Materi, Soal, dan Pembahasan – Pecahan Berlanjut

Ada 4 jenis pecahan berdasarkan bentuknya yang perlu kita kenali dan identifikasi, yaitu:

  1. Pecahan biasa, yaitu pecahan yang terdiri dari pembilang dan penyebut, dihubungkan oleh garis datar, misalnya $\dfrac38, \dfrac{2}{\sqrt3}$, dan lain-lain.
  2. Pecahan desimal, yaitu pecahan yang dituliskan menggunakan simbol koma, misalnya $0,56$; $7,000$, $0,123456789$, dan lain-lain.
  3. Persen, yaitu pecahan yang ditulis menggunakan notasi $\%$ (pecahan biasa dengan penyebut $100$). Misalnya, $5\%$ berarti $\dfrac{5}{100} = 0,05$.
  4. Permil, yaitu pecahan yang ditulis menggunakan notasi ‰ (pecahan biasa dengan penyebut $1000$). Misalnya, $5$‰ berarti $\dfrac{5}{1000} = 0,005$.

Berdasarkan nilai pembilang dan penyebutnya, pecahan dibedakan menjadi 2 jenis, yaitu:

  1. Pecahan tak murni/sejati (improper fraction), yaitu pecahan yang nilai pembilangnya lebih besar atau sama dengan nilai penyebutnya, misalnya $\dfrac{13}{4}$, $\dfrac{63}{48}$, $\dfrac{100}{100}$, dan sebagainya. Pecahan ini selanjutnya dapat diubah bentuknya menjadi pecahan campuran (mixed fraction), yaitu dalam bentuk $a + \dfrac{b}{c} = a\dfrac{b}{c}$, untuk $a, b, c$ bilangan bulat dan $0 < b < c$.
  2. Pecahan murni/sejati (proper fraction), yaitu pecahan yang nilai pembilangnya lebih kecil dari nilai penyebutnya, misalnya $\dfrac35$, $\dfrac{99}{100}$, dan sebagainya.

Pada pecahan biasa, apabila pembilang dan penyebutnya berupa bilangan bulat $$\{\cdots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots\},$$maka pecahan biasa itu bisa dituliskan dalam bentuk pecahan desimal berhingga, misalnya
$$\dfrac38 = 0,375$$atau pecahan desimal berpola tak berhingga, misalnya
$$\dfrac{29}{99} = 0,292929\cdots$$sekaligus mendefinisikan arti dari bilangan rasional.

Terkadang kita menemukan pecahan biasa seperti
$$\dfrac{\dfrac37 + \dfrac12}{\dfrac13-\dfrac15}$$Pecahan di atas memuat pembilang berupa pecahan lagi, begitu juga penyebutnya. Beberapa orang memberi istilah “pecahan dalam pecahan” pada bentuk seperti ini. Pecahan tersebut dapat disederhanakan, yaitu membuatnya dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$, dengan $a, b$ bilangan bulat, seperti berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{\dfrac37 + \dfrac12}{\dfrac13-\dfrac15} & = \dfrac{\dfrac{6 + 7}{14}}{\dfrac{5-3}{15}} \\ & = \dfrac{\dfrac{13}{14}}{\dfrac{2}{15}} \\ & = \dfrac{13}{14} \cdot \dfrac{15}{2} \\ & = \dfrac{195}{28} \end{aligned}$$Kali ini, kita akan membahas mengenai pecahan berlanjut (continued fraction), yaitu pecahan tak murni yang dinyatakan dalam bentuk pecahan campuran, tetapi pada bagian pecahannya terdapat bentuk pecahan lagi di bagian penyebut, begitu seterusnya.

Dalam notasi pecahan, kita juga diperkenalkan dengan istilah resiprokal (kebalikan). Sebagai contoh, $\dfrac57$ dapat ditulis dalam bentuk resiprokal $\dfrac{1}{\frac75}$. Ini sejalan dengan kesepakatan kita bahwa pecahan dapat dimaknai sebagai operasi pembagian. Dalam hal ini,
$$\dfrac57 = 1 \times \dfrac57 = 1 \div \dfrac75$$Bentuk resiprokal ini dipakai untuk menyatakan suatu bilangan rasional sebagai pecahan berlanjut.

Pecahan berlanjut ada 2 jenis, yaitu:

  1. Pecahan berlanjut berhingga (finite continued fraction) dengan bentuk umum
    $$a_0 + \cfrac{b_1}{a_1 + \cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{a_3 + \cfrac{b_4}{\ddots + \cfrac{b_n}{a_n}}}}}$$dengan $a_0, a_1, \cdots, a_n$ dan $b_1, b_2, \cdots, b_n$ adalah bilangan bulat, serta $n \geq 1$. Untuk menyatakan suatu pecahan berlanjut berhingga sebagai pecahan biasa, hitung terlebih dahulu ekspresi yang terletak paling “bawah”, lalu gunakan sifat resiprokal pecahan, hitung lagi pecahannya, lalu gunakan sifat resiprokal lagi, dan seterusnya. Proses ini dilakukan secara berulang-ulang sampai ditemukan bentuk pecahan $\dfrac{a}{b}$.

    Sebagai contoh, nyatakan pecahan berlanjut berikut dalam bentuk pecahan biasa.

    $$\cfrac{3}{1+\cfrac{2}{\color{red}{3+\cfrac12}}}$$Pertama, hitung ekspresi yang ditandai warna merah. Kita peroleh
    $$\cfrac{3}{1+\color{blue}{\cfrac{2}{\cfrac72}}}$$Gunakan sifat resiprokal pecahan untuk menghitung ekspresi yang diberi warna biru. Kita peroleh
    $$\dfrac{3}{1+2 \cdot \dfrac27} = \dfrac{3}{\color{red}{1+\dfrac47}}$$Hitung kembali ekspresi yang diberi warna, lalu gunakan sifat resiprokal, dan hitung lagi.
    $$\begin{aligned} \dfrac{3}{\dfrac{11}{7}} & = 3 \cdot \dfrac{7}{11} \\ & = \dfrac{21}{11} \end{aligned}$$Jadi, bentuk pecahan biasanya adalah $\boxed{\dfrac{21}{11}}$
  2. Pecahan berlanjut tak berhingga (infinite continued fraction) dengan bentuk umum
    $$a_0 + \cfrac{b_1}{a_1 + \cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{a_3 + \cfrac{b_4}{a_4 + \ddots}}}}$$dengan $a_0, a_1, \cdots, a_n$ dan $b_1, b_2, \cdots, b_n$ adalah bilangan bulat, serta $n \geq 1$.Pada pecahan berlanjut tak berhingga, nilai yang kita peroleh sebenarnya merupakan suatu hampiran (penaksiran), artinya kita mencari nilai limitnya, yang menyatakan bahwa pecahan berlanjut tersebut konvergen ke nilai limit itu, tetapi tidak pernah sampai di sana. Konvergen artinya menuju ke satu nilai, lawannya divergen (menyebar).
    Ilustrasi “tidak sampai di sana” bisa dipahami dari contoh berikut. Jika ada barisan $$0, 0, 0, 0, \cdots$$maka jelas bahwa barisan ini konvergen ke $0$ dan akan sampai di $0$ ditinjau dari pola barisannya. Hal berbeda kita jumpai ketika mengamati barisan $$0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; \cdots$$ yang juga konvergen ke $0$, namun bedanya tidak akan sampai di $0$.

Pecahan Berlanjut Sederhana

Ketika nilai $b_n = 1$ untuk setiap $n$, maka kita sebut sebagai pecahan berlanjut sederhana (simple continued fraction). Oleh karena itu, pecahan berlanjut tak berhingga sederhana merepresentasikan suatu bilangan real $x$ dalam bentuk
$$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\ddots}}}$$dengan $a_0$ adalah bilangan bulat dan $a_1, a_2, \cdots$ adalah bilangan bulat positif. Untuk menyederhanakan penulisan pecahan berlanjut, biasanya kita gunakan notasi seperti berikut.
$$a_0 + \dfrac{1}{a_1 +} \dfrac{1}{a_2 +} \dfrac{1}{a_3+} \cdots = \left[a_0; a_1, a_2, a_3, \cdots\right]$$Pecahan berlanjut berhingga sederhana pasti berupa bilangan rasional. Kebalikannya juga benar, yaitu setiap bilangan rasional $\dfrac{m}{n}$ dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berlanjut berhingga sederhana. Caranya adalah menggunakan Algoritma Euclid.
Jika $m = nq+r$, maka $$\dfrac{m}{n} = q+\dfrac{r}{n} = q+\dfrac{1}{\frac{n}{r}}$$dan proses ini berlanjut dengan membagi $n$ oleh $r$, dan seterusnya. Simak contoh berikut untuk lebih jelasnya.

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Algoritma Euclid

Contoh 
Nyatakan $-\dfrac{551}{802}$ dalam bentuk pecahan berlanjut sederhana.

Jawab:
Pertama, tuliskan Algoritma Euclid untuk pasangan bilangan $(-551, 802)$.

$$\begin{aligned} -551 & = -1 \times 802 + 251 \\ 802 & = 3 \times 251 + 49 \\ 251 & = 5 \times 49 + 6 \\ 49 & = 8 \times 6 + 1 \\ 6 & = 1 \times 6 + 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} -\dfrac{551}{802} & = -1 + \cfrac{1}{\cfrac{802}{251}} \\ & = -1+\cfrac{1}{3 + \cfrac{49}{251}} \\ & = -1+\cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{\cfrac{251}{49}}} \\ & = -1+\cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{5 + \cfrac{6}{49}}} \\ & = -1+\cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{5 + \cfrac{1}{\cfrac{49}{6}}}} \\ & = -1+\cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{5 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{6}}}} \end{aligned}$$Jadi, pecahan $-\dfrac{551}{802}$ senilai dengan pecahan berlanjut sederhana $$\boxed{-1+\cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{5 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{6}}}}}$$

Quote by John Dewey

Give the pupils something to do, not something to learn; and the act of doing is of such a nature as to demand thinking; learning naturally results.

Berikut ini disajikan beberapa soal terkait pecahan berlanjut berhingga maupun tak berhingga, disertai dengan pembahasannya. Semoga dapat dijadikan referensi untuk latihan. 

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Pecahan berlanjut berikut yang senilai dengan $\dfrac{21}{11}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac13}$
B. $3 -\cfrac{2}{1 + \cfrac14}$
C. $1 + \cfrac{3}{2 -\cfrac25}$
D. $4 + \cfrac{2}{5- \cfrac45}$
E. $1 + \cfrac{2}{2 + \cfrac15}$

Pembahasan

Cek Opsi A
$$\begin{aligned} 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac13} & = 2 + \cfrac{1}{\cfrac43} \\ & = 2 + \dfrac34 = \dfrac{11}{4} \end{aligned}$$Cek Opsi B
$$\begin{aligned} 3 -\cfrac{2}{1 + \cfrac14} & = 3-\cfrac{2}{\cfrac54} \\ & = 3-2 \cdot \dfrac45 \\ & = 3-\dfrac85 = \dfrac75 \end{aligned}$$Cek Opsi C
$$\begin{aligned} 1 + \cfrac{3}{2 -\cfrac25} & = 1+\cfrac{3}{\cfrac85} \\ & = 1+3 \cdot \dfrac58 \\ & = 1+\dfrac{15}{8} = \dfrac{23}{8} \end{aligned}$$Cek Opsi D
$$\begin{aligned} 4 + \cfrac{2}{5- \cfrac45} & = 4+\cfrac{2}{\cfrac{21}{5}} \\ & = 4+2 \cdot \dfrac{5}{21} \\ & = 4 + \dfrac{10}{21} = \dfrac{94}{21} \end{aligned}$$Cek Opsi E
$$\begin{aligned} 1 + \cfrac{2}{2 + \cfrac15} & = 1+\cfrac{2}{\cfrac{11}{5}} \\ & = 1+2 \cdot \dfrac{5}{11} \\ & = 1+\dfrac{10}{11} = \dfrac{21}{11} \end{aligned}$$Jadi, pecahan berlanjut yang senilai dengan $\dfrac{21}{11}$ adalah $\boxed{1 + \cfrac{2}{2 + \cfrac15}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui $\dfrac{14}{9} = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x}}}$. Nilai bilangan bulat positif $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                    C. $5$                  E. $14$
B. $4$                    D. $9$

Pembahasan

Menggunakan Algoritma Euclid, kita peroleh
$$\begin{aligned} 14 & = 1 \times 9 + 5 \\ 9 & = 1 \times 5 + 4 \\ 5 & = 1 \times 4 + 1 \\ 4 & = 4 \times 1 + 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapat tuliskan
$$\begin{aligned} \dfrac{14}{9} & = 1+\dfrac{5}{9} \\ & = 1+\cfrac{1}{\cfrac95} \\ & = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac45} \\ & = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\cfrac54}} \\ & = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac14}} \end{aligned}$$Jadi, nilai bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{4}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Misalkan $\cfrac{2}{3+\cfrac{1}{7+\cfrac12}} = \dfrac{a}{b}$, dengan $a, b$ keduanya bilangan bulat positif. Nilai $a+b = \cdots \cdot$
A. $54$                       D. $109$
B. $77$                       E. $124$
C. $82$

Pembahasan

Nyatakan pecahan berlanjut tersebut dalam bentuk pecahan campuran.
$$\begin{aligned} \cfrac{2}{3+\cfrac{1}{7+\cfrac12}} & = \cfrac{2}{3 + \cfrac{1}{\cfrac{15}{2}}} \\ & = \cfrac{2}{3 + \cfrac{2}{15}} \\ & = \cfrac{2}{\cfrac{47}{15}} = \cfrac{30}{47} \end{aligned}$$Jadi, diperoleh nilai $a = 30$ dan $b = 47$, sehingga $\boxed{a+b=30+47=77}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Bila $$\dfrac{775}{121} = a+\cfrac{1}{b + \cfrac{1}{c + \cfrac{1}{d + \cfrac{1}{e + \cfrac{1}{e+\cfrac{1}{f}}}}}}$$untuk suatu $a, b, c, d, e, f$ bilangan bulat, maka nilai $a+b+c+d+e+f = \cdots \cdot$
A. $10$                    C. $14$                      E. $20$
B. $12$                    D. $18$

Pembahasan

Dengan berbantuan Algoritma Euclid, kita tuliskan dulu skema perhitungan berikut.
$$\begin{aligned} 775 & = 6 \times 121 + 49 \\ 121 & = 2 \times 49 + 23 \\ 49 & = 2 \times 23 + 3 \\ 23 & = 7 \times 3 + 2 \\ 3 & = 1 \times 2 + 1 \\ 2 & = 2 \times 1 + 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapat nyatakan
$$\begin{aligned} \dfrac{775}{121} & = 6 + \dfrac{49}{121} \\ & = 6 + \cfrac{1}{\cfrac{121}{49}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{23}{49}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\cfrac{49}{23}}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{3}{23}}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\cfrac{23}{3}}}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{7+\cfrac{2}{3}}}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{\cfrac32}}}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{1 + \cfrac12}}}}\end{aligned}$$Dengan menggunakan penulisan notasi yang lebih ringkas,
$$\dfrac{775}{121} = \left[6; 2, 2, 7, 1, 2\right]$$Jadi, didapat
$$\begin{array}{cc} \hline a = 6 & b = 2 & c = 2 \\ d = 7 & e = 1 & f = 2 \\ \hline \end{array}$$sehingga $$\boxed{a+b+c+d+e+f = 6+2+2+7+1+2 = 20}$$(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Apabila $\dfrac{15}{7}$ dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berlanjut
$$3-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{1+y}}},$$maka nilai $y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac14$                 C. $\dfrac34$                   E. $\dfrac54$
B. $\dfrac23$                 D. $\dfrac45$

Pembahasan

Gunakan Algoritma Euclid, tetapi kita perluas dan sesuaikan dengan tanda positif-negatifnya. Perhatikan bahwa tanda negatif muncul 3 kali, tanda positif muncul sekali di bagian akhir.
$$\begin{aligned} 15 & = 3 \times 7-6 \\ 7 & = 2 \times 6-5 \\ 6 & = 2 \times 5-4 \\ 5 & = 1 \times 4 + 1 \\ 4 & = 4 \times 1 + 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{15}{7} & = 3-\dfrac67 \\ & = 3-\cfrac{1}{\cfrac76} \\ & = 3-\cfrac{1}{2-\cfrac56} \\ & = 3-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{\cfrac65}} \\ & = 3-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac45}} \\ & = 3-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{\cfrac54}}} \\ & = 3-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{1+\color{red}{\cfrac14}}}} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{y = \dfrac14}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diberikan sebuah fungsi $f$ dengan
$$f(x) = \cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\ddots}}}$$Jika $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari $f(x)$, maka nilai $f'(0) = \cdots \cdot$
A. $-1$                   C. $1$                   E. $4$
B. $0$                      D. $2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} f(x) & = \cfrac{x}{1+\color{blue}{\cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\ddots}}}} \\ f(x) & = \dfrac{x}{1+\color{blue}{f(x)}} \\ f^2(x) + f(x) & = x \end{aligned}$$Turunkan secara implisit terhadap $x$ masing-masing suku pada kedua ruas. Kita peroleh
$$\begin{aligned} 2f(x)f'(x) + f'(x) & = 1 \\ \text{Substitusi}~x & = 0 \\ 2f(0)f'(0) + f'(0) & = 1 \end{aligned}$$Karena $$f(0) = \cfrac{0}{1+\cfrac{0}{1+\cfrac{0}{1+\ddots}}}= 0,$$ kita peroleh
$$\begin{aligned} 2(0)f'(0) + f'(0) & = 1 \\ 0 + f'(0) & = 1 \\ f'(0) & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f'(0) = 1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $$x = 2+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}$$Jika $x$ dapat dinyatakan dalam bentuk $a+\sqrt{b}$ dengan $a, b$ bilangan cacah, maka nilai $a+b = \cdots \cdot$

A. $0$                     C. $2$                     E. $5$
B. $1$                     D. $3$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x & = 2+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}} \\ x & = 2+\dfrac{1}{x} \\ x^2 & = 2x + 1 && (\cdots \times~x) \\ x^2-2x-1 & = 0 \end{aligned}$$Kita peroleh persamaan kuadrat yang penyelesaiannya dapat dicari dengan memakai rumus ABC.
$$\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} \\ & = \dfrac{2 \pm 2\sqrt2}{2} \\ & = 1 \pm \sqrt2 \end{aligned}$$Karena nilai $x$ tendensi ke nilai positif dilihat dari bilangan pada bentuk pecahannya, maka $x = 1 + \sqrt2$. Jadi, diperoleh $a = 1$ dan $b = 2$, sehingga $\boxed{a+b=1+2=3}$
(Jawaban D)

[collapse]