Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Kalkulus Lanjut

Berikut ini adalah 5 soal UTS Kalkulus Lanjut (TA 2017/2018) yang diujikan tanggal 2 November 2017 oleh Drs. Ade Mirza, M.Pd kepada mahasiswa  semester 5 program studi pendidikan matematika FKIP Untan.

Soal Nomor 1
Tuliskan definisi fungsi bernilai vektor di bidang dengan peubah real. Berikan sebuah contoh sebagai ilustrasinya.

Soal Nomor 2
Ubahlah persamaan $2r^2 -16r \cos \alpha = 8r \sin \alpha -22$ dalam koordinat Kartesius dan berikan penjelasan mengenai persamaan tersebut.

Soal Nomor 3
Tentukan persamaan kurva dari himpunan titik-titik $H$, apabila jumlah jarak dari $H$ ke titik $(5, 0)$ dan $(-5, 0)$ adalah $15$ satuan. Gambarkan sketsa kurvanya.

Soal Nomor 4
Tentukan nilai limit berikut. Bila ada, buktikan.

a) $ \displaystyle \lim_{t \to 3} [(t-3)^2i + 6tj]$
b) $ \displaystyle \lim_{t \to 1} (8ti -t^2j)$

Soal Nomor 5
Jika $r: A \subseteq R \rightarrow R^2$, dengan $r(t) = (e^t + e^{-t})i -e^{t^2}j$, tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari $r(t)$.

Jawaban:

Jawaban Nomor 1
Misalkan $f$ suatu fungsi dari himpunan tak kosong $A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$, maka setiap $t \in A$ menentukan secara tunggal sepasang dua bilangan atau titik pada $\mathbb{R}^2$. Karena setiap titik pada bidang datar itu menentukan satu vektor posisi, maka $f(t)$ dapat dipandang sebagai vektor posisi: $f(t) = x(t)i + y(t)j = r(t)$
dengan i, j vektor basis di $\mathbb{R}^2$ dan t adalah parameter. Fungsi $f$ disebut fungsi vektor di bidang. Misalkan diberikan $x(t) = t$ dan $y(t) = t + 2$, untuk $t \in \mathbb{R}$. Sekarang, jika kita ambil $t = 0$, kita peroleh titik $(0, 2)$. Jika diambil $t = 1$, kita peroleh titik $(1, 3)$. Pada kenyataannya, kita dapat menuliskannya dalam suatu persamaan tanpa parameter, yaitu dengan cara mensubstitusikan $x(t) = t$ ke $y(t) = t + 2$, menjadi
$y(t) = x(t) + 2$ atau
$y = x + 2$
Persamaan terakhir merupakan persamaan garis lurus bergradien $1$.

Jawaban Nomor 2
Diketahui bahwa $x = r \cos \alpha$ dan $y = r \sin \alpha$. Jika kedua persamaan ini dikuadratkan dan kemudian dijumlahkan, diperoleh
$x^2 + y^2 = r^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = r^2$
Dengan mensubstitusikan semua ini ke persamaan polar $2r^2 -16r \cos \alpha = 8r \sin \alpha -22$, diperoleh
$\begin{aligned} 2(x^2 + y^2) -16x & = 8y -22 \\ 2x^2 + 2y^2 -16x -8y + 22 & = 0 \\ x^2 + y^2 -8x -4y + 11 & = 0 \\ (x -4)^2 + (y -2)^2 -16 -4 + 11 & = 0 \\ (x -4)^2 + (y -2)^2 &= 9 \end{aligned}$
Persamaan yang didapat adalah persamaan lingkaran berpusat di $(4, 2)$ dan berjari-jari $3$.

Jawaban Nomor 3
Menurut definisi elips, jumlah jarak dari titik fokus ke himpunan titik-titik tertentu adalah tetap. Jadi, ini merupakan kasus elips. Jumlah jarak itu adalah
$2a = 15 \Leftrightarrow a^2 = \dfrac{225}{4}$
Karena titik fokusnya $(5, 0)$ dan $(-5, 0)$, maka didapat $c = 5$ dan elips ini horizontal. Juga karena $b^2 = a^2 -c^2$, berarti
$b^2 = \dfrac{225}{4} -5 = \dfrac{125}{4}$
Jadi, persamaan elips itu adalah
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
$\dfrac{x^2}{\dfrac{225}{4}} + \dfrac{y^2}{\dfrac{125}{4}} = 1$
Sketsa kurvanya adalah sebagai berikut.

Jawaban Nomor 4b
Ambil sembarang bilangan $\varepsilon > 0$. Berdasarkan definisi limit, harus ditemukan bilangan $\delta > 0$ sehingga untuk $t \in \mathbb{R}, t \neq 1$, dan $|t -1| < \delta$, berakibat $||(8t, -t^2) -(8, -1)|| < \varepsilon$
Analisis:
$\begin{aligned} & ||(8t, -t^2) -(8, -1)|| \\ & = ||(8t -8, -t^2 + 1)|| \\ & = \sqrt{(8t -8)^2 + (-t^2 + 1)^2} \\ &=\sqrt{64(t-1)^2 + (t -1)^2(t + 1)^2} \end{aligned}$
Untuk kasus ini, harus dibatasi faktor $|t + 1|$ sebagai suatu konstanta real.
Misalkan
$0 < |t -1| < \delta \leq 1$, sehingga
$|t + 1| = |t -1 + 2| \leq |t -1| + 2 \leq 1 + 2 = 3$
Akibatnya,
$ \sqrt{64(t-1)^2 + (t -1)^2(t + 1)^2}$
$ \leq \sqrt{64(t-1)^2 + 3(t -1)^2}$
$ = \sqrt{67(t-1)^2} < \varepsilon$
$ \Leftrightarrow 67(t -1)^2 < \varepsilon^2$
$ \Leftrightarrow (t-1)^2 < \dfrac{1}{67}\varepsilon^2$
$  \Leftrightarrow |t -1| < \dfrac{1}{67}\sqrt{67}\varepsilon$

Jadi, bilangan $\delta$ yang dimaksud adalah $\min\left\{1, \dfrac{1}{67}\sqrt{67}\varepsilon\right\}$.
(Terbukti)

Jawaban Nomor 5
Misalkan $x(t) = e^t + e^{-t}$ sehingga $x'(t) = e^t + e^{-t}$.
Misalkan juga $y(t) = -e^{t^2}$ sehingga
$y'(t) = -2te^{t^2}$.
Jadi, turunan pertama $r(t)$ adalah
$r'(t) = (e^t + e^{-t}, -2te^{t^2})$
Selanjutnya, karena $x'(t) = e^t + e^{-t}$, maka $x^{\prime \prime}(t) = e^t -e^{-t}$ dan karena $y'(t) = -2te^{t^2}$, maka $y^{\prime \prime}(t) = -2(e^{t^2} + 2t^2e^{t^2})$ (menggunakan aturan hasil kali)
Jadi, turunan kedua $r(t)$ adalah
$r^{\prime \prime}(t) = (e^t -e^{-t}, -2(e^{t^2} + 2t^2e^{t^2}))$
Catatan:
$\boxed{\dfrac{d}{dx}e^u = u’e^u}$
dengan $u$ adalah fungsi terhadap variabel $x$.