Soal dan Pembahasan – Ujian Nasional Matematika SMA Jurusan Peminatan MIPA Tahun 2016

Ujian Nasional (UN) merupakan sistem penilaian tingkat nasional di Indonesia yang diselenggarakan secara serentak untuk mengukur pemahaman materi sekolah. Di lain sisi, ujian nasional masih menjadi momok yang mengerikan bagi siswa karena esensinya sebagai penentu kelulusan dan patokan nilai akademik mereka. Kontroversi atas penghapusan UN pun muncul, ada pihak yang setuju, ada juga pihak yang tidak setuju dengan pertimbangan tertentu. Sebagai eksekutor, guru dan siswalah yang sesungguhnya merasakan bagaimana suka dukanya diadakannya UN. Persiapan mutlak dibutuhkan untuk mendapatkan hasil yang diharapkan. Untuk itu, penulis sajikan soal dan pembahasan Ujian Nasional Matematika SMA Jurusan Peminatan MIPA Tahun 2016 berikut untuk dapat dipelajari sebagai bahan referensi. Semoga dapat bermanfaat!
DOWNLOAD SOAL: File PDF
 
Soal Nomor 1
Hasil dari \dfrac{(125)^{\frac13} - (81)^{\frac14}}{(8)^{\frac13} + (25)^{\frac12}} adalah \cdots
A. \dfrac27     B. \dfrac24       C. \dfrac57       D. 1        E. \dfrac87
 

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat eksponen, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{(125)^{\frac13} - (81)^{\frac14}}{(8)^{\frac13} + (25)^{\frac12}} & = \dfrac{(5^3)^{\frac13} - (3^4)^{\frac14}}{(2^3)^{\frac13} + (5^2)^{\frac12}} \\ & = \dfrac{5 - 3}{2 + 5} = \dfrac27 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \dfrac{(125)^{\frac13} - (81)^{\frac14}}{(8)^{\frac13} + (25)^{\frac12}} = \dfrac27}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Bentuk sederhana dari \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} = \cdots
A. -\frac35\sqrt{21} - \sqrt{6}
B. -\frac35\sqrt{21} + \sqrt{6}
C. \frac35\sqrt{20} - \frac35\sqrt{5}
D. \frac35\sqrt{21} - \frac35\sqrt{6}
E. \frac35\sqrt{21} + \frac35\sqrt{6}
 

Penyelesaian

Rasionalkan penyebutnya.
\begin{aligned} \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} & = \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} \times \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{7}} {\sqrt{2} - \sqrt{7}} \\ & = \dfrac{3\sqrt3(\sqrt{2}-\sqrt{7})} {2 - 7} \\ & = -\dfrac35\sqrt3(\sqrt2-\sqrt7) \\ & = \dfrac35\sqrt{21}-\dfrac35\sqrt{6} \end{aligned}
Jadi, bentuk sederhana dari \boxed{\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} = \dfrac35\sqrt{21}-\dfrac35\sqrt{6}}
(Jawaban D)

[collapse]

 
Soal Nomor 3
Nilai dari \left(\dfrac{^5 \log 9 \cdot ^{81} \log 625 + ^5 \log 125}{^6 \log 216 - ^6 \log 36}\right)^3 = \cdots
A. 625                D. -25
B. 125                E. -125
C. 25

Penyelesaian

Terapkan sifat logaritma berikut.
\boxed{\begin{aligned} ^a \log a^n & = n \\ ^a \log b - ^a \log c & = a \log \dfracbc \\ ^a \log b \cdot ^b \log c & = ^a \log c \end{aligned}}
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned} & \left(\dfrac{^5 \log 9 \cdot ^{81} \log 625 + ^5 \log 125}{^6 \log 216 - ^6 \log 36}\right)^3 \\ & = \left(\dfrac{^5 \log 9 \cdot ^{9^2} \log 5^4 + ^5 \log 5^3}{^6 \log \dfrac{216}{36}}\right)^3 \\ & = \left(\dfrac{\dfrac12 \cdot ^5 \log 9 \cdot ^{9} \log 5^4+ ^5 \log 5^3}{^6 \log 6}\right)^3 \\ & = \left(\dfrac{\dfrac12 \cdot 4 + 3}{1}\right)^3 = (5)^3 = 125 \end{aligned}

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai x yang memenuhi ^{\frac13} \log (x + \sqrt{3}) + ^{\frac13} \log (x-\sqrt{3}) > 0 adalah …
A. x<-\sqrt{3} atau 0<x<2
B. -2<x<-\sqrt{3} atau \sqrt{3}<x<2
C. \sqrt{3}<x<2
D. -2<x<2
E. -\sqrt{3}<x<2

Penyelesaian

\begin{aligned} ^{\frac13} \log (x + \sqrt{3}) + ^{\frac13} \log (x-\sqrt{3}) & > 0 \\ ^3 \log (x + \sqrt{3}) + ^3 \log (x-\sqrt{3}) & < ^3 \log 1 \\ \cancel{^3 \log} (x^2 - 3) & < \cancel{^3 \log} 1 \\ x^2 - 3 & < 1 \\ (x-2)(x+2) & < 0 \end{aligned}
Pembuat nol: x = -2 atau x=2
Buat garis bilangan berikut untuk menentukan himpunan penyelesaian.

HP_1 = \{x~|~-2 < x < 2\}
Syarat numerus:
\begin{aligned} x^2 - 3 & > 0 \\ (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) & > 0 \end{aligned}
Pembuat nol: x = -\sqrt3 atau x=\sqrt3
Buat garis bilangan berikut untuk menentukan himpunan penyelesaian.

HP_2 = \{x~|~-\sqrt3 < x < \sqrt3\} 
Irisan dari kedua HP tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan garis bilangan seperti gambar.

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan logaritma tersebut adalah
\boxed{-2<x<-\sqrt{3}~\text{atau}~\sqrt{3}<x<2}
(Jawaban B)
 

[collapse]

Soal Nomor 5
Salah satu akar persamaan x^2+ax+4=0 tiga lebih dari akar yang lain. Nilai a yang memenuhi adalah …
A. -5 atau 5               D. -2 atau 2
B. -4 atau 4               E. -1 atau 1
C. -3 atau 3
 

Penyelesaian

Misalkan akar persamaannya dinotasikan m dan n, sehingga m = n + 3.
Jumlah akar dan hasil kali akarnya adalah
\begin{cases} m + n = -a \\ mn = 4 \end{cases}
Substitusi m = n+3 pada persamaan mn=4, sehingga didapat
\begin{aligned} (n+3)(n) & = 4 \\ n^2+3n-4 & = 0 \\ (n+4)(n-1) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh n=-4 atau n=1.
Untuk n = -4, nilai m = -4+3= -1 sehingga \color{red}{a = m + n = -4 + (-1) = -5}
Untuk n = 1, nilai m= 1+3=4 sehingga \color{red}{a = m+n=4+1=5}
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah \boxed{-5} atau \boxed{5}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui fungsi f(x)=(a+1)x^2-2ax+(a-2) definit negatif. Nilai a yang memenuhi adalah …
A. a<2              D. a<-2
B. a>-2             E. a>1
C. a<-1

Penyelesaian

Syarat suatu fungsi kuadrat definit negatif (selalu bernilai negatif berapapun nilai x) adalah koefisien x^2 bernilai negatif dan diskriminannya juga bernilai negatif.
Syarat koefisien x^2 negatif:
a + 1 < 0 \Leftrightarrow a < -1
Syarat diskriminan negatif:
\begin{aligned} (-2a)^2 - 4(a+1)(a-2) & < 0 \\ 4a^2 - (4a^2-4a-8) & < 0 \\ 4a + 8 & < 0 \\ a & < -2 \end{aligned}
Irisan dari a < -1 dan a < -2 dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan garis bilangan seperti gambar.
 Jadi, nilai a yang memenuhi adalah \boxed{a<-2}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Di koperasi sekolah, bendahara OSIS membeli 5 buku dan 4 pena, sedangkan ketua OSIS membeli 4 buku dan 5 pena dengan jenis yang sama. Bendahara OSIS harus membayar Rp33.000,00 dan ketua OSIS harus membayar Rp30.000,00. Jika sekretaris OSIS membeli 2 buku dan 1 pena dengan jenis yang sama dan ia membayar dengan uang Rp20.000,00, uang kembalian yang diterimanya sebesar …
A. Rp18.000,00         D. Rp9.000,00
B. Rp12.000,00         E. Rp8.000,00
C. Rp11.000,00

Penyelesaian

Misalkan x = harga 1 buku dan y = harga 1 pena, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
\begin{cases} 5x + 4y & = 33.000 \\ 4x + 5y & = 30.000 \end{cases}
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x+4y & = 33.000 \\ 4x+5y & = 30.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 5 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 20x+16y & = 132.000 \\ 20x+25y & = 150.000 \end{aligned} \\ & \noindent\rule{4 cm}{0.6pt} - \\ & \! \begin{aligned} 9y & = 18.000 \\ y & = 2.000 \end{aligned} \end{aligned}
Substitusikan y = 2.000 ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 5x+4y=33.000, sehingga diperoleh
\begin{aligned} 5x+4(2.000)& =33.000 \\ x & = \dfrac{33.000-8.000}{5} = 5.000 \end{aligned}
Jadi, harga 1 buku adalah Rp5.000,00, sedangkan harga 1 pena adalah Rp2.000,00. Harga 2 buku dan 1 pena menjadi 2 \times~\text{Rp}5.000,00+ \text{Rp}2.000,00 = \text{Rp}12.000,00. Karena membayar Rp20.000,00, maka uang kembalian yang diterima sekretaris OSIS tersebut adalah \boxed{\text{Rp}20.000,00-\text{Rp}12.000,00 = \text{Rp}8.000,00}
(Jawaban E)

[collapse]

 
Soal Nomor 8
Seorang penjahit memiliki persediaan 20 m kain polos dan 20 m kain bergaris untuk membuat 2 jenis pakaian. Pakaian model 1 memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris. Pakaian model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris. Pakaian model I dijual dengan harga Rp150.000,00 per potong dan pakaian model II dijual dengan harga Rp100.000,00 per potong. Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah …
A. Rp1.400.000,00
B. Rp1.600.000,00
C. Rp1.800.000,00
D. Rp1.900.000,00
E. Rp2.000.000,00
Penyelesaian

Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Model I} & \text{Model II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Kain Polos} & 1 & 2  & \leq 20 \\ \text{Kain Bergaris} & 3 & 1 & \leq 20 \\ \hline \end{array}
Dari tabel di atas, dapat disusun sistem pertidaksamaan linear di mana x adalah banyaknya pakaian model I dan y adalah banyaknya pakaian model II.
\begin{cases} & x + 2y \leq 20 \\ & 3x + y \leq 20 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}
yang merupakan kendala dari fungsi objektif P = 150.000x + 100.000y.
Gambarkan grafik dari setiap pertidaksamaan linear di atas pada koordinat Kartesius seperti berikut.

Daerah penyelesaiannya tampak pada gambar di atas (diwarna), dengan titik pojok B\left(\dfrac{20}{3}, 0\right), C(4, 8), dan D(0, 10). Perhatikan bahwa koordinat titik C dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
Selanjutnya, ujilah nilai optimum dari masing-masing titik pojok itu terhadap fungsi objektif P = 150.000x + 100.000y dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini.
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 150.000x + 100.000y \\ \hline B\left(\dfrac{20}{3}, 0\right) & 1.000.000 \\ \rowcolor{green} C(4, 8) & 1.400.000 \\ D(0, 10) & 1.000.000 \\ \hline \end{array}
Berdasarkan tabel di atas, penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah Rp1.400.000,00 (Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} dan g:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} didefinisikan dengan f(x)=x^2-2x-3 dan g(x)=x+6. Fungsi komposisi (f \circ g)(x) adalah …
A. (f \circ g)(x)=x^2-2x+3
B. (f \circ g)(x)=x^2-2x-9
C. (f \circ g)(x)=x^2+10x-21
D. (f \circ g)(x)=x^2+10x+21
E. (f \circ g)(x)=x^2-10x-21

Penyelesaian

Dengan menggunakan operasi komposisi fungsi, diperoleh
\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f(x + 6) \\ & = (x+6)^2 - 2(x+6) - 3 \\ & = (x^2 + 12x + 36) - 2x - 12 - 3 \\ & = x^2 + 10x + 21 \end{aligned}
Jadi, fungsi komposisinya dinyatakan oleh \boxed{(f \circ g)(x)=x^2+10x+21}
(Jawaban D)

[collapse]

 
Soal Nomor 10
Diketahui f(x)=\dfrac{5x-3}{x+2}, x \neq 2 dan g(x)=6x-2. Invers fungsi (f \circ g)(x) adalah …
A. (f \circ g)^{-1}(x)= \frac{-13}{6x-30}, x \neq 5
B. (f \circ g)^{-1}(x)= \frac{-13}{6x+30}, x \neq -5
C. (f \circ g)^{-1}(x)= \frac{13}{6x-30}, x \neq 5
D. (f \circ g)^{-1}(x)= \frac{14}{6x+30}, x \neq -5
E. (f \circ g)^{-1}(x)= \frac{14}{6x-30}, x \neq 5

Penyelesaian

Komposisi fungsi g dalam f dinyatakan oleh
\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f(6x-2) \\ & = \dfrac{5(6x-2)-3}{(6x-2)+2} \\ & = \dfrac{30x - 13}{6x} \end{aligned}
Invers fungsi rasional berbentuk h(x) = \dfrac{ax+b} {cx+d} adalah h^{-1}(x) = \dfrac{-dx + b} {cx - a}.
Untuk itu, invers dari (f \circ g) (x) = \dfrac{30x - 13}{6x + 0} adalah (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{-13}{6x - 30} dengan syarat 6x - 30 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 5
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui f(x)=3x^3+ax^2-7x+4. Jika f(x) dibagi (3x-1) bersisa 2. Jika f(x) dibagi (x+2), hasil baginya adalah …
A. 3x^2+10x-13
B. 3x^2-10x-13
C. 3x^2+10x+13
D. 3x^2-4x-1
E. 3x^2-4x+1
Penyelesaian

Gunakan skema Horner seperti gambar di bawah.
Pembuat nol pembagi: 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac13

Dengan demikian, kita peroleh
\begin{aligned} \dfrac19a + \dfrac{16}{9} & = 2 \\ a + 16 & = 18 \\ a & = 2 \end{aligned}
Untuk itu, f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 7x + 4.
Selanjutnya, gunakan skema Horner lagi dengan pembagi: (x + 2) (berarti pembuat nolnya adalah x = -2).

Jadi, diperoleh hasil baginya adalah \boxed{3x^2 - 4x + 1} dengan sisa 2 (Jawaban E)

[collapse]
Soal Nomor 12
Diketahui (x-2) dan (x+1) adalah faktor-faktor persamaan suku banyak x^3+ax^2+bx+10=0. Jika x_1,x_2, dan x_3 adalah akar-akar persamaan tersebut dengan x_1<x_2<x_3, nilai 2x_1-x_2+x_3 adalah …
A. -2        B. 1          C. 2         D. 5         E. 9

Penyelesaian

Karena (x-2) merupakan salah satu faktor persamaan suku banyak x^3+ax^2+bx+10=0 , maka substitusi x = 2 menghasilkan
\begin{aligned} 2^3 + a(2)^2 + b(2) + 10 & = 0 \\ 8 + 4a + 2b + 10 & = 0 \\ 2a + b & = -9 \end{aligned}
Karena (x + 1) juga merupakan faktornya, substitusi x=-1 menghasilkan
\begin{aligned} (-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+10 & = 0 \\ -1 + a - b + 10 & = 0 \\ a - b & = -9 \end{aligned}
Diperoleh SPLDV: \begin{cases} 2a+b=-9 \\ a-b=-9 \end{cases}
Selesaikan sistem di atas, sehingga didapat a = -6 dan b = 3.
Jadi, persamaan suku banyaknya berbentuk x^3-6x^2+3x+10 = 0. Dengan menggunakan Teorema Vieta, hasil kali ketiga akarnya adalah
\begin{aligned} x_1x_2x_3 & = -\dfrac{d} {a} \\ -1(2)x_3 & = -\dfrac{10}{1} \\ x_3 & = 5 \end{aligned}
Jadi, kita peroleh x_1 = -1, x_2 = 2, dan x_3 = 5 (sesuai dengan syarat x_1<x_2<x_3). Dengan demikian,
\boxed{2x_1-x_2+x_3 = 2(-1) - 2 + 5 = 1}
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Suku Banyak (Polinomial)

 Soal Nomor 13
Diketahui persamaan matriks
3\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 10 & 3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & y \\ 4 & 1 \end{pmatrix}
Nilai 2y-3x= \cdots
A. -9        B. -7           C. -4           D. 8            E. 11

Penyelesaian

Dengan menerapkan aturan operasi matriks, kita peroleh
\begin{aligned} 3\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 10 & 3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & y \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -12 & 6 \\ 30 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -8 \\ -6 & -2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1(2) + x(4) & 1(y) + x(1) \\ 2(2) + 5(4) & 2(y) + 5(1) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -10 & -2 \\ 24 & 7 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4x+2 & x + y \\ 24 & 2y+5 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dari kesamaan entri di baris 1 kolom 1, diperoleh
4x + 2 = -10 \Leftrightarrow x = \dfrac{-10-2}{4} = -3
Dari kesamaan entri di baris 2 kolom 2, diperoleh
2y + 5 = 7 \Leftrightarrow y = \dfrac{7-5}{2} = 1
Dengan demikian, nilai dari \boxed{2y-3x=2(1)-3(-3)=2+9=11}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui matriks A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} dan B=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}. Jika matriks C berordo 2 \times 2 memenuhi AC=B, maka determinan matriks C adalah …
A. 12         B. 11         C. 9           D. 6          E. 1

Penyelesaian

Diketahui: AC = B.
Berdasarkan teorema determinan, berlaku
\begin{aligned} |A| \cdot |C| & = |B| \\\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \cdot |C| & =\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \\ (1(3) - 2(1)) \cdot |C| & = 4(3) - 1(1) \\ |C| & = 11 \end{aligned}
Jadi, determinan matriks C adalah \boxed{11}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15
Suatu barisan aritmetika memiliki suku kedua 8, suku keempat 14, dan suku terakhir 23. Jumlah semua suku barisan tersebut adalah …
A. 56              D. 105
B. 77              E. 112
C. 98
 

Penyelesaian

Diketahui: \text{U}_2 = 8, \text{U}_4 = 14, dan \text{U}_n = 23
Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \text{U}_n = a+(n-1)b. Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut.
b = \dfrac{\text{U}_4 - \text{U}_2}{4 - 2} = \dfrac{14-8}{2} = 3
Selanjutnya, akan dicari nilai a (suku pertama) dengan menggunakan persamaan sebagai berikut.
\begin{aligned} \text{U}_2 & = 8 \\ a + b & = 8 \\ a + 3 & = 8 \\ a & = 5 \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ 23 & = 5 + (n-1) \cdot 3 \\ n & = \dfrac{23-5}{3} + 1 = 7 \end{aligned}
Jumlah tujuh suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_7 & = \dfrac{7}{2}(5 + 23) \\ & = 7(15) = 105 \end{aligned}
Jadi, Jumlah semua suku barisan tersebut adalah \boxed{105}
(Jawaban D)

[collapse]

 Soal Nomor 16
Perhatikan sketsa gambar berikut!

Aturan main: Dalam kotak tersedia 10 bendera dan harus dipindahkan ke dalam botol yang tersedia satu demi satu (tidak sekaligus). Semua peserta lomba mulai bergerak (start) dari botol nomor 10 untuk mengambil bendera dalam kotak.
Jarak tempuh yang dilalui peserta lomba adalah …
A. 164 meter            D. 1.000 meter
B. 880 meter            E. 1.840 meter
C. 920 meter
Penyelesaian

Kasus ini merupakan kasus barisan aritmetika.
Dari posisi botol nomor 10, peserta bergerak menuju kotak sejauh 9 \times 8 + 10 = 82~\text{m}
Dimulai dari posisi kotak:

\text{U}_1 adalah jarak kotak ke botol nomor 1.
\text{U}_2 adalah jarak kotak ke botol nomor 2, dan seterusnya, sehingga
\text{U}_1 = 10, \text{U}_2 = 18, \text{U}_3 = 26,
sampai \text{U}_{10} = 10 + 8 \times 9 = 82.

Dengan demikian, jumlah jarak tempuh bolak balik (sehingga dikali dua) yang dilakukan peserta adalah
\begin{aligned} 2 \text{S}_n & = 2 \times \dfrac{n}{2}(\text{U}_1 + \text{U}_n) \\ 2 \text{S}_{10} & = 10(10 + 82) = 10 \times 92 = 920 \end{aligned}
Tetapi perhatikan bahwa ketika peserta memegang bendera terakhir dan bergegas menuju botol nomor 10, ia tidak perlu lagi kembali ke kotak karena ia sudah menyelesaikan permainan. Dengan demikian, total jarak tempuhnya adalah \boxed{s = 82 + 920 - (8 \times 9 + 10) = 920~\text{m}}
(Jawaban C)

[collapse]
 
Soal Nomor 17
Seutas tali dipotong-potong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanjang 320 cm, panjang tali sebelum dipotong adalah …
A. 310 cm                D. 630 cm
B. 470 cm                E. 650 cm
C. 550 cm

Penyelesaian

Diketahui: \text{U}_1= a = 10; \text{U}_6 = 320
Akan dicari rasionya terlebih dahulu.
\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ 320 & = 10r^{6-1} \\ r^5 & = 32 \\ r & = 2 \end{aligned}
Panjang tali sebelum dipotong adalah jumlah panjang tali pada potongan pertama sampai potongan keenam, yakni
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)} {r-1} \\ \text{S}_6 & = \dfrac{10(2^6 - 1)} {2-1} \\ & = 10(63) = 630~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang tali sebelum dipotong (panjang tali mula-mula) adalah \boxed{630~\text{cm}}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18

Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri \cos 2x + \sin x=0 untuk 0\degree<x<360\degree adalah …
A. \{60\degree,120\degree,150\degree\}
B. \{60\degree,150\degree,300\degree\}
C. \{90\degree,210\degree,300\degree\}
D. \{90\degree,210\degree,330\degree\}
E. \{120\degree,250\degree,330\degree\}

Penyelesaian

Gunakan identitas trigonometri bahwa 
\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \cos 2x + \sin x & = 0 \\ (1-2 \sin^2 x) + \sin x & = 0 \\ 2 \sin^2 x - \sin x - 1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1)(\sin x - 1) & =0 \end{aligned}
Diperoleh \sin x = -\dfrac12 atau \sin x = 1
Penyelesaian untuk \sin x = -\dfrac12 adalah \{210\degree, 330\degree\}
Penyelesaian untuk \sin x = 1 adalah \{90\degree\}.
Jadi, HP dari persamaan trigonometri itu adalah \boxed{\{90\degree, 210\degree, 330\degree\}} 
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri

Soal Nomor 19
Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar berikut adalah …
A. y=-\cos (2x+60\degree)
B. y=-\sin(2x+60\degree)
C. y=\cos (2x+60\degree)
D. y=\sin (2x-60\degree)
E. y=\cos (2x-60\degree)

Penyelesaian

Karena grafik fungsinya dimulai dekat dengan amplitudonya, maka fungsi trigonometrinya diasumsikan sebagai fungsi cosinus dengan persamaan umumnya berbentuk y = A \cos B(x \pm c).
Dari gambar, diketahui amplitudonya adalah A = \pm 1 serta pergeseran ke kanan sejauh c = 15\degree (tandanya negatif jika digeser ke kanan), sehingga diperoleh persamaan y = - \cos B(x - 15\degree)
Perhatikan bahwa A = -1 karena grafik bernilai -1 (negatif) ketika digeser kembali ke kiri sebesar 15\degree.

Satu gelombang (gunung & lembah) membutuhkan sudut sebesar (195 - 15)\degree = 180\degree, sehingga periodenya dinyatakan oleh B = \dfrac{360\degree}{180\degree} = 2.
Dengan demikian, persamaan grafiknya adalah
\begin{aligned} y & = -\cos 2(x - 15)\degree \\ & = -\cos (2x - 30)\degree \\ & = -\sin (90\degree - (2x - 30\degree)) \\ & = -\sin (120\degree - 2x) \\ & = -\sin (180\degree - (120\degree - 2x)) \\ & = -\sin (2x - 60\degree) \end{aligned}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20

Nilai dari \dfrac{\sin 100\degree + \sin 20\degree}{\cos 250\degree + \cos 190\degree} adalah …
A. -1                           D. \sqrt2
B. -\dfrac13\sqrt{3}                    E. \sqrt3
C. \dfrac13\sqrt{3}           

Penyelesaian

Gunakan rumus relasi sudut, serta jumlah dan selisih fungsi trigonometri berikut. 
\boxed{\begin{aligned} \sin x + \sin y & = 2 \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y} {2} \\ \cos x + \cos y & = 2 \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y} {2} \\ \cos (180\degree + x) & = -\cos x \\ \cos (90\degree - x) & = \sin x \end{aligned}}
Dengan demikian, kita dapatkan
\begin{aligned} &\dfrac{\sin 100\degree + \sin 20\degree}{\cos 250\degree + \cos 190\degree} \\ & = \dfrac{2 \sin \frac{100\degree+20\degree}{2} \cos \frac{100\degree-20\degree} {2}} {2 \cos \frac{250\degree+190\degree}{2} \cos \frac{250\degree-190\degree} {2}} \\ & = \dfrac{\cancel{2}\sin 60\degree \cos 40\degree} {\cancel{2} \cos 220\degree \cos 30\degree} \\ & = \dfrac{\sin 60\degree \cos 40\degree} {\cos (180+40)\degree \cos (90-60)\degree} \\ & = \dfrac{\bcancel{\sin 60\degree} \cancel{\cos 40\degree}} {-\cancel{\cos 40\degree} \bcancel{\sin 60\degree}} = -1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\dfrac{\sin 100\degree + \sin 20\degree}{\cos 250\degree + \cos 190\degree} = -1}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan A pada pukul 07.00 dengan arah 030\degree dan tiba di pelabuhan B setelah 4 jam bergerak. Pukul 12.00 kapal bergerak kembali dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan 150\degree dan tiba di pelabuhan C pukul 20.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam. Jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah …

A. 200\sqrt{2} mil             D. 200\sqrt{7} mil
B. 200\sqrt{3} mil             E. 600 mil
C. 200\sqrt{6} mil
Penyelesaian

Diketahui kecepatan rata-rata kapal adalah 50 mil/jam.
Waktu tempuh dari A ke B adalah 4 jam (dari pukul 07.00 sampai 11.00), sehingga jarak AB = 4 \times 50 = 200~\text{mil}
Waktu tempuh dari B ke C adalah 8 jam (dari pukul 12.00 sampai 20.00), sehingga jarak BC = 8 \times 50 = 400~\text{mil}

Dari gambar, diketahui bahwa \angle B = 60\degree.
Dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \\ AC^2 & = 200^2 + 400^2 - 2 \cdot 200 \cdot 400 \cos 60\degree \\ AC^2 & = 40.000 + 160.000 - 80.000 \\ AC & = \sqrt{120.000} = \sqrt{40.000 \times 3} \\ AC & = 200\sqrt{3} \end{aligned}
Jadi, jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah \boxed{200\sqrt{3}~\text{mil}}
(Jawaban B)

[collapse]
Soal Nomor 22

Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB=BC=5\sqrt{2} cm dan TA=13 cm. Jarak titik A ke garis TC adalah …
A. 4\frac{8}{13} cm               D. 10 cm
B. 4\frac{12}{13} cm             E. 12 cm
C. 9\frac{3}{13} cm

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} AB & = BC = 5\sqrt{2}~\text{cm} \\ TA & = TC = 13~\text{cm} \end{aligned}
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan O adalah titik tengah diagonal AC dan P adalah titik pada TC sehingga AP merupakan garis tinggi segitiga ACT. Dalam hal ini, AP merupakan jarak A ke TC
Tinjau segitiga ABC (siku-siku di B). Panjang AC dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras
AC = \sqrt{(5\sqrt2)^2+(5\sqrt2)^2} = \sqrt{50+50} = 10~\text{cm}
Dengan demikian, AO = 5~\text{cm}
Selanjutnya, tinjau segitiga AOT (siku-siku di O). 
Panjang OT juga dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras
\begin{aligned} OT & = \sqrt{AT^2 - AO^2} = \sqrt{13^2-5^2} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}
Terakhir, perhatikan segitiga ATC
Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga, diperoleh
\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \cdot AC \cdot OT & = \cancel{\dfrac12} \cdot TC \cdot AP \\ 10 \cdot 12 & = 13 \cdot AP \\ AP & = \dfrac{120}{13} = 9 \dfrac{3}{13}~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, jarak titik A ke garis TC adalah \boxed{9 \dfrac{3}{13}~\text{cm}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a satuan. Tangen sudut antara garis AH dan bidang BDHF adalah …
A. \dfrac13    B. \dfrac12\sqrt{3}     C. \dfrac13\sqrt{3}    D. 1     E. \sqrt{3}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Titik O merupakan proyeksi titik A pada bidang BDHF (terletak di tengah garis AC). Sudut antara garis AH dan bidang BDHF sama dengan sudut antara garis AH dan garis OH. Perhatikan \triangle AOH (siku-siku di O
AH merupakan diagonal bidang, sehingga AH = a\sqrt2
Panjang AO merupakan setengah dari panjang diagonal bidang AC, sehingga AO = \dfrac12a\sqrt{2}
Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned} OH & = \sqrt{AH^2 - AO^2} \\ & = \sqrt{(a\sqrt2)^2 - \left(\dfrac12a\sqrt2\right)^2} \\ & = \sqrt{2a^2 - \dfrac12a^2} \\ & = \sqrt{\dfrac32a^2} = a\dfrac{\sqrt{3}} {\sqrt{2}}  = \dfrac12a\sqrt{6} \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} \tan (AH, OH) & = \dfrac{AO} {OH} \\ & = \dfrac{\cancel{\frac12a}\sqrt{2}} {\cancel{\frac12a} \sqrt6} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \dfrac13\sqrt{3} \end{aligned}
Jadi, tangen sudut antara garis AH dan bidang BDHF adalah \boxed{\dfrac13\sqrt{3}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Persamaan bayangan kurva y=3x^2+2x-1 oleh pencerminan terhadap sumbu-X dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-Y adalah …
A. y=-3x^2-2x-1
B. y=-3x^2+2x+1
C. y=-3x^2+2x-1
D. y=3x^2+2x+1
E. y=3x^2-2x+1

Penyelesaian

Misalkan titik (x, y) dicerminkan terhadap sumbu-X sehingga diperoleh
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{M_x} \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}
Titik (x, -y) kemudian dicerminkan terhadap sumbu-Y sehingga diperoleh
\begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix} \xrightarrow{M_y} \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}
Diperoleh x'' = -x dan y''=-y
Substitusikan ke y=3x^2+2x-1 untuk mendapatkan
\begin{aligned} -y'' & = 3(-x'')^2 + 2(-x'') -1 \\ y'' & = -3(x'')^2 + 2x'' + 1 \end{aligned}
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan kurvanya, yakni \boxed{y=-3x^2+2x+1}
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Transformasi Geometri

Soal Nomor 25
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2-2x+6y-10=0 yang sejajar dengan garis 2x-y+4=0 adalah …
A. 2x-y=14                 D. 2x-y=-5
B. 2x-y=10                 E. 2x-y=-6
C. 2x-y=5

Penyelesaian

Ubah persamaan lingkarannya ke dalam bentuk umum. 
\begin{aligned} x^2+y^2-2x+6y-10 & = 0 \\ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 - 10 & = 0 \\ (x-1)^2 + (y+3)^2 & = 20 \end{aligned}
Lingkaran tersebut berpusat di (1, -3) dan berjari-jari \sqrt{20} = 2\sqrt5.
Gradien garis 2x-y+4=0 adalah m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{2}{-1} = 2
Karena sejajar, maka garis singgung lingkaran juga memiliki gradien m=2.
Persamaan garis singgung bergradien 2 pada lingkaran dengan pusat di (1, -3) dan jari-jarinya 2\sqrt5 dinyatakan oleh
\begin{aligned} y - y_p & = m(x - x_p) \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y - (-3) & = 2(x - 1) \pm 2\sqrt{5}\sqrt{1+2^2} \\ y + 3 & = 2x - 2 \pm 10 \\ 2x - y & = 5 \pm 10 \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh dua persamaan garis singgung lingkaran, yaitu
\begin{cases} 2x - y = 15 \\ 2x - y = -5 \end{cases}
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Lingkaran

 Soal Nomor 26
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-5)\right) = \cdots
A. -6           B. -4         C. -1        D. 4        E. 6

Penyelesaian

Gunakan teorema limit tak hingga berikut. 
\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b - p} {2\sqrt{a}}}
Untuk itu, kita dapat tuliskan
\begin{aligned} \displaystyle & \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-5)\right) \\ & =\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{(2x-5)^2}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{4x^2-20x+25}\right) \\ & = \dfrac{4 - (-20)} {2\sqrt{4}} = \dfrac{24}{4} = 6 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-5)\right) = 6}
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga

 Soal Nomor 27
Nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 4x}{2x \sin 4x} = \cdots
A. 1          B. \dfrac12          C. 0            D. -\dfrac12         E. -1

Penyelesaian

Gunakan identitas trigonometri berikut. 
\boxed{\cos ax = 1 - 2 \sin^2 \dfrac{ax} {2}}
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 4x}{2x \sin 4x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (1 - 2 \sin^2 2x)} {2x \sin 4x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 2x} {2x \sin 4x} \\ & = 2 \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 2x} {2x} \cdot \dfrac{\sin 2x} {\sin 4x}\right) \\ & = 2 \cdot \dfrac22 \cdot \dfrac24 = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 4x}{2x \sin 4x} = 1}
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri

 Soal Nomor 28
Turunan pertama dari fungsi f(x)=\cos^5(\pi-2x) adalah …
A. f'(x) = 5 \cos^3 (\pi - 2x) \sin (2\pi - 4x)
B. f'(x) = 5 \cos^3 (\pi - 2x) \sin (\pi - 2x)
C. f'(x) = 5 \cos^3 (\pi - 2x) \sin (2\pi - 4x)
D. f'(x) = -5 \cos^3 (\pi - 2x) \sin (2\pi - 4x)
E. f'(x) = -5 \cos^3 (\pi - 2x) \sin (\pi - 2x)

Penyelesaian

Diketahui: f(x)=\cos^5(\pi-2x)
Dengan menggunakan Aturan Rantai dalam Turunan, diperoleh
\begin{aligned} f'(x) & = 5 \cos^4(\pi-2x) (-2)(\sin(\pi - 2x)) \\ & = -5 \cos^3(\pi-2x)(2 \sin (\pi-2x) \cos (\pi -2x)) \\ & = -5 \cos^3(\pi-2x) \sin 2(\pi - 2x) \\ & = -5 \cos^3(\pi-2x) \sin (2\pi - 4x) \end{aligned}
Catatan: \sin 2x = 2 \sin x \cos x
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 29
Persamaan garis yang menyinggung kurva y=x^3-4x^2-3x-5 pada titik dengan absis -1 adalah …
A. y=-8x+15              D. y=8x+1
B. y=-8x+1                E. y=8x+15
C. y=-8x-1

Penyelesaian

Koordinat titik singgungnya dapat ditentukan dengan mensubstitusikan x = -1 ke persamaan kurva
\begin{aligned} y & = x^3-4x^2-3x-5 \\ & = (-1)^3 - 4(-1)^2 - 3(-1) - 5 \\ & = -1 - 4 + 3 - 5 = -7 \end{aligned}
Titik singgungnya di (-1, -7)
Selanjutnya, gunakan turunan pertama untuk menentukan gradien kurva di titik x=-1
\begin{aligned} y' & = 3x^2 - 8x - 3 \\ \text{Substitusi}&~x=-1 \\ & = 3(-1)^2 - 8(-1) - 3 \\ & = 3 + 8 - 3 = 8 \end{aligned}
Ini berarti, gradien garis singgungnya adalah y' = m = 8
Persamaan garis yang bergradien 8 dan melalui titik (-1, -7) adalah
\begin{aligned} y & = m(x - x_1) + y_1 \\ y & = 8(x - (-1)) - 7 \\ y & = 8x + 1 \end{aligned}
Jadi, persamaan garis singgung kurvanya adalah \boxed{y=8x+1}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 30
Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?

A. 80.000~\text{m}^2
B. 40.000~\text{m}^2
C. 20.000~\text{m}^2
D. 5.000~\text{m}^2
E. 2.500~\text{m}^2
Penyelesaian

Panjang kawat yang dililitkan akan menjadi keliling persegi panjang itu. Karena bagian tembok tidak terlilit, maka dapat ditulis
\begin{aligned} k = p + 2l & = 800 \\ p & = 800 - 2l \end{aligned}
Nyatakan fungsi luas persegi panjang dalam variabel l, yaitu
\begin{aligned} L & = p \times l \\ & = (800 - 2l) \times l \\ & = 800l - 2l^2 \end{aligned}
Luas akan maksimum saat turunannya terhadap l bernilai 0.
\begin{aligned} L' & = 800 - 4l \\ 0 & = 800 - 4l \\ l &= \dfrac{-800}{4} = 200 \end{aligned}
Untuk l = 200~\text{m}, diperoleh p = 800 -2(200) = 400~\text{m}.
Dengan demikian, luas maksimumnya adalah
\boxed{L_{\text{maks}} = 400 \times 200 = 80.000~\text{m}^2}
(Jawaban A)

[collapse]
Soal Nomor 31

Hasil \displaystyle \int 2x(5-x)^3~\text{d}x= \cdots
A. -\frac{1}{10}(4x+5)(5-x)^4+C
B. -\frac{1}{10}(6x+5) (5-x)^4+C
C. -\frac{1}{10}(x+5) (5-x)^4+C
D. \frac{1}{10}(4x+5) (5-x)^4+C
E. \frac12(5+x)^4+C

Penyelesaian

Cara 1: Integral Parsial
Misalkan u = 2x dan \text{d}v = (5-x)^3~\text{d}x, sehingga diperoleh \text{d}u = 2~\text{d}x dan v = -\dfrac14(5-x)^4.
Berdasarkan rumus integral parsial: \displaystyle \int u~\text{d}v = uv - \int v~\text{d}u, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \int 2x(5-x)^3~\text{d}x \\ & = 2x\left(-\dfrac14(5-x)^4\right) - \int -\dfrac14(5-x)^4(2~\text{d}x) \\ & = -\dfrac12x(5-x)^4 + \dfrac12 \int (5-x)^4~\text{d}x \\ & = -\dfrac12(5-x)^4 + \dfrac12 \cdot \left(-\dfrac15(5-x)^5\right) + C \\ & = -\dfrac{1}{10}(5-x)^4(5x + (5-x)) + C \\ & = -\dfrac{1}{10}(4x + 5)(5-x)^4 + C \end{aligned}
Cara 2: Aturan Tanzalin

Dari skema di atas, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \int 2x(5-x)^3~\text{d}x \\ & = 2x\left(-\dfrac14(5-x)^4\right) + (-2)\left(\dfrac{1}{20}(5-x)^5\right) + C\\ & = -\dfrac12x(5-x)^4 - \dfrac{1}{10}(5-x)^5 + C\\ & = (5-x)^4\left(-\dfrac12x - \dfrac{1}{10}(5-x)\right) + C \\ & = (5-x)^4\left(-\dfrac12x - \dfrac12 + \dfrac{1}{10}x\right) + C \\ & = (5-x)^4\left(-\dfrac{4}{10}x -\dfrac{5}{10}\right) + C\\ & = (5-x)^4 \cdot \left(-\dfrac{1}{10}\right)(4x + 5) + C \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{\displaystyle \int 2x(5-x)^3~\text{d}x = -\dfrac{1}{10} (5-x)^4 \cdot (4x + 5) + C}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 32
Nilai dari \displaystyle \int_{-1}^1 (2x^2 - 4x + 3)~\text{d}x = \cdots
A. \dfrac{22}{3}          B. 6         C. \dfrac{16}{3}         D. 4         E. \dfrac43

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat-sifat integral dasar, diperoleh
\begin{aligned} & \displaystyle \int_{-1}^1 (2x^2 - 4x + 3)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac23x^3 - 2x^2 + 3x\right]_{-1}^1 \\ & = \left(\dfrac23(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1)\right) \\ & - \left(\dfrac23(-1)^3 - 2(-1)^2 + 3(-1)\right) \\ & = \left(\dfrac23 - 2 + 3\right) - \left(-\dfrac23 - 2 - 3\right) \\ & = \dfrac43 + 1 - (-5) \\ & = 6 \dfrac43 = \dfrac{22}{3} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \int_{-1}^1 (2x^2 - 4x + 3)~\text{d}x = \dfrac{22}{3}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 33
Hasil dari \displaystyle \int \sin^5 2x \cos 2x~\text{d}x = \cdots
A. -\frac15 \sin^6 2x + C
B. -\frac{1}{10} \sin^6 2x + C
C. -\frac{1}{12} \sin^6 2x + C
D. \frac{1}{12} \sin^6 2x + C
E. \frac{1}{10} \sin^6 2x + C

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode substitusi, misalkan u = \sin 2x, sehingga \text{d}u = 2 \cos 2x~\text{d}x, sehingga dapat diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \int \sin^5 2x \cos 2x~\text{d}x & = \dfrac12 \int \sin^5 2x (2 \cos 2x)~\text{d}x \\ & = \dfrac12 \int u^5~\text{d}u \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac16 \cdot u^6 + C \\ & = \dfrac{1}{12} \sin^6 2x + C \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{\displaystyle \int \sin^5 2x \cos 2x~\text{d}x = \dfrac{1}{12} \sin^6 2x + C}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 34
Hasil dari \displaystyle \int \dfrac{x^2-2}{\sqrt{6x-x^3}}~\text{d}x = \cdots
A. -\frac{3}{2}\sqrt{6x-x^3}+C
B. -\frac{2}{3}\sqrt{6x-x^3}+C
C. -\frac{1}{6}\sqrt{6x-x^3}+C
D. \frac{1}{6}\sqrt{6x-x^3}+C
E. \frac{2}{3}\sqrt{6x-x^3}+C

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode substitusi, misalkan u = 6x - x^3, sehingga \text{d}u = (6 - 3x^2)~\text{d}x, sehingga dapat diperoleh 
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{x^2-2}{\sqrt{6x-x^3}}~\text{d}x & = \dfrac13 \int \dfrac{3(x^2-2)}{\sqrt{6x-x^3}}~\text{d}x \\ & = \dfrac13 \int \dfrac{3x^2-6}{\sqrt{6x-x^3}}~\text{d}x \\ & = \dfrac13 \int \dfrac{1}{\sqrt{u}}~\text{d}u \\ & = \dfrac13 \int u^{-\frac12}~\text{d}u \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac{1}{\frac12} u^{\frac12} + C \\ & = \dfrac23\sqrt{6x-x^3}+C \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \int \dfrac{x^2-2}{\sqrt{6x-x^3}}~\text{d}x = \dfrac23\sqrt{6x-x^3}+C}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 35
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=-x^2-2x,y=x^2+6x, garis x=-2 dan x=-1 adalah …
A. 7\frac13 satuan luas          D. 10\frac23 satuan luas
B. 8\frac13 satuan luas          E. 11\frac13 satuan luas
C. 9\frac23 satuan luas

Penyelesaian

Sketsakan grafik dari setiap kurva yang ada.

Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh keempat kurva tersebut. Daerah di atas sumbu-X (warna abu-abu) dapat ditentukan luasnya dengan integral berikut.
\begin{aligned} & \displaystyle \int_{-2}^{-1} (-x^2 - 2x)~\text{d}x \\ & = \left[-\dfrac13x^3 - x^2\right]_{-2}^{-1} \\ & = \left(-\dfrac13(-1)^3 - (-1)^2\right) - \left(-\dfrac13(-2)^3 - (-2)^2\right) \\ & = \dfrac13 - 1 - \left(\dfrac83 - 4\right) \\ & = -\dfrac73 + 3 = \dfrac23 \end{aligned}
Daerah di bawah sumbu-X (warna coklat muda) dapat ditentukan luasnya dengan integral berikut.
\begin{aligned} & \displaystyle \int_{-2}^{-1} (x^2+6x)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac13x^3 + 3x^2\right]_{-2}^{-1} \\ & = \left(\dfrac13(-1)^3 + 3(-1)^2\right) - \left(\dfrac13(-2)^3 + 3(-2)^2\right) \\ & = -\dfrac13 + 3 + \dfrac83 - 12 \\ & = \dfrac73 - 9 = -\dfrac{20}{3} \end{aligned}
Karena bernilai negatif, maka nilainya perlu dimutlakkan menjadi \dfrac{20}{3}. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva adalah jumlah luas kedua daerah tersebut, yaitu
L = \dfrac{20}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{22}{3} = 7\dfrac13
Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva itu adalah \boxed{7\dfrac13~\text{satuan luas}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 36
Di sebuah toko tersedia 1 lusin lampu, 2 di antaranya rusak. Ada 3 orang yang akan membeli masing-masing 1 lampu. Peluang pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak adalah …
A. \dfrac{1}{66}         B. \dfrac{1}{33}          C. \dfrac{1}{22}          D. \dfrac16           E. \dfrac{2}{11}

Penyelesaian

Diketahui: ada 1 lusin (12 buah) lampu dengan keadaan: 10 baik, 2 rusak.
Ada tiga kemungkinan pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak, yaitu kejadian di mana pembeli pertama, kedua, dan ketiga berturut-turut mendapatkan lampu dengan keadaan:
1) baik, baik, rusak
2) baik, rusak, rusak
3) rusak, baik, rusak
(tidak ada kemungkinan ketiganya mendapatkan lampu rusak, karena hanya ada 2 lampu yang rusak).
Kemungkinan 1:
Peluang kejadian pembeli pertama dan kedua mendapatkan lampu baik, sedangkan pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak adalah
P(A) = \dfrac{10}{12} \times \dfrac{9}{11} \times \dfrac{2}{10} = \dfrac{3}{22}
Kemungkinan 2:
Peluang kejadian pembeli pertama mendapatkan lampu baik, sedangkan pembeli kedua dan ketiga mendapatkan lampu rusak adalah
P(B) = \dfrac{10}{12} \times \dfrac{2}{11} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{66}
Kemungkinan 3:
Peluang kejadian pembeli kedua mendapatkan lampu baik, sedangkan pembeli pertama dan ketiga mendapatkan lampu rusak adalah
P(C) = \dfrac{2}{12} \times \dfrac{10}{11} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{66}
Dengan demikian, peluang kejadian pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak adalah
\boxed{P(A \cup B \cup C) = \dfrac{3}{22} + \dfrac{1}{66} + \dfrac{1}{66} = \dfrac{11}{66} = \dfrac16}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 37
Perhatikan gambar berikut!

Modus dari data pada histogram di atas adalah …
A. 71,50             D. 74,00
B. 72,25             E. 74,50
C. 73,25

Penyelesaian

Dari histogram di atas, tampak bahwa kelas modus adalah kelas dengan interval 70-79, karena frekuensinya tertinggi. 
Diketahui:
\begin{aligned} L_0 & = 69,5 \\ c & = 79-70+1 = 10 \\ d_1 & = 10-7=3 \\ d_2 & = 10-5=5 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \text{Mo} & = L_0 + c \cdot \dfrac{d_1}{d_1+d_2} \\ & = 69,5 + 10 \cdot \dfrac{3}{3+5} \\ & = 69,5 + \dfrac{15}{4} \\ & = 69,5 + 3,75 = 73,25 \end{aligned}
Jadi, modus dari data pada histogram itu adalah \boxed{73,25} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 38
Perhatikan data pada tabel berikut!
\begin{array}{|c|c|} \hline \rowcolor{yellow} \text{Nilai} & \text{Frekuensi} \\ \hline 31-40 & 3 \\ \hline 41-50 & 5 \\ \hline 51-60 & 10 \\ \hline 61-70 & 11 \\ \hline 71-80 & 8 \\ \hline 81-90 & 3 \\ \hline \end{array}
Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah …
A. 48,5               D. 54,5
B. 51,5               E. 58,5
C. 52,5

Penyelesaian

Lengkapi tabel di atas dengan kolom frekuensi kumulatif (F_k)
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \rowcolor{yellow} \text{Nilai} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 31-40 & 3 & 3\\ \hline 41-50 & 5 & 8\\ \hline 51-60 & 10 & 18 \\ \hline 61-70 & 11 & 29 \\ \hline 71-80 & 8 & 37\\ \hline 81-90 & 3 & 40 \\ \hline \end{array}
Kelas kuartil bawah berada pada data urutan ke: \dfrac{1}{4} \times 40 = 10, yaitu pada kelas dengan interval 51-60.
Diketahui:
\begin{aligned} L_0 & = 51 - 0,5 = 50,5 \\ c & = 60-51+1 = 10 \\ n & = 40 \\ \sum F_{k_3} & = 8 \\ f_Q & = 10 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} Q_1 & = L_0 + c \left(\dfrac{\frac{1}{4} \cdot n - F_{k_3}}{f_Q}\right) \\ & = 50,5 + \cancel{10} \left(\dfrac{\frac{1}{4} \cdot 40 - 8}{\cancel{10}}\right) \\ & = 50,5 + 2 = 52,5 \end{aligned}
Jadi, nilai kuartil bawah data pada tabel di atas adalah \boxed{52,5} 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 39

Sebuah hotel akan membuat papan nomor kamar. Pemilik hotel berkeinginan menggunakan angka 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, dengan nomor yang terbentuk terdiri dari 3 angka berbeda dan bernilai lebih dari 500. Banyak papan nomor kamar yang dapat dibuat adalah …
A. 210                D. 320
B. 224                E. 360
C. 280

Penyelesaian

Bilangan 3-angka berbeda yang dapat dibentuk dari 9 angka, yaitu 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9 dan nilainya harus lebih dari 500 dapat ditentukan dengan menggunakan skema kotak seperti gambar.

Untuk mengisi kotak ratusan, hanya ada 5 angka yang boleh dipilih, yaitu 5, 6, 7, 8, dan 9.
Untuk mengisi kotak puluhan, tersisa 8 angka yang boleh dipilih (karena satu angkanya lagi sudah dipilih untuk mengisi kotak ratusan).
Untuk mengisi kotak satuan, tersisa 7 angka yang boleh dipilih (karena dua angkanya sudah dipilih untuk mengisi kotak ratusan dan puluhan).
Dengan demikian, banyak bilangan yang dimaksud adalah \boxed{5 \times 8 \times 7 = 280}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 40
Dalam suatu ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Peserta ujian wajib mengerjakan soal nomor 1, 3, dan 5 serta hanya mengerjakan 8 dari 10 soal yang tersedia. Banyak cara peserta ujian memilih soal yang dikerjakan adalah …
A. 21           B. 28         C. 45          D. 48         E. 56

Penyelesaian

Diketahui:
Banyak soal tersisa = 10 – 3 = 7 soal. 
Banyak soal yang dapat dipilih = 8 – 3 = 5 soal. 
Karena pemilihan soal tidak memperhatikan urutan pengerjaan, maka kasus ini tergolong kasus kombinasi. 
Kombinasi 5 objek dari 7 objek dinyatakan oleh
\begin{aligned} C_5^7 & = \dfrac{7!} {5! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{7 \times \cancelto{3}{6} \times \bcancel{5!}} {\bcancel{5!} \times \cancel{2}} \\ & = 7 \times 3= 21 \end{aligned}
Jadi, banyak cara peserta ujian memilih soal yang dikerjakan adalah \boxed{21} 
(Jawaban A)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini