Soal dan Pembahasan – Aplikasi (Soal Cerita) Statistika

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang statistika (tingkat SMA/Sederajat) yang mencakup perhitungan ukuran pemusatan data dan ukuran penyebaran data (data tunggal dan berkelompok). Tipe soal yang disajikan berupa soal cerita (aplikasi) terkait materi statistika. Soalnya dikumpulkan dari berbagai sumber, kemudian penulis rangkum dalam postingan ini. Semoga bermanfaat. 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Statistika (Tingkat SMA/Sederajat)

“Mistakes are proof that you are trying.”

Soal Nomor 1
Di suatu kelas terdiri dari siswa yang dibagi menjadi 3 kelompok untuk memberi sumbangan kepada korban bencana alam. Kelompok I, II, dan III berturut-turut terdiri dari 10, 12, dan 18 siswa. Jika rata-rata sumbangan kelompok I adalah Rp10.000,00, rata-rata sumbangan kelompok II Rp11.000,00, dan rata-rata sumbangan seluruh kelompok Rp9.400,00, maka rata-rata sumbangan kelompok III adalah \cdots
A. Rp7.500,00        D. Rp9.000,00
B. Rp8.000,00        E. Rp10.000,00
C. Rp8.500,00

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} n_1 & = 10 \\ n_2 & = 12 \\ n_3 & = 18 \\ \overline{x}_1 & = 10.000 \\ \overline{x}_2 & = 11.000 \\ \overline{x}_G & = 9.400 \end{aligned}
Ditanya: \overline{x}_3
Notasi n menyatakan banyak siswa pada suatu kelompok dan \overline{x} menyatakan rata-rata sumbangan suatu kelompok. Notasi \overline{x}_G menyatakan rata-rata sumbangan seluruh kelompok. 
\overline{x}_G dapat ditentukan dengan menjumlahkan seluruh sumbangan yang ada pada setiap kelompok, lalu dibagi banyak siswa seluruhnya. 
\begin{aligned} \overline{x}_G & = \dfrac{n_1 \cdot \overline{x}_1 + n_2 \cdot \overline{x}_2 + n_3 \cdot \overline{x}_3}{n_1 + n_2 + n_3} \\ 9.400 & = \dfrac{10 \cdot 10.000 + 12 \cdot 11.000 + 18\overline{x}_3}{10+12+18} \\ 9.400 & = \dfrac{100.000 + 132.000 + 18\overline{x}_3}{40} \\ 9.400 \cdot 40 & = 232.000 + 18\overline{x}_3 \\ 18\overline{x}_3 & = 376.000 - 232.000 \\ \overline{x}_3 & = \dfrac{144.000}{18} = 8.000 \end{aligned}
Jadi, rata-rata sumbangan kelompok III adalah Rp8.000,00 (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata suatu kelas adalah 58. Jika rata-rata nilai ulangan untuk siswa laki-laki adalah 64 dan rata-rata nilai ulangan untuk siswa perempuan adalah 56, maka perbandingan banyak siswa laki-laki dan perempuan adalah \cdots
A. 1 : 6       D. 3 : 2
B. 1 : 3       E. 3 : 4
C. 3 : 1

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \overline{x}_G & = 58 \\ \overline{x}_L & = 64 \\ \overline{x}_P & = 56 \end{aligned}
Ditanya: n_L : n_P
\overline{x}_G dapat ditentukan dengan menjumlahkan seluruh nilai siswa, kemudian dibagi banyaknya siswa. 
\begin{aligned} \overline{x}_G & = \dfrac{n_L \cdot \overline{x}_L + n_P \cdot \overline{x}_P} {n_L + n_P} \\ 58 & = \dfrac{64n_L + 56n_P} {n_L + n_P} \\ 58n_L + 58n_P & = 64n_L + 56n_P \\ 2n_P & = 6n_L \\ \dfrac{n_L} {n_P} & = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \end{aligned}
Jadi, perbandingan banyak siswa laki-laki dan siswa perempuan di kelas tersebut adalah \boxed{1 : 3} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Data hasil ujian masuk salah satu perguruan tinggi disajikan dalam tabel berikut. 
\begin{array}{|c|c|} \hline \rowcolor{green} \text{Nilai} & \text{Frekuensi} \\ \hline 36-45 & 12 \\ 46-55 & 48 \\ 56-65 & 60 \\ 66-75 & 80 \\ 76-85 & 76 \\ 86-95 & 24 \\ \hline \end{array}
Jumlah peserta ujian yang akan diterima sebagai mahasiswa adalah 60% dari jumlah peserta ujian. Nilai terendah dari peserta ujian yang lolos tes adalah \cdots
A. 55,5          D. 75,0
B. 65,5          E. 76,5
C. 70,5

Penyelesaian

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif. 
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \rowcolor{green} \text{Nilai} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 36-45 & 12 & 12 \\ 46-55 & 48 & 60 \\ \rowcolor{yellow} 56-65 & 60 & 120 \\ 66-75 & 80 & 200 \\ 76-85 & 76 & 276 \\ 86-95 & 24 & 300 \\ \hline \end{array} 
Akan dicari nilai dari persentil ke-40 sebagai berikut. 
Persentil ke-40 terletak pada datum ke:
\dfrac{40}{100} \times 300 = 120
yaitu pada kelas dengan interval 56-65
Diketahui:
\begin{aligned} L_0 & = 55,5 \\ c & = 65-56+1 =10 \\ n & = 300 \\ \sum F_{kp} & = 60 \\ f_p & = 60 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} P_{40} & = L_0 + c\left(\dfrac{\dfrac{40}{100} \times n - \sum F_{kp}} {f_p}\right) \\ & = 55,5 + 10\left(\dfrac{\frac{40}{100} \times 300 - 60}{60}\right) \\ & = 55,5 + 10\left(\dfrac{60}{60}\right) \\ & = 55,5 + 10 = 65,5 \end{aligned}
Jadi, nilai terendah dari peserta ujian yang lolos tes adalah \boxed{65,5} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Sebuah laboratorium komputer akan mengadakan pengurangan jumlah CPU berdasarkan performa hardware-nya yang diukur melalui sebuah aplikasi. Dari hasil pengukuran diperoleh data sebagai berikut. 
\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline \text{Skor Uji} & 61-65 & 66-70 & 71-75 \\ \hline \text{Frekuensi} & 2 & 4 & 8 \\ \hline \text{Skor Uji} & 76 - 80 & 81 - 85 & 86 - 90 \\ \hline \text{Frekuensi} & 12 & 6 & 8 \\ \hline \end{array}
Jika komputer yang akan dikurangi sebanyak 25% dari total komputer yang ada, maka skor uji performa hardware untuk komputer yang dikurangi adalah \cdots
A. 71,00             D. 73,00
B. 72,17             E. 73,50
C. 72,67

Penyelesaian

Ubah format dan lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif. 
\begin{array} {|c|c|c|} \hline \rowcolor{green} \text{Skor Uji} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 61-65 & 2 & 2\\ 66-70 & 4 & 6 \\ \rowcolor{yellow} 71-75 & 8 & 14\\ 76-80 & 12 & 26\\ 81-85 & 6 & 32 \\ 86-90 & 8 & 40 \\ \hline \end{array} 
Akan dicari nilai dari persentil ke-25 sebagai berikut. 
Persentil ke-25 terletak pada datum ke:
\dfrac{25}{100} \times 40 = 10
yaitu pada kelas dengan interval 71-75
Diketahui:
\begin{aligned} L_0 & = 70,5 \\ c & = 75-71+1 = 5\\ n & = 40 \\ \sum F_{kp} & = 6 \\ f_p & = 8 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} P_{25} & = L_0 + c\left(\dfrac{\dfrac{25}{100} \times n - \sum F_{kp}} {f_p}\right) \\ & = 70,5 + 5\left(\dfrac{\frac{25}{100} \times 40 - 6}{8}\right) \\ & = 70,5 + 5\left(\dfrac{4}{8}\right) \\ & = 70,5 + 2,5 = 73 \end{aligned}
Jadi, skor uji tertinggi performa hardware untuk komputer yang dikurangi adalah \boxed{73,00} (Jawaban D)
Catatan: Selain menggunakan P_{40}, kasus ini juga bisa diselesaikan dengan menggunakan Q_1 (kuartil pertama), karena 25% dapat ditulis sebagai \dfrac{1}{4}

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai rata-rata ulangan fisika dari suatu kelas adalah 6,8. Jika dua siswa yang nilainya 4 dan 6 diabaikan, maka nilai rata-rata kelas tersebut berubah menjadi 6,9. Banyaknya siswa mula-mula adalah \cdots

Penyelesaian

Misalkan \sum F menyatakan jumlah nilai ulangan fisika seluruh siswa dan n menyatakan jumlah siswa mula-mula. Untuk itu, berlaku
\dfrac{\sum F} {n} = 6,8 \Leftrightarrow \sum F = 6,8n
Setelah dua siswa yang nilainya 4 dan 6 diabaikan, rata-ratanya menjadi 6,9. Secara matematis, kita tuliskan
\begin{aligned} \dfrac{\sum F - 4 - 6}{n - 2} & = 6,9 \\ \text{Substitusikan} &~\sum F = 6,8n \\ 6,8n - 10 & = 6,9(n-2) \\ 6,8n - 10 & = 6,9n - 13,8 \\ 0,1n & = 3,8 \\ n & = 38 \end{aligned}
Jadi, jumlah siswa mula-mula adalah \boxed{38~\text{orang}}

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika Ridwan memperoleh nilai 94 pada ujian yang akan datang, maka rata-rata nilainya menjadi 89, tetapi jika Ridwan memperoleh nilai 79, maka rata-ratanya menjadi 86. Banyaknya total ujian yang telah diikutinya adalah \cdots
A. 4        B. 5        C. 6           D. 7            E. 8

Penyelesaian

Misalkan x menyatakan jumlah nilai Ridwan sebelum ditambah nilai ujian berikutnya dan n menyatakan banyaknya ujian yang diikuti Ridwan (termasuk ujian berikutnya). Dengan demikian, berlaku dua persamaan yakni
\begin{aligned} \dfrac{x + 94}{n} & = 89 && (\cdots 1) \\ \dfrac{x + 79}{n} & = 86 && (\cdots 2) \end{aligned}
Pada persamaan (1), dapat kita tuliskan
\dfrac{x + 94}{n} & = 89 \Leftrightarrow x + 94 & = 89n \Leftrightarrow x = 89n - 94
Substitusikan nilai x ini ke persamaan (2)
\begin{aligned} \dfrac{x + 79}{n} & = 86 \\ (89n - 94) + 79 & = 86n \\ 3n & = 15 \\ n & = 5 \end{aligned}
Ini berarti, banyak ujian yang telah diikuti Ridwan adalah \boxed{5-1=4~\text{kali}} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui 10 siswa mengikuti suatu ujian. Jika skor maksimum tidak diperhitungkan, rata-rata nilai mereka adalah 6,5. Jika skor minimum tidak diperhitungkan, rata-rata nilai mereka adalah 7,3. Rentang (range) nilai mereka adalah \cdots
A. 6,9        B. 7,0        C. 7,2        D. 7,4       E. 7,6

Penyelesaian

Rentang (range) adalah selisih nilai maksimum dan minimum. 
Misalkan \overline{x} menyatakan rata-rata nilai mula-mula, x_{\text{min}} menyatakan skor minimum, dan x_{\text{max}} menyatakan skor maksimum, sehingga berlaku
\begin{aligned} \dfrac{10\overline{x} - x_{\text{max}}} {10 - 1} & = 6,5 \\ 10\overline{x} - x_{\text{max}} & = 9(6,5) \\ 10\overline{x} & = 58,5 + x_{\text{max}} && (\cdots 1) \end{aligned}
Selanjutnya, 
\begin{aligned} \dfrac{10\overline{x} - x_{\text{min}}} {10 - 1} & = 7,3 \\ 10\overline{x} - x_{\text{min}} & = 9(7,3) \\ 10\overline{x} & = 65,7 + x_{\text{min}} && (\cdots 2) \end{aligned}
Dari (1) dan (2), kita peroleh
\begin{aligned} 58,5 + x_{\text{max}} & = 65,7 + x_{\text{min}} \\ x_{\text{max}} - x_{\text{min}} & = 65,7 - 58,5 = 7,2 \end{aligned}
Jadi, rentang skor mereka adalah \boxed{7,2} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Perhatikan data nilai siswa berikut. 
\begin{array} {|c|c|} \hline \rowcolor{green} \text{Nilai} & f \\ \hline 60-65 & 8 \\ 66-71 & 13 \\ 72-77 & 18 \\ 78-83 & 28 \\ 84-89 & 14 \\ 90-95 & 9 \\ \hline \text{Jumlah} & 90 \\ \hline \end{array}
Jika 30% dari jumlah siswa yang ada harus mengikuti remedial, maka batas nilai minimal adalah \cdots

Penyelesaian

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif. 
\begin{array} {|c|c|c|} \hline \rowcolor{green} \text{Nilai} & f & F_k \\ \hline 60-65 & 8 & 8 \\ 66-71 & 13 & 21 \\ \rowcolor{yellow} 72-77 & 18 & 39\\ 78-83 & 28 & 67 \\ 84-89 & 14 & 81\\ 90-95 & 9 & 90 \\ \hline \end{array} 
Akan dicari nilai dari persentil ke-30 sebagai berikut. 
Persentil ke-30 terletak pada datum ke:
\dfrac{30}{100} \times 90 = 27
yaitu pada kelas dengan interval 72-77
Diketahui:
\begin{aligned} L_0 & = 71,5 \\ c & = 77-72+1 = 6 \\ n & = 90 \\ \sum F_{kp} & = 21 \\ f_p & = 18 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} P_{30} & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{30}{100} \times n - \sum F_{kp}} {f_p}\right) \\ & = 71,5 + 6\left(\dfrac{\frac{30}{100} \times 90 - 21}{18}\right) \\ & = 71,5 + 6\left(\dfrac{6}{18}\right) \\ & = 71,5 + 2 = 73,5 \end{aligned}
Jadi, batas ketuntasan minimal agar tidak remedial adalah \boxed{73,5}

[collapse]

Soal Nomor 9
Tabel di bawah ini adalah data nilai ujian mata pelajaran akuntansi di suatu kelas. 
\begin{array} {|c|c|} \hline \rowcolor{green} \text{Nilai} & \text{Frekuensi} \\ \hline 1-2 & 2 \\ 3-4 & 4 \\ 5-6 & 5 \\ 7-8 & 12 \\ 9-10 & 7 \\ \hline \text{Jumlah} & 30 \\ \hline \end{array}
Jika diketahui bahwa 60% dari seluruh siswa dinyatakan lulus, maka dugaan nilai tertinggi yang tidak lulus adalah \cdots

Penyelesaian

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif. 
\begin{array} {|c|c|c|} \hline \rowcolor{green} \text{Nilai} & \text{Frekuensi} & f_k \\ \hline 1-2 & 2 & 2 \\ 3-4 & 4 & 6 \\ 5-6 & 5 & 11 \\ \rowcolor{yellow} 7-8 & 12 & 23 \\ 9-10 & 7 & 30 \\ \hline \end{array} 
Akan dicari nilai dari persentil ke-40 sebagai berikut. 
Persentil ke-40 terletak pada datum ke:
\dfrac{40}{100} \times 30 = 12
yaitu pada kelas dengan interval 7-8
Diketahui:
\begin{aligned} L_0 & = 6,5 \\ c & = 8-7+1 = 2 \\ n & = 30 \\ \sum F_{kp} & = 11 \\ f_p & = 12 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} P_{40} & = L_0 + c\left(\dfrac{\dfrac{40}{100} \times n - \sum F_{kp}} {f_p}\right) \\ & = 6,5 + \cancel{2}\left(\dfrac{\frac{40}{100} \times 30 - 11}{\cancelto{6}{12}}\right) \\ & = 6,5 + \dfrac{1}{6} \\ & \approx 6,5 + 0,167 = 6,667 \end{aligned}
Jadi, dugaan nilai tertinggi yang tidak lulus adalah \boxed{6,667}

[collapse]

Soal Nomor 10
Sepuluh anak membentuk 2 kelompok bermain yang masing-masing terdiri dari 4 anak dan 6 anak. Rata-rata usia kelompok yang beranggotakan 4 anak adalah 6 tahun, sedangkan rata-rata usia kelompok lainnya adalah 6,5 tahun. Jika satu anak dari masing-masing kelompok ditukar satu sama lain, maka rata-rata usia kedua kelompok sama. Selisih usia kedua anak yang ditukar tersebut adalah \cdots
A. 1,2 tahun          D. 0,4 tahun
B. 1,0 tahun          E. 0,1 tahun
C. 0,5 tahun

Penyelesaian

Misalkan:
x = Jumlah usia tiga anak lainnya di
kelompok 4 anak

y = Jumlah usia lima anak lainnya di
kelompok 6 anak

a = Usia anak yang ditukar dari
kelompok 4 anak

b = Usia anak yang ditukar dari
kelompok 6 anak

Dengan demikian, pada kelompok 4 anak berlaku
\dfrac{a + x}{4} = 6 \Leftrightarrow a + x = 24 \Leftrightarrow x = 24-a
sedangkan pada kelompok 6 anak berlaku
\dfrac{b + y}{6} = 6,5 \Leftrightarrow b + y = 39 \Leftrightarrow y = 39-b
Karena setelah pertukaran anak terjadi, nilai rata-rata kedua kelompok menjadi sama, maka ditulis
\begin{aligned} \dfrac{b+x} {4} & = \dfrac{a + y} {6} \\ \dfrac{b+(24-a)} {4} & = \dfrac{a + (39-b)} {6} \\ \text{Kedua ruas dikalikan}&~12 \\ 3((b-a) +24) & = 2(-(b-a)+39) \\ 3(b-a) + 72 & = -2(b-a) + 78 \\ 5(b-a) & = 6 \\ b-a & = \dfrac{6}{5} = 1,2 \end{aligned}
Jadi, selisih usia dua anak yang ditukar itu adalah \boxed{1,2~\text{tahun}} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Sepuluh wanita mempunyai rata-rata tinggi badan 155~\text{cm}. Jika tiga orang wanita dikeluarkan dari kelompok tersebut, rata-rata tinggi badannya menjadi 156,5. Rata-rata tinggi badan ketiga wanita tersebut adalah \cdots
A. 151,0~\text{cm}                D. 153,5~\text{cm}
B. 151,5~\text{cm}                E. 154,5~\text{cm}
C. 153,0~\text{cm}

Penyelesaian

Ingat bahwa jumlah datum dihitung dengan cara mengalikan frekuensi dan rata-ratanya.
Misalkan
x_1 = jumlah tinggi 10 wanita,
x_2 = jumlah tinggi 7 wanita yang tersisa,
x_3= jumlah tinggi 3 wanita yang dikeluarkan,
a = rata-rata tinggi 3 wanita yang dikeluarkan,
maka diperoleh persamaan:
\begin{aligned} x_1 & = x_2 + x_3 \\ 10 \times 155 & = 7 \times 156,5 + 3a \\ 1550 & = 1095,5 + 3a \\ 3a & = 1550 - 1095,5 \\ 3a & = 454,5 \\ a & = \dfrac{454,5}{3} = 151,5 \end{aligned}
Jadi, tinggi rata-rata tiga wanita yang dikeluarkan itu adalah \boxed{151,5~\text{cm}} (Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai rata-rata ulangan matematika dari 20 siswa adalah 60. Jika ditambah dengan sejumlah siswa yang memiliki rata-rata 70, maka nilai rata-ratanya menjadi 62. Banyak siswa yang ditambahkan adalah \cdots
A. 2 orang       D. 6 orang
B. 4 orang       E. 7 orang
C. 5 orang     

Penyelesaian

Misalkan banyak siswa yang ditambahkan adalah x.
Jumlah nilai 20 siswa itu adalah 20 \times 60 = 1.200, sedangkan jumlah nilai x siswa yang baru adalah x \times 70 = 70x, dan jumlah nilai seluruh siswa (ada 20 +x) adalah (20 + x) \times 62 = 1240 + 62x. Untuk itu, diperoleh persamaan berikut.
\begin{aligned} 1240+62x & = 1200 + 70x \\ 1240-1200 & = 70x-62x \\ 40 & = 8x \\ x & = 5 \end{aligned}
Jadi, banyak siswa yang ditambahkan adalah \boxed{5~\text{orang}} (Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 13
Daftar distribusi frekuensi berikut menyatakan hasil dari suatu ujian. 
\begin{array} {|c|c|} \hline \rowcolor{green} \text{Interval} & f \\ \hline 40-49 & 2 \\ 50-59 & 8 \\ 60-69 & 14 \\ 70-79 & 12 \\ 80-89 & 4 \\ \hline \end{array}
Siswa yang lulus adalah siswa yang mendapat nilai lebih dari 64,5. Banyak siswa yang lulus adalah \cdots orang. 
A. 23      B. 25       C. 27      D. 28      E. 29

Penyelesaian

Sebanyak 16 siswa dengan nilai pada interval 70-79 atau 80-89 dipastikan lulus. Perhatikan bahwa batas minimal kelulusan berada pada kelas dengan interval 60-69
Diketahui:
\begin{aligned} L_0 & = 59,5 \\ c & = 10 \\ f & = 14 \\ \text{KKM} = 64,5 \end{aligned}
Catatan: KKM = Kriteria Ketuntasan Minimal
Misalkan x menunjukkan urutan nilai di kelasnya. 
Dengan demikian, berlaku
\begin{aligned} \text{KKM} & = L_0 + \dfrac{x} {f} \times c \\ 64,5 & = 59,5 + \dfrac{x} {14} \times 10 \\ 5 & = \dfrac{x}{14} \times 10 \\ x & = \cancel{5} \times \dfrac{14}{\cancelto{2}{10}} = 7 \end{aligned}
Jadi, nilai 64,5 merupakan nilai urutan ke-7 dari 14 nilai yang ada di kelas tersebut. Jadi, banyak siswa yang lulus adalah \boxed{(14-7) + 16 = 23} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Sebuah sampel diperoleh dari lima kali pengamatan. Jika rataan hitung (mean) sampel sama dengan 10 dan median sampel sama dengan 12, maka nilai terkecil jangkauan sampel sama dengan \cdots
A. 2        B. 3         C. 5        D. 7        E. 10

Penyelesaian

Misalkan nilai pengukuran dari lima kali pengamatan tersebut dimisalkan a, b, c, d, e dengan a \leq b \leq c \leq d \leq e
Karena rata-ratanya 10, maka haruslah
a +b+c+d+e = 5 \times 10 = 50
Diketahui juga bahwa mediannya 12, sehingga c = 12
Agar jangkauan sekecil mungkin, maka nilai a harus sebesar-besarnya dan nilai e harus sekecil-kecilnya. Untuk itu, kita dapat tuliskan d = e = 12
Ini berarti, 
a+b+12+12+12=50 \Leftrightarrow a+b = 14
Karena nilai a harus sebesar mungkin dan memenuhi a \leq b serta a+b=14, maka nilai a = 7
Jadi, nilai pengukuran: 7, 7, 12, 12, 12
Jangkauannya adalah \boxed{12-7 = 5} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Seorang murid menuliskan lima bilangan bulat sedemikian sehingga mediannya satu lebih besar dari rata-rata kelima bilangan bulat tersebut dan modusnya lebih besar satu dari mediannya. Jika mediannya adalah 10, maka bilangan bulat terkecil yang mungkin dari lima bilangan bulat tersebut adalah \cdots

Penyelesaian

Misalkan lima bilangan bulat itu dinyatakan oleh a, b, c, d, e dengan a \leq b \leq c \leq d \leq e. Karena mediannya 10, maka diperoleh c = 10. Diketahui juga bahwa modusnya adalah 10+1=11, sehingga dapat diasumsikan d = e = 11
Rata-rata kelima bilangan tersebut adalah 10-1=9, sehingga
\begin{aligned} a+b+10+11+11 & = 5 \times 9 \\ a + b + 32 & = 45 \\ a + b & = 13 \end{aligned}
Agar a sekecil mungkin, maka b haruslah sebesar mungkin. 
Jika b = 10, maka modusnya tidak akan tunggal. 
Jika b = 9, maka diperoleh a = 4
Dengan demikian, bilangan bulat terkecil yang dimaksud itu adalah \boxed{4}

[collapse]

Soal Nomor 16
Nilai semua tes matematika dinyatakan dengan bilangan bulat dari 0 sampai dengan 10. Median terbesar yang mungkin bagi siswa yang memiliki rata-rata 5 dari 6 kali tes adalah \cdots
A. 3      B. 4,5       C. 5         D. 7          E. 7,5

Penyelesaian

Misalkan nilai tes matematikanya dinyatakan oleh a, b, c, d, e, f yang memenuhi a \leq b \leq c \leq d \leq e \leq f dan a+b+c+d+e+f = 6 \times 5 = 30
Agar median sebesar mungkin (dipengaruhi oleh nilai c dan d), nilai a dan b harus sekecil mungkin, sedangkan e dan f harus sedekat mungkin dengan d
Jadi, asumsi awal bisa kita tuliskan bahwa semua nilai yang diperoleh adalah 5, yakni
5~~5~~5~~5~~5~~5
kemudian nilainya menyesuaikan ketentuan di atas menjadi
0~~0~~7~~7~~8~~8
Jadi, median terbesar yang mungkin adalah \boxed{\dfrac{7+8}{2} = 7,5} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 17
Pada suatu ujian yang diikuti 50 orang siswa diperoleh rata-rata ujian 35 dengan median 40 dan simpangan baku 10. Karena rata-rata nilai terlalu rendah, semua nilai dikalikan 2 dikurangi 15. Akibatnya, \cdots
A. rata-rata menjadi 65
B. rata-rata menjadi 70
C. simpangan baku menjadi 20
D. simpangan baku menjadi 50
E. median menjadi 80

Penyelesaian

Misalkan \overline{x}_0 menyatakan rata-rata nilai mula-mula, sehingga
\overline{x}_0 = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{50}} {50} = 35
Selanjutnya, misalkan \overline{x} menyatakan rata-rata nilai setelah dilakukan perubahan, maka
\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{(2x_1-15)+(2x_2-15)+\cdots+(2x_{50}-15)} {50} \\ & = \dfrac{2(x_1+x_2+\cdots+x_{50}) - 50 \times 15}{50} \\ & = 2\left(\dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{50}} {50}\right) - \dfrac{\cancel{50} \times 15}{\cancel{50}} \\ & = 2(35) - 15 = 55 \end{aligned}
Misalkan \text{Me} menyatakan median mula-mula dengan
\text{Me} = \dfrac{x_{25}+x_{26}} {2} = 40
Jika \text{Me}_0 menyatakan median setelah perubahan, maka
\begin{aligned} \text{Me}_0 & = \dfrac{(2x_{25}-15)+(2x_{26}-15)} {2} \\ & = 2\left( \dfrac{x_{25}+x_{26}} {2}\right) - \dfrac{\cancel{2} \times 15}{\cancel{2}} \\ & = 2(40) - 15 = 65 \end{aligned}
Untuk menentukan simpangan baku, perhatikan dulu tabel penyajian perhitungan simpangan baku mula-mula berikut dengan \overline{x} = 35
\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & \overline{x} - x_i & (\overline{x} - x_i)^2 \\ \hline x_1 & 35 - x_1 & (35 - x_1)^2 \\ x_2 & 35-x_2 & (35-x_2)^2 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ x_{50} & 35-x_{50} & (35-x_{50})^2 \\ \hline \end{array}
Di sisi lain, kita ketahui bahwa
\text{S}_B = \displaystyle \sqrt{\dfrac{\sum (\overline{x} - x_i)^2}{n}} = 10
Setelah terjadi perubahan, kita dapat membuat tabel berikut, di mana \overline{x} = 55
\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & \overline{x} - x_i & (\overline{x} - x_i)^2 \\ \hline 2x_1-15 & 70-2x_1 = 2(35-x_1) & 4(35 - x_1)^2 \\ 2x_2-15 & 70-2x_2 = 2(35-x_2) & 4(35-x_2)^2 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ 2x_{50}-15 & 70-2x_{50} = 2(35 - x_{50}) & 4(35-x_{50})^2 \\ \hline \end{array}
Dengan demikian, didapat simpangan baku yang baru, yaitu
\begin{aligned} \text{S}_B' & = \displaystyle \sqrt{\dfrac{\sum 4(\overline{x} - x_i)^2}{n}} = 2 \times \sqrt{\dfrac{\sum (\overline{x} - x_i)^2}{n}} \\ & = 2 \times 10 = 20 \end{aligned}
Jadi, simpangan baku yang baru adalah 20.
Pilihan jawaban yang benar adalah C.

[collapse]

Soal Nomor 18
Suatu data memiliki rata-rata 16 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai dalam data itu dikalikan p lalu dikurangi q, maka didapat data baru dengan rata-rata 20 dan jangkauan 9. Nilai dari 2p+q = \cdots
A. 3         B. 4       C. 7         D. 8        E. 9

Penyelesaian

Misalkan data itu terdiri dari n bilangan, yaitu x_1, x_2, \cdots, x_n, sehingga dapat ditulis
\dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n} {n} = 16
Karena setiap bilangan dikali p kemudian dikurangi q, maka ditulis
\begin{aligned} \dfrac{(px_1 - q) + (px_2 - q) + \cdots + (px_n - q)} {n} & = 20 \\ \dfrac{p(x_1+x_2+\cdots+x_n) - nq} {n} & = 20 \\ p \cdot \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} - \dfrac{\cancel{n} q} {\cancel{n}} & = 20 \\ 16p - q & = 20 \end{aligned}
Sekarang tinjau jangkauannya. 
Sebelum diubah, jangkauan datanya adalah 6, sehingga ditulis
x_n - x_1 = 6
Setelah datanya dikalikan p kemudian dikurangi q, diperoleh
\begin{aligned} (px_n - q) - (px_1 - q) & = 9 \\ p(x_n - x_1) & = 9 \\ p(6) & = 9 \\ p & = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} \end{aligned}
Substitusikan nilai p pada persamaan 16p-q = 20
\begin{aligned} 16p-q & = 20 \\ \cancelto{8}{16}\left(\dfrac{3}{\cancel{2}}\right) - q & = 20 \\ 24 -q & = 20 \\ q & = 4 \end{aligned}
Dengan demikian
2p+q = \cancel{2}\left(\dfrac{3}{\cancel{2}}\right) + 4 = 7
Jadi, nilai dari 2p+q adalah \boxed{7} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19 (Soal TKPA SBMPTN Tahun 2012)
Tiga puluh data mempunyai rata-rata p. Jika rata-rata 20% di antaranya adalah p + 0,1; 40% lainnya p-0,1; 10% lainnya lagi adalah p-0,5; dan 30% sisanya adalah p+q, maka nilai q = \cdots
A. \dfrac15      B. \dfrac{7}{30}      C. \dfrac{4}{15}       D. \dfrac{3}{10}        E. \dfrac13

Penyelesaian

Dengan menggunakan rumus rataan hitung, diperoleh
\begin{aligned} & \dfrac{20\%(\cancel{30})(p+0,1) + 40\%(\cancel{30})(p-0,1)+10\%(\cancel{30})(p-0,5)+30\%(\cancel{30})(p+q)} {\cancel{30}} = p \\ &  \dfrac{20}{100}(p+0,1)+\dfrac{40}{100}(p-0,1) + \dfrac{10}{100}(p-0,5)+\dfrac{30}{100}(p+q) = p \\ & \left(\dfrac{2}{10}+\dfrac{4}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{3}{10}\right)p + \left(\dfrac{2}{100} - \dfrac{4}{100} - \dfrac{5}{100}\right) + \dfrac{3}{10}q = p \\ & \cancel{p} - \dfrac{7}{100} + \dfrac{3}{10}q = \cancel{p} \\ & q  = \dfrac{7}{\cancelto{10}{100}} \times \dfrac{\cancel{10}}{3} = \dfrac{7}{30} \end{aligned}
Jadi, nilai q adalah \boxed{\dfrac{7}{30}} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20 (Soal TKDU SBMPTN Tahun 2013)
Median dan rata-rata dari data yang terdiri dari empat bilangan ganjil yang telah diurutkan mulai dari yang terkecil adalah 8. Jika selisih antara data terbesar dan terkecilnya adalah 10 dan modusnya tunggal, maka hasil kali data pertama dan ketiga yang mungkin adalah \cdots
A. 24      B. 27      C. 30       D. 32       E. 36

Penyelesaian

Misalkan datanya kita sebut a, b, c, d dengan a \leq b \leq c \leq d
Karena mediannya 8, maka
\dfrac{b+c} {2} = 8 \Leftrightarrow b+c=16
Karena rata-ratanya 8, maka
\begin{aligned} \dfrac{a+b+c+d} {4} = 8 & \Leftrightarrow a+d+16 = 8 \times 4 \\ & \Leftrightarrow a+d=16 \end{aligned}
Selisih data terbesar dan terkecil adalah 10, sehingga ditulis d-a=10
Nilai b dan c yang memenuhi b+c=16 adalah b = 7 dan c = 9 atau bisa juga b = 5 dan c = 11
Nilai a dan d yang memenuhi a+d=16 dan juga d-a=10 adalah a = 3 dan b = 13. Jadi, data yang dimaksud itu adalah 3, 7, 9, 13 atau 3, 5, 11, 13
Hasil kali data pertama dan ketiga ada dua kemungkinan, yakni 3 \times 9 = 27 atau 3 \times 11 = 33. Berdasarkan pilihan jawaban, alternatif yang benar adalah B.

[collapse]

Soal Nomor 21
Rata-rata sekelompok bilangan adalah 40. Ada bilangan yang sebenarnya 60, tetapi terbaca 30. Setelah dihitung ulang, rata-rata yang sebenarnya adalah 41. Banyak bilangan dalam kelompok itu adalah \cdots
A. 20       B. 25       C. 30        D. 42         E. 45

Penyelesaian

Misalkan banyak bilangan dalam kelompok itu adalah n. Karena rata-ratanya 40, maka jumlah bilangan seluruhnya adalah \sum F = 40n
Selisih 60 dan 30 adalah 60-30 = 30, sehingga jumlah bilangan yang sebenarnya adalah \sum F = 40n + 30.
Diketahui rata-rata yang sebenarnya adalah 41, maka
\begin{aligned} \dfrac{40n + 30}{n} & = 41 \\ 40n + 30 & = 41n \\ n & = 30 \end{aligned}
Jadi, banyak bilangan dalam kelompok itu adalah \boxed{30} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Dari nilai ulangan 12 siswa, diketahui nilai terbesarnya 80 dan nilai terkecilnya 20. Nilai rata-rata ulangan mereka tidak mungkin bernilai \cdots
A. 22        B. 25        C. 36       D. 52         E. 75

Penyelesaian

Andaikan 11 siswa mendapatkan nilai 20 dan 1 siswa sisanya mendapatkan nilai 80, maka rata-ratanya menjadi
\dfrac{(11 \times 20) + (1 \times 80)} {12} = \dfrac{220 + 80}{12} = 25
Andaikan 11 siswa mendapatkan nilai 80 dan 1 siswa sisanya mendapatkan nilai 20, maka rata-ratanya menjadi
\dfrac{(1 \times 20) + (11 \times 80)} {12} = \dfrac{20 + 880}{12} = 75
Dapat disimpulkan bahwa rata-rata terkecil yang mungkin didapat adalah 25, sedangkan rata-rata terbesarnya 75. Jadi, nilai rata-rata yang tak mungkin didapat adalah \boxed{22} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 23
Rata-rata masa pakai lampu pijar selama 1.000 jam. Jika dari hasil pendataan menunjukkan bahwa sekumpulan lampu pijar memiliki perhitungan simpangan baku 60 dan angka baku 2,5, naka lampu pijar tersebut memiliki masa pakai selama \cdots jam. 
A. 850             D. 2.440
B. 1.024          E. 2.560
C. 1.150

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \overline{x} & = 1.000~\text{jam} \\ \text{S}_B & = 60 \\ z & = 2,5 \end{aligned}
Ditanya: x = \cdots?
Dengan menggunakan rumus angka baku, diperoleh
\begin{aligned} z & = \dfrac{x - \overline{x}} {\text{S}_B} \\ 2,5 & = \dfrac{x - 1.000}{60} \\ x - 1.000 & = 2,5 \times 60 \\ x - 1.000 & = 150 \\ x & = 1.150 \end{aligned}
Jadi, masa pakai lampu pijar tersebut adalah \boxed{1.150~\text{jam}} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24 (\bigstar~\text{HOTS}~\bigstar)
Sukardi adalah seorang karyawan pada perusahaan tekstil yang bertugas menyimpan data kenaikan produksi selama 5 periode. Setelah dicari, Sukardi hanya menemukan empat data kenaikan, yaitu sebesar 4%, 9%, 7%, dan 5%. Sukardi hanya ingat bahwa rata-rata hitung dan median dari lima data itu adalah sama. Kenaikan produksi yang mungkin pada periode kelima berkisar antara \cdots
A. 0% sampai 10%
B. 5% sampai 15%
C. 10% sampai 15%
D. 10% sampai 20%

Penyelesaian

Misalkan data yang hilang adalah x
Karena rata-ratanya sama dengan median, maka kita tulis
\dfrac{4 + 5 + 7 + 9 + x} {5} = 5 + \dfrac{x}{5} = \text{median}
Jika x nilai minimum, mediannya adalah 5, namun bila x nilai maksimum, mediannya adalah 7
Ini berarti, rentang nilai median yang mungkin adalah 5 \leq~\text{median} ~\leq 7
Untuk \text{median} = 5, diperoleh
5 + \dfrac{x}{5} = 5 \Leftrightarrow x = 0
Untuk \text{median} = 7, diperoleh
5 + \dfrac{x}{5} = 7 \Leftrightarrow x = 10
Jadi, rentang nilai x adalah 0 \leq x \leq 10
Ini berarti, kenaikan produksi yang mungkin pada periode kelima berkisar antara 0% sampai 10% (Jawaban A)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini