Soal dan Pembahasan – Fungsi Analitik dan Harmonik serta Teoremanya dalam Sistem Bilangan Kompleks

Suatu fungsi kompleks disebut fungsi analitik jika memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann (PCR). PCR melibatkan turunan parsial, sehingga Anda harus sudah memahami materi turunan parsial beserta teknik diferensial terkait (baca: kalkulus).
Suatu fungsi kompleks disebut fungsi harmonik dalam \mathbb{R} jika fungsi tersebut memenuhi Persamaan Laplace (PL).

Soal Nomor 1
Periksa apakah f(z) = z^2 memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann.

Penyelesaian

Misalkan z = x + iy berarti
f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy
Diperoleh u =x^2 - y^2 dan v = 2xy di mana u dan v masing-masing merepresentasikan bagian real dan imajiner dalam fungsi f.
(1a) Cek turunan parsial u =x^2 terhadap x
\dfrac{\partial (x^2 - y^2)}{\partial x} = 2x
(1b) Cek turunan parsial v = 2xy terhadap y
\dfrac{\partial (2xy)} {\partial x} = 2x
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) sama.
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial u = x^2 - y^2 terhadap y
\dfrac{\partial (x^2 - y^2)} {\partial y} = -2y
(2b) Cek negatif turunan parsial v = 2xy terhadap x
-\dfrac{\partial (2xy)} {x} = -2y
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, f(z) memenuhi PCR.

[collapse]

Soal Nomor 2
Apakah fungsi berikut memenuhi PCR?
a) f(z) = r^2 \cos^2 \theta + ir^2 \sin^2 \theta
b) f(z) = \dfrac{1}{z} dengan z = re^{i\theta}

Penyelesaian

(Jawaban a)
Perhatikan bahwa
x = r \cos \theta, sedangkan
y = r \sin \theta
sehingga fungsi f bisa ditulis sebagai
f(z) = x^2 + iy^2
Jadi, u = x^2 dan v = y^2
(1a) Cek turunan parsial u =x^2 terhadap x
\dfrac{\partial (x^2)}{\partial x} = 2x
(1b) Cek turunan parsial v = y^2 terhadap y
\dfrac{\partial (y^2)} {\partial y} = 2y
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) tidak sama. \bigstar
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial u = x^2 terhadap y
\dfrac{\partial (x^2)} {\partial y} = 0
(2b) Cek negatif turunan parsial v = y^2 terhadap x
-\dfrac{\partial (y^2)} {x} = 0
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, f(z) tetap tidak memenuhi PCR karena salah satu syarat tak terpenuhi.
Catatan: \bigstar Dari sini sebenarnya sudah dapat disimpulkan bahwa f(z) tidak memenuhi PCR.
(Jawaban b)
Ubah fungsi f dalam bentuk x dan y (sebelumnya dalam bentuk eksponen)
\begin{aligned} f(z) & = f(re^{i\theta}) = \dfrac{1}{re^{i\theta}} \\ & = \dfrac{1}{r(\cos \theta + i~\sin \theta)} \\ & = \dfrac{1}{x + iy} = \dfrac{x -iy} {x^2+y^2} \\ & = \dfrac{x} {x^2+y^2} - \left(\dfrac{y} {x^2+y^2}\right) i \end{aligned}
Diperoleh u = \dfrac{x} {x^2+y^2} dan v = \dfrac{-y} {x^2+y^2}
(1a) Cek turunan parsial u terhadap x
\dfrac{\partial \left(\dfrac{x} {x^2+y^2}\right)}{\partial x} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}
(1b) Cek turunan parsial v terhadap y
\dfrac{\partial \left(-\dfrac{y} {x^2+y^2}\right)} {\partial y} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) sama.
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial u terhadap y
\dfrac{\partial \left(\dfrac{x} {x^2+y^2}\right)} {\partial y} = \dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}
(2b) Cek negatif turunan parsial v terhadap x
-\dfrac{\partial \left(\dfrac{-y} {x^2+y^2}\right)} {x} = \dfrac{-2xy} {(x^2+y^2)^2}
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, f(z) memenuhi PCR.

[collapse]

Soal Nomor 3
Apakah fungsi kompleks f(z) = 2x(1-y) + (x^2 - y^2 + 2y) i analitik?

Penyelesaian

Periksa apakah fungsi kompleks tersebut memenuhi PCR atau tidak. Perhatikan bahwa,
\dfrac{\partial (2x(1-y))} {\partial x} = 2 - 2y = \dfrac{\partial (x^2-y^2+2y)} {\partial y}
dan juga
\dfrac{\partial (2x(1-y))} {\partial y} = -2x = -\dfrac{\partial (x^2-y^2+2y)} {\partial x}
Terlihat bahwa solusi sistem PCR terpenuhi di seluruh bidang kompleks. Jadi, f fungsi analitik.

[collapse]

Soal Nomor 4
Buktikan bahwa fungsi real U = 2x(1 - y) harmonik.

Penyelesaian

Cek turunan parsial kedua dari 2x(1-y) = 2x - 2xy terhadap x
\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial (2x - 2xy)}{\partial x}\right) = \dfrac{\partial (2-2y)} {\partial x} =0
Selanjutnya, cek turunan parsial kedua dari 2x(1-y) = 2x - 2xy terhadap y
\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial (2x - 2xy)}{\partial y}\right) = \dfrac{\partial (-2x)} {\partial y} =0
Karena \dfrac{\partial^2 u} {\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u} {\partial y^2} = 0, maka U memenuhi Persamaan Laplace sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi U adalah fungsi harmonik. 

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan fungsi v sehingga f(z) = (2x - 2xy) + iv adalah fungsi analitik (menentukan fungsi sekawan dari u)

Penyelesaian

Suatu fungsi kompleks dikatakan fungsi analitik jika memenuhi PCR, yaitu:
(1)
\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} = 2 -2y
berarti
\begin{aligned}v & = \displaystyle \int \left(\dfrac{\partial v}{\partial y}\right)~dy \\ & = \int (2-2y)~dy \\ & = 2y - y^2+ C(x) \end{aligned}
(2)
\begin{aligned} & \dfrac{\partial v} {\partial x} = -\dfrac{\partial u} {\partial y} \\& \dfrac{\partial (2y-y^2+C(x))} {\partial x} = -(-2x) \\ & C'(x) = 2x \\ & C(x) = x^2 \end{aligned}
Dengan demikian, kita dapatkan
\boxed{v = 2y - y^2+x^2}

[collapse]

Soal Nomor 6 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Harmonik sekawan/konjugat dari fungsi u(x, y) = y^3 - 3x^2y yang dituliskan dalam bentuk f(z) adalah \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = u + iv = (y^3 - 3x^2y) + iv
Fungsi f memenuhi PCR sehingga haruslah berlaku
(1)
\dfrac{\partial (y^3-3x^2y)} {\partial x} = \dfrac{\partial v} {\partial y} = -6xy
Dengan integral, kita dapat menentukan v sebagai berikut.
v = \displaystyle \int \dfrac{\partial v} {\partial y}~dy = \int (-6xy)~dy = -3xy^2 + C(x) \bigstar
(2)
\dfrac{\partial (y^3-3x^2y)} {\partial y} = -\dfrac{\partial v} {\partial x} = 3y^2 - 3x^2
Dari \bigstar, kita tuliskan
-3y^2 +C'(x) = 3y^2- 3x^2
Diperolehlah
C'(x) =3x^2 atau C(x) = x^3
Jadi, v = -3y^2 + x^3, sehingga
\boxed{f(z) = y^3 - 3x^2y + (x^3 - 3y^2)i}

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan daerah lingkaran konvergensi (disk of convergence) dari fungsi kompleks f(z) = \ln (1-z)

Penyelesaian

Fungsi f(z) dapat diekspansikan dalam bentuk deret pangkat di sekitar z = 0 dengan uraian Maclaurin, yaitu
\ln (1-z) = -z - \dfrac{z^2}{2} - \dfrac{z^3}{3} - \dfrac{z^4}{4} - \cdots
Untuk menentukan titik singularnya, harus dicari titik di mana f(z) tidak memiliki turunan. Perhatikan bahwa jika f(z) = \ln (1-z), maka
f'(z) = -\dfrac{1}{1-z}, berarti titik singular yang dimaksud adalah z = 1. Jadi, daerah lingkaran konvergensinya adalah lingkaran dengan pusat di titik asal dan berjari-jari 1.

[collapse]

Soal Nomor 8
Suatu fungsi u(x, y) = x^2-y^2 adalah bagian real dari fungsi kompleks f. Tentukan bagian imajinernya agar fungsi tersebut analitik.

Penyelesaian

Diketahui u(x, y) =x^2-y^2
Agar fungsi tersebut analitik, maka PCR harus terpenuhi, yaitu
\dfrac{\partial u} {\partial x} = 2x = \dfrac{\partial v} {\partial y}
berarti,
v = \displaystyle \int \dfrac{\partial v} {\partial y}~dy = \int 2x~dy = 2xy + C(x) \bigstar
Selain itu, juga harus memenuhi persamaan
-\dfrac{\partial u} {\partial y} = 2y = \dfrac{\partial v} {\partial x}, dan dari \bigstar, didapat
2y + C'(x) = 2y
berarti
C'(x) = 0 dan akibatnya C(x) = C
Jadi, bagian imajiner dalam fungsi kompleks tersebut adalah
v = 2xy + C dengan C sebagai suatu konstanta sembarang.

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Kalkulus Fungsi  \mathbb{R}^2 ke  \mathbb{R} (Bagian Dasar)

Soal Nomor 1
Carilah limit berikut atau nyatakanlah bahwa limitnya tidak ada.
a)  \displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 3)} (3x^2y - xy^3)
b)  \displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{x^2 + y^2}{x^4 + y^4}
c)  \displaystyle \lim_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{x^2 - 2y}{x^2 + 2y}
d)  \displaystyle \lim_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{x^2 + 2y}{x^2 - 2y}

Penyelesaian

(Jawaban a)
Gunakan substitusi secara langsung.

\begin{aligned}   \displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 3)} (3x^2y - xy^3) & = 3(1)^2(3) - (1)(3)^3 \\ & = 18 - 27 = -9 \end{aligned}
(Jawaban b)
Gunakan koordinat polar, di mana x^2 + y^2 = r^2, x = r \cos \theta, y = r \sin \theta

\begin{aligned}  \displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{x^2 + y^2}{x^4 + y^4} & =  \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2} \\ & =  \lim_{r \to 0} \dfrac{r^2}{r^4 - 2(r \cos \theta)^2(r \sin \theta)^2} \\ & =  \lim_{r \to 0} \dfrac{1}{r^2(1 - 2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta)} = \infty \end{aligned}
(Jawaban c)
Gunakan substitusi secara langsung.

 \displaystyle \lim_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{x^2 - 2y}{x^2 + 2y} = \dfrac{2^2 -2(2)}{2^2 + 2(2)} = 0
(Jawaban d)
Bila kita substitusikan x = y = 2, diperoleh ekspresi \dfrac{8}{0} dan ini jelas adalah bentuk tak tentu. Jika pembilangnya bukan 0, maka dapat dipastikan bahwa limitnya tidak ada.

[collapse]

Soal Nomor 2
Periksa apakah limit berikut ada. Bila ada, buktikan.
 \displaystyle \lim_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{2x^3 - y^3}{x^2 + y^2}

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan \partial f/\partial x, \partial^2 f/\partial x^2, dan \partial^2 f/\partial y~\partial x dari fungsi
f(x, y) = 3x^4y^2 + 7x^2y^7

Penyelesaian

\partial f/\partial x berarti turunan parsial pertama dari fungsi f terhadap x (anggap y sebagai suatu konstanta). Jadi,
\partial f/\partial x = 12x^3y^2 + 14xy^7
\partial^2 f/\partial x^2 berarti turunan parsial kedua dari fungsi f terhadap y (anggap x sebagai suatu konstanta). Gunakan jawaban sebelumnya, lalu diturunkan parsial terhadap x satu kali.
\partial^2 f/\partial x^2 = 36x^2y^2 + 14y^7
Selanjutnya,
\begin{aligned} \partial^2 f/\partial y~\partial x & = \dfrac{\partial f}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\ & =  \dfrac{\partial f}{\partial y} (12x^3y^2 + 14xy^7) \\ & = 24x^3y + 98xy^6 \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Materi & Soal Latihan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu


Suatu persamaan diferensial yang mempunyai bentuk \dfrac{dy}{dx} = f(t,y) disebut persamaan diferensial orde satu. Apabila fungsi f bergantung linear pada variabel bebas y, maka persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
\dfrac{dy}{dt} + p(t)y = g(t)
Persamaan diferensial dalam bentuk seperti ini disebut persamaan diferensial linear orde satu, dengan syarat p dan g masing-masing kontinu pada suatu interval \alpha < t < \beta. Contohnya adalah
\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{1}{2}y = \dfrac{5}{2}t
dengan p(t) = \dfrac{1}{2} dan g(t) = \dfrac{5}{2}t, di mana p adalah fungsi konstan dan g adalah fungsi linear.
Berikut ini disajikan beberapa soal terkait penyelesaian PD linear orde satu. SEMOGA BERMANFAAT! Jangan lupa klik link berikut untuk materi PD lainnya.
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Dasar
Soal Latihan dan Penyelesaian PD dengan Variabel Terpisah
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Homogen
Soal Latihan dan Penyelesaian PD Eksak
Lanjutkan membaca “Materi & Soal Latihan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu”

Ayo Beri Rating Postingan Ini