Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SMP)

Materi lingkaran ini merupakan materi lanjutan karena siswa telah mempelajarinya saat Sekolah Dasar (SD). Sebelumnya, telah dipelajari mengenai unsur-unsur lingkaran, keliling, dan luas lingkaran, termasuk juga tentang luas juring. Oleh karena itu, siswa sebaiknya memahami kembali materi dasar tersebut dan mengerjakan soal-soal terkait yang telah dirangkum dalam tautan berikut.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SD)

Kendati demikian, beberapa soal tetap memuat kompetensi pencapaian yang sama, tetapi beberapa lainnya melibatkan penggunaan aljabar dan Teorema Pythagoras.

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai permasalahan dalam lingkaran (tingkat SMP, tepatnya dipelajari saat kelas 8) termasuk mengenai luas arsiran, panjang busur, luas juring, dan sebagainya. Terkhusus untuk Teorema Ptolemy akan dijelaskan pada postingan di tautan berikut.

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Teorema Ptolemy

Quote by Bob Marley

Uang hanyalah angka dan angka tak pernah ada habisnya. Jika uang membuatmu bahagia,maka usahamu mencari kebahagiaan tidak akan pernah berakhir.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Perhatikan gambar berikut.

$ABCD$ merupakan persegi dengan panjang sisi $50~\text{cm}$. Di dalamnya terdapat sebuah lingkaran. Luas daerah yang diarsir warna kuning adalah $\cdots~\text{cm}^2$. $(\pi = 3,14)$
A. $1225,5$                    C. $1337,5$
B. $1335,5$                    D. $1412,5$

Pembahasan

Panjang diameter lingkaran sama dengan panjang sisi persegi, yaitu $d = 50~\text{cm}$, dan panjang jari-jarinya $r=25~\text{cm}$.
Luas lingkaran dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{\text{O}} & = \pi r^2 \\ & = 3,14 \times (25)^2 \\ & = 1.962,5~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Dua segitiga siku-siku di dalamnya kongruen (sama dan sebangun). Bila digabungkan, akan membentuk sebuah persegi dengan panjang sisinya sama dengan panjang jari-jari, yakni $25~\text{cm}$.
Luasnya sama dengan $L_{\square} = 25^2 = 625~\text{cm}^2$.
Luas daerah yang diarsir warna kuning sama dengan luas lingkaran dikurangi dua kali luas segitiga, yaitu
$\boxed{L = 1.962,5-625 = 1337,5~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran (Tingkat SMP)

Soal Nomor 2
Panjang jarum menitan sebuah jam adalah $20~\text{cm}$. Jarum itu bergerak selama $25$ menit. Panjang lintasan yang dilalui ujung jarum itu dengan $\pi = 3,14$ adalah $\cdots \cdot$

A. $26,17~\text{cm}$                C. $261,7~\text{cm}$
B. $52,3~\text{cm}$                  D. $523,3~\text{cm}$

Pembahasan

Panjang jarum menit mewakili panjang jari-jari lingkaran. Perhatikan bahwa besar sudut yang terbentuk dari perpindahan jarum menit selama waktu $25$ menit adalah $\dfrac{25}{\cancel{60^{\circ}}} \times \cancelto{6}{360^{\circ}} = 150^{\circ}$.
Panjang lintasan yang ditempuh sama dengan panjang busurnya.
$\begin{aligned} P_b & = \dfrac{150^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r \\ & = \dfrac{5}{12} \times 2 \cdot 3,14 \times 20 \approx 52,3~\text{cm} \end{aligned}$
Catatan: Simbol $\approx$ dibaca: kira-kira.
Jadi, panjang lintasan yang dilalui ujung jarum itu adalah $\boxed{52,3~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada gambar di bawah, besar $\angle AOB = 72^{\circ}$ dan panjang $OA = 21~\text{cm}$. Luas juring $AOB$ adalah $\cdots \cdot$

A. $13,2~\text{cm}^2$                C. $132~\text{cm}^2$
B. $69,3~\text{cm}^2$                D. $277,2~\text{cm}^2$

Pembahasan

Luas juring $AOB$ dengan sudut $72^{\circ}$ dan jari-jari $r = 21~\text{cm}$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \textbf{L}_{AOB} & = \dfrac{72^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times r \times r \\ & = \dfrac15 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{3}{21} \times 21 \\ & = \dfrac{22 \times 3 \times 21}{5} = 277,2~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas juring $AOB$ adalah $\boxed{277,2~\text{cm}^2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan gambar berikut.

Daerah I adalah juring lingkaran dengan sudut pusat $50^{\circ}$, sedangkan daerah II adalah juring lingkaran dengan sudut pusat $120^{\circ}$. Perbandingan luas daerah I dan II adalah $\cdots \cdot$
A. $5 : 12$                   C. $5 : 36$
B. $12 : 5$                   D. $17 : 36$

Pembahasan

Semakin besar sudut pusat juringnya, maka luas juringnya juga semakin besar (berbanding lurus). Karena itu, perbandingan luas daerah I dan II ditentukan oleh sudut pusat juring, yakni
$L_I : L_{II} = 50^{\circ} : 120^{\circ} = 5 : 12$
Jadi, perbandingan luas daerah I dan II adalah $\boxed{5 : 12}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Pada gambar di bawah, luas juring $OPQ = 18,84~\text{cm}^2$ dan besar $\angle POQ = 60^{\circ}$. Untuk $\pi = 3,14$, panjang jari-jari $OP$ adalah $\cdots \cdot$

A. $6~\text{cm}$                 C. $18~\text{cm}$
B. $9~\text{cm}$                 D. $36~\text{cm}$

Pembahasan

Berdasarkan rumus luas juring, kita peroleh
$\begin{aligned} \textbf{L}_{POQ} & = \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 \\ 18,84 & = \dfrac16 \times 3,14 \times r^2 \\ r^2 & = \dfrac{\cancelto{6}{18,84} \times 6}{\cancel{3,14}} \\ r & = 6~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari lingkaran $OP$ adalah $\boxed{6~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Pada gambar di bawah, panjang busur $PQ = 84,78~\text{cm}$ dan besar $\angle POQ = 108^{\circ}$. Untuk $\pi=3,14$, panjang jari-jari $OP$ adalah $\cdots \cdot$

A. $8,1~\text{cm}$                     C. $45~\text{cm}$
B. $16,2~\text{cm}$                   D. $90~\text{cm}$

Pembahasan

Dengan menggunakan rumus mencari panjang busur lingkaran, akan kita cari nilai $r$ (panjang jari-jari).
$\begin{aligned} \textbf{Pb} & = \dfrac{108^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r \\ 84,78 & = \dfrac{3}{\cancelto{5}{10}} \times \cancel{2} \times 3,14 \times r \\ 84,78 & = \dfrac35 \times 3,14 \times r \\ r & = \dfrac{84,78}{3,14} \times \dfrac53 \\ r & = \cancelto{9}{27} \times \dfrac{5}{\cancel{3}} = 45~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari $OP$ adalah $\boxed{45~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Cara Menghitung Luas Daun Beraturan dalam Matematika

Soal Nomor 7
Pada gambar di bawah, panjang busur $AB = 12,56~\text{cm}$. Luas juring $AOB$ adalah $\cdots \cdot$

A. $28,26~\text{cm}^2$               C. $113,04~\text{cm}^2$
B. $50,24~\text{cm}^2$               D. $452,16~\text{cm}^2$

Pembahasan

Pertama, cari dulu panjang jari-jari lingkaran.
$\begin{aligned} \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} & = \dfrac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r \\ 12,56 & = \dfrac19 \times 2 \times 3,14 \times r \\ 12,56 & = \dfrac19 \times 6,28 \times r \\ \dfrac{12,56}{6,28} \times 9 & = r \\ r & = 18~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari luas juring $AOB$.
$\begin{aligned} \textbf{L}_{AOB} & = \dfrac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 \\ & = \dfrac{1}{\cancel{9}} \times 3,14 \times \cancelto{2}{18} \times 18 \\ & = 113,04~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas juring $AOB$ adalah $\boxed{113,04~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Perhatikan gambar berikut.

Diketahui luas juring $KPN = 220~\text{cm}^2$. Luas juring $LPM$ adalah $\cdots \cdot$
A. $205~\text{cm}^2$                   C. $155~\text{cm}^2$
B. $165~\text{cm}^2$                   D. $145~\text{cm}^2$

Pembahasan

Dengan menggunakan perbandingan sudut, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{\textbf{L}_{KPN}}{\textbf{L}_{LPM}} & = \dfrac{\angle KPN}{\angle LPM} \\ \dfrac{220}{\textbf{L}_{LPM}} & = \dfrac{60^{\circ}}{45^{\circ}} \\ \dfrac{220}{\textbf{L}_{LPM}} & = \dfrac{4}{3} \\ \textbf{L}_{LPM} & = \dfrac{\cancelto{55}{220} \times 3}{\cancel{4}} = 165~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas juring $LPM$ adalah $\boxed{165~\text{cm}^2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Pada gambar di bawah, besar $\angle AOB = 30^{\circ}$, panjang $OB = 18~\text{cm}$, dan $BD = 6~\text{cm}$. Keliling daerah yang diarsir dengan $\pi = 3,14$ adalah $\cdots \cdot$

A. $10,99~\text{cm}$                  C. $22,99~\text{cm}$
B. $21,98~\text{cm}$                  D. $33,98~\text{cm}$

Pembahasan

Pertama, kita cari dulu panjang busur $AB$ berdasarkan juring lingkaran berjari-jari $18~\text{cm}$ dan sudutnya $30^{\circ}$.
$\begin{aligned} \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} & = \dfrac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \pi r \\ & = \dfrac{1}{\cancel{12}} \times \cancel{2} \times 3,14 \times \cancelto{3}{18} \\ & = 3,14 \times 3 = 9,42~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, cari panjang busur $CD$ berdasarkan juring lingkaran berjari-jari $24~\text{cm}$ dan sudutnya juga $30^{\circ}$.
$\begin{aligned} \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{CD} & = \dfrac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \pi r \\ & = \dfrac{1}{\cancel{12}} \times 2 \times 3,14 \times \cancelto{2}{24} \\ & = 3,14 \times 4 = 12,56~\text{cm} \end{aligned}$
Keliling daerah yang diarsir (keliling $BDCA$) adalah
$\begin{aligned} \textbf{k}_{BDCA} & = BD + \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{CD} + AC + \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} \\ & = 6 + 12,56+ 6 + 9,42 \\ & = 33,98~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, keliling daerah yang diarsir adalah $\boxed{33,98~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Soal Nomor 10
Pada gambar di bawah, luas daerah yang diarsir untuk $\pi=\dfrac{22}{7}$ adalah $\cdots \cdot$

A. $231~\text{cm}^2$                 C. $616~\text{cm}^2$
B. $385~\text{cm}^2$                 D. $770~\text{cm}^2$

Pembahasan

Luas daerah yang diarsir sama dengan luas juring berjari-jari $28+14 = 42~\text{cm}$ dan bersudut $45^{\circ}$ dikurangi dengan luas juring berjari-jari $28~\text{cm}$ dan sudutnya juga $45^{\circ}$.
$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_B-L_K \\ & = \dfrac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r_B^2- \dfrac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r_K^2 \\ & = \dfrac18 \times \dfrac{22}{7}(r_B^2-r_K^2) \\ & = \dfrac18 \times \dfrac{22}{7}(r_B+r_K)(r_B-r_K) \\ & = \dfrac18 \times \dfrac{22}{7}(42+28)(42-28) \\ & = \dfrac18 \times \dfrac{22}{\cancel{7}}(\cancelto{10}{70})(14) \\ & = \dfrac{22 \times 10 \times 14}{8} = 385~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir sama dengan $\boxed{385~\text{cm}^2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Lingkaran $A$ memiliki diameter $d$. Lingkaran $B$ memiliki panjang diameter tiga kalinya dari lingkaran $A$. Lingkaran $C$ memiliki jari-jari yang panjangnya setengah kali dari lingkaran $B$. Perbandingan luas lingkaran $A, B$, dan $C$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4 : 36 : 9$                   C. $2 : 6 : 3$
B. $1 : 3 : 2$                     D. $3 : 9 : 4$

Pembahasan

Lingkaran $A$ berdiameter $d$, atau berjari-jari $\dfrac{d}{2}$.
Lingkaran $B$ berdiameter $3d$, atau berjari-jari $\dfrac{3d}{2}$.
Lingkaran $C$ berjari-jari $\dfrac12 \times \dfrac{3d}{2} = \dfrac{3d}{4}$.
Perbandingan luas lingkaran $A, B$, dan $C$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L_A : L_B : L_C & = \pi (r_A)^2 : \pi (r_B)^2 : \pi (r_C)^2 \\ & = \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 : \left(\dfrac{3d}{2}\right)^2 : \left(\dfrac{3d}{4}\right)^2 \\ & = \dfrac{d^2}{4} : \dfrac{9d^2}{4} : \dfrac{9d^2}{16} \\ \text{Kalikan ketiga}&~\text{sisi dengan}~16 \\ & = 4d^2 : 36d^2 : 9d^2 \\ & = 4 : 36 : 9 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas lingkaran $A, B$, dan $C$ adalah $\boxed{4 : 36 : 9}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Pada gambar di bawah, panjang $OC = 20~\text{cm}$ dan $CE=8~\text{cm}$. Panjang tali busur $AB$ adalah $\cdots \cdot$

A. $16~\text{cm}$                   C. $32~\text{cm}$
B. $24~\text{cm}$                   D. $40~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui $OC = 20~\text{cm}$ dan $CE = 8~\text{cm}$, berarti $OE = 20-8= 12~\text{cm}$.
Perhatikan bahwa panjang $OB$ dan $OA$ sama dengan panjang $OC$, yaitu $20~\text{cm}$, karena merupakan jari-jari lingkaran.
Pada segitiga siku-siku $OEB$ berlaku Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} BE & = \sqrt{OB^2-OE^2} \\ & = \sqrt{20^2-12^2} \\ & = \sqrt{400-144} \\ & = \sqrt{256} = 16~\text{cm} \end{aligned}$
Panjang $EA$ juga sama, yaitu $16~\text{cm}$. Dengan demikian, panjang tali busur $AB$ adalah $\boxed{16+16=32~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Dari lingkaran di bawah, $QR$ merupakan diameter, panjang $PQ = 9~\text{cm}$, dan $PR=12~\text{cm}$. Luas daerah yang diarsir dengan menggunakan $\pi = 3,14$ adalah $\cdots \cdot$

A. $34,3125~\text{cm}^2$                 C. $122,625~\text{cm}^2$
B. $80,625~\text{cm}^2$                   D. $299,25~\text{cm}^2$

Pembahasan

Karena $\triangle RPQ$ merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} RQ & = \sqrt{PR^2+PQ^2} \\ & = \sqrt{12^2+9^2} \\ & = \sqrt{144+81} \\ & = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $RQ$ merupakan diameter lingkaran sehingga panjang jari-jari lingkaran adalah $r = \dfrac12 \cdot RQ = \dfrac{15}{2}= 7,5 ~\text{cm}$.
Untuk mencari luas daerah yang diarsir, kurangi luas setengah lingkaran dengan luas segitiga $RPQ$.
Luas lingkaran sama dengan
$\begin{aligned} \textbf{L}_{\text{O}} & = \dfrac12 \times \pi \times r^2 \\ & = \dfrac12 \times 3,14 \times (7,5)^2 \\ & = 88,3125~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas $\triangle RPQ$ sama dengan
$\begin{aligned} \textbf{L}_{\triangle RPQ} & = \dfrac{RP \times PQ}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{6}{12} \times 9}{\cancel{2}} = 54~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas arsiran sama dengan
$\boxed{\textbf{L} = 88,3125-54 = 34,3125~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Pada gambar di bawah, panjang $PQ = 16~\text{cm}$ dan $QR=12~\text{cm}$. Luas daerah yang diarsir untuk $\pi=3,14$ adalah $\cdots \cdot$

A. $122~\text{cm}^2$                 C. $1.064~\text{cm}^2$
B. $258~\text{cm}^2$                 D. $1.200~\text{cm}^2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\triangle PQR$ merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} PR & = \sqrt{PQ^2 + QR^2} \\ & = \sqrt{16^2 + 12^2} \\ & = \sqrt{256+144} \\ & = \sqrt{400} = 20~\text{cm} \end{aligned}$
$PR$ sendiri adalah diameter lingkaran sehingga jari-jarinya adalah $r = \dfrac12 \times 20 = 10~\text{cm}$.
Luas lingkaran dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \textbf{L}_{\text{O}} & = \pi \times r^2 \\ & =3,14 \times (10)^2 \\ & = 314~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas persegi panjang $PQRS$ sama dengan
$\begin{aligned} \textbf{L}_{PQRS} & = PQ \times QR \\ & = 16 \times 12 = 192~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas arsiran sama dengan
$\boxed{\textbf{L} = 314-192 = 122~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 15
Perhatikan gambar segitiga dalam setengah lingkaran berikut.

$\triangle ABC$ merupakan segitiga siku-siku sama kaki yang kelilingnya $(28+28\sqrt2)~\text{cm}$. Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot$
A. $94~\text{cm}^2$                   D. $112~\text{cm}^2$
B. $96~\text{cm}^2$                   E. $152~\text{cm}^2$
C. $100~\text{cm}^2$

Pembahasan

Misalkan $AB = AC = x$, sehingga pada segitiga siku-siku $ABC$ berlaku rumus Pythagoras bahwa
$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + AC^2 \\ & = x^2 + x^2 \\ AC & = x\sqrt{2} \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} x+x+x\sqrt2 & = 28+28\sqrt2 \\ x(1+1+\sqrt2)& = 28 +28\sqrt2 \\ x & = \dfrac{28+28\sqrt2}{2+\sqrt2} \color{red}{\times \dfrac{2-\sqrt2}{2-\sqrt2}} \\ & = \dfrac{\cancel{2}(14+14\sqrt2)(2-\sqrt2)}{\cancel{4-2}} \\ & = (14+14\sqrt2)(2-\sqrt2) \\ & = 28-14\sqrt2+28\sqrt2-28 \\ & = 14\sqrt2 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $AC = x\sqrt2 = 28~\text{cm}$ merupakan diameter lingkaran. Jari-jarinya adalah $r = 14~\text{cm}$. Luas daerah yang diarsir merupakan selisih luas setengah lingkaran dengan luas segitiga $ABC$.
$$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = \dfrac12\pi r^2-\dfrac12(AB)(BC) \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac{22}{\cancel{7}} \cdot \cancelto{2}{14} \cdot 14-\dfrac12(14\sqrt2)(14\sqrt2) \\ & = 11(2)(14)-(98)(2) \\ & = 308-196 = 112~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir tersebut adalah $\boxed{112~\text{cm}^2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Perhatikan gambar berikut.

Persegi $ABCD$ memiliki panjang sisi $10~\text{cm}$. Sebuah lingkaran melalui titik $A$ dan $C$ serta menyinggung sisi $BD$. Luas lingkaran tersebut adalah $\cdots~\text{cm}^2$.
A. $10\pi$                   C. $\dfrac{85}{2}\pi$
B. $20\pi$                   D. $\dfrac{625}{16}\pi$

Pembahasan

Posisikan titik $O$ sebagai titik pusat lingkaran seperti tampak pada gambar berikut.

Panjang jari-jari dinotasikan $r$. Pada segitiga siku-siku $OEC$ berlaku rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} OC^2 & = OE^2 + EC^2 \\ r^2 & = (r-10)^2 + 5^2 \\ r^2 & = (r^2-20r+100)+25 \\ \cancel{r^2} & = \cancel{r^2}-20r+125 \\ 20r & = 125 \\ r & = \dfrac{125}{20} = \dfrac{25}{4}~\text{cm} \end{aligned}$
Luas lingkaran dengan panjang jari-jari $r = \dfrac{25}{4}~\text{cm}$ adalah
$\begin{aligned} L_{\text{O}} & = \pi r^2 \\ & = \pi \left(\dfrac{25}{4}\right)^2 = \dfrac{625}{16}\pi~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas lingkaran tersebut adalah $\boxed{\dfrac{625}{16}\pi~\text{cm}^2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Dua buah lingkaran yang masing-masing berjari $10~\text{cm}$ diletakkan pada sebuah bidang datar dengan kedua lingkaran saling bersinggungan. Sebuah lingkaran kecil diletakkan di antara lingkaran besar, sehingga saling bersinggungan dengan kedua lingkaran dan bidang datar.

Panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $\cdots~\text{cm}$.
A. $\dfrac{10}{2}$                 C. $\dfrac{10}{4}$                 E. $\dfrac{10}{7}$
B. $\dfrac{10}{3}$                 D. $\dfrac{10}{6}$

Pembahasan

Buatlah segitiga siku-siku yang dua titik sudutnya adalah titik pusat lingkaran besar dan lingkaran kecil seperti tampak pada gambar.

Misalkan panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $x$, sehingga panjang sisi segitiga tersebut adalah $(10-x)$, $10$, $(10+x)$ (dalam satuan cm).
Berdasarkan rumus Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} (10+x)^2 & = 10^2 + (10-x)^2 \\ \cancel{100}+20x+\bcancel{x^2} & = 100 + (\cancel{100}-20x+\bcancel{x^2}) \\ 40x & = 100 \\ x & = \dfrac{100}{40} = \dfrac{10}{4} \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil itu adalah $\boxed{\dfrac{10}{4}~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 18
Perhatikan gambar dua lingkaran yang sepusat berikut.
Diketahui lingkaran besar dan lingkaran kecil berturut-turut berjari-jari $R$ dan $r$ dengan $R > r$. Jika panjang tali busur $AB = 8$ cm, maka luas daerah yang diarsir adalah $\cdots~\text{cm}^2$.
A. $48\pi$                       C. $32\pi$
B. $36\pi$                       D. $16\pi$

Pembahasan

Luas daerah yang diarsir sama dengan luas lingkaran besar dikurang luas lingkaran kecil.
$$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = \pi R^2-\pi r^2 \\ & = \pi(R^2-r^2) \end{aligned}$$Misalkan titik $C$ terletak di tengah $AB$ dan $O$ titik pusat lingkaran, sehingga dapat dibuat segitiga siku-siku $ACO$ seperti berikut.
Karena $AB = 8$ cm, maka $AC = 4$ cm. Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} R^2 & = r^2 + AC^2 \\ R^2-r^2 & = 4^2 = 16 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh luas arsirnya, yaitu $$\boxed{L_{\text{arsir}} = \pi(R^2-r^2) = \pi(16) = 16\pi~\text{cm}^2}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Perhatikan gambar sebuah persegi panjang dan tiga lingkaran di dalamnya berikut.
Panjang diameter lingkaran adalah $3$ cm, $4$ cm, dan $6$ cm. Panjang $AB$ adalah $\cdots$ cm.
A. $\sqrt6$                     C. $3\sqrt6$
B. $2\sqrt6$                   D. $4\sqrt6$

Pembahasan

Posisikan titik $P, Q, R$ sebagai titik pusat lingkaran. Tarik garis dan tempatkan titik $S, U$, dan $T$ sehingga terbentuk segitiga siku-siku $PSQ$ dan $QTR$ seperti gambar berikut.
Akan dicari panjang $PS$ dan $QT$ dengan menggunakan rumus Pythagoras.
Pada $\triangle PSQ$, diketahui $PQ = 1,5 + 2 = 3,5$ cm dan $SQ = 1 + 1,5 = 2,5$ cm. Dengan rumus Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} PS & = \sqrt{PQ^2-SQ^2} \\ & = \sqrt{3,5^2-2,5^2} \\ & = \sqrt{(3,5+2,5)(3,5-2,5)} = \sqrt6 \end{aligned}$$Pada $\triangle QTR$, diketahui $QR = 2 + 3 = 5$ cm dan $RT = 3-2 = 1$ cm. Dengan rumus Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} QT & = \sqrt{QR^2-RT^2} \\ & = \sqrt{5^2-1^2} \\ & = \sqrt{24} = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} AB & = PS + QT \\ & = \sqrt6 + 2\sqrt6 = 3\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AB$ adalah $\boxed{3\sqrt6~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]
 

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Diketahui lingkaran pada gambar di atas dengan $OP = 30~\text{cm}$ dan $\angle POQ = 60^{\circ}$. Jika $\pi = 3,14$, tentukan:
a. luas juring $OPQ$;
b. luas $\triangle OPQ$;
c. luas tembereng (daerah yang diarsir).

Pembahasan

Jawaban a)
$\begin{aligned} L_{OPQ} & = \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 \\ & = \dfrac16 \times 3,14 \times 30 \times 30 \\ & = 471~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas juring $OPQ$ adalah $\boxed{471~\text{cm}^2}$
Jawaban b)
$\triangle OPQ$ merupakan segitiga sama sisi, karena ada dua sisi yang sama panjang, yaitu $OP = OQ$ dan sudut pengapitnya $60^{\circ}$.
Tarik garis tinggi dari $O$ ke sisi $PQ$, sehingga tepat jatuh di titik tengah sisi itu membentuk sudut siku-siku seperti tampak pada gambar.

Pada segitiga $ORP$, berlaku rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} OR & = \sqrt{OP^2-RP^2} \\ & = \sqrt{30^2-15^2} \\ & = \sqrt{675} = \sqrt{225 \times 3} = 15\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Luas segitiga $OPQ$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{\triangle OPQ} & = \dfrac{OR \times PQ}{2} \\ & = \dfrac{15\sqrt3 \times \cancelto{15}{30}}{\cancel{2}} \\ & = 225\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jawaban c)
Luas tembereng (luas daerah yang diarsir) dinyatakan oleh
$\boxed{L_{\text{arsir}} = (471-225\sqrt3)~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Perhatikan gambar di bawah.

$AOB$ adalah seperempat lingkaran dengan jari-jari $13$ cm. Keliling $OCDE$ adalah $34$ cm. Berapakah keliling daerah yang diarsir? $(\pi = 3,14)$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $OD$ merupakan diagonal persegi panjang $OCDE$, sekaligus jari-jari seperempat lingkaran. Ini artinya, $OD = OA = OB = 13~\text{cm}$. $EC$ juga diagonal persegi panjang, sehingga $OD = EC = 13~\text{cm}$.
Segitiga $OCD$ merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras. Karena $OD = 13~\text{cm}$, maka berdasarkan Tripel Pythagoras: $(5, 12, 13)$, diperoleh $OC = 12~\text{cm}$ dan $CD = 5~\text{cm}$, dan ini sesuai dengan informasi bahwa keliling $OCDE = 2(5+12)=34~\text{cm}$.
Selanjutnya, akan dicari keliling dari daerah yang diarsir, yakni $CADBE$.
Panjang busur $AB$ sama dengan seperempat keliling lingkaran, yaitu
$\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} = \dfrac14 \cdot 2\pi r = \dfrac12(3,14)(13) = 20,41~\text{cm}$
Panjang $CA$ sama dengan panjang $OA$ dikurangi $OC$, yaitu $13-12=1~\text{cm}$.
Panjang $BE$ sama dengan panjang $OB$ dikurangi $OE$, yaitu $13-5=8~\text{cm}$.
Dengan demikian, keliling $CADEB$ adalah
$\begin{aligned} \textbf{k}_{CADEB} & = CA+\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}+BE+EC \\ & = 1+20,41+8+13 \\ & = 42,41~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, keliling daerah yang diarsir adalah $\boxed{42,41~\text{cm}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada gambar di bawah, diketahui panjang $PQ = QR = 7~\text{cm}$ dan $PSQ$ adalah setengah lingkaran.

Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Pembahasan

Pindahkan posisi daun di atas sehingga kita peroleh gambar seperti berikut.

Kita akan memperoleh bahwa luas daerah yang diarsir ternyata sama dengan setengah kali dari luas segitiga sama kaki $PQR$. Oleh karena itu,
$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = \dfrac12 \times \dfrac{PQ \times QR}{2} \\ & = \dfrac12 \times \dfrac{7 \times 7}{2} = 12,25~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir sama dengan $\boxed{12,25~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Seperempat lingkaran pada gambar berikut mempunyai panjang jari-jari $14~\text{cm}$ dan berpusat di $O$. Titik $A$ adalah titik tengah $OB$ yang merupakan pusat setengah lingkaran yang melalui $ODB$. Berapakah luas daerah yang diarsir?

 

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Luas segitiga siku-siku $OAD$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{\triangle OAD} & = \dfrac12 \times OA \times AD \\ & = \dfrac12(7)(7) = 24,5~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas juring $OAD$ (seperempat lingkaran) dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{OAD} & = \dfrac{1}{4} \times \pi r^2 \\ & = \dfrac14 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \\ & = 38,5~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Diperoleh luas daerah arsir I, yaitu $38,5-24,5 = \color{blue}{14~\text{cm}^2}$.
Selanjutnya, luas juring $OBF$ dengan sudut pusat $45^{\circ}$ (besar sudutnya diperoleh dari segitiga siku-siku sama kaki $OAD$) adalah
$\begin{aligned} L_{OBF} & = \dfrac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 \\ & = \dfrac18 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{2}{14} \times 14 \\ & = 77~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas segitiga $OAD$ ditambah luas setengah lingkaran $AOB$ sama dengan $24,5 + 38,5 = 63~\text{cm}^2$.
Dengan demikian, luas daerah arsir II sama dengan $77-63 = \color{blue}{14~\text{cm}^2}$.
Luas arsir seluruhnya adalah $\boxed{L = \color{blue}{14+14} = 28~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui dua buah lingkaran berjari-jari $14~\text{cm}$ dan $7~\text{cm}$ saling beririsan seperti gambar berikut.
Irisan dua buah lingkaran
Jika luas keseluruhan gabungan kedua lingkaran adalah $700~\text{cm}^2$, tentukan luas daerah hasil irisan dua lingkaran tersebut (daerah yang diarsir).

Pembahasan

Luas lingkaran dengan panjang jari-jari $14~\text{cm}$ adalah
$L_B = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{2}{14} \times 14 = 616~\text{cm}^2$
Luas lingkaran dengan panjang jari-jari $7~\text{cm}$ adalah
$L_K = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 = 154~\text{cm}^2 $
Luas keseluruhan gabungan dua lingkaran sama dengan luas masing-masing lingkaran dikurangi $2$ kali luas irisan $(L_I)$ lingkaran itu. Ini dikarenakan daerah irisannya berlapis dua.
Kita tuliskan,
$\begin{aligned} \text{Luas total} & = L_B + L_K – 2 \times L_I \\ 700 & = 616+154-2 \times L_I \\ 700 & = 770-2 \times L_I \\ 70 & = 2 \times L_I \\ L_I & = 35~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah arsir (hasil irisan) adalah $\boxed{35~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Sepuluh lingkaran identik disusun membentuk sebuah segitiga. Titik $A$ dan $B$ keduanya merupakan pusat dari dua lingkaran. Sebuah garis melalui kedua titik tersebut sehingga membagi bangun menjadi dua daerah terpisah: daerah merah di kiri dan daerah biru di kanan.
Sepuluh lingkaran membentuk sebuah segitiga
Berapakah perbandingan luas daerah biru terhadap luas daerah merah?

Pembahasan

Kita dapat susun daerah yang diarsir dengan menukarkan posisi tembereng yang terpotong sehingga seperti gambar berikut.

Tampak pada gambar di atas terdapat $6$ lingkaran biru identik dan $4$ lingkaran merah identik. Dengan demikian, perbandingan luas keduanya adalah $\boxed{6 : 4 = 3 : 2}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Lingkaran

Soal Nomor 7
Gambar berikut merupakan persegi yang di dalamnya berisi sebuah lingkaran dan lingkaran itu tertutupi oleh seperempat lingkaran dengan panjang jari-jari yang sama. Berapakah perbandingan luas daerah yang diarsir warna kuning dan hijau?

Potongan lingkaran dalam sebuah persegi

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.

Jika kita menukar daerah kuning pada sisi atas persegi dengan bagian hijau di bagian bawah seperti tampak pada gambar kiri, kita peroleh gambar kanan. Jelas bahwa daerah kuning dan hijau ternyata sama luasnya. Jadi, perbandingan luas daerah yang diarsir kuning dan hijau adalah $\boxed{1 : 1}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Sebuah satelit terletak pada orbit $800~\text{km}$ di atas permukaan bumi. Satelit tersebut memerlukan waktu $8$ jam untuk mengitari orbitnya sekali.

Untuk panjang jari-jari bumi $6.400~\text{km}$ dan dengan asumsi orbit satelit adalah bulat melingkar, tentukan:

  1. panjang jari-jari orbital;
  2. jarak tempuh satelit untuk berputar sekali pada orbitnya;
  3. kecepatan tempuh satelit.

Pembahasan

Jawaban a)
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Panjang jari-jari orbital sama dengan panjang jari-jari bumi ditambah ketinggian satelit dari permukaan bumi, yaitu $6.400+800=7.200~\text{km}$.
Jawaban b)
Jarak tempuh satelit untuk memutari orbit sama dengan keliling lingkaran berjari-jari $7.200~\text{km}$, yaitu
$\begin{aligned} k & = 2\pi r \\ & = 2 \cdot 3,14 \cdot 7.200 \\ & = 45.216~\text{km} \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} \text{Kecepat}\text{an satelit} & = \dfrac{\text{jarak}}{\text{waktu}} \\ & = \dfrac{45.216~\text{km}}{8~\text{jam}} \\ & = 5.652~\text{km/jam} \end{aligned}$
Jadi, kecepatan tempuh satelit sebesar $\boxed{5.652~\text{km/jam}}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Gambar di bawah ini adalah penampang sebuah saluran air yang berbentuk lingkaran dengan diameter $10$ cm dan lebar permukaan airnya adalah $5$ cm.

  1. Tentukan tinggi permukaan air.
  2. Tentukan luas penampang air (nyatakan dalam $\pi$).  

Pembahasan

Jawaban a)
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Titik $O$ merupakan pusat lingkaran. Perhatikan bahwa $A, B, C$ ketiganya terletak pada sisi lingkaran, sehingga $OA = OB = OC = r = 5~\text{cm}$. Titik $D$ terletak tepat di tengah $AC$.
Karena $AC = 5~\text{cm}$, maka $\triangle AOC$ merupakan segitiga sama sisi (setiap sudutnya pasti besarnya $60^{\circ}$).
Kita akan mencari panjang $OD$ dengan menggunakan rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku $ODC$.
Diketahui $DC = \dfrac52~\text{cm}$ dan $OC=5~\text{cm}$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} OD & = \sqrt{OC^2-DC^2} \\ & = \sqrt{5^2-\left(\dfrac52\right)^2} \\ & = \sqrt{25-\dfrac{25}{4}} \\ & = \sqrt{\dfrac{75}{4}} = \dfrac52\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Tinggi penampang air diwakili oleh panjang $DB$, yaitu $OB-OD=\left(5-\dfrac52\sqrt3\right)~\text{cm}$.
Jawaban b)
Luas penampang air sama dengan luas juring dengan sudut pusat $60^{\circ}$ dikurangi luas segitiga sama sisi $AOC$.
$\begin{aligned} L & = L_{\text{jur}\text{ing}}-L_{\triangle AOC} \\ & = \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2-\dfrac{AC \times OD}{2} \\ & = \dfrac16 \times \pi \times 5^2-\dfrac{5 \times \frac52\sqrt3}{2} \\ & = \dfrac{25\pi}{6}-\dfrac{25\sqrt3}{4} \\ & = \dfrac{50\pi-75\sqrt3}{12}~\end{aligned}$
Jadi, luas penampang air tersebut adalah $\boxed{\dfrac{50\pi-75\sqrt3}{12}~\text{cm}^2}$

[collapse]