Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan tentang limit tak hingga. Soal-soal tersebut diambil dari berbagai sumber referensi, termasuk dari soal Ujian Nasional, soal SBMPTN, dan soal tingkat olimpiade. Pembaca diharapkan sudah menguasai teori limit fungsi aljabar dan trigonometri

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Beberapa teorema berikut sering kali digunakan untuk menyelesaikan persoalan terkait limit tak hingga.

Teorema Limit Tak Hingga

Keterhubungan Tak Hingga dan Nol
\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0 untuk n \geq 1

Ketakterhinggaan Fungsi Rasional Berbentuk Polinomial
Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi polinomial, maka

\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} \\ & = \begin{cases} 0, &~\text{jika derajat}~f(x) < g(x) \\ \dfrac{\text{Koefisien derajat}~f(x)}{\text{Koefisien derajat}~g(x)}, &~\text{jika derajat}~f(x) = g(x) \\ \infty, &~\text{jika derajat}~f(x) > g(x) \end{cases} \end{aligned}

Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Linear dalam Tanda Akar
\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax+b} - \sqrt{cx + d}) = \begin{cases} \infty, &~\text{jika}~a > c \\ 0, &~\text{jika}~a = c \\ -\infty, &~\text{jika}~a < c \end{cases}

Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Kuadrat dalam Tanda Akar
\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}) = \begin{cases} \infty,~\text{jika}~a > p \\ \dfrac{b-q} {2\sqrt{a}},~\text{jika}~ a = p \\ -\infty,~\text{jika}~a < p \end{cases} 


Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari 
a) \displaystyle \lim_{x \to \infty} (4x + 2)
b) \displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x + 4)
c) \displaystyle \lim_{x \to \infty} -(3x^2 + 9)

Penyelesaian

Jawaban a) 
\displaystyle \lim_{x \to \infty} (4x + 2) = 4(\infty) + 2 = \infty + 2 = \infty
Jawaban b) 
\displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x + 4) = -\infty + 4 = -\infty
Jawaban c) 
\displaystyle \lim_{x \to \infty} -(3x^2 + 9) = -(3(\infty)^2 + 9) = -(\infty + 9) = -\infty

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2-5x+4}{2x^4 - 4x^2 + 9}

Penyelesaian

Pendekatan formal:
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2-5x+4}{2x^4 - 4x^2 + 9} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x^4}{2x^3}+\dfrac{3x^2}{x^4}-\dfrac{5x} {x^4}+\dfrac{4}{x^4}}{\dfrac{2x^4}{x^4} - \dfrac{4x^2}{x^4} + \dfrac{9} {x^4}} \\ & = \dfrac{0-0-0+0}{2-0+0} = 0 \end{aligned}
Pendekatan lain:
Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = 3 < derajat penyebut = 4, maka nilai limitnya adalah \boxed{0}.

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} adalah \cdots
A. \infty          B. 0          C. -\infty           D. 2          E. \frac{1}{2}

Penyelesaian

Pendekatan formal:
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu x^3
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{2x^3}{x^3} + \dfrac{3x^2}{x^3}+\dfrac{7}{x^3}} {\dfrac{x^2}{x^3}+\dfrac{3x} {x^3}+\dfrac{4}{x^3}} \\ & = \infty \end{aligned}
Pendekatan lain:
Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = 3 > derajat penyebut = 2, maka nilai limitnya adalah \boxed{\infty}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} = \infty}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) adalah \cdots
A. -4        B. -3        C. -2         D. 0        E. \infty

Penyelesaian

\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{3-x} {x+5}+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2-3x+3}{x+5} \\ & = \infty \end{aligned}
Bentuk limit terakhir menghasilkan tak hingga karena derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut (Jawaban E). 

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan nilai dari limit berikut. 
a) \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^3-2x-10}{ 4x-2x^2-5x^3}
b) \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^5-2x^4+x^3-3x^2+2x-7}{7-2x+3x^2-x^3+2x^4}

Penyelesaian

Jawaban a) 
Diketahui bahwa variabel derajat tertinggi pembilang dan penyebutnya sama, yaitu x^3. Pada pembilang, koefisien x^3 adalah 3, sedangkan koefisien x^3 pada penyebut adalah -5. Jadi, 
\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^3-2x-10}{ 4x-2x^2-5x^3} = -\dfrac{3}{5}
Jawaban b) 
Diketahui variabel berderajat tertinggi pada pembilang adalah x^5, sedangkan variabel berderajat tertinggi pada penyebut adalah x^4. Karena 5 > 4, maka 
\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^5-2x^4+x^3-3x^2+2x-7}{7-2x+3x^2-x^3+2x^4} = \infty

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan nilai dari limit berikut. 
a) \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)}
b) \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x-2)^3}{(4x+2)^3}

Penyelesaian

Uraikan dan tinjau hanya pada variabel berpangkat tertinggi. 
Jawaban a) 
\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-8x^3 + \cdots} {2x^2+x+1}
Karena pangkat tertinggi pada pembilang lebih besar dari penyebut, maka nilai dari
\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)} = \infty}
Jawaban b) 
\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x-2)^3}{(4x+2)^3} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{27x^3 + \cdots} {64x^3 + \cdots} = \dfrac{27}{64}

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika f(x) = x + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-2x}}, maka \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x} = \cdots
A. -2       B. 0         C. 1      D. 2       E. \infty

Penyelesaian

Diketahui bahwa
\dfrac{f(x)} {x} = \dfrac{x + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-2x}}} {x} = 1 + \dfrac{x} {\sqrt{x^2-2x}}
Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x} & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{x} {\sqrt{x^2-2x}}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{\dfrac{x} {x}} {\sqrt{\dfrac{x^2-2x} {x^2}}}\right) \\ & = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{1+0}} = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x} adalah \boxed{2}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5 - 5\theta^4}
(Catatan: Notasi \pi dibaca: pi, sedangkan notasi \theta dibaca: theta)

Penyelesaian

\begin{aligned} \displaystyle \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5 - 5\theta^4} & = \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\cancel{\theta^4}(\pi \theta)}{\cancel{\theta^4}(\theta - 5)} \\ & = \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta} {\theta - 5} \\ & = \lim_{\theta \to -\infty} \left(\dfrac{\pi(\theta - 5)} {\theta - 5} + \dfrac{5\pi} {\theta - 5}\right) \\ & = \lim_{\theta \to -\infty} \left(\pi + \dfrac{5\pi} {\theta - 5}\right) \\ & = \pi - 0 = \pi \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5 - 5\theta^4} = \pi}
Catatan: Tinjau bentuk \dfrac{5\pi} {\theta - 5}. Apabila nilai \theta semakin kecil menuju negatif tak hingga, maka penyebutnya juga akan semakin kecil, dan nilai pecahannya akan semakin mendekati 0.

[collapse]

Soal Nomor 9
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) adalah \cdots
A. 0       B. \frac{1}{2}       C. 1       D. \frac{3}{2}      E. \frac{5}{2}

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) \\ &  \times \dfrac{\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} {\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^4+2x^3+4x^2)-(x^4+2x^3-x^2)} {\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{5x^2}{\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & \text{Bagi setiap suku dengan}~x^2 \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{5x^2}{x^2}} {\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{2x^3}{x^4}+\dfrac{4x^2}{x^4}}+\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{2x^3}{x^4}-\dfrac{x^2}{x^4}}} \\ & = \dfrac{5}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1+0-0}} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah \boxed{\dfrac{5}{2}} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4}) adalah \cdots
A. 0         B. \frac{1}{3}          C. 1           D. 2          E. 3

Penyelesaian

Gunakan rumus
\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }
Untuk kasus ini, diketahui bahwa
a = 9, b = 5, p = -7
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4}) & = \dfrac{5-(-7)} {2\sqrt{9}} \\ & = \dfrac{12}{6} = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah \boxed{2} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} (3x+1-\sqrt{9x^2+4x-7}) adalah \cdots
A. 9       B. 6        C. 3          D. \frac{1}{3}         E. \frac{1}{9}

Penyelesaian

Perhatikan bahwa 
3x+1 = \sqrt{(3x+1)^2} = \sqrt{9x^2+6x+1}
diberlakukan karena x menuju tak hingga (nilainya dipastikan positif). 
Untuk itu, dengan menggunakan rumus 
\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} } 
(Diketahui: a = 9, b = 6, p = 4)
diperoleh
\displaystyle \lim_{x \to \infty} (3x+1)-\sqrt{9x^2+4x-7}) = \dfrac{6-4}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah \boxed{\dfrac{1}{3}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-x+2) adalah \cdots
A. 5          B. 3,5          C. 2,5           D. 1,5        E. 1

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bentuk -x+2 dapat ditulis menjadi
-(x-2) = -\sqrt{(x-2)^2} = -\sqrt{x^2-4x+4}
Dengan demikian, diperoleh
\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-(\sqrt{x^2-4x+4})
Gunakan rumus 
\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} } 
untuk a = 1, b = 3, p = -4, sehingga diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-(\sqrt{x^2-4x+4}) & = \dfrac{3-(-4)} {2\sqrt{1}} \\ &= \dfrac{7}{2} = 3,5 \end{aligned}
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah \boxed{3,5} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4}

Penyelesaian

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu x^2
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{8x^2}{x^4}+\dfrac{1}{x^4}}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{4}{x^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{0 + 0}} {1 + 0} = 0 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4} = 0}

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan nilai dari:
a) \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3})
b) \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-7}-\sqrt{x+3})
c) \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{2x-3})

Penyelesaian

Ingat bahwa
\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax+b} - \sqrt{cx + d}) = \begin{cases} \infty, &~\text{jika}~a > c \\ 0, &~\text{jika}~a = c \\ -\infty, &~\text{jika}~a < c \end{cases}}
Jawaban a) 
Diketahui: a = 1 dan c = 1, sehingga a = c. Berarti, 
\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}) = 0
Jawaban b) 
Diketahui: a = 2 dan c = 1, sehingga a > c. Berarti, 
\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-7}-\sqrt{x+3}) = \infty
Jawaban c) 
Diketahui: a = 1 dan c = 2, sehingga a < c. Berarti, 
\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{2x-3}) = -\infty

[collapse]

Soal Nomor 15
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x - \sqrt{x}} - \sqrt{x + \sqrt{x}}) adalah \cdots
A. 0,5     B. 1     C. -1       D. 0       E. tak ada

Penyelesaian

Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x - \sqrt{x}} - \sqrt{x + \sqrt{x}}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x - \sqrt{x}} - \sqrt{x + \sqrt{x}}) \times \dfrac{\sqrt{x - \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x - \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-\sqrt{x})-(x+\sqrt{x})} {\sqrt{x - \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \\ & =\lim_{x \to \infty} \dfrac{-2\sqrt{x}} {\sqrt{x - \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \end{aligned}
Bagi setiap sukunya dengan \sqrt{x}
\displaystyle \begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{-2\sqrt{x}} {\sqrt{x}}}{\dfrac{\sqrt{x - \sqrt{x}}} {\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}}} {\sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-2}{\sqrt{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}} + \sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}} \\ & = \dfrac{-2}{\sqrt{1-0} + \sqrt{1+0}} \\ & = \dfrac{-2}{1+1} = -1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x - \sqrt{x}} - \sqrt{x + \sqrt{x}}) = -1} 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)} - (x\sqrt{2}+1)}) adalah \cdots
A. 3\sqrt{2}-4
B. \frac{3}{4}\sqrt{2}-1
C. \frac{3}{4}-\sqrt{2}
D. 3-2\sqrt{2}
E. \sqrt{2}-1

Penyelesaian

\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)} - (x\sqrt{2}+1)}) \\ & = \lim_{x \to \infty} ((\sqrt{2x^2+3x-2} - \sqrt{2x^2}) - 1) \\ & = \dfrac{3-0}{2\sqrt{2}} - 1 \\ & = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} - 1 \\ & = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)} - (x\sqrt{2}+1)) = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} - x)

Penyelesaian

Kalikan dengan bentuk sekawannya, 
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} - x) \\ & = \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} - x) \times \dfrac{\sqrt{x^2+1} + x} {\sqrt{x^2+1} + x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x(x^2+1-x^2)} {\sqrt{x^2+1}+x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x} \end{aligned}
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu x
\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x}  & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x+1}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}}+\dfrac{x} {x} } \\ & = \dfrac{1 + 0}{\sqrt{1+0} + 1} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} - x) = \dfrac{1}{2}}

[collapse]

Soal Nomor 18
Tentukan nilai dari
a) \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)} - \sqrt{(x+3)(4x+7)})
b) \displaystyle \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 - 10x })

Penyelesaian

Jawaban a) 
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)} - \sqrt{(x+3)(4x+7)}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 27x + 35} - \sqrt{4x^2+19x+21}) \\ & = \dfrac{27-19}{2\sqrt{4}} = \dfrac{8}{4} = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)} - \sqrt{(x+3)(4x+7)}) = 2}
Jawaban b) 
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 - 10x }) & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2} - \sqrt{x^2-10x}) \\ & = \dfrac{0 - (-10)} {2\sqrt{1}} = \dfrac{10}{2} = 5 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 - 10x }) = 5}

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)} - x]

Penyelesaian

\begin{aligned}  & \displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)} - x] \\ & = \lim_{x \to \infty} [\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab} - \sqrt{x^2}] \\ & = \dfrac{(a+b)-0}{2\sqrt{1}} \\ & = \dfrac{a+b} {2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)} - x] = \dfrac{a+b} {2}

[collapse]

Soal Nomor 20
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}} adalah \cdots
A. \sqrt{15}                     D. 3
B. 3(\sqrt{2}-1)          E. 4,5
C. 3(\sqrt{2}+1)

Penyelesaian

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu x
\begin{aligned}&  \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}}\\  & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x}\sqrt{18x^2-x+1} - \dfrac{3x} {x}} {\dfrac{1}{x} \sqrt{x^2+2x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}} {x^2} - \dfrac{3x} {x}} {\dfrac{\sqrt{x^2+2x}} {x^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{18-0+0} - 3}{\sqrt{1+0}} \\ & = \dfrac{\sqrt{18}-3}{1} = 3\sqrt{2}-3 = 3(\sqrt{2} - 1) \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}} = 3(\sqrt{2}-1)}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})

Penyelesaian

\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (2\sqrt{x^2+2x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x}) \\ & = \lim_{x \to \infty} ((\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2 + 1}) \\ & + (\sqrt{x^2+2x - \sqrt{x^2 + x})) \\ & = \dfrac{2 - 0}{2\sqrt{1}} + \dfrac{2 - 1}{2\sqrt{1}} \\ & = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 22
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000}

Penyelesaian

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu x
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000} \\  & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} \sqrt{3x^2-2x-1}} {\dfrac{1}{x}\left(x+2.000\right)} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{3x^2-2x-1}{x^2}}} {1 + \dfrac{2.000}{x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}}} {1 + \dfrac{2.000}{x}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3 - 0 - 0}} {1 + 0} = \sqrt{3} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000} adalah \boxed{\sqrt{3}}

[collapse]

Soal Nomor 23 (\bigstar~\text{HOTS}~\bigstar)
Tentukan hasil dari \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})

Penyelesaian

Alternatif I: Pendekatan Intuitif
\begin{aligned} \displaystyle & \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6}) \\ = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[7] {\left (x+\dfrac17\right)^7+O(x^5)}-\sqrt[7]{\left(x-\dfrac17 \right)^7+O(x^5)}\right) \\ = & \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[7]{\left(x+\dfrac17\right)^7}-\sqrt[7]{\left(x-\dfrac17\right)^7}\right) \\ = &\lim_{x\to\infty}\left(\left(x+\dfrac17\right) - \left(x-\dfrac17\right)\right) \\ = & \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac17 + \dfrac17\right) \\ = &\boxed {\dfrac27} \end{aligned}
Catatan: Notasi O(x^5) menyatakan polinomial berderajat 5 yang didapat dari penguraian bentuk \left(x+\dfrac{1}{7}\right)^7. Karena x menuju tak hingga, bentuk \left(x+\dfrac{1}{7}\right)^7 akan lebih cepat bertambah besar, sehingga O(x^5) dapat diabaikan.
Alternatif II: Dalil L’Hospital (Turunan)
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})\\ = & \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[7]{x^7\left(x + \dfrac1x\right)}-\sqrt[7]{x^7\left(x - \dfrac1x\right)}\right) \\ = & \lim_{x\to\infty} x\left(\sqrt[7]{1 + \dfrac1x}-\sqrt[7]{1 - \dfrac1x}\right) \\ & \text{Misalkan}~x = \dfrac{1}{t} \\ = & \lim_{t \to 0} {{\sqrt[7]{1+t}-\sqrt[7]{1-t}}\over t} \\ \stackrel{\text{L'H}}{=} & \lim_{t \to 0} \left(\dfrac{1}{7}(1 + t)^{-\frac{6}{7}}(1) - \dfrac{1}{7}(1 - t)^{-\frac{6}{7}}(-1)\right) \\ = &  \dfrac{1}{7}(1 + 0)^{-\frac{6}{7}} + \dfrac{1}{7}(1 - 0)^{-\frac{6}{7}} \\ = & \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7}\\ = & \boxed{\dfrac27} \end{aligned}
Jadi, hasil dari
 \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6}) adalah \boxed{\dfrac{2}{7}}

[collapse]

Soal Nomor 24
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2 - 5}

Penyelesaian

\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2 - 5} \\ & = \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin \theta} {\theta + \sqrt{5}} \times \dfrac{\sin \theta} {\theta - \sqrt{5}} \\ & = \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin \theta} {\theta} \times \dfrac{1}{1 + \dfrac{\sqrt{5}} {\theta}} \times \dfrac{\sin \theta} {\theta} \times \dfrac{1}{1 - \dfrac{\sqrt{5}} {\theta}} \\ & = (0 \times 1 \times 0 \times 1) = 0 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2 - 5} = 0}

[collapse]

Soal Nomor 25
Tentukan nilai dari 
a) \displaystyle \lim_{x \to \infty} x \tan \dfrac{1}{x}
b) \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \cot \dfrac{1}{x} 
c) \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\csc \frac{1}{x}} {x}

Penyelesaian

Jawaban a) 
Misalkan y = \dfrac{1}{x} yang ekuivalen dengan x = \dfrac{1}{y}
Jika x \to \infty, maka y \to 0, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \tan y = 1
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} x \tan \dfrac{1}{x} = 1}
Jawaban b) 
Ingat bahwa: \boxed{\cot x = \dfrac{1}{\tan x}} 
Misalkan y = \dfrac{1}{x}
Jika x \to \infty, maka y \to 0, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
\displaystyle \lim_{y \to 0} y \cot y = \lim_{y \to 0} \dfrac{y} {\tan y} = 1
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cot \dfrac{1}{x} = 1}
Jawaban c) 
Ingat bahwa: \boxed{\csc x = \dfrac{1}{\sin x}}
Misalkan y = \dfrac{1}{x} yang ekuivalen dengan x = \dfrac{1}{x}
Jika x \to \infty, maka y \to 0, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{\csc y} {\frac{1}{y}} = \lim_{y \to 0} \dfrac{y} {\sin y} = 1
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\csc \frac{1}{x}} {x} = 1}  

[collapse]

Soal Nomor 26
Tentukan nilai dari
a) \displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x}
b) \displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1}
c) \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}}

Penyelesaian

Jawaban a) 
Misalkan y = \dfrac{1}{x}
Jika x \to \infty, maka y \to 0. Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x} & = \lim_{y \to 0} \tan 5y \csc 2y \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan 5y} {\sin 2y} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x} = \dfrac{5}{2}
Jawaban b) 
Misalkan y = x^{-1}
Jika x \to \infty, maka y \to 0. Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} & = \lim_{y \to 0} \cot 3y \sin y \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y} {\tan 3y} = \dfrac{1}{3} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} = \dfrac{1}{3}}
Jawaban c) 
Misalkan y = \dfrac{1}{x}
Jika x \to \infty, maka y \to 0. Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}} & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2}y} {\csc 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {\tan \dfrac{1}{2}y} \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{1}{2}} = 6 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}} = 6}

[collapse]

Soal Nomor 27
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}}

Penyelesaian

Misalkan x = \dfrac{1}{\sqrt{y}}, ekuivalen dengan \sqrt{y} = \dfrac{1}{x}
Jika y \to \infty, maka x \to 0. Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{6}} {x} \cos 3x \sin 5x \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x} {x} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos 3x \\ & = 5 \cdot \sqrt{6} \cos 0 \\ & = 5\sqrt{6} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}} = 5\sqrt{6}}

[collapse]

Soal Nomor 28
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}}

Penyelesaian

Misalkan y= \dfrac{1}{x}
Jika x \to \infty, maka y \to 0. Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned}  \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}} & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1 - \cos 4y} {y \cdot \tan 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1 - (1 - 2 \sin^2 2y)} {y \cdot \tan 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2 \sin 2y \sin 2y} {y \cdot \tan 3y} \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 2y} {y} \cdot \dfrac{\sin 2y} {\tan 3y} \\ & = 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}} = \dfrac{8}{3}}

[collapse]

Soal Nomor 29
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x \cot \dfrac{2}{x} - 3 \cot \dfrac{2}{x}} {5x^2-2x}

Penyelesaian

Ingat identitas kebalikan trigonometri 
\cot x = \dfrac{1}{\tan x} 
dan salah satu sifat limit trigonometri tak hingga
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x} {\tan x} = 1
Untuk itu, ditulis
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x \cot \dfrac{2}{x} - 3 \cot \dfrac{2}{x}} {5x^2-2x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(2x-3) \cot \dfrac{2}{x}}{x(5x-2)} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x-3}{5x-2} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{x}} {\tan \dfrac{1}{x}} \\ & = \dfrac{2}{5} \cdot 1 = \dfrac{2}{5} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x \cot \dfrac{2}{x} - 3 \cot \dfrac{2}{x}} {5x^2-2x} = \dfrac{2}{5}}

[collapse]

Soal Nomor 30
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right)

Penyelesaian

Misalkan y = \dfrac{1}{x}, ekuivalen dengan x = \dfrac{1}{y}
Jika x \to \infty}, maka y \to 0
Untuk itu, dapat ditulis
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y^2}(1 - \cos 6y) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y^2}(1 - \cos 6y) \times \dfrac{1+\cos 6y} {1+\cos 6y} \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{1 - \cos^2 6y} {y^2(1 + \cos 6y)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 6y} {y} \cdot \dfrac{\sin 6y} {y} \cdot \dfrac{1}{1+\cos 6y} \\ & = 6 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{1+ \cos 0} \\ & = 18 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right) = 18}

[collapse]

Soal Nomor 31
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right)

Penyelesaian

Misalkan y = \dfrac{1}{x}. Jika x \to \infty, maka y \to 0, sehingga ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right) & = \lim_{y \to 0} \left(2 + \cos 4y) \\ & = 2 + \cos 0 = 3 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right) = 3}

[collapse]

Soal Nomor 32
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right)

Penyelesaian

Misalkan y = \dfrac{1}{x}, ekuivalen dengan x = \dfrac{1}{y}. Jika x \to \infty, maka y \to 0, sehingga ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right) & = \lim_{y \to 0} \left(\dfrac{3}{y} + \sin y \right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{3}{y} + \lim_{y \to 0} \sin y \\ & = \infty + 0 = \infty \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right) = \infty}

[collapse]

Soal Nomor 33
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x} - x\right)

Penyelesaian

Misalkan y = \dfrac{1}{x}, ekuivalen dengan x = \dfrac{1}{y}. Jika x \to \infty, maka y \to 0, sehingga ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x} - x\right) & = \lim_{y \to 0} \left(\tan y - \dfrac{1}{y} \right) \\ & = \tan 0 - \infty = -\infty \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x} - x\right) = -\infty}

[collapse]

Soal Nomor 34
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{4 \pi} {3}\right)

Penyelesaian

Misalkan y = \dfrac{1}{x}. Jika x \to \infty, maka y \to 0, sehingga ditulis 
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{4 \pi} {3}\right) & = \lim_{y \to 0} \sin \left(y - \dfrac{4 \pi} {3}\right) \\ & = \sin \left(0-\dfrac{4 \pi} {3}\right) \\ & = -\sin 240\degree = \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{4 \pi} {3}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}}

[collapse]

Soal Nomor 35
Tentukan nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sin \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{6 \pi} {7}\right) - 5x\right)

Penyelesaian

Misalkan y = \dfrac{1}{x}, ekuivalen dengan x = \dfrac{1}{y}.
Jika x \to \infty, maka y \to 0, sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} & \left(\sin \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{6 \pi} {7}\right) - 5x\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \left(\sin \left(y - \dfrac{6 \pi}{7}\right) - \dfrac{5}{y}\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \sin \left(y - \dfrac{6 \pi}{7}\right) - \lim_{y \to 0} \dfrac{5}{y} \\ & = -\sin \dfrac{6 \pi}{7} - \infty = -\infty \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sin \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{6 \pi} {7}\right) - 5x\right) = -\infty}

[collapse]

Soal Nomor 36 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 165)
Nilai dari \displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y} adalah \cdots
A. 0      B. 1      C. 2       D. 3      E. 4

Penyelesaian

Misalkan x= \dfrac{1}{y}
Jika y \to \infty, maka x \to 0. Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cdot \sin 3x \cdot \cos 5x \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x} {x} \cdot \cos 5x \\ & = 3 \cdot \cos 0 = 3 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y} adalah \boxed{3} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 37 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 166)
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} adalah \cdots
A. 0       B. \dfrac{2}{3}      C. 1       D. \dfrac{3}{2}       E. 3

Penyelesaian

Misalkan y= \dfrac{1}{x}, ekuivalen dengan x = \dfrac{1}{y}
Jika x \to \infty, maka y \to 0. Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {(1 - \cos 2y) \cdot \left(\dfrac{1}{y}\right)^2 \cdot \sin y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y \cdot y^2}{(1 - \cos 2y) \cdot \sin y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {\sin y} \cdot \dfrac{y^2}{1 - \cos 2y} \\ & = 3 \cdot \dfrac{0^2}{1 - \cos 0} = 3 \cdot 0 = 0 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} = 0} 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 38 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 167)
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = \cdots
A. 1       B. \dfrac{1}{2}       C. \dfrac{1}{3}       D. \dfrac{1}{4}     E. \dfrac{1}{5}

Penyelesaian

Misalkan y= \dfrac{1}{\sqrt{x}}, ekuivalen dengan x = \dfrac{1}{y^2}
Jika x \to \infty, maka y \to 0. Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y^2} (1 - \cos y) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos y} {y^2} \times \dfrac{1+\cos y} {1 + \cos y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos^2 y} {y^2(1 + \cos y)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y} {y} \cdot \dfrac{\sin y} {y} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos y} \\ & = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{1 + \cos 0} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = \dfrac{1}{2}}
(Jawaban B) 
Catatan:
Identitas trigonometri yang digunakan adalah
\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \iff 1 - \cos^2 x = \sin^2 x}

[collapse]

Soal Nomor 39 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 168) 
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} = \cdots
A. 0      B. 1       C. 2       D. 3      E. 4

Penyelesaian

Misalkan y= \dfrac{1}{x}, ekuivalen dengan x = \dfrac{1}{y}
Jika x \to \infty, maka y \to 0. Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y} \cdot \tan y \cdot \sec 2y \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan y} {y} \cdot \sec 2y \\ & = 2 \cdot 1 \cdot \sec 0 \\ & = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} = 2} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 40 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 129) 
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right) - x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} = \cdots
A. 2       B. 1        C. 0         D. -1          E. -2

Penyelesaian

Misalkan y = \dfrac{1}{x}, ekuivalen dengan x = \dfrac{1}{y}
Jika x \to \infty, maka y \to 0. Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right) - x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2\left(\dfrac{1}{y} \right)^2 \tan y - \dfrac{1}{y} \sin y + y} {\dfrac{1}{y} \cos 2y} \begingroup \color{red} { \times \dfrac{y}{y}} \endgroup \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2\left(\dfrac{1}{y} \right) \tan y - \sin y + y^2} {\cos 2y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2 \cdot \dfrac{\tan y}{y}- \sin y + y^2} {\cos 2y} \\ & = \dfrac{2 \cdot 1 - \sin 0 + 0^2}{\cos 0} \\ & = \dfrac{2 - 0}{1} = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right) - x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} = 2}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini