Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma Versi HOTS dan Olimpiade

Berikut ini merupakan soal mengenai pangkat, akar, dan logaritma (soal dengan tingkat HOTS dan Olimpiade) yang dikutip dari berbagai sumber referensi. Soal-soal berikut masing-masing telah disediakan pembahasannya.

Baca: Soal dan Pembahasan- Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi Standar)

Today Quote

Mensyukuri apa yang telah dimiliki adalah cara yang sederhana dan ampuh untuk mendapatkan hidup yang bahagia.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Diketahui persamaan:
$$\begin{aligned} & ^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] = ^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] \\ & = ^5 \log [^2 \log (^3 \log c)] = 0 \end{aligned}$$Nilai $a + b + c = \cdots \cdot$
A. $125$                    C. $164$                  E. $168$
B. $157$                   D. $166$

Pembahasan

Ingatlah sifat logaritma berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log a & = 1 \\ ^a \log 1 & = 0 \\ ^a \log a^n & = n \end{aligned}}$
Tinjau persamaan $^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^3 \log (^5 \log a) & = 1 \\ ^5 \log a & = 3 \\ a & = 5^3 = 125. \end{aligned}$
Tinjau persamaan $^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^5 \log (^2 \log b) & = 1 \\ ^2 \log b & = 5 \\ b & = 2^5 = 32. \end{aligned}$
Tinjau persamaan $^5 \log [^2 \log (^3 \log a)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^2 \log (^3 \log c) & = 1 \\ ^3 \log c & = 2 \\ c & = 3^2 = 9. \end{aligned}$
Dengan demikian, $\boxed{a+b+c = 125+32+9= 166}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2

Jika $(5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) = 5^x-2^y,$ maka nilai $x+y = \cdots \cdot$
A. $8$                      C. $18$                 E. $30$
B. $16$                   D. $24$

Pembahasan

$\begin{aligned} & (5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) \\ & = \dfrac{\cancel{5^2-4^2}}{5-4} \cdot \dfrac{\bcancel{5^4-4^4}}{\cancel{5^2-4^2}} \cdot \dfrac{5^8-4^8}{\bcancel{5^4-4^4}} \\ & = \dfrac{5^8-4^8}{5-4} \\ & = 5^8-4^8 = 5^8- 2^{16} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $x = 8$ dan $y = 16$ sehingga $\boxed{x+y=8+16 = 24}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3

Diketahui $a$ dan $b$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan $$a = \sqrt{\dfrac{2008b + 2009}{2010b-2011}} + \sqrt{\dfrac{2008b + 2009}{2011-2010b}}+ 2020.$$ Nilai $a$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $2008$                    D. $2011$
B. $2009$                    E. $2020$
C. $2010$

Pembahasan

Misalkan $x = \dfrac{2008b + 2009}{2010b-2011}$ sehingga $-x = \dfrac{2008b + 2009}{2011-2010b}$.
Dengan demikian, kita peroleh
$a = \sqrt{x} + \sqrt{-x} + 2020$.
Persamaan di atas berlaku hanya saat $x = 0$ supaya $a$ tetap real.
Untuk itu,
$\boxed{a = \sqrt{0} + \sqrt{0} + 2020 = 2020}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan- Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

Soal Nomor 4

Misal $a,b,c$, dan $d$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $^a \log b^2 = 3$ dan $^c \log d^4 = 5$, serta $a-c=9$, maka $b-d=\cdots \cdot$
A. $9$                      C. $32$                 E. $125$
B. $16$                   D. $93$

Pembahasan

Perhatikan bahwa,
$$\begin{aligned} & ^a \log b^2 = 3 \iff a^3 = b^2 \iff a = b^{\frac{2}{3}} \\ & ^c \log d^4 = 5 \iff c^5 = d^4 \iff c = d^{\frac{4}{5}} \end{aligned}$$Karena $a$ dan $c$ harus berupa bilangan bulat positif, maka $b$ dan $d$ haruslah memenuhi persyaratan berikut.
$b$ harus berupa bilangan kubik: $1, 8, 27, 64, 125, \cdots$
Ini mengakibatkan nilai $a$ berturut-turut adalah: $1, 4, 9, 16, 25, \cdots$
$d$ merupakan bilangan hasil pangkat lima: $1, 32, 243, 1.024, 3.125, \cdots$
Ini mengakibatkan nilai $c$ berturut-turut adalah: $1, 16, 81, 256, 625, \cdots$
Karena diberikan $a-c=9$, maka nilai $a$ dan $c$ berturut-turut yang mungkin adalah $25$ dan $16$.
Jika $a = 25$, maka $b = 125$, sedangkan jika $c = 16$, maka $d = 32$ sehingga $\boxed{b- d = 125-32 = 93}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5

Misalkan $x, y, z > 1$ dan $w > 0$. Jika $^x \log w = 4, ^y \log w = 5$, dan $^{xyz} \log w = 2$, maka nilai dari $^z \log w$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10$                    C. $30$                 E. $50$
B. $20$                    D. $40$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} ^x \log w & = 4 \iff ^w \log x = \dfrac{1}{4} \\ ^y \log w & = 5 \iff ^w \log y = \dfrac{1}{5} \end{aligned}$
Dengan menerapkan sifat logaritma pada persamaan $^{xyz} \log w = 2$, didapat
$$\begin{aligned} ^{xyz} \log w & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w \log (xyz)} & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w log x + ^w \log y + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z & = \dfrac{1}{2} \\ ^w \log z & = \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{4}- \dfrac{1}{5} \\ ^w \log z & = \dfrac{10-5-4}{20} = \dfrac{1}{20} \\ ^z \log w = 20. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $^z \log w$ adalah $\boxed{20}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6

Jika $6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) = 3^{43}$, maka nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{8}$                     C. $4$                       E. $16$
B. $\dfrac{1}{4}$                     D. $8$      

Pembahasan

Misalkan $^2 \log a = x$, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi $6(3^{40})x + 3^{41}x = 3^{43}$.
Bagi kedua ruasnya dengan $3^{40}$, kemudian sederhanakan untuk mencari nilai $x$.
$\begin{aligned} \dfrac{6(\cancel{3^{40}})x}{\cancel{3^{40}}} + \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{41}}x}{\cancel{3^{40}}} & = \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{43}}}{\cancel{3^{40}}} \\ 6x + 3x & = 3^3 = 27 \\ 9x & = 27 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh $^2 \log a = 3$ sehingga $a = 2^3 = 8$. Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan- Fungsi Eksponen (Pangkat)

Soal Nomor 7

Nilai dari $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}-3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                   C. $1$                     E. $2$
B. $-1$                   D. $1,5$         

Pembahasan

Misalkan $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = p$, maka
$$\begin{aligned} \left(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)^3 & = p^3 \\ (2 + \cancel{\sqrt{5}}) + (2-\cancel{\sqrt{5}}) + 3\sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \cdot p & = p^3 \\ 4 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot p & = p^3 \\ 4- 3p & = p^3. \end{aligned}$$Dengan menggunakan intuisi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 1$, karena $4- 3(1) = 1^3 \Leftrightarrow 1 = 1.$
Dengan demikian, $$\boxed{\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}-3 = 1-3 =-2}$$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8

Bentuk sederhana dari $$1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + 2018 \cdot 2^{2018}$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2019 \cdot 2^{2018} + 2$
B. $2019 \cdot 2^{2019} + 2$
C. $2018 \cdot 2^{2019} + 2$
D. $2017 \cdot 2^{2019} + 2$
E. $2018 \cdot 2^{2020} + 2$

Pembahasan

Misalkan:
$$p = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3+ \cdots + 2018 \cdot 2^{2018}$$sehingga
$$2p = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4+ \cdots + 2018 \cdot 2^{2019}.$$Kurangi kedua persamaan tersebut (atas ke bawah).
$$\begin{aligned} p & =-2 + (2-1) \cdot 2^2 + (2-3) \cdot 2^3 + (3-4) \cdot 2^4 \\ & + \cdots + (2017-2018) \cdot 2^{2018} + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & =-2- 2^2-2^3-2^4-\cdots-2^{2018} + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & =-(2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{2018}) + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & =-\left(\underbrace{\dfrac{2(2^{2018}-1)}{2- 1}}_{\text{Rumus}~\text{S}_n}\right) + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = 2018 \cdot 2^{2019}-2^{2019} + 2 \\ & = 2017 \cdot 2^{2019} + 2 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana darinya adalah $\boxed{2017 \cdot 2^{2019} + 2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9

Nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac16\sqrt2 + \dfrac12\sqrt2$
B. $\dfrac12\sqrt2 + \dfrac12\sqrt6$
C. $\dfrac16\sqrt2-\dfrac12\sqrt2$
D. $\dfrac12\sqrt6-\dfrac12\sqrt2$
E. $\dfrac12\sqrt2-\dfrac16\sqrt2$

Pembahasan

Gunakan salah satu sifat akar:
$\boxed{\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}}$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} & \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+2\sqrt{12}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{(12+1)+2\sqrt{12 \cdot 1}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{12} + \sqrt1}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{4 + 2\sqrt3}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{(3+1) + 2\sqrt{3 \cdot 1}}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{3} + \sqrt{1}} \\ & = \sqrt{2 + \sqrt3} \\ & = \sqrt{2 + 2\sqrt{\dfrac34}} \\ & = \sqrt{\left(\dfrac32 + \dfrac12\right) + 2\sqrt{\dfrac32 \cdot \dfrac12}} \\ & = \sqrt{\dfrac32} + \sqrt{\dfrac12} \\ & = \dfrac12\sqrt6 + \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}}$ adalah $\boxed{\frac12\sqrt2 + \frac12\sqrt6}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10

Jika $x = \sqrt[3]{2+\sqrt5} + \sqrt[3]{2-\sqrt5}$ dan $y = 2019- \sqrt{\dfrac{2020^3-2018^3-2}{6}}$, maka $\cdots \cdot$

  1. $x<y$
  2. $x=y$
  3. $x>y$
  4. $x+y=2$
  5. hubungan $x$ dan $y$ tak dapat ditentukan

Pembahasan

Pertama, akan disederhanakan bentuk $x$ terlebih dahulu.
Misalkan $a = 2 + \sqrt5$ dan $b = 2-\sqrt5$ sehingga $a+b = 4$ dan $ab = (2)^2- (\sqrt5)^2 =-1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x & = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \\ x^3 & = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^3 \\ x^3 & = a + b + 3ab(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \\ x^3 & = 4 + 3(-1)(x) \\ 0 & = x^3 + 3x-4 \\ 0 & = (x-1)(x^2 + x + 4). \end{aligned}$
Karena $x^2+x+4$ definit positif, maka satu-satunya penyelesaian dari persamaan di atas adalah $x = 1$.
Selanjutnya, akan disederhanakan bentuk dari $y$. Untuk mempersingkat penulisan, kita misalkan $a = 2018$.
$$\begin{aligned} y & = 2019-\sqrt{\dfrac{2020^3-a^3-2}{6}} \\ & = 2019- \dfrac{1}{\sqrt6}\sqrt{(2020-a)(2020^2+a^2+2020 \cdot a)-2} \\ & = 2019- \dfrac{1}{\sqrt6}\sqrt{2((a+2)^2+a^2+(a+2) \cdot a)-2} \\ & = 2019-\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a+2)^2+a^2+(a+2) \cdot a-1} \\ & = 2019-\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2)+a^2+(a+2) \cdot a-1} \\ & = 2019-\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2)+a^2+ a^2 + 2 \cdot a- 1} \\ & = 2019-\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(3 \cdot a^2 + 6 \cdot a + 3 } \\ & = 2019-\sqrt{a^2 + 2 \cdot a + 1} \\ & = 2019-\sqrt{(a + 1)^2} = 2019- \sqrt{(2018+1)^2} \\ & = 2019-2019 = 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, $y = 0$.
Jadi, kesimpulan yang bisa ditarik adalah $\boxed{x > y}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11

Bentuk sederhana dari $\sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt2 + 1$                    D. $2\sqrt2 + 1$
B. $\sqrt2-1$                    E. $2\sqrt2-1$
C. $1-\sqrt2$

Pembahasan

Dengan menerapkan sifat akar:
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}}$
diperoleh
$$\begin{aligned} \sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}} & = \sqrt[4]{\dfrac{(2+1)+2\sqrt{2 \cdot 1}}{(2+1)-2\sqrt{2 \cdot 1}}} \\ & = \sqrt[4]{\dfrac{(\sqrt2 + \sqrt1)^2}{(\sqrt2-\sqrt1)^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{\sqrt2+1}}{\sqrt{\sqrt2-1}} \times \color{red} {\dfrac{\sqrt{\sqrt2-1}}{\sqrt{\sqrt2-1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{2-1}}{\sqrt2-1} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \times \color{red} {\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1}} \\ & = \dfrac{\sqrt2+1}{2-1} = \sqrt2+1 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}}$ adalah $\boxed{\sqrt2+1}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12

Jika $$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \dfrac{a\sqrt2 + b\sqrt3 + c\sqrt{30}}{12},$$maka nilai $a+b+c=\cdots \cdot$
A. $0$                       C. $2$                   E. $4$
B. $1$                       D. $3$         

Pembahasan

Dengan menerapkan konsep merasionalkan penyebut bentuk akar pada bentuk pecahan, kita dapatkan
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{(\sqrt2+\sqrt3)+\sqrt5} & = \dfrac{1}{(\sqrt2+\sqrt3)+\sqrt5} \times \color{red}{ \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\sqrt2+\sqrt3)^2-5} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\cancel{2+3}+2\sqrt6)-\cancel{5}} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{2\sqrt6} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}} \\ & = \dfrac{\sqrt{12} + \sqrt{18}-\sqrt{30}}{12} \\ & = \dfrac{3\sqrt2 + 2\sqrt3-\sqrt{30}}{12} \end{aligned}$$Karena diketahui bahwa $$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \dfrac{a\sqrt2 + b\sqrt3 + c\sqrt{30}}{12},$$diperoleh bahwa $a=3, b = 2, c =-1$ sehingga $\boxed{a+b+c=3+2+(-1)=4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13

Bentuk sederhana dari $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41}-4}}- \sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41} + 4}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac85$                  C. $\dfrac85$                 E. $5\sqrt{41}$
B. $0$                        D. $2$                

Pembahasan

Tinjau bentuk $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41}-4}}.$
Dengan pengalian akar sekawan dan penggunaan sifat-sifat akar, diperoleh 
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41}-4}} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} + 4}} \\ & = \dfrac{\sqrt{41 + 8\sqrt{41} + 16}}{\sqrt{41-16}} \\ & = \dfrac{\sqrt{57 + 8\sqrt{41}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{(41+16) + 2\sqrt{41 \times 16}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{41} + 4}{5}. \end{aligned}$
Selanjutnya, tinjau bentuk $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}- 4}{\sqrt{41} + 4}}.$
Analog dengan cara di atas, diperoleh 
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41} + 4}} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}-4}} \\ & = \dfrac{\sqrt{41-8\sqrt{41} + 16}}{\sqrt{41-16}} \\ & = \dfrac{\sqrt{57-8\sqrt{41}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{(41+16)- 2\sqrt{41 \times 16}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{41}-4}{5}. \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41}-4}}- \sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41} + 4}} \\ & = \left(\dfrac{\sqrt{41} + 4}{5}\right)- \left(\dfrac{\sqrt{41}-4}{5}\right) \\ & = \dfrac45-\left(-\dfrac45\right) = \dfrac85. \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41}-4}}- \sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41} + 4}} = \dfrac85}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14

Jika $$\sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}}} = 3,$$maka nilai dari $^{2x} \log 8 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac14$                   C. $\dfrac12$                    E. $\dfrac32$
B. $\dfrac13$                   D. $\dfrac23$        

Pembahasan

Dari persamaan yang diberikan, kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
$$1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}} = 3^2 = 9.$$Selanjutnya, substitusikan $\sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}} = 3$ pada persamaan di atas sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 1 + ^2 \log x + 3 & = 9 \\ ^2 \log x & = 5 \\ x & = 2^5. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{^{2x} \log 8 = ^{2(2^5)} \log 2^3 = \dfrac36 = \dfrac12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Konsep dan Contoh Soal Akar Ramanujan

Soal Nomor 15

Misalkan $\log$ dinotasikan sebagai logaritma dengan basis $10$. Nilai dari $5^{\log 2} + 2^{\log 5}-50^{\log 2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                          D. $25$
B. $5^{\log 2}$                   E. $5^{\log 2 + \log 5}$
C. $1$

Pembahasan

Kita akan banyak menggunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} & 5^{\log 2} + 2^{\log 5}-50^{\log 2} \\ & = 5^{\log 2} + 2^{\log 5}-(5^{\log 2} \cdot 10^{\log 2}) \\ & = 5^{\log 2} + 2^{\log 5}-(5^{\log 2} \cdot 2) \\ & = \color{red}{2^{\log 5}-5^{\log 2}}. \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 2^{\log 5} & = (10^{\log 2})^{\log 5} \\ & = (10^{\log 5})^{\log 2} \\ & = 5^{\log 2}. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \color{red}{2^{\log 5}-5^{\log 2}} & = 5^{\log 2}-5^{\log 2} = 0. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{5^{\log 2} + 2^{\log 5}-50^{\log 2} = 0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16

Nilai eksak dari $$\dfrac{1}{10^{-2004}+1} + \dfrac{1}{10^{-2003}+1} + \dfrac{1}{10^{-2002}+1}+\cdots + \dfrac{1}{10^{2002}+1} + \dfrac{1}{10^{2003}+1} + \dfrac{1}{10^{2004}+1}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $2004$                         D. $2005,5$
B. $2004,5$                    E. $2006$
C. $2005$

Pembahasan

Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan real $a$ berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{10^{a}+1} + \dfrac{1}{10^{-a}+1} & = \dfrac{(10^a+1) + (10^{-a}+1)}{(10^a+1)(10^{-a}+1)} \\ & = \dfrac{2 + 10^a + 10^{-a}}{10^0 + 10^a + 10^{-a} + 1} \\ & = \dfrac{2 + 10^a + 10^{-a}}{2 + 10^a + 10^{-a}} \\ & = 1. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita kelompokkan dua suku yang pangkatnya sama, namun berbeda tanda (dan hasilnya sama dengan $1$), lalu jumlahkan.
$$\begin{aligned} & \left(\dfrac{1}{10^{-2004}+1} + \dfrac{1}{10^{2004} + 1}\right) + \left(\dfrac{1}{10^{-2003}+1} + \dfrac{1}{10^{2003} + 1}\right) + \left(\dfrac{1}{10^{-2002}+1} + \dfrac{1}{10^{2002} + 1}\right) \\ & + \cdots + \left(\dfrac{1}{10^{-1}+1} + \dfrac{1}{10^{1} + 1}\right) + \dfrac{1}{10^0 + 1} \\ & = \underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{\text{ada}~2004} + \dfrac{1}{1+1} \\ & = 2004 + \dfrac12 = 2004,5 \end{aligned}$$Jadi, nilai eksak dari perhitungan di atas adalah $\boxed{2004,5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17

Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan positif yang memenuhi $$^9 \log p = ^{12} \log q = ^{16} \log (p+q).$$Berapakah nilai $\dfrac{q}{p}$?
A. $\dfrac43$                                 D. $\dfrac12(1+\sqrt5)$
B. $\dfrac12(1+\sqrt3)$             E. $\dfrac{16}{9}$
C. $\dfrac85$

Pembahasan

Misalkan $$^9 \log p = ^{12} \log q = ^{16} \log (p+q) = t.$$Kita peroleh $p = 9^t$, $q = 12^t$, dan $p+q=16^t$.
Dengan demikian,
$\dfrac{q}{p} = \dfrac{12^t}{9^t} = \left(\dfrac43\right)^t.$
Perhatikan juga bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{p+q}{p} & = \dfrac{p}{p}+\dfrac{q}{p} \\ \dfrac{16^t}{9^t} & = 1+\left(\dfrac43\right)^t \\ \left(\dfrac43\right)^{2t} & = 1+\left(\dfrac43\right)^t \end{aligned}$$Sekarang, misalkan $\dfrac{q}{p} = \left(\dfrac43\right)^t = x$, maka kita peroleh persamaan kuadrat $$x^2 = 1+x \Rightarrow x^2-x-1 = 0.$$Dengan rumus kuadrat (rumus ABC), didapat akar penyelesaiannya
$$\begin{aligned} x_{1, 2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1\pm \sqrt5}{2}. \end{aligned}$$Karena $p$ dan $q$ bilangan positif, maka $\dfrac{q}{p}$ juga positif sehingga tanda positif diambil.
Jadi, diperoleh $\boxed{\dfrac{q}{p} = \dfrac{1+\sqrt5}{2} = \dfrac12(1+\sqrt5)}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18

Jika $$x = \dfrac{2 \times 5^{197}(2^{197} \times 21^{200}-7^{200} \times 6^{198})}{7^{199}(2^{198} \times 15^{199} + 6^{199} \times 5^{197})},$$maka nilai dari $x^{1/4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13\sqrt[4]{7}$                         D. $\dfrac19\sqrt7$
B. $\dfrac13\sqrt7$                         E. $\dfrac73$
C. $\dfrac19\sqrt[4]{7}$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat distributif bilangan dan perpangkatan, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{2 \times 5^{197}(2^{197} \times 21^{200}-7^{200} \times 6^{198})}{7^{199}(2^{198} \times 15^{199} + 6^{199} \times 5^{197})} \\ & = \dfrac{2 \times 5^{197}(2^{197} \times 3^{200} \times 7^{200}-7^{200} \times 2^{198} \times 3^{198})}{7^{199}(2^{198} \times 3^{199} \times 5^{199} + 2^{199} \times 3^{199} \times 5^{197})} \\ & = \dfrac{\cancel{2^{198}} \times \bcancel{5^{197}} \times 7^{200} \times 3^{198}(3^2-2)}{7^{199} \times \cancel{2^{198}} \times 3^{199} \times \bcancel{5^{197}} \times (5^2 + 2)} \\ & = \dfrac73 \cdot \dfrac{7}{27} = \dfrac{7^2}{3^4}. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} x^{1/4} & = \left(\dfrac{7^2}{3^4}\right)^{1/4} \\ & = \dfrac13\sqrt7. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{x^{1/4} = \dfrac13\sqrt7}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19

Jika $$\sqrt{x + \sqrt{4x + \sqrt{16x + \sqrt{\cdots + \sqrt{4^{2.021}x + 3}}}}}-\sqrt{x} = 1,$$maka nilai $x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $4^{2.021}$                      D. $2^{-2.021}$
B. $2^{2.021}$                      E. $4^{-2.021}$
C. $1$

Pembahasan

Dari persamaan yang diberikan, $-\sqrt{x}$ dipindahkan ke ruas kanan, lalu kedua ruas dikuadratkan secara berulang-ulang sehingga polanya akan terlihat.
$$\begin{aligned} \sqrt{x + \sqrt{4x + \sqrt{16x + \sqrt{\cdots + \sqrt{4^{2.021}x + 3}}}}} & = 1 + \sqrt{x} \\ \left(\sqrt{x + \sqrt{4x + \sqrt{16x + \sqrt{\cdots + \sqrt{4^{2.021}x + 3}}}}}\right)^2 & = \left(1 + \sqrt{x}\right)^2 \\ \cancel{x} + \sqrt{4x + \sqrt{16x + \sqrt{\cdots + \sqrt{4^{2.021}x + 3}}}} & = 1 + 2\sqrt{x} + \cancel{x} \\ \sqrt{4x + \sqrt{16x + \sqrt{\cdots + \sqrt{4^{2.021}x + 3}}}} & = 1 + 2\sqrt{x} \\ \left(\sqrt{4x + \sqrt{16x + \sqrt{\cdots + \sqrt{4^{2.021}x + 3}}}}\right)^2 & = \left(1 + 2\sqrt{x}\right)^2 \\ \cancel{4x} + \sqrt{16x + \sqrt{\cdots + \sqrt{4^{2.021}x + 3}}} & = 1 + 4\sqrt{x} + \cancel{4x} \\ \sqrt{16x + \sqrt{\cdots + \sqrt{4^{2.021}x + 3}}} & = 1 + 4\sqrt{x} \end{aligned}$$Dengan melanjutkan langkah tersebut, kita akan peroleh bahwa
$$\begin{aligned} \sqrt{4^{2.021}x + 3} & = 1 + 2^{2.021}\sqrt{x} \\ \left(\sqrt{4^{2.021}x + 3}\right)^2 & = \left(1 + 2^{2.021}\sqrt{x}\right)^2 \\ \cancel{4^{2.021}x} + 3 & = 1 + 2^{2.022}\sqrt{x} + \cancel{4^{2.021}x} \\ 3 & = 1 + 2^{2.022}\sqrt{x} \\ 2 & = 2^{2.022}\sqrt{x} \\ \sqrt{x} & = \dfrac{2}{2^{2.022}} = 2^{-2.021} \\ x & = 4^{-2.021}. \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ sama dengan $\boxed{4^{-2.021}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Hitunglah $$\dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}.$$

Pembahasan

Faktorkan penyebutnya sehingga dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^{16}-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}} {\cancel{(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)} (2-1)} \\ & = \dfrac{1}{2-1} = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}$$ adalah $\boxed{1}$

[collapse]

Soal Nomor 2

Tentukan hasil dari $\dfrac{3^{2014}-3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5}$.

Pembahasan

Dengan menggunakan pemfaktoran, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{3^{2014}-3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} & = \dfrac{3^{2011}(3^3-1) + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26 \cdot 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26(\cancel{3^{2011} + 5})}{\cancel{3^{2011} + 5}} \\ & = 26. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{3^{2014}-3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} = 26}$

[collapse]

Soal Nomor 3

Tentukan bentuk sederhana dari
$\dfrac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011})}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008})}$.

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat-sifat perpangkatan dan teknik pemfaktoran, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011})}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008})} \\ & = \dfrac{3^{2008}(2^{2013} \times 5^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011})}{5^{2012}(2^{2010} \times 3^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008})} \\ & = \dfrac{\cancel{3^{2008} \times 5^{2012}}(2^{2013} \times 5 + 2^{2011})}{\cancel{5^{2012} \times 3^{2008}}(2^{2010} \times 3^{2} + 3 \times 2^{2008})} \\ & = \dfrac{2^{2013} \times 5 + 2^{2011}}{2^{2010} \times 3^2 + 3 \times 2^{2008}} \\ & = \dfrac{\bcancel{2^{2008}}(2^5 \times 5 + 2^3)}{\bcancel{2^{2008}}(2^2 \times 3^2 + 3)} \\ & = \dfrac{2^5 \times 5 + 2^3}{2^2 \times 3^2 + 3} \\ & = \dfrac{32 \times 5 + 8}{4 \times 9 + 3} \\ & = \dfrac{168}{39} = \dfrac{56}{13}. \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari pecahan tersebut adalah $\boxed{\dfrac{56}{13}}$

[collapse]

Soal Nomor 4

Diketahui $\log x = 6$ dan $\log y = 12$. Tentukan nilai dari $\log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}}$

Pembahasan

Misalkan $p = \log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 10^p & = \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^{2p} & = x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^{4p} & = x^2y\underbrace{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}_{10^p} \\ 10^{4p} & = x^2y(10^p) \\ 10^{3p} & = x^2y \\ \log 10^{3p} & = \log x^2y \\ 3p \log 10 & = \log x^2 + \log y \\ 3p \cdot 1 & = 2(6) + 12 \\ 3p & = 12 + 12 \\ p & = 8. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}} = 8}$

[collapse]

Soal Nomor 5

Bilangan real positif $a, b$, dan $c$ memenuhi: $a^{^3 \log 7} = 27, b^{^7 \log 11} = 49$, dan $c^{^{11} \log 25} = \sqrt{11}$. Tentukan hasil dari
$a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2}$.

Pembahasan

Ingat sifat logaritma: $\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} a^{(^3 \log 7)^2} & = \left[a^{^3 \log 7}\right]^{^3 \log 7} \\ & = 27^{^3 \log 7} \\ & = (3^3)^{^3 \log 7} \\ & = 3^{^3 \log 7^3} = 7^3 = 343. \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama, diperoleh
$\begin{aligned} b^{(^7 \log 11)^2} & = \left[b^{^7 \log 11}\right]^{^7 \log 11} \\ & = 49^{^7 \log 11} \\ & = (7^2)^{^7 \log 11} \\ & = 7^{^7 \log 11^2} = 11^2 = 121. \end{aligned}$
$\begin{aligned} c^{(^{11} \log 25)^2} & = \left[c^{^{11} \log 25}\right]^{^{11} \log 25} \\ & = (\sqrt{11})^{^{11} \log 25} \\ & = (11^{\frac{1}{2}})^{^{11} \log 25} \\ & = 11^{^{11} \log 25^{\frac{1}{2}}} = 25^{\frac{1}{2}} = 5. \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\boxed{\begin{aligned} & a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2} \\ & = 343+121+5 = 469 \end{aligned}}$

[collapse]

Soal Nomor 6

Jika $9^x + 9^{-x}-3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 = 0$, tentukan nilai dari $3^x-3^{-x}$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 9^x + 9^{-x}-3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x}-9 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9 \cdot 3^x-9 \cdot 3^{-x}-16 \end{aligned}$$Selanjutnya,
$$\begin{aligned} (3^x-3^{-x})^2 & = (3^{2x} + 3^{-2x})-2 \\ & = (9 \cdot 3^x-9 \cdot 3^{-x}-16)-2 \\ & = 9(3^x-3^{-x})- 18 \end{aligned}$$Sekarang, misalkan $3^x-3^{-x} = a$, maka
$\begin{aligned} a^2 & = 9a-18 \\ a^2-9a + 18 & = 0 \\ (a-6)(a-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 6 \lor a = 3$
Ini berarti, $\boxed{3^x- 3^{-x} = 6}$ atau $\boxed{3^x-3^{-x} = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 7

Sederhanakanlah
$(\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7})$ $(\sqrt{5} + \sqrt{6}- \sqrt{7})$ $(\sqrt{5}-\sqrt{6} + \sqrt{7})$ $(-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}).$

Pembahasan

Gunakan sifat pemfaktoran $a^2-b^2 = (a+b) (a-b)$ dan juga $(a \pm b)^2 = a^2+b^2 \pm 2ab$ untuk menyederhanakan bentuk akar di atas. 
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & (\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) (\sqrt{5} + \sqrt{6}- \sqrt{7}) \\ & = (\sqrt{5}+\sqrt{6})^2-(\sqrt{7})^2 \\ & = (5 + 6 + 2\sqrt{30})- 7 \\ & = 4 + 2\sqrt{30}. \end{aligned}$$Selanjutnya, 
$$\begin{aligned} & (\sqrt{5}-\sqrt{6} + \sqrt{7}) (-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) \\ & = [\sqrt{7} + (\sqrt{5}-\sqrt{6})][\sqrt{7}-(\sqrt{5}-\sqrt{6})] \\ & = (\sqrt{7})^2-(\sqrt{5}-\sqrt{6})^2 \\ & = 7- (5 + 6-2\sqrt{30}) \\ & =-4 + 2\sqrt{30}. \end{aligned}$$Jadi, bentuk akar pada soal dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (4+2\sqrt{30}) (-4+2\sqrt{30}) & = (2\sqrt{30})^2-4^2 \\  & = 120-16 \\ & = 104. \end{aligned}$$Dengan demikian, bentuk sederhananya adalah $\boxed{104}$

[collapse]

Soal Nomor 8

Carilah nilai
$$\dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2-1.991^2-1.992^2-1.993^2}{2^7 \cdot 5^2}.$$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pemfaktoran: $\boxed{a^2-b^2=(a+b) (a-b)} $, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2-1.991^2-1.992^2- 1.993^2}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.009^2-1.991^2)+(2.008^2-1.992^2)+(2.007^2-1.993^2)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.007+1.993)(2.007-1993)+(2.008+1.992)(2.008-1.992)}{2^7 \cdot 5^2}\\ & +\dfrac{(2.009+1.991)(2.009-1.991)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{4.000(14+16+18)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 1.000 \cdot 48}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 2 \cdot 500 \cdot 2^4 \cdot 3}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2} \cdot 20 \cdot 3}{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2}} \\ & = 20 \cdot 3 = 60. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari bentuk tersebut adalah $\boxed{60}$

[collapse]

Soal Nomor 9

Jika $A = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1$, carilah nilai $\left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50}$.

Pembahasan

Pandang
$$\begin{aligned} A & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1 \\ \sqrt[5]{2}A & = \underbrace{\sqrt[5]{32}}_{= 2} + \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + 1 \\ & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 2 \\ & \rule{6 cm}{0.8 pt}~- \\  (1-\sqrt[5]{2})A & =-1 \Rightarrow A = \dfrac{1}{\sqrt[5]{2}-1} \\  \dfrac{1}{A} & = \sqrt[5]{2}-1 \\  \dfrac{1}{A} + 1 & = \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{\left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50} = (2^{\frac{1}{5}})^{50} = 2^{10} = 1.024}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen

Soal Nomor 10

Diketahui $a \log 2 + b \log 3 + c \log 5 + d \log 7 +$ $e \log 9 + f \log 11 = 2013$
Tentukan nilai dari $a + b + c + d + e + f.$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat logaritma
$\begin{aligned} n \cdot ^a \log b & = ^a \log b^n \\ ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \end{aligned}$
diperoleh
$$\begin{aligned} a \log 2 + b \log 3 + c \log 5 + d \log 7 + e \log 9 +  f \log 11 & = 2013 \\ \log 2^a + \log 3^b + \log 5^c + \log 7^d + \log 9^e + \log 11^f  & = 2013 \\ \log (2^a3^b5^c7^d9^e11^f) & = 2013 \\ 2^a3^b5^c7^d9^e11^f & = 10^{2013} \\ 2^a3^b5^c7^d9^e11^f  & = 2^{2013} \cdot 5^{2013}. \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai $a = 2013$, $b = 0$, $c = 2013,$ $d = $0, $e = 0$, dan $f = 0$.
Jadi, nilai dari 

$\boxed{\begin{aligned} & a+b+c+d+e+f \\ & =2013+0+2013+0+0+0 \\ & =4026} \end{aligned}$  

[collapse]

Soal Nomor 11

Diketahui $$N = \dfrac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}.$$Carilah nilai dari $(N + 1)^{48}$.

Pembahasan

Kalikan $N$ dengan
$$\dfrac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt[4]{5}-1)(\sqrt[8]{5}-1)(\sqrt[16]{5}-1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt[4]{5}-1)(\sqrt[8]{5}-1)(\sqrt[16]{5}-1)}$$sehingga nantinya diperoleh

$$\begin{aligned} N & = \dfrac{\bcancel{4}\cancel{(\sqrt{5}-1)(\sqrt[4]{5}-1)(\sqrt[8]{5}-1)} (\sqrt[16]{5}-1)}{\bcancel{(5-1)} \cancel{(\sqrt{5}-1)(\sqrt[4]{5}-1)(\sqrt[8]{5}-1)} } \\ & = \sqrt[16]{5}-1. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\boxed{N + 1 = \sqrt[16]{5} \Rightarrow (N+1)^{48} = (5^{\frac{1}{16}})^{48} = 5^3 = 125}$$

[collapse]

Soal Nomor 12

Sederhanakan bentuk dari
$$\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}.$$

Pembahasan

Rasionalkan tiap sukunya sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} & = \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} \times \dfrac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} =-1 + \sqrt{2} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} & = \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} =-\sqrt{2} + \sqrt{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} & = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} \times \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}- \sqrt{4}} =-\sqrt{3} + \sqrt{4} \\ \cdots \cdots \cdots & \cdots \cdots  \\ \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} & = \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} \times \dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{\sqrt{99}-\sqrt{100}} \\ & =-\sqrt{99} + \sqrt{100} \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} \\ & = (-1 + \cancel{\sqrt{2}}) + (\cancel{-\sqrt{2}} + \cancel{\sqrt{3}}) + (\cancel{-\sqrt{3}} + \cancel{\sqrt{4}}) + \\ & \cdots + (\cancel{-\sqrt{99}} + \sqrt{100}) \\ & =-1 + \sqrt{100} = 9. \end{aligned}$$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Fungsi Logaritma

Soal Nomor 13

Diberikan $A = ^6 \log 16$ dan $B = ^{12} \log 27.$ Tentukan bilangan asli $a, b$, dan $c$ sehingga $(A+a)(B+b)=c$.

Pembahasan

Persamaan $(A+a)(B+b)=c$ diubah menjadi
$$\begin{aligned} (^6 \log 16 + ^6 \log 6^a)(^{12} \log 27 + ^{12} \log 12^b) & = c \\ (^6 \log (16 \cdot 6^a))(^{12} \log (27 \cdot 12^b)) & = c \\ (^6 \log (2^4 \cdot 2^a \cdot 3^a))(^{12} \log (3^3 \cdot 2^{2b} \cdot 3^b)) & = c \\ (^6 \log 2^{4+a}3^a)(^{12} \log 2^{2b}3^{3+b}) & = c. \end{aligned}$$Berdasarkan sifat perkalian logaritma,
$\boxed{^a \log b \times ^b \log c = ^a \log c}$
numerus $2^{a+4}3^a$ harus berbentuk $12^k$ untuk $k$ bilangan asli. Karena $12 = 2^{\color{blue}{2}} \cdot 3^{\color{blue}{1}}$, maka kita peroleh
$\dfrac{a+4}{\color{blue}{2}} = \dfrac{a}{\color{blue}{1}} \Rightarrow a = 4$.
Selanjutnya, numerus $2^{2b}3^{3+b}$ harus berbentuk $6^k$ untuk $k$ bilangan asli. Karena $6 = 2^{\color{blue}{1}} \cdot 3^{\color{blue}{1}}$, maka kita peroleh
$\dfrac{2b}{\color{blue}{1}} = \dfrac{3+b}{\color{blue}{1}} \Rightarrow b = 3$.
Akibatnya,
$\begin{aligned} c & = (6 \log 2^{4+4}3^4)(^{12} \log 2^{2(3)}3^{3+3}) \\ & = (^6 \log 12^4)(^{12} \log 6^6) \\ & = (4)(6) = 24. \end{aligned}$
Jadi, nilai $a, b, c$ berturut-turut adalah $4, 3$, dan $24$.

[collapse]

Soal Nomor 14

Buktikan bahwa $^2 \log 3$ adalah bilangan irasional.

Pembahasan

Dengan menggunakan pembuktian kontradiksi, andaikan $^2 \log 3$ adalah bilangan rasional.
Misalkan $x = ^2 \log 3 = \dfrac{a}{b}$. Karena $x > 0$, maka $a$ dan $b$ dapat diasumsikan sebagai suatu bilangan bulat positif.
Perhatikan bahwa, $x = ^2 \log 3 \iff 2^x = 3$ (sesuai dengan definisi logaritma). Ini berarti, $2^{\frac{a}{b}} = 3$ sehingga $2^a = 3^b$.
Jika $a, b$ bilangan bulat positif, maka $2^a$ adalah bilangan genap, sedangkan $3^b$ adalah bilangan ganjil. Ini jelas kontradiksi sehingga pengandaian harus diingkari. Jadi, terbukti bahwa $^2 \log 3$ adalah bilangan irasional. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 15

Buktikan bahwa jika $p^2 = qr$, maka $^q \log p + ^r \log p = 2 \cdot~^q \log p \cdot~^r \log p.$

Pembahasan

Kita dapat nyatakan $p^2 = qr$ dalam bentuk logaritma, lalu gunakan sejumlah sifat logaritma untuk membuktikan pernyataan tersebut.
$\begin{aligned} ^p \log qr & = 2 \\ ^p \log q +~^p \log r & = 2 \\ \dfrac{1}{^q \log p}+\dfrac{1}{^r \log p} & = 2 \\ \dfrac{^r \log p +~^q \log p}{^q \log p \cdot~^r \log p} & = 2 \\ ^q \log p +~^r \log p & = 2 \cdot~^q \log p \cdot~^r \log p \end{aligned}$
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 16

Buktikan pernyataan berikut.
$3^{\sqrt{^3 \log 7}} = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}$

Pembahasan

Gunakan definisi dan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} a^b & = c \iff ^a \log c = b \\ ^a \log b & = \dfrac{1}{^b \log a} \end{aligned}}$
Pembuktian dari ruas kiri.

Misalkan $^3 \log 7 = p$ sehingga
$7 = 3^p \Leftrightarrow 7^{\frac{1}{p}} = 3.$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} 3^{\sqrt{^3 \log 7}} & = \left(7^{\frac{1}{p}}\right)^{\sqrt{p}} \\ & = 7^{\frac{\sqrt{p}}{p}} \\ &= 7^{\frac{1}{\sqrt{p}}} \\ & = 7^{\frac{1}{\sqrt{^3 \log 7}}} \\ & = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}. \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa
$\boxed{3^{\sqrt{^3 \log 7}} = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}}$

[collapse]

Soal Nomor 17

Tentukan nilai dari
$$\dfrac{3^{2017} + 3^{2016}}{5-(2^{2016}-2^{2015}-2^{2014}-\cdots-4-2-1)}-3^{2016}.$$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$ 2^n-2^{n-1}-2^{n-2}-\cdots-2-1 = 1$$untuk setiap bilangan asli $n$ sehingga
$$2^{2016}-2^{2015}-2^{2014}-\cdots-4-2-1 = 1.$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{3^{2017} + 3^{2016}}{5-(2^{2016}-2^{2015}-2^{2014}-\cdots-4-2-1)}-3^{2016} & = \dfrac{3^{2016} \cdot 3 + 3^{2016}}{5-1}-3^{2016} \\ & = \dfrac{3^{2016}\cancel{(3 + 1)}}{\cancel{4}}-3^{2016} \\ & = 3^{2016}-3^{2016} = 0. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\dfrac{3^{2017} + 3^{2016}}{5-(2^{2016}-2^{2015}-2^{2014}-\cdots-4-2-1)}-3^{2016} = 0}$$

[collapse]

Soal Nomor 18

Diketahui $\dfrac{^f \log ab}{^f \log d} = \dfrac{1730}{9}$, $^{cd} \log ab = 173$, dan $^c \log b = -290$. Tentukan nilai dari $^c \log a.$

Pembahasan

Diketahui $^{cd} \log ab = 173$, berarti $ab = (cd)^{173}$.
Dari persamaan $\dfrac{^f \log ab}{^f \log d} = \dfrac{1730}{9}$, diperoleh
$$\begin{aligned} ^d \log ab & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log (cd)^{173} & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log c + 1 & = \dfrac{10}{9} \\ ^d \log c & = \dfrac19. \end{aligned}$$Selanjutnya, perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} ^d \log c \cdot \! ^c \log b & = \dfrac19 \cdot (-290) \\ ^d \log b & = -\dfrac{290}{9}. \end{aligned}$$Berikutnya,
$$\begin{aligned} ^d \log ab & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log a + \! ^d \log b & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log a-\dfrac{290}{9} & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log a & = \dfrac{2020}{9} \\ ^a \log d & = \dfrac{9}{2020}. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} ^a \log d \cdot \! ^d \log c & = \dfrac{9}{2020} \cdot \dfrac19 \\ ^a \log c & = \dfrac{1}{2020} \\ ^c \log a & = 2020. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{^c \log a = 2020}$

[collapse]

Soal Nomor 19

Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan real yang memenuhi $2^x = 3^y = 216,$ tentukan nilai dari $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}.$

Pembahasan

Cara Pertama: Logaritma
Diketahui dua persamaan berikut.
$$\begin{cases} 2^x & = 216 && (\cdots 1) \\ 3^y & = 216 && (\cdots 2) \end{cases}$$Perhatikan bahwa pada persamaan $(1)$ dan $(2),$ kita dapat ubah $216$ menjadi $6^3,$ kemudian menarik tanda logaritma pada kedua ruasnya.
Pada persamaan $(1),$ kita peroleh
$$\begin{aligned} 2^x & = 6^3 \\ \log 2^x & = \log 6^3 \\ x \log 2 & = 3 \log 6 \\ x & = \dfrac{3 \log 6}{\log 2} \\ \dfrac{1}{x} & = \dfrac{\log 2}{3 \log 6}. \end{aligned}$$Berikutnya, dengan cara yang serupa pada persamaan $(2),$ kita peroleh
$$\begin{aligned} 3^y & = 6^3 \\ \log 3^y & = \log 6^3 \\ y \log 3 & = 3 \log 6 \\ y & = \dfrac{3 \log 6}{\log 3} \\ \dfrac{1}{y} & = \dfrac{\log 3}{3 \log 6}. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} & = \dfrac{\log 2}{3 \log 6} + \dfrac{\log 3}{3 \log 6} \\ & = \dfrac{\cancel{\log 6}}{3 \cancel{\log 6}} \\ & = \dfrac13. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac13}$
Cara Kedua:
Perhatikan bahwa $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy}.$
Kita punya dua persamaan berikut.
$$\begin{cases} 2^x & = 216 = 6^3 && (\cdots 1) \\ 3^y & = 216 = 6^3 && (\cdots 2) \end{cases}$$Pada persamaan $(1),$ kita pangkatkan kedua ruas dengan $y.$ Pada persamaan $(2),$ kita pangkatkan kedua ruas dengan $x.$ Kita peroleh
$$\begin{aligned} \rightarrow (2^x)^y & = (6^3)^y \\ 2^{xy} & = 6^{3y} \\ \rightarrow (3^y)^x & = (6^3)^x \\ 3^{xy} & = 6^{3x}. \end{aligned}$$Kalikan hasilnya masing-masing sesuai ruas.
$$\begin{aligned} 2^{xy} \cdot 3^{xy} & = 6^{3y} \cdot 6^{3x} \\ (2 \cdot 3)^{xy} & = 6^{3x + 3y} \\ 6^{xy} & = 6^{3(x + y)} \\ xy & = 3(x + y) \\ \dfrac{x+y}{xy} & = \dfrac13. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac13}$
Cara Ketiga:
Kita punya dua persamaan berikut.
$$\begin{cases} 2^x = 216 & \Rightarrow 2 = 216^{1/x} \\ 3^y = 216 & \Rightarrow 3 = 216^{1/y} \end{cases}$$Kalikan sesuai ruas dan kita peroleh
$$\begin{aligned} 2 \cdot 3 & = 216^{1/x} \cdot 216^{1/y} \\ 6 & = 216^{1/x + 1/y} \\ 6^1 & = 6^{3(1/x + 1/y)} \\ 1 & = 3\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} & = \dfrac13. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac13}$

[collapse]

Soal Nomor 20

Diberikan rasio $\log x : \log y : \log z = 3 : (-4) : 5$ dan $xyz = 100.$ Hitunglah $x, y,$ dan, $z.$

Pembahasan

Untuk $a$ suatu bilangan real, berlaku
$$\begin{aligned} \log x & = 3a \\ \log y & = -4a \\ \log z & = 5a. \end{aligned}$$Ingat bahwa $xyz = 100.$ Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \log x + \log y + \log z & = 3a + (-4a) + 5a \\ \log xyz & = 4a \\ \log 100 & = 4a \\ 2 & = 4a \\ \dfrac12 & = a. \end{aligned}$$Substitusi nilai $a$ tersebut untuk mencari nilai $x, y, z.$
$$\begin{aligned} \log x = 3\left(\dfrac12\right) & \Rightarrow x = 10^{\frac32} \\ \log y = -4\left(\dfrac12\right) & \Rightarrow y = 10^{-2} \\ \log z = 5\left(\dfrac12\right) & \Rightarrow z = 10^{\frac52} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 21

Diberikan $x, y, z~(x \ne 0)$ yang memenuhi persamaan $2^x = 3^y = 12^z.$ Tunjukkan bahwa $\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{z}.$

Pembahasan

Misalkan $2^x = 3^y = 12^z = a.$
Dengan demikian, kita peroleh beberapa persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 2^x = a & \Rightarrow x = \! ^2 \log a \\ 3^y = a & \Rightarrow y = \! ^3 \log a \\ 12^z = a & \Rightarrow z = \! ^{12} \log a \end{aligned}$$Berikutnya, akan ditunjukkan bahwa $\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{z}$ (pembuktian dari ruas kiri).
$$\begin{aligned} \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} & = \dfrac{2}{^2 \log a} + \dfrac{1}{^3 \log a} \\ & = 2 \cdot \! ^a \log 2 + \! ^a \log 3 \\ & = \! ^a \log 4 + \! ^a \log 3 \\ & = \! ^a \log (4 \cdot 3) \\ & = \! ^a \log 12 \\ & = \dfrac{1}{^{12} \log a} \\ & = \dfrac{1}{z} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{z}.$

[collapse]

Soal Nomor 22

Diberikan $a, b, c$ yang memenuhi $a^x = b^y = c^z = 64$ dan $^2 \log abc = 6.$ Hitunglah $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}.$

Pembahasan

Misalkan $a^x = b^y = c^z = 64.$
Dengan demikian, kita peroleh beberapa persamaan berikut.
$$\begin{aligned} a^x = 64 & \Rightarrow x = \! ^a \log 64 \\ b^y = 64 & \Rightarrow y = \! ^b \log 64 \\ c^z = 64 & \Rightarrow z = \! ^{c} \log 64 \end{aligned}$$Perhatikan juga bahwa $^2 \log abc = 6$ mengimplikasikan bahwa $\color{red}{abc = 2^6 = 64}.$
Berikutnya, akan dicari nilai $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}.$
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{^a \log 64} + \dfrac{1}{^b \log 64} + \dfrac{1}{^{c} \log 64} \\ & = \! ^{64} \log a + \! ^{64} \log b + \! ^{64} \log c \\ & = \! ^{64} \log \color{red}{abc} \\ & = \! ^{64} \log \color{red}{64} \\ & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 23

Diberikan $2 \cdot \log (a-b) = \log a + \log b,$ tentukan:
a. $a : b$
b. $(a^2 + b^2) : ab$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat logaritma, persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \cancel{\log} (a-b)^2 & = \cancel{\log} ab \\ (a-b)^2 & = ab \\ a^2-2ab+b^2 & = ab \\ a^2-3ab+b^2 & = 0 \end{aligned}$$Jawaban a)
Untuk memunculkan bentuk $a : b = \dfrac{a}{b},$ bagi kedua ruas persamaan terakhir dengan $b^2.$
$$\begin{aligned} \dfrac{a^2-3ab+b^2}{b^2} & = \dfrac{0}{b^2} \\ \left(\dfrac{a}{b}\right)^2-3 \cdot \dfrac{a}{b} + 1 & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $\dfrac{a}{b} = x.$ Kita peroleh
$$\begin{aligned} x^2-3x + 1 & = 0 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac94+1 & = 0 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2 & = \dfrac54 \\ x-\dfrac32 & = \pm \dfrac12\sqrt5 \\ x & = \pm \dfrac12\sqrt5 + \dfrac32 \\ x & = \dfrac{\pm \sqrt5 + 3}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a : b = (\pm \sqrt5 + 3) : 2}$
Jawaban b)
Perhatikan persamaan $a^2-3ab+b^2 = 0.$ Dengan menambahkan kedua ruas dengan $3ab,$ kemudian membagi kedua ruas dengan $ab,$ diperoleh
$$\begin{aligned} a^2 + b^2 & = 3ab \\ \dfrac{a^2 + b^2}{ab} & = 3. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{(a^2 + b^2) : ab = 3 : 1}$

[collapse]
 

Soal Nomor 24

Jika terdapat $a > b > 1$ yang memenuhi $^a \log b^2 + \! ^b \log a^6 = 13,$ hitunglah $\dfrac{a + b^4}{a^2 + b^2}.$

Pembahasan

Ide utamanya adalah memunculkan bentuk logaritma yang sama dengan menggunakan sifat kebalikan, kemudian lakukan pemisalan, sederhanakan, dan cari nilai logaritma tersebut.
$$\begin{aligned} ^a \log b^2 + \! ^b \log a^6 & = 13 \\ 2 \cdot \! ^a \log b + 6 \cdot \! ^b \log a & = 13 \\ 2 \cdot \! ^a \log b + 6 \cdot \! \dfrac{1}{^a \log b} & = 13 \end{aligned}$$Misalkan $^a \log b = x.$
$$\begin{aligned} 2x + \dfrac{6}{x}-13 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas}~&\text{dengan}~x \\ 2x^2-13x + 6 & = 0 \\ (2x-1)(x-6) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $x = \dfrac12$ atau $x = 6.$
Perhatikan bahwa $x = \! ^a \log b.$ Karena $a > b > 1$ yang berarti bahwa basis logaritma lebih besar dari numerusnya, maka nilai $^a \log b$ tidak mungkin bernilai lebih dari $1.$ Jadi, nilai yang mungkin adalah $x = \! ^a \log b = \dfrac12$ sehingga $b = a^{\frac12}.$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a + b^4}{a^2 + b^2} & = \dfrac{a + (a^{\frac12})^4}{a^2 + (a^{\frac12})^2} \\ & = \dfrac{a + a^2}{a^2 + a} \\ & = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{a + b^4}{a^2 + b^2} = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 25

Diketahui $a, g, m,$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $^a \log g^3 = 2$ dan $^m \log n^2 = 4.$ Tuliskan semua kemungkinan nilai dari $a-m$ jika $g-n=45.$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} ^a \log g^3 = 2 & \Rightarrow g^3 = a^2 \Rightarrow g = a^{2/3} \\ ^m \log n^2 = 4 & \Rightarrow n^2 = m^4 \Rightarrow n = m^2 \end{aligned}$$Karena $g-n=45,$ maka kita peroleh
$$\begin{aligned} a^{2/3}-m^2 & = 45 \\ (a^{1/3}-m)(a^{1/3}+m) &= 45 \end{aligned}$$Tinjau bahwa $a$ dan $m$ adalah bilangan bulat positif sehingga $a^{1/3}-m$ pasti lebih kecil nilainya daripada $a^{1/3}+m.$
Gunakan kemungkinan perkalian 2 bilangan bulat yang menghasilkan $45.$
$$\begin{array}{|c|c|} \hline & a^{1/3}-m & a^{1/3}+m \\ \hline \text{Kemungkinan 1} & 1 & 45 \\ \hline \text{Kemungkinan 2} & 3 & 15 \\ \hline \text{Kemungkinan 3} & 5 & 9 \\ \hline \end{array}$$Pada kemungkinan $1,$ kita peroleh SPDV berikut.
$$\begin{cases} a^{1/3}-m & = 1 \\ a^{1/3}+m & = 45 \end{cases}$$Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan itu sehingga diperoleh penyelesaiannya, yaitu $a = 23^3 = 12.167$ dan $m = 22$ sehingga $a-m = 12.145.$
Dengan cara yang serupa, kemungkinan $2$ menghasilkan nilai $a = 9^3 = 729$ dan $m = 6$ sehingga $a-m=723.$
Kemungkinan $3$ menghasilkan nilai $a = 7^3 = 343$ dan $m = 2$ sehingga $a-m=341.$
Jadi, semua kemungkinan nilai $a-m$ dinyatakan sebagai anggota himpunan $\boxed{\{341, 723, 12.145\}}$

[collapse]