Soal dan Pembahasan – Limit Euler

        Barisan bilangan dapat dianggap sebagai fungsi dengan domain bilangan asli. Misalkan diberikan fungsi
$f(n) = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$
dengan $n$ bilangan asli.
Rumus fungsi tersebut dapat dikembangkan dengan menerapkan Ekspansi Newton, yaitu
$$\begin{aligned} \displaystyle \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n & = C_0^n + C_1^n\left(\dfrac{1}{n}\right) + C_2^n\left(\dfrac{2}{n}\right)^2 + C_3^n\left(\dfrac{3}{n}\right)^3 + \cdots \\ & = 1 + n \left(\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{n(n-1)}{2! \cdot n^2} + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3! \cdot n^3} + \cdots \end{aligned}$$Untuk $n \to \infty$, ditulis
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \\ & = 1+1+\dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} + \cdots \\ & = 2+0,5+0,166\cdots + 0,041666\cdots + \cdots \\ & = 2,7172818\cdots \end{aligned}$$Bilangan irasional $2,7172818\cdots$ selanjutnya dikenal sebagai bilangan euler dan dinotasikan dengan huruf $e$. Bilangan ini merupakan konstanta penting dalam bidang kalkulus.
Kesimpulan:
$\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n = e}$

Modifikasi Limit Euler

$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\dfrac{1}{(-n)}\right)^{-n}\right]^{-1} = e^{-1} \\ & \lim_{n \to \infty} (1+n)^{\frac{1}{n}} = e \\ & \lim_{n \to \infty} (1-n)^{\frac{1}{n}} = e^{-1} \end{aligned}$$

Teorema berikut sangat membantu dalam menyelesaikan persoalan mengenai penentuan nilai limit euler.

Teorema 1: Limit Euler

Apabila $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = 0$ dan $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = \pm \infty$, maka 
$\displaystyle \lim_{x \to c} (1+f(x))^{g(x)} = e^{\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)g(x)}$

Untuk memantapkan pemahaman mengenai limit euler, berikut disediakan soal dan pembahasan mengenai materi tersebut. Semoga bermanfaat!

Today Quote

Today I will do what others won’t, so tomorrow I can do what others can’t.

Catatan:
Materi limit fungsi aljabar, limit fungsi trigonometri, dan limit tak hingga harus sudah dikuasai sebelumnya.

Baca : Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar

Baca : Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{2x}\right)^{5x}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{2x}\right)^{\Large{5x}} = \lim_{x \to \infty} \left(\left(1+\dfrac{1}{2x}\right)^{\Large{2x}}\right)^{\Large{\frac52}}$$Karena $x \to \infty$, maka $2x \to \infty$, sehingga dapat ditulis
$\left(\displaystyle \color{red}{\lim_{2x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{2x}\right)^{\Large{2x}}}\right)^{\Large{\frac52}} = e^{\Large{\frac52}}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{2x}\right)^{5x} = e^{\Large{\frac52}} = e^2\sqrt{e}}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x+5}{x+3}\right)^{x+6}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x+5}{x+3}\right)^{\Large{x+6}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x+3}{x+3} + \dfrac{2}{x+3}\right)^{\Large{x+6}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{x+3}{2}}\right)^{\Large{\frac{x+3}{2} \cdot \frac{x+6}{x+3} \cdot 2}} \end{aligned}$
Karena $x \to \infty$, maka $\dfrac{x+3}{2} \to \infty$, sehingga selanjutnya dapat ditulis
$\displaystyle \color{red}{\lim_{\Large{\frac{x+3}{2}} \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{x+3}{2}}\right)}^{\color{red}{\Large{\frac{x+3}{2}}} \Large{\cdot \frac{x+6}{x+3} \cdot 2}}$
Bagian yang ditandai warna merah di atas membentuk limit euler. Tinjau bahwa bentuk
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x+6}{x+3} \cdot 2\right) = 1 \times 2 = 2$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x+5}{x+3}\right)^{x+6} = e^2}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1-\dfrac{2}{x}\right)^x$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1-\dfrac{2}{x}\right)^x = \left(\lim_{x \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{\dfrac{x}{2}}\right)^{\Large{\frac{x}{2}}}\right)^2$
Karena $x \to \infty$, maka $\dfrac{x}{2} \to \infty$, sehingga diperoleh
$\left(\displaystyle \color{blue}{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(1-\dfrac{1}{\dfrac{x}{2}}\right)^{\Large{\frac{x}{2}}}}\right)^2 = e^2$
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^2}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\right)^{3x}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\right)^{3x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{\Large{\frac{3}{2}x}} && (\sqrt{a} = a^{\frac12}) \\ & = \left(\color{blue}{\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x}\right)^{\Large{\frac{3}{2}}} \\ & = e^{\frac32} = e\sqrt{e} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e\sqrt{e}}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(1-\dfrac{x}{3}\right)^{\Large{\frac{1}{4x}}}$

Penyelesaian

Karena $x \to 0$, maka $-\dfrac{1}{3}x \to 0$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(1-\dfrac{x}{3}\right)^{\Large{\frac{1}{4x}}} \\ & = \left[\lim_{-\frac{1}{3}x \to 0} \left(1 + \left(-\dfrac13x\right)\right)^{\Large{\frac{1}{\left(-\frac{1}{3}x\right)}}}\right]^{\Large{-\frac{1}{12}}}  \\ & = e^{\Large{-\frac{1}{12}}} = \dfrac{1}{\sqrt[12]{e}} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{\sqrt[12]{e}}}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1-\dfrac{2}{x}\right)^x$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1-\dfrac{2}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left(\left(1-\dfrac{1}{\dfrac{x}{2}}\right)^{\Large{\frac{x}{2}}}\right)^2$
Karena $x \to \infty$, maka $\dfrac{x}{2} \to \infty$, sehingga diperoleh
$\lim_{x \to \infty} \left(\color{blue}{\left(1-\dfrac{1}{\dfrac{x}{2}}\right)^{\Large{\frac{x}{2}}}}\right)^2 = e^2$
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^2}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (1+4x+4x^2)^{\Large{\frac{3}{x}}}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $1+4x+4x^2$ dapat difaktorkan menjadi $(1+2x)^2$, sehingga 
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} (1+4x+4x^2)^{\Large{\frac{3}{x}}} & = \lim_{x \to \infty} (1+2x)^{\Large{\frac{6}{x}}} \\ & = \left[\lim_{x \to \infty} (1+2x)^{\Large{\frac{1}{2x}}}\right]^{12} \\ & = \left[\color{blue}{\lim_{2x \to \infty} (1+2x)}^{\color{blue}{\Large{\frac{1}{2x}}}}\right]^{12} && (x \to \infty \implies 2x \to \infty) \\ & = e^{12} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^{12}}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{3x}\right)^{12x}$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{3x}\right)^{12x} \\ & = \left[\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{-3x}\right)^{-3x}\right]^{-4} \\ & = \left[\lim_{-3x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{-3x}\right)^{-3x}\right]^{-4} = e^{-4} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^{-4}}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{3x+5}{x^2+4}\right)^{2x}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{3x+5}{x^2+4}\right)^{\Large{2x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{x^2+4}{3x+5}}\right)^{\Large{\frac{x^2+4}{3x+5} \cdot \frac{3x+5}{x^2+4} \cdot 2x}} \end{aligned}$
Karena $x \to \infty$, maka $\dfrac{x^2+4}{3x+5} \to \infty$ (pangkat terbesar ada di pembilang, berarti nilai limitnya tak hingga), sehingga selanjutnya dapat ditulis
$\displaystyle \color{red}{\lim_{\Large{\frac{x^2+4}{3x+5}} \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{x^2+4}{3x+5}}\right)}^{\Large{\color{red}{\frac{x^2+4}{3x+5}} \cdot \frac{3x+5}{x^2+4} \cdot 2x}}$
Bagian yang ditandai warna merah di atas membentuk limit euler. Tinjau bahwa bentuk
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{3x+5}{x^2+4} \cdot 2x \right) & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{6x^2+10x}{x^2+4} \\ & = \lim_{x \to \infty} = \dfrac{6}{1} = 6 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{3x+5}{x^2+4}\right)^{2x}= e^6}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{3x+1}{3x+5}\right)^{\Large{x^2+3}}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{3x+1}{3x+5}\right)^{\Large{x^2+3}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{3x+5}{3x+5} + \dfrac{-4}{3x+5}\right)^{\Large{x^2+3}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{3x+5}{-4}}\right)^{\Large{\frac{3x+5}{-4} \cdot \frac{-4}{3x+5} \cdot (x^2+3)}} \end{aligned}$$Karena $x \to \infty$, maka $\dfrac{3x+5}{-4} \to \infty$ (pangkat terbesar ada di pembilang, berarti nilai limitnya tak hingga), sehingga selanjutnya dapat ditulis
$$\displaystyle \color{red}{\lim_{\Large{\frac{3x+5}{-4}} \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{3x+5}{-4}}\right)}^{\Large{\color{red}{\frac{3x+5}{-4}} \cdot \frac{-4}{3x+5} \cdot (x^2+3)}}$$Bagian yang ditandai warna merah di atas membentuk limit euler. Tinjau bahwa bentuk
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{-4}{3x+5} \cdot (x^2+3)\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-4x^2-12}{3x+5} = -\infty \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{3x+1}{3x+5}\right)^{x^2+3} = e^{-\infty} = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+3x)^{\Large{\frac{2}{x}}}$

Penyelesaian

Alternatif 1: Menggunakan $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n = e$
Misalkan $x = \dfrac{1}{y}$. Karena $x \to 0$, maka $y \to \infty$. Dengan demikian, dapat kita tulis
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} (1+3x)^{\Large{\frac{2}{x}}} \\ & = \lim_{y \to \infty} \left(1+\dfrac{3}{y}\right)^{\Large{2y}} \\ & = \left(\lim_{y \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{y}{3}}\right)^{\Large{\frac{y}{3}}}\right)^{6} && (2y = \dfrac{y}{3} \times 6) \end{aligned}$$Karena $y \to \infty$, maka $\dfrac{y}{3} \to \infty$, sehingga
$\left[\displaystyle \color{blue}{\lim_{\frac{y}{3} \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{y}{3}}\right)^{\Large{\frac{y}{3}}}}\right]^{6} = e^6$
Alternatif 2: Menggunakan $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (1+n)^{\Large{\frac{1}{n}}} = e$
Karena $x \to 0$, maka $3x \to 0$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} (1+3x)^{\Large{\frac{2}{x}}} \\ & = \left[\color{blue}{\lim_{3x \to 0} (1 + 3x)^{\Large{\frac{1}{3x}}}}\right]^6 = e^6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^6}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^{\Large{3x-2}} & = \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{(x+1)-2}{x+1}\right)^{\Large{3x-2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{-2}{x+1}\right)^{\Large{3x-2}} \end{aligned}$$Apabila berturut-turut dimisalkan $f(x) = \dfrac{-2}{x+1}$ dan $g(x) = 3x-2$, maka diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-2}{x+1} = 0$
dan
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} (3x-2) = \infty$
Berdasarkan Teorema 1 Limit Euler, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{-2}{x+1}\right)^{3x-2} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{-2}{x+1} \cdot (3x-2)} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{-6x+4}{x+1}} \\ & = e^{-6} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{e^{-6}}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} x^{\Large{\frac{x}{x^2-3x+2}}}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa 
$\displaystyle \lim_{x \to 1} x^{\Large{\frac{x}{x^2-3x+2}}} = \lim_{x \to 1} (1 + (x-1))^{\Large{\frac{x}{(x-1)(x-2)}}}$
Apabila berturut-turut dimisalkan $f(x) = x -1$ dan $g(x) = \dfrac{x}{(x-1)(x-2)}$, maka diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x-1)= 0$
dan
$\displaystyle \lim_{x \to 1} g(x) = \begin{cases} \displaystyle \lim_{x \to 1^+} \dfrac{x}{(x-1)(x-2)} = -\infty \\ \displaystyle \lim_{x \to 1^-} \dfrac{x}{(x-1)(x-2)} = \infty \end{cases}$
Berdasarkan Teorema 1 Limit Euler, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \left(1 + (x-1)\right)^{\Large{\frac{x}{(x-1)(x-2)}}} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to 1} \cancel{(x-1)} \cdot \frac{x}{\cancel{(x-1)}(x-2)}} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x}{x-2}} = e^{\Large{\frac{1}{1-2}}} \\ & = e^{-1} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{e^{-1}}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{8}{x}\right)^{\Large{\sqrt{x^6+2x^4} -\sqrt{x^6-2x^4}}}$

Penyelesaian

Misalkan $f(x) = \dfrac{8}{x}$ dan $g(x) = \sqrt{x^6+2x^4} -\sqrt{x^6-2x^4}$, sehingga
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{8}{x} = 0$
dan
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^6+2x^4} -\sqrt{x^6-2x^4}) \color{red}{\times \dfrac{\sqrt{x^6+2x^4} + \sqrt{x^6-2x^4}}{ \sqrt{x^6+2x^4} + \sqrt{x^6-2x^4}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^6 + 2x^4) -(x^6 -2x^4)}{ \sqrt{x^6+2x^4} + \sqrt{x^6-2x^4}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{4x^4}{\sqrt{x^6+2x^4} + \sqrt{x^6-2x^4}} = \infty \end{aligned}$$Catatan: Limit di atas bernilai $\infty$ karena bentuk terakhir menunjukkan bahwa pembilang memiliki derajat yang lebih besar dari penyebut.
Dengan menggunakan Teorema 1: Limit Euler, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{8}{x}\right)^{\Large{\sqrt{x^6+2x^4} -\sqrt{x^6-2x^4}}} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)g(x)} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{8}{x} \cdot (\sqrt{x^6+2x^4} -\sqrt{x^6-2x^4})} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{8(4x^4)}{x(\sqrt{x^6+2x^4} + \sqrt{x^6-2x^4})}} \\ & = e^{\displaystyle 32 \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3}{\sqrt{x^6+2x^4} + \sqrt{x^6-2x^4}}} \\ & = e^{32\left(\frac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}\right)} \\ & = e^{32} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^{32}}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{2x}\right)^{\Large{\frac{3x^2+6x-11}{2x+5}}}$

Penyelesaian

Misalkan $f(x) = -\dfrac{1}{2x}$ dan $g(x) = \dfrac{3x^2+6x-11}{2x+5}$, sehingga
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{1}{2x} = 0$
dan
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2+6x-11}{2x+5}= \infty$
Dengan menggunakan Teorema 1: Limit Euler, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{2x}\right)^{\Large{\frac{3x^2+6x-11}{2x+5}}} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)g(x)} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} -\dfrac{1}{2x} \cdot \frac{3x^2+6x-11}{2x+5}} \\ & = e^{- \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+6x-11}{4x^2+10x}} \\ & = e^{\Large{-\frac34}} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^{\Large{-\frac34}}}$

[collapse]

Soal Nomor 16
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)^{\Large{\frac{(5x-1)^2}{2x+5}}}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)^{\Large{\frac{(5x-1)^2}{2x+5}}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 -\dfrac{3}{x+2}\right)^{\Large{\frac{(5x-1)^2}{2x+5}}}$$Misalkan $f(x) = -\dfrac{3}{x+2}$ dan $g(x) = \dfrac{(5x-1)^2}{2x+5}$, sehingga
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{3}{x+2} = 0$
dan
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(5x-1)^2}{2x+5}= \infty$
Dengan menggunakan Teorema 1: Limit Euler, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1-\dfrac{3}{x+2}\right)^{\Large{\frac{(5x-1)^2}{2x+5}}} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)g(x)} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} -\dfrac{3}{x+2} \cdot \frac{(5x-1)^2}{2x+5}} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{-75x^2+30x-3}{2x^2+9x+10}} \\ & = e^{\Large{-\frac{75}{2}}} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^{\Large{-\frac{75}{2}}}}$

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{3x+1}{3x-5}\right)^{\Large{\frac{2x^5+4x+3}{(2x-1)^2(x-2)^2}}}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{3x+1}{3x-5}\right)^{\Large{\frac{2x^5+4x+3}{(2x-1)^2(x-2)^2}}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{6}{3x-5}\right)^{\Large{\frac{2x^5+4x+3}{(2x-1)^2(x-2)^2}}}$$Misalkan $f(x) = \dfrac{6}{3x-5}$ dan $$g(x) = \dfrac{2x^5+4x+3}{(2x-1)^2(x-2)^2} = \dfrac{2x^5 + 4x +3}{4x^4 + \cdots + \cdots}$$, sehingga
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{6}{3x-5} = 0$
dan
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^5 + 4x +3}{4x^4 + \cdots + \cdots} = \infty$
Dengan menggunakan Teorema 1: Limit Euler, diperoleh
$\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{6}{3x-5}\right)^{\Large{\frac{2x^5+4x+3}{(2x-1)^2(x-2)^2}}} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)g(x)} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{6}{3x-5} \cdot \frac{2x^5 + 4x +3}{4x^4 + \cdots + \cdots}} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{12x^6+24x+18}{6x^6 + \cdots + \cdots}} \\ & = e^{\Large{\frac{12}{6}}} = e^2 \end{aligned}$
Catatan: Karena nilai limit tak hingga pada fungsi rasional polinomial dapat serta merta ditentukan dengan hanya memperhatikan koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, maka variabel berderajat lebih rendah dapat diabaikan.
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^{2}}$

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Trigonometri

Soal Nomor 18
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{\Large{\frac{x}{\sin^2 3x}}}$

Penyelesaian

Misalkan $f(x) = \dfrac{x}{2}$ dan $g(x) = \dfrac{x}{\sin^2 3x}$, sehingga
$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2} = 0$
dan
$\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin^2 3x}= \pm \infty$
Dengan menggunakan Teorema 1: Limit Euler, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{\Large{\frac{x}{\sin^2 3x}}} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)g(x)} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2} \cdot \frac{x}{\sin^2 3x}} \\ & = e^{\frac12 \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 3x} \cdot \frac{x}{\sin 3x}} \\ & = e^{\Large{\frac12} \cdot \frac13 \cdot \frac13} = e^{\Large{\frac{1}{18}}} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^{\Large{\frac{1}{18}}}}$

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0}(1-2x)^{\Large{\frac{1}{\sin 3x}}}$

Penyelesaian

Misalkan $f(x) = -2x$ dan $g(x) = \dfrac{1}{\sin 3x}$, sehingga
$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} -2x = 0$
dan
$\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sin 3x}= \pm \infty$
Dengan menggunakan Teorema 1: Limit Euler, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0}(1-2x)^{\Large{\frac{1}{\sin 3x}}} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)g(x)} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to 0} (-2x) \cdot \frac{1}{\sin 3x}} \\ & = e^{-2 \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 3x}} \\ & = e^{\Large{-2 \cdot \frac13}}  = e^{\Large{-\frac23}} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^{\Large{-\frac23}}}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0}(\sqrt{1+3x})^{\Large{\frac{\sin 6x}{1-\cos 4x}}}$

Penyelesaian

Karena $\sqrt{a} = a^{\frac12}$, bentuk limit di atas dapat ditulis sebagai
$\displaystyle \lim_{x \to 0}(1+3x)^{\Large{\frac12 \cdot \frac{\sin 6x}{1-\cos 4x}}}$
Misalkan $f(x) = 3x$ dan $g(x) = \frac12 \cdot \dfrac{\sin 6x}{1-\cos 4x}$, sehingga
$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} 3x = 0$
dan
$\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac12 \cdot \dfrac{\sin 6x}{1-\cos 4x} = \pm \infty$
Dengan menggunakan Teorema 1: Limit Euler, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0}(1+3x)^{\Large{\frac12 \cdot \frac{\sin 6x}{1-\cos 4x}}} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)g(x)} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to 0} (3x) \cdot \frac12 \cdot \frac{\sin 6x}{1-\cos 4x}} \\ & = e^{\frac12 \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{3x \sin 6x}{1-(1-2 \sin^2 2x)}} \\ & = e^{\frac12 \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{3x \sin 6x}{2 \sin^2 2x}} \\ & = e^{\frac34 \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 2x} \cdot \frac{\sin 6x}{\sin 2x}} \\ & = e^{\Large{\frac34 \cdot \frac12 \cdot \frac62}} = e^{\Large{\frac98}} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^{\Large{\frac98}}}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0}(1-10x+25x^2)^{\Large{\frac{\cos 3x}{\sin 6x}}}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bentuk $(1-10x+25x^2)$ dapat difaktorkan menjadi $(1-5x)^2$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{x \to 0}(1-5x)^{2 \cdot \Large{\frac{\cos 3x}{\sin 6x}}}$
Misalkan $f(x) = -5x$ dan $g(x) = 2 \cdot \dfrac{\cos 3x}{\sin 6x}$, sehingga
$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (-5x) = 0$
dan
$\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \dfrac{\cos 3x}{\sin 6x} = \pm \infty$
Dengan menggunakan Teorema 1: Limit Euler, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0}(1-5x)^{2 \cdot \Large{\frac{\cos 3x}{\sin 6x}}} & = e^{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)g(x)} \\ & = e^{\displaystyle \lim_{x \to 0} (-5x)\left(2 \cdot \dfrac{\cos 3x}{\sin 6x}\right)} \\ & = e^{-10 \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin 6x} \cdot \cos 3x} \\ & = e^{\Large{-10 \cdot \frac16 \cdot 1}} \\ & = e^{\Large{-\frac53}} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit di atas adalah $\boxed{e^{\Large{-\frac53}}}$

[collapse]