Soal dan Pembahasan – Suku Banyak/Polinomial (Tingkat SMA/Sederajat)

      Suku Banyak atau secara umum dikenal sebagai Polinomial adalah salah satu materi matematika tingkat SMA yang merupakan bagian besar dari ruang lingkup aljabar. Suku banyak adalah ekspresi aljabar yang berbentuk
$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1x + a_0$
untuk $n$ bilangan cacah, $a_1,a_2,\cdots a_n$ adalah koefisien masing-masing variabel, serta $a_0$ suatu konstanta dengan syarat $a_n \neq 0$. 

Contoh suku banyak:
$7x^4 + 3x^3 -10x^2 -9$
$x^{99} + x^{45} -\sqrt{3}x-10$
$x^{3} -\dfrac87x^2-12$

Noncontoh suku banyak:
$\sqrt{2}x^3 + \dfrac{1}{x} -4$
$\sqrt{2x^3} + x -10$
$x^{-1}+x^{-2}+x^{-3}-12$

Untuk menambah pemahaman tentang materi ini, berikut penulis sajikan sejumlah soal beserta pembahasannya yang dikumpulkan dari berbagai sumber. 
Semoga bermanfaat!

Unduh soal dengan klik tautan: Download (PDF)

Quote by Robert T. Kiyosaki

In school we learn that mistakes are bad and we are punished for making them. Yet, if you look at the way humans are designed to learn, we learn by making mistakes. We learn to walk by falling down. If we never fell down, we would never walk.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Berikut ini bukan merupakan bentuk suku banyak adalah $\cdots \cdot$
A. $t^4\sqrt[3]{t^6}-2t^2+1$
B. $t^{30}-\sqrt2t^{21}+\dfrac15$
C. $\sin (2t^2+4t-7) + 3t$
D. $t^2 + 2t^4 + 8t^6-\sqrt{5}$
E. $\sin 30^{\circ}~t^{10} + \cos 30^{\circ}~t^5-\tan 30^{\circ}$

Pembahasan

Berdasarkan definisi, suatu ekspresi berbentuk $a_0x^n + a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}$ $+\cdots+a_{n-1}x + a_n$ dengan $n$ bilangan bulat positif, disebut suku banyak (polinomial) satu variabel.
Cek opsi A:
Perhatikan bahwa $\sqrt[3]{t^6} = t^2$ sehingga ekspresi yang diberikan sama dengan $t^6-2t^2+1$ dan jelas ini merupakan suku banyak.
Cek opsi B:
Jelas suku banyak karena berbentuk seperti definisi. Perhatikan bahwa koefisien tidak harus bernilai bulat.
Cek opsi C:
Bukan suku banyak karena ada ekspresi trigonometri $\sin (2t^2+4t-7)$, di mana $t$ adalah variabel.
Cek opsi D:
Jelas suku banyak karena berbentuk seperti definisi.
Cek opsi E:
Koefisien dari setiap suku dinyatakan dalam bentuk trigonometri yang nilainya sudah jelas (misalnya $\sin 30^{\circ} = 1/2$), sedangkan variabelnya berpangkat bulat positif. Karena sesuai definisi, maka ekspresi tersebut tergolong suku banyak.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $P(x) = x^6 -x^3 + 2$ dibagi oleh $x^2-1$, maka sisa pembagiannya adalah $\cdots \cdot$
A. $-x+4$                  D. $-x-2$
B. $-x+3$                  E. $-x-3$
C. $-x+2$

Pembahasan

Diketahui: $P(x) = x^6 -x^3 + 2$
Pembagi: $D(x) = x^2 -1 = (x+1)(x-1)$
Dalam hal ini, dapat ditulis
$x^6 -x^3 + 2 = (x+1)(x-1)H(x) + S(x)$
Karena pembagi (divisor) berbentuk polinomial berderajat dua, maka sisa hasil baginya berupa polinomial berderajat satu, yaitu $S(x) = ax + b$, sehingga
$$x^6 – x^3 + 2 = (x+1)(x-1)H(x) + (ax + b)$$Substitusi $x=-1$, diperoleh
$$\begin{aligned} (-1)^6 -(-1)^3 + 2 & = 0 + a(-1) + b \\ -a + b & = 4 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Substitusi $x=1$, diperoleh
$\begin{aligned} (1)^6 -(1)^3 + 2 & = 0 + a(1) + b \\ a + b & = 2 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -a+b=4 \\ a+b=2 \end{cases}$
Selesaikan sistem sehingga diperoleh $a=-1$ dan $b=3$. 
Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{S(x) = ax + b = -x + 3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika faktor-faktor $f(x) = 3x^3-5x^2$ $+px+q$ adalah $(x+1)$ dan $(x-3)$, maka nilai $p$ dan $q$ berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $-11$ dan $-3$
B. $-11$ dan $3$
C. $11$ dan $-19$
D. $11$ dan $19$
E. $11$ dan $3$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 3x^3-5x^2+px+q$ memiliki faktor $(x+1)$ dan $(x-3)$
Pembuat nol pembagi: $x = -1$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$\begin{array}{c|cccc} & 3 & -5 & p & q \\ -1 & \downarrow & -3 & 8 & -p-8 \\\hline & 3 & -8 & p+8 & q-p-8 \end{array}$
Karena $(x+1)$ merupakan faktor dari $f(x)$, maka berdasarkan Teorema Faktor, diperoleh $q-p-8=0 \Leftrightarrow q-p=8$
Pembuat nol pembagi: $x = 3$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$\begin{array}{c|cccc} & 3 & -5 & p & q \\ -1 & \downarrow & 9 & 12 & 3p+36 \\\hline & 3 & 4 & p+12 & q+3p+36 \end{array}$
Karena $(x-3)$ jugacmerupakan faktor dari $f(x)$, maka berdasarkan Teorema Faktor, diperoleh $q+3p+36=0 \Leftrightarrow q+3p=-36$ 
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} q-p = 8 \\ q+3p = -36 \end{cases}$
Penyelesaian sistem di atas adalah $p = -11$ dan $q = -3$. 
Jadi, nilai dari $\boxed{p=-11; q = -3}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui dua polinom, yaitu $x^3-4x^2+5x+a$ dan $x^2+3x-2$. Jika kedua polinom ini dibagi dengan $(x+1)$ sehingga sisa hasil baginya sama, maka nilai $a = \cdots \cdot$
A. $-2$                     C. $2$                       E. $9$
B. $1$                        D. $6$        

Pembahasan

Misalkan: 
$\begin{aligned} P(x) & = x^3-4x^2+5x+a \\ Q(x) & = x^2+3x-2 \end{aligned}$
dengan pembagi $D(x) = x +1$
Pembuat nol pembagi: $x = -1$
Dengan menggunakan metode Horner, untuk polinom $P(x)$ diperoleh 
$\begin{array}{c|cccc} & 1 & -4 & 5 & a \\ -1 & \downarrow & -1 & 5 & -10 \\ \hline & 1 & -5 & 10 & a-10 \end{array}$ 
Untuk polinom $Q(x)$ diperoleh 
$\begin{array}{c|ccc} & 1 & 3 & -2 \\ -1 & \downarrow & -1 & -2 \\ \hline & 1 & 2 & -4 \end{array}$
Karena sisa hasil baginya sama, didapat
$a – 10 = -4 \Leftrightarrow a = -4+10=6$
Jadi, nilai $\boxed{a=6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui $(x-2)$ adalah faktor $f(x) = 2x^3+ax^2+bx-2$. Jika $f(x)$ dibagi $(x+3)$, maka sisa hasil pembagiannya adalah $-50$. Nilai $a+b = \cdots \cdot$
A. $10$                        D. $-11$
B. $4$                          E. $-13$
C. $-6$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 2x^3+ax^2+bx-2$ memiliki faktor $(x-2)$ 
Pembuat nol pembagi: $x = 2$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$\begin{array}{c|cccc} & 2 & a & b & -2 \\ 2 & \downarrow & 4 & 2a+8 & 4a+2b+16 \\ \hline & 2 & a+4 & 2a+b+8 & 4a+2b+14 \end{array}$
Karena $(x-2)$ merupakan faktor $f(x)$, maka $4a+2b+14=0 \Leftrightarrow 2a+b=-7$
Diketahui $f(x)$ dibagi $(x+3)$ memiliki sisa hasil bagi $-50$. 
Pembuat nol pembagi: $x = -3$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$$\begin{array}{c|cccc} & 2 & a & b & -2 \\ -3 & \downarrow & -6 & -3a+18 & 9a-3b-54 \\ \hline & 2 & a-6 & -3a+b+18 & 9a-3b-56 \end{array}$$Karena bersisa $-50$, maka diperoleh
$9a-3b-56=-50 \Leftrightarrow 3a-b=2$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} 2a+b=-7 \\ 3a-b=2 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $a=-1$ dan $b=-5$. 
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{a+b=(-1)+(-5)=-6}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
$f(x)$ adalah suku banyak berderajat tiga. $(x^2+x-12)$ adalah faktor dari $f(x)$. Jika $f(x)$ dibagi oleh $(x^2+x-6)$ bersisa $(-6x+6)$, maka suku banyak tersebut adalah $\cdots \cdot$

A. $x^3-2x^2+13x+12$
B. $x^3+x^2-13x+12$
C. $x^3-13x+12$
D. $x^3-13x^2-12$
E. $x^3-2x^2+6$

Pembahasan

Diketahui bahwa:
$$\begin{aligned} f(x) & = (x^2 + x -2)H_1(x) && (\cdots 1) \\ f(x) & = (x^2 + x – 6)H_2(x) + (-6x + 6) && (\cdots 2) \end{aligned}$$Catatan: Karena $(x^2+x-2)$ merupakan faktor dari $f(x)$, maka sisa hasil baginya adalah $0$.
Pada persamaan $2$, bentuk $x^2 + x -6$ dapat difaktorkan menjadi $(x + 3)(x-2)$, sehingga dapat ditulis
$f(x) = (x+3)(x-2)H_2(x) + (-6x + 6)$
Substitusi $x = -3$ menghasilkan
$f(-3) = 0 + (-6(-3) + 6) = 24$
Substitusi $x = 2$ menghasilkan
$f(2) = 0 + (-6(2) + 6) = -6$
Misalkan hasil bagi $f(x)$ oleh $(x^2+x-12)$ adalah $H_1(x) = ax + b$, sehingga dapat ditulis
$f(x) = (x^2 + x -2)(ax + b)$
Substitusi $x = -3$, diperoleh
$\begin{aligned} f(-3) & = ((-3)^2 + (-3) -12)(-3a + b) \\ 24 & = -6(-3a + b) \\ -3a + b & = -4 \end{aligned}$
Substitusi $x = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} f(2) & = ((2)^2 + (2) -12)(2a + b) \\ -6 & = -6(2a + b) \\ 2a + b & = 1 \end{aligned}$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -3a + b = -4 \\ 2a + b = 1 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $a = 1$ dan $b = -1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} f(x) &= (x^2 + x -12)(x -1) \\ & = x^3 -13x + 12 \end{aligned}$
Jadi, suku banyak tersebut adalah $\boxed{x^3-13x+12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor-faktor suku banyak $x^3+ax^2-13x+b$. Jika $x_1, x_2$, dan $x_3$ adalah akar-akar suku banyak tersebut, maka nilai dari $x_1x_2x_3 = \cdots \cdot$
A. $-10$               C. $10$                   E. $20$
B. $8$                     D. $12$           

Pembahasan

Karena $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor-faktor suku banyak $x^3+ax^2-13x+b$, maka dapat ditulis
$x^3 + ax^2 -13x + b = (x-2)(x-1)H(x)$
dengan $H(x)$ sebagai hasil baginya.
Dengan menggunakan Metode Horner Dua Tingkat dengan pembuat nol pembagi $x = 2$ dan $x=1$, diperoleh
$\begin{array}{c|cccc} & 1 & a & -13 & b \\ 2 & \downarrow & 2 & 2a+4 & 4a-18 \\ \hline & 1 & a+2 & 2a-9 & \color{red}{4a+b-18} \\ 1 & \downarrow & 1 & a + 3 \\ \hline & 1 & a+3 & 3a-6 \end{array}$
Dari tahap II Skema Horner di atas, diperoleh $3a -6 = 0$, sehingga $a = \dfrac{6}{3} = 2$.
Dari tahap I Skema Horner di atas, diperoleh $4a + b -18 = 0$. Substitusi $a = 2$, diperoleh $4(2) + b – 18 = 0 \Leftrightarrow b = 10$
Dari baris terakhir Skema Horner, diperoleh hasil baginya adalah
$\begin{aligned} H(x) & = 1x + (a + 3) \\ & = x + (2 + 3) = x + 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, suku banyak itu adalah $(x-2)(x-1)(x+5)$ dengan akar-akarnya adalah $x_1 = 2; x_2 = 1; x_3 = -5$, sehingga
$\boxed{x_1x_2x_3=(2)(1)(-5) = -10}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Salah satu akar persamaan suku banyak $3x^3 + ax^2 -61x + 20$ adalah $4$. Jumlah akar-akar yang lain dari persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $-7$                 C. $-\dfrac{14}{3}$              E. $2$
B. $-2$                 D. $\dfrac{14}{3}$          

Pembahasan

Karena salah satu akar suku banyaknya adalah $4$, maka dapat ditulis
$3x^3 + ax^2 -61x + 20 = (x-4)H(x)$
dengan $H(x)$ sebagai hasil baginya.
Dengan menggunakan metode Horner dengan pembuat nol pembagi $x=4$, diperoleh 
$\begin{array}{c|cccc} & 3 & a & -61 & 20 \\ 4 & \downarrow & 12 & 4a+48 & 16a-52 \\ \hline &3 & a+12 & 4a-13 & 16a -32 \end{array}$
Diperoleh: $16a -32 = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{32}{16} = 2$
dengan hasil baginya $H(x) = 3x^2+(a+12)x+(4a-13)$.
Substitusi $a=2$, diperoleh $H(x) = 3x^2+14x-5$
Dengan demikian, suku banyaknya dapat ditulis
$\begin{aligned} & 3x^3 + 2x^2 -61x + 20 \\ & = (x-4)(3x^2+14x-5) \\ & = (x-4)(3x-1)(x+5) \end{aligned}$
Diperoleh dua akar yang lain, yaitu $x = \dfrac13; x = -5$.
Jumlah akarnya adalah $\boxed{\dfrac13 + (-5) = -\dfrac{14}{3}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Suku banyak $f(x) = 2x^3-px^2-28x+15$ habis dibagi oleh $(x-5)$. Salah satu faktor linear lainnya adalah $\cdots \cdot$
A. $x-3$                    D. $2x+1$
B. $x+2$                    E. $3x-1$
C. $2x-1$

Pembahasan

Diketahui: $f(x) = 2x^3-px^2-28x+15$
memiliki faktor $(x-5)$
Pembuat nol pembagi: $x = 5$. 
$$\begin{array}{c|cccc} & 2 & -p & -28 & 15 \\ 5 & \downarrow & 10 & -5p+50 & -25p+110 \\ \hline & 2 & -p+10 & -5p+22 & -25p+125 \end{array}$$Dengan demikian, diperoleh
$-25p+125=0 \Leftrightarrow p = \dfrac{0-125}{-25} = 5$
Hasil baginya adalah 
$H(x) = 2x^2+(-p+10)x+(-5p+22)$
Substitusi $p=5$, diperoleh
$H(x) = 2x^2+5x-3 = (2x-1)(x+3)$
Oleh karena itu, suku banyak tersebut dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} f(x) & = 2x^3 -5x^2 -28x + 15 \\ & = (2x-1)(x+3)(x-5) \end{aligned}$
Jadi, faktor linear lainnya dari $f(x)$ adalah $(2x-1)$ dan $(x+3)$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Salah satu faktor suku banyak $P(x)=x^4-15x^2-10x+n$ adalah $(x+2)$. Faktor lainnya adalah $\cdots \cdot$
A. $x-4$                    D. $x-6$
B. $x+4$                    E. $x-8$
C. $x+6$

Pembahasan

Diketahui: $P(x)=x^4+0x^3-15x^2-10x+n$
memiliki faktor $(x+2)$
Pembuat nol pembagi: $x = -2$. 
$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & 0 & -15 & -10 & n \\ -2 & \downarrow & -2 & 4 & 22 & -24 \\ \hline & 1 & -2 & -11 & 12 & n-24 \end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
$n-24=0 \Leftrightarrow n = 24$ 
Hasil baginya adalah
$H(x) = x^3 -2x^2 -11x + 12$
Perhatikan bahwa konstanta $12$ memiliki faktor bulat, yaitu $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 6$, dan $\pm 12$. 
Beberapa dari bilangan tersebut akan menjadi faktor dari $H(x)$. 
Substitusi $x=4$ pada $H(x)$, diperoleh
$\begin{aligned} H(4) & = 4^3 -2(4)^2 -11(4) + 12 \\ & = 64 -32 -44 + 12 = 0 \end{aligned}$
Karena $H(4) = 0$, maka $x-4$ merupakan salah satu faktor dari $H(x)$, sehingga sekarang dapat ditulis
$\begin{aligned} P(x) & = (x^3-2x^2-11x+12)(x+2) \\ & = (x^2+2x-3)(x-4)(x+2) \\ & = (x+3)(x-1)(x-4)(x+2) \end{aligned}$
Jadi, faktor lainnya dari $P(x)$ adalah $x-4$ (sesuai dengan alternatif pilihan yang diberikan). 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui $f(x)$ jika dibagi $(x-2)$ bersisa $13$, sedangkan jika dibagi dengan $(x+1)$ bersisa $-14$. Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2-x-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-9x-7$                     D. $9x+5$
B. $9x-5$                         E. $-9x-5$
C. $-9x+5$

Pembahasan

Diketahui:
$f(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa $13$;
$f(x)$ dibagi $(x+1)$ bersisa $-14$. 
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{cases} f(x) = (x-2)H_1(x) + 13 \\ f(x) = (x+1)H_2(x) -14 \end{cases}$
Substitusi $x = 2$ dan $x = -1$ berturut-turut pada persamaan pertama dan kedua, diperoleh
$\begin{cases} f(2) & = 13\\ f(-1) & = -14 \end{cases}$
Misalkan sisa hasil bagi $f(x)$ oleh $(x^2-x-2)$ adalah $(ax+b)$, yang satu derajat kurang dari pembaginya, sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = (x^2-x-2)H(x) + ax + b \\ & = (x-2)(x+1)H(x) + ax + b \end{aligned}$
Substitusi $x = 2$ dan $x = -1$ berturut-turut pada persamaan di atas, sehingga diperoleh
$\begin{cases} f(2) & = 2a + b = 13 \\ f(-1) & = -a + b = -14 \end{cases}$
Selesaikan SPLDV di atas untuk memperoleh $a = 9$ dan $b=-5$. 
Dengan demikian, sisa hasil baginya adalah $\boxed{S(x) = ax + b = 9x -5}$. 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi $(x^2-x-12)$ bersisa $(6x-2)$ dan jika dibagi $(x^2+2x+2)$ bersisa $(3x+4)$. Suku banyak itu adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{6}{13}x^3 -\dfrac{9}{13}x^2 + \dfrac{9}{13}x + \dfrac{10}{13}$
B. $\dfrac{6}{13}x^3 + \dfrac{9}{13}x^2 + \dfrac{9}{13}x + \dfrac{10}{13}$
C. $\dfrac{6}{13}x^3 -\dfrac{9}{13}x^2 -\dfrac{9}{13}x + \dfrac{10}{13}$
D. $\dfrac{6}{13}x^3 -\dfrac{9}{13}x^2 + \dfrac{9}{13}x -\dfrac{10}{13}$
E. $\dfrac{6}{13}x^3 + \dfrac{9}{13}x^2 -\dfrac{9}{13}x -\dfrac{10}{13}$

Pembahasan

Karena $f(x)$ merupakan polinomial berderajat $3$, maka hasil baginya ketika dibagi oleh $(x^2-x-12)$ pasti dalam bentuk linear. Ini juga sama ketika $f(x)$ dibagi oleh $(x^2+2x+2)$.
Untuk itu, dapat ditulis
$$\begin{cases} f(x) = (x^2-x-12)(ax+b)+(6x-2) & (\cdots 1) \\ f(x) = (x^2+2x+2)(cx+d) + (3x + 4) & (\cdots 2) \end{cases}$$Faktorkan pembagi pada persamaan pertama sehingga 
$$\begin{cases} f(x) = (x-4)(x+3)(ax+b)+(6x-2) & (\cdots 1) \\ f(x) = (x^2+2x+2)(cx+d) + (3x + 4) & (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusi $x = 4$ dan $x = -3$ berturut-turut pada persamaan pertama, sehingga diperoleh
$\begin{cases} f(4) = 6(4) -2 = 22 \\ f(-3) = 6(-3) -2 = -20 \end{cases}$
Sekarang, substitusi $x=4$ pada persamaan kedua. 
$$\begin{aligned} f(x) & = (x^2+2x+2)(cx+d) + (3x + 4) \\ f(4) & = (4^2+2(4)+2)(4c+d) + (3(4)+4) \\ 22 & = 26(4c+d) + 16 \\ 6 & = 26(4c+d) \\ 3 & = 13(4c +d) \Leftrightarrow 52c + 13d = 3 \end{aligned}$$Substitusi $x = -3$ menghasilkan
$$\begin{aligned} f(x) & = (x^2+2x+2)(cx+d) + (3x + 4) \\ f(-3) & = ((-3)^2+2(-3)+2)(-3c+d) + (3(-3)+4) \\ -20 & = 5(-3c+d) -5 \\ -15 & = 5(-3c+d) \Leftrightarrow -3c + d= -3 \end{aligned}$$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} 52c+ 13d = 3 & (\cdots 1) \\ -3c +d = -3 & (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 52c + 13d & = 3 \\ -3c+d & = -3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 13 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 52c+13d & = 3 \\ -39c + 13d & = -39 \end{aligned} \\ & \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 91c & = 42 \\ c & = \dfrac{42}{91} = \dfrac{6}{13} \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan $c = \dfrac{6}{13}$ ke salah satu persamaan, misalkan pada persamaan kedua. 
$\begin{aligned} -3c + d & = -3 \\ -3\left(\dfrac{6}{13}\right) + d & = -3 \\ d & = -3 + \dfrac{18}{13} = -\dfrac{21}{13} \end{aligned}$
Dengan demikian, sekarang dapat ditulis
$$\begin{aligned} f(x) & = (x^2+2x+2)\left(\dfrac{6}{13}x-\dfrac{21}{13}\right) + (3x + 4) \\ & = \dfrac{6}{13}x^3 – \dfrac{9}{13}x^2 + \dfrac{9}{13}x + \dfrac{10}{13} \end{aligned}$$Jadi, suku banyak $f(x)$ adalah $\boxed{\dfrac{6}{13}x^3 -\dfrac{9}{13}x^2 + \dfrac{9}{13}x + \dfrac{10}{13}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui $(x+2)$ dan $(x+1)$ adalah faktor-faktor dari suku banyak $f(x)=2x^4+tx^3$ $-9x^2+nx+4$. Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah $x_1,x_2,x_3$, dan $x_4$ untuk $x_1<x_2<x_3<x_4$, maka nilai $2(x_1+x_2+x_3)-x_4 = \cdots \cdot$
A. $-9$                   C. $-5$                  E. $-1$
B. $-7$                   D. $-3$        

Pembahasan

Karena $(x+2)$ dan $(x+1)$ adalah faktor-faktor dari suku banyak $f(x)=2x^4+tx^3-9x^2+nx+4$, maka ditulis
$\begin{aligned} & 2x^4+tx^3-9x^2+nx+4 \\ & = (x+2)(x+1)H(x) \end{aligned}$
dengan $H(x)$ sebagai hasil baginya. 
Dengan menggunakan Metode Horner Dua Tingkat untuk pembuat nol pembagi $x = -2$ dan $x=-1$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 2 & t & -9 & n & 4 \\ -2 & \downarrow & -4 & -2t+8 & 4t+2 & -2n-8t-4 \\ \hline & 2 & t-4 & -2t-1 & n+4t+2 & \color{red} -2n-8t \\ -1 & \downarrow & -2 & -t+6& 3t-5 \\ \hline & 2 & t-6 & -3t+5 & \color{blue}n+7t-3 \end{array}$$Diperoleh SPLDV:
$\begin{cases} -2n -8t = 0 \Leftrightarrow n + 4t = 0 \\ n + 7t -3 = 0 \Leftrightarrow n + 7t = 3 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $n = -4$ dan $t = 1$. 
Dari barisan terakhir skema Horner di atas, diperoleh hasil baginya adalah
$H(x) = 2x^2 + (t-6)x + (-3t+5)$
Substitusi $t = 1$ menghasilkan
$H(x) = 2x^2-5x+2 = (2x-1)(x-2)$
Dengan demikian, suku banyak $f(x)$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} 2x^4+x^3&-9x^2-4x+4 = (x+2)\\ & (x+1)(2x-1)(x-2) \end{aligned}$
sehingga akar-akarnya adalah
$x_1 = -2; x_2 = -1, x_3 = \dfrac12; x_4 = 2$
Jadi, nilai dari $2(x_1+x_2+x_3)-x_4$ adalah $\boxed{2\left(-2+(-1)+\dfrac12\right)-2 = -7}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui suku banyak $f(x) = 2x^4+(p+2)x^2$ $+qx-8$. Jika $f(x)$ dibagi $(x+1)$ bersisa $-2$ dan jika $f(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa $22$, maka sisa pembagian suku banyak $f(x)$ oleh $(x-p) (x-q)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $90x+82$                   D. $-87x-89$
B. $89x-87$                   E. $-89x+87$
C. $87x-85$

Pembahasan

Diketahui: $f(x) = 2x^4+0x^3+(p+2)x^2+qx-8$ 
$f(x)$ dibagi $(x+1)$ bersisa $-2$, sehingga dengan menggunakan metode Horner, didapat
$$\begin{array}{c|ccccc} & 2 & 0 & p+2 & q & -8 \\ -1 & \downarrow & -2 & 2 & -p-4 & -q+p+4 \\ \hline & 2 & -2 & p + 4 & q-p-4 & \color{red} {-q+p-4} \end{array}$$Karena bersisa $-2$, berarti
$-q + p -4 = -2 \Leftrightarrow p -q = 2$
Selanjutnya, $f(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa $22$, sehingga dengan menggunakan metode Horner, didapat
$$\begin{array}{c|ccccc} & 2 & 0 & p+2 & q & -8 \\ 2 & \downarrow & 4 & 8 & 2p+20 & 2q+4p+40 \\ \hline & 2 & 4 & p+10 & q+2p+20 & \color{red}{2q + 4p + 32} \end{array}$$Karena bersisa $22$, berarti
$2q + 4p + 32 = 22 \Leftrightarrow 2p + q = -5$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} p -q = 2 \\ 2p + q = -5 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $p = -1$ dan $q = -3$. 
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} f(x) & = 2x^4 + (p+2)x^2+qx-8 \\ & = 2x^4 + x^2 -3x -8 \end{aligned}$
Misalkan $f(x)$ dibagi oleh $(x-p) (x-q) = (x+1)(x+3)$ bersisa $(ax + b)$, sehingga dapat ditulis
$f(x) = (x+1)(x+3)H(x) + (ax + b)$
Substitusi $x = -1$, didapat
$\begin{aligned} f(-1) & = -a + b \\ 2(-1)^4 + (-1)^2 -3(-1) -8 & = -a + b \\ 2 + 1 + 3 -8 & = -a+b \\ -2 & = -a + b \end{aligned}$
Substitusi $x = -3$, didapat
$\begin{aligned} f(-3) & = -3a + b \\ 2(-3)^4 + (-3)^2 – 3(-3) – 8 & = -3a + b \\ 162 + 9 + 9 -8 & = -3a+b \\ 172 & = -3a + b \end{aligned}$ 
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -a + b & = -2 \\ -3a + b & = 172 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $a = -87$ dan $b = -89$. 
Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{ax + b = -87x -89}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $x^4 + ax^3 + (b-10)x^2 + 24x -15$ $= f(x) (x-1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$, maka nilai $b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$                     C. $4$                     E. $1$
B. $6$                     D. $2$          

Pembahasan

$f(x)$ dapat dinyatakan sebagai
$f(x) = \dfrac{x^4 + ax^3 + (b-10)x^2 + 24x -15}{x-1}$
Dengan menggunakan Metode Horner dua tingkat, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & a & b-10 & 24 & -15 \\ 1 & \downarrow & 1 & a+1 & a+b-9 & a+b+15 \\ \hline & 1 & a+1 & a+b-9 & a+b+15 & \color{red}{a+b=0} \\ 1 & \downarrow & 1 & a+2 & 2a+b-7 \\ \hline & 1 & a+2 & 2a+b-7 & \color{red}{3a+2b+8=0} \end{array}$$Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} a + b = 0 \\ 3a + 2b = -8 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + b & = 0 \\ 3a + 2b & = -8 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 3a+3b & = 0 \\ 3a+2b & = -8 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} b & = 8 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Polinom $P(x) = (x-a)^7 + (x -b)^6 + (x-3)$ habis dibagi oleh $f(x) = x^2 -(a+b)x + ab$. Jika $a \neq b, a \neq 4$, maka nilai $b = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{3a-a^2+3}{4-a}$                D. $\dfrac{3a-a^2-3}{4-a}$
B. $\dfrac{3a+a^2+3}{4-a}$                E. $\dfrac{3a-a^2+3}{a-4}$
C. $\dfrac{3a+a^2-3}{4-a}$ 

Pembahasan

Perhatikanlah bahwa 
$f(x) = x^2 – (a+b)x + ab = (x-a) (x-b)$
Ini artinya, $x=a$ dan $x=b$ akan mengakibatkan $p(x) = 0$, karena $(x-a) (x-b)$ merupakan faktornya. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} (x-a)^7 &+ (x -b)^6 + (x-3) = (x-a)\\ & (x-b)H(x) \end{aligned}$
Substitusi $x=a$, diperoleh
$\begin{aligned} (a-a)^7 + (a-b)^6 + (a-3) & = 0 \\ (a-b)^6 & = 3-a \end{aligned}$
Substitusi $x=b$, diperoleh
$$\begin{aligned} (b-a)^7 + (b-b)^6 + (b-3) & = 0 \\ -(a-b)^7 + 0 + b – 3 & = 0 \\ -(a-b)(a-b)^6 + b – 3 & = 0 \\ \text{Substitusikan}~(a-b)^6 & = 3-a \\ -(a-b) (3-a) + b – 3 & = 0 \\ (-3a+3b+a^2-ab) +b-3 & = 0 \\ (4-a)b & = 3a-a^2+3 \\ b & = \dfrac{3a-a^2+3}{4-a} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{b = \dfrac{3a-a^2+3}{4-a}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Sisa pembagian $Ax^{2014} + x^{2015} -B(x-2)^2$ oleh $x^2-1$ adalah $5x-4$. Nilai $A+B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$                     C. $0$                   E. $4$
B. $-2$                     D. $2$           

Pembahasan

Misalkan $p(x) = Ax^{2014} + x^{2015} – B(x-2)^2$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} p(x) & = (x^2-1)H(x) + (5x-4) \\ & = (x+1)(x-1)H(x)+(5x-4) \end{aligned}$
Substitusi $x=-1$, diperoleh
$$\begin{aligned} p(-1) & = 5(-1)-4 \\ A(-1)^{2014} + (-1)^{2015} -B(-1-2)^2 & = -9 \\ A -1 -B(-3)^2 & = -9 \\ A -9B & = -8 \end{aligned}$$Substitusi $x=1$, diperoleh
$\begin{aligned} p(1) & = 5(1)-4 \\ A(1)^{2014} + (1)^{2015} -B(1-2)^2 & = 1 \\ A + 1 -B(-1)^2 & = 1 \\ A – B & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} A -9B & = -8 \\ A -B & = 0 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $A = B = 1$, sehingga nilai dari $\boxed{A+B=1+1=2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui $p(x) = ax^5+bx-1$, dengan $a$ dan $b$ konstan. Jika $p(x)$ dibagi oleh $(x-2.006)$ bersisa $3$, maka $p(x)(x+2.006)$ akan bersisa $\cdots \cdot$
A. $-1$                 C. $-3$              E. $-5$
B. $-2$                 D. $-4$       

Pembahasan

Diketahui: $p(x) = ax^5+bx-1$
Karena $p(x)$ dibagi $(x-2.006)$ bersisa $3$, maka ditulis
$p(x) = (x-2.006)H(x) + 3$
dengan $H(x)$ sebagai hasil baginya. 
Substitusi $x=2.006$, diperoleh
$p(2.006) = 3 = a(2.006)^5 + 2.006b-1$
atau ditulis
$\color{red} {2.006b = 4 -a(2.006)^5}$
Misalkan $p(x)$ dibagi $(x+2.006)$ bersisa $m$, sehingga
$p(x) = (x+2.006)K(x) + m$
Substitusi $x=-2.006$, diperoleh
$$\begin{aligned} p(-2.006) & = m \\ m & =  a(-2.006)^5 -2.006b -1 \\  m & = a(-2.006)^5 -(\color{red} {4 -a(2.006)^5}) – 1 \\ m & = -4 -1 = -5 \end{aligned}$$Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{-5}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 19
Nilai $m+n$ yang mengakibatkan
$x^4-6ax^3+8a^2x^2-ma^3x+na^4$
habis dibagi oleh $(x-a)^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                     C. $0$                    E. $-2$
B. $1$                     D. $-1$          

Pembahasan

Misalkan $f(x) = \dfrac{x^4-6ax^3+8a^2x^2-ma^3x+na^4}{(x-a)^2}$
Dengan menggunakan Metode Horner untuk $x = a$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -6a & 8a^2 & -ma^3 & na^4 \\ a & \downarrow & a & -5a^2 & 3a^3 & (-m+3)a^4 \\ \hline & 1 & -5a & 3a^2 & (-m+3)a^3 & \color{red}{(-m+3+n)a^4 = 0} \\ a & \downarrow & a & & -4a^2 & -a^3 \\ \hline & 1 & -4a & -a^2 & \color{red}{(-m+2)a^3 = 0} \end{array}$$Dari persamaan $(-m+2)a^3 = 0$, diperoleh $-m + 2 = 0$, sehingga $m=2$. 
Substitusi $m=2$ pada persamaan $(-m+3+n)a^4 = 0$, sehingga didapat
$-2 + 3 + n= 0 \Leftrightarrow n = -1$
Jadi, nilai dari $\boxed{m+n=2+(-1)=1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika suku banyak $f(x)$ berderajat $5$ habis dibagi $(x^2-4)$, maka sisa $f(x)$ dibagi oleh $(x-2)(x+2)(x+3)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13f(3)(x+2)$
B. $\dfrac13f(3)(x-3)$
C. $\dfrac13f(3)(x^2-4)$
D. $\dfrac13f(3)(x^2-5x+6)$
E. $\dfrac13f(3)(x+3)$

Pembahasan

Misalkan $f(x)$ dibagi oleh $(x-2)(x+2)(x+3)$ bersisa $(ax^2+bx+c)$ (sisanya polinomial berderajat dua karena pembaginya berderajat tiga). 
Dengan demikian, dapat ditulis
$f(x) = (x-2)(x+2)(x+3)H(x)$ $+ (ax^2+bx+c)$
Karena $f(x)$ habis dibagi oleh $x^2-4 = (x+2)(x-2)$, maka substitusi $x = 2$ menghasilkan
$f(2) = 4a + 2b + c = 0 \tag{1}$
dan substitusi $x=-2$ menghasilkan
$f(-2) = 4a -2b + c = 0 \tag{2}$
Eliminasi $b$ pada kedua persamaan di atas sehingga diperoleh
$8a + 2c = 0 \Leftrightarrow c = -4a$
Eliminasi $4a + c$ pada kedua persamaan di atas sehingga diperoleh $b = 0$. 
Selanjutnya, substitusi $x = 3$ pada $f(x)$, sehingga diperoleh
$f(3) = 9a + 3b + c$
Karena $b = 0$ dan $c = -4a$, maka
$f(3) = 9a + 0 + (-4a) \Leftrightarrow a = \dfrac15f(3)$
Dengan demikaian, 
$c = -4a = -4\left(\dfrac15f(3)\right) = -\dfrac45f(3)$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} S(x) & = ax^2+bx+c \\ & = \dfrac15f(3)x^2 + 0 -\dfrac45f(3) \\ & = \dfrac15f(3)(x^2-4) \end{aligned}$
Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{\dfrac15f(3)(x^2-4)}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Apabila akar-akar persamaan $x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0$ membentuk barisan aritmetika dengan beda $2$, maka haruslah $\cdots \cdot$
A. $a = -8, b = -15, c = 16$
B. $a = -16, b = 8, c = -15$
C. $a = 8, b = 15, c = -16$
D. $a = 14, b = -8, c = -15$
E. $a = 14, b = -8, c = 15$

Pembahasan

Karena persamaan itu berderajat $4$, maka ada paling banyak $4$ akar yang memenuhi.
Misalkan $x_1, x_2, x_3, x_4$ merupakan akar-akar persamaan suku banyak tersebut.
Berdasarkan Teorema Vieta, kita peroleh
$\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 & = -\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x^3}{\text{Koefi}\text{sien}~x^4} \\ & = -\dfrac{-8}{1} \\ & = 8~~\bigstar \end{aligned}$
Keempat akar itu membentuk barisan aritmetika dengan beda $2$, sehingga jika dimisalkan $x_1$ sebagai suku pertama, maka $x_2, x_3, x_4$ ketiganya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} x_2 & = x_1 + 2 \\ x_3 & = x_1 + 4 \\ x_4 & = x_1 + 6 \end{aligned}$
Dari $\bigstar$, kita peroleh
$\begin{aligned} x_1 + (x_1 + 2) + (x_1 + 4) + (x_1 + 6) & = 8 \\ 4x_1 + 12 & = 8 \\ 4x_1 & = -4 \\ x_1 & = -1 \end{aligned}$
Untuk itu, didapat $x_2 = 1$, $x_3 = 3$, dan $x_4 = 5$ sehingga ruas kiri persamaan suku banyak dapat ditulis dalam pemfaktoran:
$(x+1)(x-1)(x-3)(x-5) = 0$
Jika kita jabarkan kembali, diperoleh
$\begin{aligned} (x^2-1)(x^2-8x+15) & = 0 \\ x^4-8x^3+15x^2-x^2+8x-15 & = 0 \\ x^4-8x^3+\underbrace{14}_{a} x^2-\underbrace{(-8)}_{b}x+\underbrace{(-15)}_{c} & = 0 \end{aligned}$
yang didasari pada persamaan semula: $x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0$.
Jadi, nilai $a = 14$, $b = -8$, dan $c = -15$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Diketahui persamaan polinomial $2x^3+3x^2+px+8=0$ memiliki sepasang akar yang berkebalikan. Nilai $p = \cdots \cdot$
A. $-18$                  C. $0$                   E. $18$
B. $-9$                    D. $9$

Pembahasan

Persamaan $\color{red}{2}x^3+3x^2+px+\color{blue}{8}=0$ berderajat tiga sehingga paling banyak memiliki $3$ akar.
Misalkan ketiga akar itu adalah $x_1, x_2$, dan $x_3$. Sepasang akar diketahui berkebalikan, yaitu $x_1 = \dfrac{1}{x_2}$, ekuivalen dengan $x_1x_2 = 1$.
Berdasarkan Teorema Vieta, hasil kali ketiga akar itu dinyatakan oleh
$\begin{aligned} x_1x_2x_3 & = -\dfrac{d}{a} \\ (1)x_3 & = -\dfrac{\color{blue}{8}}{\color{red}{2}} \\ x_3 & = -4 \end{aligned}$
Substitusi $x = -4$ pada persamaan polinomial tersebut.
$$\begin{aligned} 2x^3+3x^2+px+8 & =0 \\ \implies 2(-4)^3 + 3(-4)^2 + p(-4) + 8 & = 0 \\ -128 + 48-4p+8 & = 0 \\ -4p & = 72 \\ p & = -18 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{p=-18}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 23 ($\bigstar$ OLIM $\bigstar$)
Diberikan suatu polinomial $p(x)$ dengan $p(p(x)) = x^4+4x^3+8x^2+8x+4$. Nilai dari $\displaystyle \sum_{i=1}^{29} p(i) = \cdots \cdot$
A. $9454$                        D. $20184$
B. $10434$                      E. $25254$
C. $16824$

Pembahasan

Diketahui bahwa $p(p(x))$ adalah polinom monik berderajat $4$.
Agar ini terpenuhi, $p(x)$ haruslah merupakan polinom monik berderajat $2$.
Misalkan $p(x) = x^2+bx+c$.
Akibatnya, kita peroleh
$$\begin{aligned} p(p(x)) & = (p(x))^2 + b(p(x))+c \\ & = (x^2+bx+c)^2+b(x^2+bx+c)+c \\ & = x^4+2x^2(bx+c)+(bx+c)^2+bx^2+b^2x+bc+c \\ & = x^4+(2bx^3+2cx^2)+(b^2x^2+2bcx + c^2) + bx^2 + b^2x + bc + c \\ & = x^4 + 2bx^3 + (2c + b^2 + b)x^2 + (2bc + b^2)x + (c^2+c+bc) \end{aligned}$$Bandingkan koefisien tiap suku dengan $p(p(x)) = x^4+4x^3+8x^2+8x+4$.
Pada kesamaan koefisien $x^3$, kita peroleh $2b = 4$ yang berarti $b = 2$.
Sekarang, pada kesamaan koefisien $x^2$, kita substitusikan $b = 2$ untuk mendapatkan nilai $c$.
$\begin{aligned} 2c + b^2 + b & = 8 \\ \implies 2c + (2)^2 + 2 & = 8 \\ 2c + 6 & = 8 \\ 2c & = 2 \\ c & = 1 \end{aligned}$
Didapat $p(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^{29} p(i) & = 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + 30^2 \\ & = (\underbrace{1^2+2^2+3^2+\cdots+30^2}_{*})-1^2 \\ & = \dfrac{\cancelto{5}{30} \cdot (30+1) \cdot (2 \cdot 30 + 1)}{\cancel{6}}-1 \\ & = 5 \cdot 31 \cdot 61-1 \\ & = 9454 \end{aligned}$
Catatan:
$$\boxed{1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}~~~*}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{i=1}^{29} p(i) = 9454}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Dekomposisi Pecahan Parsial

Soal Nomor 24
Jika suku banyak $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ dibagi $x^2-x$ bersisa $x+2$ dan jika $xf(x) + g(x)$ dibagi $x^2+x-2$ bersisa $x-4$, maka nilai $f(1)= \cdots \cdot$
A. $\dfrac34$                   C. $0$                     E. $-\dfrac34$
B. $\dfrac12$                   D. $-\dfrac12$

Pembahasan

Diketahui $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ dibagi $x^2-x$ bersisa $x+2$. Kita tuliskan,
$\begin{aligned} \dfrac{g(x)}{f(x)} & = (x^2-x)H_1(x) + (x + 2) \\ & = x(x-1)H_1(x) + (x + 2) \end{aligned}$
Substitusi $x = 1$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{g(1)}{f(1)} & = 0 + (1 + 2) \\ \color{blue}{g(1)} & \color{blue}{= 3f(1)} \end{aligned}$
Diketahui juga $xf(x) + g(x)$ dibagi $x^2+x-2$ bersisa $x-4$. Kita tuliskan,
$$\begin{aligned} xf(x) + g(x) & = (x^2+x-2)H_2(x) + (x-4) \\ & = (x+2)(x-1)H_1(x) + (x-4) \end{aligned}$$Substitusi $x = 1$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} 1f(1) + g(1) & = 0 + (1-4) \\ f(1) + \color{blue}{g(1)} & = -3 \\ f(1) + \color{blue}{3f(1)} & = -3 \\ 4f(1) & = -3 \\ f(1) & = -\dfrac34 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f(1) = -\dfrac34}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $(x^2-4)$ mempunyai sisa $(ax+a)$ dan suku banyak $g(x)$ dibagi $(x^2-9)$ bersisa $(ax+a-5)$. Jika sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x+2)$ sama dengan sisa pembagian $g(x)$ oleh $(x-3)$ serta $f(-3) = g(2) = -2$, maka sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x^2+x-6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4x-2$                     D. $-4x+2$
B. $4x+2$                     E. $2x-4$
C. $-4x-2$

Pembahasan

Diberikan:
$\begin{aligned} f(x) & = (x^2-4)H_1(x) + ax+a \\ & = (x+2)(x-2)H_1(x)+ax+a \end{aligned}$
Jika $x = -2$, kita peroleh
$f(-2) = 0 + a(-2)+a = -a$.
Jika $x = 2$, kita peroleh
$f(2) = 0 + a(2) + a = 3a$.
Diberikan juga:
$$\begin{aligned} g(x) & = (x^2-9)H_2(x) + ax+a-5 \\ & = (x+3)(x-3)H_2(x)+ax+a-5 \end{aligned}$$Jika $x = -3$, kita peroleh
$g(-3) = 0 + a(-3)+a-5 = -2a-5$.
Jika $x = 3$, kita peroleh
$g(3) = 0 + a(3) + a-5= 4a-5$.
Sekarang, kita misalkan sisa hasil bagi $f(x)$ oleh $(x+2)$ dan $g(x)$ oleh $(x-3)$ adalah $k$, maka kita dapat tuliskan
$\begin{aligned} f(x) & = (x+2)H_3(x) + k && (1) \\ g(x) & = (x-3)H_4(x) + k && (2) \end{aligned}$
Dari persamaan polinomial pertama, ambil $x = -2$ dan kita peroleh $f(-2) = k = -a$.
Dari persamaan polinomial kedua, ambil $x = 3$ dan kita peroleh $g(3) = k = 4a-5$.
Akibatnya, $-a = 4a-5$ sehingga $a = 1$.
Karena itu, berturut-turut didapat
$\begin{aligned} g(-3) & = -2(1)-5 = -7 \\ f(2) & = 3(1) = 3 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x^2+x-6$, dimisalkan $cx + d$.
Catat bahwa $f(-3) = -2$, $g(-3) = -7$, $f(2) = 3$, dan $g(2) = -2$.
$$\begin{aligned} f(x)g(x) & = (x^2+x-6)H_5(x) + cx + d \\ & = (x+3)(x-2)H_5(x) + cx + d \end{aligned}$$Substitusi $x = -3$, didapat
$\begin{aligned} f(-3)g(-3) & = -3c + d \\ (-2)(-7) & = -3c + d \\ 14 & = -3c + d && (\cdots 1) \end{aligned}$
Substitusi $x = 2$, didapat
$\begin{aligned} f(2)g(2) & = 2c + d \\ (3)(-2) & = 2c + d \\ -6 & = 2c + d && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari dua persamaan di atas, kita akan memperoleh $c = -4$ dan $d = 2$. Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{-4x+2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 26
Misalkan $a, b, c$ adalah bilangan-bilangan real berbeda yang memenuhi
$$\begin{cases} a^3 & = 3(b^2+c^2)-25 \\ b^3 & = 3(a^2+c^2)-25 \\ c^3 & = 3(a^2+b^2)-25 \end{cases}$$Nilai $abc = \cdots \cdot$
A. $-2$                   C. $1$                   E. $3$
B. $-1$                   D. $2$

Pembahasan

Misalkan $a^2+b^2+c^2 = p$.
Dengan demikian, tiga persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{cases} a^3 & = 3(p-a^2)-25 \\ b^3 & = 3(p-b^2)-25 \\ c^3 & = 3(p-c^2)-25 \end{cases}$$Perhatikan bahwa $a, b, c$ dapat diasumsikan sebagai akar dari polinom
$$\begin{aligned} x^3 & = 3(p-x^2)-25 \\ x^3 & = 3p-3x^2-25 \\ x^3+3x^2+25-3p & = 0 \\ \underbrace{1}_{k}x^3 + \underbrace{3}_{l}x^2 + \underbrace{0}_{m}x + \underbrace{(25-3p)}_{n} & = 0 \end{aligned}$$Berdasarkan Teorema Vieta, kita peroleh
$$\begin{aligned} a + b + c & = -\dfrac{l}{k} = -\dfrac{3}{1} = -3 \\ ab+ac+bc & = \dfrac{m}{k} = 0 \end{aligned}$$Karena dimisalkan $a^2+b^2+c^2 = p$, maka kita tuliskan
$$\begin{aligned} (a+b+c)^2-2(ab+ac+bc) & = p \\ (-3)^2-2(0) & = p \\ 9 & = p \end{aligned}$$Dengan menggunakan Teorema Vieta untuk hasil kali ketiga akar pada polinom di atas, kita peroleh
$$\begin{aligned} abc & = -\dfrac{n}{k} \\ & = -(25-3p) \\ & = -(25-3(9)) \\ & = -(25-27) = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{abc = 2}$
(Jawaban D)

[collapse]
 

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Carilah nilai fungsi berikut dengan menggunakan metode skematik Horner. 
a) $P(2)$ jika $P(x) = 4x^2+3x+2$
b) $P(-1)$ jika $P(x) = 5-x^2+3x^4$

Pembahasan

Jawaban a) 
Diketahui: $P(x) = 4x^2+3x+2$
Susun koefisien variabel $P(x)$ mulai dari terbesar ke terkecil, kemudian gunakan algoritma Horner. 
$\begin{array}{c|ccc} & 4 & 3 & 2 \\ 2 & \downarrow & 8 & 22 \\\hline & 4 & 11 & 24 \end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{P(2)=24}$
Jawaban b) 
Diketahui: $P(x) = 5-x^2+3x^4$
Susun menjadi: $P(x) = 3x^4+0x^3-x^2+0x + 5$
Susun koefisien variabel $P(x)$ mulai dari terbesar ke terkecil, kemudian gunakan algoritma Horner. 
$\begin{array}{c|ccccc} & 3 & 0 & -1 & 0 & 5 \\ -1 & \downarrow & -3 & 3 & -2 & 2 \\\hline & 3 & -3 & 2 & -2 & 7 \end{array}$ 
Jadi, nilai dari $\boxed{P(-1) = 7}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan hasil bagi dan sisa hasil bagi dari:
a) $3x^2-2x-7$ dibagi oleh $x-3$
b) $3x^4-7x-20$ dibagi oleh $x+2$

Pembahasan

Jawaban a) 
Misal $P(x) = 3x^2-2x-7$
Cara 1: Metode Horner
Pembuat nol pembagi: $x = 3$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh
$\begin{array}{c|ccc} & 3 & -2 & -7 \\ 3 & \downarrow & 9 & 21 \\ \hline & 3 & 7 & 14 \end{array}$ 
Diperoleh, hasil baginya adalah $H(x) = 3x+7$ dan sisa hasil baginya $S(x) = 14$.
Cara 2: Metode Pembagian Bersusun
$\dfrac{3x^2-2x-7}{x-3}$

Diperoleh, hasil baginya adalah $H(x) = 3x+7$ dan sisa hasil baginya $S(x) = 14$.

Jawaban b) 
Misal $P(x) = 3x^4+0x^3+0x^2-7x-20$
Cara 1: Metode Horner
Pembuat nol pembagi: $x = -2$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$\begin{array}{c|ccccc} & 3 & 0 & 0 & -7 & -20 \\ -2 & \downarrow & -6 & 12 & -24 & 62 \\\hline & 3 & -6 & 12 & -31 & 42 \end{array}$
Diperoleh, hasil baginya adalah $H(x) = 3x^3-6x^2+12x-31$ dan sisa hasil baginya $S(x) = 42$.
Cara 2: Metode Pembagian Bersusun
$\dfrac{3x^4+0x^3+0x^2-7x-20}{x+2}$

Diperoleh, hasil baginya adalah $H(x) = 3x^3-6x^2+12x-31$ dan sisa hasil baginya $S(x) = 42$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika suku banyak $x^4-ax^3-(a-b)x^2$ $+ (3a+b+2)x -3a-b$ dibagi oleh $x^2+x-2$, maka sisanya adalah $x-3$. Tentukan nilai $a+b$.

Pembahasan

Misalkan $p(x) = x^4-ax^3-(a-b)x^2$ $+ (3a+b+2)x -3a-b$
sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} p(x) & = (x^2+x-2)H(x) + (x-3) \\ & = (x+2)(x-1)H(x) + (x-3) \end{aligned}$
Jika $x = -2$, diperoleh $p(-2) = -5$. 
Jika $x=1$, diperoleh $p(1) = -2$. 
Dengan menggunakan Metode Horner untuk $x=-2$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -a & -a+b & 3a+b+2 & -3a-b \\ -2 & \downarrow & -2 & 2a+4 & -2a-2b-8 & -2a+2b+12 \\ \hline & 1 & -a-2 & a+b+4 & a-b-6 & \color{red}-5a + b + 12 \end{array}$$Karena bersisa $p(-2) = -5$, maka diperoleh
$-5a + b + 12 =-5 \Leftrightarrow -5a+b=-17$
Dengan menggunakan Metode Horner untuk $x=1$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -a & -a+b & 3a+b+2 & -3a-b \\ 1 & \downarrow & 1 & -a+1 & -2a+b+1 & a+2b+3 \\ \hline & 1 & -a+1 & -2a+b+1 & a+2b+3 & \color{red}{-2a+b+3} \end{array}$$Karena bersisa $p(1) = -2$, maka diperoleh
$-2a + b + 3=-2\Leftrightarrow -2a+b=-5$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -5a+b & = -17 \\ -2a + b & = -5 \end{cases}$
Penyelesaian sistem di atas adalah $a = 4$ dan $b = 3$. 
Jadi, nilai dari $\boxed{a=4; b = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan nilai $a$ dan $b$ sehingga $x^4 -ax^3 -(6a+5b)x^2 + abx + 144$ habis dibagi oleh $x^2+6x+8$.

Pembahasan

Misalkan: $p(x) = x^4 -ax^3 -(6a+5b)x^2$ $+ abx + 144$
Pembagi: $D(x) = x^2+6x+8 =(x+4)(x+2)$
Dengan menggunakan Metode Horner untuk $x = -4$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -a & -6a-5b & ab & 144 \\ -4 & \downarrow & -4 & 4a + 16& 8a+20b-64 & (1) \\ \hline & 1 & -a-4 & -2a-5b+16 & 8a+20b+ab-64 & \color{red}{(2)} \end{array}$$dengan $(1) = -32a-80b-4ab+256$ dan
$(2) = -32a -80b -4ab + 400$. 
Karena $(x+4)$ merupakan salah satu faktor $p(x)$, maka berlaku
$\color{blue}{-32a -80b -4ab + 400 = 0}$
Berikutnya, dengan menggunakan Metode Horner untuk $x = -2$, diperoleh

$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -a & -6a-5b & ab & 144 \\ -2 & \downarrow & -2 & 2a + 4 & 8a+10b-8 & (3) \\ \hline & 1 & -a-2 & -4a-5b+4 & 8a+10b+ab-8 & \color{red}{(4)} \end{array}$$dengan $(3) = -16a-20b-2ab+16$ dan
$(4) = -16a -20b -2ab + 160$. 
Karena $(x+2)$ merupakan salah satu faktor $p(x)$, maka berlaku
$\color{blue}{-16a -20b -2ab + 160 = 0}$ 
Diperoleh SPL:
$\begin{cases} -32a -80b -4ab + 400 & = 0 \\ -16a -20b -2ab + 160 & = 0 \end{cases}$
Penyelesaian sistem di atas adalah $a = 6$ dan $b = 2$. 
Jadi, nilai $\boxed{a=6; b = 2}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika $(x+2y-3)$ adalah faktor dari suku banyak $ax^2+bxy+cy^2-5x+11y-3$, tentukan nilai dari $a, b$, dan $c$.

Pembahasan

Misalkan $f(x)=ax^2+bxy+cy^2-5x+11y-3$. Perhatikan bahwa $x+2y-3 = x-(3-2y)$ merupakan faktor dari $f(x)$ sehingga $f(3-2y) = 0$.
Dari sini, kita dapatkan
$$\begin{aligned} a(3-2y)^2+b(3-2y)y + cy^2-5(3-2y)+11y-3 & = 0 \\ a(9-12y+4y^2)+b(3y-2y^2)+cy^2-15+10y+11y-3 & = 0 \\ (4a-2b+c)y^2+(-12a+3b+21)y+(9a-18) & = 0 \end{aligned}$$Agar ruas kanan bernilai $0$, maka semua koefisien dan konstanta pada ruas kiri harus dibuat menjadi $0$.
Pada konstanta, diperoleh $9a-18=0 \Leftrightarrow a = \color{red}{2}$.
Pada koefisien $y$, diperoleh
$\begin{aligned} -12a+3b+21 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan}~3 \\ -4a+b+7 & = 0 \\ -4(\color{red}{2})+b+7 & = 0 \\ b & = \color{blue}{1} \end{aligned}$
Pada koefisien $y^2$, diperoleh
$\begin{aligned} 4a-2b+c & = 0 \\ 4(\color{red}{2})-2(\color{blue}{1})+c & = 0 \\ 6+c & = 0 \\ c & = -6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a,b$, dan $c$ berturut-turut adalah $2, 1$, dan $-6$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $(2x-y+5)$ adalah faktor dari $(a+b)x^2+(2a+b)xy+cy^2-x+13y$ $-15$, tentukan nilai $a, b$, dan $c$.

Pembahasan

Misalkan $f(y)=(a+b)x^2+(2a+b)xy+cy^2-$ $x+13y-15$.
Perhatikan bahwa $2x-y+5 = -y+(2x+5)$ merupakan faktor dari $f(y)$ sehingga $f(2x+5) = 0$.

Dari sini, kita dapatkan
$$\begin{aligned} (a+b)x^2+(2a+b)x(2x+5)+c(2x+5)^2-x+13(2x+5)-15 & = 0 \\ (a+b)x^2+(4ax^2+10ax+2bx^2+5bx)+c(4x^2+20x+25)-x+26x+50 & = 0 \\ (5a+3b+4c)x^2+(10a+5b+20c+25)x+(25c+50) & = 0 \end{aligned}$$Agar ruas kanan bernilai $0$, maka semua koefisien dan konstanta pada ruas kiri harus dibuat menjadi $0$.
Pada konstanta, diperoleh $25c+50=0 \Leftrightarrow c = \color{red}{-2}$.
Pada koefisien $y$, diperoleh
$\begin{aligned} 10a+5b+20c+25 & = 0 \\ 10a+5b+20(\color{red}{-2})+25 & = 0 \\ 10a+5b & = 15 \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~5 \\ 2a+b & = 3~~~~~~(\cdots 1) \end{aligned}$
Pada koefisien $y^2$, diperoleh
$\begin{aligned} 5a+3b+4c & = 0 \\ 5a+3b+4(\color{red}{-2}) & = 0 \\ 5a+3b & = 8 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, kita dapatkan $a=b=1$.
Jadi, nilai $a, b$, dan $c$ berturut-turut adalah $1, 1$, dan $-2$.

[collapse]