Ada $4$ jenis pecahan berdasarkan bentuknya yang perlu kita kenali dan identifikasi, yaitu:
- Pecahan biasa, yaitu pecahan yang terdiri dari pembilang dan penyebut, dihubungkan oleh garis datar, misalnya $\dfrac38, \dfrac{2}{\sqrt3},$ dan lain-lain.
- Pecahan desimal, yaitu pecahan yang dituliskan menggunakan simbol koma, misalnya $0,56$; $7,000$, $0,123456789$, dan lain-lain.
- Persen, yaitu pecahan yang ditulis menggunakan notasi $\%$ (pecahan biasa dengan penyebut $100$). Misalnya, $5\%$ berarti $\dfrac{5}{100} = 0,\!05.$
- Permil, yaitu pecahan yang ditulis menggunakan notasi ‰ (pecahan biasa dengan penyebut $1000$). Misalnya, $5$‰ berarti $\dfrac{5}{1000} = 0,\!005.$
Berdasarkan nilai pembilang dan penyebutnya, pecahan dibedakan menjadi 2 jenis, yaitu:
- Pecahan takmurni/sejati (improper fraction), yaitu pecahan yang nilai pembilangnya lebih besar atau sama dengan nilai penyebutnya, misalnya $\dfrac{13}{4},$ $\dfrac{63}{48},$ $\dfrac{100}{100},$ dan sebagainya. Pecahan ini selanjutnya dapat diubah bentuknya menjadi pecahan campuran (mixed fraction), yaitu dalam bentuk $a + \dfrac{b}{c} = a\dfrac{b}{c},$ untuk bilangan bulat $a, b, c$ dengan $0 < b < c.$
- Pecahan murni/sejati (proper fraction), yaitu pecahan yang nilai pembilangnya lebih kecil dari nilai penyebutnya, misalnya $\dfrac35,$ $\dfrac{99}{100},$ dan sebagainya.
Pada pecahan biasa, jika pembilang dan penyebutnya berupa bilangan bulat $$\{\cdots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots\},$$maka pecahan biasa itu bisa dituliskan dalam bentuk pecahan desimal berhingga, misalnya
$$\dfrac38 = 0,\!375$$atau pecahan desimal berpola takberhingga, misalnya
$$\dfrac{29}{99} = 0,\!292929\cdots$$sekaligus mendefinisikan arti dari bilangan rasional.
Terkadang kita menemukan pecahan biasa seperti
$$\dfrac{\dfrac37 + \dfrac12}{\dfrac13-\dfrac15}.$$Pecahan di atas memuat pembilang berupa pecahan lagi, begitu juga penyebutnya. Beberapa orang memberi istilah “pecahan dalam pecahan” pada bentuk seperti ini. Pecahan tersebut dapat disederhanakan, yaitu membuatnya dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat dan $b \ne 0$ seperti berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{\dfrac37 + \dfrac12}{\dfrac13-\dfrac15} & = \dfrac{\dfrac{6 + 7}{14}}{\dfrac{5-3}{15}} \\ & = \dfrac{\dfrac{13}{14}}{\dfrac{2}{15}} \\ & = \dfrac{13}{14} \cdot \dfrac{15}{2} \\ & = \dfrac{195}{28} \end{aligned}$$ Kali ini, kita akan membahas mengenai pecahan berlanjut (continued fraction), yaitu pecahan takmurni yang dinyatakan dalam bentuk pecahan campuran, tetapi pada bagian pecahannya terdapat bentuk pecahan lagi di bagian penyebut, begitu seterusnya.
Dalam notasi pecahan, kita juga diperkenalkan dengan istilah resiprokal (kebalikan). Sebagai contoh, $\dfrac57$ dapat ditulis dalam bentuk resiprokal $\dfrac{1}{\frac75}.$ Ini sejalan dengan kesepakatan kita bahwa pecahan dapat dimaknai sebagai operasi pembagian. Dalam hal ini,
$$\dfrac57 = 1 \times \dfrac57 = 1 \div \dfrac75.$$Bentuk resiprokal ini dipakai untuk menyatakan suatu bilangan rasional sebagai pecahan berlanjut.
Pecahan berlanjut ada 2 jenis, yaitu:
- Pecahan berlanjut berhingga (finite continued fraction) dengan bentuk umum
$$a_0 + \cfrac{b_1}{a_1 + \cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{a_3 + \cfrac{b_4}{\ddots + \cfrac{b_n}{a_n}}}}}$$dengan $a_0, a_1, \cdots, a_n$ dan $b_1, b_2, \cdots, b_n$ adalah bilangan bulat, serta $n \geq 1$. Untuk menyatakan suatu pecahan berlanjut berhingga sebagai pecahan biasa, hitung terlebih dahulu ekspresi yang terletak paling “bawah”, lalu gunakan sifat resiprokal pecahan, hitung lagi pecahannya, lalu gunakan sifat resiprokal lagi, dan seterusnya. Proses ini dilakukan secara berulang-ulang sampai ditemukan bentuk pecahan $\dfrac{a}{b}.$
Sebagai contoh, nyatakan pecahan berlanjut berikut dalam bentuk pecahan biasa.
$$\cfrac{3}{1+\cfrac{2}{\color{red}{3+\cfrac12}}}$$Pertama, hitung ekspresi yang ditandai warna merah. Kita peroleh
$$\cfrac{3}{1+\color{blue}{\cfrac{2}{\cfrac72}}}.$$Gunakan sifat resiprokal pecahan untuk menghitung ekspresi yang diberi warna biru. Kita peroleh
$$\dfrac{3}{1+2 \cdot \dfrac27} = \dfrac{3}{\color{red}{1+\dfrac47}}.$$Hitung kembali ekspresi yang diberi warna, lalu gunakan sifat resiprokal, dan hitung lagi.
$$\dfrac{3}{\dfrac{11}{7}} = 3 \cdot \dfrac{7}{11} = \dfrac{21}{11}.$$Jadi, bentuk pecahan biasanya adalah $\boxed{\dfrac{21}{11}}$ - Pecahan berlanjut takberhingga (infinite continued fraction) dengan bentuk umum
$$a_0 + \cfrac{b_1}{a_1 + \cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{a_3 + \cfrac{b_4}{a_4 + \ddots}}}}$$dengan $a_0, a_1, \cdots, a_n$ dan $b_1, b_2, \cdots, b_n$ merupakan bilangan bulat serta $n \geq 1.$ Pada pecahan berlanjut takberhingga, nilai yang kita peroleh sebenarnya merupakan suatu hampiran (aproksimasi), bukan nilai eksak.
Pecahan Berlanjut Sederhana
Ketika nilai $b_n = 1$ untuk setiap $n,$ kita sebut sebagai pecahan berlanjut sederhana (simple continued fraction). Oleh karena itu, pecahan berlanjut takberhingga sederhana merepresentasikan suatu bilangan real $x$ dalam bentuk
$$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\ddots}}}$$dengan $a_0$ merupakan bilangan bulat dan $a_1, a_2, \cdots$ merupakan bilangan bulat positif. Untuk menyederhanakan penulisan pecahan berlanjut, biasanya kita gunakan notasi seperti berikut.
$$a_0 + \dfrac{1}{a_1 +} \dfrac{1}{a_2 +} \dfrac{1}{a_3+} \cdots = \left[a_0; a_1, a_2, a_3, \cdots\right]$$Pecahan berlanjut berhingga sederhana pasti berupa bilangan rasional. Kebalikannya juga benar, yaitu setiap bilangan rasional $\dfrac{m}{n}$ dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berlanjut berhingga sederhana. Caranya adalah menggunakan algoritma Euclides.
Jika $m = nq+r,$ maka $$\dfrac{m}{n} = q+\dfrac{r}{n} = q+\dfrac{1}{\frac{n}{r}}$$dan proses ini berlanjut dengan membagi $n$ oleh $r,$ dan seterusnya. Simak contoh berikut untuk lebih jelasnya.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Algoritma Euclides
Contoh
Nyatakan $-\dfrac{551}{802}$ dalam bentuk pecahan berlanjut sederhana.
Jawab:
Pertama, tuliskan algoritma Euclides untuk pasangan bilangan $(-551, 802).$
$$\begin{aligned} -551 & = -1 \times 802 + 251 \\ 802 & = 3 \times 251 + 49 \\ 251 & = 5 \times 49 + 6 \\ 49 & = 8 \times 6 + 1 \\ 6 & = 1 \times 6 + 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} -\dfrac{551}{802} & = -1 + \cfrac{1}{\cfrac{802}{251}} \\ & = -1+\cfrac{1}{3 + \cfrac{49}{251}} \\ & = -1+\cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{\cfrac{251}{49}}} \\ & = -1+\cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{5 + \cfrac{6}{49}}} \\ & = -1+\cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{5 + \cfrac{1}{\cfrac{49}{6}}}} \\ & = -1+\cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{5 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{6}}}}. \end{aligned}$$Jadi, pecahan $-\dfrac{551}{802}$ senilai dengan pecahan berlanjut sederhana $$\boxed{-1+\cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{5 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{6}}}}}$$
Quote by John Dewey
Berikut ini disajikan beberapa soal terkait pecahan berlanjut berhingga maupun takberhingga, disertai dengan pembahasannya. Semoga dapat dijadikan referensi untuk latihan.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Pecahan berlanjut berikut yang senilai dengan $\dfrac{21}{11}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac13}$
B. $3 -\cfrac{2}{1 + \cfrac14}$
C. $1 + \cfrac{3}{2 -\cfrac25}$
D. $4 + \cfrac{2}{5- \cfrac45}$
E. $1 + \cfrac{2}{2 + \cfrac15}$
Cek Opsi A
$$\begin{aligned} 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac13} & = 2 + \cfrac{1}{\cfrac43} \\ & = 2 + \dfrac34 = \dfrac{11}{4} \end{aligned}$$Cek Opsi B
$$\begin{aligned} 3 -\cfrac{2}{1 + \cfrac14} & = 3-\cfrac{2}{\cfrac54} \\ & = 3-2 \cdot \dfrac45 \\ & = 3-\dfrac85 = \dfrac75 \end{aligned}$$Cek Opsi C
$$\begin{aligned} 1 + \cfrac{3}{2 -\cfrac25} & = 1+\cfrac{3}{\cfrac85} \\ & = 1+3 \cdot \dfrac58 \\ & = 1+\dfrac{15}{8} = \dfrac{23}{8} \end{aligned}$$Cek Opsi D
$$\begin{aligned} 4 + \cfrac{2}{5- \cfrac45} & = 4+\cfrac{2}{\cfrac{21}{5}} \\ & = 4+2 \cdot \dfrac{5}{21} \\ & = 4 + \dfrac{10}{21} = \dfrac{94}{21} \end{aligned}$$Cek Opsi E
$$\begin{aligned} 1 + \cfrac{2}{2 + \cfrac15} & = 1+\cfrac{2}{\cfrac{11}{5}} \\ & = 1+2 \cdot \dfrac{5}{11} \\ & = 1+\dfrac{10}{11} = \dfrac{21}{11} \end{aligned}$$Jadi, pecahan berlanjut yang senilai dengan $\dfrac{21}{11}$ adalah $\boxed{1 + \cfrac{2}{2 + \cfrac15}}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 2
Diketahui $\dfrac{14}{9} = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x}}}.$ Nilai bilangan bulat positif $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $5$ E. $14$
B. $4$ D. $9$
Menggunakan algoritma Euclides, kita peroleh
$$\begin{aligned} 14 & = 1 \times 9 + 5 \\ 9 & = 1 \times 5 + 4 \\ 5 & = 1 \times 4 + 1 \\ 4 & = 4 \times 1 + 0. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapat tuliskan
$$\begin{aligned} \dfrac{14}{9} & = 1+\dfrac{5}{9} \\ & = 1+\cfrac{1}{\cfrac95} \\ & = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac45} \\ & = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\cfrac54}} \\ & = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac14}}. \end{aligned}$$Jadi, nilai bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{4}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 3
Misalkan $\cfrac{2}{3+\cfrac{1}{7+\cfrac12}} = \dfrac{a}{b},$ dengan $a, b$ keduanya merupakan bilangan bulat positif. Nilai $a+b = \cdots \cdot$
A. $54$ D. $109$
B. $77$ E. $124$
C. $82$
Nyatakan pecahan berlanjut tersebut dalam bentuk pecahan campuran.
$$\begin{aligned} \cfrac{2}{3+\cfrac{1}{7+\cfrac12}} & = \cfrac{2}{3 + \cfrac{1}{\cfrac{15}{2}}} \\ & = \cfrac{2}{3 + \cfrac{2}{15}} \\ & = \cfrac{2}{\cfrac{47}{15}} = \cfrac{30}{47} \end{aligned}$$Jadi, diperoleh nilai $a = 30$ dan $b = 47$ sehingga $\boxed{a+b=30+47=77}$
(Jawaban B) [/spoiler]
Soal Nomor 4
Bila $$\dfrac{775}{121} = a+\cfrac{1}{b + \cfrac{1}{c + \cfrac{1}{d + \cfrac{1}{e + \cfrac{1}{e+\cfrac{1}{f}}}}}}$$untuk suatu bilangan bulat $a, b, c, d, e,$ dan $f,$ maka nilai $a+b+c+d+e+f = \cdots \cdot$
A. $10$ C. $14$ E. $20$
B. $12$ D. $18$
Dengan berbantuan algoritma Euclides, kita tuliskan dulu skema perhitungan berikut.
$$\begin{aligned} 775 & = 6 \times 121 + 49 \\ 121 & = 2 \times 49 + 23 \\ 49 & = 2 \times 23 + 3 \\ 23 & = 7 \times 3 + 2 \\ 3 & = 1 \times 2 + 1 \\ 2 & = 2 \times 1 + 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapat nyatakan
$$\begin{aligned} \dfrac{775}{121} & = 6 + \dfrac{49}{121} \\ & = 6 + \cfrac{1}{\cfrac{121}{49}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{23}{49}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\cfrac{49}{23}}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{3}{23}}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\cfrac{23}{3}}}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{7+\cfrac{2}{3}}}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{\cfrac32}}}} \\ & = 6 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{1 + \cfrac12}}}}.\end{aligned}$$Dengan menggunakan penulisan notasi yang lebih ringkas,
$$\dfrac{775}{121} = \left[6; 2, 2, 7, 1, 2\right].$$Jadi, didapat
$$\begin{array}{cc} \hline a = 6 & b = 2 & c = 2 \\ d = 7 & e = 1 & f = 2 \\ \hline \end{array}$$sehingga $$\boxed{a+b+c+d+e+f = 6+2+2+7+1+2 = 20}$$(Jawaban E)
Soal Nomor 5
Jika $\dfrac{15}{7}$ dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berlanjut
$$3-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{1+y}}},$$maka nilai $y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac14$ C. $\dfrac34$ E. $\dfrac54$
B. $\dfrac23$ D. $\dfrac45$
Gunakan algoritma Euclides, tetapi kita perluas dan sesuaikan dengan tanda positif-negatifnya. Perhatikan bahwa tanda negatif muncul $3$ kali, sedangkan tanda positif muncul sekali di bagian akhir.
$$\begin{aligned} 15 & = 3 \times 7-6 \\ 7 & = 2 \times 6-5 \\ 6 & = 2 \times 5-4 \\ 5 & = 1 \times 4 + 1 \\ 4 & = 4 \times 1 + 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{15}{7} & = 3-\dfrac67 \\ & = 3-\cfrac{1}{\cfrac76} \\ & = 3-\cfrac{1}{2-\cfrac56} \\ & = 3-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{\cfrac65}} \\ & = 3-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac45}} \\ & = 3-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{\cfrac54}}} \\ & = 3-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{1+\color{red}{\cfrac14}}}}. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{y = \dfrac14}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 6
Diberikan suatu fungsi $f$ dengan
$$f(x) = \cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\ddots}}}.$$Jika $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari $f(x),$ maka nilai $f'(0) = \cdots \cdot$
A. $-1$ C. $1$ E. $4$
B. $0$ D. $2$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} f(x) & = \cfrac{x}{1+\color{blue}{\cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\ddots}}}} \\ f(x) & = \dfrac{x}{1+\color{blue}{f(x)}} \\ f^2(x) + f(x) & = x. \end{aligned}$$Turunkan secara implisit terhadap $x$ masing-masing suku pada kedua ruas sehingga didapat
$$\begin{aligned} 2f(x)f'(x) + f'(x) & = 1 \\ \text{Substitusi}~x & = 0 \\ 2f(0)f'(0) + f'(0) & = 1. \end{aligned}$$Karena $$f(0) = \cfrac{0}{1+\cfrac{0}{1+\cfrac{0}{1+\ddots}}}= 0,$$ haruslah
$$\begin{aligned} 2(0)f'(0) + f'(0) & = 1 \\ 0 + f'(0) & = 1 \\ f'(0) & = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f'(0) = 1}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 7
Diketahui $$x = 2+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}.$$Jika $x$ dapat dinyatakan dalam bentuk $a+\sqrt{b}$ dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan cacah, maka nilai $a+b = \cdots \cdot$
A. $0$ C. $2$ E. $5$
B. $1$ D. $3$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x & = 2+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}} \\ x & = 2+\dfrac{1}{x} \\ x^2 & = 2x + 1 && (\cdots \times~x) \\ x^2-2x-1 & = 0. \end{aligned}$$Kita peroleh persamaan kuadrat yang penyelesaiannya dapat dicari dengan memakai rumus kuadrat.
$$\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} \\ & = \dfrac{2 \pm 2\sqrt2}{2} \\ & = 1 \pm \sqrt2 \end{aligned}$$Karena nilai $x$ tendensi ke nilai positif dilihat dari bilangan pada bentuk pecahannya, haruslah $x = 1 + \sqrt2.$ Jadi, diperoleh $a = 1$ dan $b = 2$ sehingga $\boxed{a+b=1+2=3}$
(Jawaban D)