Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Penerapan Identitas Trigonometri

       Identitas trigonometri dapat diartikan sebagai persamaan yang menghubungkan perbandingan trigonometri tertentu. Identitas trigonometri umumnya digunakan untuk mengubah ekspresi yang memuat perbandingan trigonometri menjadi bentuk lain yang lebih sederhana. Kesulitan memilih identitas merupakan masalah yang lazim ditemukan dalam pembelajaran karena kita dituntut untuk berpikir kritis dan kreatif dalam melakukan manipulasi bentuk. Di sekolah, submateri ini dipelajari saat kelas XI.

Quote by John von Neumann

Jika orang tidak percaya betapa sederhananya matematika, itu karena mereka tidak menyadari betapa rumitnya hidup.

Adapun identitas trigonometri yang dimaksud antara lain sebagai berikut.

Identitas Pythagoras

$\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 \\ 1 + \tan^2 x & = \sec^2 x \\ 1+\cot^2 x & = \csc^2 x \end{aligned}$

Identitas Jumlah & Selisih Sudut

$\begin{aligned} \sin (A \pm B) & = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \\ \cos (A \pm B) & = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \\ \tan (A \pm B) & = \dfrac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \end{aligned}$

Identitas Jumlah & Selisih Fungsi

$$\begin{aligned} \sin A + \sin B & = 2 \sin \dfrac12(A+B) \cos \dfrac12(A-B) \\ \sin A- \sin B & = 2 \cos \dfrac12(A+B) \sin \dfrac12(A-B) \\ \cos A + \cos B & = 2 \cos \dfrac12(A+B) \cos \dfrac12(A-B) \\ \cos A-\cos B & = -2 \sin \dfrac12(A+B) \sin \dfrac12(A-B) \end{aligned}$$Untuk mengingat identitas ini, coba hafalkan mnemonik berikut.
$\begin{aligned} \text{sayang} + \text{sayang} & = \text{semakin cinta} \\ \text{sayang}-\text{sayang} & = \text{cinta sirna} \\ \text{cinta} + \text{cinta} & = \text{cenat cenut} \\ \text{cinta}-\text{cinta} & = \text{aduh sayang sekali} \end{aligned}$
Sebagai informasi, mnemonik adalah ungkapan yang dipakai untuk mempermudah mengingat suatu hal.

Identitas Sudut Ganda/Rangkap

$\begin{aligned} \sin 2x & = 2 \sin x \cos x \\ \cos 2x & = \cos^2 x-\sin^2 x \\ & = 1-2 \sin^2 x \\ & = 2 \cos^2 x-1 \\ \tan 2x & = \dfrac{2 \tan x}{1- \tan^2 x} \end{aligned}$

Identitas Setengah Sudut

$\begin{aligned} \sin \dfrac{x}{2} & = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos x}{2}} \\ \cos \dfrac{x}{2} & = \pm \sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}} \\ \tan \dfrac{x}{2} & = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}} \\ & = \dfrac{1-\cos x}{\sin x} \\ & = \dfrac{\sin x}{1+\cos x} \end{aligned}$

Identitas Perkalian 

$$\begin{aligned} 2 \sin A \cos B & = \sin (A+B) + \sin (A-B) \\ 2 \cos A \cos B & = \cos (A+B) + \cos (A-B) \\ -2 \sin A \sin B & = \cos (A+B)- \cos (A-B) \end{aligned}$$

Sebagai bentuk latihan, berikut disajikan sejumlah soal beserta pembahasannya yang super lengkap mengenai penerapan (penggunaan) identitas trigonometri.

Baca: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri (Dasar)

Baca: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Jika $\cos 2A = -\dfrac{7}{25}$ untuk $180^{\circ} \leq 2A \leq 270^{\circ}$, maka $\cdots \cdot$
A. $\sin A = \pm \dfrac45$
B. $\cos A = \dfrac35$
C. $\tan A = \dfrac43$
D. $\sin A = -\dfrac45$
E. $\csc A = \dfrac54$

Pembahasan

Diketahui $\cos 2A = -\dfrac{7}{25}$.
Karena $180^{\circ} \leq 2A \leq 270^{\circ}$, maka dengan membagi $2$ pada ketiga ruasnya, diperoleh
$90^{\circ} \leq A \leq 135^{\circ}$.
Jadi, $A$ berada di kuadran II.
Perhatikan bahwa $\cos 2A = 2 \cos^2 A-1$.
$\begin{aligned} \cos 2A & = -\dfrac{7}{25} \\ 2 \cos^2 A-1 & = -\dfrac{7}{25} \\ \cos^2 A & = \dfrac{9}{25} \\ \cos A & =- \dfrac35 \end{aligned}$
$\cos A$ bernilai negatif karena $A$ berada di kuadran II (ingat: SEMUA SINdikat TANgannya KOSong).
Diketahui: $\text{sa} = 3$ dan $\text{mi} = 5$. Dengan pendekatan segitiga siku-siku dan rumus Pythagoras, diperoleh
$\text{de} = \sqrt{5^2-3^2} = 4$
Dari sini, diperoleh
$\begin{aligned} \sin A & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac45 \\ \tan A & = -\dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = -\dfrac43 \\ \csc A & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac54 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa hanya $\sin$ dan kebalikannya, $\csc$, yang bernilai positif di kuadran II.
Berdasarkan uraian di atas, opsi jawaban yang tepat adalah E.

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika diketahui $\sin A = \dfrac35$ dan $\cos B = -\dfrac35$ untuk $A$ dan $B$ terletak pada kuadran yang sama, maka nilai dari $\sin (2A+B) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{7}{12}$        B. $\dfrac45$         C. $\dfrac{5}{12}$       D. $\dfrac37$        E. $\dfrac57$

Pembahasan

Diketahui
$\sin A = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac35$
dan
$\cos B = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = – \dfrac35$
Kuadran di mana sinus bernilai positif dan cosinus bernilai negatif adalah kuadran II. Jadi, $A$ dan $B$ terletak di kuadran II.
Dengan menggunakan pendekatan segitiga siku-siku dan Teorema Pythagoras (Tripel Pythagoras: $3, 4, 5$), kita peroleh
$\cos A = -\dfrac45$
$\sin B = \dfrac45$
Selanjutnya, dengan menggunakan identitas jumlah sudut:
$\boxed{\begin{aligned} \sin (x + y) & = \sin x \cos y + \cos x \sin y \\ \sin 2x & = 2 \sin x \cos x \\ \cos 2x & = \cos^2 x-\sin^2 x \end{aligned}}$
diperoleh
$$\begin{aligned} \sin (2A+B) & = \sin 2A \cos B + \cos 2A \sin B \\ & = (2 \sin A \cos A) \cos B + (\cos^2 A-\sin^2 A) \sin B \\ & = 2 \cdot \dfrac35 \cdot \left(-\dfrac45\right) \cdot \left(-\dfrac35\right) + \left(\left(-\dfrac45\right)^2-\left(\dfrac35\right)\right)^2 \cdot \dfrac45 \\ & = \dfrac{72}{125} + \left(\dfrac{16}{25}-\dfrac{9}{25}\right) \cdot \dfrac45 \\ & = \dfrac{72}{125} + \dfrac{28}{125} \\ & = \dfrac{100}{125} = \dfrac45 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\sin (2A+B) = \dfrac45}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3 (UN 2014)
Nilai dari $\cos 265^{\circ}-\cos 95^{\circ} = \cdots \cdot$
A. $-2$                         C. $0$                       E. $2$
B. $-1$                         D. $1$

Pembahasan

Gunakan identitas jumlah & selisih sudut.
$$\boxed{\cos A-\cos B = -2 \sin \dfrac12(A+B) \sin \dfrac12(A-B)}$$Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} \cos 265^{\circ}-\cos 95^{\circ} & = -2 \sin \dfrac12(265^{\circ}+95^{\circ}) \sin \dfrac12(265^{\circ}-95^{\circ}) \\ & = -2 \sin \dfrac12(360^{\circ}) \sin \dfrac12(170^{\circ}) \\ & = -2 \sin 180^{\circ} \sin 85^{\circ} \\ & = -2 \cdot 0 \cdot \sin 85^{\circ} \\ & = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\cos 265^{\circ}-\cos 95^{\circ} = 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4 (UN 2012)
Nilai dari $\sin 75^{\circ}-\sin 165^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac14\sqrt2$                         D. $\dfrac12\sqrt2$
B. $\dfrac14\sqrt3$                         E. $-\dfrac12\sqrt2$
C. $\dfrac14\sqrt6$

Pembahasan

Gunakan identitas jumlah & selisih sudut.
$$\boxed{\sin A-\sin B = 2 \cos \dfrac12(A+B) \sin \dfrac12(A-B)}$$Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} \sin 75^{\circ}-\sin 165^{\circ} & = 2 \cos \dfrac12(75^{\circ}+165^{\circ}) \sin \dfrac12(75^{\circ}-165^{\circ}) \\ & = 2 \cos \dfrac12(240^{\circ}) \sin \dfrac12(-90^{\circ}) \\ & = 2 \cos 120^{\circ} (-\sin 45^{\circ}) \\ & = 2 \cdot \left(-\dfrac12\right) \cdot \left(-\dfrac12\sqrt2\right) \\ & = \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\sin 75^{\circ}-\sin 165^{\circ} = \dfrac12\sqrt2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri

Soal Nomor 5 (UN 2013)
Diketahui $\cos x = \dfrac35$ untuk $0^{\circ} < x < 90^{\circ}$. Nilai dari $\sin 3x + \sin x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{75}{125}$                         D. $\dfrac{124}{125}$
B. $\dfrac{96}{125}$                         E. $\dfrac{144}{125}$
C. $\dfrac{108}{125}$

Pembahasan

Diketahui $\cos x = \dfrac35$ dengan $x$ berada di kuadran pertama.
Diketahui: $\text{sa} = 3$ dan $\text{mi} = 5$.
Dengan pendekatan segitiga siku-siku dan rumus Pythagoras, diperoleh
$\text{de} = \sqrt{5^2-3^2} = 4$
Dari sini, diperoleh
$\sin x = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac45$
Selanjutnya, gunakan identitas trigonometri berikut
$$\boxed{\begin{aligned} \sin A + \sin B & = 2 \sin \dfrac12(A+B) \cos \dfrac12(A-B) \\ \sin 2x & = 2 \sin x \cos x \end{aligned}}$$Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} \sin 3x + \sin x & = 2 \sin \dfrac12(3x+x) \cos \dfrac12(3x-x) \\ & = 2 \sin 2x \cos x \\ & = 2(2 \sin x \cos x) \cos x \\ & = 4 \sin x \cos^2 x \\ & = 4 \cdot \dfrac45 \cdot \left(\dfrac35\right)^2 \\ & = \dfrac{144}{125} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\sin 3x + \sin x = \dfrac{144}{125}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui $\sin A + \sin B = 1$ dan $\cos A + \cos B = \dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}$. Nilai $\cos (A-B)=\cdots \cdot$
A. $1$                            C. $\dfrac12\sqrt2$                   E. $\dfrac13$
B. $\dfrac12\sqrt3$                    D. $\dfrac12$

Pembahasan

Gunakan identitas trigonometri berikut.
$\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 \\ \cos (A-B) &= \cos A \cos B + \sin A \sin B \end{aligned}$
Diketahui $\sin A + \sin B = 1$.
Kuadratkan kedua ruas,
$\begin{aligned} (\sin A + \sin B)^2 & = 1^2 \\ \color{blue}{\sin^2 A + 2 \sin A \sin B + \sin^2 B} & \color{blue}{= 1} \end{aligned}$
Diketahui $\cos A+ \cos B = \dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}$.
Kuadratkan kedua ruas,
$\begin{aligned} (\cos A + \cos B)^2 & = \left(\dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}\right)^2 \\ \color{red}{\cos^2 A + 2 \cos A \cos B + \cos^2 B} & \color{red}{= \dfrac53}\end{aligned}$
Jumlahkan kedua persamaan yang diberi warna biru dan merah di atas.
$$\begin{aligned} (\sin^2 A + \cos^2 A) + 2 \sin A \sin B + 2 \cos A \cos B) + (\sin^2 B + \cos^2 B) & = 1+\dfrac53 \\ \cancel{1} + 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) + 1 & = \cancel{1}+\dfrac53 \\ 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) & = \dfrac23 \\ \cos A \cos B + \sin A \sin B & = \dfrac13 \\ \cos (A-B) & = \dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\cos(A-B)=\dfrac13}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pembuktian Identitas Trigonometri

Soal Nomor 7
Diketahui $x$ dan $y$ sudut lancip dengan $x-y=\dfrac{\pi}{6}$. Jika $\tan x = 3 \tan y$, maka $x+y=\cdots \cdot$
A. $\dfrac{\pi}{2}$                            D. $\dfrac{2\pi}{3}$
B. $\dfrac{\pi}{3}$                            E. $\pi$
C. $\dfrac{\pi}{6}$

Pembahasan

Diketahui bahwa $x-y = \dfrac{\pi}{6}$ dan $\color{red}{\tan x = 3 \tan y}$ dengan $x, y$ lancip.
Dengan menggunakan identitas selisih sudut pada tangen, kita peroleh
$\begin{aligned} \tan (x-y) & = \dfrac{\color{red}{\tan x}-\tan y}{1+\color{red}{\tan x} \tan y} \\ \tan \dfrac{\pi}{6} &= \dfrac{\color{red}{3 \tan y}-\tan y}{1+\color{red}{3 \tan y} \tan y} \\ \dfrac{1}{\sqrt3} & = \dfrac{2 \tan y}{1 + 3 \tan^2 y} \\ 1+3 \tan^2 y & = 2\sqrt3 \tan y \\ (\sqrt3 \tan y-1)^2 & = 0 \\ \sqrt3 \tan y-1 & = 0 \\ \tan y & = \dfrac{1}{\sqrt3} \\ \Rightarrow y & = \dfrac{\pi}{6} \end{aligned}$
Karena $x-y=\dfrac{\pi}{6}$ dan $y=\dfrac{\pi}{6}$, berarti $x=\dfrac{\pi}{3}$.
Jadi, nilai $\boxed{x+y=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui $\sin \alpha = \dfrac35$ dan $\cos \beta = \dfrac{12}{13}$ ($\alpha$ dan $\beta$ sudut lancip). Nilai $\sin (\alpha + \beta) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{56}{65}$                           D. $\dfrac{20}{65}$
B. $\dfrac{48}{65}$                           E. $\dfrac{16}{65}$
C. $\dfrac{36}{65}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac35 \\ \cos \beta & = \dfrac{12}{13} \\ \alpha, \beta~&\text{lancip} \end{aligned}$
Nilai sinus untuk sudut $\beta$ dan cosinus untuk sudut $\alpha$ akan bernilai positif karena $\alpha, \beta$ keduanya di kuadran pertama.
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \cos \alpha & = + \sqrt{1-\sin^2 \alpha} \\ & = \sqrt{1-\left(\dfrac35\right)^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{9}{25}} \\ & = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac45 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \sin \beta & = + \sqrt{1-\cos^2 \beta} \\ & = \sqrt{1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{144}{169}} \\ & = \sqrt{\dfrac{25}{169}} = \dfrac{5}{13} \end{aligned}$
Dengan menggunakan identitas jumlah sudut sinus, kita peroleh
$\begin{aligned} \sin (\alpha + \beta) & = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ & = \dfrac35 \cdot \dfrac{12}{13} + \dfrac45 \cdot \dfrac{5}{13} \\ & = \dfrac{36}{65}+\dfrac{20}{65} = \dfrac{56}{65} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\sin (\alpha + \beta) = \dfrac{56}{65}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui $\cos x = \dfrac{12}{13}$. Nilai $\tan \dfrac12x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{26}$                        D. $\dfrac{5}{\sqrt{26}}$
B. $\dfrac{1}{5}$                          E. $\dfrac{5}{13}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt{26}}$

Pembahasan

Diketahui $\cos x = \dfrac{12}{13}$.
Dengan menggunakan identitas Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} \sin x & = \sqrt{1-\cos^2 x} \\ & = \sqrt{1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{25}{169}} = \dfrac{5}{13} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $\tan \dfrac12x$ dapat ditentukan dengan menggunakan identitas setengah sudut.
$\begin{aligned} \tan \dfrac12x & = \dfrac{1-\cos x}{\sin x} \\ & = \dfrac{1-\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{\cancel{13}}}{\dfrac{5}{\cancel{13}}} = \dfrac15 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\tan \dfrac12x = \dfrac15}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Bentuk lain dari $\dfrac{1+\cos 2A}{\sin 2A}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sin A$                         D. $\tan A$
B. $\cos A$                         E. $1+\sin A$
C. $\cot A$

Pembahasan

Gunakan identitas sudut ganda berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \cos 2A & = 2 \sin^2 A-1 \\ \sin 2A & = 2 \sin A \cos A \end{aligned}}$
Kita akan memperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1+\cos 2A}{\sin 2A} & = \dfrac{1 + (2 \sin^2 A-1)}{2 \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{\cancel{2 \sin A} \sin A}{\cancel{2 \sin A} \cos A} \\ & = \dfrac{\sin A}{\cos A} = \tan A \end{aligned}$
Jadi, bentuk lain dari $\dfrac{1+\cos 2A}{\sin 2A}$ adalah $\boxed{\tan A}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika $\tan \alpha = 1$ dan $\tan \beta = \dfrac13$ dengan $\alpha, \beta$ sudut lancip, maka $\sin (\alpha-\beta) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac23\sqrt5$                            D. $\dfrac25$
B. $\dfrac15\sqrt5$                            E. $\dfrac15$
C. $\dfrac12$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} \tan \alpha & = 1 \\ \tan \beta & = \dfrac{1}{3} \\ \alpha, \beta~&\text{lancip} \end{aligned}$
Nilai sinus dan cosinus untuk sudut $\beta$ dan sudut $\alpha$ akan bernilai positif karena $\alpha, \beta$ keduanya di kuadran pertama.
Karena $\tan \alpha = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{1}{1}$, maka
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{ \text{de}}{\text{mi}} = + \dfrac{1}{\sqrt{1+1}} = \dfrac{1}{\sqrt2} \\ \cos \alpha & = \dfrac{ \text{sa}}{\text{mi}} = + \dfrac{1}{\sqrt{1+1}} = \dfrac{1}{\sqrt2} \end{aligned}$
Karena $\tan \beta = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{1}{3}$, maka
$\begin{aligned} \sin \beta & = \dfrac{ \text{de}}{\text{mi}} = + \dfrac{1}{\sqrt{1+3^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \\ \cos \beta & = \dfrac{ \text{sa}}{\text{mi}} = +\dfrac{3}{\sqrt{1+3^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}} \end{aligned}$
Dengan menggunakan identitas selisih sudut sinus, kita peroleh
$$\begin{aligned} \sin (\alpha- \beta) & = \sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{10}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{10}} \\ & = \dfrac{3}{\sqrt{20}}-\dfrac{1}{\sqrt{20}} = \dfrac{2}{\sqrt{20}} = \dfrac15\sqrt5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\sin (\alpha-\beta) = \dfrac15\sqrt5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui $\tan \alpha-\tan \beta = \dfrac15$ dan $\sin (\alpha-\beta) = \dfrac16$ dengan $\alpha$ dan $\beta$ sudut lancip. Nilai dari $\cos \alpha \cos \beta = \cdots \cdot$
A. $\dfrac16$                       C. $\dfrac12$                    E. $\dfrac65$
B. $\dfrac15$                       D. $\dfrac56$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\sin (\alpha-\beta) = \dfrac16$ dapat ditulis kembali dalam bentuk lain menggunakan identitas selisih sudut sinus, yakni
$\color{red}{\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta = \dfrac16}$
Dari persamaan $\tan \alpha-\tan \beta = \dfrac15$, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-\dfrac{\sin \beta}{\cos \beta} & = \dfrac15 \\ \dfrac{\color{red}{\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta}}{\cos \alpha \cos \beta} & = \dfrac15 \\ \dfrac{\color{red}{\frac16}}{\cos \alpha \cos \beta} & = \dfrac15 \\ \cos \alpha \cos \beta & = \dfrac56 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos \alpha \cos \beta=\dfrac56}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13 (SNMPTN 2011)
Jika $\sin x + \cos x = -\dfrac15$ dan $\dfrac{3\pi}{4} \leq x < \pi$, maka nilai $\sin 2x = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac{24}{25}$                      D. $\dfrac{8}{25}$
B. $-\dfrac{7}{25}$                     E. $\dfrac{24}{25}$
C. $\dfrac{7}{25}$

Pembahasan

Diketahui $\sin x + \cos x = -\dfrac15$.
Kuadratkan kedua ruas untuk mendapatkan
$\begin{aligned} (\sin x + \cos x)^2 & = \left(-\dfrac15\right)^2 \\ \color{red}{\sin^2 x} + \color{blue}{2 \sin x \cos x} + \color{red}{\cos^2 x} & = \dfrac{1}{25} \\ 1 + \sin 2x & = \dfrac{1}{25} \\ \sin 2x & = \dfrac{1}{25}-1 \\ &= -\dfrac{24}{25} \end{aligned}$
Catatan:
$\boxed{\begin{aligned} \color{red}{\sin^2 x + \cos^2 x} & = \color{red}{1} \\ \color{blue}{2 \sin x \cos x} & = \color{blue}{\sin 2x} \end{aligned}}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin 2x = -\dfrac{24}{25}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika $\sin \theta + \cos \theta = \dfrac12$, maka nilai dari $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \cdots \cdot$
A. $\dfrac12$                              D. $\dfrac58$
B. $\dfrac34$                              E. $\dfrac{11}{16}$
C. $\dfrac{9}{16}$

Pembahasan

Dari persamaan
$\color{blue}{\sin \theta + \cos \theta = \dfrac12}$,
kuadratkan kedua ruasnya untuk mendapatkan
$\begin{aligned} (\sin \theta + \cos \theta)^2 & = (\dfrac12)^2 \\ \color{red}{\sin^2 \theta} + 2 \sin \theta \cos \theta + \color{red}{\cos^2 \theta} & = \dfrac14 \\ \color{red}{1} + 2 \sin \theta \cos \theta & = \dfrac14 \\ 2 \sin \theta \cos \theta & = -\dfrac34 \\ \sin \theta \cos \theta & = -\dfrac38 \end{aligned}$
Gunakan rumus pemfaktoran:
$a^3+b^3 = (a+b)^3-3ab(a+b)$
Untuk $a = \sin \theta$ dan $b = \cos \theta$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \sin^3 \theta + \cos^3 \theta & = (\color{blue}{\sin \theta + \cos \theta})^3-3 \sin \theta \cos \theta(\color{blue}{\sin \theta + \cos \theta}) \\ & = \left(\dfrac12\right)^3-3\left(-\dfrac38\right)\left(\dfrac12\right) \\ & = \dfrac18 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{11}{16} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \dfrac{11}{16}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri

Soal Nomor 15
Jika $\begin{pmatrix} \tan x & 1 \\ 1 & \tan x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos^2 x \\ \sin x \cos x \end{pmatrix} = \dfrac12\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dengan $0 \leq x \leq \pi$ dan $b=2a$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $60^{\circ}$                    C. $30^{\circ}$                  E. $15^{\circ}$
B. $45^{\circ}$                    D. $20^{\circ}$

Pembahasan

Ubah terlebih dahulu persamaan matriks di atas dalam bentuk persamaan aljabar biasa dengan melakukan perkalian matriks.
Kita akan memperoleh dua persamaan, yaitu
$$\begin{cases} \tan x \cos^2 x + \sin x \cos x & = \dfrac{a}{2} && (\cdots 1) \\ \cos^2 x + \tan x \sin x \cos x & = \dfrac{b}{2} && (\cdots 2) \end{cases}$$Tinjau persamaan $(2)$.
Karena $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ (identitas perbandingan) dan $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ (Identitas Pythagoras), maka kita peroleh
$\begin{aligned} (1-\sin^2 x)+\dfrac{\sin x}{\cancel{\cos x}} \cdot \sin x \cdot \cancel{\cos x} & = \dfrac{b}{2} \\ 1-\sin^2 x + \sin^2 x & = \dfrac{b}{2} \\ 1 & = \dfrac{b}{2} \\ b & = 2 \end{aligned}$
Karena diketahui bahwa $b=2a$ dan kita dapatkan $b=2$, maka $a=1$.
Substitusi $a=1$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} \tan x \cos^2 x + \sin x \cos x & = \dfrac12 \\ \dfrac{\sin x}{\cancel{\cos x}} \cdot \cancelto{\cos x}{\cos^2 x} + \sin x \cos x & = \dfrac12 \\ \sin x \cos x + \sin x \cos x & = \dfrac12 \\ \color{red}{2 \sin x \cos x} & = \dfrac12 \\ \color{red}{\sin 2x} & = \dfrac12 \end{aligned}$
Diketahui $0 \leq x \leq \pi$.
Sinus bernilai $\dfrac12$ ketika sudutnya $30^{\circ}$ atau $150^{\circ}$. Untuk itu, kita tuliskan
$\sin 2x = \sin 30^{\circ}$
yang berarti $x = 15^{\circ}$ dan
$\sin 2x = \sin 150^{\circ}$
yang berarti $x = 75^{\circ}$.
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi berdasarkan pilihan jawaban yang tersedia adalah $\boxed{15^{\circ}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika sudut lancip $\alpha$ memenuhi $\sin \alpha = \dfrac13\sqrt3$, maka $\tan \left(\dfrac12 \pi-\alpha\right)+3 \cos \alpha = \cdots \cdot$
A. $3\sqrt2-\sqrt3$                        D. $\sqrt6-\sqrt2$
B. $3\sqrt2+\sqrt3$                         E. $\sqrt3+\sqrt2$
C. $\sqrt6+\sqrt2$

Pembahasan

Diketahui $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}}$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita peroleh
$\text{sa} = \sqrt{(3)^2-(\sqrt3)^2} = \sqrt6$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{\sqrt6}{3} \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{\sqrt6}{\sqrt3} = \sqrt2 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $\tan \left(\dfrac12 \pi-\alpha\right) = \cot \alpha$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \tan \left(\dfrac12 \pi-\alpha\right)+3 \cos \alpha & = \cot \alpha + 3 \cos \alpha \\ & = \sqrt2 + \cancel{3} \cdot \dfrac{\sqrt6}{\cancel{3}} \\ & = \sqrt6 + \sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\tan \left(\dfrac12 \pi-\alpha\right)+3 \cos \alpha = \sqrt6 + \sqrt2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Bentuk lain dari $2 \cos \left(\dfrac14 \pi + x\right) \sin \left(\dfrac14 \pi + x\right) = \cdots \cdot$
A. $1-\sin 2x$                     D. $1+\cos 2x$
B. $1-\cos 2x$                     E. $\cos 2x$
C. $1+\sin 2x$

Pembahasan

Dengan menggunakan identitas sudut ganda:
$\boxed{\sin 2A = 2 \sin A \cos A}$
diperoleh bahwa
$\begin{aligned} & 2 \cos \left(\dfrac14 \pi + x\right) \sin \left(\dfrac14 \pi + x\right) \\ & = \sin 2\left(\dfrac14 \pi + x\right) \\ & = \sin \left(\dfrac12 \pi + 2x\right) \\ & = \cos 2x \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{2 \cos \left(\dfrac14 \pi + x\right) \sin \left(\dfrac14 \pi + x\right) = \cos 2x}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 18
Nilai dari $\sin 160^{\circ} + \sin 140^{\circ}-\cos 10^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                       C. $0$                   E. $-2$
B. $1$                       D. $-1$          

Pembahasan

Gunakan identitas jumlah fungsi sinus:
$\boxed{\sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A+B}{2}}$
Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} & \color{red}{\sin 160^{\circ} + \sin 140^{\circ}}-\cos 10^{\circ} \\ & = 2 \sin \dfrac{160^{\circ}+140^{\circ}}{2} \cos \dfrac{160^{\circ}-140^{\circ}}{2}-\cos 10^{\circ} \\ & = 2 \sin 150^{\circ} \cos 10^{\circ}-\cos 10^{\circ} \\ & = 2 \cdot \dfrac12 \cdot \cos 10^{\circ}-\cos 10^{\circ} = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\sin 160^{\circ} + \sin 140^{\circ}-\cos 10^{\circ} = 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Nilai dari $\cos^2 30^{\circ} + \cos^2 40^{\circ}+\cos^2 50^{\circ} +\cos^2 60^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$            B. $\dfrac32$           C. $1$            D. $\dfrac12$          E. $0$

Pembahasan

Gunakan identitas Pythagoras dan identitas relasi sudut di kuadran pertama berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \cos^2 x & = 1-\sin^2 x \\ \sin x & = \cos (90^{\circ}-x) \end{aligned}}$
Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} & \cos^2 30^{\circ} + \cos^2 40^{\circ}+\cos^2 50^{\circ} +\cos^2 60^{\circ} \\ & = (1-\cancel{\sin^2 30^{\circ}}) + (1-\bcancel{\sin^2 40^{\circ}}) + \bcancel{\sin^2 40^{\circ}} + \cancel{\sin^2 30^{\circ}} \\ & = 1+1=2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\cos^2 30^{\circ} + \cos^2 40^{\circ}+\cos^2 50^{\circ} +\cos^2 60^{\circ}=2}$$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Pada segitiga siku-siku $ABC$ berlaku $\sin A \sin B = 0,5$. Jika sudut siku-sikunya di $A$, maka nilai dari $\cos (A+B)= \cdots \cdot$
A. $1$                       C. $0$                     E. $-1$
B. $0,5$                   D. $-0,5$

Pembahasan

Diberikan $\triangle ABC$ (siku-siku). Diketahui $\sin A \sin B = 0,5$.
Diketahui juga bahwa siku-sikunya di titik $A$, berarti dapat ditulis
$\sin 90^{\circ} \sin B = 0,5$
Karena $\sin 90^{\circ} = 1$, maka haruslah $\sin B = 0,5$.
Dengan menggunakan relasi sudut sinus dan cosinus, diperoleh
$\begin{aligned} \cos (A+B) & = \cos (90^{\circ}+B) \\ & = -\sin B = -0,5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos (A+B)=-0,5}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 21
Nilai dari $20 \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$                      C. $\dfrac52$                   E. $\dfrac92$
B. $\dfrac32$                      D. $\dfrac72$          

Pembahasan

Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} 2 \cos x \cos y & = \cos (x+y) + \cos (x-y) \\ \cos x + \cos y & = 2 \cos \dfrac12(x+y) \cos \dfrac12(x-y) \end{aligned}}$$Untuk itu, dapat kita peroleh
$$\begin{aligned} & 20 \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ} \\ & = 10(2 \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ}) \cos 80^{\circ} \\ & = 10(\cos 60^{\circ} + \cos (-20^{\circ})) \cos 80^{\circ} \\ & = 10 \cos 60^{\circ} \cos 80^{\circ} + 10 \cos 20^{\circ} \cos 80^{\circ} \\ & = 10 \left(\dfrac12\right) \cos 80^{\circ} + 5(2 \cos 20^{\circ} \cos 80^{\circ}) \\ & = 5 \cos 80^{\circ} + 5(\cos 100^{\circ} + \cos (-60^{\circ}) \\ & = 5(\cos 80^{\circ} + \cos 100^{\circ}) + \dfrac52 \\ & = 5(2 \cos \dfrac12(80^{\circ}+100^{\circ}) \cos \dfrac12(80^{\circ}-100^{\circ}) + \dfrac52 \\ & = 5(2 \cos 90^{\circ} \cos 10^{\circ}) + \dfrac52 \\ & = 5(2(0) \cos 10^{\circ}) + \dfrac52 \\ & = \dfrac52 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{20 \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ} = \dfrac52}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Bila $\sin (40+x)^{\circ} = a$ dengan $0^{\circ}<x<45^{\circ}$, maka nilai dari $\cos (70^{\circ}+x) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{\sqrt{1-a^2}-a}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{3(1-a^2)}-a}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{3(1-a^2)}+a}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{2(1-a^2)}+a}{2}$
E. $\dfrac{\sqrt{2(1-a^2)}-a}{2}$

Pembahasan

Diketahui $\sin (40+x)^{\circ} = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{a}{1}$ dengan $(40^{\circ}+x)$ berada di kuadran pertama.
Berdasarkan rumus Pythagoras, diperoleh
$\text{sa} = \sqrt{1^2-a^2} = \sqrt{1-a^2}$
sehingga
$\begin{aligned} \cos (40^{\circ} + x) & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} \\ & = \dfrac{\sqrt{1-a^2}}{1} \\ & = \sqrt{1-a^2} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \cos (70^{\circ}+x) & = \color{red}{\cos ((40^{\circ}+x)+30^{\circ})} \\ & = \cos (40^{\circ}+x) \cos 30^{\circ}-\sin (40^{\circ}+x) \sin 30^{\circ} \\ & = \sqrt{1-a^2} \cdot \dfrac12\sqrt3-a \cdot \dfrac12 \\ & = \dfrac12\sqrt{3(1-a^2)}-\dfrac12a \\ & = \dfrac{\sqrt{3(1-a^2)}-a}{2} \end{aligned}$$Catatan: gunakan rumus jumlah dan selisih sudut.
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos (70^{\circ}+x) = \dfrac{\sqrt{3(1-a^2)}-a}{2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Soal Nomor 23
Jika $\cos (x+15^{\circ}) = a$ dengan $0^{\circ} \leq x \leq 30^{\circ}$, maka nilai $\cos (2x+60^{\circ}) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac12\sqrt3(2a^2-1)+a\sqrt{1-a^2}$
B. $\dfrac12\sqrt3(2a^2-1)-a\sqrt{1-a^2}$
C. $\dfrac12\sqrt3(a^2-1)+a\sqrt{1-a^2}$
D. $\dfrac12\sqrt3(2a^2-1)+a\sqrt{1+a^2}$
E. $\dfrac12\sqrt3(a^2+1)+a\sqrt{1-a^2}$

Pembahasan

Diketahui $\cos (x+15^{\circ}) = a$ dengan $0^{\circ} \leq x 30^{\circ}$.
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \color{red}{\cos (2x+30^{\circ})} & = \cos 2(x+15^{\circ}) \\ & = 2 \cos^2 (x+15^{\circ})-1 \\ & = \color{red}{2a^2-1} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \color{blue}{\sin (2x+30^{\circ})} & = \sqrt{1-\cos^2 (2x+30^{\circ})} \\ & = \sqrt{1-(2a^2-1)^2} \\ & = \sqrt{1-(4a^4-4a^2+1)} \\ & = \sqrt{4a^2(1-a^2)} \\ & = \color{blue}{2a\sqrt{1-a^2}} \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan identitas jumlah sudut cosinus diperoleh
$$\begin{aligned} \cos (2x+60^{\circ}) & = \cos ((2x+30^{\circ})+30^{\circ}) \\ & = \color{red}{\cos (2x+30^{\circ})} \cdot \cos 30^{\circ}-\color{blue}{\sin (2x+30^{\circ})} \cdot \sin 30^{\circ} \\ & = \color{red}{(2a^2-1)} \cdot \dfrac12\sqrt3-\color{blue}{2a\sqrt{1-a^2}} \cdot \dfrac12 \\ & = \dfrac12\sqrt3(2a^2-1)-a\sqrt{1-a^2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari
$$\boxed{\cos (2x+60^{\circ}) = \dfrac12\sqrt3(2a^2-1)-a\sqrt{1-a^2}}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24
Perhatikan persegi panjang yang dibangun dari $10$ persegi satuan di bawah ini.

Berapakah besar sudut $(\beta-\alpha)$?

A. $30^{\circ}$                      C. $60^{\circ}$                        E. $90^{\circ}$
B. $45^{\circ}$                      D. $75^{\circ}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dari gambar, diketahui bahwa
$\begin{aligned} |AB| & = 3 \\ |AC| & = 5 \\ |BF| & = 2 \\ |CD| & = 1 \end{aligned}$
Catatan: Notasi seperti $|AB|$ artinya panjang $AB$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} |AF| & = \sqrt{|AB|^2+|BF|^2} & = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13} \\ |AD| & = \sqrt{|AC|^2+|CD|^2} = \sqrt{5^2+1^2} \\ & = \sqrt{26} \end{aligned}$
sehingga berlaku perbandingan trigonometri
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{|CD|}{|AD|} = \dfrac{1}{\sqrt{26}} \\ \cos \alpha & = \dfrac{|AC|}{|AD|} = \dfrac{5}{\sqrt{26}} \\ \sin \beta & = \dfrac{|AB|}{|AF|} = \dfrac{3}{\sqrt{13}} \\ \cos \beta & = \dfrac{|BF|}{|AF|} = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \end{aligned}$
Dengan menggunakan identitas selisih sudut sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \sin (\beta-\cos \alpha) & = \sin \beta \cos \alpha-\sin \alpha \cos \beta \\ & = \dfrac{3}{\sqrt{13}} \cdot \dfrac{5}{\sqrt{26}}- \dfrac{1}{\sqrt{26}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{13}} \\ & = \dfrac{15}{\sqrt{13^2 \cdot 2}}-\dfrac{2}{\sqrt{13^2 \cdot 2}} \\ & = \dfrac{13}{13\sqrt2} = \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$$Karena $\alpha, \beta$ lancip, maka $(\alpha-\beta)$ haruslah lancip, sehingga kemungkinan nilai untuk $(\beta-\alpha)$ adalah $45^{\circ}$.
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Esai

Soal Nomor 25
Tentukan nilai dari ekspresi trigonometri berikut.
a. $1-2 \sin^2 22,5^{\circ}$
b. $2 \cos 97,5^{\circ} \sin 52,5^{\circ}$
c. $6 \sin 165^{\circ} \cos 15^{\circ}$
d. $\dfrac{\cos 75^{\circ}-\cos 15^{\circ}}{\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ}}$

Pembahasan

Jawaban a)
Berdasarkan identitas sudut ganda:
$\boxed{\cos 2x = 1-2 \sin^2 x}$
kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} 1-2 \sin^2 22,5^{\circ} & = \cos 2(22,5^{\circ}) \\ & = \cos 45^{\circ} \\ & = \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Jawaban b)
Berdasarkan identitas perkalian:
$\boxed{2 \sin A \cos B = \sin (A+B)+\sin (A-B)}$
kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} & 2 \cos 97,5^{\circ} \sin 52,5^{\circ} \\ & = \sin (52,5^{\circ}+97,5^{\circ}) + \sin (52,5^{\circ}-97,5^{\circ}) \\ & = \sin (150^{\circ}) + \sin (-45^{\circ}) \\ & = \sin 150^{\circ}- \sin 45^{\circ} \\ & = \dfrac12-\dfrac12\sqrt2 \\ & = \dfrac12(1-\sqrt2) \end{aligned}$$Jawaban c)
Berdasarkan identitas perkalian:
$\boxed{2 \sin A \cos B = \sin (A+B)+\sin (A-B)}$
kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} & 6 \sin 165^{\circ} \cos 15^{\circ} \\ & = 3(2 \sin 165^{\circ} \cos 15^{\circ}) \\ & = 3(\sin (165^{\circ} + 15^{\circ}) + \sin (165^{\circ} -15^{\circ}) \\ & = 3(\sin 180^{\circ} + \sin 150^{\circ}) \\ & = 3\left(0 + \dfrac12\right) = \dfrac32 \end{aligned}$
Jawaban d)
Berdasarkan identitas selisih fungsi sinus dan cosinus:
$\boxed{\begin{aligned} \sin A-\sin B & = 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A+B}{2} \\ \cos A-\cos B & = -2 \sin \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A+B}{2} \end{aligned}}$
kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} & \dfrac{\cos 75^{\circ}-\cos 15^{\circ}}{\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ}} \\ & = \dfrac{-2 \sin \dfrac{75^{\circ}+15^{\circ}}{2} \cos \dfrac{75^{\circ}-15^{\circ}}{2}}{2 \cos \dfrac{75^{\circ}+15^{\circ}}{2} \sin \dfrac{75^{\circ}-15^{\circ}}{2}} \\ & = \dfrac{-\cancel{2} \sin 45^{\circ} \bcancel{\sin 30^{\circ}}}{\cancel{2} \cos 45^{\circ} \bcancel{\sin 30^{\circ}}} \\ & = \dfrac{-\cancel{\dfrac12\sqrt2}}{\cancel{\dfrac12\sqrt2}} \\ & = -1 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 26A
Jika $\sin \left(A+\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin A$, buktikan bahwa $\tan A = \sqrt3$.

Pembahasan

Berdasarkan identitas jumlah sudut sinus:
$\boxed{\sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y}$
kita peroleh
$\begin{aligned} \sin \left(A+\dfrac{\pi}{3}\right) & = \sin A \\ \sin A \cos \dfrac{\pi}{3} + \cos A \sin \dfrac{\pi}{3} & = \sin A \\ \sin A \cdot \dfrac12 + \cos A \cdot \dfrac12\sqrt3 & = \sin A \\ \dfrac12\sin A-\sin A & = -\dfrac12\sqrt3 \cos A \\ \bcancel{-\dfrac12} \sin A & = \bcancel{-\dfrac12}\sqrt3 \cos A \\ \sin A & = \sqrt3 \cos A \\ \dfrac{\sin A}{\cos A} = \tan A & = \sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\tan A = \sqrt3$.

[collapse]

Soal Nomor 26B
Jika $3 \cos \left(A+\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos \left(A-\dfrac{\pi}{4}\right)$, buktikan bahwa $\tan A = \dfrac12$.

Pembahasan

Berdasarkan identitas jumlah dan selisih sudut cosinus:
$\boxed{\cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y}$
kita peroleh
$$\begin{aligned} 3 \cos \left(A+\dfrac{\pi}{4}\right) & = \cos \left(A-\dfrac{\pi}{4}\right) \\ 3 \left(\cos A \cos \dfrac{\pi}{4}-\sin A \sin \dfrac{\pi}{4}\right) & = \cos A \cos \dfrac{\pi}{4}+\sin A \sin \dfrac{\pi}{4} \\ 3 \left(\cos A \cdot \dfrac12\sqrt2 -\sin A \cdot \dfrac12\sqrt2\right) & = \cos A \cdot \dfrac12\sqrt2 +\sin A \cdot \dfrac12\sqrt2 \\ \dfrac32\sqrt2 \cos A-\dfrac32\sqrt2 \sin A & = \dfrac12\sqrt2 \cos A+ \dfrac12\sqrt2 \sin A \\ \dfrac32\sqrt2 \cos A-\dfrac12\sqrt2 \cos A & = \dfrac12\sqrt2 \sin A+\dfrac32\sqrt2 \sin A \\ \bcancel{\sqrt2} \cos A & = 2 \cdot \bcancel{\sqrt2} \sin A \\ \cos A & = 2 \sin A \\ \dfrac{\sin A}{\cos A} = \tan A & = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\tan A = \dfrac12$.

[collapse]

Soal Nomor 27
Tentukan nilai $x$ untuk $0 \leq x \leq 360^{\circ}$ jika:
a. $\cos x = \cos 100^{\circ} \cos 35^{\circ}-\sin 100^{\circ} \sin 35^{\circ}$
b. $\sin x = \sin 115^{\circ} \cos 5^{\circ} + \cos 115^{\circ} \sin 5^{\circ}$
c. $\tan 3x = \dfrac{\tan \dfrac{7}{12}\pi-\tan \dfrac{\pi}{12}}{1+\tan \dfrac{7}{12}\pi \tan \dfrac{\pi}{12}}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui persamaan
$\cos x = \cos 100^{\circ} \cos 35^{\circ}-\sin 100^{\circ} \sin 35^{\circ}$
Gunakan identitas jumlah sudut cosinus.
$\boxed{\cos (A+B) = \cos A \cos B-\sin A \sin B}$
Untuk $A = 100^{\circ}$ dan $B = 35^{\circ}$, kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} & \cos 100^{\circ} \cos 35^{\circ}-\sin 100^{\circ} \sin 35^{\circ} \\ & = \cos (100^{\circ} + 35^{\circ}) \\ & = \cos 135^{\circ} = -\dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x = 135^{\circ}$. Selain itu, nilai $x$ bisa juga $225^{\circ}$ karena $\cos 225^{\circ} = -\dfrac12\sqrt2$.
Jawaban b)
Diketahui persamaan
$\sin x = \sin 115^{\circ} \cos 5^{\circ} + \cos 115^{\circ} \sin 5^{\circ}$
Gunakan identitas jumlah sudut sinus.
$\boxed{\sin (A+B) = \sin A \cos B-\cos A \sin B}$
Untuk $A = 115^{\circ}$ dan $B = 5^{\circ}$, kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} & \sin 115^{\circ} \cos 5^{\circ} + \cos 115^{\circ} \sin 5^{\circ} \\ & = \sin (115^{\circ} + 5^{\circ}) \\ & = \sin 120^{\circ} = \dfrac12\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x = 120^{\circ}$. Selain itu, nilai $x$ bisa juga $60^{\circ}$ karena $\sin 60^{\circ} = \dfrac12\sqrt3$.
Jawaban c)
Diketahui persamaan
$\tan 3x = \dfrac{\tan \dfrac{7}{12}\pi-\tan \dfrac{\pi}{12}}{1+\tan \dfrac{7}{12}\pi \tan \dfrac{\pi}{12}}$
Gunakan identitas selisih sudut tangen.
$\boxed{\tan (A-B) = \dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B}}$
Untuk $A = \dfrac{7}{12}\pi$ dan $B = \dfrac{\pi}{12}$, kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{\tan \dfrac{7}{12}\pi-\tan \dfrac{\pi}{12}}{1+\tan \dfrac{7}{12}\pi \tan \dfrac{\pi}{12}} & = \tan \left(\dfrac{7}{12}\pi-\dfrac{\pi}{12}\right) \\ & = \tan \dfrac12\pi = \tan 3x \end{aligned}$
Berdasarkan persamaan dasar trigonometri, kita dapatkan bentuk berikut.
$\begin{aligned} 3x & = \dfrac12\pi + k \cdot \pi \\ x & = \dfrac16\pi + k \cdot \dfrac{\pi}{3} \end{aligned}$
Untuk $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$, berturut-turut diperoleh $x = \dfrac16\pi$, $x = \dfrac12\pi$, $x = \dfrac56\pi$, $x = \dfrac76\pi$, $\dfrac32\pi$, dan $x = \dfrac{11}{6}\pi$.

[collapse]

Soal Nomor 28
Diketahui $a+b+c=180^{\circ}$, $\sin a = \dfrac35$, dan $\cos b = \dfrac{5}{13}$. Tentukan nilai $\sin c$.

Pembahasan

Karena $\sin A = \dfrac35$, maka dengan menggunakan identitas Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} \cos a &= \sqrt{1-\sin^2 a} \\ & = \sqrt{1-\left(\dfrac35\right)^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{9}{25}} = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac45 \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama, dari $\cos b = \dfrac{5}{13}$, kita peroleh
$\begin{aligned} \sin b & = \sqrt{1-\cos^2 b} \\ & = \sqrt{1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{25}{169}} = \sqrt{\dfrac{144}{169}} = \dfrac{12}{13} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $a+b+c=180^{\circ}$ sehingga $c=180^{\circ}-(a+b)$. Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} \sin c & = \sin (180^{\circ}-(a+b)) \\ & = \sin (a+b) \\ & = \sin a \cos b + \cos a \sin b \\ & = \dfrac35 \cdot \dfrac{5}{13} + \dfrac45 \cdot \dfrac{12}{13} \\ & = \dfrac{15}{65}+\dfrac{48}{65} = \dfrac{63}{65} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin c = \dfrac{63}{65}}$

[collapse]

Soal Nomor 29
Perhatikan gambar berikut.

Tentukan nilai $\tan (x+y)$.

Pembahasan

Kita akan menentukan nilai $\tan x$ dan $\tan y$ terlebih dahulu dengan memperhatikan gambar di atas.
Berdasarkan rumus Pythagoras, panjang $KM$ dirumuskan oleh
$\begin{aligned} KM & = \sqrt{KL^2+LM^2} \\ & = \sqrt{24^2+7^2} \\ & = \sqrt{625} = 25~\text{cm} \end{aligned}$
Juga berdasarkan rumus Pythagoras, panjang $KN$ dirumuskan oleh
$\begin{aligned} KN & = \sqrt{KM^2-MN^2} \\ & = \sqrt{25^2-15^2} \\ & = \sqrt{400} = 20~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\tan x = \dfrac{LM}{KL} = \dfrac{7}{24}$
$\tan y = \dfrac{MN}{KN} = \dfrac{10}{20} = \dfrac12$
Gunakan identitas jumlah sudut tangen.

$\begin{aligned} \tan (x+y) & = \dfrac{\tan x + \tan y}{1-\tan x \tan y} \\ & = \dfrac{\dfrac{7}{24} + \dfrac12}{1-\dfrac{7}{24} \cdot \dfrac12} \\ & = \dfrac{\dfrac{14 + 24}{\cancel{48}}}{\dfrac{48-7}{\cancel{48}}} = \dfrac{38}{41} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\tan (x+y) = \dfrac{38}{41}}$.

[collapse]

Soal Nomor 30
Jika $x+y=\dfrac54\pi$, buktikan bahwa $(1+\tan x)(1+\tan y) = 2$.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan di atas, kita akan menggunakan identitas jumlah sudut tangen.
$$\begin{aligned} \tan (x+y) & = \dfrac{\tan x + \tan y }{1-\tan x \tan y} \\ \tan \dfrac54\pi & = \dfrac{\tan x + \tan y }{1-\tan x \tan y} \\ 1 & = \dfrac{\tan x + \tan y }{1-\tan x \tan y} \\ 1-\tan x \tan y & = \tan x + \tan y \\ \tan x + \tan y + \tan x \tan y-1 & = 0 \\ (\tan x + 1)(\tan y +1)-2 & = 0 \\ (\tan x + 1)(\tan y +1) & = 2 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\boxed{(\tan x + 1)(\tan y +1)=2}$

[collapse]

Soal Nomor 31
Jika $\sin (x+60^{\circ}) = \sin x$, buktikan bahwa $\tan x = \sqrt3$.

Pembahasan

Gunakan identitas jumlah sudut sinus.
$\begin{aligned} \sin (x+60^{\circ}) & = \sin x \\ \sin x \cos 60^{\circ} + \cos x \sin 60^{\circ} & = \sin x \\ \dfrac12 \sin x + \dfrac12\sqrt3 \cos x & = \sin x \\ \cancel{\dfrac12}\sqrt3 \cos x & = \cancel{\dfrac12} \sin x \\ \sqrt3 \cos x & = \sin x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x & = \sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\tan x = \sqrt3$.

[collapse]

Soal Nomor 32
Jika $p = \sin x + \sin y$ dan $q = \cos x + \cos y$, buktikan bahwa $\dfrac12(p^2+q^2) = 1+\cos (x-y)$.

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} p & = \sin x + \sin y \\ q & = \cos x + \cos y \end{aligned}$
Akan dibuktikan bahwa $\dfrac12(p^2+q^2) = 1+\cos (x-y)$ dengan menggunakan sejumlah identitas trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 \\ \cos (x-y) & = \cos x \cos y + \sin x \sin y \end{aligned}}$
Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac12(p^2+q^2) & = \dfrac12((\sin x+\sin y)^2+(\cos x + \cos y)^2) \\ & = \dfrac12(\color{red}{\sin^2 x} + 2 \sin x \sin y + \color{blue}{\sin^2 y} + \color{red}{\cos^2 x} + 2 \cos x \cos y + \color{blue}{\cos^2 y}) \\ & = \dfrac12(2(\cos x \cos y + \sin x \sin y)+\color{red}{1}+\color{blue}{1}) \\ & = (\cos x \cos y + \sin x \sin y)+1 \\ & = 1+\cos (x-y) \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac12(p^2+q^2) = 1+\cos (x-y)$.

[collapse]

Soal Nomor 33
Buktikan persamaan-persamaan berikut.
a. $\sin (x+y) \sin (x-y) = \sin^2 x-\sin^2 y$
b. $\cos (x+y) \cos (x-y) = \cos^2 x-\sin^2 y$

Pembahasan

Jawaban a)
Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:
$$\boxed{\begin{aligned} \sin (A \pm B) & = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \\ \sin^2 A + \cos^2 A & = 1 \end{aligned}}$$diperoleh
$$\begin{aligned} \sin (x+y) \sin (x-y) & =(\sin x \cos y + \cos x \sin y)(\sin x \cos y-\cos x \sin y) \\ & = \sin^2 x \cos^2 y- \bcancel{\sin x \sin y \cos x \cos y} + \bcancel{\sin x \sin y \cos x \cos y} -\cos^2 x \sin^2 y \\ & = \sin^2 x \cos^2 y-\cos^2 x \sin^2 y \\ & = \sin^2 x(1-\sin^2 y)-(1-\sin^2 x) \sin^2 y \\ & = \sin^2 x-\cancel{\sin^2 x \sin^2 y}-\sin^2 y+\cancel{\sin^2 x \sin^2 y} \\ & = \sin^2 x-\sin^2 y \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\sin (x+y) \sin (x-y) = \sin^2 x-\sin^2 y$.
Jawaban b)
Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:
$$\boxed{\begin{aligned} \sin (A \pm B) & = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \\ \sin^2 A + \cos^2 A & = 1 \end{aligned}}$$diperoleh
$$\begin{aligned} \cos (x+y) \cos (x-y) & =(\cos x \cos y- \sin x \sin y)(\cos x \cos y+\sin x \sin y) \\ & = \cos^2 x \cos^2 y+\bcancel{\sin x \sin y \cos x \cos y}- \bcancel{\sin x \sin y \cos x \cos y} -\sin^2 x \sin^2 y \\ & = \cos^2 x \cos^2 y-\sin^2 x \sin^2 y \\ & = \cos^2 x(1-\sin^2 y)-(1-\cos^2 x) \sin^2 y \\ & = \cos^2 x-\cancel{\cos^2 x \sin^2 y}-\sin^2 y+\cancel{\cos^2 x \sin^2 y} \\ & = \cos^2 x-\sin^2 y \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\cos (x+y) \cos (x-y) = \cos^2 x-\sin^2 y$.

[collapse]

Soal Nomor 34
Hitunglah hasilnya.
$\cos^2 1^{\circ} + \cos^2 2^{\circ} + \cdots + \cos^2 15^{\circ}$ $+ \cos^2 76^{\circ} + \cos^2 77^{\circ} + \cdots + \cos^2 90^{\circ}$

Pembahasan

Gunakan hubungan relasi sudut dan identitas trigonometri berikut.
$\begin{aligned} \cos x & = \sin (90^{\circ}-x) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 \end{aligned}$
Kita dapat tuliskan
$$\begin{aligned} & \cos^2 1^{\circ} + \cos^2 2^{\circ} + \cdots + \cos^2 15^{\circ} + \cdots + \cos^2 76^{\circ} + \cos^2 77^{\circ} + \cdots + \cos^2 90^{\circ} \\ & = \cos^2 1^{\circ} + \cos^2 2^{\circ} + \cdots + \cos^2 15^{\circ} + \cdots + \sin^2 (90^{\circ}-76^{\circ}) + \sin^2 (90^{\circ}-77^{\circ}) + \cdots + \sin^2 (90^{\circ}-89^{\circ}) + \cos^2 90^{\circ} \\ & = (\cos^2 1^{\circ} +\sin^2 1^{\circ}) + (\cos^2 2^{\circ} + \sin^2 2^{\circ}) + \cdots + (\cos^2 14^{\circ} + \sin^2 (14^{\circ}) + \color{red}{\cos^2 90^{\circ}} \\ & = \underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{ada 14}} + \color{red}{0} \\ & = 14 \end{aligned}$$Jadi, hasil perhitungan ekspresi trigonometri tersebut adalah $\boxed{14}$

[collapse]