Soal Latihan dan Penyelesaian – Persamaan Diferensial Eksak


Berikut ini adalah soal-soal tentang persamaan diferensial eksak dan bentuk PD yang bisa dieksakkan. Klik link berikut untuk mempelajari materi lain terkait persamaan diferensial.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Linear Orde Satu
Soal Latihan dan Penyelesaian PD dengan Variabel Terpisah
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen

Soal Nomor 1
Tentukan nilai konstanta A agar persamaan diferensial (x^2 + 3xy)~dx + (Ax^2 + 4y)~dy = 0 eksak. Lanjutkan membaca “Soal Latihan dan Penyelesaian – Persamaan Diferensial Eksak”

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Materi & Soal Latihan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu


Suatu persamaan diferensial yang mempunyai bentuk \dfrac{dy}{dx} = f(t,y) disebut persamaan diferensial orde satu. Apabila fungsi f bergantung linear pada variabel bebas y, maka persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
\dfrac{dy}{dt} + p(t)y = g(t)
Persamaan diferensial dalam bentuk seperti ini disebut persamaan diferensial linear orde satu, dengan syarat p dan g masing-masing kontinu pada suatu interval \alpha < t < \beta. Contohnya adalah
\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{1}{2}y = \dfrac{5}{2}t
dengan p(t) = \dfrac{1}{2} dan g(t) = \dfrac{5}{2}t, di mana p adalah fungsi konstan dan g adalah fungsi linear.
Berikut ini disajikan beberapa soal terkait penyelesaian PD linear orde satu. SEMOGA BERMANFAAT! Jangan lupa klik link berikut untuk materi PD lainnya.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD dengan Variabel Terpisah
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Eksak
Lanjutkan membaca “Materi & Soal Latihan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu”

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal Latihan dan Pembahasan – Persamaan Diferensial (Tingkat Dasar)

   Persamaan Diferensial (biasa disingkat PD) merupakan salah satu mata kuliah spesialis matematika yang termasuk dalam tingkat advanced. Digolongkan dalam tingkat advanced karena materi ini memerlukan pemahaman lanjutan dari materi-materi penunjang, terutama kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Oleh karena itu, pembaca disarankan untuk menguasai kedua materi ini sebelum memulai mempelajari mengenai persamaan diferensial. Postingan ini menyajikan beberapa contoh soal terkait pengenalan persamaan diferensial (dasar).  Klik juga pranala berikut untuk bentuk soal PD lainnya.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Linear Orde Satu
Soal Latihan dan Penyelesaian PD dengan Variabel Terpisah
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Eksak

Soal Nomor 1
Tentukan orde persamaan diferensial berikut dan tentukan apakah termasuk persamaan linear atau tidak.
a. x.\dfrac{d^2y}{dx^2}+3.\dfrac{dy}{dx} - 2xy = \sin x

b. y.\dfrac{d^2y}{dx^2}-x\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 + x^2y = e^{-x}

c. (1+y^2)\dfrac{d^2y}{dt^2} + t.\dfrac{dy}{dt} + 2y = e^t

d. \dfrac{d^4y}{dt^4} + \dfrac{d^3y}{dt^3} + \dfrac{d^2y}{dt^2}+ y = 1

Penyelesaian

Jawaban a)
Persamaan diferensial orde dua (dari ekspresi \dfrac{d^2y}{dx^2}) dan termasuk persamaan linear.
Jawaban b)
Persamaan diferensial orde dua (dari ekspresi \dfrac{d^2y}{dx^2}) tetapi bukan termasuk persamaan linear karena suku keduanya, yaitu -x\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 mengandung turunan y berpangkat 2.

Jawaban c)
Persamaan diferensial orde dua (dari ekspresi \dfrac{d^2y}{dt^2}) tetapi bukan termasuk persamaan linear karena suku pertamanya, yaitu (1+y^2)\dfrac{d^2y}{dt^2} mengandung perkalian variabel terikat y dengan turunannya.

Jawaban d)
Persamaan diferensial orde empat (dari ekspresi \dfrac{d^4y}{dt^4}) dan termasuk persamaan linear.

[collapse]

Soal Nomor 2
Bentuklah persamaan diferensial dari: y = A \sin x + B \cos x

Penyelesaian

Ingat bahwa
\boxed{\begin{aligned}&\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x \\ & \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x \end{aligned}}
y = A \sin x + B \cos x
Turunkan kedua ruas terhadap x, diperoleh
\dfrac{dy}{dx} = A \cos x - B \sin x
Turunkan sekali lagi terhadap x, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{d^2y}{dx^2} & = -A \sin x - B \cos x \\ &  = -(A \sin x + B \cos x) = -y \end{aligned}
Dengan demikian, kita dapatkan
\dfrac{d^2y}{dx^2} + y = 0
Jadi, bentuk persamaan diferensial dari persamaan y = A \sin x + B \cos x adalah \dfrac{d^2y}{dx^2} + y = 0

[collapse]

Soal Nomor 3
Bentuklah persamaan diferensial dari y = x + \dfrac{A}{x}

Penyelesaian

Diberikan
y = x + \dfrac{A}{x}
Turunkan kedua ruas terhadap x, diperoleh
\dfrac{dy}{dx} = 1 - \dfrac{A}{x^2} \bigstar
Karena y = x + \dfrac{A}{x}, maka dengan mengubah A sebagai subjek persamaan, diperoleh
A = x(y - x)
Substitusikan A ini ke \bigstar, didapat
\dfrac{dy}{dx} = 1 - \dfrac{x(y-x)}{x^2} = 1 - \dfrac{y-x}{x} =\dfrac{2x-y}{x}
Jadi, persamaan diferensialnya adalah
\boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x-y}{x}} atau 
\boxed{x \dfrac{dy}{dx} = 2x - y}

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung y = Ce^{-4x} dengan C adalah konstanta sembarang.

Penyelesaian

Ingatlah rumus turunan fungsi transenden berikut, dengan u menyatakan fungsi dalam variabel bebas x.
\boxed{\dfrac{d}{dx}e^u = u'e^u}
Karena ada satu konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1: y = Ce^{-4x}
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: \dfrac{dy}{dx} = -4Ce^{-4x}
Dari persamaan 1: C = \dfrac{y}{e^{-4x}}, substitusikan C ke persamaan 2 untuk mendapatkan
\dfrac{dy}{dx} = -4\dfrac{y}{e^{-4x}}e^{-4x} = -4y
\boxed{\dfrac{dy}{dx} + 4y = 0}
Jadi, persamaan diferensial yang dimaksud adalah \dfrac{dy}{dx} + 4y = 0

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan persamaan diferensial dari y = x^3 + Ax^2 + Bx + C dengan A,B,C masing-masing merupakan konstanta sembarang.

Penyelesaian

Persamaan 1: y = x^3 + Ax^2 + Bx + C
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 2Ax + B
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 3: \dfrac{d^2y}{dx^2} = 6x + 2A
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 4: \dfrac{d^3y}{dx^3} = 6
Jadi, persamaan diferensial yang dimaksud adalah \boxed{\dfrac{d^3y}{dx^3} - 6 = 0}

[collapse]

Soal Nomor 6
Carilah persamaan diferensial dari berkas kardioida r = a(1 - \cos \theta) dengan a adalah konstanta sembarang.

Penyelesaian

Karena ada satu konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1: r = a(1 - \cos \theta)
Turunkan r terhadap \theta, diperoleh
Persamaan 2: \dfrac{dr}{d\theta} = a \sin \theta
Substitusikan a = \dfrac{r}{1 - \cos \theta} dari persamaan 1 ke persamaan 2,
\dfrac{dr}{d\theta} = \dfrac{r}{1 - \cos \theta}\times \sin \theta
\boxed{(1 - \cos \theta)\dfrac{dr}{d\theta} = r \sin \theta}
Jadi, persamaan diferensialnya adalah
(1 - \cos \theta)\dfrac{dr}{d\theta} = r \sin \theta

[collapse]

Soal Nomor 7
Carilah persamaan diferensial dari keluarga lingkaran dengan jari-jari tetap yang berpusat pada sumbu x dengan persamaannya
(x-c)^2 + y^2 = r^2 di mana c adalah suatu konstanta.

Penyelesaian

Karena ada 1 konstanta sembarang, maka diperlukan dua persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1: (x-c)^2 + y^2 = r^2
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: 2(x-c) + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0
Dari persamaan 2, diperoleh x - c = -y\dfrac{dy}{dx}
Substitusikan ke persamaan 1 sehingga diperoleh
\left(-y\dfrac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 = r^2
y^2\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 = r^2
Jadi, persamaan diferensial yang dimaksud adalah \boxed{y^2\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 = r^2}

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan persamaan diferensial dari x = y - (y^2 + 1)

Penyelesaian

Diberikan persamaan x = y - (y^2 + 1). Turunkan terhadap y, diperoleh
\dfrac{dx}{dy} = 1 - 2y. Jadi, persamaan diferensialnya

\boxed{\dfrac{dx}{dy} = 1 - 2y}

[collapse]

Soal Nomor 9
Carilah persamaan diferensial dari fungsi primitif (fungsi sederhana yang mudah untuk diintegrasikan) berikut jika A dan B adalah konstanta sembarang.
a. y = Ae^x + B
b. y = A \sin (y + B)

Penyelesaian

Jawaban a)
Persamaan 1: y = Ae^x + B
Turunkan y terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: \dfrac{dy}{dx} = Ae^x
Turunkan sekali lagi,
Persamaan 3: \dfrac{d^2y}{dx^2} = Ae^x
Dari persamaan 2 dan 3, kita peroleh
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d^2y}{dx^2} \Leftrightarrow \dfrac{d^2y}{dx^2} - \dfrac{dy}{dx} = 0
Jadi, persamaan diferensialnya adalah
\boxed{\dfrac{d^2y}{dx^2} - \dfrac{dy}{dx} = 0}
Jawaban b)
Persamaan 1: x = A \sin (y + B)
Turunkan x terhadap y, diperoleh
Persamaan 2: \dfrac{dx}{dy} = A \cos (y + B)
Turunkan sekali lagi,
Persamaan 3: \dfrac{d^2x}{dy^2} = -A \sin (y + B)
Dari persamaan 1 dan persamaan 3, kita dapatkan
x = -\dfrac{d^2x}{dy^2} \Leftrightarrow \dfrac{d^2x}{dy^2} + x = 0
Jadi, persamaan diferensialnya adalah
\boxed{\dfrac{d^2x}{dy^2} + x = 0}

[collapse]

Soal Nomor 10
Tunjukkan kebenaran teorema berikut.
Jika f_1 solusi dari \dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q_1(x) dan f_2 solusi dari \dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q_2(x), maka f_1 + f_2 merupakan solusi dari \dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q_1(x) + Q_2(x).

Penyelesaian

Misalkan turunan pertama f_1 dan  f_2 berturut-turut adalah  f_1' dan f_2'.
Dari hipotesis, kita peroleh dua persamaan berikut:
\begin{cases} f_1' + P(x)f_1 = Q_1(x) \\ f_2' + P(x)f_2 = Q_2(x)\end{cases} (\bigstar)
Untuk membuktikan bahwa  f_1 + f_2 merupakan solusi dari persamaan  \dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q_1(x) + Q_2(x), substitusikan y = f_1 + f_2, dengan \dfrac{dy}{dx} = f_1' + f_2' ke ruas kirinya, sehingga diperoleh
f_1' + f_2' + P(x)(f_1 + f_2)
= (f_1' + P(x)f_1) + (f_2' + P(x)f_2)
Dengan menggunakan (\bigstar), diperoleh
= Q_1(x) + Q_2(x)
(Terbukti) \blacksquare

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini