Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen

       Persamaan eksponen sebelumnya telah dibahas soal-soal dasarnya pada tautan berikut. 

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

      Dalam bab yang sama, persamaan eksponen tingkat lanjut akan terlihat lebih kompleks. Oleh karena itu, persamaan eksponen tingkat dasar harus dikuasai terlebih dahulu. Sifat-sifat pangkat, akar, dan logaritma juga semestinya dipahami. Pada bagian ini, beberapa persamaan eksponen dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan melakukan pemisalan. Ciri-cirinya persamaan tersebut memuat $3$ suku dan satu sukunya adalah konstan (tidak memuat variabel). Ini merupakan salah satu cara yang sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan eksponen. Adapun 2 ketentuan penyelesaian persamaan eksponen tingkat lanjut adalah sebagai berikut.

Ketentuan 1

Jika $f(x)^{g(x)} = 1$, maka ada $3$ kemungkinan, yaitu:
  1. $f(x) = 1$
  2. $f(x) = -1$, dengan syarat $g(x)$ genap
  3. $g(x) = 0$, dengan syarat $f(x) \neq 0$.

Ketentuan 2

Jika $f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)}$, maka ada $4$ kemungkinan, yaitu:

  1. $f(x) = g(x)$
  2. $f(x) = 1$
  3. $f(x) = -1$, dengan syarat $g(x)$ dan $h(x)$ kedua-duanya ganjil atau kedua-duanya genap (memiliki paritas yang sama).
  4. $f(x) = 0$, dengan syarat $g(x)$ dan $h(x)$ keduanya positif.

Berikut ini juga disertakan sifat-sifat pangkat, akar, dan logaritma yang kerap dipakai guna menyelesaikan persamaan eksponen.

Sifat-sifat Pangkat

$$\begin{aligned} a^p & = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{\text{sebanyak}~p} && (\text{sifat}~1) \\ a^p \times a^q & = a^{p+q} && (\text{sifat}~2) \\ a^p \div a^q & = a^{p-q} && (\text{sifat}~3) \\ (a^p)^q & = a^{pq} && (\text{sifat}~4) \\ a^p & = \dfrac{1}{a^{-p}},~\text{jika}~a \neq 0 && (\text{sifat}~5) \\ (a \times b)^p & = a^p \times b^p && (\text{sifat}~6) \\ \left(\dfrac{a}{b}\right)^p & = \dfrac{a^p}{b^p} && (\text{sifat}~7) \\ a^0 & = 1,~\text{jika}~a \neq 0 && (\text{sifat}~8) \\ 0^b & = 0,~\text{jika}~b > 0 && (\text{sifat}~9) \end{aligned}$$

Sifat-sifat Akar

$$\begin{aligned} \sqrt{a} \times \sqrt{b} & = \sqrt{ab} && (\text{sifat}~1) \\ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} & = \sqrt{\dfrac{a}{b}},~\text{jika}~a \geq 0, b > 0 && (\text{sifat}~2) \\ \sqrt[n]{a^m} & = a^{\frac{m}{n}} && (\text{sifat}~3) \\ a\sqrt{c} + b\sqrt{c} & = (a+b)\sqrt{c} && (\text{sifat}~4) \\ a\sqrt{c}- b\sqrt{c} & = (a-b)\sqrt{c} && (\text{sifat}~5) \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} & = \sqrt[mn]{a} && (\text{sifat}~6) \\ \sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} & = \sqrt{a} \pm \sqrt{b},~\text{jika}~a > b && (\text{sifat}~7) \end{aligned}$$

Sifat-sifat Logaritma

Perhatikan sebelumnya bahwa syarat $^p \log q$ terdefinisi adalah $p, q > 0$.
$$\begin{aligned} ^a \log a & = 1 && (\text{sifat}~1) \\ ^a \log b^c & = c \times ^a \log b && (\text{sifat}~2) \\ ^{a^d} \log b & = \dfrac{1}{d} \times ^a \log b && (\text{sifat}~3) \\ ^a \log (b \times c) & = ^a \log b + ^a \log c && (\text{sifat}~4) \\ ^a \log (b \div c) & = ^a \log b-^a \log c && (\text{sifat}~5) \\ ^a \log b \times ^b \log c & = ^a \log c && (\text{sifat}~6) \\ ^a \log b & = \dfrac{1}{^b \log a} && (\text{sifat}~7) \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b}{^c \log a},~\text{untuk}~c > 0 && (\text{sifat}~8) \\ a^{^a \log b} & = b && (\text{sifat}~9) \end{aligned}$$

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai persamaan eksponen yang dipelajari saat kelas X Matematika Peminatan.

Quote by Fiersa Besari

Enggak apa-apa. Namanya juga hidup, pasti ada masalah. Dipikirin sampai larut juga enggak akan mengubah keadaan. Istirahat dulu. Nanti cari cara lagi.

 Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Akar-akar persamaan $6^{x^2-x} = 2^{x+1}$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Nilai dari $x_1+x_2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                               D. $^6 \log 24$
B. $^6 \log 8$                       E. $^{12} \log 6$
C. $^6 \log 12$

Pembahasan

Dari persamaan yang diberikan, logaritmakan kedua ruas, lalu gunakan sifat logaritma dan eksponen untuk mencari nilai $x$.
$$\begin{aligned} \log 6^{x^2-x} & = \log 2^{x+1} \\ (x^2-x) \log 6 & = (x+1) \log 2 \\ x^2 \log 6-x \log 6 & = x \log 2 + \log 2 \\ x^2 \log 6-x \log 6-x \log 2-\log 2 & = 0 \\ (\log 6)x^2-(\log 6 + \log 2)x-\log 2 & = 0 \\ (\log 6)x^2-(\log 12)x-\log 2 & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir dapat dipandang sebagai persamaan kuadrat dengan koefisien $a = \log 6$, $b= -\log 12$, dan $c = -\log 2$.
Karena akarnya $x_1$ dan $x_2$, maka berdasarkan rumus jumlah akar, diperoleh
$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-\log 12}{\log 6} = ^6 \log 12$
Jadi, nilai dari $\boxed{x_1+x_2=^6 \log 12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Fungsi Eksponen (Pangkat)

Soal Nomor 2
Nilai $x$ yang memenuhi $8^{x+1} = 24^{x-1}$ adalah $\cdots \cdot$

A. $1+6 \cdot ^2 \log 3$
B. $1+4 \cdot ^2 \log 3$
C. $1+6 \cdot ^3 \log 2$
D. $1+4 \cdot ^3 \log 2$
E. $1+6 \cdot ^5 \log 2$

Pembahasan

Dari persamaan yang diberikan, logaritmakan kedua ruas, lalu gunakan sifat logaritma dan eksponen untuk mencari nilai $x$.
$$\begin{aligned} \log 8^{x+1} & = \log 24^{x-1} \\ (x+1) \log 8 & = (x-1) \log 24 \\ x \log 8 + \log 8 & = x \log 24-\log 24 \\ x \log 8-x \log 24 & = -(\log 24 + \log 8) \\ x(\log 8-\log 24) & = -(\log 24+ \log 8) \\ x & = \dfrac{-(\log 24+\log 8)}{\log 8-\log 24} \\ & = \dfrac{\log 8 + \log 3+ \log 8}{\log 24-\log 8} \\ & = \dfrac{2 \log 8 + \log 3}{\log 3} \\ & = \dfrac{2 \log 2^3 + \log 3}{\log 3} \\ & = \dfrac{6 \log 2 + \log 3}{\log 3} \\ & = \dfrac{6 \log 2}{\log 3} + \dfrac{\log 3}{\log 3} \\ & = 1 + 6 \cdot ^3 \log 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{1 + 6 \cdot ^3 \log 2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

Soal Nomor 3
Jika $t$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $5^{t^4-1} = 3^{t^4-1}$, maka nilai dari $t^{2020}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-1$                    C. $1$                     E $2020$
B. $0$                       D. $2^{2020}$

Pembahasan

Persamaan $5^{t^4-1} = 3^{t^4-1}$ memuat basis yang berbeda, namun pangkatnya sama. Oleh karena itu, persamaan ini akan bernilai benar hanya pada saat pangkatnya bernilai $0$.
$\begin{aligned} t^4-1 & = 0 \\ (t^2+1)(t^2-1) & = 0 \\ (t^2+1)(t+1)(t-1) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan $t^2+1 = 0$ tidak memiliki penyelesaian real (karena diskriminannya negatif). Oleh karena itu, kita hanya memperoleh dua nilai $t$, yaitu $t = -1$ atau $t = 1$, tetapi karena $t$ adalah bilangan real positif, maka $\boxed{t = 1}$.
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{t^{2020} = 1^{2020} = 1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Himpunan penyelesaian dari $(2x-3)^{x+1} = 1$ adalah $\{x_1, x_2, x_3\}$. Nilai dari $x_1+x_2+x_3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                    C. $1$                     E. $4$
B. $0$                       D. $2$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $f(x)^{g(x)} = 1$ dengan $f(x) = 2x-3$ dan $g(x) = x+1$.
Berdasarkan Ketentuan 1 Persamaan Eksponen di atas, akan ada $3$ kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} f(x) & = 1 \\ 2x-3 & = 1 \\ 2x & = 4 \\ x & = 2~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} f(x) & = -1 \\ 2x-3 & = -1 \\ 2x & = 2 \\ x & = 1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Substitusi $x = 1$ pada $g(x) = x+1$ menghasilkan $g(1) = 1+1=2$. Karena hasilnya genap, maka nilai $x=1$ memenuhi.
Kemungkinan 3:
$\begin{aligned} g(x) & = 0 \\ x+1 & = 0 \\ x & = -1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Substitusi $x = -1$ pada $f(x) = 2x-3$ menghasilkan $f(-1) = 2(-1) -3 = -5$. Karena hasilnya bukan nol, maka nilai $x=-1$ memenuhi.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut adalah $\{-1, 1, 2\}$, sehingga $\boxed{x_1+x_2+x_3 = -1+1+2 = 2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jumlah semua nilai real $x$ positif yang memenuhi persamaan $x^{x^2-5x+6} = 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                      C. $6$                   E. $9$
B. $5$                      D. $7$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $f(x)^{g(x)} = 1$ dengan $f(x) = x$ dan $g(x) = x^2-5x+6$. Berdasarkan Ketentuan 1 Persamaan Eksponen di atas, akan ada $3$ kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} f(x) & = 1 \\ \Rightarrow x & = 1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} f(x) & = -1 \\ \Rightarrow x & = -1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Substitusi $x = -1$ pada $g(x) = x^2-5x+6$ menghasilkan $g(-1) = (-1)^2-5(-1)+6$ $= 1+5+6 = 12$. Karena hasilnya genap, maka nilai $x = -1$ memenuhi.
Kemungkinan 3:
$\begin{aligned} g(x) & = 0 \\ x^2-5x+6 & = 0 \\ (x-2)(x-3) & = 0 \\ x = 2~\text{atau}&~x = 3 \end{aligned}$
Kedua nilai $x$ ini tidak membuat $f(x) = x$ bernilai $0$ sehingga memenuhi persamaan.
Kita peroleh $4$ nilai $x$, yaitu $\{-1, \color{blue}{1, 2, 3}\}$. Untuk itu, jumlah semua nilai real $x$ positif sama dengan $\boxed{1+2+3 = 6}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Himpunan penyelesaian persamaan $(x-4)^{4x} = (x-4)^{1+3x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{1, 3, 4\}$                       D. $\{3, 4, 5\}$
B. $\{1, 3, 5\}$                       E. $\{4, 5\}$
C. $\{1, 3, 4, 5\}$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)}$ dengan $f(x) = x-4$, $g(x) = 4x$, dan $h(x) = 1+3x$.
Berdasarkan Ketentuan 2 Persamaan Eksponen di atas, akan ada $4$ kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} g(x) & = h(x) \\ 4x & = 1+3x \\ x & = 1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} f(x) & = 1 \\ x-4 & = 1\\ x & = 5~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Kemungkinan 3:
$\begin{aligned} f(x) & = -1 \\ x-4 & = -1 \\ x & = 3~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Nilai $x = 3$ ini memenuhi karena membuat $g(x)$ dan $h(x)$ menjadi sama-sama genap, yaitu $g(3) = 4(3) = 12$ dan $h(3) = 1 + 3(3) = 10$.
Kemungkinan 4:
$\begin{aligned} f(x) & = 0 \\ x-4 & = 0 \\ x & = 4~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Nilai $x = 4$ ini memenuhi karena membuat $g(x)$ dan $h(x)$ menjadi sama-sama positif, yaitu $g(4) = 4(4) = +16$ dan $h(4) = 1 + 3(4) = +13$.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{\{1, 3, 4, 5\}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $3^x = 7^y = 63^z$, maka pernyataan berikut yang pasti benar adalah $\cdots \cdot$
A. $xz = yz + 2x$
B. $xy = 2yz + xz$
C. $x = y$
D. $z^2 = x^2+2xyz$
E. $xy = xz = yz$

Pembahasan

Dari persamaan $3^x = 7^y$, tarik logaritma pada kedua ruasnya.
$$\begin{aligned} \log 3^x & = \log 7^y \\ x \log 3 & = y \log 7 \\ \dfrac{x}{y} & = \dfrac{\log 7}{\log 3} && (\cdots 1) \end{aligned}$$Gunakan cara yang sama untuk persamaan $3^x = 63^z$.
$$\begin{aligned} \log 3^x & = \log 63^z \\ x \log 3 & = z \log 63 \\ x \log 3 & = z \log (3^2 \cdot 7) \\ x \log 3 & = 2z \log 3 + z \log 7 \\ (x-2z) \log 3 & = z \log 7 \\ \dfrac{x-2z}{z} & = \dfrac{\log 7}{\log 3} && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = \dfrac{x-2z}{z} \\ xz & = y(x-2z) \\ xz & = xy-2yz \\ xy & = xz+2yz \end{aligned}$
Jadi, pernyataan yang pasti benar adalah $\boxed{xy=2yz+xz}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $3^{x+1} + 6(3^{x-2}) = 3^x + \dfrac{10}{3}$, maka nilai $4x^2-1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                      C. $2$                    E. $5$
B. $1$                      D. $3$

Pembahasan

Munculkan bentuk $3^x$ pada suku-suku yang memuat variabel, lalu selesaikan dengan menggunakan aljabar biasa.
$$\begin{aligned} 3^{x+1} + 6(3^{x-2}) & = 3^x + \dfrac{10}{3} \\ (3^x \cdot 3) + 6(3^x \cdot 3^{-2}) & = 3^x + \dfrac{10}{3} \\ (3 \cdot 3^x) + 6\left(3^x \cdot \dfrac19\right) & = 3^x + \dfrac{10}{3} \\ (3 \cdot 3^x) + 6 \cdot 3^x + \dfrac23 & = 3^x + \dfrac{10}{3} \\ (3 \cdot 3^x) + 6 \cdot 3^x-3^x & = \dfrac{10}{3}-\dfrac23 \\ (3+6-1) \cdot 3^x & = \dfrac83 \\ 8 \cdot 3^x & = \dfrac83 \\ 3^x & = \dfrac13 = 3^{-1} \\ x & = -1 \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai dari $\boxed{4x^2-1=4(-1)^2-1=3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Akar-akar persamaan $9^{x+1}-10 \cdot 3^x + 1 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1 > x_2$, maka nilai dari $x_1-x_2 = \cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                   E. $6$
B. $1$                    D. $3$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 9^{x+1}-10 \cdot 3^x + 1 &= 0 \\ 9^x \cdot 9-10 \cdot 3^x + 1 & = 0 \\ (3^2)^x \cdot 9-10 \cdot 3^x + 1 & = 0 \\ (\color{red}{3^x})^2 \cdot 9-10 \cdot \color{red}{3^x} + 1 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $a = 3^x$, maka kita peroleh persamaan kuadrat.
$\begin{aligned} 9a^2-10a+1 &= 0 \\ (9a-1)(a-1) & = 0 \\ a = \dfrac19~\text{atau}~a & = 1 \end{aligned}$
Untuk $a = \dfrac19$, diperoleh
$3^x = \dfrac19 = 3^{-2} \Rightarrow x = -2$
Untuk $a = 1$, diperoleh
$3^x = 1 = 3^0 \Rightarrow x = 0$
Karena $x_1 > x_2$, maka $x_1 = 0$ dan $x_2 = -2$, sehingga $\boxed{x_1-x_2=0-(-2)=2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{2x}-3 \cdot 2^{x+1} + 8 = 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = 1$ atau $x = 2$
B. $x = -1$ atau $x = 2$
C. $x = -2$ atau $x = -1$
D. $x = -2$ atau $x = 1$
E. $x = 1$ saja

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $2^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 2^{2x}-3 \cdot 2^{x+1} + 8 & = 0 \\ (2^x)^2 -3 \cdot (2^x \cdot 2) + 8 & = 0 \\ (\color{red}{2^x})^2-6 \cdot \color{red}{2^x} + 8 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 2^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} \color{red}{a}^2-6\color{red}{a}+8 & = 0 \\ (a-4)(a-2) & = 0 \\ a = 4~\text{atau}~&a = 2 \end{aligned}$
Untuk $a =4$, diperoleh $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.
Untuk $a =2$, diperoleh $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$.
Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{x = 1}$ atau $\boxed{x = 2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

Soal Nomor 11
Jumlah akar-akar persamaan $5^{2x+1}-26 \cdot 5^{x} + 5 =0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac{26}{5}$                 C. $0$                     E. $\dfrac{26}{5}$
B. $-1$                     D. $1$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $5^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 5^{2x+1}-26 \cdot 5^{x} + 5 & =0 \\ (5^{2x} \cdot 5) -26 \cdot 5^x + 5 & = 0 \\ 5 \cdot (\color{red}{5^x})^2-26 \cdot \color{red}{5^x} + 5 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 5^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} 5\color{red}{a}^2-26\color{red}{a}+5& = 0 \\ (5a-1)(a-5) & = 0 \\ a = \dfrac15~\text{atau}~&a = 5 \end{aligned}$
Untuk $a =\dfrac15$, diperoleh $5^x = \dfrac15 \Rightarrow x = -1$.
Untuk $a =5$, diperoleh $5^x = 5 \Rightarrow x = 1$.
Jadi, didapat $x_1 = -1$ dan $x_2 = 1$ (terbalik tidak masalah karena tidak mengubah hasil akhir nantinya), sehingga jumlah akarnya adalah $\boxed{x_1+x_2 = -1+1=0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Akar-akar persamaan $3^{2x+1}-28 \cdot 3^{x} + 9 =0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1>x_2$, maka nilai dari $3x_1-x_2=\cdots \cdot$
A. $-5$                     C. $4$                    E. $7$
B. $-1$                     D. $5$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $3^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 3^{2x+1}-28 \cdot 3^{x} + 9 & =0 \\ (3^{2x} \cdot 3) -28 \cdot 3^x + 9 & = 0 \\ 3 \cdot (\color{red}{3^x})^2-28 \cdot \color{red}{3^x} + 9 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 3^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} 3\color{red}{a}^2-28\color{red}{a}+9& = 0 \\ (3a-1)(a-9) & = 0 \\ a = \dfrac13~\text{atau}~&a = 9 \end{aligned}$
Untuk $a =\dfrac13$, diperoleh $3^x = \dfrac13 \Rightarrow x = -1$.
Untuk $a =9$, diperoleh $3^x = 9 \Rightarrow x = 2$.
Karena $x_1 > x_2$, maka $x_1 = 2$ dan $x_2 = -1$, sehingga $\boxed{3x_1-x_2 = 3(2)-(-1)=7}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Bila $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $2^{2x}-6 \cdot 2^{x+1} + 32 =0$ dengan $x_1>x_2$, maka nilai $2x_1+x_2=\cdots \cdot$
A. $\dfrac14$                   C. $4$                     E. $16$
B. $\dfrac12$                   D. $8$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $2^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 2^{2x}-6 \cdot 2^{x+1} + 32 & = 0 \\ (2^x)^2 -6 \cdot (2^x \cdot 2) + 32 & = 0 \\ (\color{red}{2^x})^2-12 \cdot \color{red}{2^x} + 32 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 2^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} \color{red}{a}^2-12\color{red}{a}+32 & = 0 \\ (a-4)(a-8) & = 0 \\ a = 4~\text{atau}~&a = 8 \end{aligned}$
Untuk $a =4$, diperoleh $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.
Untuk $a =8$, diperoleh $2^x = 8 \Rightarrow x = 3$.
Karena $x_1 > x_2$, maka $x_1 = 3$ dan $x_2 = 2$, sehingga $\boxed{2x_1+x_2 = 2(3)+2=8}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Bila $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $3^{4-x}+3^x-30=0$, maka nilai $x_1+x_2=\cdots \cdot$
A. $1$                               D. $4$
B. $^3 \log 10$                     E. $^3 \log 30$
C. $3$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $3^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 3^{4-x}+3^x-30 & =0 \\ (3^4 \cdot 3^{-x}) + 3^x-30 & = 0 \\ 81 \cdot 3^{-x} + 3^x-30 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas}~&\text{dengan}~3^x \\ (81 \cdot 3^0) + (3^x)^2-30 \cdot 3^x & = 0 \\ (\color{red}{3^x})^2-30 \cdot \color{red}{3^x} + 81 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 3^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} \color{red}{a}^2-30\color{red}{a}+81& = 0 \\ (a-27)(a-3) & = 0 \\ a = 27~\text{atau}~&a = 3 \end{aligned}$
Untuk $a =27$, diperoleh $3^x = 27 \Rightarrow x = 3$.
Untuk $a =3$, diperoleh $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$.
Jadi, kita peroleh $x_1 = 3$ dan $x_2 = 1$ (terbalik tidak menjadi masalah karena tidak mengubah hasil akhir nantinya), sehingga $\boxed{x_1+x_2 = 3+1=4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $x_0$ adalah penyelesaian bulat dari $3 \cdot 10^{2x}-\dfrac{7}{10} \cdot 10^{x+1}+4 = 0$, maka nilai dari $x_0^{1000}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                      D. $1000$
B. $0$                         E. $10^{1000}$
C. $1$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $10^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 3 \cdot 10^{2x}-\dfrac{7}{10} \cdot 10^{x+1}+4 & = 0 \\ 3 \cdot (10^x)^2 -\dfrac{7}{\cancel{10}} \cdot (10^x \cdot \cancel{10}) + 4 & = 0 \\ 3 \cdot (\color{red}{10^x})^2-7 \cdot \color{red}{10^x} + 4 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 10^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} 3\color{red}{a}^2-7\color{red}{a}+4& = 0 \\ (3a-4)(a-1) & = 0 \\ a = \dfrac43~\text{atau}~&a = 1 \end{aligned}$
Untuk $a =\dfrac43$, diperoleh $10^x = \dfrac43 \Rightarrow x = \log \dfrac43$.
Untuk $a =1$, diperoleh $10^x = 1 \Rightarrow x = 0$.
Karena $x_0$ bulat, maka haruslah $x_0 = 0$, sehingga nilai dari $\boxed{x_0^{1000} = 0^{1000} = 0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Diketahui $3^{\frac{x}{5}} + 3^{\frac{x-10}{10}} = 84$. Misalkan banyak akar dari persamaan tersebut adalah $A$ dan jumlah akar-akarnya $B$. Nilai $A+B=\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $12$                   E. $23$
B. $5$                    D. $21$

Pembahasan

Munculkan bentuk $3^{\frac{x}{10}}$ pada suku-suku yang memuat variabel, lalu lakukan pemisalan, dan selesaikan persamaan kuadrat yang terbentuk.
$$\begin{aligned} 3^{\frac{x}{5}} + 3^{\frac{x-10}{10}} & = 84 \\ 3^{\frac{x}{5}} + 3^{\frac{x}{10}-1} & = 84 \\ (3^{\frac{x}{10}})^2 + \dfrac13 \cdot 3^{\frac{x}{10}}-84 & = 0 \\ a^2+\dfrac13a-84 & = 0 && (\text{Misal}~a = 3^{\frac{x}{10}}) \\ 3a^2+a-252 & = 0 \\ (3a + 28)(a-9) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = -\dfrac{28}{3}$ atau $a = 9$.
Substitusi kembali $a = 3^{\frac{x}{10}}$.
Kasus 1:
$3^{\frac{x}{10}} = -\dfrac{28}{3}~~(\color{red}{\text{X}})$
Tidak memiliki penyelesaian untuk $x$.
Kasus 2:
$\begin{aligned} 3^{\frac{x}{10}} & = 9 = 3^2 \\ \dfrac{x}{10} & = 2 \\ x & = 20 \end{aligned}$
Jadi, hanya ada $1$ akar penyelesaian, yaitu $x = 20$. Ini berarti, nilai $A = 1$ dan $B = 20$, sehingga $\boxed{A+B=1+20=21}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Nilai $x$ yang menjadi penyelesaian persamaan $9^{\sqrt{x}+1} + 3^{1-2\sqrt{x}} = 28$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$                    C. $\dfrac12$                  E. $2$
B. $\dfrac14$                    D. $1$

Pembahasan

Munculkan bentuk $3^{\sqrt{x}}$ pada suku-suku yang memuat variabel, lalu lakukan pemisalan.
$\begin{aligned} 9^{\sqrt{x}+1} + 3^{1-2\sqrt{x}} & = 28 \\ 3^{2(\sqrt{x} + 1)} + 3^{1-2\sqrt{x}}-28 & = 0 \\ 3^{2\sqrt{x}} \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^{-2\sqrt{x}}-28 & = 0 \\ 9 \cdot \color{blue}{3^{2\sqrt{x}}} + 3 \cdot (\color{blue}{3^{2\sqrt{x}}})^{-1}-28 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $a = 3^{2\sqrt{x}}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 9a+3a^{-1}-28 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~a \\ 9a^2+3-28a & = 0 \\ 9a^2-28a+3 & = 0 \\ (9a-1)(a-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = \dfrac19$ atau $a = 3$. Substitusi balik $a = 3^{2\sqrt{x}}$.
Kasus 1:
$\begin{aligned} 3^{2\sqrt{x}} & = \dfrac19 \\ 3^{2\sqrt{x}} & = 3^{-2} \\ 2\sqrt{x} & = -2 \\ \sqrt{x} & = -1~~(\color{red}{\text{X}}) \end{aligned}$
Tidak memiliki penyelesaian untuk $x$.
Kasus 2:
$\begin{aligned} 3^{2\sqrt{x}} & = 3 \\ 2\sqrt{x} & = 1 \\ \sqrt{x} & = \dfrac12 \\ x & = \dfrac14~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang menjadi penyelesaian persamaan itu adalah $\boxed{\dfrac14}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 18
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah $2^{x+2}$. Jika panjang dua sisi lainnya adalah $4$ dan $2^{2x+1}$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$                    C. $\dfrac12$                   E. $2$
B. $\dfrac14$                    D. $1$

Pembahasan

Karena segitiga tersebut siku-siku, maka hubungan panjang ketiga sisinya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} (4)^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x + 4} \\ 16 + 2^{4x} \cdot 2^2 & = 2^{2x} \cdot 2^4 \\ 16 + (\color{red}{2^{2x}})^2 \cdot 4 & = \color{red}{2^{2x}} \cdot 16 \end{aligned}$
Misalkan $a = 2^{2x}$, maka kita peroleh persamaan kuadrat.
$\begin{aligned} 16 + 4a^2 &= 16a \\ 4a^2-16a+16 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~4 \\ a^2-4a+4 & = 0 \\ (a-2)^2 & = 0 \\ a & = 2 \end{aligned}$
Untuk $a = 2$, diperoleh
$2^{2x} = 2 = 2^1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \dfrac12$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{\dfrac12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Himpunan penyelesaian dari persamaan $5^{1+\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{5+4x-x^2}{2+\sqrt{x^2-4x-1}}} = 126$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{0, 1, 5\}$                   D. $\{1, 5\}$
B. $\{-1, 1, 5\}$                  E. $\{-1, 0, 1\}$
C. $\{-1, 5\}$

Pembahasan

Munculkan bentuk $5^{\sqrt{x^2-4x-1}}$ pada tiap suku yang memuat variabel, lalu lakukan pemisalan.
$$\begin{aligned} 5^{1+\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{5+4x-x^2}{2+\sqrt{x^2-4x-1}}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{5+4x-x^2}{2+\sqrt{x^2-4x-1}} \cdot \frac{2-\sqrt{x^2-4x-1}}{2-\sqrt{x^2-4x-1}}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{(5+4x-x^2)(2-\sqrt{x^2-4x-1})}{4-(x^2-4x-1)}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{\cancel{(5+4x-x^2)}(2-\sqrt{x^2-4x-1})}{\cancel{5+4x-x^2}}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{2-\sqrt{x^2-4x-1}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + \dfrac{25}{5^{\sqrt{x^2-4x-1}}} & = 126 \end{aligned}$$Misalkan $a = 5^{\sqrt{x^2-4x-1}}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 5a + \dfrac{25}{a}-126 & = 0 \\ 5a^2-126a+25 & = 0 && (\cdots \times a) \\ (5a-1)(a-25) & = 0 \\ a = \dfrac15~\text{atau}~&a = 25 \end{aligned}$
Substitusi balik $a$.
Kasus 1: $a = \dfrac15$
$\begin{aligned} 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} & = \dfrac15 = 5^{-1} \\ \sqrt{x^2-4x-1} & = -1 \end{aligned}$
Persamaan terakhir tidak memiliki penyelesaian karena $\sqrt{x^2-4x-1} \geq 0$ untuk setiap bilangan real $x$.
Kasus 2: $a = 25$
$$\begin{aligned} 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} & = 25 = 5^2 \\ \sqrt{x^2-4x-1} & = 2 \\ x^1-4x-1 & = 4 && (\text{Kuadratkan kedua ruas}) \\ x^2-4x-5 & = 0 \\ (x+1)(x-5) & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~&x = 5 \end{aligned}$$Catatan: Nilai $x=1$ maupun $x=5$ memenuhi karena memenuhi syarat akar $x^2-4x-1 \geq 0$.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{\{-1, 5\}}$

(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Irasional (Bentuk Akar)

Soal Nomor 20
Banyaknya penyelesaian real dari persamaan $$9^{x^2-3x+\frac12}+9^{x^2-3x} = -3-10(3^{x^2-3x})$$ adalah $\cdots \cdot$

A. $0$                      C. $2$                      E. $4$
B. $1$                      D. $3$

Pembahasan

Munculkan bentuk $3^{x^2-3x}$ pada suku-suku yang memuat variabel, lalu lakukan pemisalan untuk membentuk persamaan kuadrat dan selesaikan dengan pemfaktoran biasa.
$$\begin{aligned} 9^{x^2-3x+\frac12}+9^{x^2-3x} & = -3-10(3^{x^2-3x}) \\ (9^{x^2-3x} \cdot 9^{\frac12}) + (3^{x^2-3x})^2 +3+10(3^{x^2-3x}) & = 0 \\ 3 \cdot (3^{x^2-3x})^2 + (3{x^2-3x})^2 + 3 + 10(3^{x^2-3x}) & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $a = 3^{x^2-3x}$. Kita akan peroleh
$\begin{aligned} 3a^2+a^2+3+10a & = 0 \\ 3a^2+10a+3 & = 0 \\ (3a+1)(a+3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = -\dfrac13$ atau $a=-3$.
Substitusi kembali nilai $a$, diperoleh $3^{x^2-3x} = -\dfrac13$ atau $3^{x^2-3x} = -3$. Karena hasil pangkat seharusnya tidak mungkin negatif bila basisnya positif, maka keduanya tidak memiliki penyelesaian untuk $x$.
Jadi, banyaknya penyelesaian real dari persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika $9^x + 9^{-x}-3^{2+x}+3^{2-x}+16=0$, maka nilai $3^x+3^{-x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$ atau $4$                   D. $3$ atau $6$
B. $2$ atau $8$                   E. $4$ atau $5$
C. $2$ atau $7$

Pembahasan

Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menggunakan sifat-sifat eksponen seperti berikut.
$$\begin{aligned} 9^x + 9^{-x}-3^{2+x}+3^{2-x}+16 & =0 \\ (3^2)^x + (3^2)^{-x}-(3^2 \cdot 3^x) + (3^2 \cdot 3^{-x}) + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x}-9 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{-x}+16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9 \cdot 3^x-9 \cdot 3^{-x}-16 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9(3^x-\cdot 3^{-x})-16 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (3^x-3^{-x})^2 & = 3^{2x}-2(3^x \cdot 3^{-x})+3^{-2x} \\ & = (3^{2x}+3^{-2x})-2(3^{0}) \\ & = (3^{2x}+3^{-2x})- 2 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dengan substitusi persamaan $(1)$ pada $(2)$, didapat
$$\begin{aligned} (3^x-3^{-x})^2 & = \color{red}{(9(3^x-\cdot 3^{-x})-16)}-2 \\ (3^x-3^{-x})^2 & = 9(3^x-\cdot 3^{-x})-18 \end{aligned}$$Misalkan $3^x-3^{-x} = a$, maka diperoleh persamaan kuadrat
$\begin{aligned}a^2 & =9a-18 \\ a^2-9a+18 &=0 \\ (a-6)(a-3) & =0 \end{aligned}$
Diperoleh $a=6$ atau $a=3$.
Ini menunjukkan bahwa nilai $3^x-3^{-x}$ adalah $3$ atau $6$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari $9^{2x}+2 \cdot 3^{2x+1}+3^{2x+2}-3 \cdot 3^{2x+3}+c = 0$ serta $x_1+x_2 = 2 \cdot ^3 \log 2 + \dfrac12$, maka $c = \cdots \cdot$
A. $9\sqrt3$                 C. $16\sqrt3$                 E. $81$
B. $18$                     D. $48$

Pembahasan

Persamaan yang diberikan memuat bentuk eksponen $3^{2x}$ sehingga kita dapat melakukan pemisalan untuk memperoleh bentuk persamaan kuadrat.
$$\begin{aligned} 9^{2x}+2 \cdot 3^{2x+1}+3^{2x+2}-3 \cdot 3^{2x+3}+c & = 0 \\ (3^2)^{2x} + 2 \cdot (3^{2x} \cdot 3) + (3^{2x} \cdot 3^2)-3 \cdot (3^{2x} \cdot 3^3) + c & = 0 \\ (3^{2x})^2 + 6 \cdot 3^{2x} + 9 \cdot 3^{2x}-81 \cdot 3^{2x} + c & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $3^{2x} = y$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y^2 + 6y + 9y-81y + c & = 0 \\ y^2-66y+c & = 0 \end{aligned}$
Misalkan persamaan kuadrat ini memiliki akar $y_1$ dan $y_2$, sehingga hasil kali akarnya $y_1y_2 = \dfrac{c}{1} = c$.
Perhatikan bahwa $y_1 = 3^{2x_1}$ dan $y_2 = 3^{2x_2}$, serta diketahui $\color{red}{x_1+x_2 = 2 \cdot ^3 \log 2 + \dfrac12}$. Oleh karena itu, diperoleh
$\begin{aligned} c & = 3^{2x_1} \cdot 3^{2x_2} \\ & = 3^{2x_1+2x_2} \\ & = 3^{2(x_1+x_2)} \\ & = 3^{2\color{red}{(2 \cdot ^3 \log 2 + \dfrac12)}} \\ & = 3^{4 \cdot ^3 \log 2 + 1} \\ & = 3^{^3 \log 2^4 + ^3 \log 3} \\ & = 3^{^3 \log (2^4 \times 3)} \\ & = 3^{^3 \log 48} = 48 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{c = 48}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi HOTS dan Olimpiade

Soal Nomor 23
Jumlah semua nilai real $x$ yang menjadi penyelesaian dari persamaan $$9^x-4 \cdot 3^x + 6-\dfrac{4}{3^x} + \dfrac{1}{9^x} = 0$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                    C. $0$                    E. $2$
B. $-1$                    D. $1$

Pembahasan

Alternatif 1:
$$\begin{aligned} 9^x-4 \cdot 3^x + 6-\dfrac{4}{3^x} + \dfrac{1}{9^x} & = 0 \\ (3^x)^2-4 \cdot 3^x + 6-\dfrac{4}{3^x} + \dfrac{1}{(3^x)^2} & = 0 \\ a^2-4a+6-\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{a^2} & = 0 && (\text{Misal}~a = 3^x) \\ \left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)-4\left(a+\dfrac{1}{a}\right)+6 & = 0 \\ \left[\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-2\right]-4\left(a+\dfrac{1}{a}\right)+6 & = 0 \\ \left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-4\left(a+\dfrac{1}{a}\right)+4 & = 0 \\ \left(a+\dfrac{1}{a}-2\right)^2 & = 0 && (\text{Pandang}~t^2-4t+4 = (t-2)^2) \\ a + \dfrac{1}{a}-2 & = 0 \\ a^2-2a+1 & = 0 && (\cdots \times a) \\ (a-1)^2 & = 0 \\ a-1 & = 0 \\ a & = 1 \\ 3^x & = 1 \\ x & = 0 \end{aligned}$$Jadi, satu-satunya nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponen tersebut adalah $x = 0$, sehingga jumlah semua nilai real $x$ yang dimaksud tersebut sama dengan $\boxed{0}$
Alternatif 2:
Pandang binomial berpangkat $4$ berikut.
$$\boxed{(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}$$Jika diambil $a = 3^x$ dan $b = -1$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} (3^x-1)^4 & = (3^x)^4 + 4(3^x)^3(-1) + 6(3^x)^2(-1)^2 + 4(3^x)(-1)^3 + (-1)^4 \\ & = (9^x)^2-4(3^x)(3^x)^2+6(3^x)^2-4(3^x) + 1 \\ & = (9^x)\color{blue}{(9^x)}-4(3^x)\color{blue}{(9^x)}+6\color{blue}{(9^x)}-4(3^{-x})\color{blue}{(9^x)} + \color{blue}{(9^{x})}(9^{-x}) \\ & = \color{blue}{9^x}\color{red}{\left(9^x-4 \cdot 3^x + 6-\dfrac{4}{3^x}+\dfrac{1}{9^x}\right)} \end{aligned}$$Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas sama dengan ruas kiri persamaan pada soal di atas, sehingga kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} 9^x-4 \cdot 3^x + 6-\dfrac{4}{3^x}+\dfrac{1}{9^x} & = 0 \\ \dfrac{1}{9^x}(3^x-1)^4 & = 0 \end{aligned}$$Persamaan $\dfrac{1}{9^x} = 0$ tidak memiliki penyelesaian untuk setiap bilangan real $x$. Oleh karena itu, satu-satunya penyelesaian adalah dari persamaan $(3^x-1)^4 = 0$, yaitu $3^x = 1 \Rightarrow x = 0$. Dengan kata lain, hanya ada $1$ nilai $x$ yang memenuhi.
Jadi, jumlah semua nilai real $x$ yang menjadi penyelesaian persamaan tersebut adalah $\boxed{0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x}-34(15^{x-1}) + 5^{2x} = 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                   C. $1$                    E. $5$
B. $0$                      D. $2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned}3^{2x}-34(15^{x-1}) + 5^{2x} & = 0 \\ (3^x)^2-34 \cdot 3^{x-1} \cdot 5^{x-1} + (5^x)^2 & = 0 \\ (3^x)^2-34 \cdot \dfrac{3^x}{3} \cdot \dfrac{5^x}{5} + (5^x)^2 & = 0 \\ (3^x)^2-\dfrac{34 \cdot 3^x \cdot 5^x}{15} + (5^x)^2 & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $m = 3^x$ dan $n = 5^x$, maka kita peroleh $m^2-\dfrac{34}{15}mn + n^2 = 0$. Anggap ini sebagai persamaan kuadrat dengan variabel $m$. Berdasarkan rumus ABC dengan $a = 1$, $b = -\dfrac{34}{15}n$, dan $c = n^2$, diperoleh akar penyelesaiannya, yaitu
$$\begin{aligned} m & = \dfrac{\dfrac{34}{15}n \pm \sqrt{\left(-\dfrac{34}{15}n\right)^2-4(1)(n^2)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{\dfrac{34}{15}n \pm \sqrt{\dfrac{2^2 \cdot 17^2 \cdot n^2}{15^2}-4n^2}}{2} \\ & = \dfrac{\dfrac{34}{15}n \pm \sqrt{4n^2 \left(\dfrac{17^2}{15^2}-1\right)}}{2} \\ & = \dfrac{\dfrac{34}{15}n \pm 2n\sqrt{\dfrac{17^2-15^2}{15^2}}}{2} \\ & = \dfrac{\dfrac{34}{15}n \pm 2n\sqrt{\dfrac{8^2}{15^2}}}{2} \\ & = \dfrac{\dfrac{34}{15}n \pm 2n \cdot \dfrac{8}{15}}{2} \\ & = \dfrac{17}{15}n \pm \dfrac{8}{15}n \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh dua nilai $m$, yaitu sebagai berikut.
($+$)
$\begin{aligned} m & = \dfrac{17}{15}n + \dfrac{8}{15}n = \dfrac{25}{15}n \\ m & = \dfrac53n \\ 3^x & = \dfrac53 \cdot 5^x \\ 3^{x+1} & = 5^{x+1} \end{aligned}$
Persamaan terakhir terpenuhi hanya pada saat $x_1 = -1$.
($-$)
$\begin{aligned} m & = \dfrac{17}{15}n- \dfrac{8}{15}n = \dfrac{9}{15}n \\ m & = \dfrac35n \\ 3^{x}& = \dfrac35 \cdot 5^x \\ 3^{x-1} & = 5^{x-1} \end{aligned}$
Persamaan terakhir terpenuhi hanya pada saat $x_2 = 1$.
Jadi, jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x_1+x_2 = -1+1=0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponen berikut dengan menyatakan hasilnya sebagai pecahan desimal (bulatkan sampai 3 angka di belakang koma).
$$2^{16^x} = 16^{2^x}$$

Pembahasan

Samakan basisnya dengan menggunakan fakta bahwa $16 = 2^4$, lalu selesaikan dengan menyamakan pangkatnya. Prosedur ini akan dilakukan sampai dua kali agar diperoleh persamaan linear.
$$\begin{aligned} 2^{16^x} & = 16^{2^x} \\ 2^{16^x} & = (2^4)^{2^x} \\ 2^{\color{blue}{16^x}} & = 2^{\color{blue}{4 \cdot 2^x}} \\ \color{blue}{16^x} & = \color{blue}{4 \cdot 2^x} \\ (2^4)^x & = 2^2 \cdot 2^x \\ 2^{\color{red}{4x}} & = 2^{\color{red}{2+x}} \\ \color{red}{4x} & =\color{red}{2+x} \\ 3x & = 2 \\ x & = \dfrac23 \approx 0,667 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{0,667}$

[collapse]