Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Statistika Matematika TA 2018/2019 – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

  Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Statistika Matematika (Tahun Ajaran 2018/2019) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 4 oleh Dr. Ahmad Yani T, M.Pd pada tanggal 10 April 2019.

Soal Nomor 1
Jika p berdistribusi binomial dengan
p(x) = \begin{cases} \displaystyle \binom{n}{x} p^x(1-p)^{n-x}, x = 1, 2, 3, \cdots, n \\ 0,~\text{untuk}~x~\text{yang lain} \end{cases},
maka E(x) = np dan \text{Var}(x) = npq.

Tuliskan teorema di atas dalam bentuk simbolik, kemudian buktikan.

Penyelesaian

Bentuk simbolik teorema di atas:
b(x, n, p) \Rightarrow E(x) = np \land \text{Var}(x) = npq
Pembuktian:
Misalkan hasil pada usaha ke-j dinyatakan oleh peubah acak I_j yang mendapat nilai 0 atau 1 (gagal atau sukses), masing-masing dengan peluang q dan p, sehingga banyaknya sukses dalam suatu percobaan binomial dapat dituliskan sebagai jumlah n peubah bebas, yaitu
X = \displaystyle \sum_{j=1}^n I_j.

Perhatikan bahwa untuk setiap j berlaku
E(I_j) = (0)(q) + (1)(p) = p
Dengan demikian,
\begin{aligned} E(X) & = E\left(\displaystyle \sum_{j=1}^n I_j\right) \\ & = E(I_1) + E(I_2) + \cdots + E(I_n) \\ & = \underbrace{p + p + \cdots + p}_{\text{sebanyak}~n} = np \end{aligned}
Jadi, terbukti bahwa rataan distribusi binomial dirumuskan oleh
\mu = E(x) = np.

Variansi setiap E(I_j) diberikan oleh
\begin{aligned} \sigma_{I_j}^2 & = E[(I_j - p)^2] \\ & = E(I_j^2) - p^2 \\ & = (0)^2q + (1)^2p - p^2 \\ & = p - p^2 \\ & = p(1-p) = pq \end{aligned}
Kasus ini dapat diperluas untuk n peubah bebas, sehingga diperoelh variansi distribusi binomial,
\begin{aligned} \sigma_X^2 & = \displaystyle \sum_{j=1}^n \sigma_{I_j}^2 \\ & = \underbrace{pq+pq+pq+\cdots+pq}_{\text{sebanyak}~n} = npq \end{aligned}
Jadi, terbukti bahwa variansi distribusi binomial dirumuskan oleh \sigma = \text{Var}(x) = npq.

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan peubah acak Y berdistribusi gamma dengan parameter \alpha = 2 dan \beta = 3. Hitung peluang ketika Y bernilai lebih dari 4.

Penyelesaian

Fungsi kepadatan/densitas peluang dari peubah acak X yang berdistribusi gamma dengan parameter \alpha dan \beta berbentuk
F(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}, & \text{jika}~x > 0 \\ 0, &\text{untuk}~x~\text{yang lainnya} \end{cases}
Untuk \alpha=2 dan \beta=3, diperoleh fungsi densitas Y, yakni
F(y) = \begin{cases} \left(\dfrac{y}{9}\right)e^{-\frac{y}{3}}, & y > 0 \\ 0, &\text{untuk}~y~\text{yang lainnya} \end{cases}
(Variabel menyesuaikan soal)
Karena distribusi gamma bersifat kontinu, maka perhitungannya melibatkan integral tentu.
Peluang bahwa Y bernilai lebih dari 4 selanjutnya dinyatakan oleh
\begin{aligned} P(Y > 4) & = \displaystyle \int_4^{\infty} \dfrac19ye^{-\frac{y}{3}}~\text{d}y \\ & = \dfrac19 \lim_{b \to \infty} \int_4^bye^{-\frac{y}{3}}~\text{d}y \end{aligned}
Bentuk integral \int ye^{-\frac{y}{3}}~\text{d}y dapat diselesaikan
dengan menerapkan metode integral parsial.
Misalkan u = y dan v' = e^{-\frac{y}{3}}~\text{d}y, sehingga u' = \text{d}y dan v = \int e^{-\frac{y}{3}}~\text{d}y = -3e^{-\frac{y}{3}}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int uv' & = uv - \int u'v \\ \int ye^{-\frac{y}{3}}~\text{d}y & = y(-3e^{-\frac{y}{3}}) - \int (-3e^{-\frac{y}{3}})~\text{d}y \\ & = -3ye^{-\frac{y}{3}} + 3 \int e^{-\frac{y}{3}}~\text{d}y \\ & = -3ye^{-\frac{y}{3}} - 9e^{-\frac{y}{3}} \end{aligned}
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned} & \dfrac19 \lim_{b \to \infty} \int_4^b ye^{-\frac{y}{3}}~\text{d}y \\ & = \dfrac19 \lim_{b \to \infty} \left[-3ye^{-\frac{y}{3}} - 9e^{-\frac{y}{3}}\right]_{y=4}^b \\ & = \dfrac19 \lim_{b \to \infty} \left[-3be^{-\frac{b}{3}} - 9e^{-\frac{b}{3}} + 3(4)e^{-\frac{4}{3}} + 9e^{-\frac{4}{3}}\right] \\ & = \dfrac19 \lim_{b \to \infty} \left[-3be^{-\frac{b}{3}} - 9e^{-\frac{b}{3}} + 21e^{-\frac{4}{3}}\right] \\ & = \dfrac19 \left[0 - 9(0) + 9 + 21e^{-\frac43}\right] \approx 0,6151 \end{aligned}
Jadi, peluang bahwa Y bernilai lebih dari 4 adalah \boxed{0,6151}

[collapse]

Soal Nomor 3
Fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk:
f(x,y) = \begin{cases} kxy; 0<x<1, 0<y<1 \\ 0,~\text{untuk}~x,y~\text{lainnya} \end{cases}
dengan X, Y merupakan peubah acak yang bebas stokastik. Berapakah nilai k?

Penyelesaian

Fungsi peluang marginal dari X adalah
\begin{aligned} p_1(x) & = \displaystyle \int_0^1 kxy~\text{d}y \\ & = \left[\dfrac12kxy^2\right]_0^1 \\ & = \dfrac12kx(1)^2 - \dfrac12kx(0)^2 \\ & = \dfrac12kx \end{aligned}
Fungsi peluang marginal dari Y adalah
\begin{aligned} p_2 (y) & = \displaystyle \int_0^1 kxy~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac12kx^2y\right]_0^1 \\ & = \dfrac12k(1)^2y - \dfrac12k(0)^2y \\ & = \dfrac12ky \end{aligned}
Karena peubah acak X dan Y bebas stokastik, maka berlaku
p(x, y) = p_1(x) \cdot p_2(y)
sehingga
\begin{aligned} kxy & = \dfrac12kx \cdot \dfrac12ky \\ \cancel{kxy} & = \dfrac14k(\cancel{kxy}) \\ 1 & = \dfrac14k \\ k & = 4 \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{k=4}

[collapse]

Soal Nomor 4
Keluarga Markus berencana memiliki 3 orang anak. Bila X menyatakan kejadian lahirnya anak laki-laki,
a. hitunglah probabilitas kelahiran 2 anak laki-laki
b. probabilitas memiliki tidak lebih dari 2 anak laki-laki
c. hitunglah rata-rata dan simpangan baku peubah acak X.

Penyelesaian

Kasus ini tergolong kasus Distribusi Binomial karena hanya ada 2 kemungkinan kelahiran yang mungkin: laki-laki atau perempuan.
Nilai peluangnya dinyatakan oleh
P(X = x) = \displaystyle \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}
Misalkan n menyatakan banyak anak yang diinginkan dan p menyatakan peluang kelahiran anak laki-laki.
Diketahui:
\begin{aligned} n & = 3 \\ p & = 0,5 \end{aligned}
Jawaban a)
Kelahiran 2 anak laki-laki berarti nilai x = 2.
\begin{aligned} P(X = x) & = \displaystyle \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \\ P(X = 2) & = \displaystyle \binom{3}{2}(0,5)^2(1-0,5)^{3-2} \\ & = \dfrac{3!}{2!(3-2)!}(0,5)^3 = 0,375 \end{aligned}
Jadi, peluang kelahiran 2 anak laki-laki adalah \boxed{0,375}
Jawaban b)
Kelahiran tidak lebih dari 2 anak laki-laki berarti nilai x yang mungkin adalah x = 0, x = 1, atau x=2
\begin{aligned} & P(X \leq 2) \\ & = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \\ & = \displaystyle \binom{3}{0}(0,5)^0(1-0,5)^{3-0} + \binom{3}{1}(0,5)^1(1-0,5)^{3-1} \\ & + \binom{3}{2}(0,5)^2(1-0,5)^{3-2} \\ & = 0,125 + 3(0,125) + 3(0,125) = 0,875 \end{aligned}
Jadi, peluang kelahiran tidak lebih dari 2 anak laki-laki adalah \boxed{0,875}
Jawaban c)
Rata-rata peubah acak X (distribusi binomial) dinyatakan oleh
\mu = np = 3(0,5) = 1,5
Simpangan baku peubah acak X (distribusi binomial) dinyatakan oleh
\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{3(0,5)(0,5)} \approx 0,866
di mana q menyatakan peluang kejadian kelahiran anak perempuan.

[collapse]

Soal Nomor 5
Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman, terdapat 80 kata yang salah cetak dan berdistribusi secara acak dalam halaman-halaman majalah tersebut. Hitung probabilitas bila seandainya satu halaman majalah tersebut dibuka sehingga:
a. tidak terdapat kata yang salah cetak
b. terdapat tepat 4 kata yang salah cetak.

Penyelesaian

Kasus ini tergolong kasus Distribusi Poisson.
Diketahui:
\begin{aligned} n & = 80 \\ p & = \dfrac{1}{120} \\ \lambda & = np = 80 \times \dfrac{1}{120} \approx 0,67 \end{aligned}
Jawaban a)
Tidak terdapat kata yang salah cetak berarti nilai x = 0.
\begin{aligned} P(X = x) & = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ P(X = 0) & = \dfrac{(0,67)^0e^{-0,67}} {0!} \\ & = \dfrac{1 \times e^{-0,67}}{1} \approx 0,512 \end{aligned}
Jadi, peluang tidak terdapat kata yang salah cetak saat halaman majalah dibuka adalah \boxed{0,512}
Jawaban b)
Terdapat tepat 4 kata yang salah cetak berarti nilai x = 4.
\begin{aligned} P(X = x) & = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ P(X = 4) & = \dfrac{(0,67)^4e^{-0,67}} {4!} \\ & \approx \dfrac{0,202 \times 0,512}{24} = 0,004 \end{aligned}
Jadi, peluang terdapat tepat 4 kata yang salah cetak saat halaman majalah dibuka adalah \boxed{0,004}

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini