}{x^2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{\cancel{\cos 2x}} \cancel{\cos 2x} } \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{-2 \sin 2x} {x} \cdot \dfrac{-\sin 2x} {x} \cdot \dfrac{-\sin 2x} {x}\right) \\ & = -2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = -16 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2}{x^2}\right)=-16}

[collapse]

Soal Nomor 15
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
\boxed{\begin{aligned} & \sin ax + \sin bx = 2 \sin \left(\dfrac{a+b}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{a-b}{2}x\right) \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {2 \sin \left(\dfrac{1+3}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{1-3}{2}x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cdot \cancel{\cos x} } {2 \cdot \sin 2x \cdot \cancel{\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} = 1}

[collapse]

Soal Nomor 16
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1- \cos 4x} {x \sin x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.

\boxed{\begin{aligned} & \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 4x}{x \sin x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos (2 \cdot 2x)}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (1 - 2 \sin^2 2x)}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 x}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{\sin x}{\sin x}\right) \\ & = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 4x}{x \sin x}= 2}

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x} {\tan x - \sin 2x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.

\boxed{\begin{aligned} & \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \\ & \sin 2x = 2 \sin x \cos x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = 1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Alternatif I:

Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\tan x - \sin 2x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\dfrac{\sin x}{\cos x} - 2 \sin x \cos x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x \cos x}{\sin x - 2 \sin x \cos^2 x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x \cos x}{\sin x (1 - 2 \cos^2 x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x}{\sin x} \cdot \dfrac{\cos 2x \cos x}{1 - 2 \cos^2 x}\right) \\ & = 1 \cdot \dfrac{\cos 0 \cdot \cos 0}{1 - 2 \cos^2 0} \\ & = 1 \cdot \dfrac{1 \cdot 1}{1 - 2 \cdot 1} = -1 \end{aligned}
Alternatif II:

\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x} {\tan x - \sin 2x} & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x \cos 2x} {\tan x - \sin 2x} \cdot \dfrac{\frac{1}{x}} {\frac{1}{x}}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 2x} {\frac{\tan x} {x} - \frac{\sin 2x} {x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 0}{1-2} = \dfrac{1}{-1} = -1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\tan x - \sin 2x} = -1}

[collapse]

Soal Nomor 18
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan (2x-2)} {\sin^2 (x-1)}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 1 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan sifat limit trigonometri berikut.

\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} =1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan (2x-2)}{\sin^2 (x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)(x-1) \tan 2(x-1)}{\sin (x-1) \cdot \sin (x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \left((x + 1) \cdot \dfrac{x-1}{\sin (x-1)} \cdot \dfrac{\tan 2(x-1)}{\sin (x-1)}\right) \\ & = (1 + 1) \cdot 1 \cdot 2 = 4 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan(2x-2)}{\sin^2 (x-1)} = 4}

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x - \cos x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = \dfrac{\pi}{4} mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}
Gunakan identitas trigonometri berikut.

\boxed{\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x}
Dengan mengalikan limit fungsi tersebut dengan bentuk sekawan penyebutnya, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x - \cos x} & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \left(\dfrac{\cos 2x} {\sin x - \cos x} \times \dfrac{\sin x + \cos x} {\sin x + \cos x} \right) \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x (\sin x + \cos x)} {\sin^2 x - \cos^2 x} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cancel{\cos 2x} (\sin x + \cos x)} {-\cancel{\cos 2x}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} -(\sin x+ \cos x) \\ & = -\left(\sin \dfrac{\pi} {4} + \cos \dfrac{\pi} {4}\right) \\ & = -\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) = -\sqrt{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x - \cos x} = -\sqrt{2}}

[collapse]

Soal Nomor 20
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x - \cos^2 2x} {\sin 2x - \cos 2x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = \dfrac{\pi}{8} mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Dengan mengalikan limit fungsi tersebut dengan bentuk sekawan penyebutnya, diperoleh,
\begin{aligned} \displaystyle & \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x - \cos^2 2x} {\sin 2x - \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \left(\dfrac{\sin^2 2x - \cos^2 2x} {\sin 2x - \cos 2x} \times \dfrac{\sin 2x + \cos 2x}{\sin 2x + \cos 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\cancel{(\sin^2 2x - \cos^2 2x)}(\sin 2x + \cos 2x)}{\cancel{\sin^2 2x - \cos^2 2x}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} (\sin 2x + \cos 2x) \\ & = \sin \dfrac{2\pi}{8} + \cos \dfrac{2\pi}{8} \\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} = \sqrt{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle & \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x - \cos^2 2x} {\sin 2x - \cos 2x} = \sqrt{2}}

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x - 2\pi)} {\tan (2\pi x - 4\pi)}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 2 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan sifat limit trigonometri berikut.
\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\tan bx} = \dfrac{a}{b}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x - 2\pi)} {\tan (2\pi x - 4\pi)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos \pi(x - 2)}{\tan 2\pi(x-2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{x-2}{\tan 2\pi(x-2)} \cdot \cos \pi(x-2)\right) \\ & = \dfrac{1}{2\pi} \cdot 1 = \dfrac{1}{2\pi} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x - 2\pi)} {\tan (2\pi x - 4\pi)} = \dfrac{1}{2\pi}}

[collapse]

Soal Nomor 22
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2}{x^2}\right)

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.

\boxed{\begin{aligned} & \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \\ & \tan ax = \dfrac{\sin ax}{\cos ax} \\ & \sin 2ax = 2 \sin ax \cos ax \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax} {\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2}{x^2}\right) & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x - 2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x - 2 \cdot \dfrac{\sin 2x} {\cos 2x}}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (2\cdot 2x) \cos 2x - 2 \sin 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 2x - 2 \sin 2x}{x^2 \cdot \dfrac{\sin 2x} {\cos 2x} \cdot \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x \cos^2 2x - 2 \sin 2x} {x^2 \sin 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x (\cos^2 2x - 1)}{x^2 \sin 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x(-\sin^2 2x)} {x^2 \sin 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(-2 \cdot \dfrac{\cancel{\sin 2x} }{\cancel{\sin 2x}} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \right) \\ & = -2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \dfrac{2}{x^2}\right) = -\dfrac{1}{2}}

[collapse]

Soal Nomor 23
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x}

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai x = 0 mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
\boxed{\begin{aligned} & \sin ax + \sin bx = 2 \sin \left(\dfrac{a+b}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{a-b}{2}x\right) \\ & \cos (-x) = \cos x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cdot \cos x} {2 \sin \left(\dfrac{1+3}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{1-3}{2}x\right)}\ \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cdot \cancel{\cos x} } {2 \sin 2x \cancel{\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} = 1}

[collapse]

Soal Nomor 24
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x - \tan 2x}.

Penyelesaian

Bagilah pembilang dan penyebut dengan x sehingga rumus limit fungsi trigonometri dapat diterapkan.
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x - \tan 2x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{3 + \dfrac{\sin 4x}{x}}{5 - \dfrac{2 \tan 2x}{2x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{3 + \dfrac{4 \sin 4x}{4x}}{5 - \dfrac{\tan 2x}{x}} \\ & = \dfrac{3 + 4 \cdot \displaystyle \lim_{4x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x}}{5 - 2 \cdot \displaystyle \lim_{2x \to 0} \dfrac{\tan 2x}{2x}} \\ & = \dfrac{3+4}{5-2} = \dfrac{7}{3} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x - \tan 2x} = \dfrac{7}{3}}

[collapse]

Soal Nomor 25
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x - \dfrac{\pi}{2}}.

Penyelesaian

Gunakan rumus trigonometri berikut.
\boxed{\cos x = \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x - \dfrac{\pi}{2}} & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)}{x - \dfrac{\pi}{2}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)}{-\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)} \\ & = - \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)}{\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)} = -1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x - \dfrac{\pi}{2}} = -1}

[collapse]

Soal Nomor 26
Tentukan nilai dari
\displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right) adalah \cdots

Penyelesaian

Ingat bahwa \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a} {b}}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right) \\ & = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin 2a} {a} \left(\dfrac{\sin^2 2a} {\cos 2a} + \cos 2a\right) \\ & = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin 2a} {a} \cdot \lim_{a \to 0} \left(\dfrac{\sin^2 2a} {\cos 2a} + \cos 2a\right) \\ & = 2(0+1) = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right) = 2}

[collapse]

Soal Nomor 27
Tentukan nilai dari
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x \sin 3x} {5x}

Penyelesaian

Dalam trigonometri, terdapat formula berikut (yang selanjutnya akan digunakan untuk mencari limit fungsinya). 
\boxed{\cos A \cdot \sin B = \dfrac{1}{2} \sin (A + B) - \dfrac{1}{2} \sin (A - B)}
Juga ingat teorema limit trigonometri berikut. 
\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {bx} = \dfrac{a} {b}}
Dengan demikian,
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x \sin 3x} {5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{2} \sin (4x+3x) - \frac{1}{2} \sin (4x-3x)} {5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{2} \sin 7x - \frac{1}{2} \sin x}{5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 7x - \sin x} {10x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 7x} {10x} - \dfrac{\sin x} {10x} \right) \\ & = \dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 28
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x - x \cos 4x}

Penyelesaian

Gunakan identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri berikut.
\boxed{\begin{aligned} \cos ax & = 1 - 2 \sin^2 \dfrac{a}{2}x \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\sin bx} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x - x \cos 4x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cancel{x} \cdot x \tan 2x} {\cancel{x} (1 - \cos 4x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \tan 2x} {1- (1-2 \sin^2 2x)} \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{x \tan 2x}{2 \sin^2 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \cdot \dfrac{\tan 2x} {\sin 2x} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{4} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x - x \cos 4x} adalah \dfrac{1}{4}

[collapse]
 

Soal Nomor 29
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \dfrac{\pi} {2}} \dfrac{4(x - \pi) \cos^2 x} {\pi(\pi - 2x) \tan (x - \frac{\pi} {2})}

Penyelesaian

Gunakan identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri berikut. 
\boxed{\begin{aligned} & \cos \theta = \sin \left(\dfrac{\pi} {2} - \theta\right) \\ & \cos^2 \theta = \sin^2 \left(\theta - \dfrac{\pi} {2}\right) \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {\tan bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x - \pi) \cos^2 x} {\pi(\pi - 2x) \tan (x - \frac{\pi} {2})} \\ &= \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x - \pi) \sin^2 \left(x - \frac{\pi} {2}\right)} {-2\pi\left(x - \frac{\pi} {2}\right) \tan (x - \frac{\pi} {2}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \left(\dfrac{4(x - \pi)} {-2\pi} \cdot \dfrac{\sin \left(x - \frac{\pi} {2}\right)} {\left(x - \frac{\pi} {2}\right)} \cdot \dfrac{\sin \left(x - \frac{\pi} {2}\right)} {\tan \left(x - \frac{\pi} {2}\right)} \right) \\ & = \dfrac{4\left(\frac{\pi} {2} - \pi\right)} {-2\pi} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{-2\pi} {-2\pi} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \dfrac{\pi} {2}} \dfrac{4(x - \pi) \cos^2 x} {\pi(\pi - 2x) \tan (x - \frac{\pi} {2})} adalah \boxed{1}

[collapse]

Soal Nomor 30
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x}

Penyelesaian

Gunakan perbandingan dan identitas trigonometri berikut. 
\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ \cos 2x & = \cos^2 x - \sin^2 x \end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\dfrac{\cos x - \sin x} {\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{(\cos^2 x - \sin^2 x) \cos x} {\cos x - \sin x} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{(\cos x + \sin x) \cancel{(\cos x - \sin x)} \cos x} {\cancel{\cos x - \sin x}} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} (\cos x + \sin x) \cos x \\ & = (\cos 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) \cos 45^{\circ} \\ & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x} adalah \boxed{1}

[collapse]

Soal Nomor 31
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}}

Penyelesaian

Alternatif I:
Dengan menggunakan teorema limit trigonometri
\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x} {x} = 1}
dan perhatikan bahwa x \sin \dfrac{1}{x} akan bernilai 0 apabila x \to 0, maka
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}} = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin a} {a} = 0
Alternatif II:
Perhatikan bahwa
\begin{aligned} & -1 \leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1 \\ & -x \leq x \sin \dfrac{1}{x} \leq x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} -x \leq \lim_{x \to 0} x \sin \dfrac{1}{x} \leq \lim_{x \to 0} x \\ & 0 \leq \lim_{x \to 0} x \sin \dfrac{1}{x} \leq 0 \end{aligned}
Dengan menggunakan Teorema Apit, dapat disimpulkan bahwa
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}} = 0

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini