Materi, Soal, dan Pembahasan – Teorema Stewart

Segitiga merupakan bangun datar yang unik dan menyimpan banyak rahasia. Beberapa sudah kita temukan dan kita selalu meyakini bahwa akan ada rahasia baru yang terungkap pada poligon paling sederhana tersebut. Salah satu rahasia yang telah terungkap adalah berlakunya Teorema Stewart.

Dalam geometri, Teorema Stewart menyatakan hubungan antara panjang sisi dengan panjang cevian segitiga. Kata “Stewart” diambil dari nama penemunya, Matthew Stewart, matematikawan berkebangsaan Skotlandia. Beliau memublikasikan teorema tersebut pada tahun 1746, sekaligus mengukir keabadian namanya pada abad ke-18 kala itu.

Sebelum itu, ada istilah penting yang perlu diketahui bersama sebelum mempelajari Teorema Stewart, yaitu cevian dan garis berat.

  1. Cevian adalah segmen garis pada segitiga dengan salah satu titik ujung pada titik sudut segitiga dan titik ujung lainnya pada sisi segitiga di hadapannya.
  2. Garis berat merupakan garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga menuju sisi di hadapannya sehingga membelahnya menjadi dua sama panjang. Garis berat merupakan contoh cevian.

    CM merupakan cevian sekaligus garis berat pada segitiga ABC

Teorema Stewart

Diberikan segitiga sembarang $ABC.$ Titik $D$ terletak pada sisi $BC$ sehingga $BD = m$ dan $DC = n$, seperti yang tampak pada gambar berikut.
Teorema Stewart menyatakan bahwa panjang cevian $AD = d$ dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut.
$$\boxed{AD^2 \cdot BC = AC^2 \cdot BD + AB^2 \cdot DC-BD \cdot DC \cdot BC}$$atau lebih ringkasnya
$$\boxed{d^2 \cdot a = b^2 \cdot m + c^2 \cdot n-mna}$$

Persamaan tersebut barangkali sulit diingat sehingga mnemonik “A man and his dad put a bomb in the sink” dapat dijadikan sebagai solusi karena persamaan di atas ekuivalen dengan
$$\begin{aligned} d^2a + mna & = b^2m + c^2n \\ man + dad & = bmb + cnc \end{aligned}$$

Pembuktian dengan Aturan Cosinus

Perhatikan kembali $\triangle ABC$ dengan cevian $AD$ berikut.
Misalkan $\angle BDA = y$ dan $\angle CDA = x.$ Karena keduanya berpelurus, maka $x+y = 180^\circ$ sehingga dengan menggunakan sifat relasi sudut, kita peroleh
$$\begin{aligned} \cos y & = \cos (180^\circ-x) \\ & = -\cos x \end{aligned}$$Dengan menggunakan Aturan Cosinus pada $\triangle ABD$ terhadap sisi $AB,$ diperoleh
$$\begin{aligned} c^2 & = m^2+d^2-2dm \cos y \\ c^2 & = m^2+d^2-2dm (-\cos x) \\ c^2 & = m^2+d^2+2dm \cos x \\ \text{Kalikan}~n&~\text{pada kedua ruas} \\ c^2n & = m^2n+d^2n + 2dmn \cos x && (\cdots 1) \end{aligned}$$Berikutnya, dengan menggunakan Aturan Cosinus pada $\triangle ACD$ terhadap sisi $AC,$ diperoleh
$$\begin{aligned} b^2 & = n^2+d^2-2dn \cos x \\ \text{Kalikan}~m&~\text{pada kedua ruas} \\ b^2m & = mn^2+d^2m-2dmn \cos x && (\cdots 2) \end{aligned}$$Eliminasi bentuk $2dmn \cos x$ pada persamaan $(1)$ dan $(2)$ sehingga akan diperoleh
$$\begin{aligned} b^2m + c^2n & = d^2m + d^2n+m^2n + mn^2 \\ b^2m + c^2n & = d^2(m+n) + mn(m+n) \\ b^2m + c^2n & = ad^2 + mna \\ d^2a & = b^2m + c^2n-mna \end{aligned}$$Jadi, Teorema Stewart terbukti dari sini.

[collapse]

Berikut ini telah disediakan beberapa soal dan pembahasan terkait Teorema Stewart yang dikumpulkan dari beberapa literatur. Semoga dapat dijadikan sebagai bahan latihan.

Quote by Eleanor Roosevelt

Masa depan adalah milik mereka yang percaya akan keindahan mimpinya.

 Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Pada sebuah segitiga $ABC,$ diketahui panjang $AB = 8$ cm, $BC = 7$ cm, dan $AC = 6$ cm. Titik $D$ terletak pada perpanjangan $AB$ sedemikian sehingga $BD = \dfrac12AD.$ Panjang $CD = \cdots \cdot$
A. $\sqrt{160}~\text{cm}$                     D. $\sqrt{190}~\text{cm}$
B. $\sqrt{170}~\text{cm}$                      E. $\sqrt{200}~\text{cm}$
C. $\sqrt{180}~\text{cm}$

Pembahasan

Karena $BD = \dfrac12AD$, maka itu berarti $B$ terletak tepat di tengah $AD,$ seperti yang tampak pada gambar berikut.
Dengan menggunakan Teorema Stewart pada $\triangle ACD,$ diperoleh
$$\begin{aligned} AD \cdot AB \cdot BD + BC^2 \cdot AD & = CD^2 \cdot AB + AC^2 \cdot BD \\ 16 \cdot 8 \cdot 8 + 7^2 \cdot 16 & = CD^2 \cdot 8 + 6^2 \cdot 8 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~8 \\ 16 \cdot 8 + 7^2 \cdot 2 & = CD^2 + 6^2 \\ 128 + 98 & = CD^2 + 36 \\ 190 & = CD^2 \\ \sqrt{190} & = CD \end{aligned}$$Jadi, panjang $\boxed{CD = \sqrt{190}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ dengan panjang $AB = 5$ cm dan $AC = 12$ cm. Jika titik $D$ terletak pada $BC$ sedemikian sehingga $AD$ merupakan garis berat, maka panjang $AD$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5,0~\text{cm}$                       D. $7,5~\text{cm}$
B. $6,0~\text{cm}$                      E. $9,0~\text{cm}$
C. $6,5~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Teorema Pythagoras berlaku untuk segitiga siku-siku $ABC.$
$$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 + AC^2} \\ & = \sqrt{5^2+12^2} \\ & = \sqrt{169} \\ & = 13~\text{cm} \end{aligned}$$Karena $AD$ merupakan garis berat, maka $D$ terletak tepat di tengah $BC$ sehingga $BD = DC = 6,5$ cm. Dengan menggunakan Teorema Stewart pada $\triangle ABC$ dan cevian $AD,$ diperoleh

$$\begin{aligned} BD \cdot DC \cdot BC + AD^2 \cdot BC & = AB^2 \cdot DC + AC^2 \cdot BD \\ 6,5 \cdot 6,5 \cdot 13 + AD^2 \cdot 13 & = 5^2 \cdot 6,5 + 12^2 \cdot 6,5 \\ \text{Kedua ruas dibagi}&~\text{dengan 6,5} \\ 6,5 \cdot 6,5 \cdot 2 + AD^2 \cdot 2 & = 5^2 + 12^2 \\ 84,5 + 2AD^2 & = 169 \\ 2AD^2 & = 84,5 \\ AD^2 & = 42,25 \\ AD & = 6,5~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{6,5~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui $\triangle ABC$ dengan panjang sisi $AB = 4$ cm, $BC = 8$ cm, dan $AC = 6$ cm. Titik $D$ terletak pada sisi $BC$ dengan $BD = 2$ cm dan titik $E$ terletak pada sisi $AC$ dengan panjang $AE = 4$ cm. Panjang $DE = \cdots \cdot$
A. $\sqrt{15}$                        D. $\sqrt{21}$
B. $\sqrt{17}$                        E. $\sqrt{23}$
C. $\sqrt{19}$

Pembahasan

Sketsa gambar $\triangle ABC$ seperti berikut.
Pertama, akan dicari panjang $AD$ dengan menggunakan Teorema Stewart pada $\triangle ABC.$
$$\begin{aligned} AD^2 \cdot BC + BD \cdot DC \cdot BC & = AC^2 \cdot BD + AB^2 \cdot DC \\ AD^2 \cdot 8 + 2 \cdot 6 \cdot 8 & = 6^2 \cdot 2 + 4^2 \cdot 6 \\ 8AD^2 + \cancel{96} & = 72 + \cancel{96} \\ 8AD^2 & = 72 \\ AD^2 & = 9 \\ AD & = 3 \end{aligned}$$Berikutnya, akan dicari panjang $DE$ dengan menggunakan Teorema Stewart pada $\triangle ADC.$
$$\begin{aligned} DE^2 \cdot AC + AE \cdot EC \cdot AC & = DC^2 \cdot AE + AD^2 \cdot EC \\ DE^2 \cdot 6 + 4 \cdot 2 \cdot 6 & = 6^2 \cdot 4 + 3^2 \cdot 2 \\ 6DE^2 + 48 & = 144 + 18 \\ 6DE^2 & = 114 \\ DE^2 & = 19 \\ DE & = \sqrt{19} \end{aligned}$$Jadi, panjang $\boxed{DE = \sqrt{19}~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor
Pada suatu segitiga $ABC,$ titik $F$ terletak tepat di tengah $AB.$ Jika $AC = 6$ cm, $BC = 8$ cm, dan $AB = 12$ cm, maka panjang garis berat $CF$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{10}~\text{cm}$                    D. $\sqrt{22}~\text{cm}$
B. $\sqrt{14}~\text{cm}$                    E. $\sqrt{26}~\text{cm}$
C. $3\sqrt2~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena $F$ terletak tepat di tengah $AB,$ maka $AF = FB = 6$ cm. Akan dicari panjang $CF$ dengan menggunakan Teorema Stewart.
$$\begin{aligned} AF \cdot FB \cdot AB + CF^2 \cdot AB & = AC^2 \cdot FB + BC^2 \cdot AF \\ 6 \cdot 6 \cdot 12 + CF^2 \cdot 12 & = 6^2 \cdot 6 + 8^2 \cdot 6 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan 6} \\ 6 \cdot 12 + CF^2 \cdot 2 & = 6^2 + 8^2 \\ 72 + 2CF^2 & = 36+64 \\ 2CF^2 & = 28 \\ CF^2 & = 14 \\ CF & = \sqrt{14}~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang garis berat $CF$ adalah $\boxed{\sqrt{14}~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor
Pada $\triangle ABC,$ diketahui $AB = 8$ cm, $BC = 7$ cm, dan $AC = 6$ cm. Titik $D$ terletak pada perpanjangan $AB$ sedemikian sehingga $BD = \dfrac12AD$. Panjang $CD$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{151}~\text{cm}$                    D. $\sqrt{190}~\text{cm}$
B. $\sqrt{160}~\text{cm}$                  E. $\sqrt{210}~\text{cm}$
C. $\sqrt{170}~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Perhatikan bahwa $BD = \dfrac12AD$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 2BD & = AB+BD \\ 2BD & =8+BD \\ BD & = 8~\text{cm} \end{aligned}$$Akan dicari panjang $CD$ dengan menggunakan Teorema Stewart pada $\triangle ACD$ dan cevian $CB.$
$$\begin{aligned} AB \cdot BD \cdot AD + CB^2 \cdot AD & = AC^2 \cdot BD + DC^2 \cdot AB \\ 8 \cdot 8 \cdot 16 + 7^2 \cdot 16 & = 6^2 \cdot 8 + CD^2 \cdot 8 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan 8} \\ 8 \cdot 16 + +7^2 \cdot 2 & = 6^2 +CD^2 \\ 128 + 98 & = 36 + CD^2 \\ CD^2 & = 190 \\ CD & = \sqrt{190}~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang $CD$ adalag $\boxed{\sqrt{190}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Pada suatu $\triangle ABC,$ diketahui $AB = 10$ cm, $BC =14$ cm, dan $AC=12$ cm. Ketiga garis berat $AD, BE,$ dan $CF$ berpotongan di $Z.$ Hitunglah panjang:
a. $AD$;
b. $BZ$;
c. $ZF.$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jawaban a)
Karena $AD$ merupakan garis berat, maka $D$ terletak tepat di tengah $BC$ sehingga $BD = DC = 7$ cm. Dengan menggunakan Teorema Stewart pada $\triangle ABC$ dan cevian $AD$, kita peroleh
$$\begin{aligned} BD \cdot DC \cdot BC + AD^2 \cdot BC & = AB^2 \cdot DC + AC^2 \cdot BD \\ 7 \cdot 7 \cdot 14 + AD^2 \cdot 14 & = 10^2 \cdot 7 + 12^2 \cdot 7 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan 7} \\ 7 \cdot 7 \cdot 2 + AD^2 \cdot 2 & = 10^2 + 12^2 \\ 98 + 2AD^2 & = 100+144 \\ 2AD^2 & = 146 \\ AD^2 & = 73 \\ AD & = \sqrt{73}~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang $\boxed{AD = \sqrt{73}~\text{cm}}$
Jawaban b)
Karena $BE$ merupakan garis berat, maka $E$ terletak tepat di tengah $AC$ sehingga $AE = EC = 6$ cm. Dengan menggunakan Teorema Stewart pada $\triangle ABC$ dan cevian $BE$, kita peroleh
$$\begin{aligned} AE \cdot EC \cdot AC + BE^2 \cdot AC & = AB^2 \cdot EC + BC^2 \cdot AE \\ 6 \cdot 6 \cdot 12 + BE^2 \cdot 12 & = 10^2 \cdot 6 + 14^2 \cdot 6 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan 6} \\ 6 \cdot 6 \cdot 2 + BE^2 \cdot 2 & = 10^2 + 14^2 \\ 72 + 2BE^2 & = 100+196 \\ 2BE^2 & = 224 \\ BE^2 & = 112 \\ BE & = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang $BE = 4\sqrt{7}~\text{cm}.$ Karena $BE$ merupakan garis berat, maka berlaku perbandingan $BZ : BE = 1 : 3$ sehingga
$$\begin{aligned} BZ & = \dfrac13 \cdot BE \\ & = \dfrac13 \cdot 4\sqrt7 \\ & = \dfrac43\sqrt7~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang $BZ$ adalah $\boxed{\dfrac43\sqrt7~\text{cm}}$
Jawaban c)
Karena $CF$ merupakan garis berat, maka $F$ terletak tepat di tengah $AB$ sehingga $AF = FB = 5$ cm. Dengan menggunakan Teorema Stewart pada $\triangle ABC$ dan cevian $CF$, kita peroleh
$$\begin{aligned} AF \cdot FB \cdot AB + CF^2 \cdot AB & = AC^2 \cdot FB + BC^2 \cdot AF \\ 5 \cdot 5 \cdot 10 + CF^2 \cdot 10 & = 12^2 \cdot 5 + 14^2 \cdot 5 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan 5} \\ 5 \cdot 5 \cdot 2 + CF^2 \cdot 2 & = 12^2 + 14^2 \\ 50 + 2CF^2 & = 144+196 \\ 2CF^2 & = 290 \\ CF^2 & = 145 \\ CF & = \sqrt{145}~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang $CF = \sqrt{145}~\text{cm}.$ Karena $CF$ merupakan garis berat, maka berlaku perbandingan $ZF : CF = 1 : 3$ sehingga
$$\begin{aligned} ZF & = \dfrac13 \cdot CF \\ & = \dfrac13\sqrt{145}~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang $ZF$ adalah $\boxed{\dfrac13\sqrt{145}~\text{cm}}$

[collapse]