Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Analisis Real 2 (Deret dan Uji Konvergensinya)

Berikut ini adalah 4 soal UAS Analisis Real II (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 9 Januari 2018 oleh Dr. Dede Suratman, M.Si. Materi yang diujikan mengenai deret dan uji konvergensinya. 
Download Soal (Docx/PDF)

Soal Nomor 1
Diketahui barisan $X = (x_n) $ dengan
$$x_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k$$Apakah barisan di atas konvergen? Tunjukkan.

Pembahasan

Beberapa suku pertama dari barisan $X$ adalah sebagai berikut.
$\displaystyle x_1 = \sum_{k=1}^{1} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k = \dfrac{2}{3}$
$\displaystyle x_2 = \sum_{k=1}^{2} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9}$
$\displaystyle x_3 = \sum_{k=1}^{3} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{27}$
$\cdots$
Konvergensi barisan $X$ ditentukan oleh
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k= \sum_{k = 1}^{\infty} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k$
Gunakan rumus jumlah parsial deret geometri tak hingga $S_{\infty} = \dfrac{a} {1- r}$, sehingga kita peroleh $S_\infty = 2\left(\dfrac{\frac{1}{3}} {1- \frac{1}{3}}\right)= 1$. Berarti, barisan $X$ konvergen ke $1$.

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah hasil dari deret berikut.
a. $2 + 6 + 12 + 20 + \cdots + 2550$
b. $\displaystyle \sum_{n=1}^{2018} \dfrac{2018}{n(n+1)} $
c. $\displaystyle \sum_{n=1}^{50} (n-1)(n+1)$

Pembahasan

Ingat beberapa rumus notasi sigma berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{n=1}^{k} n = \dfrac{k(k+1)}{2} \\ &  \displaystyle \sum_{n=1}^{k} n^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} \end{aligned}}$$Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$2 + 6 + 12 + 20 + \cdots + 2550$ $= 2(1 + 3 + 6 + 10 + \cdots + 1275)$
Ekspresi dalam kurung merupakan deret yang terbentuk dari barisan segitiga dengan rumus $u_n = \dfrac{1}{2}(n)(n+1)$, sehingga dapat ditulis

$$\begin{aligned} 2(1 + 3 + 6 + 10 + \cdots + 1275) & = 2 \displaystyle \sum_{n=1}^{50} \dfrac{1}{2}(n)(n-1) \\ & =  \sum_{n=1}^{50} (n^2- n) \\ & =  \sum_{n=1}^{50} n^2-  \sum_{n=1}^{50}  n \\ & = \dfrac{(50)(51)(101)}{6}- \dfrac{(50)(51)}{2} \\ & = 43.925- 1.275 = 42650 \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{2018} \dfrac{2018}{n(n+1)} & = 2018 \sum_{n=1}^{2018} \left(\dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n} \right) \\ & = 2018\left(1- \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}- \cdots- \dfrac{1}{2019}\right) \\ & = 2018\left(\dfrac{2018}{2019}\right) \end{aligned}$$Jawaban c)
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{50} (n-1)(n+1) & = \displaystyle \sum_{n=1}^{50} (n^2- 1) \\ & = \displaystyle \sum_{n=1}^{50} n^2- \sum_{n=1}^{50} 1 \\ & = \dfrac{(50)(51)(101)}{6}- 50 \\ & = 42.875 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 3
Misalkan didefinisikan $$\text{S} = 1 + r + \dfrac{1}{2}r^2 + \dfrac{1}{3}r^3 + \dfrac{1}{4}r^4 + \cdots$$a. Ubah $\text{S}$ menjadi bentuk notasi sigma.
b. Kapan $\text{S}$ konvergen?

Pembahasan

Jawaban a) $\text{S} = 1 + \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}r^n$.
Jawaban b) Gunakan teorema uji rasio, yang redaksinya:
Misalkan $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = L$. Deret akan konvergen apabila $L < 1$ atau divergen apabila $L > 1$.
Sekarang, misalkan $u_n = \dfrac{1}{n}r^n$, sedangkan $u_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}r^{n+1}$, sehingga

$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n+1}r^{n+1}}{\dfrac{1}{n}r^n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{nr}{n+1} \\ & = r \end{aligned}$$Jadi, agar konvergen, maka $L = r < 1$.
Untuk menentukan limitnya, pertama kali perlu diperhatikan bahwa $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}$ dan
$$\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n}\right) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}$$Jadi,
$$\begin{aligned} 1 + \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n} & = 1 + \displaystyle \int \dfrac{\text{d}x}{1-x} \\ & = 1- \log (1- x) \end{aligned}$$Jadi, $S$ memiliki limit $\boxed{1-\log (1- x)}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Selidiki apakah deret berikut konvergen.
a. $ \dfrac{3}{n^2 + n + 1}$
b. $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}$ 

Pembahasan

Jawaban a)
Kita akan menggunakan uji banding.

Misalkan $x_n =  \dfrac{3}{n^2 + n + 1}$ dan barisan lain yang konvergen yaitu $y_n  = \dfrac{3}{n^2}$. Karena pertidaksamaan $0 \leq \dfrac{3}{n^2 + n + 1} \leq \dfrac{3}{n^2}$ berlaku untuk semua $n \in \mathbb{N}$ dan juga $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{n^2}$ konvergen, maka dengan menggunakan uji banding,  $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{n^2 + n + 1}$ konvergen.
Jawaban b)
Kita akan menggunakan uji rasio.

Misalkan $x_n = \dfrac{2^n}{n!}$ dan $x_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}$
Berarti,
$$\begin{aligned} \dfrac{x_{n+1}}{x_n} & = \dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^n}{n!}} \\ & = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} \times \dfrac{n!}{(n+1)!} \\ & = \dfrac{2}{n+1} \end{aligned}$$Jelas bahwa
$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n+1} = 0 = L$$Karena $L < 1$, maka menurut Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}$ konvergen.

[collapse]