Soal dan Pembahasan – Fungsi (Tingkat Lanjut)

Berikut ini adalah soal-soal (disertai pembahasan) tentang fungsi (function) tingkat lanjut. Sumbernya berasal dari soal-soal perkuliahan, olimpiade tingkat SMP/SMA, dan sebagainya.

Baca: Soal dan Pembahasan – Relasi dan Fungsi

Baca: Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi

Quote by Merry Riana

Janganlah mengeluh karena tangan yang belum dapat menggapai bintang, tetapi bersyukurlah karena kaki masih dapat menginjak bumi.

Soal Nomor 1
Tentukan domain, kodomain, dan daerah hasil (range) dari diagram panah yang mewakili fungsi $f$ berikut.

Pembahasan

Daerah asal (domain) fungsi $f$ adalah
$D_f = \{1, 3, 5, 7, 9\}$
Daerah kawan (kodomain) fungsi $f$ adalah
$K_f = \{2, 4, 6, 8\}$
Daerah hasil (range) dari fungsi $f$ adalah anggota kodomain yang memiliki pasangan dengan anggota domain, yaitu
$R_f = \{2, 6, 8\}$ 

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui $f(x) = x + 7, g(x) = x^2- 4x + 5$, dan $h(x) = x^3 + x^2- 2x + 8$. Tentukan hasil dari operasi aljabar fungsi berikut.
a. $(f + g + h)(x)$
b. $(f- g- 2h)(x)$
c. $(3f + h^2)(3)$
d. $\left(\dfrac{f}{h} + g^2\right)(1)$

Pembahasan

Jawaban a)
$$\begin{aligned} (f + g + h)(x) & = f(x) + g(x) + h(x) \\ & = (x + 7) + (x^2- 4x + 5) + (x^3 + x^2- 2x + 8) \\ & = x^3 + 2x^2- 5x + 20 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\boxed{(f + g + h)(x) = x^3 + 2x^2- x + 20}$
Jawaban b)
$$\begin{aligned} (f- g- 2h)(x) & = f(x)- g(x)- 2h(x) \\ & = (3x + 7)- (x^2- 4x + 5)- 2(x^3 + x^2- 2x + 8) \\ & =-2x^3- 3x^2 + 11x- 6 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\boxed{(f- g- 2h)(x) =-2x^3- 3x^2 + 11x- 6}$
Jawaban c)
Diketahui:
$\begin{aligned} f(3) & = 3 + 7 = 10 \\ h(3) & = 3^3 + 3^2- 2(3) + 8 \\ & = 27 + 9- 6 + 8 = 38 \end{aligned}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} (3f + h^2)(3) & = 3f(3) + h^2(3) \\ & = 3(10) + (38)^2 \\ & = 30 + 1.444 = 1.474 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{(3f + h^2)(3) = 1.474}$
Jawaban d)
Diketahui:
$\begin{aligned} f(1) & = 1 + 7 = 8 \\ g(1) & = 1^2- 4(1) + 5 = 2 \\ h(1) & = 1^3 + 1^2- 2(1) + 8 = 8 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \left(\dfrac{f}{h} + g^2\right)(1) & = \dfrac{f(1)}{h(1)} + g^2(1) \\ & = \dfrac{8}{8} + 2^2 = 5 \end{aligned}$

Jadi, diperoleh $\boxed{\left(\dfrac{f}{h} + g^2\right)(1) = 5}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Fungsi-fungsi berikut adalah fungsi-fungsi dari himpunan $A = \{1, 2, 3\}$ ke himpunan $B = \{a,b,c\}$. Manakah yang merupakan fungsi surjektif?
a. $f = \{(1,a),(2,b),(3,c)\}$
b. $g = \{(1,a),(2,b),(3,b)\}$
c. $h = \{(1,c),(2,b),(3,a)\}$
d. $k = \{(1, b), (2,b),(3,c)\}$

Pembahasan

Jawaban a)
Perhatikan bahwa semua anggota himpunan $B$ (kodomain) memiliki pasangan pada anggota himpunan $A$ (domain). Karena kodomain = range, maka fungsi ini tergolong fungsi surjektif.
Jawaban b)
Perhatikan bahwa $c \in B$ tidak memiliki pasangan pada anggota himpunan $A$ (domain). Karena kodomain ≠ range, maka fungsi ini bukan fungsi surjektif
Jawaban c)
Perhatikan bahwa semua anggota himpunan $B$ (kodomain) memiliki pasangan pada anggota himpunan $A$ (domain). Karena kodomain = range, maka fungsi ini tergolong fungsi surjektif.
Jawaban d)
Perhatikan bahwa $a \in B$ tidak memiliki pasangan pada anggota himpunan $A$ (domain). Karena kodomain ≠ range, maka fungsi ini bukan fungsi surjektif.

[collapse]

Soal Nomor 4
Di antara fungsi-fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi injektif?
a. $y: f(x) = 5x-3$
b. $y: f(x) = 2x^2$
c. $y: f(x) = x^3-1$

Pembahasan

Jawaban a)
Misalkan $a, b$ anggota bilangan real yang merupakan domain dari fungsi $f$. Asumsikan $f(a) = f(b)$. Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} f(a) & = f(b) \\ 5a- \cancel{3} & = 5b- \cancel{3} \\ 5a & = 5b \\ a & = b \end{aligned}$
Karena $f(a) = f(b)$ mengakibatkan $a = b$, maka fungsi tersebut adalah fungsi injektif.
Jawaban b)
Misalkan $a, b$ anggota bilangan real yang merupakan domain dari fungsi $f$. Asumsikan $f(a) = f(b)$. Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} f(a) & = f(b) \\ 2a^2 & = 2b^2 \\ a^2 & = b^2 \\ a & = \pm b \end{aligned}$
Karena $f(a) = f(b)$ belum tentu mengakibatkan $a = b$, maka fungsi tersebut bukan fungsi injektif.
Jawaban c)
Misalkan $a, b$ anggota bilangan real yang merupakan domain dari fungsi $f$. Asumsikan $f(a) = f(b)$. Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} f(a) & = f(b) \\ a^3- \cancel{1} & = b^3- \cancel{1} \\ a^3 & = b^3 \\ a &= b \end{aligned}$
Karena $f(a) = f(b)$ mengakibatkan $a = b$, maka fungsi tersebut adalah fungsi injektif.

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan $\mathbb{Z}$ adalah himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan suatu aturan pengawanan $f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ dengan rumus $(\forall x \in \mathbb{Z}) f(x) = 2x^2- 2$.

  1. Selidiki apakah $f$ adalah fungsi dari $\mathbb{Z}$ ke $\mathbb{Z}$.
  2. Jika $f$ suatu fungsi, apakah $f$ merupakan fungsi injektif (1-1)?

Pembahasan

Jawaban a)
$f$ adalah fungsi yang memetakan bilangan bulat ke bilangan bulat. Kebenaran pernyataan ini dapat diidentifikasi dengan melihat rumus fungsinya, yaitu $f(x) = 2x^2- 2$. Jika $x$ bulat, maka $x^2$ juga bulat dan bila dikali $2$, kemudian dikurang $2$, hasilnya tetap bulat, karena perkalian dan pengurangan bilangan bulat bersifat tertutup.
Jawaban b)
Syarat suatu fungsi dengan $a, b \in \mathbb{D}$ dikatakan injektif: jika $f(a) = f(b) $, maka $a = b$.
Diketahui:
$f(a) = 2a^2- 2$ dan $f(b) = 2b^2-2$
Karena $f(a) = f(b)$, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} 2a^2- 2 & = 2b^2- 2 \\ 2a^2 & = 2b^2 \\  a^2 & = b^2 \\ a & = \pm b \end{aligned}$
Oleh karena $f(a) \neq f(b)$ jika diambil $a =-b$, maka fungsi $f$ tidak injektif.
Catatan:
$\bigstar$ Jangan langsung “menghilangkan” pangkat dua (mengakarkuadratkan kedua ruas) pada bentuk $a^2 = b^2$. Hal ini kadang tidak menimbulkan masalah untuk kasus tertentu, tetapi kadang pula juga menimbulkan kekeliruan, bahkan fallacy.
$\bigstar$ simbol $\mathbb{D}$ menyatakan himpunan anggota domain fungsi.

[collapse]

Soal Nomor 6
Diberikan
$f\left(\dfrac{2x+2}{3x-4}\right) = 5x$
Tentukan $f(x)$.

Pembahasan

Misalkan $y = \dfrac{2x+2}{3x-4}$
Buat $x$ sebagai subjek persamaan sebagai berikut.
$\begin{aligned} y & = \dfrac{2x+2}{3x-4} \\ 3xy- 4y & = 2x+2 \\ 3xy- 2x & = 4y + 2 \\ x(3y- 2) & = 4y + 2 \\ x & = \dfrac{4y+2}{3y-2} \end{aligned} $
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} f\left(\dfrac{2x+2}{3x-4}\right) & = 5x \\ f(y) & = 5\left(\dfrac{4y+2}{3y-2}\right) \\ f(y) & = \dfrac{20y + 10}{3y- 2} \end{aligned}$
Dengan mengganti $y$ sebagai $x$, kita peroleh
$\boxed{f(x) = \dfrac{20x+10}{3x-2}} $

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $f(x) = \dfrac{x}{x-1}$, maka $f(3x)$ dapat dinyatakan dalam $f(x)$, yaitu $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \dfrac{x}{x-1}$, sehingga
$\begin{aligned} f(3x) & = \dfrac{3x} {3x-1} = \dfrac{3x} {3x-1} \times \dfrac{\dfrac{1}{x-1}} {\dfrac{1}{x-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{3x} {x-1}} {\dfrac{3x-1}{x-1}} = \dfrac{3\left(\dfrac{x} {x-1}\right)} {\dfrac{2x +x-1}{x-1}} \\ & = \dfrac{3\left(\dfrac{x} {x-1}\right)} {\dfrac{2x} {x-1} + \dfrac{x-1}{x-1}} \\ & = \dfrac{3\left(\dfrac{x} {x-1}\right)} {2\left(\dfrac{x}{x-1}\right) + 1} \\ & = \dfrac{3f(x)} {2f(x) + 1} \end{aligned}$
Jadi, $f(3x)$ dapat dinyatakan dalam $f(x)$ sebagai berikut.
$\boxed{f(3x) = \dfrac{3f(x)} {f(x) +1}} $

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $f$ adalah fungsi yang memenuhi
$f\left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x} f(-x) = 2x$
untuk setiap bilangan real $x \neq 0$, tentukan nilai $f(2)$.

Pembahasan

Ambil $x =-2$, sehingga diperoleh
$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)- \dfrac{1}{2}f(2) =-4~~~~~\bigstar$
Sekarang, ambil $x = \dfrac{1}{2}$, diperoleh
$f(2) + 2f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1~~~~\bigstar \bigstar$
Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel. Variabel yang dimaksud adalah $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ dan $f(2)$. Karena nilai $f(2)$ yang akan dicari, kita hanya perlu mengeliminasi $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ dengan menggunakan metode eliminasi.
Kalikan $2$ pada persamaan $\bigstar$, kemudian kurangi hasilnya dengan persamaan $\bigstar \bigstar$ untuk memperoleh
$\begin{aligned}-f(2)- f(2) & =-8- 1 \\-2f(2) & =-9 \\ f(2) & = \dfrac{9}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $f(2)$ adalah $\dfrac{9}{2}$.

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $f(xy) = f(x + y)$ dan $f(7) = 7$, maka $f(1008) = \cdots \cdot$

Pembahasan

Misalkan diambil $x = n$ dan $y = 1$, didapat
$f(n \times 1) = f(n) = f(n + 1)$
Karena $f(7) = 7$, maka
$f(7) = f(8) = f(9) = \cdots = f(1008) = 7$
Jadi, nilai dari $f(1008)$ adalah $7$.

[collapse]

Soal Nomor 10
Misalkan $f$ adalah fungsi yang memenuhi $f(x) f(y)- f(xy) = x + y$ untuk setiap bilangan bulat positif $x$ dan $y$. Berapakah nilai $f(2004)$?

Pembahasan

Misalkan dipilih $x = 2004$ dan $y = 0$, didapat
$\begin{aligned} f(2004)f(0)- f(2004 \times 0) & = 2004 + 0 \\ f(2004)f(0)- f(0) & = 2004~~~~\bigstar \end{aligned} $
Dari bentuk di atas, kita mengetahui bahwa untuk mendapatkan nilai dari $f(2004)$, kita harus mencari nilai $f(0)$ terlebih dahulu.
Sekarang, misalkan diambil $x = 0$ dan $y = 0$, didapat
$\begin{aligned} f(0)f(0)- f(0) & = 0 + 0 \\ f(0)(f(0)- 1) & = 0 \end{aligned}$
Didapat nilai $f(0)=0$ atau $f(0)=1$. Suatu fungsi tidak mungkin memiliki nilai yang berbeda pada anggota domain yang sama (berdasarkan definisi fungsi) .Oleh karena itu, perlu dilakukan pemeriksaan lain.
Selanjutnya, ambil $x = 1$ dan $y = 0$, didapat
$\begin{aligned} f(1)f(0)- f(0) & = 1 + 0 \\ f(0)(f(1)- 1) & = 1 \end{aligned}$
Misalkan dipilih $f(0) = 0$, maka persamaan itu tidak akan pernah terpenuhi (perkalian 0 dengan berapapun akan menghasilkan 0, tidak mungkin 1). Jika diambil $f(0) = 1$, djperoleh $f(1) = 2$ agar persamaan itu terpenuhi. Ini berarti,nilai $f(0)$ adalah 1.
Kembali ke $\bigstar$, substitusikan $f(0)= 1$, didapat
$\begin{aligned} f(2004) \times 1- 1 & = 2004 \\ f(2004) & = 2005\end{aligned}$
Jadi, nilai $f(2004)$ adalah $2005$.

[collapse]

Soal Nomor 11 (Soal OSK 2003/South Carolina MC 1996)
Dimisalkan bahwa $f(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ dan $f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5)$. Tentukan nilai $a$.

Pembahasan

Misalkan $f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = \beta$. Ini berarti, dapat ditulis
$f(x) = \beta + (x-1)(x-2)(x-3)$ $(x-4)(x-5)$
Dengan demikian, akan didapat koefisien dari ekspresi $x^4$ dengan cara menguraikan bentuk $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$. Kalikan sesama $x$ sampai 4 kali (sehingga terbentuk $x^4$), kemudian kalikan dengan bilangan $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Selanjutnya, diperoleh koefisien $x^4$, yakni
$a =-(1 + 2 + 3 + 4 + 5) =-15$
Selain itu, dengan menggunakan Teorema Vieta, kita juga dapatkan
$\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 & =-\dfrac{\text{Koef.}~x^4}{\text{Koef.}~x^5} \\ 1+2+3+4+5 & =-\dfrac{a} {1} \\ a & =-15 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{-15}$.
 

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari fungsi $f(x) = x^{2008}-2x^{2007} + 3x^{2006}-4x^{2005}$ $+ 5x^{2004}-\cdots-2006x^{3} +2007x^2-$ $2008x + 2009$ untuk sembarang bilangan real $x$.

Pembahasan

Perhatikanlah bahwa ternyata fungsi di atas dapat ditulis kembali menjadi
$$\begin{aligned} f(x) & = x^{2006}(x-1)^2 + 2x^{2004}(x-1)^2 \\ & + 3x^{2002}(x-1)^2 + \cdots + 1004(x-1)^2 + 1005 \end{aligned}$$Bilangan kuadrat tidak pernah menghasilkan bilangan negatif, sehingga $f(x)$ akan minimum saat $x = 1$ karena nilai minimum bentuk kuadrat adalah 0. Dengan demikian, didapat
$\boxed{f(1) = 0 + 0 + \cdots + 0 + 1005 = 1005}$
Jadi, nilai minumum yang mungkin dari $f(x)$ adalah $1005$.

[collapse]

Soal Nomor 13
Nilai minimum dari fungsi
$f(x) = \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}$ untuk $0 < x < \pi$
adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Perhatikanlah bahwa fungsi di atas dapat ditulis menjadi
$f(x) = 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x}$
Dengan menggunakan Ketaksamaan Rataan Aritmetik-Geometrik (AM-GM), diperoleh
$\begin{aligned} 9x \sin x+\dfrac{4}{x \sin x} & \geq 2\sqrt{9x \sin x \times \dfrac{4}{x \sin x}} \\ & = 2\sqrt{36} = 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum dari fungsi tersebut adalah $12$.

[collapse]

Soal Nomor 14
Suatu fungsi $f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Q}$ mempunyai rumus
$f(x+1)= \dfrac{1+ f(x)} {1-f(x)}$
untuk setiap $x \in \mathbb{Z}$. Jika $f(2)=2$, maka tentukan $f(2009)$.

Pembahasan

Diketahui $f(2) = 2$.
Misalkan $x = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} & f(2+1) = \dfrac{1 + f(2)} {1-f(2)} \\ & \Leftrightarrow f(3)= \dfrac{1+2}{1-2} =-3 \end{aligned}$
Misalkan $x = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} & f(3+1) = \dfrac{1 + f(3)} {1-f(3)} \\ & \Leftrightarrow f(4)= \dfrac{1-3}{1+3} =-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Misalkan $x = 4$, diperoleh
$\begin{aligned} & f(4+1) = \dfrac{1 + f(4)} {1-f(4)} \\ &  \Leftrightarrow f(5)= \dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Misalkan $x = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} f(5+1) & = \dfrac{1 + f(5)} {1-f(5)} \\ & \Leftrightarrow f(6)= \dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}} = 2 \end{aligned}$
Kita dapatkan $f(2) = f(6) = 2$.
Ini menunjukkan bahwa nilai fungsi ini memiliki pola yang berperiodik setiap 4 selang (mulai dari $x = 4$):
$-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, 2,-3,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots$
Karena $2009 = 4 \times 502 + 1$ dan dengan menggunakan pola yang didapat itu, maka
$\boxed{f(2009) = f(5) = \dfrac{1}{3}} $
Jadi, nilai dari $f(2009)$ adalah $\dfrac{1}{3}$.

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $f(x+1) = f(x)+3x+1$ dan $f(1)=1$, maka nilai $f(5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                       C. $22$                     E. $40$
B. $12$                     D. $35$

Pembahasan

Diketahui $f(x+1) = f(x)+3x+1$.
Karena $f(1) = 1$, maka substitusi $x = 1$ pada persamaan fungsi di atas menghasilkan
$\begin{aligned} f(\color{red}{1}+1) & = f(\color{red}{1})+3(\color{red}{1})+1 \\ f(2) & = 1 + 3 + 1 = 5 \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusi $x = 2$ pada persamaan fungsi.
$\begin{aligned} f(\color{red}{2}+1) & = f(\color{red}{2})+3(\color{red}{2})+1 \\ f(3) & = 5 + 6 + 1 = 12 \end{aligned}$
Berikutnya, substitusi $x = 3$ pada persamaan fungsi.
$\begin{aligned} f(\color{red}{3}+1) & = f(\color{red}{3})+3(\color{red}{3})+1 \\ f(4) & = 12 + 9 + 1 = 22 \end{aligned}$
Terakhir, substitusi $x = 4$ pada persamaan fungsi.
$\begin{aligned} f(\color{red}{4}+1) & = f(\color{red}{4})+3(\color{red}{4})+1 \\ f(5) & = 22 + 12 + 1 = 35 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f(5) = 35}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Misalkan $\mathbb{R}$ menyatakan himpunan bilangan real, $A = \mathbb{R}- \{3\}$, dan $B = \mathbb{R}- \{1\}$.
Misalkan fungsi $f: A \mapsto B$ didefinisikan $f(x) = \dfrac{x- 2}{x- 3}$.

  1. Tunjukkan bahwa $f$ merupakan fungsi bijektif.
  2. Tentukan rumus untuk $f^{-1}$ (invers fungsi $f$).  
  3. Apakah $f^{-1}$ merupakan fungsi invers?

Pembahasan

Jawaban a)
Agar suatu fungsi disebut bijektif, maka fungsi itu harus injektif dan surjektif.
Suatu fungsi dikatakan injektif jika berlaku: $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$, untuk sembarang $x, y \in A$.
Suatu fungsi dikatakan surjektif jika ada $b \in B$ sedemikian sehingga $f(a) = b$ dengan $a \in A$.
Akan ditunjukkan bahwa fungsi itu injektif sebagai berikut.
Ambil $x, y \in A$ sehingga berlaku
$\begin{aligned}f(x) & = f(y) \\ \dfrac{x- 2}{x- 3} & = \dfrac{y- 2}{y-3} \\ (x- 2)(y- 3) & = (x- 3)(y- 2)\\ xy- 3x- 2y + 6 & = xy- 2x- 3y + 6 \\ x = y \end{aligned}$
Jadi, fungsi itu injektif.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa fungsi itu surjektif sebagai berikut.
Menunjukkan $f$ surjektif berarti semua anggota $B$ (kodomain) memiliki pasangan dengan anggota $A$ (domain). Ambil sembarang $t \in B$, maka kita harus menentukan pasangan $t$ di $A$. 
$\begin{aligned} & f(x) = t = \dfrac{x-2}{x-3} \\ & t(x- 3)= x-2 \\ & tx- x =-2 + 3t \\ & x(t- 1) =-2 + 3t \\ & x = \dfrac{3t- 2}{t- 1} \end{aligned}$
Jadi, pasangan $t$ adalah $\dfrac{3t-2}{t-1}$. Karena $t$ diambil sembarang dan $t \neq 1$ (himpunan $B$ tidak memuat 1), maka $f$ surjektif.
Oleh karena $f$ injektif dan surjektif, maka $f$ adalah fungsi bijektif.
Jawaban b) 
$f^{-1}(x) =\dfrac{3t-2}{t-1}, \forall t \in B$
Jawaban c) 
Karena $f$ fungsi bijektif, maka $f$ memiliki invers dan ini berarti $f^{-1}$ adalah fungsi invers.

[collapse]

Soal Nomor 17
Misalkan $\mathbb{R}$ adalah himpunan bilangan real dan fungsi $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ didefinisikan
$f(x) = \begin{cases} x^2- 2, & \text{jika}~x \geq 2 \\ x + 2, & \text{jika}~x < 2 \end{cases}$
Apakah $f$ injektif, surjektif, atau bijektif?

Pembahasan

Karena $f$ adalah fungsi parsial (piecewise function), maka untuk menunjukkan $f$ injektif dan surjektif, harus dibagi menjadi 2 kasus. 
i) Akan ditunjukkan $f$ injektif
Ambil $x, y \in \mathbb{R}, x, y \geq 2$, sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = f(y) \\ x^2-2 & = y^2- 2\\ x^2 & = y^2 \\ x & = y \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $x, y \geq 2$ (positif), sehingga $x \neq-y$ (tidak mungkin negatif). 
Ambil $x, y \in \mathbb{R}, x, y < 2$, sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = f(y) \\ x + 2 & = y + 2 \\ x & = y \end{aligned}$
Jadi, $f$ injektif (dari kedua kasus).
ii) Akan ditunjukkan $f$ surjektif

Ambil $t \in \mathbb{R}$. Akan dicari $x \in \mathbb{R}, x \geq 2$ sehingga $f(x) = t$. 
$\begin{aligned} f(x) = x^2- 2 & = t \\ x & = \sqrt{t+2} \end{aligned}$
Sekarang, akan dicari $x \in \mathbb{R}, x < 2$, sehingga $f(x) = t$. 
$\begin{aligned} f(x) & = x + 2 = t \\ x & = t- 2 \end{aligned}$
Dari sini, terbukti bahwa $f$ surjektif. 
Oleh karena $f$ injektif dan surjektif, maka $f$ adalah fungsi bijektif.

[collapse]

Soal Nomor 18 (Soal Prediksi UNBK SMP Versi HOTS)
Diketahui $f(x)$ adalah suatu fungsi yang memenuhi $f(x+y) = x + f(y)$ dan $f(0)=2$. Nilai dari $f(2019)$ adalah $\cdots$
A. $2018$                    C. $2020$
B. $2019$                    D. $2021$

Pembahasan

Diketahui $f(0)=2$. 
Substitusikan $y = 0$ pada rumus fungsinya. 
$\begin{aligned} f(x+y) & = x + f(y) \\ f(x+0) & = x + f(0) \\ f(x) & = x + 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusikan $x=2019$ pada rumus fungsi $f(x) =x+2$. 
$\begin{aligned} f(x) =x+2 \implies f(2019) & =2019+2 \\ & =2021 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $f(2019)$ adalah $\boxed{2021}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus
$f(x) = \begin{cases} 2x+1, &\text{untuk}~x~\text{genap} \\ 2x-1, &\text{untuk}~x~\text{ganjil} \end{cases}$
Jika $a$ adalah bilangan asli, nilai yang tidak mungkin untuk $f(a)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $21$                      C. $61$
B. $39$                      D. $77$

Pembahasan

Untuk $x$ genap, dapat ditulis $x = 2n$ untuk $n$ bilangan bulat. Dengan demikian, rumus fungsinya dinyatakan oleh
$f(2n) = 2(2n)+1 = 4n+1$
Untuk $x$ ganjil, dapat ditulis $x = 2n+1$ untuk $n$ bilangan bulat. Dengan demikian, rumus fungsinya dinyatakan oleh
$f(2n+1) = 2(2n+1)-1 = 4n+1$
Jadi, baik $x$ genap maupun ganjil, nilai fungsinya selalu berbentuk $4n+1$.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} 21 & = 4(5) + 1 \\ 61 & = 4(15)+1 \\ 77 & = 4(19)+1 \end{aligned}$
sehingga nilai $f(a)$ yang tidak mungkin adalah $\boxed{39}$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Gambarkan grafik fungsi $f(x) = \dfrac{x+2}{x-5}$, kemudian tentukan daerah asal dan rangenya!

Pembahasan

Sketsakan titik-titik yang dilalui grafik fungsi tersebut dengan menggunakan tabel seperti di bawah.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x &-2 & 6 & 12 \\ \hline f(x) & 0 & 8 & 2 \\ \hline (x, f(x)) & (-2,0) & (6,8) & (12,2) \\ \hline \end{array}$
Asimtot datar ditentukan dari hasil bagi koefisien $x$ pada pembilang terhadap koefisien $x$ pada penyebut, yaitu
$\begin{aligned} y & = \dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x~\text{pada pem}\text{bilang}}{\text{Koefi}\text{sien}~x~\text{pada pen}\text{yebut}} \\ & = \dfrac{1}{1} = 1 \end{aligned}$

Asimtot tegak: $x = 5$
(ini dapat dilihat dari penyebutnya yang tidak boleh bernilai $0$).

Gambar grafik fungsinya sebagai berikut.

Daerah asal fungsi adalah $D_f = \{x~|~x \neq 5\}$.
Daerah hasil (range) fungsi adalah $R_f = \{y~|~y \neq 1\}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika $f(x+x^{-1}) = x^3+x^{-3}$, tentukan $f(x)$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa untuk setiap $a, b$ bilangan real, berlaku
$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
Pilih $a = x$ dan $b = x^{-1}$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} (x+x^{-1})^3 & = (x)^3+3(x)^2(x^{-1})+3(x)(x^{-1})^2+(x^{-1})^3 \\ & = x^3+3x+3x^{-1}+x^{-3} \\ & = (x^3+x^{-3})+3(x+x^{-1}) \\ x^3+x^{-3} & = (x+x^{-1})^3-3(x+x^{-1}) \end{aligned}$$Karena diketahui $f(x+x^{-1}) = x^3+x^{-3}$, maka
$f(x+x^{-1}) = (x+x^{-1})^3-3(x+x^{-1})$
Tetapkan $x + x^{-1} = u$ sehingga dapat ditulis $f(u) = u^3-3u$.
Substitusikan kembali $u = x$ dan diperoleh $\boxed{f(x) = x^3-3x}$

[collapse]

Soal Nomor 22
Diketahui bahwa $f\left(\dfrac{x+y}{x-y}\right) = \dfrac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$ untuk $x \neq y$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat.
Sekarang, diberikan 4 pernyataan:
1. $f(0)=0$
2. $f(1)=1$
3. $f(-x)=-f(x)$
4. $f(-x) =f(x)$
Pernyataan yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ dan $2$
B. $1, 2$, dan $3$
C. $2$ dan $3$
D. $1, 2$, dan $4$
E. $1, 2, 3$, dan $4$

Pembahasan

Diketahui $f\left(\dfrac{x+y}{x-y}\right) = \dfrac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$.
Berdasarkan bentuk tersebut, kita bisa melakukan tebakan bahwa $f(x) = x$ sehingga
$f\left(\dfrac{x+y}{x-y}\right) = \dfrac{x+y}{x-y} = \dfrac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$

Karena itu, jika $x = 0$, kita peroleh $f(0) = 0$. Jadi, pernyataan $1$ benar
Jika $x = 1$, diperoleh $f(1) = 1$. Pernyataan $2$ juga benar.
Karena $f(x) = x$, maka $f(-x) = -x = -f(x)$. Berarti, pernyataan $3$ benar, sedangkan pernyataan $4$ salah.
(Jawaban B)

[collapse]