Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Mata Kuliah Trigonometri – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

[latexpage]Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Trigonometri (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Romal Idjuddin, M.Pd pada tanggal 2 Mei 2018.

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari
a) $\sin 225\degree$
b) $\cos 300\degree$

Penyelesaian

Jawaban a) 
$\begin{aligned} \sin 225\degree & = \sin (180 + 45)\degree \\ & = -\sin 45\degree \\ & = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}$
Jawaban b) 
$\begin{aligned} \cos 300\degree & = \cos (270 + 30)\degree \\ & = \sin 30\degree = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari
a) $\tan 495\degree$
b $\csc (-570\degree)$

Penyelesaian

Jawaban a) 
$\begin{aligned} \tan 495\degree & = \tan (360 + 135)\degree \\ & =\tan 135\degree \\ & = \tan (90 + 45)\degree \\ & = -\tan 45\degree = -1 \end{aligned}$
Jawaban b) 
$\begin{aligned} \csc (-570\degree) & = -\csc (210\degree) \\ & = -\dfrac{1}{\sin 210\degree} \\ & = -\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}} = 2 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa
$\dfrac{\tan^2 x – \sin^2 x} {1 – \sin^2 x} = \tan^4 x$

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \dfrac{\tan^2 x – \sin^2 x} {1 – \sin^2 x} & = \dfrac{\tan^2 x – \sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x} {\cos^2 x} – \tan^2 x \\ & = \dfrac{\tan^2 x – \tan^2 x \times \cos^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x(1 – \cos^2 x)} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x \times \sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \tan^2 \times \tan^2 x \\ & = \tan^4 x \end{aligned}$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pembuktian Identitas Trigonometri

 Soal Nomor 4
Diketahui $\sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}, 0 < \theta < \dfrac{\pi} {2}$
Tentukan:
a) $\sin 2\theta$
b) $\cos 2\theta$
c) $\tan 2\theta$

Penyelesaian

Karena $\theta$ berada dalam kuadran pertama, maka nilai perbandingan trigonometrinya adalah positif untuk setiap sudut $\theta$ yang dimaksud. Perhatikan gambar berikut yang datanya diambil dari perbandingan trigonometri 
$\sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Ingat bahwa sinus adalah perbandingan panjang sisi depan sudut dan panjang hipotenusa dalam segitiga siku-siku. Dengan Teorema Pythagoras, didapat 
$AB = \sqrt{5 – 4} = 1$
Oleh karenanya, kita peroleh
$\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$
Jawaban a) 
$\begin{aligned} \sin 2\theta & = 2 \sin \theta \cos \theta \\ & = 2\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) \\ & = \dfrac{4}{5} \end{aligned}$
Jawaban b) 
$\begin{aligned} \cos 2\theta & = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta \\ & = \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 – \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 \\ & = -\dfrac{3}{5} \end{aligned}$
Jawaban c) 
$\begin{aligned} \tan 2\theta & = \dfrac{\sin 2\theta} {\cos 2\theta} \\ & = \dfrac{\dfrac{4}{5}} {-\dfrac{3}{5}} \\ & = -\dfrac{4}{3} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tunjukkan bahwa
$\dfrac{1-\sin x}{\cos x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}$

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \dfrac{1-\sin x} {\cos x} & = \dfrac{1}{\cos x} – \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ & = \sec x – \tan x \\ & = \sec x – \tan x \times \dfrac{\sec x + \tan x} {\sec x + \tan x} \\ & = \dfrac{\sec^2 x – \tan^2 x}{\sec x + \tan x} \end{aligned}$
Dengan menggunakan identitas trigonometri
$\boxed{\sec^2 x = 1 + \tan^2 x}$, 
didapat
$\dfrac{\sec^2 x – \tan^2 x} {\sec x + \tan x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]