Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

Berikut ini merupakan soal mengenai pangkat, akar, dan logaritma bagian 2 (soal dengan tingkat HOTS dan Olimpiade) yang dikutip dari berbagai sumber referensi. Soal-soal berikut masing-masing telah disediakan pembahasannya.
Pelajari juga:
Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Bagian 1)

Soal Nomor 1
Tentukan hasil dari
\dfrac{3^{2014} - 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5}

Penyelesaian

Dengan menggunakan pemfaktoran, kita peroleh
\begin{aligned} \dfrac{3^{2014} - 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} & = \dfrac{3^{2011}(3^3 - 1) + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26 \cdot 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26(\cancel{3^{2011} + 5})}{\cancel{3^{2011} + 5}} \\ & = 26 \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{\dfrac{3^{2014} - 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} = 26}

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui persamaan:
\begin{aligned} ^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] & = ^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] \\ & = ^5 \log [^2 \log (^3 \log c)] = 0 \end{aligned}
Nilai a + b + c = \cdots

Penyelesaian

Ingatlah sifat logaritma berikut. 
\boxed{\begin{aligned} ^a \log a & = 1 \\ ^a \log 1 & = 0 \\ ^a \log a^n & = n \end{aligned}}
Tinjau persamaan ^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] = 0. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
\begin{aligned} ^3 \log (^5 \log a) & = 1 \\ ^5 \log a & = 3 \\ a & = 5^3 = 125 \end{aligned}
Tinjau persamaan ^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] = 0. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
\begin{aligned} ^5 \log (^2 \log b) & = 1 \\ ^2 \log b & = 5 \\ b & = 2^5 = 32 \end{aligned}
Tinjau persamaan ^5 \log [^2 \log (^3 \log a)] = 0. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
\begin{aligned} ^2 \log (^3 \log c) & = 1 \\ ^3 \log c & = 2 \\ c & = 3^2 = 9 \end{aligned}
Dengan demikian, 
\boxed{a+b+c = 125+32+9= 166}

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}

Penyelesaian

Faktorkan penyebutnya, sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} & \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^{16}-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}} {\cancel{(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)} (2-1)} \\ & = \dfrac{1}{2-1} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1} adalah \boxed{1}

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika (5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) = 5^x-2^y, maka nilai x+y = \cdots

Penyelesaian

\begin{aligned} & (5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) \\ & = \dfrac{\cancel{5^2-4^2}}{5-4} \cdot \dfrac{\bcancel{5^4-4^4}}{\cancel{5^2-4^2}} \cdot \dfrac{5^8-4^8}{\bcancel{5^4-4^4}} \\ & = \dfrac{5^8-4^8}{5-4} \\ & = 5^8-4^8 = 5^8 - 2^{16} \end{aligned}
Jadi, diperoleh x = 8 dan y = 16, sehingga \boxed{x+y=8+16 = 24}

[collapse]

Soal Nomor 5
Bilangan real positif a, b, dan c memenuhi: a^{^3 \log 7} = 27, b^{^7 \log 11} = 49, dan c^{^{11} \log 25} = \sqrt{11}. Tentukan hasil dari
a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2}

Penyelesaian

Ingat sifat logaritma: \boxed{a^{^a \log b} = b}
Perhatikan bahwa:
\begin{aligned} a^{(^3 \log 7)^2} & = \left[a^{^3 \log 7}\right]^{^3 \log 7} \\ & = 27^{^3 \log 7} \\ & = (3^3)^{^3 \log 7} \\ & = 3^{^3 \log 7^3} = 7^3 = 343 \end{aligned}
Dengan prinsip yang sama, diperoleh
\begin{aligned} b^{(^7 \log 11)^2} & = \left[b^{^7 \log 11}\right]^{^7 \log 11} \\ & = 49^{^7 \log 11} \\ & = (7^2)^{^7 \log 11} \\ & = 7^{^7 \log 11^2} = 11^2 = 121 \end{aligned}
\begin{aligned} c^{(^{11} \log 25)^2} & = \left[c^{^{11} \log 25}\right]^{^11 \log 25} \\ & = (\sqrt{11})^{^{11} \log 25} \\ & = (11^{\frac{1}{2})^{^{11} \log 25} \\ & = 11^{^{11} \log 25^{\frac{1}{2}}} = 25^{\frac{1}{2}} = 5 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\boxed{\begin{aligned} & a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2} \\ & = 343+121+5 = 469 \end{aligned}}

[collapse]

Soal Nomor 6 
Misal a,b,c, dan d adalah bilangan bulat positif yang memenuhi ^a \log b^2 = 3 dan ^c \log d^4 = 5, serta a-c=9, maka b-d=\cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa,
\begin{aligned} & ^a \log b^2 = 3 \iff a^3 = b^2 \iff a = b^{\frac{2}{3}} \\ & ^c \log d^4 = 5 \iff c^5 = d^4 \iff c = d^{\frac{4}{5}} \end{aligned}
Karena a dan c harus berupa bilangan bulat positif, maka b dan d haruslah memenuhi persyaratan berikut.
b harus berupa bilangan kubik: 1, 8, 27, 64, 125, \cdots
Ini mengakibatkan nilai a berturut-turut adalah: 1, 4, 9, 16, 25, \cdots
d merupakan bilangan hasil pangkat lima: 1, 32, 243, 1.024, 3.125, \cdots
Ini mengakibatkan nilai c berturut-turut adalah: 1, 16, 81, 256, 625, \cdots
Karena diberikan a-c=9, maka nilai a dan c berturut-turut yang mungkin adalah 25 dan 16.
Jika a = 25, maka b = 125, sedangkan jika c = 16, maka d = 32, sehingga \boxed{b - d = 125 - 32 = 93}.

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika 9^x + 9^{-x} - 3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 = 0, maka 3^x - 3^{-x} adalah \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\begin{aligned} 9^x + 9^{-x} - 3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} - 9 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^{-x} - 16 \end{aligned}
Selanjutnya,
\begin{aligned} (3^x - 3^{-x})^2 & = (3^{2x} + 3^{-2x}) - 2 \\ & = (9 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^{-x} - 16) - 2 \\ & = 9(3^x - 3^{-x}) - 18 \end{aligned}
Sekarang, misalkan 3^x - 3^{-x} = a, maka
\begin{aligned} a^2 & = 9a - 18 \\ a^2 - 9a + 18 & = 0 \\ (a - 6)(a-3) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh a = 6 \lor a = 3
Ini berarti, \boxed{3^x - 3^{-x} = 6} atau \boxed{3^x - 3^{-x} = 3}

[collapse]

Soal Nomor 8
Sederhanakanlah
\begin{aligned} (\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) & (\sqrt{5} + \sqrt{6} - \sqrt{7}) \\ & (\sqrt{5} - \sqrt{6} + \sqrt{7}) (-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) \end{aligned}

Penyelesaian

Gunakan sifat pemfaktoran a^2-b^2 = (a+b) (a-b) dan juga (a \pm b)^2 = a^2+b^2 \pm 2ab untuk menyederhanakan bentuk akar di atas. 
Perhatikan bahwa, 
\begin{aligned} & (\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) (\sqrt{5} + \sqrt{6} - \sqrt{7}) \\ & = (\sqrt{5}+\sqrt{6})^2 - (\sqrt{7})^2 \\ & = (5 + 6 + 2\sqrt{30}) - 7 \\ & = 4 + 2\sqrt{30} \end{aligned}
Selanjutnya, 
\begin{aligned} & (\sqrt{5} - \sqrt{6} + \sqrt{7}) (-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) \\ & = [\sqrt{7} + (\sqrt{5} - \sqrt{6})][\sqrt{7} - (\sqrt{5} - \sqrt{6})] \\ & = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{6})^2 \\ & = 7 - (5 + 6 - 2\sqrt{30}) \\ & = -4 + 2\sqrt{30} \end{aligned}
Jadi, bentuk akar pada soal dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} (4+2\sqrt{30}) (-4+2\sqrt{30}) & = (2\sqrt{30})^2 - 4^2 \\  & = 120 - 16 = 104 \end{aligned}
Dengan demikian, bentuk sederhananya adalah \boxed{104}

[collapse]

Soal Nomor 9
Carilah nilai
\dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2 - 1.991^2 - 1.992^2- 1.993^2}{2^7 \cdot 5^2}

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pemfaktoran: \boxed{a^2-b^2=(a+b) (a-b)}, diperoleh
\begin{aligned} & \dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2 - 1.991^2 - 1.992^2- 1.993^2}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.009^2-1.991^2)+(2.008^2-1.992^2)+(2.007^2-1.993^2)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.007+1.993)(2.007-1993)+(2.008+1.992)(2.008-1.992)}{2^7 \cdot 5^2}\\ & +\dfrac{(2.009+1.991)(2.009-1.991)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{4.000(14+16+18)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 1.000 \cdot 48}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 2 \cdot 500 \cdot 2^4 \cdot 3}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2} \cdot 20 \cdot 3}{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2}} \\ & = 20 \cdot 3 = 60 \end{aligned}
Jadi, nilai dari bentuk tersebut adalah \boxed{60}

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika A = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1, carilah nilai \left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50}

Penyelesaian

Pandang
\begin{aligned} A & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1 \\ \sqrt[5]{2}A & = \underbrace{\sqrt[5]{32}}_{= 2} + \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + 1 \\ & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 2 \\ & \noindent \rule{4 cm}{0.8 pt}~- \\  (1 - \sqrt[5]{2})A & = -1 \Rightarrow A = \dfrac{1}{\sqrt[5]{2} - 1} \\  \dfrac{1}{A} & = \sqrt[5]{2} - 1 \\  \dfrac{1}{A} + 1 & = \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}} \end{aligned}
Jadi, \boxed{\left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50} = (2^{\frac{1}{5}})^{50} = 2^{10} = 1.024}

[collapse]

Soal Nomor 11
Misalkan x, y, z > 1 dan w > 0. Jika ^x \log w = 4, ^y \log w = 5, dan ^{xyz} \log w = 2, maka nilai dari ^z \log w adalah \cdots

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} ^x \log w & = 4 \iff ^w \log x = \dfrac{1}{4} \\ ^y \log w & = 5 \iff ^w \log y = \dfrac{1}{5} \end{aligned}
Dengan menerapkan sifat logaritma pada persamaan ^{xyz} \log w = 2, didapat
\begin{aligned} ^{xyz} \log w & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w \log (xyz)} & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w log x + ^w \log y + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z & = \dfrac{1}{2} \\ ^w \log z & = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} \\ ^w \log z & = \dfrac{10-5-4}{20} = \dfrac{1}{20} \\ ^z \log w = 20 \end{aligned}
Jadi, nilai dari ^z \log w adalah \boxed{20} 

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui
\begin{aligned} a \log 2 + b \log 3 + c \log 5 &  + d \log 7 + e \log 9 + \\ &  f \log 11 = 2013 \end{aligned}
Tentukan nilai dari a + b + c + d + e + f

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat logaritma
\begin{aligned} n \cdot ^a \log b & = ^a \log b^n \\ ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \end{aligned}
diperoleh
\begin{aligned} & a \log 2 + b \log 3 + c \log 5 + d \log 7 + e \log 9 +  f \log 11 = 2013 \\ & \log 2^a + \log 3^b + \log 5^c + \log 7^d + \log 9^e + \log 11^f  = 2013 \\ & \log (2^a3^b5^c7^d9^e11^f) = 2013 \\ & 2^a3^b5^c7^d9^e11^f = 10^{2013} \\ & 2^a3^b5^c7^d9^e11^f  = 2^{2013} \cdot 5^{2013} \end{aligned}
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai a = 2013, b = 0, c = 2013, d = 0, e = 0, dan f = 0
Jadi, nilai dari 

\begin{aligned} & a+b+c+d+e+f \\ & =2013+0+2013+0+0+0=4026 \end{aligned}  

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika 6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) = 3^{43}, maka nilai a adalah \cdots
A. \dfrac{1}{8}    B. \dfrac{1}{4}    C. 4       D. 8      E. 16

Penyelesaian

Misalkan ^2 \log a = x, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi 6(3^{40})x + 3^{41}x = 3^{43}.
Bagi kedua ruasnya dengan 3^{40}, kemudian sederhanakan untuk mencari nilai x.
\begin{aligned} \dfrac{6(\cancel{3^{40}})x}{\cancel{3^{40}}} + \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{41}}x}{\cancel{3^{40}}} & = \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{43}}}{\cancel{3^{40}}} \\ 6x + 3x & = 3^3 = 27 \\ 9x & = 27 \\ x & = 3 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh ^2 \log a = 3 sehingga a = 2^3 = 8. Jadi, nilai a adalah \boxed{8} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Buktikan bahwa ^2 \log 3 adalah bilangan irasional.

Penyelesaian

Dengan menggunakan pembuktian kontradiksi, andaikan ^2 \log 3 adalah bilangan rasional.
Misalkan x = ^2 \log 3 = \dfrac{a}{b}. Karena x > 0, maka a dan b dapat diasumsikan sebagai suatu bilangan bulat positif.
Perhatikan bahwa, x = ^2 \log 3 \iff 2^x = 3 (sesuai dengan definisi logaritma). Ini berarti, 2^{\frac{a}{b}} = 3, sehingga 2^a = 3^b.
Jika a, b bilangan bulat positif, maka 2^a adalah bilangan genap, sedangkan 3^b adalah bilangan ganjil. Ini jelas kontradiksi, sehingga pengandaian harus diingkari. Jadi, terbukti bahwa ^2 \log 3 adalah bilangan irasional. \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui N = \dfrac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}
Carilah nilai dari (N + 1)^{48}

Penyelesaian

Kalikan N dengan \dfrac{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[8]{5} - 1)(\sqrt[16]{5} - 1)}{(\sqrt{5} -1)(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[8]{5} - 1)(\sqrt[16]{5} -1)}} sehingga nantinya diperoleh
\begin{aligned} N & = \dfrac{\bcancel{4}\cancel{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[8]{5} - 1)} (\sqrt[16]{5} - 1)}{\bcancel{(5-1)} \cancel{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[8]{5} - 1)} } \\ & = \sqrt[16]{5} - 1 \end{aligned}
Dengan demikian,
\boxed{N + 1 = \sqrt[16]{5} \Rightarrow (N+1)^{48} = (5^{\frac{1}{16}})^{48} = 5^3 = 125}

[collapse]

Soal Nomor 16
Bila x = \sqrt{19-18\sqrt{3}}, carilah nilai \dfrac{x^4 - 6x^3 - 2x^2 + 18x + 23}{(x-4)^2+1}

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 17
Sederhanakan: \dfrac{\sqrt[4]{86 - 14\sqrt{37}}}{\sqrt{9 - 2\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}} - \sqrt{6 + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}}

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 18
Sederhanakan bentuk dari

\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}

Penyelesaian

Rasionalkan tiap sukunya sebagai berikut.
\begin{aligned} \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} & = \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} \times \dfrac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = -1 + \sqrt{2} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} & = \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = -\sqrt{2} + \sqrt{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} & = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} \times \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{\sqrt{3} - \sqrt{4}} = -\sqrt{3} + \sqrt{4} \\ \cdots \cdots \cdots & \cdots \cdots  \\ \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} & = \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} \times \dfrac{\sqrt{99} - \sqrt{100}}{\sqrt{99} - \sqrt{100}} \\ & = -\sqrt{99} + \sqrt{100} \end{aligned}
Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} & \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} \\ & = (-1 + \cancel{\sqrt{2}}) + (\cancel{-\sqrt{2}} + \cancel{\sqrt{3}}) + (\cancel{-\sqrt{3}} + \cancel{\sqrt{4}}) + \\ & \cdots + (\cancel{-\sqrt{99}} + \sqrt{100}) \\ & = -1 + \sqrt{100} = 9 \end{aligned}

[collapse]

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{SELAMAT BELAJAR}}

Ayo Beri Rating Postingan Ini