Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri

     Setelah mempelajari perbandingan trigonometri dasar, sudut istimewa, identitas trigonometri, aturan sinus, aturan cosinus, dan persamaan trigonometri, selanjutnya kita akan mempelajari aplikasi trigonometri. Sebelumnya, kita disarankan untuk menguasai terlebih dahulu submateri sebelumnya agar lebih mudah memahami penyelesaian soal mengenai aplikasi trigonometri.

Baca: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri (Dasar)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

      Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang aplikasi (soal cerita) materi Trigonometri. Soal-soal berikut dikumpulkan dari berbagai sumber, kemudian penulis rangkum dalam postingan ini. Semoga bermanfaat. 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Pembuktian Identitas Trigonometri

Today Quote

Kegagalan adalah hal yang biasa. Hal yang luar biasa adalah bangkit dari kegagalan itu.

BAGIAN PILIHAN GANDA

Soal Nomor 1
Seekor kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyiannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan sudut $60^{\circ}$ (lihat gambar). Jika jarak antara kelinci dan elang adalah $18$ meter, maka tinggi elang dari atas tanah adalah $\cdots \cdot$ meter.
A. $\sqrt{3}$                              D. $9\sqrt{3}$
B. $3\sqrt{3}$                            E. $12\sqrt{3}$
C. $6\sqrt{3}$

Pembahasan

Jika dilihat dari gambar, yang ditanya adalah panjang sisi depan sudut $60^{\circ},$ sedangkan panjang sisi miring segitiga (hipotenusa) diketahui. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus, yakni
$\begin{aligned} \sin 60^{\circ} & = \dfrac{x}{18} \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3} & = \dfrac{x}{18} \\ x & = 18 \times \dfrac{1}{2}\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, tinggi elang dari atas tanah adalah $9\sqrt{3}$ meter.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Perhatikan gambar di bawah ini.
Diketahui seseorang yang berada di atas mercusuar dengan tinggi $45\sqrt{3}$ meter sedang mengamati sebuah objek di bawahnya dengan jarak antara objek dan mercusuar sejauh $135$ meter. Sudut depresi yang terbentuk adalah $\cdots \cdot$
A. $30^{\circ}$                  C. $60^{\circ}$             E. $180^{\circ}$

B. $45^{\circ}$                 D. $90^{\circ}$      

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.
Besar $\angle ABC$ sama dengan sudut $\alpha^{\circ}$ karena saling berseberangan. Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh

$\tan \alpha^{\circ} = \dfrac{45\sqrt{3}}{135} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \Rightarrow \alpha^{\circ} = 30^{\circ}$
Jadi, sudut depresi yang terbentuk adalah $\boxed{30^{\circ}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Seorang anak yang memiliki tinggi badan $155$ cm (terukur sampai ke mata) berdiri pada jarak $12$ m dari tiang bendera. Ia melihat puncak tiang bendera dengan sudut elevasi $45^{\circ}$. Tinggi tiang bendera itu adalah $\cdots \cdot$
A. $12,00$ m                     D. $21,50$ m
B. $12,55$ m                     E. $27,50$ m
C. $13,55$ m

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh

$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{BC} {AC} \\ BC & = AC \times \tan 45^{\circ} \\ BC & = 12 \times 1 = 12 \end{aligned}$
Tinggi tiang bendera ($t$) adalah jumlah dari panjang $BC$ dengan tinggi anak itu (yang terukur sampai mata), yaitu $t = 12 + 1,55 = 13,55~\text{m}$. 
Catatan: $155$ cm = $1,55$ m. 
Jadi, tinggi tiang bendera tersebut adalah $\boxed{13,55~\text{meter}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Dari suatu titik pada bukit, tampak ujung-ujung suatu landasan pacu Bandara Kuala Namu yang sedang dibangun horizontal dengan sudut depresi $53^{\circ}$ dan $14^{\circ}$. Jarak ujung landasan yang lebih dekat sepanjang lereng bukit adalah $870$ meter. Jika $\sin 53^{\circ} = 0,8$ dan $\tan 14^{\circ} = 0,25$, maka panjang landasan pacu tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $3.550$                     D. $3.800$
B. $3.750$                     E. $3.950$
C. $3.770$

Pembahasan

Permasalahan di atas dapat direpresentasikan oleh sketsa gambar berikut.
Karena $\sin 53^{\circ} = 0,8 = \dfrac{4}{5}$, maka $\tan 53^{\circ} = \dfrac{4}{\sqrt{5^2-4^2}} = \dfrac{4}{3}.$

Pada $\triangle ABD$, panjang $AD$ dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 53^{\circ} & = \dfrac{AD} {AB} \\ AD & = AB \times \tan 53^{\circ} \\ AD & = 870 \times \dfrac{4}{3} = 1.160~\text{meter} \end{aligned}$
Pada $\triangle ACD$, panjang $AC$ dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 14^{\circ} & = \dfrac{AD} {AC} \\ AC & = \dfrac{AD} {\tan 14^{\circ}} \\ AC & = \dfrac{1.160}{0,25} = 4.640~\text{meter} \end{aligned}$
Dengan demikjan, 
$\begin{aligned}BC & = AC- AB \\ & = 4.640- 870 = 3.770~\text{meter} \end{aligned}$
Jadi, panjang landasan pacu tersebut adalah $\boxed{3.770~\text{meter}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Sebuah kapal berlayar dari Pelabuhan A ke Pelabuhan B sejauh $200$ mil dengan arah $35^{\circ}$. Dari Pelabuhan B, kapal itu berlayar sejauh $300$ mil menuju Pelabuhan C dengan arah $155^{\circ}$. Jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\cdots$ mil. 
A. $100\sqrt{2}$                  D. $100\sqrt{13}$
B. $100\sqrt{3}$                  E. $100\sqrt{19}$
C. $100\sqrt{7}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
(Titik awal penarikan sudut selalu dimulai dari bagian sumbu-$X$ positif)
Panjang $AC$ selanjutnya dapat ditentukan dengan menggunakan Aturan Cosinus. 
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^{\circ} \\ AC^2 & = (200)^2 + (300)^2-2 \cdot 200 \cdot 300 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AC^2 & = 40.000 + 90.000-60.000 \\ AC^2 & = 70.000 \\ AC & = \sqrt{70.000} = 100\sqrt{7} \end{aligned}$$Jadi, jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\boxed{100\sqrt{7}~\text{mil}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Sebuah kapal laut berlayar ke arah timur sejauh $120$ km, kemudian memutar kemudi pada jurusan $30^{\circ}$ sejauh $100$ km hingga berhenti. Jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\cdots$ meter.
A. $25\sqrt{50}$                       D. $27\sqrt{66}$
B. $20\sqrt{91}$                       E. $24\sqrt{70}$
C. $24\sqrt{66}$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.
Misalkan titik $A$ adalah titik mula-mula dan titik $C$ merupakan titik pemberhentian kapal.

Perhatikan bahwa $\angle ABC = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$
Karena diketahui sisi-sudut-sisi, maka untuk mencari jarak yang dimaksud, yakni panjang $AC$, dapat menggunakan Aturan Cosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC \\ & = 120^2 + 100^2-2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \cos 120^{\circ} \\ & = 14.400 + 10.000-2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \left(-\dfrac12\right) \\ & = 24.400 + 12.000 \\ & = 36.400 = 100 \times 4 \times 91 \\ AC & = \sqrt{100 \times 4 \times 91} \\ & = 10 \times 2 \times \sqrt{91} = 20\sqrt{91} \end{aligned}$$Jadi, jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\boxed{20\sqrt{91}}$ meter.
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri

Soal Nomor 7
Sebuah mobil melaju dari tempat A sejauh $16$ km dengan arah $40^{\circ}$, kemudian berbelok sejauh $24$ km ke tempat B dengan arah $160^{\circ}$. Jarak A dan B adalah $\cdots$ km. 
A. $21$                                D. $32$
B. $8\sqrt{7}$                            E. $8\sqrt{19}$
C. $8\sqrt{10}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada segitiga $ABC$ di atas, diketahui $AC = 16~\text{km}$, $CB = 24~\text{km}$, dan $\angle ACB = 60^{\circ}$. Dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh

$$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2 + CB^2-2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos 60^{\circ} \\ AB^2 & = (16)^2 + (24)^2-2 \cdot 16 \cdot 24 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AB^2 & = 256 + 576-384 \\ AB^2 & = 448 \\ AB & = \sqrt{448} = 8\sqrt{7} \end{aligned}$$Jadi, jarak A ke B adalah $\boxed{8\sqrt{7}~\text{km}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Seorang siswa akan mengukur tinggi pohon yang berjarak $4\sqrt{3}$ m dari dirinya. Antara mata dengan puncak pohon tersebut terbentuk sudut elevasi $30^{\circ}$. Jika tinggi siswa tersebut terukur sampai mata adalah $1,6$ m, berapakah tinggi pohon?

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $x$ adalah tinggi pohon terhitung dari titik yang setara dengan mata siswa itu. 

Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 30^{\circ} & = \dfrac{x} {4\sqrt{3}}\\ x & = 4\sqrt{3} \times \tan 30^{\circ} \\ & = 4\sqrt{3} \times \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ & = \dfrac{4}{\cancel{3}} \times \cancel{3} = 4~\text{m} \end{aligned}$
Tinggi pohon ($t$) didapat dari jumlah $x$ dengan tinggi siswa (yang terhitung sampai mata), yaitu
$t = 4 + 1,6 = 5,6~\text{m}$
Jadi, tinggi pohon tersebut adalah $\boxed{5,6~\text{meter}}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Suatu pesawat terbang dalam keadaan mendatar dengan ketinggian $4.000$ meter dari menara pengawas. Dalam $50$ detik, sudut elevasi pesawat berubah dari $20^{\circ}$ menjadi $52^{\circ}$ dilihat dari puncak menara pengawas. Tentukan kecepatan pesawat itu dalam satuan m/detik (Petunjuk: $\tan 20^{\circ} \approx 0,364$, $\tan 52^{\circ} \approx 1,23$).

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada $\triangle ACE$, panjang $AC$ dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu

$\begin{aligned} \tan 20^{\circ} & = \dfrac{CE} {AC} \\ AC & = \dfrac{CE} {\tan 20^{\circ}} \\ AC & \approx \dfrac{4.000}{0,364} \approx 10.989~\text{meter} \end{aligned}$
Pada $\triangle ABD$, panjang $AB$ juga dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 52^{\circ} & = \dfrac{BD} {AB} \\ AB & = \dfrac{BD} {\tan 52^{\circ}} \\ AB & \approx \dfrac{4.000}{1,23} \approx 3.252~\text{meter} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} BC & = AC-AB \\ & = 10.989-3.252 = 7.737~\text{meter} \end{aligned}$
Kecepatan pesawat itu adalah
$v = \dfrac{BC} {t} = \dfrac{7.737}{50} = 154,74~\text{m/detik}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Perhatikan gambar berikut.
Gambar di atas menunjukkan seorang anak yang berada pada jarak $32$ meter dari kaki sebuah gedung. Ia mengamati puncak gedung dan helikopter di atasnya dengan sudut elevasi masing-masing $30^{\circ}$ dan $45^{\circ}$. Hitunglah tinggi helikopter tersebut dari atas gedung.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Ketinggian helikopter dari atas gedung adalah panjang $CD$. 

Tinjau segitiga $ABC$. Dengan menggunakan konsep tangen, kita peroleh
$\begin{aligned} \tan 30^{\circ} & = \dfrac{BC} {AB} \\ BC & = \tan 30^{\circ} \times AB \\ BC & = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \times 32 = \dfrac{32}{3}\sqrt{3}~\text{m} \end{aligned}$
Berikutnya, tinjau segitiga $ABD$. Dengan menggunakan konsep tangen, kita peroleh
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{BD} {AB} \\ BD & = \tan 45^{\circ} \times AB \\ BD & = 1 \times 32 = 32~\text{m} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} CD & = BD-BC \\ & = 32-\dfrac{32}{3}\sqrt{3} \\ & = 32\left(1-\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right)~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, tinggi helikopter dari atas gedung itu adalah $\boxed{32\left(1-\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right)~\text{meter}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Sebuah jalan menghubungkan selatan dan utara. Dari suatu titik pertama pada jalan, suatu bangunan memiliki arah timur $36^{\circ}$ utara dan titik kedua yang berjarak $1$ km dari titik pertama ke arah utara bangunan mempunyai arah selatan $41^{\circ}$ timur. Hitung jarak terpendek dari bangunan ke jalan tersebut. 
Asumsikan $\tan 41^{\circ} = 0,87$ dan $\tan 36^{\circ} = 0,73$.

Pembahasan

Permasalahan di atas dapat direpresentasikan oleh sketsa gambar berikut ini.
Jarak terpendek dari bangunan ke jalan adalah panjang garis tinggi $CD$. 
Diketahui: $AB = 1~\text{km}.$
Dengan menggunakan konsep tangen pada segitiga $BCD$, diperoleh
$\tan 41^{\circ} = \dfrac{BD} {CD}~~~~~~~(1)$
Selanjutnya, dengan menggunakan konsep tangen pada segitiga $ACD$, diperoleh
$\tan 36^{\circ} = \dfrac{AD} {CD}~~~~~~~(2)$ 
Dengan menjumlahkan kedua persamaan di atas, diperoleh
$$\begin{aligned} \tan 41^{\circ} + \tan 36^{\circ} & = \dfrac{BD + AD} {CD} \\ 0,87 + 0,73 & = \dfrac{AB}{CD} \\ 1,6 & = \dfrac{1}{CD} \\ CD & = \dfrac{1}{1,6} = 0,625 \end{aligned}$$Jadi, jarak terpendek dari bangunan ke jalan tersebut adalah $\boxed{0,625~\text{km}}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Soal Nomor 5
Sukardi dengan tinggi $180$ cm mengamati puncak gedung dengan sudut elevasi $45^{\circ}$. Ia kemudian berjalan sejauh $12$ meter mendekati gedung. Di posisi tersebut, Sukardi mengamati puncak gedung kembali dengan sudut elevasi $60^{\circ}$. Tentukan tinggi gedung tersebut.

Pembahasan

Sketsa gambar berikut merepresentasikan permasalahan di atas.
Misalkan $x$ adalah jarak dari posisi baru Sukardi setelah bergerak sejauh $12$ meter ke gedung itu. 
Dengan menggunakan konsep tangen pad segitiga $AOB$, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{OB} {AO} \\ OB & = AO \times \tan 45^{\circ} \\ OB & = (12 + x) \times 1 = 12 + x \\ x & = OB-12 \end{aligned}$ 
Selanjutnya, gunakan konsep tangen pada segitiga $COB$. 
$\begin{aligned} \tan 60^{\circ} & = \dfrac{OB} {CO} \\ OB & = CO \times \tan 60^{\circ} \\ OB & = x \times \sqrt{3} = \sqrt{3}x \end{aligned}$ 
Dengan demikian, kita tuliskan
$$\begin{aligned} OB & = \sqrt{3}(OB- 12) \\ OB & = \sqrt{3}OB- 12\sqrt{3} \\ (\sqrt{3}-1)OB & = 12\sqrt{3} \\ OB & = \dfrac{12\sqrt{3}} {\sqrt{3}-1}  \color{red} {\times \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}}  \\ OB & = \dfrac{\cancelto{6}{12}\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} {\cancel{3-1}} \\ OB & = 6\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 18 + 6\sqrt{3} \end{aligned}$$Tinggi gedung adalah jumlah dari tinggi Sukardi ($180$ cm = $1,8$ m) ditambah panjang $BO$, yaitu
$t = 1,8 + (18 + 6\sqrt{3}) = 19,8 + 6\sqrt{3}$
Jadi, tinggi gedung itu adalah $\boxed{(19,8 + 6\sqrt{3})~\text{meter}}$

[collapse]