Soal dan Pembahasan – Residu Fungsi Kompleks dan Pengintegralan dengan Residu


Soal Nomor 1
Tentukan residu pada semua titik singular (pole) dari fungsi
f(z) = \dfrac{4}{1+z^2}

Penyelesaian

Fungsi itu dapat ditulis menjadi
f(z) = \dfrac{4}{(z+i) (z-i)}
Diperoleh titik singular z_0 = -i dan z_0 = i yang masing-masing berorde satu alias kutub sederhana (simple pole).
Ambil
p(z) = 4 dan q(z) = 1 + z^2
Dengan menggunakan rumus
\boxed{\displaystyle \text{Res}_{z = z_0} f(z) = \text{Res} \limits_{z = z_0} \dfrac{p(z)} {q(z)} = \dfrac{p(z_0)} {q'(z_0)}}
diperoleh
\displaystyle \text{Res}_{z = -i} \dfrac{4}{z^2+i} = \dfrac{4}{[2z]_{z = -i}} = \dfrac{4}{-2i}= -2i
dan
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = i} \dfrac{4}{z^2+i} = \dfrac{4}{[2z]_{z = i}} = \dfrac{4}{2i}= 2i
Jadi, untuk titik singular z_0= i, residu fungsinya adalah 2i, sedangkan untuk titik singular z_0 = -i, residu fungsinya adalah -2i.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan residu pada titik singular dari fungsi f(z) = \dfrac{\cos z} {z^4}

Penyelesaian

(Cara I)
Diketahui titik singular fungsi ini adalah z_0 = 0. Ubah bentuk fungsinya dalam deret Laurent, di mana ekspresi \cos z sebagai bagian deret Taylor dan \dfrac{1}{z^4} sebagai principal part deret Laurent, sehingga
\begin{aligned} \displaystyle \dfrac{\cos z} {z^4} & = \dfrac{1}{z^4} \times \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n \times z^{2n}} {(2n)!} \\ & = \dfrac{1}{z^4} \times \left(1 - \dfrac{z^2}{2!} + \dfrac{z^4}{4!} - \dfrac{z^6}{6!} + \cdots\right) \\ & = \dfrac{1}{z^4} -\dfrac{1}{z^4.2!} + \dfrac{1}{4!} - \dfrac{z^2}{6!} + \cdots \end{aligned}
Residu fungsi pada titik singular z_0 = 0 adalah koefisien dari \dfrac{1}{z - z_0} = \dfrac{1}{z}. Tampak pada ekspresi terakhir, tidak ada bentuk \dfrac{1}{z} yang berarti koefisiennya 0. Jadi, residu fungsi ini untuk titik singular z_0 = 0 adalah 0.
(Cara II)
Anda dapat menggunakan rumus residu secara langsung untuk z_0 = 0, yaitu
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = z_0} f(z) = \dfrac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \left[\dfrac{d^{n-1}} {dz^{n-1}} \left((z - z_0)^n \times f(z)\right)\right],
maka
\begin{aligned} \displaystyle \text{Res} \limits_{z = 0} \dfrac{\cos z} {z^4} & = \dfrac{1}{(4-1)!} \lim_{z \to 0} \left[\dfrac{d^{4-1}} {dz^{4-1}} \left(z^n \times \dfrac{\cos z} {z^4} \right)\right]\\ & = \dfrac{1}{3!} \lim_{z \to 0} \left(\dfrac{d^3}{dz^3} (\cos z)\right) \\ & = \dfrac{1}{6} \lim_{z \to 0} (\sin z) = 0 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan residu pada titik singular dari fungsi f(z) = \dfrac{\sin 2z} {z^6}

Penyelesaian

Diketahui titik singular fungsi ini adalah z_0 = 0.
Kita dapat memanfaatkan penjabaran fungsinya menjadi deret Laurent untuk mencari residunya.
\begin{aligned}\dfrac{\sin 2z} {z^6} & = \displaystyle \dfrac{1}{z^6} \times \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n(2z)^{n+1}} {(2n+1)!} \\ & = \dfrac{1}{z^6} \times \left((2z) - \dfrac{(2z)^3} {3!} + \dfrac{(2z) ^5}{5!} - \cdots\right) \\ & = \dfrac{2}{z^5} - \dfrac{2^3}{z^3.3!} + \dfrac{2^5}{z. 5!} - \cdots \end{aligned}
Residunya adalah koefisien dari \dfrac{1}{z - z_0} = \dfrac{1}{z} (karena z_0 = 0), yaitu
\boxed{\dfrac{2^5}{5!} = \dfrac{4}{15}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah residu dari f(z) =\tan z

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \tan z = \dfrac{\sin z} {\cos z}
Titik singular fungsinya adalah nilai z yang membuat \cos z = 0, yaitu z_0 = \dfrac{\pi}{2}, sehingga dengan menggunakan rumus
\boxed{\displaystyle \text{Res} \limits_{z = z_0} f(z) = \text{Res} \limits_{z = z_0} \dfrac{p(z)} {q(z)} = \dfrac{p(z_0)} {q'(z_0)}}
diperoleh
\displaystyle \text{Res}_{z = \frac{\pi} {2}} \dfrac{\sin z} {\cos z} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi} {2}} {-\sin \dfrac{\pi} {2}} = -1
Jadi, residu fungsinya adalah -1

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan residu dari fungsi f(z) = \sec z

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \sec z = \dfrac{1}{\cos z}
Titik singular/pole fungsinya adalah nilai z saat \cos z = 0, yaitu z_0 = \dfrac{\pi} {2}, sehingga
\displaystyle \text{Res}_{z = \frac{\pi} {2}} \dfrac{1}{\cos z} = \dfrac{1}{-\sin \dfrac{\pi} {2}} = -1
Jadi, residu fungsinya adalah -1.

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan residu dari fungsi f(z) = \dfrac{1}{1 - e^z}

Penyelesaian

Titik singular/pole fungsi ini adalah nilai z sehingga 1 - e^z = 0, yaitu z_0 = 0
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 0} \dfrac{1}{1 - e^z} = \dfrac{1}{-e^0} = -1
Jadi, residu fungsinya adalah -1

[collapse]

Soal Nomor 7
Carilah residu dari fungsi f(z) = \dfrac{1}{(z^2-1)^2}

Penyelesaian

Fungsi ini dapat ditulis menjadi
f(z) = \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2}
Fungsi ini ternyata memiliki dua buah pole, yaitu z_0 = 1 (berorde dua) dan z_0 = -1 (berorde dua).
Residu pada titik singular z_0 = 1 adalah
\begin{aligned}& \displaystyle \text{Res} \limits_{z = 1} \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \\ & = \dfrac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 1} \left[\dfrac{d} {dz} \left((z-1)^2 \times \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \right)\right]\\ & = \lim_{z \to 1} \left(\dfrac{d}{dz} \left(\dfrac{1}{(z+1)^2}\right)\right) \\ & = \lim_{z \to 1} \left(\dfrac{-2}{(z+1)^3}\right) = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan residu dari f(z) = \dfrac{z^4}{z^2 - iz + 2}

Penyelesaian

Fungsi di atas dapat ditulis
f(z) = \dfrac{z^4}{(z-2i) (z+i)}
Diperoleh pole fungsinya, yaitu z_0 = 2i dan z_0 = -i (masing-masing berorde satu).
Residu pada titik singular/pole z_0 = 2i adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 2i} \dfrac{z^4}{z^2 - iz + 2} = \dfrac{(2i^4}{2(2i) - i} = \dfrac{16}{3}i
Residu pada titik singular/pole z_0 = -i adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = -i} \dfrac{z^4}{z^2 - iz + 2} = \dfrac{(-i) ^4}{2(-i) - i} = -\dfrac{1}{3}i

[collapse]

Soal Nomor 9
Hitunglah \displaystyle \int \limits_{C} \tan \pi z~dz dengan C: |z| = 1

Penyelesaian

Kurva yang diberikan adalah kurva lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 1. Pertama, kita akan mencari pole dari integrannya, yaitu
\tan \pi z = \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z}
Nilai z yang membuat \cos \pi z = 0 adalah z_0 = \pm \dfrac{1}{2}. Selain itu, z_0 = \pm \dfrac{3}{2} juga membuat \cos \pi z = 0, tetapi z_0 ini berada di luar kurva C, jadi tidak perlu ditinjau.
Langkah selanjutnya akan dicari residu pada pole z_0 = \dfrac{1}{2} pada fungsi tersebut, yaitu
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = \frac{1}{2}} \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z} = \dfrac{\sin \dfrac{1}{2}\pi} {-\pi \sin \dfrac{1}{2}\pi} = -\dfrac{1}{\pi}
Berikutnya, akan dicari residu pada pole z_0 = -\dfrac{1}{2} pada fungsi tersebut, yaitu
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = -\frac{1}{2}} \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z} = \dfrac{\sin -\dfrac{1}{2}\pi} {-\pi \sin -\dfrac{1}{2}\pi} = -\dfrac{1}{\pi}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \tan \pi z~dz & = 2\pi i \times \sum \text{Res} \tan \pi z \\ & = 2 \pi i\left(-\dfrac{1}{\pi} - \dfrac{1}{\pi}\right) = -4i \end{aligned}
Jadi, hasil integralnya adalah -4i

[collapse]

Soal Nomor 10
Hitunglah \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1}~dz dengan C: |z| = 2

Penyelesaian

Pole fungsinya adalah nilai z yang membuat 4z^2 - 1 = 0, yaitu z_0 = \pm \dfrac{1}{2} (keduanya berorde satu dan berada dalam kurva C).
Berikut akan dicari residu dari kedua pole itu satu per satu, yaitu
\displaystyle \text{Res}_{z = \frac{1}{2} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1} = \dfrac{\frac{1}{4} \sin \frac{1}{2}} {4} = \dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}
dan
\displaystyle \text{Res}_{z = -\frac{1}{2} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1} = \dfrac{\frac{1}{4} \sin -\frac{1}{2}} {-4} = \dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}
Dengan demikian,
\begin{aligned}\displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1}~dz & = 2\pi i \times \left(\dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2} \right) \\ & = \boxed{\dfrac{1}{4}\pi i \sin \dfrac{1}{2}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 11
Hitunglah \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} dengan C: |z| = \dfrac{1}{2}\pi

Penyelesaian

Integrannya dapat ditulis menjadi
f(z) = \dfrac{e^z + z} {z(z-1)(z+1)}
Pole fungsi ini adalah z_0 = 0, z_0 = 1, dan z_0 = -1, ketiganya berorde satu dan berada dalam kurva C.
Berikut ini akan dicari residunya.
Residu untuk z_0 = 0 adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 0} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} = \dfrac{e^0 + 0}{3(0)^2 - 1} = -1
Residu untuk z_0 = 1 adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 1} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} = \dfrac{e^1 + 1}{3(1)^2 - 1} = \dfrac{e + 1}{2}
Residu untuk z_0 = -1 adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = -1} \dfrac{e^z - z} {z^3 - z} = \dfrac{e^{-1} - 1}{3(-1)^2 - 1} = \dfrac{e^{-1} - 1}{2}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} & = \dfrac{1}{2}\pi \\ & = 2\pi i \times \left(-1 + \dfrac{e + 1}{2} + \dfrac{e^{-1} - 1}{2}\right) \\ & = \boxed{\pi i(-2 + e + e^{-1})} \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Kalkulus Integral

Berikut ini adalah 5 soal UAS Kalkulus Integral (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 15 Januari 2018 oleh Drs. Ade Mirza, M.Pd. Materi yang diujikan mengenai perhitungan volume benda dengan integral, fungsi transenden dan turunannya, serta teknik integrasi tingkat lanjut.

Soal Nomor 1
Susunlah integral yang sesuai untuk menentukan volume benda yang terbentuk dengan menunjukkan sketsa jalur potongan dan hampirannya dari daerah R yang dibatasi oleh y = x^{-3}, x = 1, x = 3, dan y = 0 apabila diputar mengelilingi:
a) Sumbu Y
b) Garis y =-1

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah volume daerah yang terbentuk dan perlihatkan cara menentukannya pada daerah R yang dibatasi oleh kurva y = x^2, y = 2, dan x = 0 dan diputar mengelilingi y = 2 

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa \sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1 + x^2}
(Gunakan hubungan \sec^2\beta = 1 + \tan^2 \beta)

Penyelesaian

Berangkat dari identitas trigonometri berikut.
\sec^2 \beta = 1 + \tan^2 \beta
Substitusi \beta = \tan^{-1} x, diperoleh
\sec^2 (\tan^{-1} x) = 1 + \tan^2 (\tan^{-1} x)
Gunakan fakta bahwa \tan(\tan^{-1} x) = x untuk mendapatkan
\sec^2 (\tan^{-1} x) = 1 + x^2
\sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1+x^2}
(Terbukti)

[collapse]



Soal Nomor 4
Tentukan \dfrac{dy}{dx} dari y =7 \cos^{-1}\sqrt{2x}

Penyelesaian

Ingat!!
\boxed{\dfrac{d}{dx} (\cos^{-1} u) = -\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}}
(u adalah fungsi dalam x)
Dalam kasus ini,
u =\sqrt{2x} \Rightarrow u' = \dfrac{1}{\sqrt{2x}}
Jadi, untuk y = 7 \cos^{-1}\sqrt{2x}
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-7}{\sqrt{2x}\sqrt{1-2x}} = \boxed{-\dfrac{7}{\sqrt{2x -4x^2}}}

[collapse]

Soal Nomor 5
Selesaikan integral berikut.
a) \displaystyle \int \dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+9}}
b) \displaystyle \int \sqrt{x} \ln x~dx
c) \displaystyle \int \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} ~dx

Penyelesaian

(Jawaban a) Substitusi
u = \sqrt{x^2+9} \Leftrightarrow x^2 = u^2-9
sehingga diperoleh
du = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}~dx atau ditulis
dx = \dfrac{\sqrt{x^2+9}} {x}
Jadi, integralnya dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+9}} \times \dfrac{\sqrt{x^2+9}} {x} ~du & = \int \dfrac{1}{u^2-9}~du \\ & = \int \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} ~du \end{aligned}
Selanjutnya, gunakan teknik dekomposisi pecahan parsial. Tinjau integrannya.
\begin{aligned} \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} & = \dfrac{A}{u+3} + \dfrac{B} {u-3} \\ & = \dfrac{(A+B)u + (-3A+3B)}{(u+3)(u-3)} \end{aligned}
Diperoleh SPLDV
\begin{cases} A+B=0 \\ -3A+3B=1 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh A = - \dfrac{1}{6} dan B=\dfrac{1}{6}
Kembalikan pada integralnya.
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} ~du & = \int \left(-\dfrac{1}{6(u+3)} + \dfrac{1}{6(u-3)}\right)~du \\ & = \dfrac{1}{6}(\ln (u-3) - \ln (u+3)) + C \\ & = \dfrac{1}{6} \times \ln \left(\dfrac{u-3}{u+3}\right) + C\end{aligned}
Substitusikan kembali u = \sqrt{x^2+9}, sehingga diperoleh
\boxed{\dfrac{\ln \left(\dfrac{\sqrt{x^2+9} - 3}{\sqrt{x^2+9} + 3}\right)}{6} + C}

(Jawaban b)
Gunakan teknik integrasi parsial
\boxed{\int uv' = uv - \int u'v}
Misal u = \ln x dan v' = \sqrt{x}, berarti u' = \dfrac{1}{x} dan v = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}
Jadi, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} - \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \times \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} ~dx & = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} - \dfrac{2}{3} \displaystyle \int \sqrt{x}~dx \\ & = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} - \dfrac{4}{9}x^{\frac{3}{2}} + C \\ & = \boxed{\dfrac{2x^{\frac{3}{2}} (3 \ln x - 2)} {9} + C} \end{aligned}}

(Jawaban c) Gunakan metode dekomposisi pecahan parsial karena penyebutnya dapat difaktorkan. Tinjau integrannya.
\begin{aligned} \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} & = \dfrac{2x^2+x-4}{x(x-2)(x+1)} \\& = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-2} + \dfrac{C}{x+1} \\ & = \dfrac{A(x-2)(x+1) +Bx(x+1) + C(x)(x-2)}{x(x-2)(x+1)} \\ & = \dfrac{(A+B+C)x^2 + (-A+B-2C)x - 2A}{x(x-2)(x+1)} \end{aligned}
Bandingkan pembilangnya untuk memperoleh SPLTV berikut.
\begin{cases} A+B+C=2 \\ -A+B-2C = 1 \\-2A = -4 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh A = 2, B = 1, dan C = -1
Jadi, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} ~dx & = \int \left(\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x-2} -\dfrac{1}{x+1}\right) ~dx \\ & = 2 \ln x + \ln (x - 2) -\ln (x +1) \\ &= \boxed{\ln \left(\dfrac{x^3-2x^2} {x+1}\right)} \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Persamaan Diferensial Biasa

Berikut ini adalah 4 soal UAS Persamaan Diferensial Biasa (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 10 Januari 2018 oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si . Materi yang diujikan mengenai persamaan diferensial linear homogen dan non-homogen dengan koefisien konstan dan kebebasan linear penyelesaian umumnya.

Soal Nomor 1
Tunjukkan bahwa e^{2x} dan e^{3x} merupakan penyelesaian bebas linear dari PD
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 5\dfrac{dy}{dx} + 6y = 0
Selanjutnya, cari solusi yang memenuhi y(0) = 2 dan y'(0) = 3

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui y = x merupakan penyelesaian PD
(x^2 + 1)\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2x\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0
Cari solusi bebas linear dengan reduksi orde serta tulis penyelesaian umumnya.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 4x^2

Penyelesaian


Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{2x} + C_2e^{x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{x^2, x, 1\}. Misalkan
y_p = Ax^2 + Bx + C adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' =2Ax + B dan y_p'' = 2A
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 4x^2
2A - 3(2Ax + B) + 2(Ax^2 + Bx + C) = 4x^2
2Ax^2 + (-6A + 2B)x + (2A - 3B + 2C) = 4x^2
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} 2A = 4 & \\ -6A+ 2B = 0 & \\ 2A - 3B + 2C = 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = 2 & \\ B = 6 & \\ C = 7 \end{cases}
Jadi, y_p = 2x^2 + 6x + 7
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{2x} + C_2e^{x} + 2x^2 + 6x + 7 }

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah solusi umum dari (x^2 + 1)\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2x\dfrac{dy}{dx} + 2y = 6(x^2 + 1)^2 jika diberikan solusi umum PD homogen terkait y_c(x) = C_1(x) + C_2(x^2 - 1)

Penyelesaian


Diberikan y_c(x) = C_1(x) + C_2(x^2 - 1). Misalkan
y_p(x) = v_1(x).x + v_2(x).(x^2 - 1)
y_p'(x) = v_1(x) + v_1'(x).x + v_2'(x)(x^2 - 1) + v_2(x)(2x)
Misal v_1'(x).x + v_2'(x)(x^2 - 1) = 0
sehingga
y_p'(x) = v_1(x) + v_2(x)(2x)
Turunannya adalah
y_p''(x) = v_1'(x) + v_2'(x)(2x) + 2v_2(x)
Substitusikan y_p(x) beserta turunannya ke PD, diperoleh
\begin{multlined} (x^2 + 1)(v_1'(x) + v_2'(x).2x + 2v_2(x)) 2x(v_1(x) \\ + v_2(x).2x) + 2(v_1(x).x + v_2(x).(x^2 - 1)) = 6(x^2 + 1)^2 \end{multlined}
Sederhanakan bentuk di atas sehingga menjadi
v_1'(x) + 2xv_2'(x) = 6(x^2 + 1)
Dari sini, kita peroleh SPL
\begin{cases} v_1'(x).x + v_2'(x)(x^2 - 1) = 0 \\ v_1'(x) + 2xv_2'(x) = 6(x^2 + 1) \end{cases}
Cari nilai v_1'(x) dan v_2'(x) dengan menggunakan Aturan Cramer.
v_1'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} 0 & x^2-1 \\ 6(x^2+1) & 2x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x & x^2-1 \\ 1 & 2x \end{vmatrix}} = \dfrac{-6(x^4-1)}{x^2 + 1} = -6(x^2 - 1)
v_2'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} x & 0 \\ 1 & 6(x^2+1) \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x & x^2-1 \\ 1 & 2x \end{vmatrix}} = \dfrac{6x(x^2+1)}{x^2+1} = 6x
Dengan integral, diperoleh
v_1(x) = -2x^3 + 6x +D_1
v_2(x) = 3x^2 + D_2
Jadi, kita peroleh
y_p(x) = (-2x^3 + 6x +D_1) x + (3x^2 + D_2)(x^2 - 1)
y_p(x)= x^4 + (3 + D_2)x^2 + D_1x - D_2
Penyelesaian umum dari PD tersebut adalah
y(x) = y_c(x) + y_p(x)
y(x) = C_1(x) + C_2(x^2 - 1) + x^4 + (3 + D_2)x^2 + D_1x - D_2
\boxed{y(x) = Cx + (3 + D)x^2 + x^4 + E}
(Perhatikan bahwa dalam hal ini, kita mentransformasi/mengubah bentuk konstanta agar lebih sederhana yaitu dengan mengganti hurufnya saja)

[collapse]

 

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Integral Lipat Dua


Soal Nomor 1
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis x + y = 2 dan 2y = x + 4

Penyelesaian

Garis x + y = 2 ekuivalen dengan x = 2 - y, sedangkan garis 2y = x + 4 ekuivalen dengan x = 2y - 4. Titik potong kedua garis ini adalah (0, 2) Grafiknya adalah sebagai berikut.

Luas daerah yang dimaksud adalah
A = \displaystyle \int_D \int dA = \int_{0}^{2} \int_{x = 2y - 4}^{x = 2 - y} dx~dy
A = \displaystyle \int_{0}^{2} [(2-y) - (2y-4)]~dy = \int_{0}^{2} (6 - 3y)~dy
A = \left[6y - \dfrac{3}{2}y^2 \right]_{0}^{2} = (12 - 6) - 0 = 6
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 6 satuan luas.

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah integral berikut dengan mengubahnya terlebih dahulu dalam sistem koordinat kutub.
\displaystyle \int_{D} \int 2xy~dA
dengan D adalah luas daerah pada kuadran pertama di antara lingkaran berjari-jari 2 dan lingkaran berjari-jari 5 yang berpusat di titik asal.

Penyelesaian


Daerah D yang dimaksud adalah daerah yang diarsir warna merah pada gambar di atas.
Langkah pertama adalah kita mencari dulu batas atas dan batas bawah integral. Karena luas yang dicari berada di antara lingkaran berjari-jari 2 dan 5 satuan, maka kita peroleh pertidaksamaan 2 \leq r \leq 5. Selain itu, kita juga mencari luas daerah hanya pada kuadran pertamanya, jadi didapat pertidaksamaan 0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}
Ingat konversi: x = r \cos \theta dan y = r \sin \theta serta dA = r ~dr~d\theta (dalam koordinat polar), sehingga kita rumuskan
\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{2}^{5} 2(r \cos \theta)(r \sin \theta)r~dr~d\theta
= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{2}^{5} r^3 \sin 2\theta~dr~d\theta
= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[\dfrac{1}{4}r^4 \sin 2\theta\right]_{2}^{5}~d\theta
= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{609}{4} \sin 2\theta~d\theta
= \left[-\dfrac{609}{8} \cos 2\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
= \dfrac{609}{4}

[collapse]

Soal Nomor 3
Rumuskan integral untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva polar r = 3 + 2 \sin \theta yang berada di luar lingkaran r = 2

Penyelesaian


Luas daerah yang dimaksud adalah daerah yang diarsir warna kuning pada gambar di atas. Langkah pertama adalah mencari titik potong kedua grafik yang diberikan. Untuk mencarinya, buatlah persamaan berikut.
3 + 2 \sin \theta = 2
\sin \theta = -\dfrac{1}{2}
Diperoleh \theta = \dfrac{7\pi}{6} atau \theta = \dfrac{11\pi}{6}
Perlu dicatat bahwa -\dfrac{\pi}{6} ekuivalen dengan \dfrac{11\pi}{6} . Ini sangat penting karena kita membutuhkan nilai \theta yang menutupi daerah yang diarsir saat bergerak dari batas bawah ke batas atas. Bila kita menggunakan \dfrac{11\pi}{6}, maka kita justru akan mencari luas pada proyeksi sebaliknya (menuju sumbu Y negatif). Jadi, kita peroleh batas pertidaksamaan
\dfrac{-\pi}{6} \leq \theta \leq \dfrac{7\pi}{6}
2 \leq r \leq 3 + 2 \sin \theta
Jadi, luas daerah D adalah
 \displaystyle \int_{\frac{-\pi}{6}}^{\frac{7\pi}{6}} \int_{2}^{3 + 2 \sin \theta} r~dr~d\theta

[collapse]

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Non-Homogen) dengan Koefisien Konstan


Berikut ini disajikan beberapa soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan diferensial linear orde dua (non-homogen) dengan koefisien konstan. Metode yang digunakan melibatkan penyelesaian PD homogennya, sehingga Anda diharuskan sudah menguasai teknik penyelesaiannya. Klik link berikut untuk mempelajari soal-soal yang terkait dengannya.
Soal dan Pembahasan – PD Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan

Gunakan bantuan tabel UC di atas untuk mengerjakan soal-soal berikut ini.

Soal Nomor 1
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2 \dfrac{dy}{dx} - 3y = 5

Penyelesaian

PD di atas bukan PD homogen sebab ruas kanannya mengandung konstanta tak nol. Gunakan cara yang sama seperti mencari penyelesaian umum PD homogen. Persamaan karakteristiknya adalah m^2 - 2m - 3 = (m - 3)(m + 1) = 0. Dengan demikian, akar karakteristiknya adalah m = 3 \lor m = -1. Berarti, penyelesaian umum PD homogen terkait adalah y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}. Dengan memperhatikan koefisien y pada PD, kita dapatkan bahwa perlu adanya konstanta baru yang bila dikalikan dengan -3, hasilnya adalah 5.  Konstanta itu adalah -\dfrac{5}{3}. Jadi, solusi umum PD tersebut adalah
\boxed{y = y_c - \dfrac{5}{3} = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} - \dfrac{5}{3}}.

[collapse]

Soal Nomor 2
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2 \dfrac{dy}{dx} - 3y = 2e^{4x}

Penyelesaian

Langkah pertama adalah menentukan solusi komplementer (umum) untuk PD homogen terkait, yaitu
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2 \dfrac{dy}{dx} - 3y = 0
Persamaan karakteristiknya adalah m^2 - 2m - 3 = 0, dengan akar karakteristik m = 3 dan m = -1. Jadi, solusi umumnya adalah y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}
Langkah selanjutnya adalah menentukan solusi partikulir (solusi khusus) PD non-homogen tersebut.
Misalkan y_p = Ae^{4x} merupakan solusi khususnya, sehingga y' = 4Ae^{4x} dan y'' = 16Ae^{4x}. Substitusikan ke PD, diperoleh
16Ae^{4x} - 2(4Ae^{4x}) - 3Ae^{4x} = 2e^{4x}
\Leftrightarrow 5Ae^{4x} = 2e^{4x}
\Leftrightarrow A = \dfrac{2}{5}

Berarti, solusi khususnya adalah y_p = \dfrac{2}{5}e^{4x}
Solusi umum PD itu adalah
\boxed{y = y_c + y_p = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{2}{5}e^{4x}}

[collapse]

Soal Nomor 3
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2 \dfrac{dy}{dx} - 3y = 2e^{3x}

Penyelesaian

Mirip dengan soal nomor 1 (bedanya hanya pada ekspresi di ruas kanannya). Solusi umum PD non-homogen terkait adalah y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}. Sekarang, kita akan menentukan solusi khusus PD homogennya dengan cara yang sama seperti sebelumnya.
Misalkan y_p = Ae^{3x} merupakan solusi khususnya, sehingga y' = 3Ae^{4x} dan y'' = 9Ae^{4x}. Substitusikan ke PD, diperoleh
9Ae^{4x} - 2(3Ae^{4x}) - 3Ae^{4x} = 2e^{4x}
0 = 2e^{4x}

Dalam hal ini, kita menemukan bahwa nilai A menjadi sembarang konstanta, sebab pada solusi umum y_c sudah terkandung suku dengan ekspresi e^{3x}.
Ulangi step dengan memisalkan y_p = Axe^{3x} sebagai solusi khususnya, sehingga y_p' = 3Axe^{3x} + Ae^{3x} dan y_p'' = 9Axe^{3x} + 6Ae^{3x}. Substitusikan ke PD hingga diperoleh
(9Axe^{3x} + 6Ae^{3x}) - 2(3Axe^{3x} + Ae^{3x}) - 3Axe^{3x} = 2e^{3x}
\Leftrightarrow 4Ae^{3x} = 2e^{3x}
\Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}

Jadi, y_p = \dfrac{1}{2}xe^{3x}
Dengan demikian, solusi umum PD homogen tersebut adalah
\boxed{y = y_c + y_p = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{1}{2}xe^{3x}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 4x^2

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{2x} + C_2e^{x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{x^2, x, 1\}. Misalkan
y_p = Ax^2 + Bx + C adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' =2Ax + B dan y_p'' = 2A
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 4x^2
2A - 3(2Ax + B) + 2(Ax^2 + Bx + C) = 4x^2
2Ax^2 + (-6A + 2B)x + (2A - 3B + 2C) = 4x^2
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} 2A = 4 & \\ -6A+ 2B = 0 & \\ 2A - 3B + 2C = 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = 2 & \\ B = 6 & \\ C = 7 \end{cases}
Jadi, y_p = 2x^2 + 6x + 7
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{2x} + C_2e^{x} + 2x^2 + 6x + 7 }

[collapse]

Soal Nomor 5
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 8y = 4e^{2x} - 21e^{-3x}

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{e^{2x}, e^{-3x}\}. Misalkan
y_p = Ae^{2x}+ Be^{-3x} adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = 2Ae^{2x} - 3Be^{-3x} dan y_p'' = 4Ae^{2x} + 9Be^{-3x}
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 8y = 4e^{2x} - 21e^{-3x}
\begin{aligned} (4Ae^{2x} + 9Be^{-3x}) & - 2(2Ae^{2x} - 3Be^{-3x}) \\ & - 8(Ae^{2x}+ Be^{-3x}) = 4e^{2x} - 21e^{-3x} \end{aligned}
\Leftrightarrow (-8A)e^{2x} + 7Be^{-3x} = 4e^{2x} - 21e^{-3x}
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} -8A = 4 & \\ 7B = -21 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = -\dfrac{1}{2} & \\ B = -3 \end{cases}
Jadi, y_p = -\dfrac{1}{2}e^{2x} - 3e^{-3x}
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x} -\dfrac{1}{2}e^{2x} - 3e^{-3x}}

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 3y = 2e^x - 10 \sin x

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{e^x, \sin x, \cos x\}. Misalkan
y_p = Ae^x + B \sin x + C \cos x adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = Ae^x + B \cos x - C \sin x
y_p'' = Ae^x - B \sin x - C \cos x
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 3y = 2e^x - 10 \sin x
\begin{aligned} (Ae^x & - B \sin x - C \cos x)  - 2(Ae^x +  B \cos x \\ & - C \sin x)  - 3( Ae^x + B \sin x + C \cos x) \\ & = 2e^x - 10 \sin x \end{aligned}
\begin{aligned} -4Ae^x + & (-4B + 2C) \sin x + (-2B - 4C) \cos x \\ & = 2e^x - 10 \sin x \end{aligned}
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} -4A = 2 & \\ -4B + 2C = -10 & \\ -2B - 4C = 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = \dfrac{1}{2} & \\ B =2 & \\ C = -1 \end{cases}
Jadi, y_p = \dfrac{1}{2}e^x + 2\sin x - \cos x
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{1}{2}e^x + 2\sin x - \cos x}

[collapse]

Soal Nomor 7
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + 5y = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD homogen terkait adalah m^2 + 2m + 5 = 0. Akar karakteristiknya (gunakan rumus kuadrat) adalah m = -1 \pm 2i sehingga solusi umumnya adalah
y_c = e^{-x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{\sin 2x, \cos 2x\}. Misalkan
y_p = A \sin 2x + B \cos 2x adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = 2A \cos 2x - 2B \sin 2x
y_p'' = -4A \sin 2x - 4B \cos 2x
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + 5y = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x
\begin{aligned} ( -4A \sin 2x & - 4B \cos 2x)  + 2(2A \cos 2x - \\ & 2B \sin 2x) + 5(A \sin 2x + B \cos 2x) \\ & = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x \end{aligned}
\begin{aligned} (A - 4B)\sin 2x & + (4A + B)\cos 2x \\ & = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x \end{aligned}
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} A-4B = 6 & \\ 4A+B= 7 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = 2 & \\ B = -1 \end{cases}
Jadi, y_p = 2 \sin 2x - \cos 2x
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = e^{-x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x) + 2 \sin 2x - \cos 2x}

[collapse]

Soal Nomor 8
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + 2y = 10 \sin 4x

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD homogen terkait adalah m^2 + 2m + 2 = 0. Akar karakteristiknya (gunakan rumus kuadrat) adalah m = -1 \pm i sehingga solusi umumnya adalah
y_c = e^{-x}(C_1 \sin x + C_2 \cos x)
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{\sin 4x, \cos 4x\}. Misalkan
y_p = A \sin 4x + B \cos 4x adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = 4A \cos 4x - 4B \sin 4x
y_p'' = -16A \sin 4x - 16B \cos 4x
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + 2y = 10 \sin 4x
\begin{aligned}(-16A \sin 4x - & 16B \cos 4x) + 2(4A \cos 4x \\ & - 4B \sin 4x)   + 2(A \sin 4x + B \cos 4x) \\ & = 10 \sin 4x \end{aligned}
\Leftrightarrow (-14A - 8B)\sin 4x + (8A - 14B)\cos 4x = 10 \sin 4x
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} -14A-8B = 10 & \\ 8A-14B= 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = -\dfrac{7}{13}& \\ B = -\dfrac{4}{13} \end{cases}
Jadi, y_p = -\dfrac{7}{13} \sin 4x -\dfrac{4}{13} \cos 4x
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = e^{-x}(C_1 \sin x + C_2 \cos x) -\dfrac{7}{13} \sin 4x -\dfrac{4}{13} \cos 4x}

[collapse]

Soal Nomor 9
Cari solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} - 4y = 16x - 12e^{2x}

Penyelesaian

Solusi umum PD homogen yang terkait adalah y_c = C_1e^{4x} + C_2e^{-x}
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah \{x, 1, e^{2x}\}. Misalkan
y_p = Ax + B + Ce^{2x} adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
y_p' = A + 2Ce^{2x} dan y_p'' = 4Ce^{2x}
Substitusikan ke PD:
\dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} - 4y = 16x - 12e^{2x}
\begin{aligned} (4Ce^{2x}) - 3(A + 2Ce^{2x}) & - 4(Ax + B + Ce^{2x}) \\ & = 16x - 12e^{2x} \end{aligned}
(-6C)e^{2x} + (-4A)x + (-3A - 4B) = 16x - 12e^{2x}
Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} -6C = -12 & \\ -4A = 16 & \\ -3A - 4B = 0 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh
\begin{cases} A = -4 & \\ B = 3 & \\ C = 2 \end{cases}
Jadi, y_p = -4x + 3 + 2e^{2x}
Solusi umumnya adalah y = y_c + y_p, yaitu
\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2e^{-x} - 4x + 3 + 2e^{2x}}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini