Soal dan Pembahasan – Pertidaksamaan Nilai Mutlak

       Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam notasi mutlak. Masalah yang muncul dalam materi ini adalah penentuan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Penyelesaian yang dimaksud adalah nilai-nilai variabel yang membuat pertidaksamaan bernilai benar. Materi ini merupakan lanjutan dari perhitungan nilai mutlak dan persamaan nilai mutlak sehingga penguasaan materi yang bersangkutan harus dipastikan terlebih dahulu.

Baca : Soal dan Pembahasan – Perhitungan Nilai Mutlak

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Nilai Mutlak

      Berikut disajikan soal dan pembahasan terkait pertidaksamaan nilai mutlak. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi untuk belajar.

Quote by Winston Churchill

Success is not final, failure is not fatal. It is the courage to continue that counts.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-1|<2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x \leq -1$                      D. $-3<x<1$
B. $x \leq 3$                         E. $-1<x<3$
C. $x > -1$

Penyelesaian

Diketahui $|x-1| < 2$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-1| & < & 2 \\ -2 & < & x-1 & < & 2 \\ -2+1 & < & x & < & 2+1 \\ -1 & < & x & < & 3 \end{array}$
Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{-1 < x < 3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Himpunan penyelesaian dari $|2x+5| \leq 6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{-\dfrac{11}{2} \leq x \leq \dfrac12\right\}$
B. $\left\{-\dfrac{11}{2} \leq x \leq -\dfrac12\right\}$
C. $\left\{\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{11}{2}\right\}$
D. $\left\{-\dfrac{11}{2} \leq x \leq \dfrac{11}{2}\right\}$
E. $\left\{x \leq -\dfrac{11}{2}~\text{atau}~ x \geq \dfrac12\right\}$

Penyelesaian

Diketahui $|2x+5| \leq 6$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |2x+5| & < & 6 \\ -6 & < & 2x+5 & < & 6 \\ -6-5 & < & 2x & < & 6-5 \\ -11 & < & 2x & < & 1 \\ -\dfrac{11}{2} & < & x & < & \dfrac12 \end{array}$
Jadi, HP dari pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\left\{-\dfrac{11}{2} \leq x \leq \dfrac12\right\}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left|\dfrac{x}{4}+6\right| \geq 0,5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x~|~x \leq -26\}$
B. $\{x~|~x \leq -22\}$
C. $\{x~|~x \geq -26\}$
D. $\{x~|-26 \leq x \leq -22\}$
E. $\{x~|~x \leq -26~\text{atau}~x \geq -22\}$

Penyelesaian

Hindari bentuk pecahan pada pertidaksamaan di atas dengan mengalikan $4$ pada kedua ruasnya.
$\begin{aligned} \color{red}{4}\left|\dfrac{x}{4}+6\right| & \geq \color{red}{4}(0,5) \\ |x + 24| & \leq 2 \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x+24| & < & 2 \\ -2 & < & x+24 & < & 2 \\ -2-24 & < & x & < & 2-24 \\ -26 & < & x & < & -22 \end{array}$
Jadi, HP pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\{x~|-26 \leq x \leq -22\}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Ketidaksamaan dan Pertidaksamaan (Bagian Dasar)

Soal Nomor 4
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|2-x|>0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x~|~x \neq 2\}$
B. $\{x~|~x \in \mathbb{R}\}$
C. $\{x~|~x = 2\}$
D. $\{x~|-2<x<6\}$
E. $\{x~|~x<-2~\text{atau}~x>6\}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa nilai mutlak setiap bilangan tidak mungkin bernilai negatif, melainkan $0$ atau positif.
Pertidaksamaan $|2-x| > 0$ terpenuhi untuk setiap $x$ kecuali pembuat nol dari ruas kiri.
$|2-x| = 0 \Rightarrow 2-x = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Jadi, HP pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\{x~|~x \neq 2\}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika $|3-5x|>1$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $x <\dfrac25$ atau $x > \dfrac45$
B. $\dfrac25<x<\dfrac45$
C. $x < -\dfrac25$ atau $x > \dfrac25$
D. $x < \dfrac13$ atau $x>1$
E. $x > \dfrac45$

Penyelesaian

Diketahui $|3-5x| > 1$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 3-5x & < -1 \\ -5x & < -4 \\ x & > \dfrac45 \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 3-5x & > 1 \\ -5x & > -2 \\ x & < \dfrac25 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah $x<\dfrac25$ atau $x>\dfrac45$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $|2x-3|<1$ dan $2x < 3$, maka $\cdots \cdot$
A. $1 < x < 2$                            D. $x > \dfrac32$
B. $1 < x < \dfrac32$                         E. $x > 2$
C. $x < \dfrac32$

Penyelesaian

Diketahui $|2x-3| < 1$ dan $2x<3$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |2x-3| & < & 1 \\ -1 & < & 2x-3 & < & 1 \\ -1+3 & < & 2x & < & 1+3 \\ 2 & < & 2x & < & 4 \\ 1 & < & x & < & 2 \end{array}$
Iriskan dengan $2x < 3 \Leftrightarrow x < \dfrac32$ sehingga dengan menggunakan bantuan garis bilangan berikut, diperoleh penyelesaian pertidaksamaannya adalah $\boxed{1 < x < \dfrac32}$.

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|-x^2+2x-2|<2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\infty < x < 2$                D. $0 < x < 2$
B. $0 < x < \infty$                  E. $-2 < x < 2$
C. $-2 < x < 0$

Penyelesaian

Diketahui $|-x^2+2x-2|<2$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |-x^2+2x-2| & < & 2 \\ -2 & < & -x^2+2x-2 & < & 2 \end{array}$
Pertidaksamaan terakhir ekuivalen dengan $-x^2+2x-2 > -2$ dan $-x^2+2x-2 < 2$.
Tinjau Kasus 1: $-x^2+2x-2 > -2$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} -x^2+2x-2 & > -2 \\ -x^2+2x & > 0 \\ x^2-2x & < 0 \\ x(x-2) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = 0$ atau $x = 2$.
Penyelesaiannya adalah
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~0 < x < 2\}}$
Tinjau Kasus 2: $-x^2+2x-2 < 2$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} -x^2+2x-4& > 0 \\ x^2-2x+4 & < 0 \\ \color{red}{(x-1)^2-1}+4 & > 0 \\ (x-1)^2 & > -3 \end{aligned}$
Bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil $0$, sehingga pertidaksamaan di atas terpenuhi untuk setiap nilai $x$.
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|~0 < x < 2\} \end{aligned}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Nilai-nilai $x$ dalam penulisan notasi selang yang memenuhi pertidaksamaan $|x^2-x-2| < 4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-3, 2)$                       D. $(-5, 1)$
B. $(-2, 3)$                       E. $(-1, 6)$
C. $(-1, 5)$

Penyelesaian

Diketahui $|x^2-x-2|<4$.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan $-4 < x^2-x-2 < 4$. Dengan kata lain, $x^2-x-2 > -4$ dan $x^2-x-2 < 4$.
Tinjau Kasus 1: $x^2-x-2 > -4$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} x^2-x-2 & > -4 \\ x^2-x+2 & > 0 \\ \color{red}{\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14}+2 & > 0 \\ \left(x-\dfrac12\right)^2 & > -\dfrac74 \end{aligned}$
Bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil $0$, sehingga pertidaksamaan di atas terpenuhi untuk setiap nilai $x$.
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}}$
Tinjau Kasus 2: $x^2-x-2 < 4$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} x^2-x-2 & < 4 \\ x^2-x-6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x=-2$ atau $x=3$.
(Garis bil)
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-2 < x < 3\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpuan adalah
$\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|-2 < x < 3\} \end{aligned}$
Notasi selang yang menjadi penyelesaian untuk nilai $x$ adalah $\boxed{(-2, 3)}$.

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x+8|-|3x-4| \geq 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x~|~x \geq -8\}$
B. $\left\{x~|~x \leq \dfrac43\right\}$
C. $\{x~|-1 \leq x \leq 6\}$
D. $\left\{x~|-8 \leq x \leq \dfrac43\right\}$
E. $\{x~|~x \leq -1~\text{atau}~x \geq 6\}$

Penyelesaian

Diketahui $|x+8|-|3x-4| \geq 0$.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan $|x+8| \geq |3x-4$.
Kuadratkan kedua ruas dan gunakan pemfaktoran $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$.
$$\begin{aligned} (x+8)^2 & \geq (3x-4)^2 \\ (x+8)^2-(3x-4)^2 & \geq 0 \\ (\color{red}{(x+8)}+\color{blue}{(3x-4)})(\color{red}{(x+8)}-\color{blue}{(3x-4)}) & \geq 0 \\ (4x+4)(-2x+12) & \geq 0 \end{aligned}$$
Pembuat nol:
$4x+4 = 0 \Leftrightarrow 4x = -4 \Leftrightarrow x = -1$
$-2x+12 = 0 \Leftrightarrow -2x = -12 \Leftrightarrow x = 6$
Dengan demikian, himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak di atas adalah
$\{x~|~x \leq -1~\text{atau}~x \geq 6\}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $2|x-1| < |x+2|$, maka nilai-nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-2 < x < 0$
B. $0 <x<2$
C. $0<x<4$
D. $x<0$ atau $x > 4$
E. $0<x<\infty$ atau $-\infty<x<4$

Penyelesaian

Diketahui $2|x-1| < |x+2| \Leftrightarrow |2x-2| < |x+2|$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu sederhanakan. Gunakan pemfaktoran $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ untuk mempersingkat pengerjaan.
$$\begin{aligned} (2x-2)^2 & < (x + 2)^2 \\ (2x-2)^2-(x+2)^2 & < 0 \\ (\color{red}{(2x-2)}+\color{blue}{(x+2)})(\color{red}{(2x-2)}-\color{blue}{(x+2)}) & < 0 \\ (3x)(x-4) & < 0 \end{aligned}$$
Diperoleh pembuat nol $x = 0$ atau $x=4$.
Penyelesaiannya adalah $0 < x < 4$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Semua nilai $x$ yang memenuhi $0 < |x-3| \leq 3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0<x<3$ atau $3<x<6$
B. $0\leq x<3$ atau $3<x \leq 6$
C. $0<x \leq 3$ atau $3<x<6$
D. $0 \leq x \leq 3$ atau $3<x \leq 6$
E. $0 \leq x \leq 3$ atau $3<x<6$

Penyelesaian

Diketahui $0 < |x-3| \leq 3$.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan $|x-3| > 0$ dan $|x-3| \leq 3$.
Tinjau Kasus 1: $|x-3| > 0$
Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk setiap nilai $x$ kecuali pembuat nolnya, yakni $x=3$.
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~x \neq 3\}}$
Tinjau Kasus 2: $|x-3| \leq 3$
Selesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan sifat.
$$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-3| & \leq & 3 \\ -3 & \leq & x-3 & \leq & 3 \\ -3+3 & \leq & x & \leq & 3+3 \\ 0 & \leq & x & \leq & 6 \end{array}$$
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|~0 \leq x \leq 6\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|~0 \leq x < 3~\text{atau}~3 < x \leq 6\} \end{aligned}}$

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|x^2-2|-6+2x<0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x~|-4<x<13\}$
B. $\{x~|~x<3\}$
C. $\{x~|~x>-4\}$
D. $\{x~|-4<x<2\}$
E. $\{x~|~x<2\}$

Penyelesaian

Diketahui $|x^2-2|-6+2x<0$.
Tinjau Kasus 1:
Misalkan $x^2-2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) \geq 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x \leq -\sqrt2~\text{atau}~x \geq \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{(x^2-2)}-6+2x & < 0 \\ x^2+2x-8 & < 0 \\ (x+4)(x-2) & < 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$-4 < x < 2~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|-4 < x \leq -\sqrt2~\text{atau}~\sqrt2 \leq x < 2\}}$$
Tinjau Kasus 2:
Misalkan $x^2-2 < 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) < 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$-\sqrt2 < x < \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{-(x^2-2)}-6+2x & < 0 \\ -x^2+2x-4 & < 0 \\ x^2-2x+4 & < 0 \\ \color{red}{(x-1)^2- 1} + 4 & < 0 \\ (x-1)^2 & < -3 \end{aligned}$
Bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil $0$, sehingga pertidaksamaan di atas terpenuhi untuk setiap nilai $x$. Penyelesaiannya adalah
$\boxed{x \in \mathbb{R}}~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-\sqrt2 < x < \sqrt2\}}$
Gabungan dari kedua HP tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 \\ & = \{x~|~-4 < x < 2\} \end{aligned}}$

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-2|^2<4|x-2|+12$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{~~\}$
B. $\{x~|-8<x<4\}$
C. $\{x~|~x<8\}$
D. $\{x~|~x \in \mathbb{R}\}$
E. $\{x~|-4<x<8\}$

Penyelesaian

Diketahui $|x-2|^2<4|x-2|+12$.
Misalkan $|x-2| = y$, sehingga pertidaksamaan nilai mutlak dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} y^2 & < 4y + 12 \\ y^2-4y-12 & < 0 \\ (y-6)(y+2) &< 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah $-2 < y < 6$, yang artinya $y > -2$ dan $y < 6$.
Tinjau Kasus 1: $y > -2$.
Substitusi kembali $y = |x-2|$, sehingga diperoleh $|x-2| > -2$.
Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk setiap nilai $x$.
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}}$
Tinjau Kasus 2: $y < 6$.
Substitusi kembali $y = |x-2|$, sehingga diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-2| & < & 6 \\ -6 & < & x-2 & < & 6 \\ -6+2 & < & x & < & 6+2 \\ -4 & < & x & < & 8 \end{array}$
Himpunan penyelesaiannya adalah
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-4 < x < 8\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|-4 < x < 8\} \end{aligned}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14
Solusi dari $|x^2-3| < 2x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1<x<3$
B. $-3<x<1$
C. $1<x < 3$
D. $-3<x<-1$ atau $1<x<3$
E. $x>1$

Penyelesaian

Diketahui $|x^2-3| < 2x$.
Tinjau Kasus 1:
Misalkan $x^2-3 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt3)(x+\sqrt3) \geq 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x \leq -\sqrt3~\text{atau}~x \geq \sqrt3~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{(x^2-3)} & < 2x \\ x^2-2x-3 & < 0 \\ (x-3)(x+1) & < 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$-1 < x < 3~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~\sqrt3 \leq x < 3\}}$
Tinjau Kasus 2:
Misalkan $x^2-3 < 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt3)(x+\sqrt3) < 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$-\sqrt3 < x < \sqrt3~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{-(x^2-3)} & < 2x \\ -x^2-2x+3 & < 0 \\ x^2+2x-3 & > 0 \\ (x+3)(x-1) & > 0 \end{aligned}$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x < -3~\text{atau}~x > 1~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|~1 < x < \sqrt3\}}$
Gabungan dari kedua HP tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 \\ & = \{x~|~1 < x < 3\} \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi $|x^2-2| \leq 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\sqrt3 \leq x \leq \sqrt3$
B. $-1 \leq x \leq 1$
C. $1 \leq x \leq \sqrt3$
D. $x \leq -1$ atau $x \geq 1$
E. $-\sqrt3 \leq x \leq -1$ atau $1 \leq x \leq \sqrt3$

Penyelesaian

Diketahui $|x^2-2| \leq 1$.
Tinjau Kasus 1:
Misalkan $x^2-2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) \geq 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x \leq -\sqrt2~\text{atau}~x \geq \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{(x^2-2)} & \leq 1 \\ x^2-3 & \leq 0 \\ (x+\sqrt3)(x-\sqrt3) & \leq 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$-\sqrt3 \leq x \leq \sqrt3~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.
$$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|-\sqrt3 \leq x \leq -\sqrt2~\text{atau}~\sqrt2 \leq x \leq \sqrt3\}}$$
Tinjau Kasus 2:
Misalkan $x^2-2 < 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) < 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$-\sqrt2 < x < \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{-(x^2-2)} & \leq 1 \\ -x^2+1 & \leq 0 \\ x^2-1 & \geq 0 \\ (x+1)(x-1) & \geq 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$x \leq -1~\text{atau}~x \geq 1~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.
$$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-\sqrt2 < x \leq -1~\text{atau}~1 \leq x < \sqrt2\}}$$
Gabungan dari kedua HP tersebut dinyatakan oleh
$$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 \\ & = \{x~|-\sqrt3 \leq x < 1~\text{atau}~1 \leq x \leq \sqrt3\} \end{aligned}}$$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Penyelesaian pertidaksamaan
$\left|\dfrac{x+3}{x-3}\right| \leq 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x < 3$                           D. $x > 1$
B. $x < 0$                           E. $x \geq 1$
C. $x \leq 0$

Penyelesaian

Diketahui $\left|\dfrac{x+3}{x-3}\right| \leq 1$, yang ekuivalen dengan $\dfrac{|x+3|}{|x-3|} \leq 1$.
Kalikan kedua ruas dengan $|x-3|$ dengan syarat bahwa $x \neq 3$ (agar penyebut tidak bernilai $0$) sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} |x+3| & \leq |x-3| \\ (x+3)^2 & \leq (x-3)^2 \\ (\color{red}{x+3})^2-(\color{blue}{x-3})^2 & \leq 0 \\ (\color{red}{(x+3)}+\color{blue}{(x-3)})(\color{red}{(x+3)}-\color{blue}{(x-3)}) & \leq 0 \\ (2x)(6) & \leq 0 \\ x & \leq 0 && (\text{Bagi}~12) \end{aligned}$$
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak di atas adalah $\boxed{x \leq 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Perhatikan gambar berikut.

Sebuah perusahaan sudah mendirikan minimarket A di kilometer ke-$20$ pada suatu jalan dan minimarket B di kilometer ke-$50$ pada jalan yang sama. Perusahaan tersebut ingin mendirikan sebuah minimarket lagi di jalan tersebut. Jika perusahaan menginginkan minimarket yang baru memiliki jarak lebih dari $20$ km terhitung dari minimarket B, pada kilometer berapakah minimarket yang baru mungkin didirikan?
A. Lebih dari km-$70$.
B. Kurang dari km-$30$.
C. Kurang dari km-$20$ atau lebih dari km-$70$.
D. Kurang dari km-$30$ atau lebih dari km-$70$.
E. Antara km-$30$ dan km-$70$.

Penyelesaian

Diketahui minimarket B terletak pada km-$50$. Misalkan $x$ menyatakan letak minimarket baru pada jalan tersebut. Karena minimarket ini dibangun dalam jarak lebih dari $20$ km terhitung dari minimarket B, maka kita peroleh pertidaksamaan nilai mutlak:
$|x-50| > 20$
Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$x-50 > 20 \Leftrightarrow x > 70$
atau
$x-50<-20 \Leftrightarrow x < 30$
Jadi, minimarket baru tersebut dapat dibangun di jalan dengan letak kurang dari km-$30$ atau lebih dari km-$70$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Ketinggian normal permukaan air Sungai Bengawan adalah $120$ cm. Ketinggian permukaan air Sungai Bengawan dapat berubah-ubah pada musim kemarau atau musim penghujan. Jika penyimpangan ketinggian permukaan air sungai tersebut kurang dari $11$ cm, maka interval ketinggian Sungai Bengawan adalah $\cdots \cdot$
A. kurang dari $109$ cm
B. lebih dari $120$ cm
C. lebih dari $131$ cm
D. antara $109$ cm dan $131$ cm
E. antara $109$ cm dan $120$ cm

Penyelesaian

Diketahui ketinggian normalnya $120$ cm dan penyimpangan ketinggian kurang dari $11$ cm. Misalkan $x$ menyatakan ketinggian air yang mungkin tercapai dalam satuan cm. Kita peroleh pertidaksamaan nilai mutlak:
$|x-120| < 11$
Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak,
$-11<x-120<11$
Tambahkan $120$ pada ketiga ruas.
$109<x<131$
Jadi, interval ketinggian air di Sungai Bengawan adalah antara $109$ cm dan $131$ cm.
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 19
Tentukan penyelesaian dari $|x+|x|| \leq x|x|$.

Penyelesaian

Berdasarkan definisi nilai mutlak, kita tahu bahwa
$|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}$
Kasus $(1)$:
Misalkan $\color{blue}{x \geq 0}$. Dengan demikian, pertidaksamaan $|x+|x|| \leq x|x|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} |x+\color{red}{x}| & \leq x\color{red}{(x)} \\ |2x| & \leq x^2 \\ \color{red}{2x} & \leq x^2 \\ x^2-2x & \geq 0 \\ x(x-2) & \geq 0 \\ x \leq 0~\text{atau}~&x \geq 2 \end{aligned}$
Irisan dari $\color{blue}{x \geq 0}$ dan $x \leq 0~\text{atau}~x \geq 2$ adalah $\boxed{x = 0~\text{atau}~x \geq 2}$
Kasus $(2)$:
Misalkan $\color{blue}{x < 0}$. Dengan demikian, pertidaksamaan $|x+|x|| \leq x|x|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} |x+\color{red}{(-x)}| & \leq x\color{red}{(-x)} \\ 0 & \leq -x^2 \\ x^2 & \leq 0 \end{aligned}$
Penyelesaian dari pertidaksamaan di atas hanya $x = 0$, tetapi karena syarat $\color{blue}{x < 0}$, maka kasus ini tidak memiliki penyelesaian.
Kesimpulan:
Gabungan dari penyelesaian yang didapat pada kasus $(1)$ dan $(2)$ adalah $\boxed{x=0~\text{atau}~x \geq 2}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Untuk $1 < x < 4$, tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $||2x-1|-7| \geq 2$.

Penyelesaian

Diketahui $||2x-1|-7| \geq 2$.
Perhatikan bahwa untuk interval $1 < x < 4$, ekspresi $2x-1$ selalu bernilai positif, sehingga $|2x-1| = 2x-1$ (tanda mutlak dapat diabaikan).
Untuk itu, ditulis
$\begin{aligned} |\color{red}{(2x-1)}-7| & \geq 2 \\ |2x-8| & \geq 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan bahwa ekspresi $2x-8$ selalu bernilai negatif ketika $1 <x < 4$, sehingga $|2x-8| = -(2x-8)$.
Sekarang kita tuliskan
$-(2x-8) \geq 2 \Leftrightarrow -2x+8 \geq 2 \Leftrightarrow x \leq 3$
Iriskan dengan syarat $1 < x < 4$.
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak di atas adalah $\boxed{1 < x \leq 3}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{2-|x-1|}{|x-1|-1} \geq 0$.

Penyelesaian

Diketahui $\dfrac{2-|x-1|}{|x-1|-1} \geq 0$.
Misalkan $|x-1| = y$, sehingga dapat kita tuliskan $\dfrac{2-y}{y-1} \geq 0$.
Kasus 1:
Misalkan $y-1 > 0 \Leftrightarrow y > 1$.
Kalikan kedua ruas dengan $y-1$ sehingga diperoleh
$2-y \geq 0 \Leftrightarrow y \leq 2$
Irisan dari $y > 1$ dan $y \leq 2$ adalah $1 < y \leq 2$.
Substitusi kembali $y = |x-1|$ sehingga kita peroleh
$1 < |x-1| \leq 2$, artinya
$|x-1| > 1$ dan $|x-1| \leq 2$
Kasus $(1a)$: $|x-1| > 1$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$x-1 < -1~\text{atau}~x-1 > 1$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{x < 0~\text{atau}~x > 2}$
Kasus $(1b)$: $|x-1| \leq 2$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$-2 \leq x-1 \leq 2$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{-1 \leq x \leq 3}$
Irisan dari $(1a)$ dan $(1b)$ adalah $\color{blue}{-1 \leq x < 0}$ atau $\color{blue}{2 < x \leq 3}$
Kasus $(2)$:
Tinjau kembali $\dfrac{2-y}{y-1} \geq 0$.
Misalkan $y-1 < 0 \Leftrightarrow y < 1$.
Kalikan kedua ruas dengan $y-1$ sehingga diperoleh
$2-y \leq 0 \Leftrightarrow y \geq 2$
Irisan dari $y < 1$ dan $y \geq 2$ tidak ada sehingga himpunan penyelesaian untuk kasus ini kosong.
Jadi, penyelesaian untuk pertidaksamaan $\dfrac{2-|x-1|}{|x-1|-1} \geq 0$ adalah $\boxed{-1 \leq x < 0~\text{atau}~2 < x \leq 3}$

[collapse]

Soal Nomor 22
Pada orang yang terkena demam berdarah (DB), jumlah hemoglobin per milimeter darah berkurang drastis karena dihancurkan oleh virus. Oleh karena itu, penderita demam berdarah harus dirawat di rumah sakit untuk menaikkan dan mempertahankan jumlah trombosit antara $150.000~\text{mm}^3$ sampai dengan $400.000~\text{mm}^3$. Dimisalkan rumah sakit memutuskan untik penderita yang sudah positif DB, jumlah trombositnya harus dinaikkan dan dipertahankan sebesar $175.000~\text{mm}^3$ dalam beberapa hari untuk mengantisipasi timbulnya virus yang lebih ganas. Jika pengaruh psikologi karena perawatan terjadi penyimpangan jumlah trombosit sebesar $10.000~\text{mm}^3$, tentukan interval perubahan jumlah trombosit untuk mempertahankan kondisi normal.

Penyelesaian

Pada kasus DB tersebut, harus dipertahankan selama beberapa hari dengan jumlah trombosit $175.000~\text{mm}^3$. Misalkan $x$ adalah jumlah kemungkinan perubahan trombosit akibat pengaruh psikologi perawatan. Perubahan penyimpangannya sebesar $10.000~\text{mm}^3$, sehingga nilai mutlak jumlah trombosit tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut.
$$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-175.000| & < & 10.000 \\ -10.000 & < & x-175.000 & < & 10.000 \\ -10.000+175.000 & < & x & < & 10.000+175.000 \\ 165.000 & < & x & < & 185.000 \end{array}$$
Jadi, jumlah trombosit untuk mempertahankan kondisi normal berkisar antara $165.000~\text{mm}^3$ sampai $185.000~\text{mm}^3$.

[collapse]

Soal Nomor 23
Bella mengukur seutas tali dengan panjang $17,4$ cm. Hasil pengukuran selalu memiliki kesalahan sehingga terjadi penyimpangan sebesar $0,05$ cm. Sederhanakan soal tersebut dalam bentuk nilai mutlak dan tentukan batas-batas pengukuran dari panjang tali tersebut.

Penyelesaian

Pertidaksamaan nilai mutlak yang sesuai dengan permasalahan di atas dengan $x$ sebagai panjang tali hasil pengukuran adalah
$|x-17,4| < 0,05$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-17,4| & < & 0,05 \\ -0,05 & < & x-17,4 & < & 0,05 \\ -0,05+17,4 & < & x & < & 0,05+17,4 \\ 17,35 & < & x & < & 17,45 \end{array}$$
Jadi, batas-batas pengukuran dari panjang tali tersebut adalah $17,35$ cm dan $17,45$ cm.

[collapse]

Soal Nomor 24
Sebuah pabrik membuat silinder mesin mobil dengan lubang berdiameter $7,9$ cm. Silinder itu tidak akan memenuhi syarat apabila ukuran diameter lubangnya menyimpang $0,0025$ cm atau lebih. Sederhanakan soal tersebut dalam bentuk nilai mutlak dan tentukan panjang diameter lubang maksimum dan diameter lubang minimum pada silinder tersebut.

Penyelesaian

Pertidaksamaan nilai mutlak yang sesuai dengan permasalahan di atas dengan $x$ sebagai panjang diameter lubang yang diukur adalah
$|x-7,9| < 0,0025$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-7,9| & < & 0,0025 \\ -0,0025 & < & x-7,9 & < & 0,0025 \\ -0,0025+7,9 & < & x & < & 0,0025+7,9 \\ 7,8975 & < & x & < & 7,9025 \end{array}$$
Jadi, panjang diameter lubang maksimum dan diameter lubang minimum pada silinder tersebut berturut-turut adalah $7,9025$ cm dan $7,8975$ cm.

[collapse]

Soal Nomor 25
Pintu air Manggarai merupakan bagian dari sistem pengendalian banjir di Jakarta. Fungsi pintu air ini adalah mengalihkan air Sungai Ciliwung ke bagian luar Jakarta. Ketinggian air di pintu air Manggarai dipertahankan sampai $750$ cm. Akibat pengaruh cuaca, ketinggian air menyimpang lebih dari $80$ cm. Tentukan interval perubahan ketinggian air di pintu air Manggarai tersebut.

Penyelesaian

Pertidaksamaan nilai mutlak yang sesuai dengan permasalahan di atas dengan $x$ sebagai ketinggian air atas perubahan yang terjadi adalah
$|x-750| < 80$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-750| & < & 80 \\ -80 & < & x-750 & < & 80 \\ -80+750 & < & x & < & 80+750 \\ 670 & < & x & < & 830 \end{array}$
Jadi, interval perubahan ketinggian air di pintu air Manggarai tersebut adalah di antara $670$ cm dan $830$ cm.

[collapse]

Soal Nomor 26
Jarak rumah Ridwan ke sekolah adalah $\left|\dfrac{3-x}{-5}\right|$ km. Jika jarak rumah Ridwan lebih dari $5$ km dan kurang dari $7$ km, tentukan nilai $x$ yang memenuhi.

Penyelesaian

Permasalahan di atas memunculkan pertidaksamaan nilai mutlak berikut.
$5 < \left|\dfrac{3-x}{-5}\right| < 7$
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan
$5 < \dfrac{|3-x|}{5} < 7$
Kalikan $5$ pada ketiga ruasnya.
$25 < |3-x| < 35$
Tinjau Kasus 1: $|3-x| > 25$
Pertidaksamaan ini ekuivalen dengan
$3-x < -25 \Leftrightarrow -x < -28 \Leftrightarrow x > 28$
atau
$3-x > 25 \Leftrightarrow -x > 22 \Leftrightarrow x < -22$
sehingga penyelesaiannya adalah $x<-22$ atau $x>28$.
$\text{HP}_1 = \{x~|~x < -22~\text{atau}~x>28\}$
Tinjau Kasus 2: $|3-x| < 35$
Pertidaksamaan ini ekuivalen dengan
$-35 < 3-x < 35$
Kurangi $3$ pada ketiga ruasnya.
$-38 < -x < 32$
Kalikan $-1$ pada ketiga ruasnya.
$-32 < x < 38$
$\text{HP}_2 = \{x~|-32 < x < 38\}$
Irisan dari kedua HP di atas dinyatakan oleh
$$\text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 = \{x~|-32 < x < -22~\text{atau}~28 < x < 38\}$$
yang mewakili nilai-nilai $x$ yang memenuhi permasalahan di atas.

[collapse]