Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Statistika Matematika TA 2017/2018 – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Berikut ini adalah soal ujian akhir semester beserta pembahasan mata kuliah Statistika Matematika (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semesteroleh Dr. Ahmad Yani T, M.Pd pada tanggal 4 Juli 2018.

Quote by H. Jackson Brown Jr.

The best preparation for tomorrow is doing your best today.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Statistika Matematika TA 2017/2018 Prodi Pend. Matematika FKIP Untan

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Statistika Matematika TA 2018/2019 Prodi Pend. Matematika FKIP Untan

Bagian Pertama

Soal Nomor 1
Diberikan definisi berikut.
Sebuah variabel acak dengan distribusi $t$ didefinisikan sebagai rasio dari variabel acak $Z \sim N(0,1)$ dibagi dengan akar dari hasil pembagian variabel acak $V \sim \chi^2(n-1)$ oleh derajat kebebasan $r = n-1$.
Secara matematis, dituliskan sebagai
$T = \dfrac{z}{\sqrt{\dfrac{v} {r}}} = \dfrac{z} {\sqrt{\dfrac{v}{n-1}}}$
Buktikan bahwa $T = \dfrac{\overline{x}- \mu}{\dfrac{S} {\sqrt{n}}} \sim t(n-1)$

Pembahasan

Dengan menggunakan teorema bahwa
1. $z = \dfrac{\overline{x}- \mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$
2. $v = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
3. $z$ dan $v$ saling bebas (independen), 
maka diperoleh
$\begin{aligned} T & = \dfrac{z}{\sqrt{\dfrac{v}{n-1}}} = \dfrac{\dfrac{\overline{x}- \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\dfrac{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}{n-1}}} \\ & = \dfrac{\dfrac{\overline{x}- \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\dfrac{S^2}{\sigma^2}}} = \dfrac{\dfrac{\overline{x}- \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\dfrac{S}{\sigma}} \\ &= \dfrac{\dfrac{\overline{x}- \mu}{\sqrt{n}}}{S}  = \dfrac{\overline{x}- \mu}{S/\sqrt{n}} \end{aligned}$

dengan
$\begin{aligned} \overline{x} & =~\text{mea}\text{n}~\text{sam}\text{pel} \\  \mu & =~\text{mea}\text{n}~\text{pop}\text{ulasi} \\ S & = \sqrt{\dfrac{1}{n-1} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i- \overline{x})^2} \\ & = \text{standar}~\text{deviasi} \end{aligned}$
dan dengan derajat kebebasan $r = n-1$.

[collapse]

Bagian Kedua

Soal Nomor 1
Terdapat $50$ bola dalam suatu kotak, $5$ bola di antaranya rusak. Apabila diambil $4$ bola, tentukan peluang dua di antaranya rusak.

Pembahasan

Gunakan pendekatan distribusi hipergeometrik dengan diketahui
$$\begin{aligned} & N = \text{Jumlah bola seluruhnya} = 50 \\ & n = \text{Jumlah bola yang diambil} = 4 \\ & k = \text{Jumlah bola yang rusak} = 5 \\ & x = \text{Jumlah bola rusak yang diinginkan} = 2 \end{aligned}$$Peluang dua bola di antaranya rusak dinyatakan oleh $P(X = 2)$, yaitu
$\begin{aligned} \displaystyle P(X = 2) & = \dfrac{\displaystyle \binom{5}{2} \binom{45}{2}} {\displaystyle \binom{50}{4}} \\ & = \dfrac{99}{2303} \approx 0,42987 \end{aligned}$
Jadi, peluang terambilnya $4$ bola di mana $2$ bola di antaranya rusak sebesar $0,42987$.
Catatan: Fungsi kepadatan peluang dari distribusi hipergeometrik dinyatakan oleh
$\displaystyle h(x; N, n, k) = \dfrac{\displaystyle \binom{k} {x} \binom{N- k} {n- x}} {\displaystyle \binom{N} {n}}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui variabel acak $X$ berdistribusi normal dengan $\mu = 6$ dan $\sigma = 3$. Tentukan fungsi densitasnya.

Pembahasan

Fungsi densitas/kepadatan peluang dari variabel acak $X$ yang distribusi normal diberikan oleh
$f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$
Untuk $\mu = 6$ dan $\sigma = 3$, didapat fungsi densitasnya, yaitu
$\boxed{f(x) = \dfrac{1}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-6}{3}\right)^2}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui variabel acak $Y$ berdistribusi eksponensial dengan parameter $\beta = 2$. Tentukan peluang bahwa $Y$ bernilai lebih dari $2$.

Pembahasan

Fungsi densitas dari $Y$ yang berdistribusi eksponensial dengan parameter $\beta = 2$ diberikan oleh
$f(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}e^{-\frac{y} {2}}, &~\text{jika}~y > 0 \\ 0, &~\text{jika}~y \leq 0 \end{cases}$
Selanjutnya akan dihitung $P(Y > 2)$ sebagai berikut (ingat bahwa fungsi densitas dari distribusi eksponensial menyebar secara kontinu, sehingga perhitungannya melibatkan integral).
$\begin{aligned} P(Y > 2) & = 1- P(Y \leq 2) \\ & = 1- \displaystyle \int_0^2 \dfrac{1}{2}e^{-\frac{y} {2}}~\text{d}y \\ & = 1- \dfrac{1}{2} \times (-2) \left[e^{-\frac{y} {2}}\right]_0^2 \\& = 1 + (e^{-1}- 1) \\ & = e^{-1} \approx 0,369 \end{aligned}$
Jadi, peluang bahwa $Y$ bernilai lebih dari 2 adalah $0,369$.
Catatan: $ \bigstar$ Fungsi densitas/kepadatan peluang dari distribusi eksponensial dengan parameter $\beta$ adalah $f(y) = \dfrac{1}{\beta}e^{-\frac{y} {\beta}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Apa arti dari $X \sim \chi^2(6)$? Tuliskan fungsi densitasnya.

Pembahasan

Arti dari $X \sim \chi^2(6)$ adalah variabel acak $X$ berdistribusi chi kuadrat dengan derajat kebebasan $6$. Fungsi kepadatan/densitas peluang dari distribusi chi kuadrat dengan derajat kebebasan $r$ dinyatakan oleh
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{\frac{r} {2}}\Gamma\left(\dfrac{r} {2}\right)}x^{\frac{r} {2}-1}e^{-\frac{x}{2}},  &~\text{jika}~x> 0 \\ 0, &~\text{jika}~x \leq 0 \end{cases}$
Untuk kasus ini, derajat kebebasan diketahui, yaitu $r = 6$, sehingga fungsi kepadatan peluangnya adalah
$$\begin{aligned} f(x) & = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{\frac{6} {2}}\Gamma\left(\dfrac{6} {2}\right)}x^{\frac{6} {2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, &~\text{jika}~x > 0 \\ 0,&~\text{jika}~x \leq 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} \dfrac{1}{8.2!} x^2e^{-\frac{x}{2}}, &~\text{jika}~x > 0 \\ 0,&~\text{jika}~x \leq 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} \dfrac{1}{16}x^2e^{-\frac{x}{2}} &~\text{jika}~x > 0 \\ 0,&~\text{jika}~x \leq 0 \end{cases} \end{aligned}$$Catatan: Ingat salah satu sifat fungsi gamma berikut. $\Gamma(r) = (r-1)!$
Notasi $\Gamma$ dibaca: gamma.

[collapse]

Soal Nomor 5
Terdapat $1000$ mahasiswa yang memiliki tinggi rata-rata $174,5$ berdistribusi normal dengan simpangan baku $6,9$. Tentukan banyaknya mahasiswa yang diharapkan memiliki tinggi:
a) kurang dari $160$ cm
b) di antara $171,5$ cm dan $182$ cm
c) lebih dari atau sama dengan $188$ cm.

Pembahasan

Gunakan formula $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
Jawaban a)
Diberikan $x = 160$, berarti
$\begin{aligned} P(X < 160) & = P\left(Z < \dfrac{160-174,5}{6,9}\right) \\ & = P(Z <-2,1) \\ & = 0,5- P(Z < 2,1) \\ &= 0,5- 0,4821 = 0,0179 \end{aligned}$
Jadi, banyak mahasiswa yang diharapkan memiliki tinggi badan kurang dari $160$ cm adalah $1000 \times 0,0179 \approx 18$ orang.
Jawaban b)
Diberikan $x = 171,5$ dan $x = 182$, berarti
$$\begin{aligned} & P(171,5 < X < 182) \\ & = P\left(\dfrac{171,5-174,5}{6,9} < Z < \dfrac{182-174,5}{6,9}\right) \\ & = P(-0,43 < Z < 1,09) \\ & = P(Z < 0,43) + P(Z < 1,09) \\ & = 0,1664 + 0,3621 = 0,5285 \end{aligned}$$Jadi, banyak mahasiswa yang diharapkan memiliki tinggi badan di antara $171,5$ cm dan $182$ cm adalah $1000 \times 0,5285 \approx 529$ orang.
Jawaban c)
Diberikan $x = 188$, berarti
$\begin{aligned} P(X \geq 188) & = P\left(Z \geq \dfrac{188-174,5}{6,9}\right) \\ & = P(Z \geq 1,96) \\ &= 0,5- P(Z < 1,96) \\ & = 0,5- 0,475 = 0,025 \end{aligned}$
Jadi, banyak mahasiswa yang diharapkan memiliki tinggi badan lebih dari atau sama dengan $188$ cm adalah $1000 \times 0,025 \approx 25$ orang.
Catatan:
$\bigstar$ Karena distribusi normal merupakan salah satu tipe distribusi kontinu, maka tanda ketaksamaan $<$ dan $\leq$ (atau sebaliknya) dianggap sama (tidak memiliki pengaruh, tetapi untuk kasus distribusi diskrit, kedua tanda ini dibedakan).
$\bigstar \bigstar$ Tabel-z dapat dilihat pada bagian bawah postingan ini. 

[collapse]

Soal Nomor 6
Sebuah sampel acak berukuran $64$ yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan rataan $51,4$ dan simpangan baku $6,8$. Hitunglah peluang bahwa rataan sampel bernilai lebih dari $52,9$.

Pembahasan

Diberikan:
$\overline{x} = 51,4; S = 6,8; \mu = 51,4; n = 64$
Dari informasi tersebut, nilai $z$ hitung adalah
$\begin{aligned} Z & = \dfrac{\overline{x}- \mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}} = \dfrac{52,9-51,4}{\dfrac{6,8}{\sqrt{64}}} \\ &  = \dfrac{1,5}{0,85} = 1,76 \end{aligned}$
Dengan menggunakan pendekatan uji z, didapat peluang yang dimaksud sebagai berikut.
$$\begin{aligned} P(\overline{X} > 52,9) & = P(Z > 1,76) \\ & = 0,5- P(0 \leq Z \leq 1,76) \\ & = 0,5- 0,4608 && (\text{Lihat ta}\text{bel z}) \\ & = 0,0392 \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa rataan sampelnya akan bernilai lebih dari $52,9$ adalah $0,0392$.

[collapse]

Lampiran Tabel-z: